Dokaz formule .

=

= =

budući da sinus i kosinus ne zavise od sabiranja ugla koji je višekratnik

A ova jednakost je već očigledna, budući da je ovo trigonometrijski oblik kompleksni broj.

Dakle, logaritam postoji za sve tačke u ravni, osim za nulu. Za validan pozitivan broj, argument je 0, tako da ovaj beskonačan skup tačaka ima oblik , to jest, jedna od vrijednosti, naime, na , će pasti na realnu osu. Ako izračunamo logaritam negativnog broja, dobićemo , odnosno skup tačaka je pomaknut prema gore i nijedna od njih ne pada na realnu osu.

Iz formule se može vidjeti da samo kada je argument originalnog broja nula, jedna od vrijednosti logaritma pada na realnu osu. A to odgovara desnoj poluosi, i zato su se u toku školske matematike razmatrali samo logaritmi pozitivnih brojeva. Logaritmi negativnih i imaginarnih brojeva također postoje, ali nemaju jednu vrijednost na realnoj osi.

Sljedeći crtež pokazuje gdje se u ravni nalaze sve vrijednosti logaritma pozitivnog broja. Jedan od njih je na realnoj osi, ostali su iznad i ispod za , , i tako dalje. Za negativan ili kompleksan broj, argument je različit od nule, tako da se ovaj niz tačaka pomera okomito, što rezultira bez tačaka na realnoj osi.

Primjer. Izračunati .

Rješenje. Definirajmo modul broja (jednak 2) i argument 180 0 , tj. Tada = .

Dodatak 1. Pitanja za dokaze (za karte).

Predavanje #1

1. Dokazati formulu za integraciju po dijelovima.

Predavanje #2

1. Dokažite da zamjena , gdje je r = LCM (r 1 ,...,r k) smanjuje integral

2. Dokazati da zamjena smanjuje integral oblika na integral racionalnog razlomka.

3. Izvedite formule transformacije za sinus i kosinus

Za univerzalnu trigonometrijsku promjenu.

4. Dokazati da u slučaju kada je funkcija neparna u odnosu na kosinus, zamjena svodi integral na racionalni razlomak.

5. Dokažite to u slučaju kada

zamjena: svodi integral na racionalni razlomak.

6. Dokazati to za integral oblika

7. Dokažite formulu

8. Dokazati to za integral oblika zamjena ima svoj vlastiti integral za racionalni razlomak.

9. Dokazati to za integral oblika zamjena svodi integral na racionalni razlomak.

Predavanje #3

1. Dokazati da je funkcija je antiderivat funkcije .

2. Dokažite Newton-Leibniz formulu: .

3. Dokažite formulu za dužinu eksplicitno date krive:

.

4. Dokažite formulu za dužinu krive date u polarnim koordinatama

Predavanje #4

Dokazati teoremu: konvergira, konvergira.

Predavanje #5

1. Eksplicitno izvedite (dokažite) formulu površine zadata površina .

2. Izvođenje formula za prijelaz na polarne koordinate.

3. Derivacija Jacobijeve determinante polarnih koordinata.

4. Izvođenje formula za prijelaz na cilindrične koordinate.

5. Derivacija Jacobijeve determinante cilindrične koordinate.

6. Izvođenje formula za prijelaz na sferne koordinate:

.

Predavanje #6

1. Dokažite da zamjena svodi homogenu jednačinu na jednačinu sa odvojivim varijablama.

2. Povući se opšti oblik linearno homogena jednačina.

3. Izvedite opći pogled na rješenje linearnog nehomogena jednačina Lagranžovom metodom.

4. Dokažite da zamjena svodi Bernoullijevu jednačinu na linearnu jednačinu.

Predavanje broj 7.

1. Dokažite da zamjena snižava red jednačine za k.

2. Dokažite da zamjena snižava red jednačine za jedan .

3. Dokazati teoremu: Funkcija je rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe, postoji karakterističan korijen.

4. Dokazati teoremu da linearna kombinacija rješenja linearne homogene dif. jednačina je ujedno i njeno rješenje.

5. Dokažite teoremu o nametanju rješenja: Ako je rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe s desnom stranom i rješenje iste diferencijalne jednadžbe, ali s desnom stranom, onda je zbroj rješenje jednadžbe sa desnom stranom.

Predavanje broj 8.

1. Dokazati teoremu da je sistem funkcija linearno zavisan.

2. Dokazati teoremu da postoji n linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n.

3. Dokažite da ako je 0 korijen višestrukosti , tada sistem rješenja koji odgovara ovom korijenu ima oblik .

Predavanje broj 9.

1. Dokažite pomoću eksponencijalnog oblika da se pri množenju kompleksnih brojeva moduli množe i argumenti dodaju.

2. Dokazati De Moivreovu formulu za stepen n

3. Dokažite formulu za korijen reda n kompleksnog broja

.

4. Dokažite to I

su generalizacije sinusa i kosinusa, tj. za realni brojevi prema ovim formulama dobiće se sinus (kosinus).

5. Dokažite formulu za logaritam kompleksnog broja:

Dodatak 2

Mala i usmena pitanja o poznavanju teorije (za kolokvijume).

Predavanje #1

1. Šta je antiderivat i neodređeni integral, Koja je razlika?

2. Objasni zašto je i antiderivativ.

3. Napišite formulu za integraciju po dijelovima.

4. Koja je zamjena potrebna u integralu forme i kako se eliminiraju korijeni?

5. Zapišite vrstu proširenja integrala racionalnog razlomka u najjednostavnije u slučaju kada su svi korijeni različiti i realni.

6. Zapišite vrstu proširenja integrala racionalnih razlomaka u jednostavne u slučaju kada su svi korijeni realni i postoji jedan višestruki korijen k.

Predavanje broj 2.

1. Napiši kakva je dekompozicija racionalnog razlomka na najjednostavniji u slučaju kada imenilac ima faktor 2 stepena sa negativnim diskriminantom.

2. Koja zamjena smanjuje integral na racionalni razlomak?

3. Šta je univerzalna trigonometrijska zamjena?

4. Koje se zamjene vrše u slučajevima kada je funkcija pod predznakom integrala neparna u odnosu na sinus (kosinus)?

5. Koje se zamjene rade ako integrand sadrži izraze , , ili .

Predavanje broj 3.

1. Definicija određenog integrala.

2. Navedite neka od glavnih svojstava određenog integrala.

3. Napišite Newton-Leibniz formulu.

4. Napišite formulu za zapreminu tijela okretanja.

5. Napišite formulu za dužinu eksplicitne krive.

6. Napišite formulu za dužinu parametarske krive.

Predavanje broj 4.

1. Definicija nepravilnog integrala (uz pomoć limita).

2. Koja je razlika između nepravih integrala 1. i 2. vrste.

3. Navedite jednostavne primjere konvergentnih integrala 1. i 2. vrste.

4. Za koje integrale (T1) konvergiraju.

5. Kako je konvergencija povezana sa konačnom granicom antiderivata (T2)

6. Šta je neophodna karakteristika konvergencija, njena formulacija.

7. Znak poređenja u konačnom obliku

8. Test poređenja u graničnom obliku.

9. Definicija višestrukog integrala.

Predavanje broj 5.

1. Promjena redoslijeda integracije, pokazati na najjednostavnijem primjeru.

2. Napišite formulu za površinu.

3. Šta je polarne koordinate, pisati prelazne formule.

4. Šta je Jakobijan polarnog koordinatnog sistema?

5. Šta su cilindrične i sferne koordinate, koja je njihova razlika.

6. Šta je Jakobijan cilindričnih (sfernih) koordinata.

Predavanje broj 6.

1. Šta je diferencijalna jednačina 1. reda (opći pogled).

2. Šta je diferencijalna jednačina 1. reda, riješena s obzirom na izvod. Dajte neki primjer.

3. Šta je jednačina sa odvojivim varijablama.

4. Šta je opšte, posebno rešenje, Cauchy uslovi.

5. Šta je homogena jednačina, koja je opšta metoda za njeno rješavanje.

6. Šta je linearna jednačina, koji je algoritam za njegovo rješavanje, šta je Lagrangeova metoda.

7. Šta je Bernulijeva jednačina, algoritam za njeno rješavanje.

Predavanje broj 7.

1. Koja je zamjena potrebna za jednadžbu oblika .

2. Koja je zamjena potrebna za jednačinu oblika .

3. Pokažite na primjerima kako se to može izraziti kao .

4. Šta je linearna diferencijalna jednadžba reda n.

5. Šta je karakteristični polinom, karakteristična jednačina.

6. Formulirajte teoremu na kojoj je r funkcija rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe.

7. Formulirajte teoremu da je linearna kombinacija rješenja linearne homogene jednadžbe ujedno i njeno rješenje.

8. Formulirajte teoremu nametanja rješenja i njene posljedice.

9. Šta su linearno zavisni i linearno nezavisni sistemi funkcija, navedite nekoliko primjera.

10. Koja je Wronskyjeva determinanta sistema od n funkcija, navedite primjer Wronskyjeve determinante za LZS i LNS sisteme.

Predavanje broj 8.

1. Koje svojstvo ima determinanta Wronskyja ako je sistem linearno zavisna funkcija.

2. Koliko linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n postoji.

3. Definicija FSR-a ( fundamentalni sistem rješenja) linearne homogene jednadžbe reda n.

4. Koliko funkcija je sadržano u SRF-u?

5. Zapišite oblik sistema jednačina za nalaženje Lagrangeovom metodom za n=2.

6. Zapišite vrstu određenog rješenja u slučaju kada

7. Šta je linearni sistem diferencijalne jednadžbe napiši neki primjer.

8. Šta je autonomni sistem diferencijalnih jednačina.

9. fizičko značenje sistemi diferencijalnih jednadžbi.

10. Napišite od kojih funkcija se sastoji FSR sistema jednačina ako su poznate svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori glavne matrice ovog sistema.

Predavanje broj 9.

1. Šta je imaginarna jedinica.

2. Šta je konjugirani broj i šta se dešava kada se pomnoži sa originalnim.

3. Šta je trigonometrijski, eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

4. Napišite Eulerovu formulu.

5. Šta je modul, argument kompleksnog broja.

6. šta se dešava sa modulima i argumentima tokom množenja (dijeljenja).

7. Napišite De Moivreovu formulu za stepen n.

8. Napišite formulu za korijen reda n.

9. Napišite generalizirane sinusne i kosinusne formule za složeni argument.

10. Napišite formulu za logaritam kompleksnog broja.

Prilog 3. Zadaci sa predavanja.

Predavanje #1

Primjer. . Primjer. .

Primjer. . Primjer. .

Primjer. Primjer. .

Primjer. . Primjer. .

Predavanje #2

Primjer. . Primjer. .

Primjer. . Primjer. .

Primjer. . Primjer.. , gdje, broj .

Primjer. Dijeli u indikativni oblik.

Primjer. Pronađite po De Moivreovoj formuli.

Primjer. Pronađite sve korijenske vrijednosti.

Definicija i svojstva

Kompleksna nula nema logaritam jer kompleksni eksponent ne poprima nultu vrijednost. nenula texvc može se predstaviti u eksponencijalnom obliku:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): k- proizvoljan cijeli broj

Onda Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \mathrm(Ln)\,z nalazi se prema formuli:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \lijevo(\varphi + 2 \pi k \desno)

Evo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln\,r= \ln\,|z| je pravi logaritam. Iz ovoga proizilazi:

Iz formule se vidi da jedna i samo jedna od vrijednosti ima imaginarni dio u intervalu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc . Ova vrijednost se zove glavni značaj kompleksni prirodni logaritam. Poziva se odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija glavna grana logaritam i označava se Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln\,z. Ponekad kroz Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln\, z također označava vrijednost logaritma koji ne leži na glavnoj grani. Ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): z je realan broj, tada se glavna vrijednost njegovog logaritma poklapa sa uobičajenim realnim logaritmom.

Iz gornje formule također slijedi da se realni dio logaritma određuje na sljedeći način kroz komponente argumenta:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Slika pokazuje da je realni dio kao funkcija komponenti centralno simetričan i ovisi samo o udaljenosti do nulte točke. Dobiva se rotacijom grafika realnog logaritma oko vertikalne ose. Kako se približava nuli, funkcija teži Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): -\infty.

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\tačke)

Primjeri kompleksnih logaritamskih vrijednosti

Dajemo glavnu vrijednost logaritma ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln) i njegov opći izraz ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \mathrm(Ln)) za neke argumente:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Treba biti oprezan kada pretvarate složene logaritme, uzimajući u obzir da su oni viševrijedni, pa stoga jednakost logaritama bilo kojeg izraza ne podrazumijeva jednakost ovih izraza. Primjer pogrešno obrazloženje:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi je očigledna greška.

Imajte na umu da je glavna vrijednost logaritma na lijevoj strani, a vrijednost iz osnovne grane je na desnoj ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): k=-1). Razlog greške je nepažljivo korištenje imovine Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, što, općenito govoreći, podrazumijeva u složenom slučaju cijeli beskonačan skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

Kompleksna logaritamska funkcija i Rimanova površina

Zbog toga što je jednostavno povezana, Riemannova površina logaritma je univerzalni pokrivač za kompleksnu ravan bez tačke Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc .

Analitički nastavak

Logaritam kompleksnog broja se također može definirati kao analitički nastavak realnog logaritma na cijelu kompleksnu ravan. Pustite krivu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc počinje od jedan, ne prolazi kroz nulu i ne prelazi negativni dio realne ose. Zatim glavna vrijednost logaritma u krajnjoj tački Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): w krivo Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \Gamma može se odrediti formulom:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \Gamma- jednostavna krivulja (bez samopresjeka), tada se za brojeve koji leže na njoj bez straha mogu primijeniti logaritamski identiteti, na primjer:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Glavna grana logaritamske funkcije je kontinuirana i diferencibilna na cijeloj kompleksnoj ravni, osim na negativnom dijelu realne ose, na kojoj imaginarni dio skače na Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): 2\pi. Ali ova činjenica je posljedica vještačkog ograničenja imaginarnog dijela glavne vrijednosti intervalom Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): (-\pi, \pi]. Ako uzmemo u obzir sve grane funkcije, tada se kontinuitet odvija u svim tačkama osim nule, gdje funkcija nije definirana. Ako dozvolite krivulju Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \Gamma prelazi negativni dio realne ose, tada prvi takav presjek prenosi rezultat sa grane glavne vrijednosti na susjednu granu, a svaki sljedeći presjek uzrokuje sličan pomak duž grana logaritamske funkcije (vidi sliku).

Iz formule analitičkog nastavka slijedi da na bilo kojoj grani logaritma:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Za bilo koji krug Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): S zatvaranje tačke Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): 0 :

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integral se uzima u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Ovaj identitet leži u osnovi teorije ostataka.

Također se može definirati analitički nastavak kompleksnog logaritma koristeći niz poznatih za realni slučaj:

Međutim, iz oblika ovih nizova proizilazi da je u jedinici zbir niza jednak nuli, odnosno da se niz odnosi samo na glavnu granu viševrijedne funkcije kompleksnog logaritma. Poluprečnik konvergencije oba niza je 1.

Veza s inverznim trigonometrijskim i hiperboličkim funkcijama

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- inverzni hiperbolički sinus Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- inverzni hiperbolički kosinus Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- inverzni hiperbolički tangent Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- inverzni hiperbolički kotangens

Istorijski pregled

Prve pokušaje da se logaritmi prošire na kompleksne brojeve na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće napravili su Leibniz i Johann Bernoulli, ali nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što sam koncept logaritma još nije bio jasan. definisano. Diskusija o ovoj temi prvo je bila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. vijeka između d'Alemberta i Eulera. Bernuli i d'Alembert su smatrali da je potrebno definisati Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \log(-x) = \log(x), dok je Leibniz tvrdio da je logaritam negativnog broja imaginarni broj. Kompletna teorija logaritme negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747-1751 i suštinski se ne razlikuje od modernog. Iako se kontroverza nastavila (d'Alembert je branio svoje gledište i detaljno ga argumentovao u članku u svojoj Enciklopediji i drugim radovima), Ojlerov pristup do kraja 18. veka dobio je opšte priznanje.

Napišite recenziju na članak "Složeni logaritam"

Književnost

Teorija logaritma

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 str.
• Svešnjikov A. G., Tihonov A. N. Teorija funkcija kompleksne varijable. - M.: Nauka, 1967. - 304 str.
• Fikhtengolts G. M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa. - ed. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 str.

Istorija logaritama

• Matematika 18. veka // / Uredio A.P. Juškevič, u tri toma. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ur.). Matematika 19. veka. Geometrija. Teorija analitičkih funkcija. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Bilješke

1. logaritamska funkcija. // . - M.: Sovjetska enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , tom II, str. 520-522..
3. , od. 623..
4. , od. 92-94..
5. , od. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantna biblioteka, br. 21).
7. , tom II, str. 522-526..
8. , od. 624..
9. , od. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istorija matematike. U dva toma. - M.: Ed. Moskovski državni univerzitet, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
11. , od. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. - 416 str.

Izvod koji karakterizira kompleksni logaritam

Od divljeg užasa koji nas je obuzeo, jurili smo kao meci kroz široku dolinu, a da nismo ni pomislili da bismo mogli brzo da pređemo na drugi „sprat”... Jednostavno nismo imali vremena da razmišljamo o tome – bili smo previše uplašeni.
Stvorenje je poletelo tačno iznad nas, glasno škljocnuvši razjapljenim zubastim kljunom, a mi smo jurili koliko smo mogli, prskajući podle ljigave sprejeve u strane, i mentalno se moleći da nešto drugo odjednom zainteresuje ovu strašnu "čudesnu pticu" ... Osjećalo se da je to mnogo brže i jednostavno nismo imali šanse da se otrgnemo od toga. Kao zlo, ni jedno drvo nije raslo u blizini, nije bilo grmlja, čak ni kamenja iza kojeg bi se moglo sakriti, samo se u daljini nazirala zloslutna crna stijena.
- Tamo! - vikala je Stela, upirući prstom u isti kamen.
Ali iznenada, neočekivano, tik pred nama, odnekud, pojavilo se stvorenje od kojeg nam je bukvalno ledila krv u venama... Nastalo je, takoreći, „iz ničega“ i bilo je zaista zastrašujuće ... Ogromna crna lešina bila je potpuno prekrivena dugom, krutom dlakom, što je izgledalo kao trbušasti medvjed, samo što je ovaj "medvjed" bio visok kao trospratna kuća... Kvrgava glava čudovišta bila je " oženjen” sa dva ogromna zakrivljena roga, a par neverovatno dugih očnjaka, oštrih kao noževi, krasio je njegova strašna usta, samo gledajući na koja su, od straha, noge pokleknule... A onda, neizrecivo nas iznenadi, čudovište lako skočio i .... pokupio leteću "blagu" na jednom od svojih ogromnih očnjaka... Smrzli smo se zapanjeni.
- Bežimo!!! Stella je vrisnula. - Hajde da bježimo dok je on "zauzet"! ..
I već smo bili spremni da ponovo jurimo ne osvrćući se, kada se odjednom iza naših leđa začuo tanak glas:
- Devojke, čekajte! Ne treba bježati!.. Spasio te Din, nije neprijatelj!
Naglo smo se okrenuli - iza leđa je stajala sićušna, veoma lepa crnooka devojčica... i mirno milovala čudovište koje joj se približilo!.. Oči su nam iskočile od iznenađenja... Bilo je neverovatno! Sigurno - bio je to dan iznenađenja!.. Djevojka se, gledajući nas, ljubazno nasmiješila, nimalo se ne plašeći krznenog čudovišta koje je stajalo u blizini.
Molim te, nemoj ga se plašiti. On je veoma ljubazan. Vidjeli smo da te Ovara juri i odlučili smo pomoći. Dean je dobar momak, uspeo je na vreme. Zaista, dobro moj?
"Dobar" je prednjao, što je zvučao kao blagi zemljotres, i, sagnuvši glavu, polizao djevojčino lice.
“A ko je Owara i zašto nas je napala?” Pitao sam.
Ona svakog napada, ona je grabežljivac. I veoma opasno”, mirno je odgovorila devojka. „Mogu li da pitam šta radiš ovde?“ Niste odavde, devojke, zar ne?
- Ne, ne odavde. Samo smo šetali. Ali isto pitanje za tebe - šta ti radiš ovde?
Idem kod majke... - rastužila se djevojčica. “Zajedno smo umrli, ali ona je iz nekog razloga završila ovdje. I sad živim ovdje, ali joj to ne govorim, jer se ona nikada neće složiti s tim. Ona misli da upravo dolazim...
„Nije li bolje samo doći?" Ovdje je tako strašno!.. - Stella je trzala ramenima.
“Ne mogu da je ostavim ovde samu, gledam je da joj se ništa ne desi. A evo i Deana sa mnom... On mi pomaže.
Prosto nisam mogao da verujem... Ova sićušna hrabra devojčica je svojevoljno napustila svoj prelepi i ljubazni "pod" da živi u ovom hladnom, strašnom i stranom svetu, štiteći svoju majku koja je za nešto bila veoma "kriva"! Ne bi mnogi, mislim, bili tako hrabri i nesebični (čak i odrasli!) ljudi koji bi se odlučili na takav podvig... I odmah sam pomislio - možda jednostavno nije shvatila na šta će sebe osuditi ?!
- A koliko dugo si ovde, devojko, ako nije tajna?
“Nedavno...” tužno je odgovorila crnooka djevojčica, čupajući prstima crni pramen svoje kovrdžave kose. - Upao sam u ovo prelijepi svijet kad je umrla!.. Bio je tako ljubazan i bistar!.. A onda sam vidio da moja majka nije sa mnom i pojurio da je tražim. U početku je bilo tako strašno! Iz nekog razloga nije je bilo nigdje... I onda sam pao u ovaj strašni svijet... I onda sam je našao. Bio sam tako prestravljen ovdje... Tako sam usamljen... Mama mi je rekla da odem, čak me i grdila. Ali ne mogu da je ostavim... Sada imam prijatelja, mog dobrog Dekana, i mogu nekako da postojim ovde.
Njena „dobra prijateljica“ je ponovo zarežala, što je kod Stele i mene izazvalo ogromne „niže astralne“ ježinje... Sabravši se, pokušao sam da se malo smirim i počeo da gledam u ovo krzneno čudo... A on, odmah osetivši da je primetio, užasno ogolio svoja očnjasta usta... odskočio sam.
- Oh, molim te, nemoj se plašiti! On vam se smiješi, - uvjerila je djevojka.
Da... Od takvog osmeha naučićeš da brzo trčiš... - pomislio sam u sebi.
„Ali kako se dogodilo da ste se sprijateljili s njim?“ upitala je Stella.
- Kada sam prvi put došao ovde, bio sam veoma uplašen, posebno kada su danas napadnuta čudovišta poput vas. A onda me jednog dana, kada sam zamalo umro, Dean spasio od čitave gomile jezivih letećih "ptica". I ja sam ga se prvo plašio, ali sam onda shvatio kakvo zlatno srce ima... On je najviše najbolji prijatelj! Nikada nisam imao takve, čak ni dok sam živio na Zemlji.
Kako ste se tako brzo navikli? Njegov izgled nije baš, da kažemo, poznat...
- I tu sam shvatio jednu vrlo jednostavnu istinu, koju iz nekog razloga nisam primetio na Zemlji - izgled nije važan da li čovek ili stvorenje ima dobro srce... Moja majka je bila veoma lepa, ali ponekad i veoma ljuta . A onda je sva njena lepota negde nestala... A Dean, iako jeziv, uvek je veoma ljubazan, i uvek me štiti, osećam njegovu dobrotu i ničega se ne plašim. Možete se naviknuti na izgled...
“Znate li da ćete biti ovdje jako dugo, mnogo duže nego što ljudi žive na Zemlji?” Da li stvarno želiš da ostaneš ovde?
“Moja majka je ovdje, pa joj moram pomoći. A kad ona ponovo "ode" da živi na Zemlji, otići ću i ja... Gdje je više dobrote. U ovom strašnom svijetu ljudi su vrlo čudni - kao da uopće ne žive. Žašto je to? Znate li nešto o tome?
- A ko ti je rekao da će tvoja majka opet otići da živi? upitala je Stella.
Dean, naravno. On mnogo zna, on ovde živi jako dugo. Rekao je i da će nam porodice biti drugačije kada budemo (mama i ja) ponovo živjeli. A onda više neću imati ovu majku... Zato želim sada da budem sa njom.
“A kako razgovaraš s njim, sa svojim dekanom?” upitala je Stella. "A zašto nam ne želiš reći svoje ime?"
Ali istina je - još nismo znali njeno ime! A odakle je došla - takođe nisu znali...
– Zvala sam se Marija... Ali da li je to zaista važno ovde?
- Sigurno! Stella se nasmijala. - A kako da komuniciram sa vama? Kad odete, daće vam novo ime, ali dok ste ovdje, morat ćete živjeti sa starim. Jeste li razgovarali sa još nekim ovdje, Maria curo? - Iz navike, skačući s teme na temu, upitala je Stela.
"Da, jesam..." nesigurno je rekla djevojčica. „Ali oni su ovde tako čudni. I tako jadni... Zašto su tako jadni?
„Ali da li ono što vidite ovde vodi ka sreći?“ Iznenadilo me njeno pitanje. – I sama lokalna „realnost“ unapred ubija svaku nadu!.. Kako se ovde može biti srećan?
- Ne znam. Kad sam sa mamom, cini mi se da bih i ja ovde mogao da budem srecan... Istina, ovde je jako strasno, a njoj se ovde stvarno ne dopada... Kada sam rekao da sam pristao da ostanem sa nju, vikala je na mene i rekla da sam ja njena "bezmozga nesreca"... Ali nisam uvređena... znam da je samo uplašena. Baš kao ja...
- Možda je samo htela da vas spasi od vaše "ekstremne" odluke, i samo da se vratite na svoj "pod"? - Pažljivo, da se ne uvredi, upitala je Stela.
– Ne, naravno da ne... Ali hvala na lepim rečima. Mama me često nazivala ne baš dobrim imenima, čak ni na Zemlji... Ali znam da to nije iz zlobe. Bila je samo nesrećna jer sam rođena, i često mi je govorila da sam joj uništio život. Ali to nije bila moja greška, zar ne? Uvek sam se trudio da je usrećim, ali iz nekog razloga nisam mnogo uspevao... Ali nikad nisam imao tatu. Marija je bila veoma tužna, a glas joj je drhtao, kao da će zaplakati.
Stela i ja smo se pogledale, i bio sam skoro siguran da su je slične misli posjećivale... Već mi se baš nije sviđala ova razmažena, sebična "majka", koja, umjesto da se sama brine za svoje dijete, nije marila za njegovo herojsko Shvatio sam i, uz to, još bolnije povrijedio.
- Ali Dean kaže da sam dobar, i da ga činim veoma srećnim! - promrmljala je djevojčica veselije. I želi da bude prijatelj sa mnom. A ostali koje sam ovde sreo su veoma hladni i ravnodušni, a ponekad i ljuti... Pogotovo oni za koje su vezana čudovišta...
- Čudovišta - šta?.. - nismo razumeli.
“Pa, imaju strašna čudovišta na leđima i govore im šta treba da rade. A ako ne slušaju, čudovišta im se užasno rugaju... Pokušao sam razgovarati s njima, ali ova čudovišta mi ne daju.
Nismo razumeli apsolutno ništa od ovog „objašnjenja“, ali sama činjenica da neka astralna bića muče ljude nije mogla da ostane „istražena“ kod nas, pa smo je odmah pitali kako možemo da vidimo ovaj neverovatan fenomen.
- Oh, svuda! Posebno na Crnoj planini. Eno ga, iza drveća. Hoćeš da i mi pođemo s tobom?
– Naravno, bićemo srećni! - odmah je oduševljeno odgovorila Stela.
Da budem iskrena, nisam se baš nasmiješila perspektivi da izlazim s nekim drugim, „jezivo i neshvatljivo“, pogotovo sama. Ali interesovanje je pobedilo strah i mi bismo, naravno, otišli, uprkos tome što smo se malo plašili... Ali kada je sa nama bio defanzivac poput Deana, odmah je postalo zabavnije...
I sada, u kratkom trenutku, pred našim širom otvorenim očima sa čuđenjem otvorio se pravi pakao... svet... Naravno, nije bio lud, već je jednostavno bio vidovnjak koji je iz nekog razloga mogao da vidi samo donji astral. Ali moramo mu odati zasluge – prikazao ga je vrhunski... Videla sam njegove slike u knjizi koja je bila u tatinoj biblioteci, i još uvek se sećam tog užasnog osećaja koji je nosila većina njegovih slika...
- Kakav užas!.. - prošaputala je šokirana Stela.
Vjerovatno bi se moglo reći da smo već dosta toga vidjeli ovdje, na “podovima”... Ali tako nešto nismo mogli ni da zamislimo u našoj najstrašnijoj noćnoj mori!.. Iza “crne stijene” se nešto potpuno otvorilo nezamislivo ... Izgledalo je kao ogroman, ravan "kotlić" uklesan u stenu, na čijem je dnu žuborila grimizna "lava"... Vrući vazduh je svuda "pukao" sa čudnim treperevim crvenkastim mehurićima, iz kojih je izlazila vrela para i padao u velikim kapima na zemlju, ili na ljude koji su u tom trenutku pali ispod njega... Čuli su se srceparajući krici, ali su odmah utihnuli, jer su najodvratnija stvorenja sedela na leđima istih ljudi, koji , zadovoljnog pogleda, "upravljali" svojim žrtvama, ne obraćajući ni najmanje pažnje na njihove patnje... Pod golim nogama ljudi crvenilo se usijano kamenje, vrela grimizna zemlja klokotala i "topila" se... visoko, isparavajući laganom izmaglicom... A u samoj sredini "jame" tekla je jarko crvena, široka vatrena rijeka, u koju su, s vremena na vrijeme, ista odvratna čudovišta neočekivano bacala jedan ili drugi napaćeni entitet, koji , padajući, izazvao je samo kratko prskanje narandžastih iskri, a onda, pretvorivši se na trenutak u pahuljasti bijeli oblak, nestao... zauvijek... Bio je to pravi pakao, a Stela i ja smo htjeli da "nestanemo" odatle sto pre...
- Šta ćemo da radimo?.. - prošaputala je Stela u tihom užasu. - Želiš li ići dole? Možemo li nešto učiniti da im pomognemo? Pogledaj koliko ih ima!..
Stajali smo na crno-smeđoj, vrućinom osušenoj litici, posmatrajući "zbrku" bola, beznađa i nasilja koja se proteže ispod, preplavljeni užasom, i osjećali smo se tako djetinjasto nemoćni da je čak i moja ratoborna Stela ovoga puta kategorički sklopila svoj raščupani " krila” i bila spremna na prvi poziv da odjuri na svoj, tako drag i pouzdan, gornji “sprat”...

logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f(x) = logax, definirana za

Domena: . Raspon vrijednosti: . Funkcija je striktno rastuća za a > 1 i striktno opadajuća za 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Prava x = 0 je lijeva vertikalna asimptota, jer za a > 1 i za 0< a < 1.

Derivat logaritamske funkcije je:

Logaritamska funkcija implementira izomorfizam multiplikativna grupa pozitivno realni brojevi i aditivnu grupu svih realnih brojeva.

Kompleksni logaritam

Definicija i svojstva

Za kompleksne brojeve, logaritam se definira na isti način kao i realni. U praksi se gotovo isključivo koristi prirodni kompleksni logaritam koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takvih da je ez = w. Kompleksni logaritam postoji za svakoga, a njegov realni dio je jednoznačno određen, dok imaginarni ima beskonačan broj vrijednosti. Iz tog razloga se naziva viševrijedna funkcija. Ako w predstavimo u eksponencijalnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Ovdje -- realni logaritam, r = | w | , k je proizvoljan cijeli broj. Vrijednost dobijena kada je k = 0 naziva se glavna vrijednost kompleksnog prirodnog logaritma; uobičajeno je da se vrijednost argumenta u njemu uzima u intervalu (? p, p). Odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija naziva se glavna grana logaritma i označava se. Ponekad vrijednost logaritma koja ne leži na glavnoj grani također se označava sa.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli.

Eksponencijalna funkcija realne varijable (za pozitivno tlo) određuje se u nekoliko koraka. Prvo, za prirodne vrijednosti - kao proizvod jednakih faktora. Definicija se zatim proširuje na negativne cjelobrojne i različite od nule vrijednosti za po pravilima. Dalje, razmatraju se frakcioni indikatori kod kojih je vrijednost eksponencijalna funkcija određena korijenima: . Za iracionalne vrijednosti, definicija je već povezana sa osnovnim konceptom matematičke analize - sa prelaskom do granice, iz razloga kontinuiteta. Sva ova razmatranja ni na koji način nisu primjenjiva na pokušaje proširenja eksponencijalne funkcije na kompleksne vrijednosti indikatora, a što je, na primjer, potpuno neshvatljivo.

Ojler je prvi put uveo stepen sa kompleksnim eksponentom sa prirodnom bazom na osnovu analize niza konstrukcija integralnog računa. Ponekad vrlo slični algebarski izrazi kada su integrirani daju potpuno različite odgovore:

Istovremeno, ovdje se drugi integral formalno dobija od prvog zamjenom sa

Iz ovoga možemo zaključiti da su, uz pravilnu definiciju eksponencijalne funkcije sa kompleksnim eksponentom, inverzne trigonometrijske funkcije povezane s logaritmima, pa je eksponencijalna funkcija povezana sa trigonometrijskim funkcijama.

Ojler je imao hrabrosti i mašte da da razumnu definiciju za eksponencijalnu funkciju sa bazom, naime,

Ovo je definicija, pa stoga ova formula nije dokazana, samo se mogu tražiti argumenti u prilog razumnosti i svrsishodnosti takve definicije. Matematička analiza daje dosta argumenata ove vrste. Ograničićemo se samo na jedno.

Poznato je da realno vrijedi granična relacija: . Na desnoj strani nalazi se polinom koji ima smisla čak i za kompleksne vrijednosti za . Granica niza kompleksnih brojeva definirana je na prirodan način. Za niz se kaže da je konvergentan ako se nizovi realnog i imaginarnog dijela konvergiraju, a pretpostavlja se da je

Hajde da nađemo. Da bismo to učinili, okrećemo se trigonometrijskom obliku, a za argument ćemo odabrati vrijednosti iz intervala. Sa ovim izborom, jasno je da za . dalje,

Da bi se prešlo na granicu, potrebno je provjeriti postojanje ograničenja za i pronaći ove granice. Jasno je da i

Dakle u izrazu

pravi dio teži , imaginarni - tako da

Ovaj jednostavan argument daje jedan od argumenata u korist Eulerove definicije eksponencijalne funkcije.

Utvrdimo sada da se pri množenju vrijednosti eksponencijalne funkcije eksponenti zbrajaju. stvarno:

2. Ojlerove formule.

Stavili smo u definiciju eksponencijalne funkcije. Dobijamo:

Zamenivši b sa -b, dobijamo

Sabiranjem i oduzimanjem ovih jednakosti član po član, nalazimo formule

nazvane Eulerove formule. Oni uspostavljaju vezu između trigonometrijske funkcije i eksponencijalni sa imaginarnim indikatorima.

3. Prirodni logaritam kompleksnog broja.

Kompleksni broj dat u trigonometrijskom obliku može se zapisati u obliku Ovaj oblik pisanja kompleksnog broja naziva se eksponencijalni. Ona zadržava sva dobra svojstva trigonometrijski oblik, ali još kraće. Nadalje, stoga je prirodno pretpostaviti da je realni dio logaritma kompleksnog broja logaritam njegovog modula, imaginarni deo je njegov argument. Ovo donekle objašnjava "logaritamsko" svojstvo argumenta - argument proizvoda jednak je zbiru argumenata faktora.

prirodni logaritmi

Derivat prirodnog logaritma ima jednostavnu formulu:

Zbog toga se prirodni logaritmi uglavnom koriste u matematičkim istraživanjima. Često se pojavljuju prilikom rješavanja diferencijala jednadžbi, proučavanje statističkih zavisnosti (na primjer, distribucija jednostavnih brojevi) itd.

Za , jednakost

Ovaj niz konvergira brže, a osim toga, lijeva strana formule sada može izraziti logaritam bilo kojeg pozitivnog broja.

Odnos s decimalnim logaritmom: .

Decimalni logaritmi

Rice. 2. Log skala

Logaritmi na osnovu 10 (simbol: lg a) prije pronalaska kalkulatoriširoko se koristi za računarstvo. neujednačena skala decimalni logaritmi se obično primjenjuju na pravila slajdova. Slična skala se široko koristi u različitim područjima nauke, na primjer:

fizika- intenzitet zvuka ( decibela).

Astronomija- skala sjaj zvijezde.

hemija- aktivnost vodonik joni (pH).

Seizmologija - Richterova skala.

muzička teorija- notna skala, u odnosu na frekvencije muzičkih zvukova.

istorija - logaritamska vremenska skala.

Logaritamska skala se takođe široko koristi za identifikaciju eksponenta u eksponencijalnim zavisnostima i koeficijenta u eksponentu. Istovremeno, graf iscrtan u logaritamskoj skali duž jedne ili dvije ose poprima oblik prave linije, što je lakše proučavati.

logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f(x) = log a x, definisano u

Proučavanje logaritamske funkcije

Domena:

Raspon vrijednosti:

Graf bilo koje logaritamske funkcije prolazi kroz tačku (1; 0)

Derivat logaritamske funkcije je:

Dokaz [prikaži]

I. Hajde da to dokažemo

Hajde da zapišemo identitet e ln x = x i razlikovati njegovu lijevu i desnu stranu

Shvatili smo to , odakle to slijedi

II. Dokažimo to

Funkcija se striktno povećava za a> 1 i striktno opadajuća na 0 a

Pravo x= 0 je lijevo vertikalna asimptota, jer at a> 1 i u 0 a

Kompleksni logaritam

Viševrijedna funkcija

Za kompleksni brojevi Logaritam je definisan na isti način kao i realan. Počnimo s prirodnim logaritmom koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takav da e z = w. Kompleksni logaritam postoji za bilo koji , i njegov pravi dio je jednoznačno određen, dok imaginarni ima beskonačan broj vrijednosti. Iz tog razloga se naziva viševrijedna funkcija. Ako zamislite w u eksponencijalnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Evo pravog logaritma, r = | w | , k- proizvoljno cijeli broj. Vrijednost dobijena kada k= 0 se poziva glavni značaj složeni prirodni logaritam; uobičajeno je uzeti vrijednost argumenta u intervalu (− π,π). Odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija se zove glavna grana logaritam i označava se sa . Ponekad se označava i vrijednost logaritma, koji ne leži na glavnoj grani.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Primjeri (data je glavna vrijednost logaritma):

Kompleksni logaritmi s različitom bazom smatraju se slično. Međutim, treba biti oprezan pri transformaciji kompleksnih logaritama, uzimajući u obzir da su oni viševrijedni, te stoga jednakost ovih izraza ne proizlazi iz jednakosti logaritama bilo kojeg izraza. Primjer pogrešnog zaključivanja:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ je očigledan apsurd.

Imajte na umu da je glavna vrijednost logaritma na lijevoj strani, a vrijednost iz osnovne grane je na desnoj ( k= − 1). Razlog greške je nepažljivo korištenje svojstva, koje, općenito govoreći, u složenom slučaju podrazumijeva cijeli beskonačan skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

Rimanova površina

Kompleksna logaritamska funkcija - primjer Rimanova površina; njegov imaginarni dio (slika 3) sastoji se od beskonačnog broja grana uvijenih poput spirale. Ova površina jednostavno povezan; njegova jedina nula (prvog reda) se dobija pomoću z= 1, singularne tačke: z= 0 i (tačke grananja beskonačnog reda).

Rimanova površina logaritma je univerzalna obloga za kompleksnu ravan bez tačke 0.

Istorijski pregled

Realni logaritam

Potreba za složenim proračunima XVI vijek brzo rastao, a značajan dio poteškoća bio je povezan s množenjem i dijeljenjem višecifrenih brojeva. Krajem stoljeća, nekoliko matematičara, gotovo istovremeno, došlo je na ideju: zamijeniti dugotrajno množenje jednostavnim sabiranjem, upoređivanjem pomoću posebnih tablica geometrijski I aritmetika progresija, dok će geometrijski biti original. Tada se dijeljenje automatski zamjenjuje nemjerljivo jednostavnijim i pouzdanijim oduzimanjem. On je prvi objavio ovu ideju u svojoj knjizi Arithmetica integra» Michael Stiefel, koji, međutim, nije uložio ozbiljne napore da svoju ideju sprovede u delo.

IN 1614Škotski matematičar amater John Napier objavljeno na Latinski esej pod nazivom " Opis nevjerovatne logaritamske tablice". Imalo je Kratki opis logaritmi i njihova svojstva, kao i osmocifrene tabele logaritama sinusi, kosinus I tangente, sa korakom od 1". Termin logaritam, koji je predložio Napier, etablirao se u nauci.

Koncept funkcije još nije postojao, a Napier je definirao logaritam kinematički, upoređujući uniformno i logaritamski usporeno kretanje. U modernoj notaciji, Napierov model se može predstaviti diferencijalnom jednadžbom: dx/x = -dy/M, gdje je M faktor skaliranja uveden kako bi vrijednost ispala cijeli broj sa potrebnim brojem cifara (tada decimale još nisu bile široko korištene). Napier je uzeo M = 10000000.

Strogo govoreći, Napier je tablično prikazao pogrešnu funkciju, koja se sada zove logaritam. Ako njegovu funkciju označimo kao LogNap(x), onda je ona povezana s prirodnim logaritmom na sljedeći način:

Očigledno, LogNap (M) = 0, odnosno, logaritam "punog sinusa" je nula - to je Napier tražio svojom definicijom. LogNap(0) = ∞.

Glavno svojstvo Napierovog logaritma: ako se količine formiraju geometrijska progresija, tada njihovi logaritmi formiraju progresiju aritmetika. Međutim, pravila za logaritam za ne-Pijerovu funkciju razlikovala su se od pravila za moderni logaritam.

Na primjer, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Nažalost, sve vrijednosti u Napierovoj tabeli sadržavale su računsku grešku nakon šeste znamenke. Međutim, to nije spriječilo novu metodu izračunavanja da stekne široku popularnost, pa su se mnogi evropski matematičari zauzeli za sastavljanje logaritamskih tablica, uključujući Kepler.

U 1620-im, Edmund Wingate i William Otred izmislio prvi klizač, prije pojave džepnih kalkulatora - nezamjenjiv alat za inženjera.

Blizu savremenom shvatanju logaritma - kao operacije, obrnuto eksponencijacija- prvi put se pojavio u Wallisa I Johann Bernoulli i konačno odobren Euler in XVIII vijek. U knjizi "Uvod u analizu beskonačnog" ( 1748 ) Euler je dao moderne definicije kako demonstrativna, i logaritamske funkcije, dovele su njihovu ekspanziju u snaga serije, naglasio je ulogu prirodnog logaritma.

Ojler takođe ima zaslugu proširenja logaritamske funkcije na kompleksnu oblast.

Kompleksni logaritam

Prvi pokušaji da se logaritmi prošire na kompleksne brojeve učinjeni su na prijelazu iz 17. u 18. vijek. Leibniz I Johann Bernoulli, međutim, nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što u to vrijeme sam koncept logaritma još nije bio jasno definiran. Diskusija o ovoj temi prvo se vodila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom XVIII vijeka - između d'Alembert i Euler. Bernuli i d'Alembert su smatrali da je potrebno definisati log(-x) = log(x). Kompletnu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Ojler 1747-1751 i suštinski se ne razlikuje od moderne.

Iako se spor nastavio (D'Alembert je branio svoje gledište i detaljno ga argumentirao u članku u svojoj Enciklopediji i drugim radovima), Eulerovo gledište je brzo steklo univerzalno priznanje.

Logaritamske tablice

Logaritamske tablice

Iz svojstava logaritma proizilazi da je umjesto dugotrajnog množenja viševrijednih brojeva dovoljno pronaći (iz tabela) i sabrati njihove logaritme, a zatim koristiti iste tabele za izvršavanje potenciranje, odnosno pronađite vrijednost rezultata po njegovom logaritmu. Izvođenje dijeljenja razlikuje se samo po tome što se logaritmi oduzimaju. Laplace Rekao je da je pronalazak logaritama "produžio život astronomima" tako što je uveliko ubrzao proces proračuna.

Prilikom pomicanja decimalne točke u broju na n cifara, vrijednost decimalnog logaritma ovog broja se mijenja za n. Na primjer, lg8314.63 = lg8.31463 + 3. Iz toga slijedi da je dovoljno napraviti tablicu decimalnih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier ( 1614 ), a sadržavali su samo logaritme trigonometrijskih funkcija, i to s greškama. Nezavisno od njega, njegove tabele je objavio Jost Bürgi, prijatelj Kepler (1620 ). IN 1617 Oxford profesor matematike Henry Briggs objavljene tabele koje su već uključivale decimalne logaritme samih brojeva, od 1 do 1000, sa 8 (kasnije - sa 14) cifara. Ali bilo je i grešaka u Briggsovim tabelama. Prvo nepogrešivo izdanje zasnovano na Vega tablicama ( 1783 ) pojavio se samo u 1857 u Berlinu (Bremiver stolovi).

U Rusiji su objavljene prve tablice logaritama 1703 uz učešće L. F. Magnitsky. U SSSR-u je objavljeno nekoliko zbirki tablica logaritama.

Bradis V. M. Četvorocifrene matematičke tabele. 44. izdanje, M., 1973.

Bradis stolovi ( 1921 ) korišteni su u obrazovne institucije i u inženjerskim proračunima koji ne zahtijevaju veliku tačnost. Sadržali su mantissa decimalni logaritmi brojeva i trigonometrijske funkcije, prirodni logaritmi i neki drugi korisni alati za računanje.

Književnost

Uspensky Ya. V. Esej o istoriji logaritama. Petrograd, 1923. −78 str.

Vygodsky M. Ya. Priručnik za osnovnu matematiku. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Istorija matematike Edited A. P. Yushkevich u tri toma, Moskva: Nauka.

Sveska 1 Od antičkih vremena do početka modernog doba. (1970) psihologija kao nezavisna nauka (2)Sažetak >> Psihologija

Glavni ciljevi predmeta priče Psihologija 1. Analiza pojava i dalji razvoj... osjecaj je proporcionalan logaritam intenzitet stimulusa: za ... izvršiti radnju, zbog emergence potreba za rješavanjem problema; - meta...

• istorija psihologija (10)

  Sažetak >> Psihologija

  Postao je izvor psihofizike. sto logaritmi pokazalo se da je primjenjivo na fenomene duše ... da korijeni nagona sežu do istorija ljubazni, bez njih živi... slomljeni, "koja odgovara svakoj bolnoj pojavi. emergence novi trendovi u psihologiji, sociologiji...

• istorija psihologija kao samostalna nauka (1)

  Cheat sheet >> Psihologija

  Aktivnost: Glavni zadaci predmeta priče psihologija 1. Dijaliza pojava i dalji razvoj naučnog saznanja... u tome što je intenzitet osjeta proporcionalan logaritam intenzitet stimulansa: kako bi se ...

• istorija socijalna psihologija (2)

  Cheat sheet >> Psihologija

  Da je veličina osjeta proporcionalna logaritam intenziteta glumačkog stimulusa (... XX vek po prvi put u priče psihologije su pokušali eksperimentalno istražiti ... identificirajući uzroke i specifična stanja pojava neuroze, izolacija u posebnu...