Uputstvo

Uglovi naspram krakova a i b će biti označeni sa A i B. Hipotenuza je, po definiciji, stranica pravougaonog trougla, što je suprotno od pravog kuta (istovremeno, hipotenuza formira oštre uglove s drugim stranama trokuta). Označimo dužinu hipotenuze sa s.

trebat će vam:
Kalkulator.

Koristite sljedeći izraz za krak: a=sqrt(c^2-b^2), ako znate vrijednosti hipotenuze i drugog kraka. Ovaj izraz je izveden iz Pitagorine teoreme, koja kaže da je kvadrat hipotenuze trokuta jednak zbiru kvadrata kateta. Operator sqrt je skraćenica za ekstrakciju kvadratni korijen. Znak "^2" znači podizanje na drugi stepen.

Koristite formulu a=c*sinA ako znate hipotenuzu (c) i ugao naspram željenog kraka (ovaj ugao smo označili kao A).
Koristite izraz a=c*cosB da pronađete katet ako znate hipotenuzu (c) i ugao pored željenog kraka (ovaj ugao smo označili kao B).
Izračunajte krak koristeći formulu a = b * tgA u slučaju kada su dati krak b i ugao nasuprot željenoj kraci (složili smo se da ovaj ugao označimo A).

Bilješka:
Ako u vašem zadatku noga nije pronađena nijednom od opisanih metoda, najvjerojatnije se može svesti na jednu od njih.

Korisni savjeti:
Svi ovi izrazi su dobijeni iz dobro poznatih definicija trigonometrijskih funkcija, pa čak i ako ste zaboravili neku od njih, uvijek je možete brzo izvesti jednostavnim operacijama. Također, korisno je znati vrijednosti trigonometrijskih funkcija za najtipičnije uglove 30, 45, 60, 90, 180 stepeni.

Prije nego što pronađete hipotenuzu trokuta, morate shvatiti koje karakteristike ima ova figura. Razmotrimo glavne:

1. U pravokutnom trokutu, oba oštra ugla su zbir 90º.
2. Noga koja leži nasuprot ugla od 30º bit će jednaka ½ hipotenuze.
3. Ako je krak jednak ½ vrijednosti hipotenuze, onda će drugi ugao imati istu vrijednost - 30º.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu. Najjednostavnije rješenje je proračun kroz noge. Recimo da znate vrijednosti kateta stranica A i B. Tada u pomoć dolazi Pitagorina teorema koja nam govori da ako kvadriramo svaku vrijednost kraka i zbrojimo dobivene podatke, saznat ćemo kolika je hipotenuza je. Dakle, samo trebamo izdvojiti vrijednost kvadratnog korijena:

Na primjer, ako je noga A = 3 cm i noga B = 4 cm, onda bi izračun izgledao ovako:

Kako pronaći hipotenuzu kroz ugao?

Drugi način da se sazna koliko je hipotenuza u pravokutnom trokutu jednaka je izračunavanje kroz dati ugao. Da bismo to učinili, trebamo izvesti vrijednost kroz formulu sinusa. Pretpostavimo da znamo vrijednost kraka (A) i vrijednost suprotnog ugla (α). Tada je cijelo rješenje u jednoj formuli: S=A/sin(α).

Na primjer, ako je dužina kateta 40 cm, a ugao 45°, tada se dužina hipotenuze može izvesti na sljedeći način:

Također možete odrediti željenu vrijednost kroz kosinus datog ugla. Pretpostavimo da znamo vrijednost jedne noge (B) i oštrog uključenog ugla (α). Tada je potrebna jedna formula za rješavanje problema: S=V/ cos(α).

Na primjer, ako je dužina noge 50 cm, a ugao je 45°, tada se hipotenuza može izračunati na sljedeći način:

Stoga smo ispitali glavne načine za pronalaženje hipotenuze u trokutu. Prilikom rješavanja zadatka važno je fokusirati se na dostupne podatke, tada će pronalaženje nepoznate vrijednosti biti prilično jednostavno. Potrebno je znati samo nekoliko formula i proces rješavanja problema će postati jednostavan i ugodan.

Poznavajući jednu od kateta u pravokutnom trokutu, možete pronaći drugu nogu i hipotenuzu koristeći trigonometrijske odnose - sinus i tangens poznatog ugla. Budući da je omjer kraka nasuprot kuta prema hipotenuzi jednak sinusu ovog ugla, stoga, da bismo pronašli hipotenuzu, katet se mora podijeliti sa sinusom ugla. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Drugi krak se može naći iz tangente poznatog ugla, kao omjer poznatog kraka i tangente. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Da biste izračunali nepoznati ugao u pravokutnom trokutu, trebate oduzeti ugao α od 90 stepeni. β=90°-α

Opseg i površina pravokutnog trokuta kroz krak i ugao nasuprot njemu mogu se izraziti zamjenom prethodno dobijenih izraza za drugi krak i hipotenuzu u formule. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Visinu možete izračunati i kroz trigonometrijske relacije, ali već u unutrašnjem pravokutnom trouglu sa stranicom a, koji ona formira. Da biste to učinili, potrebna vam je stranica a, kao hipotenuza takvog trokuta, pomnožena sa sinusom ugla β ili kosinusom od α, jer su prema trigonometrijskim identitetima oni ekvivalentni. (sl. 79.2) h=a cos⁡α

Medijan hipotenuze jednak je polovini hipotenuze ili poznatog kraka a podijeljen sa dva sinusa α. Da bismo pronašli medijane krakova, dovodimo formule u odgovarajući oblik za poznatu stranu i uglove. (sl.79.3) m_s=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^) 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡) α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Pošto je simetrala pravi ugao u trokutu je proizvod dviju stranica i korijena dva, podijeljen zbirom ovih stranica, a zatim zamjenom jedne od kateta omjerom poznate noge i tangente, dobijemo sljedeći izraz. Slično, zamjenom omjera u drugu i treću formulu, mogu se izračunati simetrale uglova α i β. (sl.79.4) l_s=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Srednja linija ide paralelno s jednom od stranica trokuta, tvoreći drugi sličan pravokutni trokut sa istim uglovima, u kojem su sve strane upola manje od originalne. Na osnovu toga se mogu pronaći srednje linije sledeće formule, znajući samo nogu i ugao nasuprot njoj. (sl.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Poluprečnik upisane kružnice jednak je razlici između kateta i hipotenuze podijeljene sa dva, a da biste pronašli polumjer opisane kružnice, hipotenuzu trebate podijeliti sa dva. Drugi krak i hipotenuzu zamjenjujemo omjerima kateta a prema sinusu i tangentu, respektivno. (Sl. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Prvi su segmenti koji se nalaze uz pravi ugao, a hipotenuza je najduži deo figure i nalazi se nasuprot ugla od 90 stepeni. Pitagorin trougao je onaj čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove dužine se u ovom slučaju nazivaju "pitagorina trojka".

egipatski trougao

Da bi sadašnja generacija naučila geometriju u obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala nekoliko stoljeća. Osnovna poenta je Pitagorina teorema. Stranice pravougaonika poznate su cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato sa frazom "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima." Međutim, u stvari, teorema zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) \u003d a 2 + b 2 (zbir kvadrata nogu).

Među matematičarima se trougao sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m, itd.) naziva "egipatskim". Zanimljivo je da je ono što je upisano na slici jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. veka pre nove ere, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Prilikom izgradnje piramida, arhitekte i geodeti su koristili omjer 3:4:5. Ispostavile su se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za pogled i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Kako bi izgradili pravi ugao, graditelji su koristili uže na kojem je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju, vjerovatnoća konstruisanja pravouglog trougla se povećala na 95%.

Znakovi jednakosti figura

• Oštar ugao u pravokutnom trokutu i velika stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti figura. Uzimajući u obzir zbir uglova, lako je dokazati da su i drugi oštri uglovi jednaki. Dakle, trouglovi su identični u drugom kriterijumu.
• Kada se dvije figure nalože jedna na drugu, rotiramo ih na način da, kada se spoje, postanu jedan jednakokraki trokut. Po svom svojstvu, stranice, odnosno hipotenuze su jednake, kao i uglovi u osnovi, što znači da su ove figure iste.

Po prvom znaku vrlo je lako dokazati da su trouglovi zaista jednaki, najvažnije je da su dvije manje stranice (tj. noge) jedna drugoj.

Trokuti će biti isti prema II znaku, čija je suština jednakost kraka i oštrog ugla.

Svojstva pravokutnog trougla

Visina, koja je spuštena iz pravog ugla, dijeli figuru na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegovu medijanu lako se prepoznaju po pravilu: medijana, koja je spuštena na hipotenuzu, jednaka je njegovoj polovini. može se naći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednak polovini umnoška nogu.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva uglova od 30 o, 45 o i 60 o.

• Pod kutom od 30 °, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
• Ako je ugao 45o, onda je i drugi oštri ugao 45o. To sugerira da je trokut jednakokračan, a da su mu kraci isti.
• Svojstvo ugla od 60 stepeni je da treći ugao ima meru od 30 stepeni.

Područje je lako pronaći pomoću jedne od tri formule:

1. kroz visinu i stranu na koju se spušta;
2. prema Heronovoj formuli;
3. duž stranica i ugla između njih.

Stranice pravokutnog trokuta, odnosno noge, konvergiraju se s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je razmotriti rezultirajući trokut, a zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, izračunati potrebnu dužinu. Pored ove formule, postoji i omjer dvostruke površine i dužine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje proračuna.

Teoreme koje se primjenjuju na pravougli trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:

Pravokutni trokut sadrži ogroman broj zavisnosti. To ga čini privlačnom metom za sve vrste geometrijski problemi. Jedan od najčešćih problema je pronalaženje hipotenuze.

Pravokutni trokut

Pravokutni trokut je trokut koji sadrži pravi ugao, tj. ugao od 90 stepeni. Samo u pravouglom trouglu se može izraziti trigonometrijske funkcije kroz dimenzije stranica. U proizvoljnom trokutu će se morati napraviti dodatne konstrukcije.
U pravokutnom trokutu dvije od tri visine poklapaju se sa stranicama nazivaju se noge. Treća strana se naziva hipotenuza. Visina povučena do hipotenuze jedina je u ovom tipu trougla koja zahtijeva dodatne konstrukcije.

Rice. 1. Vrste trouglova.

Pravougli trougao ne može imati tupe uglove. Kao što je nemoguće postojanje drugog pravog ugla. U ovom slučaju, narušen je identitet zbira uglova trougla, koji je uvijek jednak 180 stepeni.

Hipotenuza

Idemo direktno na hipotenuzu trougla. Hipotenuza je najduža stranica trougla. Hipotenuza je uvijek veća od bilo kojeg kateta, ali je uvijek manja od zbira kateta. Ovo je posljedica teoreme o nejednakosti trougla.

Teorema kaže da u trouglu nijedna stranica ne može biti veća od zbira druge dvije. Postoji i druga formulacija ili drugi dio teoreme: u trokutu, nasuprot veće stranice, postoji veći ugao i obrnuto.

Rice. 2. Pravougli trokut.

U pravokutnom trokutu, pravi ugao je veliki ugao, jer ne može postojati drugi pravi ugao ili tupi ugao iz već navedenih razloga. To znači da najduža strana uvijek leži nasuprot pravog ugla.

Čini se neshvatljivim zašto upravo pravougli trougao zaslužuje poseban naziv za svaku od stranica. U stvari, in jednakokraki trougao strane također imaju svoja imena: stranice i baza. Ali nastavnici posebno vole da stavljaju dvojke za noge i hipotenuze. Zašto? S jedne strane, ovo je počast sjećanju na stare Grke, izumitelje matematike. Upravo su oni proučavali pravougaone trouglove i, uz ovo znanje, ostavili čitav sloj informacija na kojima su mogli graditi moderna nauka. S druge strane, postojanje ovih naziva uvelike pojednostavljuje formulaciju teorema i trigonometrijskih identiteta.

Pitagorina teorema

Ako nastavnik pita za formulu za hipotenuzu pravokutnog trougla, onda s vjerovatnoćom od 90% misli na Pitagorinu teoremu. Teorema kaže: u pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta.

Rice. 3. Hipotenuza pravouglog trougla.

Obratite pažnju na to koliko je jasno i sažeto formulisana teorema. Takva jednostavnost se ne može postići bez korištenja pojmova hipotenuze i kateta.

Teorema ima sljedeću formulu:

$c^2=b^2+a^2$ – gdje je c hipotenuza, a i b su katete pravouglog trougla.

Šta smo naučili?

Razgovarali smo o tome šta je pravougli trougao. Saznali smo zašto su smislili nazive kateta i hipotenuze. Saznali smo neka svojstva hipotenuze i dali formulu za dužinu hipotenuze trokuta kroz Pitagorinu teoremu.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.6. Ukupno primljenih ocjena: 213.