6.1. Opće informacije

Centar paralelnih snaga
Razmotrite dvije paralelne sile usmjerene u istom smjeru , i , primijenjene na tijelo u tačkama ALI 1 i ALI 2 (sl.6.1). Ovaj sistem sila ima rezultantu, čija linija djelovanja prolazi kroz određenu tačku OD. Položaj tačke OD može se naći pomoću Varignonovog teorema:

Ako okrenete silu i blizu tačaka ALI 1 i ALI 2 u jednom pravcu i pod istim uglom, dobijamo novi sistem paralelne masti koje imaju iste module. U ovom slučaju, njihova rezultanta će također proći kroz tačku OD. Takva tačka se naziva središte paralelnih sila.
Razmotrimo sistem paralelnih i jednako usmjerenih sila koje se primjenjuju na kruto tijelo u tačkama. Ovaj sistem ima rezultantu.
Ako se svaka sila sistema rotira u blizini tačaka njihove primjene u istom smjeru i pod istim uglom, onda će se dobiti novi sistemi jednako usmjerenih paralelnih sila sa istim modulima i tačkama primjene. Rezultanta takvih sistema će imati isti modul R, ali svaki put u drugom pravcu. Položena snaga F 1 i F 2 nalaze da je njihova rezultanta R 1, koji će uvijek prolaziti kroz tačku OD 1 , čiji je položaj određen jednakošću . Dodavanje dalje R 1 i F 3, pronađite njihovu rezultantu, koja će uvijek prolaziti kroz tačku OD 2 leži na liniji ALI 3 OD 2. Nakon što smo proces sabiranja sila priveli kraju, doći ćemo do zaključka da će rezultanta svih sila zaista uvijek prolaziti kroz istu tačku OD, čiji će položaj u odnosu na tačke biti nepromijenjen.
Dot OD, kroz koju prolazi linija djelovanja rezultujućeg sistema paralelnih sila za bilo koju rotaciju ovih sila u blizini tačaka njihove primjene u istom smjeru pod istim uglom naziva se centar paralelnih sila (slika 6.2).

Sl.6.2

Odredimo koordinate centra paralelnih sila. Od pozicije tačke OD u odnosu na tijelo je nepromijenjen, tada njegove koordinate ne zavise od izbora koordinatnog sistema. Rotirajte sve sile blizu njihove primjene tako da postanu paralelne s osi OU i primijeniti Varignonovu teoremu na rotirane sile. Jer R" je rezultanta ovih sila, onda, prema Varignon teoremi, imamo , jer , , dobijamo

Odavde nalazimo koordinate centra paralelnih sila zc:

Za određivanje koordinata xc sastaviti izraz za moment sila oko ose Oz.

Za određivanje koordinata yc rotirati sve sile tako da postanu paralelne s osi Oz.

Položaj centra paralelnih sila u odnosu na ishodište (slika 6.2) može se odrediti njegovim radijus vektorom:

6.2. Težište krutog tijela

centar gravitacije krutog tijela je tačka koja je uvijek povezana s ovim tijelom OD kroz koju prolazi linija djelovanja rezultantne sile gravitacije dato telo, za bilo koji položaj tijela u prostoru.
Težište se koristi u proučavanju stabilnosti ravnotežnih položaja tijela i kontinuiranih medija pod djelovanjem gravitacije iu nekim drugim slučajevima, i to: u otporu materijala iu strukturna mehanika- kada koristite pravilo Vereshchagina.
Postoje dva načina da se odredi centar gravitacije tijela: analitički i eksperimentalni. Analitička metoda određivanja centra gravitacije direktno slijedi iz koncepta centra paralelnih sila.
Koordinate centra gravitacije, kao centra paralelnih sila, određene su formulama:

gdje R- težina cijelog tijela; pk- težina tjelesnih čestica; xk , yk , zk- koordinate tjelesnih čestica.
Za homogeno tijelo, težina cijelog tijela i bilo kojeg njegovog dijela proporcionalna je zapremini P=Vγ, pk =vk γ, gdje γ - težina po jedinici zapremine, V- zapremina tela. Zamjena izraza P, pk u formule za određivanje koordinata centra gravitacije i, smanjenje za zajednički faktor γ , dobijamo:

Dot OD, čije su koordinate određene dobijenim formulama, se zove težište zapremine.
Ako je tijelo mršavo homogena ploča, tada je centar gravitacije određen formulama:

gdje S- površina cijele ploče; sk- površina njegovog dijela; xk, yk- koordinate težišta dijelova ploče.
Dot OD u ovom slučaju se zove područje centra gravitacije.
Brojioci izraza koji određuju koordinate težišta ravnih figura nazivaju se sa statične momente područja o sekirama at I X:

Tada se centar gravitacije područja može odrediti formulama:

Za tijela čija je dužina višestruko veća od dimenzija poprečnog presjeka određuje se težište linije. Koordinate centra gravitacije linije određene su formulama:

gdje L- dužina linije; lk- dužina njegovih dijelova; xk , yk , zk- koordinata težišta dijelova linije.

6.3. Metode za određivanje koordinata težišta tijela

Na osnovu dobijenih formula moguće je predložiti praktične metode za određivanje težišta tijela.
1. Simetrija. Ako tijelo ima centar simetrije, onda je centar gravitacije u centru simetrije.
Ako tijelo ima ravan simetrije. Na primjer, ravan XOU, tada centar gravitacije leži u ovoj ravni.
2. razdvajanje. Za tijela koja se sastoje od jednostavnih tijela koristi se metoda cijepanja. Tijelo je podijeljeno na dijelove čije se težište nalazi metodom simetrije. Težište cijelog tijela određeno je formulama za težište zapremine (površine).

Primjer. Odredite težište ploče prikazane na donjoj slici (slika 6.3). Ploča se može podijeliti na pravokutnike na drugačiji način i odrediti koordinate težišta svakog pravougaonika i njihovu površinu.

Sl.6.3

odgovor: xc=17,0 cm; yc=18,0 cm.

3. Dodatak. Ova metoda je poseban slučaj metode particioniranja. Koristi se kada tijelo ima zareze, posjekotine i sl., ako su poznate koordinate težišta tijela bez zareza.

Primjer. Odredite težište okrugle ploče koja ima izrez polumjera r = 0,6 R(Sl. 6.4).

Sl.6.4

Okrugla ploča ima centar simetrije. Postavimo početak koordinata u centar ploče. Površina ploče bez zareza, područje zareza. Urezana površina ploče ; .
Narezana ploča ima os simetrije O1 x, Shodno tome, yc=0.

4. Integracija. Ako se tijelo ne može podijeliti na konačan broj dijelova, čiji su položaji težišta poznati, tijelo se dijeli na proizvoljno male zapremine, za koje formula korištenjem metode particioniranja ima oblik: .
Dalje, oni prelaze do granice, težeći elementarnim volumenima na nulu, tj. ugovaranje obima u bodove. Zbirke se zamjenjuju integralima proširenim na cijeli volumen tijela, tada formule za određivanje koordinata težišta volumena imaju oblik:

Formule za određivanje koordinata centra gravitacije područja:

Koordinate težišta područja moraju se odrediti prilikom proučavanja ravnoteže ploča, kada se računa Mohrov integral u strukturnoj mehanici.

Primjer. Odredite težište kružnog luka poluprečnika R sa centralnim uglom AOB= 2α (slika 6.5).

Rice. 6.5

Luk kružnice je simetričan u odnosu na os Oh, dakle, težište luka leži na osi Oh, yc = 0.
Prema formuli za težište prave:

6.Eksperimentalni način. Centri gravitacije nehomogenih tijela složene konfiguracije mogu se odrediti eksperimentalno: vješanjem i vaganjem. Prvi način je da se tijelo okači na kablu na različitim mjestima. Smjer užeta na kojem je tijelo okačeno će dati smjer gravitacije. Tačka presjeka ovih pravaca određuje težište tijela.
Metoda vaganja se sastoji u tome da se prvo odredi težina tijela, kao što je automobil. Zatim se na vagi određuje pritisak zadnje osovine automobila na oslonac. Sastavljanjem jednadžbe ravnoteže u odnosu na neku tačku, na primjer, osu prednjih kotača, možete izračunati udaljenost od ove ose do centra gravitacije automobila (slika 6.6).

Sl.6.6

Ponekad je prilikom rješavanja zadataka potrebno istovremeno primijeniti različite metode za određivanje koordinata težišta.

6.4. Centri gravitacije nekih protozoa geometrijski oblici

Za određivanje težišta tijela zajedničkog oblika (trokut, kružni luk, sektor, segment), zgodno je koristiti referentne podatke (tabela 6.1).

Tabela 6.1

Koordinate težišta nekih homogenih tijela

№	Naziv figure	Slika
	luk kružnice: težište luka homogene kružnice je na osi simetrije (koordinate yc=0). R je polumjer kružnice.
	Homogeni kružni sektor yc=0). gdje je α polovina centralnog ugla; R je polumjer kružnice.
	Segment: centar gravitacije se nalazi na osi simetrije (koordinate yc=0). gdje je α polovina centralnog ugla; R je polumjer kružnice.
	Polukrug:
	Trougao: težište homogenog trougla je u tački preseka njegovih medijana. gdje x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- koordinate vrhova trougla
	Kornet: težište homogenog kružnog konusa leži u njegovoj visini i na udaljenosti od 1/4 visine od osnove konusa.

Na osnovu gore dobijenih općih formula, moguće je naznačiti specifične metode za određivanje koordinata težišta tijela.

1. Simetrija. Ako homogeno tijelo ima ravan, os ili centar simetrije (slika 7), onda njegovo težište leži u ravni simetrije, osi simetrije ili u centru simetrije.

Fig.7

2. Razdvajanje. Tijelo je podijeljeno na konačan broj dijelova (slika 8), za svaki od kojih je poznat položaj težišta i površina.

Fig.8

3.Metoda negativnih područja. Poseban slučaj metode particioniranja (slika 9). Primjenjuje se na tijela sa izrezima ako su poznati centri gravitacije tijela bez izreza i izreza. Tijelo u obliku izrezane ploče predstavljeno je kombinacijom pune ploče (bez izreza) površine S 1 i površine izrezanog dijela S 2 .

Fig.9

4.metod grupisanja. Dobar je dodatak posljednje dvije metode. Nakon što se figura razbije na njene sastavne elemente, može biti zgodno ponovo kombinovati neke od njih, kako bi se pojednostavilo rješenje uzimajući u obzir simetriju ove grupe.

Težišta nekih homogenih tijela.

1) Težište kružnog luka. Uzmite u obzir luk AB radijus R sa centralnim uglom. Zbog simetrije, težište ovog luka leži na osi Ox(Sl. 10).

Fig.10

Nađimo koordinate koristeći formulu. Da biste to učinili, odaberite na luku AB element MM' dužine , čiji je položaj određen uglom . Koordinate X element MM'će . Zamjena ovih vrijednosti X i d l a imajući na umu da se integral mora proširiti cijelom dužinom luka, dobijamo:

gdje L- dužina luka AB, jednak .

Odavde konačno nalazimo da težište kružnog luka leži na njegovoj osi simetrije na udaljenosti od centra O jednak

gdje se ugao mjeri u radijanima.

2) Težište površine trougla. Zamislite trougao koji leži u ravni Oxy, čije su koordinate temena poznate: Ai(x i,y i), (i= 1,2,3). Razbijanje trokuta na uske trake paralelne sa stranicom ALI 1 ALI 2, dolazimo do zaključka da težište trougla mora pripadati medijani ALI 3 M 3 (sl.11) .

Fig.11

Razbijanje trougla na trake paralelne sa stranicom ALI 2 ALI 3, možete biti sigurni da mora ležati na medijani ALI 1 M jedan . Na ovaj način, težište trougla leži u tački preseka njegovih medijana, koji, kao što znate, odvaja treći dio od svake medijane, računajući od odgovarajuće strane.

Posebno za medijanu ALI 1 M 1 dobijamo, s obzirom da su koordinate tačke M 1 je aritmetička sredina koordinata vrha ALI 2 i ALI 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Dakle, koordinate centra gravitacije trokuta su aritmetička sredina koordinata njegovih vrhova:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Težište područja kružnog sektora. Razmotrimo sektor kruga radijusa R sa centralnim uglom od 2α, koji se nalazi simetrično oko ose Ox(Sl. 12) .

Očigledno je da y c = 0, a udaljenost od centra kruga iz kojeg je ovaj sektor isječen do njegovog težišta može se odrediti formulom:

Fig.12

Najlakši način za izračunavanje ovog integrala je podjelom domene integracije na elementarne sektore sa uglom dφ. Do infinitezimima prvog reda, takav sektor se može zamijeniti trouglom sa osnovom jednakom R× dφ i visina R. Površina takvog trougla dF=(1/2)R 2 ∙dφ, a težište mu je na udaljenosti od 2/3 R odozgo, pa u (5) stavljamo x = (2/3)R∙cosφ. Zamjena u (5) F= α R 2, dobijamo:

Koristeći posljednju formulu, izračunavamo, posebno, udaljenost do centra gravitacije polukrug.

Zamjenom u (2) α = π/2 dobijamo: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Primjer 1 Odredimo težište homogenog tijela prikazanog na sl. 13.

Fig.13

Tijelo je homogeno, sastoji se od dva dijela simetričnog oblika. Koordinate njihovih centara gravitacije:

Njihove količine:

Dakle, koordinate centra gravitacije tijela

Primjer 2 Pronađite težište ploče savijene pod pravim uglom. Dimenzije - na crtežu (sl. 14).

Fig.14

Koordinate centara gravitacije:

kvadrati:

Rice. 6.5.

Primjer 3 Iz kvadratnog lima cm izrezana je kvadratna rupa cm (slika 15). Pronađite težište lista.

Fig.15

U ovom je problemu prikladnije podijeliti tijelo na dva dijela: veliki kvadrat i kvadratnu rupu. Samo površinu rupe treba smatrati negativnom. Zatim koordinate centra gravitacije lima s rupom:

koordinata jer tijelo ima os simetrije (dijagonalu).

Primjer 4Žičani nosač (slika 16) se sastoji od tri dijela iste dužine l.

Fig.16

Koordinate centara gravitacije sekcija:

Dakle, koordinate centra gravitacije cijele zagrade:

Primjer 5 Odredite položaj težišta rešetke, čije sve šipke imaju istu linearnu gustoću (slika 17).

Podsjetimo da su u fizici gustina tijela ρ i njegova specifična težina g povezani relacijom: γ= ρ g, gdje g- ubrzanje slobodan pad. Da biste pronašli masu takvog homogenog tijela, morate pomnožiti gustinu s njegovom zapreminom.

Fig.17

Izraz "linearna" ili "linearna" gustina znači da se za određivanje mase šipke za rešetku, linearna gustoća mora pomnožiti s dužinom ove šipke.

Da biste riješili problem, možete koristiti metodu particioniranja. Predstavljajući datu rešetku kao zbir 6 pojedinačnih šipki, dobijamo:

gdje L i dužina i-th štap farme, i x i, y i su koordinate njegovog centra gravitacije.

Rješenje ovog problema može se pojednostaviti grupiranjem posljednjih 5 rešetkastih šipki. Lako je uočiti da čine lik sa centrom simetrije koji se nalazi u sredini četvrtog štapa, gdje se nalazi težište ove grupe štapova.

Dakle, data rešetka može biti predstavljena kombinacijom samo dvije grupe šipki.

Prvu grupu čini prvi štap, za nju L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. Drugu grupu štapova čini pet štapova, za koje L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Koordinate centra gravitacije farme nalaze se po formuli:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Imajte na umu da centar OD leži na liniji koja spaja OD 1 i OD 2 i dijeli segment OD 1 OD 2 u vezi: OD 1 OD/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pitanja za samoispitivanje

Šta je centar paralelnih sila?

Kako se određuju koordinate centra paralelnih sila?

Kako odrediti centar paralelnih sila čija je rezultanta nula?

Koje je svojstvo centra paralelnih sila?

Koje se formule koriste za izračunavanje koordinata centra paralelnih sila?

Šta je težište tijela?

Zašto se sile privlačenja Zemlje, koje djeluju na tačku tijela, mogu uzeti kao sistem paralelnih sila?

Zapišite formulu za određivanje položaja težišta nehomogenih i homogenih tijela, formulu za određivanje položaja težišta ravnim sekcijama?

Zapišite formulu za određivanje položaja težišta jednostavnih geometrijskih oblika: pravougaonika, trokuta, trapeza i pola kruga?

Šta se naziva statički moment površine?

Navedite primjer tijela čije se težište nalazi izvan tijela.

Kako se svojstva simetrije koriste za određivanje centara gravitacije tijela?

Koja je suština metode negativnih pondera?

Gdje se nalazi težište kružnog luka?

Kako grafička konstrukcija možete li pronaći težište trougla?

Zapišite formulu koja određuje težište kružnog sektora.

Koristeći formule koje određuju težišta trokuta i kružnog sektora, izvedite sličnu formulu za kružni segment.

Koje se formule koriste za izračunavanje koordinata težišta homogenih tijela, ravnih figura i pravih?

Kako se naziva statički moment površine ravne figure u odnosu na osu, kako se izračunava i koju dimenziju ima?

Kako odrediti položaj težišta područja, ako je poznat položaj težišta pojedinih njegovih dijelova?

Koje se pomoćne teoreme koriste za određivanje položaja centra gravitacije?

Težišta nekih jednostavnih geometrijskih oblika

Za određivanje težišta tijela često susrećenog oblika (trokut, kružni luk, sektor, segment), zgodno je koristiti referentne podatke (vidi tabelu).

Koordinate težišta nekih homogenih tijela

№	Naziv figure	Slika
	luk kružnice: težište luka homogene kružnice je na osi simetrije (koordinate c R je polumjer kružnice.
	Homogeni kružni sektor c= 0). gdje je α polovina centralnog ugla; R je polumjer kružnice.
	Segment: centar gravitacije se nalazi na osi simetrije (koordinate c= 0). gdje je α polovina centralnog ugla; R je polumjer kružnice.
	Polukrug:
	Trougao: težište homogenog trougla je u tački preseka njegovih medijana. gdje x1, y1, x2, y2, x3, y3 su koordinate vrhova trougla
	Kornet: težište homogenog kružnog konusa leži u njegovoj visini i na udaljenosti od 1/4 visine od osnove konusa.
	hemisfera: centar gravitacije leži na osi simetrije.
	trapez: je površina figure.
	- površina figure;

Pod težištem automobila pretpostavlja se uslovna tačka u kojoj je koncentrisana sva njegova težina. Položaj centra gravitacije ima značajan uticaj na upravljivost i stabilnost vozila, o čemu vozač uvijek mora voditi računa. Položaj težišta u visini ovisi o težini i prirodi tereta. Na primjer, ako putnički automobil prevozi teret koji se nalazi samo u karoseriji, tada će njegovo težište biti mnogo niže nego kod prijevoza tereta na prtljažniku koji se nalazi iznad krova. Međutim, bez obzira na prirodu tereta i njegov položaj, težište natovarene mašine uvijek će biti veće od neopterećenog. S obzirom na to, postojeće mišljenje mnogih vozača o dobroj stabilnosti natovarenog vozila (a još više o smanjenju vjerovatnoće prevrtanja) nije ispravno.

Visina težišta mašine utiče na preraspodelu normalnih reakcija na točkovima pri ubrzanju i kočenju, kao i pri nagibu mašine, što će se odraziti na vučnu masu i, shodno tome, na maksimalnu vučnu silu.

Lokacija težišta vozila je veliki značaj. Karakterizira stabilnost mašine protiv prevrtanja. Ovo je jasno prikazano u autobusima sa stajaćim putnicima, a relevantnije je i za automobile (drumske vozove) koji prevoze vangabaritni teret, kombije i specijalne transportna vozila(autotornjevi, autodizalice, itd.).

U inženjerskoj praksi se dešava da je potrebno izračunati koordinate težišta složene ravne figure koja se sastoji od jednostavnih elemenata za koje je poznata lokacija težišta. Ovaj zadatak je dio zadatka utvrđivanja...

Geometrijske karakteristike kompozitnih poprečnih presjeka greda i šipki. Često se s takvim pitanjima susreću inženjeri dizajna štancanih kalupa prilikom određivanja koordinata centra pritiska, programeri šema utovara za različita vozila pri postavljanju robe, projektanti građevinskih metalnih konstrukcija pri odabiru presjeka elemenata i, naravno, studenti prilikom studiranja. discipline" Teorijska mehanika” i “Čvrstoća materijala”.

Biblioteka elementarnih figura.

Za simetrične ravne figure, težište se poklapa sa centrom simetrije. Simetrična grupa elementarnih objekata uključuje: krug, pravougaonik (uključujući kvadrat), paralelogram (uključujući romb), pravilan poligon.

Od deset figura prikazanih na gornjoj slici, samo dvije su osnovne. Odnosno, koristeći trokute i sektore krugova, možete kombinirati gotovo svaku figuru od praktičnog interesa. Bilo koje proizvoljne krive mogu se podijeliti na dijelove i zamijeniti lukovima krugova.

Preostalih osam figura je najčešće, zbog čega su i uvrštene u ovu vrstu biblioteke. U našoj klasifikaciji ovi elementi nisu osnovni. Pravougaonik, paralelogram i trapez mogu se sastaviti od dva trougla. Šestougao je zbir četiri trougla. Segment kružnice je razlika između sektora kružnice i trougla. Prstenasti sektor kruga je razlika između dva sektora. Krug je sektor kružnice sa uglom α=2*π=360˚. Polukrug je, odnosno, sektor kružnice sa uglom α=π=180˚.

Izračunavanje u Excelu koordinata težišta složene figure.

Uvijek je lakše prenijeti i percipirati informacije uzimajući u obzir primjer nego proučavati problem na čisto teorijskim proračunima. Razmotrite rješenje problema "Kako pronaći centar gravitacije?" na primjeru složene figure prikazane na slici ispod ovog teksta.

Složeni presjek je pravougaonik (sa dimenzijama a1 =80 mm, b1 \u003d 40 mm), kojem je u gornjem lijevom kutu dodan jednakokraki trokut (s veličinom baze a2 =24 mm i visina h2 \u003d 42 mm) i iz kojeg je izrezan polukrug s gornje desne strane (centrirano u tački s koordinatama x03 =50 mm i y03 =40 mm, radijus r3 =26 mm).

Da bismo vam pomogli da izvršite proračun, uključićemo program MS Excel ili program Oo Calc . Bilo koji od njih lako će se nositi s našim zadatkom!

U ćelijama sa žuta punjenje je izvodljivo pomoćni preliminarni kalkulacije .

U ćelijama sa svijetložutom ispunom, brojimo rezultate.

Plava font je početni podaci .

Crni font je srednji rezultati proračuna .

Crveni font je final rezultati proračuna .

Počinjemo rješavati problem - počinjemo tražiti koordinate centra gravitacije presjeka.

Početni podaci:

1. Imena elementarnih figura koje čine kompozitni dio bit će unesene u skladu s tim

do ćelije D3: Pravougaonik

do ćelije E3: Trougao

u ćeliju F3: Polukrug

2. Koristeći "Biblioteku elementarnih figura" predstavljenu u ovom članku, određujemo koordinate centara gravitacije elemenata kompozitnog presjeka xci I yci u mm u odnosu na proizvoljno odabrane ose 0x i 0y i upisati

do ćelije D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

do ćelije D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

do ćelije E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

do ćelije E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

do ćelije F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

do ćelije F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Izračunajte površinu elemenata F 1 , F 2 , F3 u mm2, ponovo koristeći formule iz odjeljka "Biblioteka elementarnih figura"

u ćeliji D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

u ćeliji E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

u ćeliji F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Površina trećeg elementa - polukruga - je negativna jer je ovaj izrez prazan prostor!

Izračunavanje koordinata centra gravitacije:

4. Odredite ukupnu površinu konačne figure F0 u mm2

u spojenoj ćeliji D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Izračunajte statičke momente kompozitne figure Sx I Sy u mm3 u odnosu na odabrane ose 0x i 0y

u spojenoj ćeliji D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

u spojenoj ćeliji D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. I na kraju, izračunavamo koordinate centra gravitacije kompozitnog presjeka Xc I Yc u mm u odabranom koordinatnom sistemu 0x - 0y

u spojenoj ćeliji D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

u spojenoj ćeliji D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Problem je riješen, proračun u Excelu je završen - pronađene su koordinate težišta presjeka, sastavljene pomoću tri jednostavna elementa!

Zaključak.

Primjer u članku odabran je da bude vrlo jednostavan kako bi se olakšalo razumijevanje metodologije za izračunavanje težišta složenog presjeka. Metoda leži u činjenici da bilo koju složenu figuru treba podijeliti na jednostavne elemente s poznatim lokacijama težišta i napraviti konačne proračune za cijeli presjek.

Ako se presjek sastoji od valjanih profila - uglova i kanala, onda ih nema potrebe lomiti na pravokutnike i kvadrate s izrezanim kružnim "π / 2" - sektorima. Koordinate težišta ovih profila date su u GOST tabelama, odnosno ugao i kanal će biti osnovni elementarni elementi u vašim proračunima kompozitnih presjeka (nema smisla govoriti o I-gredama, cijevima , šipke i šesterokuti - ovo su centralno simetrični presjeci).

Položaj koordinatnih osa na položaj težišta figure, naravno, ne utiče! Stoga odaberite koordinatni sistem koji pojednostavljuje vaše proračune. Ako bih, na primjer, rotirao koordinatni sistem za 45˚ u smjeru kazaljke na satu u našem primjeru, tada bi se izračunavanje koordinata težišta pravokutnika, trokuta i polukruga pretvorilo u još jedan zaseban i glomazan korak proračuna koji ne možete učiniti “ u tvojoj glavi".

Excel datoteka proračuna koja je prikazana u nastavku nije program u ovom slučaju. Radije, to je skica kalkulatora, algoritam, šablon koji slijedi u svakom slučaju. kreirajte svoj vlastiti niz formula za ćelije sa svijetlo žutom ispunom.

Dakle, sada znate kako pronaći centar gravitacije bilo kojeg dijela! Kompletan proračun svih geometrijskih karakteristika proizvoljnih složenih kompozitnih presjeka razmatrat će se u jednom od sljedećih članaka pod naslovom "". Pratite vijesti na blogu.

Za primanje informacije o objavljivanju novih članaka i za preuzimanje radnih programskih datoteka Molim vas da se pretplatite na objave u prozoru koji se nalazi na kraju članka ili u prozoru na vrhu stranice.

Nakon što unesete svoju e-mail adresu i kliknete na dugme "Primi najave članaka". NEMOJ ZABORAVITI POTVRDI PRETPLATU klikom na link u pismu koje će vam odmah stići na navedenu poštu (ponekad - u fascikli « Neželjena pošta » )!

Nekoliko riječi o čaši, novčiću i dvije viljuške, koji su prikazani na „ikoni-ilustraciji“ na samom početku članka. Mnogima od vas sigurno je poznat ovaj "trik" koji izaziva zadivljene poglede djece i neupućenih odraslih. Tema ovog članka je centar gravitacije. To je on i tačka oslonca, igrajući se našom svešću i iskustvom, jednostavno zavaravaju naš um!

Težište sistema "viljuške + novčić" je uvijek uključeno fiksno razdaljina vertikalno dole od ruba novčića, koji je zauzvrat uporište. Ovo je pozicija stabilne ravnoteže! Ako protresete viljuške, odmah postaje očigledno da sistem teži da zauzme svoju prijašnju stabilnu poziciju! Zamislite klatno - sidrenu tačku (= tačka oslonca novčića na ivici stakla), osovinu štapa klatna (= u našem slučaju, os je virtuelna, pošto je masa dve vilice razdvojeni u različitim pravcima prostora) i težina na dnu ose (= težište čitavog sistema "vilice + novčić"). Ako počnete da odstupate klatno od vertikale u bilo kom smjeru (naprijed, nazad, lijevo, desno), onda će se ono pod utjecajem gravitacije neminovno vratiti u prvobitni položaj. stabilno stanje ravnoteže(isto se dešava sa našim viljuškama i novčićem)!

Ko nije razumeo, ali želi da razume - shvatite sami. Veoma je zanimljivo "doći" do sebe! Dodaću da je isti princip korištenja stabilne ravnoteže implementiran i u igračku Roly-Get Up. Samo težište ove igračke nalazi se iznad uporišta, ali ispod središta hemisfere potporne površine.

Vaši komentari su uvijek dobrodošli, dragi čitaoci!

pitaj, RESPECTING autorski rad, preuzimanje fajla NAKON PRETPLATE za najave članaka.

Matematička tehnika izračunavanja centra masa spada u oblast matematičkih predmeta; tamo takvi problemi služe kao dobri primjeri u integralnom računu. Ali čak i ako znate kako integrirati, korisno je znati neke trikove za izračunavanje položaja centra mase. Jedan od ovih trikova zasniva se na upotrebi takozvane Papusove teoreme, koja funkcioniše na sledeći način. Ako uzmemo neku zatvorenu figuru i oblik solidan, rotirajući ovu figuru u prostoru tako da se svaka točka kreće okomito na ravninu figure, tada je volumen tijela formiranog u ovom slučaju jednak umnošku površine figure i udaljenosti koju je prešao njegov centar gravitacije! Naravno, ova teorema vrijedi i u slučaju kada se ravna figura kreće duž prave linije okomite na svoju površinu, ali ako je pomjerimo po kružnici ili nekom drugom

krivulja, onda ispada mnogo više zanimljivo telo. Kada vozite krivudavom stazom unutrašnji deo figura napreduje manje od vanjske i ovi efekti se međusobno poništavaju. Dakle, ako želimo da definišemo; središte mase ravne figure ujednačene gustine, tada se mora imati na umu da je volumen koji nastaje njegovom rotacijom oko osi jednak udaljenosti koju centar mase putuje, pomnožen s površinom od \u200b\ u200bthe figure.
Na primjer, ako trebamo pronaći centar mase pravougaonog trougla sa bazom D i visinom H (sl. 19.2), to se radi na sledeći način. Zamislite osu duž H i zarotirajte trokut za 360° oko te ose. Ovo nam daje konus. Udaljenost koju x-koordinata centra mase prelazi je 2πx, a površina područja koje se pomjerilo, odnosno površina trokuta, jednaka je l/2 HD. Proizvod udaljenosti koju pređe centar mase i površine trokuta jednak je zapremini konusa, tj. 1/3 πD 2 H. Dakle, (2πh) (1/2HD) = 1/3D 2 H, ili x= D/Z. Sasvim slično, rotiranjem oko druge noge, ili jednostavno iz razloga simetrije, nalazimo da je y = H / 3. Općenito, središte mase bilo kojeg homogenog trokuta nalazi se na presjeku njegove tri medijane (linije koje povezuju vrh trokuta sa središtem suprotne strane), što je na udaljenosti od osnove jednakom 1/ 3 dužine svake medijane.
Kako to vidjeti? Izrežite trokut s linijama paralelnim s bazom na mnogo pruga. Zapazite sada da medijana prepolovi svaku prugu, tako da centar mase mora ležati na medijani.
Uzmimo sada složeniju figuru. Pretpostavimo da je potrebno pronaći položaj centra mase homogenog polukruga, odnosno kruga presečenog na pola. Gdje će se centar mase nalaziti u ovom slučaju? Za puni krug, centar mase se nalazi u geometrijskom centru, ali za polukrug je teže pronaći njegovu poziciju. Neka je r polumjer kružnice, a x udaljenost centra mase od pravolinijske granice polukruga. Rotirajući ga oko ove ivice kao oko ose, dobijamo loptu. U ovom slučaju, centar mase prelazi udaljenost od 2πx, a površina polukruga je 1/2πr 2 (polovina površine kruga). Pošto je zapremina sfere, naravno, 4πg 3 /3, odavde nalazimo

ili

Postoji još jedna Papusova teorema, koja je zapravo poseban slučaj gore formulirane teoreme i stoga je također važeća. Pretpostavimo da smo umjesto punog polukruga uzeli polukrug, na primjer, komad žice u obliku polukruga ujednačene gustine i želimo pronaći njegovo središte mase. Ispostavilo se da je površina koju pri kretanju "zamete" ravna kriva, slična gore opisanoj, jednaka udaljenosti koju pređe centar mase, pomnoženoj sa dužinom ove krive. (Krivulja se može smatrati vrlo uskom trakom i prethodna teorema se primjenjuje na nju.)