Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2 . Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Prave linije Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je i S 1 = λS, tada se prave poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

Okomito na ovu liniju

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je dana tačka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Rješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Rješenje. Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednačina visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku u datom smjeru. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva središte snopa.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2) piše se ovako:

Nagib prave koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije linije date jednadžbama nagiba

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tada je ugao između njih određen formulom

Treba napomenuti da se u brojiocu razlomka nagib prve prave oduzima od nagiba druge prave.

Ako su jednačine prave date u opštem obliku

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ugao između njih je određen formulom

4. Uslovi za paralelizam dve prave:

a) Ako su prave date jednadžbama (4) sa nagibom, tada je neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam jednakost njihovih nagiba:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za slučaj kada su prave date jednačinama u opštem obliku (6), neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam je da su koeficijenti na odgovarajućim strujnim koordinatama u njihovim jednačinama proporcionalni, tj.

5. Uslovi za okomitost dvije prave:

a) U slučaju kada su prave date jednačinama (4) sa nagibom, neophodan i dovoljan uslov za njihovu okomitost je da su njihovi nagibi recipročni po veličini i suprotni po predznaku, tj.

Ovaj uslov se takođe može napisati u obliku

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ako su jednadžbe pravih date u opštem obliku (6), onda je uslov za njihovu okomitost (neophodan i dovoljan) ispunjenje jednakosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinate presečne tačke dve prave nalaze se rešavanjem sistema jednačina (6). Prave (6) se sijeku ako i samo ako

1. Napišite jednadžbe pravih koje prolaze kroz tačku M, od kojih je jedna paralelna, a druga okomita na datu pravu l.

Svakom studentu koji se priprema za ispit iz matematike biće korisno da ponovi temu „Pronalaženje ugla između pravih“. Kao što statistika pokazuje, prilikom polaganja atestacionog testa, zadaci u ovom dijelu stereometrije uzrokuju poteškoće velikom broju učenika. Istovremeno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje ugla između pravih linija nalaze se u USE i na osnovnom i na profilnom nivou. To znači da bi ih svako trebao moći riješiti.

Osnovni momenti

Postoje 4 vrste međusobnog rasporeda linija u prostoru. Mogu da se poklapaju, ukrštaju, budu paralelne ili seku. Ugao između njih može biti oštar ili ravan.

Da bi pronašli ugao između linija u Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješenju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko metoda za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti klasičnim konstrukcijama. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik treba da bude sposoban da logički gradi rasuđivanje i kreira crteže kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti metodu vektorskih koordinata, koristeći jednostavne formule, pravila i algoritme. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve proračune. Obrazovni projekat Shkolkovo pomoći će vam da usavršite svoje vještine u rješavanju problema u stereometriji i drugim dijelovima školskog kursa.

Ovaj materijal je posvećen konceptu kao što je ugao između dvije prave linije koje se sijeku. U prvom paragrafu ćemo objasniti šta je to i pokazati na ilustracijama. Zatim ćemo analizirati kako možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i sam kut (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dat ćemo potrebne formule i pokazati primjerima kako se točno primjenjuju u praksi.

Da bismo shvatili šta je ugao nastao na preseku dve prave, moramo se prisetiti same definicije ugla, okomitosti i presečne tačke.

Definicija 1

Dve prave nazivamo seku ako imaju jednu zajedničku tačku. Ova tačka se zove tačka preseka dve prave.

Svaka linija je podijeljena točkom presjeka na zrake. U ovom slučaju, obje prave formiraju 4 ugla, od kojih su dva vertikalna, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti i ostale preostale.

Recimo da znamo da je jedan od uglova jednak α. U tom slučaju, ugao koji je okomit na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale uglove, moramo izračunati razliku 180° - α. Ako je α jednako 90 stepeni, tada će svi uglovi biti pravi. Prave koje se sijeku pod pravim uglom nazivaju se okomiti (poseban članak posvećen je konceptu okomitosti).

Pogledajte sliku:

Prijeđimo na formulaciju glavne definicije.

Definicija 2

Ugao koji formiraju dvije linije koje se seku je mjera manjeg od 4 ugla koji formiraju ove dvije prave.

Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina ugla u ovom slučaju će biti izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0, 90] . Ako su prave okomite, tada će ugao između njih u svakom slučaju biti jednak 90 stepeni.

Sposobnost pronalaženja mjere ugla između dvije prave koje se seku je korisna za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.

Za početak, možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o dodatnim uglovima, onda ih možemo povezati sa uglom koji nam je potreban koristeći svojstva jednakih ili sličnih oblika. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati ugao između linija na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem pogodan za rješavanje. Ako imamo pravougli trokut u uvjetu, tada ćemo za proračune morati znati i sinus, kosinus i tangent ugla.

Koordinatna metoda je također vrlo pogodna za rješavanje problema ovog tipa. Hajde da objasnimo kako ga pravilno koristiti.

Imamo pravougaoni (kartezijanski) koordinatni sistem O x y sa dvije prave. Označimo ih slovima a i b. U ovom slučaju, prave se mogu opisati pomoću bilo koje jednačine. Originalne prave imaju presek M. Kako odrediti željeni ugao (označimo ga α) između ovih linija?

Počnimo sa formulacijom osnovnog principa nalaženja ugla pod datim uslovima.

Znamo da su koncepti kao što su usmjeravajući i normalni vektor usko povezani s konceptom prave linije. Ako imamo jednadžbu neke prave linije, iz nje možemo uzeti koordinate ovih vektora. To možemo učiniti za dvije linije koje se seku odjednom.

Ugao koji formiraju dvije linije koje se ukrštaju može se pronaći pomoću:

• ugao između vektora smjera;
• ugao između normalnih vektora;
• ugao između vektora normale jedne linije i vektora smjera druge.

Pogledajmo sada svaku metodu posebno.

1. Pretpostavimo da imamo pravu a sa vektorom smjera a → = (a x , a y) i pravu b sa vektorom smjera b → (b x , b y) . Odvojimo sada dva vektora a → i b → iz tačke preseka. Nakon toga, vidjet ćemo da će svaki biti smješten na svojoj liniji. Zatim imamo četiri opcije za njihov relativni položaj. Pogledajte ilustraciju:

Ako ugao između dva vektora nije tup, onda će to biti ugao koji nam treba između pravih a i b koji se sijeku. Ako je tup, onda će željeni ugao biti jednak uglu pored ugla a → , b → ^ . Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 °, i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

Na osnovu činjenice da su kosinusi jednakih uglova jednaki, dobijene jednakosti možemo prepisati na sledeći način: cos α = cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90°; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

U drugom slučaju korištene su formule redukcije. Na ovaj način,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišimo posljednju formulu riječima:

Definicija 3

Kosinus ugla kojeg formiraju dvije linije koje se sijeku bit će jednak modulu kosinusa ugla između njegovih vektora smjera.

Opšti oblik formule za kosinus ugla između dva vektora a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz nje možemo izvesti formulu za kosinus ugla između dvije date prave:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada se sam ugao može pronaći pomoću sljedeće formule:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera datih linija.

Dajemo primjer rješavanja problema.

Primjer 1

U pravougaonom koordinatnom sistemu, na ravni su date dve prave a i b koje se seku. Mogu se opisati parametarskim jednačinama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3 . Izračunajte ugao između ovih linija.

Rješenje

U uslovu imamo parametarsku jednačinu, što znači da za ovu pravu liniju možemo odmah zapisati koordinate njenog vektora pravca. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata na parametru, tj. prava x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R imat će vektor smjera a → = (4 , 1) .

Druga prava linija je opisana pomoću kanonske jednadžbe x 5 = y - 6 - 3 . Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ova prava ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .

Zatim nastavljamo direktno s pronalaženjem ugla. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite dostupne koordinate dva vektora u gornju formulu α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Dobijamo sljedeće:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odgovori: Ove linije formiraju ugao od 45 stepeni.

Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem ugla između normalnih vektora. Ako imamo pravu a sa vektorom normale na → = (nax , nay) i pravu b sa vektorom normale nb → = (nbx , nby) , tada će ugao između njih biti jednak uglu između na → i nb → ili ugao koji će biti susjedni na → , nb → ^ . Ova metoda je prikazana na slici:

Formule za izračunavanje kosinusa ugla između linija koje se sijeku i samog ugla pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje n a → i n b → označavaju vektore normale dvije date prave.

Primjer 2

Dve prave su date u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačina 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite sinus, kosinus ugla između njih i veličinu samog ugla.

Rješenje

Originalne prave linije su date koristeći normalne pravolinijske jednadžbe oblika A x + B y + C = 0. Označimo vektor normale n → = (A , B) . Nađimo koordinate prvog vektora normale za jednu pravu liniju i zapišemo ih: n a → = (3 , 5) . Za drugu liniju x + 4 y - 17 = 0 vektor normale će imati koordinate n b → = (1 , 4) . Sada dodajte dobijene vrijednosti u formulu i izračunajte zbir:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ako znamo kosinus ugla, onda možemo izračunati njegov sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet. Budući da kut α formiran pravim linijama nije tup, tada sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

U ovom slučaju, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odgovor: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje ugla između linija, ako znamo koordinate vektora smjera jedne linije i vektora normale druge.

Pretpostavimo da prava a ima vektor pravca a → = (a x , a y) , a prava b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Moramo odgoditi ove vektore od točke presjeka i razmotriti sve opcije za njihov relativni položaj. pogledajte sliku:

Ako ugao između datih vektora nije veći od 90 stepeni, ispada da će dopuniti ugao između a i b u pravi ugao.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ako je manji od 90 stepeni, dobijamo sledeće:

a → , n b → ^ > 90 ° , zatim a → , n b → ^ = 90 ° + α

Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih uglova, pišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

Na ovaj način,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Hajde da formulišemo zaključak.

Definicija 4

Da biste pronašli sinus ugla između dvije prave koje se sijeku u ravni, potrebno je izračunati modul kosinusa ugla između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.

Zapišimo potrebne formule. Pronalaženje sinusa ugla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Pronalaženje samog ugla:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → je vektor normale druge.

Primjer 3

Dvije prave koje se seku date su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite ugao preseka.

Rješenje

Koordinate usmjerivača i vektora normale uzimamo iz datih jednačina. Ispada a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4) . Uzimamo formulu α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i razmotrimo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Imajte na umu da smo uzeli jednačine iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.

odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Evo još jednog načina da pronađete željeni ugao koristeći koeficijente nagiba datih linija.

Imamo pravu a , koja je definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačine y = k 1 · x + b 1 , i pravu b , definisanu kao y = k 2 · x + b 2 . Ovo su jednadžbe linija sa nagibom. Da biste pronašli ugao presjeka, koristite formulu:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , gdje su k 1 i k 2 nagibi datih pravih. Za dobijanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje ugla kroz koordinate vektora normale.

Primjer 4

Postoje dvije prave koje se seku u ravni, date jednadžbama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte ugao presjeka.

Rješenje

Nagibi naših pravih jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4 . Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

odgovor:α = a r c cos 23 2 34

U zaključcima ovog paragrafa treba napomenuti da se formule za pronalaženje ugla koje su ovdje date ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili vektora normale datih linija i biti u stanju da ih odredite koristeći različite tipove jednadžbi. Ali formule za izračunavanje kosinusa kuta bolje je zapamtiti ili zapisati.

Kako izračunati ugao između linija koje se seku u prostoru

Proračun takvog ugla može se svesti na izračunavanje koordinata vektora pravca i određivanje veličine ugla koji ovi vektori formiraju. Za takve primjere koristimo isto razmišljanje koje smo dali ranije.

Recimo da imamo pravougaoni koordinatni sistem koji se nalazi u 3D prostoru. Sadrži dvije prave a i b sa presječnom tačkom M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednadžbe ovih linija. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračunavanje kosinusa ugla između njih koristimo formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Da bismo pronašli sam ugao, potrebna nam je ova formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 5

Imamo pravu liniju definisanu u 3D prostoru pomoću jednačine x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Poznato je da se seče sa O z osom. Izračunajte ugao presjeka i kosinus tog ugla.

Rješenje

Označimo ugao koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora pravca za prvu pravu - a → = (1 , - 3 , - 2) . Za aplikantnu osu možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0 , 0 , 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati u željenu formulu:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kao rezultat, dobili smo da će ugao koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.

odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2 date respektivno jednadžbama:

Ispod kutak između dvije ravni mislimo na jedan od diedarskih uglova koji formiraju ove ravni. Očigledno, ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak je jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili . Zbog toga . Jer I , onda

.

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov paralelnosti dvije ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Na ovaj način, .

Primjeri.

DIREKTNO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA DIRECT.

PARAMETRIJSKE JEDNAČINE DIRECT

Položaj prave linije u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Vektor paralelan pravoj liniji se zove vođenje vektor ove linije.

Pa pusti pravo l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. Pokazuje da je svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M ležeći na pravoj liniji.

Ovu jednačinu zapisujemo u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski pravolinijske jednačine.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y I z i tačka M kreće se pravolinijski.

DIREKTNE KANONIČKE JEDNAČINE

Neka bude M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - tačka koja leži na pravoj liniji l, And je njegov vektor smjera. Opet, uzmite proizvoljnu tačku na pravoj liniji M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, tako da njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle

– kanonski pravolinijske jednačine.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe prave mogu dobiti iz parametarskih jednačina eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Napišite jednačinu prave linije na parametarski način.

Označiti , dakle x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer, os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, Shodno tome, m=0. Posljedično, parametarske jednačine prave imaju oblik

Eliminacija parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave linije u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, onda to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanonske jednačine odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox I Oy ili paralelne ose Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVA PRAVA KAO PRAVA presjeka DVIJE RAVNI

Kroz svaku pravu liniju u prostoru prolazi beskonačan broj ravni. Bilo koje dvije od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, su jednačine ove prave.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni date općim jednačinama

odrediti njihovu liniju ukrštanja. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu liniju datu jednadžbama

Da bi se konstruisao prava, dovoljno je pronaći bilo koje dve njene tačke. Najlakši način je da odaberete tačke preseka prave sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na liniji i vektor smjera linije.

Koordinate tačke M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora I . Dakle, za vektor smjera prave linije l možete uzeti unakrsni proizvod normalnih vektora:

.

Primjer. Dajte opće jednačine prave linije kanonskom obliku.

Pronađite tačku na pravoj liniji. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravnina koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. shodno tome, l: .

UGAO IZMEĐU PRAVA

kutak između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Injekcija φ opšte jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, izračunava se po formuli:

Injekcija φ između dve prave linije kanonske jednačine(x-x 1) / m 1 = (y-y 1) / n 1 i (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, izračunava se po formuli:

Udaljenost od tačke do linije

Svaka ravan u prostoru može se predstaviti kao linearna jednačina tzv opšta jednačina avion

Posebni slučajevi.

o Ako je u jednačini (8), tada ravan prolazi kroz početak.

o Sa (,) ravan je paralelna sa osom (osom, osom), respektivno.

o Kada je (,) ravan paralelna sa ravninom (ravan, ravan).

Rješenje: koristite (7)

Odgovor: opšta jednačina ravnine.

Primjer.

Ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz data je opštom jednačinom ravni . Zapišite koordinate svih normalnih vektora u ovoj ravni.

Znamo da su koeficijenti varijabli x, y i z u opštoj jednačini ravni odgovarajuće koordinate vektora normale te ravni. Dakle, vektor normale date ravni ima koordinate. Skup svih normalnih vektora može se dati kao.

Napišite jednačinu ravni ako u pravokutnom koordinatnom sistemu Oxyz u prostoru prolazi kroz tačku , ali je normalni vektor ove ravni.

Predstavljamo dva rješenja za ovaj problem.

Od uslova koji imamo. Ove podatke zamjenjujemo u opštu jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku:

Napišite opštu jednačinu za ravan paralelnu koordinatnoj ravni Oyz i koja prolazi kroz tačku .

Ravan koja je paralelna koordinatnoj ravni Oyz može se dati općom nepotpunom jednačinom ravnine oblika . Od tačke pripada ravni po uslovu, tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu ravni, odnosno jednakost mora biti tačna. Odavde nalazimo. Dakle, željena jednačina ima oblik.

Rješenje. Vektorski proizvod, po definiciji 10.26, ortogonan je na vektore p i q. Stoga je ortogonalna na željenu ravan i vektor se može uzeti kao njegov normalni vektor. Pronađite koordinate vektora n:

tj . Koristeći formulu (11.1), dobijamo

Otvarajući zagrade u ovoj jednačini, dolazimo do konačnog odgovora.

odgovor: .

Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:

prema gore navedenom:

Odgovori:

Paralelne ravni imaju isti vektor normale. 1) Iz jednačine nalazimo vektor normale ravni:.

2) Sastavljamo jednadžbu ravnine prema tački i vektoru normale:

Odgovori:

Vektorska jednadžba ravnine u prostoru

Parametrijska jednadžba ravni u prostoru

Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Neka je pravougaoni Dekartov koordinatni sistem zadan u trodimenzionalnom prostoru. Hajde da formulišemo sledeći problem:

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz datu tačku M(x 0, y 0, z 0) okomito na dati vektor n = ( A, B, C} .

Rješenje. Neka bude P(x, y, z) je proizvoljna tačka u prostoru. Dot P pripada ravni ako i samo ako je vektor MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonalno na vektor n = {A, B, C) (Sl. 1).

Nakon što smo napisali uslov ortogonalnosti za ove vektore (n, MP) = 0 u koordinatnom obliku, dobijamo:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Jednačina ravni za tri tačke

U vektorskom obliku

U koordinatama

Međusobni raspored aviona u prostoru

su opšte jednačine dve ravni. onda:

1) ako , tada se ravni poklapaju;

2) ako , tada su ravni paralelne;

3) ako ili , tada se ravnine seku i sistem jednačina

(6)

su jednadžbe linije presjeka datih ravnina.

Rješenje: Sastavljamo kanonske jednadžbe prave linije po formuli: Odgovori:

Uzimamo rezultirajuće jednadžbe i mentalno "zakačimo", na primjer, lijevi komad: . Sada izjednačavamo ovaj komad na bilo koji broj(zapamti da je već postojala nula), na primjer, na jedan: . Budući da , tada druga dva "komada" također moraju biti jednaka jednom. U suštini, morate riješiti sistem:

Napišite parametarske jednačine za sljedeće linije:

Rješenje: Prave su date kanonskim jednadžbama i u prvoj fazi treba pronaći neku tačku koja pripada pravoj i njen vektor smjera.

a) Iz jednačina ukloniti tačku i vektor smjera: . Možete odabrati drugu tačku (kako to učiniti opisano je gore), ali je bolje uzeti najočitiju. Usput, da biste izbjegli greške, uvijek zamijenite njegove koordinate u jednačine.

Sastavimo parametarske jednačine ove prave linije:

Pogodnost parametarskih jednadžbi je u tome što je uz njihovu pomoć vrlo lako pronaći druge tačke prave. Na primjer, pronađimo tačku čije koordinate, recimo, odgovaraju vrijednosti parametra:

Dakle: b) Razmotrite kanonske jednačine . Izbor tačke ovde je jednostavan, ali podmukao: (pazite da ne pomešate koordinate!!!). Kako izvući vodeći vektor? Možete nagađati s čim je ova linija paralelna, ili možete koristiti jednostavan formalni trik: proporcija je “Y” i “Z”, tako da pišemo vektor smjera , i stavljamo nulu u preostali prostor: .

Sastavljamo parametarske jednadžbe prave linije:

c) Hajde da prepišemo jednačine u obliku , odnosno "Z" može biti bilo šta. A ako ih ima, neka, na primjer, . Dakle, tačka pripada ovoj pravoj. Za pronalaženje vektora smjera koristimo sljedeću formalnu tehniku: u početnim jednačinama postoje "x" i "y", au vektor smjera na tim mjestima upisujemo nule: . Na preostalo mjesto stavljamo jedinica: . Umjesto jedan, bilo koji broj, osim nule, odgovara.

Zapisujemo parametarske jednačine prave: