Elementarne matrične transformacije uključuju:

1. Promjena redoslijeda redova (kolona).

2. Ispuštanje nula redova (kolona).

3. Množenje elemenata bilo kojeg reda (kolone) jednim brojem.

4. Dodavanje elementima bilo kojeg reda (kolone) elemenata drugog reda (kolone), pomnoženih jednim brojem.

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi slu (Osnovni pojmovi i definicije).

1. Sistem m linearne jednačine With n nepoznato se zove sistem jednadžbi oblika:

2.Odluka sistem jednačina (1) naziva se skup brojeva x 1 , x 2 , … , x n , pretvaranje svake jednadžbe sistema u identitet.

3. Sistem jednačina (1) se zove joint ako ima barem jedno rješenje; ako sistem nema rješenja, zove se nekompatibilno.

4. Sistem jednačina (1) se zove siguran ako ima samo jedno rješenje, i neizvjesno ako ima više od jednog rješenja.

5. Kao rezultat elementarnih transformacija, sistem (1) se transformiše u njemu ekvivalentan sistem (tj. koji ima isti skup rješenja).

Za elementarne transformacije sistemi linearnih jednadžbi uključuju:

1. Ispuštanje nultih nizova.

2. Promjena redoslijeda linija.

3. Sabiranje elemenata bilo kojeg reda elemenata drugog reda, pomnoženo jednim brojem.

Metode rješavanja sistema linearnih jednačina.

1) Metoda inverzne matrice (matrična metoda) za rješavanje sistema od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

sistem n linearne jednačine sa n nepoznato se zove sistem jednadžbi oblika:

Zapišimo sistem (2) u matričnom obliku, za to uvodimo notaciju.

Matrica koeficijenata prije varijabli:

X = ‒ matrica varijabli.

B = je matrica slobodnih termina.

Tada će sistem (2) poprimiti oblik:

A× X = B‒ matrična jednačina.

Rješavajući jednačinu dobijamo:

X = A -1 × B

primjer:

; ;

1) │A│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 matrica A -1 postoji.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

odgovor:

2) Cramerovo pravilo za rješavanje sistema od n - linearnih jednačina sa n - nepoznatih.

Razmotrimo sistem 2 - x linearnih jednačina sa 2 - nepoznatim:

Rešimo ovaj sistem metodom zamene:

Iz prve jednadžbe slijedi:

Zamjenom u drugu jednačinu dobijamo:

Zamijenimo vrijednost u formuli za, dobićemo:

Determinanta Δ - determinanta matrice sistema;

Δ x 1 - varijabilna determinanta x 1 ;

Δ x 2 - varijabilna determinanta x 2 ;

Formule:

x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ  0;

su pozvani Cramerove formule.

Prilikom pronalaženja determinanti nepoznatih X 1 , X 2 ,…, X n stupac koeficijenata varijable čija je determinanta pronađena zamijenjen je stupcem slobodnih pojmova.

primjer: Rešiti sistem jednačina Cramerovom metodom

Rješenje:

Prvo sastavljamo i izračunavamo glavnu determinantu ovog sistema:

Pošto je Δ ≠ 0, sistem ima jedinstveno rješenje koje se može naći korištenjem Cramerovog pravila:

gdje se Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 dobijaju iz determinante Δ zamjenom 1., 2. ili 3. stupca, redom, kolonom slobodnih članova.

Na ovaj način:

Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Razmotrite sistem:

Proširena matrica sistema (1) je matrica oblika:

Gaussova metoda je metoda uzastopnog eliminisanja nepoznatih iz jednačina sistema, počevši od druge jednačine duž m- ta jednačina.

U ovom slučaju, elementarnim transformacijama, matrica sistema se svodi na trouglastu (ako m = n i sistemska determinanta ≠ 0) ili postupno (ako m< n ) obrazac.

Zatim, počevši od posljednje jednačine po broju, pronalaze se sve nepoznanice.

Algoritam Gaussove metode:

1) Sastavite proširenu matricu sistema, uključujući kolonu slobodnih članova.

2) Ako a 11  0, tada prvi red podijelimo sa a 11 i pomnožite sa (- a 21) i dodajte drugi red. Slično, doseg m- iz tog reda:

I stranicu podijeli po a 11 i pomnožite sa (- a m 1) i dodaj m- tu stranicu

U ovom slučaju, iz jednačina, počevši od drugog do m- to jest, varijabla će biti isključena x 1 .

3) U 3. koraku, drugi red se koristi za slične elementarne transformacije nizova od 3. do m- thuyu. Ovo će ukloniti varijablu x 2, počevši od 3. reda prema dolje m- tuja itd.

Kao rezultat ovih transformacija, sistem će se svesti na trokutasti ili stepenasti oblik (u slučaju trokutaste forme, ispod glavne dijagonale su nule).

Dovođenje sistema u trouglasti ili stepenasti oblik naziva se direktna Gaussova metoda, a pronalaženje nepoznatih iz rezultirajućeg sistema se zove unazad.

primjer:

Direktan potez. Hajde da predstavimo proširenu matricu sistema

uz pomoć elementarnih transformacija u stepenasti oblik. Zamijenite prvi i drugi red matrice A b, dobijamo matricu:

Dodajmo drugi red rezultirajuće matrice sa prvim pomnoženim sa (‒2) i trećim redom sa prvim redom pomnoženim sa (‒7). Uzmi matricu

Trećem redu rezultirajuće matrice dodajemo drugi red pomnožen sa (‒3), kao rezultat toga dobijamo matricu koraka

Stoga smo ovaj sistem jednadžbi sveli na postepeni oblik:

,

Obrnuti potez. Polazeći od posljednje jednadžbe dobijenog postupnog sistema jednadžbi, sukcesivno nalazimo vrijednosti nepoznanica:

§7. Sistemi linearnih jednačina

Sistemi ravnoteže. Elementarne transformacije sistemi linearnih jednačina.

Neka OD- polje kompleksni brojevi. Tipska jednadžba

gdje
, naziva se linearna jednadžba sa n nepoznato
. naručeni set
,
naziva se rješenjem jednadžbe (1) ako .

sistem m linearne jednačine sa n nepoznato je sistem jednadžbi oblika:

- koeficijenti sistema linearnih jednačina, - besplatni članovi.

pravougaoni sto

,

zove se matrica veličine
. Hajde da uvedemo notaciju: - i-ti red matrice,
- k-ti stupac matrice. Matrix ALI takođe označavaju
ili
.

Sljedeće transformacije reda matrice ALI nazivaju se elementarnim.
) null string izuzetak; ) množenje svih elemenata bilo kojeg niza brojem
; ) dodatak bilo kojem nizu bilo kojeg drugog niza, pomnoženo sa
. Slične transformacije matričnih stupaca ALI nazivaju se elementarne matrične transformacije ALI.

Prvi element koji nije nula (brojeći slijeva na desno) bilo kojeg reda matrice ALI naziva se vodeći element ovog niza.

Definicija. Matrix
naziva se postupno ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1) nulti redovi matrice (ako ih ima) su ispod nenultih;

2) ako
vodeći elementi redova matrice, zatim

Bilo koja matrica A koja nije nula može se reducirati na matricu koraka elementarnim transformacijama reda.

Primjer. Predstavljamo matricu
na matricu koraka:
~
~
.

Matrica sastavljena od koeficijenata sistema linearne jednačine (2) naziva se glavna matrica sistema. Matrix
, dobijen dodavanjem kolone slobodnih termina, naziva se proširena matrica sistema.

Uređeni skup , naziva se rješenjem sistema linearnih jednačina (2) ako je rješenje svake linearne jednačine ovog sistema.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema rješenja.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima više od jednog rješenja.

Sledeće transformacije sistema linearnih jednačina nazivaju se elementarnim:

) isključivanje iz sistema jednačina oblika ;

) množenje obje strane bilo koje jednadžbe sa
,
;

) dodatak bilo kojoj jednadžbi bilo koje druge jednačine, pomnožen sa ,.

Dva sistema linearnih jednadžbi iz n za nepoznanice se kaže da su ekvivalentne ako nisu kompatibilne ili su skupovi njihovih rješenja isti.

Teorema. Ako se jedan sistem linearnih jednadžbi dobije iz drugog pomoću elementarnih transformacija tipa ), ), ), onda je on ekvivalentan izvornom.

Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom eliminacije nepoznatih (Gaussovom metodom).

Pustite sistem m linearne jednačine sa n nepoznato:

Ako sistem (1) sadrži jednačinu oblika

onda je ovaj sistem nekonzistentan.

Pretpostavimo da sistem (1) ne sadrži jednačinu oblika (2). Neka u sistemu (1) bude koeficijent varijable x 1 u prvoj jednačini
(ako to nije slučaj, onda ćemo preuređivanjem jednadžbi po mjestima postići to , budući da nisu svi koeficijenti na x 1 su jednake nuli). Primijenimo sljedeći lanac elementarnih transformacija na sistem linearnih jednačina (1):

, dodati drugoj jednačini;

Prva jednačina pomnožena sa
, dodati trećoj jednadžbi i tako dalje;

Prva jednačina pomnožena sa
, dodati posljednjoj jednačini sistema.

Kao rezultat, dobijamo sistem linearnih jednačina (u nastavku ćemo koristiti skraćenicu CLE za sistem linearnih jednačina) ekvivalentan sistemu (1). Može se ispostaviti da u rezultirajućem sistemu nema niti jedne jednačine sa brojem i, i 2, ne sadrži nepoznato x 2. Neka k je najmanje prirodni broj, što je nepoznato x k sadržano je u najmanje jednoj jednadžbi s brojem i, i 2. Tada rezultujući sistem jednačina ima oblik:

Sistem (3) je ekvivalentan sistemu (1). Primijenite sada na podsistem
sistemi linearnih jednačina (3) rezonovanje koje je primijenjeno na SLE (1) . I tako dalje. Kao rezultat ovog procesa dolazimo do jednog od dva ishoda.

1. Dobijamo SLE koji sadrži jednačinu oblika (2). U ovom slučaju, SLE (1) je nedosljedan.

2. Elementarne transformacije primijenjene na SLE (1) ne dovode do sistema koji sadrži jednačinu oblika (2). U ovom slučaju, SLE (1) elementarnim transformacijama
svodi se na sistem jednačina oblika:

(4)

gdje, 1< k < l < . . .< s,

Sistem linearnih jednačina oblika (4) naziva se stepenasti. Ovdje su moguća sljedeća dva slučaja.

ALI) r= n, tada sistem (4) ima oblik

(5)

Sistem (5) ima jedinstveno rješenje. Posljedično, sistem (1) također ima jedinstveno rješenje.

B) r< n. U ovom slučaju, nepoznato
u sistemu (4) nazivaju se glavne nepoznate, a preostale nepoznate u ovom sistemu nazivaju se slobodnim (njihov broj je jednak n- r). Dodijelimo proizvoljne numeričke vrijednosti slobodnim nepoznanicama, tada će SLE (4) imati isti oblik kao sistem (5). Iz njega se jedinstveno određuju glavne nepoznanice. Dakle, sistem ima rješenje, odnosno zajednički je. Pošto su slobodnim nepoznanicama date proizvoljne numeričke vrijednosti iz OD, tada je sistem (4) neodređen. Prema tome, sistem (1) je takođe neodređen. Izražavajući u SLE (4) glavne nepoznanice u terminima slobodnih nepoznanica, dobijamo sistem koji se naziva opšte rešenje sistema (1).

Primjer. Rešite sistem linearnih jednačina koristeći metodu G aussa

Zapisujemo proširenu matricu sistema linearnih jednadžbi i pomoću elementarnih transformacija redova svodimo je na matricu koraka:

~

~
~
~

~ . Koristeći rezultujuću matricu, vraćamo sistem linearnih jednadžbi:
Ovaj sistem je ekvivalentan originalnom sistemu. Kao glavne nepoznanice onda uzimamo
slobodne nepoznanice. Izrazimo glavne nepoznanice samo u terminima slobodnih nepoznanica:

Dobili smo opšte rešenje SLE. Neka onda

(5, 0, -5, 0, 1) je posebno rješenje SLE.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite opšte rješenje i jedno posebno rješenje sistema jednačina eliminacijom nepoznanica:

1)
2)

4)
6)

2. Pronađite različite vrijednosti parametara a opšte rešenje sistema jednačina:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§osam. Vektorski prostori

Koncept vektorskog prostora. Najjednostavnija svojstva.

Neka V ≠ Ø, ( F, +,∙) – polje. Elementi polja će se zvati skalarima.

Display φ : F× V –> V naziva se operacija množenja elemenata skupa V skalarima sa terena F. Označite φ (λ,a) kroz λa element proizvoda a na skalar λ .

Definicija. Mnogo V sa datom algebarskom operacijom sabiranja elemenata skupa V i množenje elemenata skupa V skalarima sa terena F naziva se vektorski prostor nad poljem F ako vrijede sljedeći aksiomi:

Primjer. Neka F polje, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Svaki element seta F n pozvao n-dimenzionalni aritmetički vektor. Uvodimo operaciju sabiranja n-dimenzionalni vektori i množenje n-dimenzionalni vektor u skalar iz polja F. Neka
. Stavimo = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Mnogo F n u odnosu na uvedene operacije je vektorski prostor i zove se n-dimenzionalni aritmetički vektorski prostor nad poljem F.

Neka V- vektorski prostor iznad polja F, ,
. Ostvaruju se sljedeća svojstva:

1)
;

3)
;

4)
;

Dokaz o imovini 3.

Od jednakosti prema zakonu redukcije u grupi ( V,+) imamo
.

Linearna zavisnost, nezavisnost sistema vektora.

Neka V je vektorski prostor iznad polja F,

. Vektor se zove linearna kombinacija vektorski sistemi
. Zove se skup svih linearnih kombinacija sistema vektora linearna školjka ovog sistema vektora i označava se sa .

Definicija. Za sistem vektora se kaže da je linearno zavisan ako takvi skalari postoje
nisu svi jednaki nuli, što

Ako jednakost (1) vrijedi ako i samo ako λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, tada se sistem vektora naziva linearno nezavisnim.

Primjer. Saznajte da li je sistem vektora = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) prostori R 3 linearno zavisni ili nezavisni.

Rješenje. Neka je λ 1 , λ 2 , λ 3
i

 |=> (0,0,0) – rješenje sistema. Dakle, sistem vektora je linearno nezavisan.

Svojstva linearna zavisnost i nezavisnost sistema vektora.

1. Sistem vektora koji sadrži najmanje jedan nulti vektor je linearno zavisan.

2. Sistem vektora koji sadrži linearno zavisan podsistem je linearno zavisan.

3. Sistem vektora , gdje
je linearno zavisna ako i samo ako je barem jedan vektor ovog sistema različit od vektora linearna kombinacija vektora koji mu prethode.

4. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, i sistem vektora
linearno zavisna, zatim vektor može se predstaviti kao linearna kombinacija vektora i, štaviše, na jedinstven način.

Dokaz. Pošto je sistem vektora linearno zavisan, onda
nisu svi jednaki nuli, što

U vektorskoj jednakosti (2) λ m+1 ≠ 0. Pod pretpostavkom da λ m+1 =0, onda iz (2) => slijedi da je sistem vektora linearno zavisan, jer λ 1 , λ 2 , … , λ m nisu svi nula. Došli smo do kontradikcije sa uslovom. Od (1) => gdje
.

Neka se vektor također može predstaviti kao: Tada iz vektorske jednakosti
zahvaljujući linearnu nezavisnost sistem vektora slijedi da
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Neka dva sistema vektora i
, m>k. Ako se svaki vektor sistema vektora može predstaviti kao linearna kombinacija sistema vektora , tada je sistem vektora linearno zavisan.

Osnova, rang sistema vektora.

Konačan sistem vektora prostora V preko terena F označiti sa S.

Definicija. Bilo koji linearno nezavisni podsistem sistema vektora S se naziva osnovom sistema vektora S, ako je bilo koji vektor sistema S može se predstaviti kao linearna kombinacija sistema vektora.

Primjer. Naći osnovu sistema vektora = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . Sistem vektora je linearno nezavisan, jer se prema svojstvu 5 sistem vektora dobija iz sistema vektora. dodatak osnove elektromehanotronika: obrazovnidodatak osnove elektrotehnika";...

Obrazovna literatura 2000-2008 (1)

Književnost

Matematika Matematika Lobkova N.I. Osnove linearno algebra i analitička geometrija: obrazovnidodatak/ N.I. Lobkova, M.V. Lagunova ... dizajn za osnove elektromehanotronika: obrazovnidodatak/ PGUPS. Dept. „Teorijski osnove elektrotehnika";...

Definicija 5. Elementarne transformacije sistem linearnih jednadžbi nazivaju se njegove sljedeće transformacije:

1) permutacija bilo koje dve jednačine po mestima;

2) množenje oba dela jedne jednačine bilo kojim brojem;

3) dodavanjem oba dijela jedne jednačine odgovarajuće dijelove druge jednačine, pomnožene bilo kojim brojem k;

(dok sve ostale jednadžbe ostaju nepromijenjene).

Zero Equation nazivamo sljedeću jednačinu:

Teorema 1. Bilo koji konačni niz elementarnih transformacija i transformacija brisanja nulte jednačine transformiše jedan sistem linearnih jednačina u drugi njemu ekvivalentan sistem linearnih jednačina.

Dokaz. Po svojstvu 4 prethodnog pododjeljka, dovoljno je dokazati teoremu za svaku transformaciju posebno.

1. Kada se jednačine u sistemu preurede, same jednačine se ne mijenjaju, stoga je po definiciji rezultirajući sistem ekvivalentan izvornom.

2. Na osnovu prvog dijela dokaza, dovoljno je dokazati tvrdnju za prvu jednačinu. Prvu jednačinu sistema (1) pomnožimo sa brojem i dobijemo sistem

(2)

Neka  sistemi (1) . Tada brojevi zadovoljavaju sve jednačine sistema (1). Pošto se sve jednačine sistema (2) osim prve poklapaju sa jednačinama sistema (1), brojevi zadovoljavaju sve ove jednačine. Pošto brojevi zadovoljavaju prvu jednačinu sistema (1), tada se ostvaruje ispravna numerička jednakost:

Množenjem brojem K, dobijamo tačnu brojčanu jednakost:

To. mi to utvrđujemo  sistemi (2).

Obrnuto, ako rješenje sistema (2), onda brojevi zadovoljavaju sve jednačine sistema (2). Pošto se sve jednačine sistema (1) osim prve poklapaju sa jednačinama sistema (2), brojevi zadovoljavaju sve ove jednačine. Budući da brojevi zadovoljavaju prvu jednačinu sistema (2), vrijedi numerička jednakost (4). Podijelivši oba njegova dijela brojem , dobijamo brojčanu jednakost (3) i to dokazujemo  rješenje sistema (1).

Dakle, prema definiciji 4, sistem (1) je ekvivalentan sistemu (2).

3. Na osnovu prvog dijela dokaza, dovoljno je dokazati tvrdnju za prvu i drugu jednačinu sistema. Dodajmo oba dijela prve jednačine sistema odgovarajuće dijelove druge pomnožene brojem K, dobijamo sistem

(5)

Neka rješenje sistema (1) . Tada brojevi zadovoljavaju sve jednačine sistema (1). Pošto se sve jednačine sistema (5) osim prve poklapaju sa jednačinama sistema (1), brojevi zadovoljavaju sve ove jednačine. Pošto brojevi zadovoljavaju prvu jednačinu sistema (1), tada se javljaju tačne numeričke jednakosti:

Dodavanjem pojam po član prvoj jednakosti drugu, pomnoženu brojem K dobijamo tačnu brojčanu jednakost.

Dva sistema linearnih jednadžbi iz jednog skupa x 1 ,..., x n nepoznanica i, respektivno, iz m i p jednačina

Zovu se ekvivalentni ako se njihova rješenja skupovi i poklapaju (tj. podskupovi i u K n se poklapaju, ). To znači da su ili oba prazna podskupa (tj. oba sistema (I) i (II) su nekonzistentna) ili su istovremeno neprazni, i (tj. svako rješenje sistema I je rješenje sistema II i svaki sistem rješenja II je rješenje za sistem I).

Primjer 3.2.1.

Gaussova metoda

Plan algoritma koji je predložio Gauss bio je prilično jednostavan:

1. primjenjuju sekvencijalne transformacije na sistem linearnih jednadžbi koje ne mijenjaju skup rješenja (na taj način čuvamo skup rješenja originalnog sistema) i idemo na ekvivalentni sistem koji ima "jednostavnu formu" (tzv. korak obrazac);
2. za " jednostavan oblik"sistema (sa matricom koraka) opisuju skup rješenja koji se poklapa sa skupom rješenja originalnog sistema.

Imajte na umu da je usko povezana metoda "fan-chen" već bila poznata u drevnoj kineskoj matematici.

Elementarne transformacije sistema linearnih jednadžbi (redovi matrica)

Definicija 3.4.1 (elementarna konverzija tipa 1). Kada se i -ta jednačina sistema doda k -toj jednačini pomnoženoj sa brojem (oznaka: (i) "= (i) + c (k) ; tj. samo jedna i -ta jednačina (i) se zamjenjuje novom jednačinom (i)"=(i)+c(k) ). Nova i -ta jednačina ima oblik (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a u +ca kn)x n =b i +cb k, ili, ukratko,

To jest, u novoj i-toj jednačini a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

Definicija 3.4.2 (elementarna konverzija tipa 2). Za i -tu i k -tu jednadžbinu zamjenjuju se, preostale jednačine se ne mijenjaju (oznaka: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; za koeficijente to znači sljedeće: za j=1 ,.. .,n

Napomena 3.4.3. Radi praktičnosti, u određenim proračunima možete primijeniti elementarnu transformaciju trećeg tipa: i-ta jednačina se množi brojem koji nije nula , (i)"=c(i) .

Prijedlog 3.4.4. Ako smo sa sistema I prešli na sistem II uz pomoć konačnog broja elementarnih transformacija 1. i 2. tipa, onda se iz sistema II možemo vratiti u sistem I i elementarnim transformacijama 1. i 2. tipa.

Dokaz.

Napomena 3.4.5. Tvrdnja je tačna i sa uključivanjem elementarne transformacije 3. tipa u broj elementarnih transformacija. Ako a i (i)"=c(i) , tada i (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.Nakon uzastopne primjene konačnog broja elementarnih transformacija 1. ili 2. tipa na sistem linearnih jednačina, dobija se sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan izvornom.

Dokaz. Napominjemo da je dovoljno razmotriti slučaj prelaska iz sistema I u sistem II uz pomoć jedne elementarne transformacije i dokazati inkluziju za skupove rješenja (pošto je na osnovu dokazane tvrdnje moguć povratak iz sistema II na sistem I i stoga ćemo imati inkluziju , tj. dokazaće se jednakost).

U nastavku razmatramo sisteme linearnih jednačina nad poljem varijabli PROŠIRENO. Za dva sistema linearnih jednačina se kaže da su ekvivalentna ako je svako rješenje bilo kojeg od ovih sistema rješenje drugog sistema.

Sljedeće rečenice izražavaju svojstva ekvivalencije, koja proizilaze iz definicije ekvivalencije i svojstava sukcesije sistema gore navedenih.

PREDLOG 2.2. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako je svaki od ovih sistema posledica drugog sistema.

PREDLOG 2.3. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako se skup svih rješenja jednog sistema poklapa sa skupom svih rješenja drugog sistema.

PREDLOG 2.4. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako su predikati definisani ovim sistemima ekvivalentni.

DEFINICIJA. Sljedeće transformacije nazivaju se elementarnim transformacijama sistema linearnih jednačina:

(a) množenje obje strane neke jednačine sistema skalarom koji nije nula;

(P) sabiranje (oduzimanje) oba dijela bilo koje jednačine sistema odgovarajućih dijelova druge jednačine sistema, pomnoženo skalarom;

Isključivanje iz sistema ili dodavanje u sistem linearne jednačine sa nultim koeficijentima i nultim slobodnim članom.

TEOREMA 2.5. Ako se jedan sistem linearnih jednačina dobije iz drugog sistema linearnih jednačina kao rezultat lanca elementarnih transformacija, onda su ova dva sistema ekvivalentna.

Dokaz. Pustite sistem

Ako jednu od njegovih jednadžbi, na primjer, prvu, pomnožimo sa skalarom X koji nije nula, onda ćemo dobiti sistem

Svako rješenje sistema (1) je i rješenje sistema (2).

Obrnuto, ako je bilo koje rješenje sistema (2),

zatim, množenjem prve jednakosti sa i bez mijenjanja sljedećih jednakosti, dobijamo jednakosti koje pokazuju da je vektor rješenje za sistem (1). Dakle, sistem (2) je ekvivalentan originalnom sistemu (1). Također je lako provjeriti da jedna primjena elementarne transformacije (P) ili na sistem (1) dovodi do sistema ekvivalentnog originalnom sistemu (1). Pošto je relacija ekvivalencije tranzitivna, ponovljena primena elementarnih transformacija dovodi do sistema jednačina ekvivalentnog originalnom sistemu (1).

KOROLAR 2.6. Ako jednoj od jednačina sistema linearnih jednačina dodamo linearnu kombinaciju drugih jednačina sistema, onda ćemo dobiti sistem jednačina koji je ekvivalentan izvornom.

KOROLAR 2.7. Ako iz sistema linearnih jednačina izuzmemo ili mu dodamo jednačinu koja je linearna kombinacija drugih jednačina sistema, onda ćemo dobiti sistem jednačina koji je ekvivalentan izvornom sistemu.