Pravougli trokut je jednostavna, ali izuzetno važna figura za matematiku. Poznavanje njegovih svojstava i sposobnost rada s osnovnim parametrima pravokutnog trokuta omogućit će vam da se nosite i sa školskim i sa stvarnim zadacima.
Geometrija pravouglog trougla
Geometrijski, trougao su tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, a povezane su segmentima. Pravougli trokut je figura čije dvije stranice čine pravi ugao. Ove stranice se nazivaju kracima trougla, a treća, najduža strana se naziva hipotenuza. Omjer kvadrata kateta i hipotenuze uspostavlja Pitagorinu teoremu - jednu od temeljnih teorema Euklidove geometrije.
Omjer hipotenuze i kateta je također postavio temelj za cijeli dio matematike - trigonometriju. U početku su sinusi i kosinusi definirani kao funkcije uglova pravokutnog trokuta, ali u modernom smislu trigonometrijske funkcije proširen na cijelu numeričku osu. Danas se trigonometrija koristi u mnogim područjima ljudske aktivnosti: od astronomije i okeanografije do analize finansijska tržišta i razvoj kompjuterskih igrica.
Pravougli trougao u stvarnosti
Sam pravougaoni trougao nalazi se u stvarnosti na svakom uglu, i bukvalno i figurativno. Lica tetraedara i prizmi imaju oblik pravokutnog trougla, koji se u stvarnosti pretvaraju u mašinske dijelove, keramičke pločice ili krovne kosine. Kvadrat je alat za crtanje s kojim se osoba prvi put susreće na satu geometrije, ima oblik pravokutnog trokuta i koristi se u dizajnu, građevinarstvu i stolariji.
Perimetar trougla
Perimetar je numerička procjena dužina svih strana ravnine geometrijska figura. Opseg n-ugla nalazi se kao zbir dužina n strana. Za određivanje opsega pravokutnog trokuta koristi se jednostavna formula:
a i b su katete, c je hipotenuza.
Ručnim izračunavanjem perimetra trougla, morali biste izmjeriti sve tri strane, izvršiti dodatne trigonometrijske operacije ili izvršiti proračune koristeći Pitagorinu teoremu. Koristeći online kalkulator, samo trebate saznati sljedeće parove varijabli:
- dvije noge;
- noga i ugao;
- hipotenuzu i ugao.
U školskim zadacima ili u praksi dobićete početne podatke, pa vam kalkulator omogućava da pronađete perimetar, znajući različite parove parametara. Osim toga, alat automatski izračunava sve ostale atribute pravokutnog trokuta, odnosno dužine svih stranica i vrijednosti svih uglova. Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjeri iz stvarnog života
školski zadatak
Neka vam je u školskom zadatku dat pravougli trougao sa dužinom kraka od 5 cm i uključenim uglom od 60 stepeni. Potrebno je pronaći perimetar geometrijske figure. Online kalkulator prati crtež koji prikazuje stranice i uglove pravokutnog trokuta. Vidimo da ako je noga \u003d 5 cm, tada je njen uključeni ugao ugao beta. Ovo je važna stvar, jer ako koristite alfa kut za proračune, rezultat će biti netačan. Ove podatke unosimo u obrazac i dobijamo odgovor u obrascu:
Pored samog perimetra, naš program je odredio i vrijednost suprotnog ugla, kao i dužinu drugog kraka i hipotenuze.
Uređenje cvjetnjaka
Recimo da želite da napravite ogradu za cvjetnjak koja je u obliku pravokutnog trokuta. Da biste to učinili, morate znati obim figure. Naravno, u stvarnosti možete jednostavno izmjeriti sve tri strane, ali je lako pojednostaviti svoj zadatak i izmjeriti samo dvije noge. Neka imaju dužinu od 8 i 15 metara. Ove podatke ubacujemo u formu kalkulatora i dobijamo odgovor:
Dakle, morat ćete kupiti materijale za uređenje ograde od 40 metara. Naš kalkulator je izračunao i dužinu hipotenuze - 17 metara. Brojevi 8, 15 i 17 čine Pitagorinu trojku - cijeli brojevi, koji zadovoljavaju uslove Pitagorine teoreme.
Zaključak
Pravokutni trokuti se naširoko koriste u svakodnevnom životu, pa će vam određivanje površine ili perimetra geometrijske figure sigurno dobro doći pri rješavanju školskih ili svakodnevnih problema.
Jedan od osnovnih geometrijskih oblika je trokut. Nastaje kada se sijeku tri segmenta. Ovi segmenti čine stranice figure, a tačke njihovog preseka nazivaju se vrhovi. Svaki student koji studira geometriju mora biti u stanju da pronađe obim ove figure. Stečena vještina bit će korisna mnogima u odrasloj dobi, na primjer, bit će korisna studentu, inženjeru, graditelju,
Postoje različiti načini za pronalaženje perimetra trougla. Izbor formule koja vam je potrebna ovisi o dostupnim izvornim podacima. Za pisanje ove vrijednosti u matematičkoj terminologiji koristi se posebna oznaka - P. Razmotrimo šta je perimetar, glavne metode za njegovo izračunavanje za trokutaste figure različitih tipova.
po najviše na jednostavan način nađi obim figure ako su date sve strane. U ovom slučaju koristi se sljedeća formula:
Slovo "P" označava vrijednost samog perimetra. Zauzvrat, "a", "b" i "c" su dužine stranica.
Poznavajući veličinu triju veličina, biće dovoljno da se dobije njihov zbir, a to je obim.
Alternativna opcija
U matematičkim problemima, sve date dužine su rijetko poznate. U takvim slučajevima preporučuje se upotreba alternativni način traži željena veličina. Kada uslovi određuju dužinu dve prave, kao i ugao između njih, proračun se vrši kroz traženje treće. Da biste pronašli ovaj broj, morate dobiti kvadratni korijen pomoću formule:
.
Perimetar sa obe strane
Za izračunavanje perimetra nije potrebno znati sve podatke geometrijske figure. Razmotrite metode obračuna sa dvije strane.
Jednakokraki trougao
Trokut se naziva jednakokračnim ako su mu najmanje dvije stranice iste dužine. Zovu se bočne, a treća strana se zove baza. Jednake linije formiraju ugao vrha. Karakteristika jednakokračnog trougla je prisustvo jedne ose simetrije. Os je okomita linija koja počinje od gornjeg ugla i završava na sredini baze. U svojoj srži, os simetrije uključuje sljedeće koncepte:
- simetrala ugla vrha;
- medijana prema bazi;
- visina trougla;
- srednja okomita.
Da biste odredili obim jednakokračne trokutaste figure, koristite formulu.
U ovom slučaju trebate znati samo dvije veličine: bazu i dužinu jedne strane. Oznaka "2a" podrazumijeva množenje dužine stranice sa 2. Rezultirajućoj figuri morate dodati vrijednost baze - "b".
U izuzetnom slučaju kada je dužina baze jednakokraki trougao jednaka njegovoj bočnoj liniji, možete koristiti jednostavniju metodu. Izražava se u sljedećoj formuli:
Da biste dobili rezultat, dovoljno je ovaj broj pomnožiti sa tri. Ova formula se koristi za pronalaženje perimetra pravilnog trougla.
Korisni video: problemi na perimetru trokuta
Trougao pravougaonog oblika
Glavna razlika između pravokutnog trokuta i drugih geometrijskih oblika ove kategorije je prisustvo kuta od 90 °. Na osnovu toga se određuje vrsta figure. Prije nego što odredite kako pronaći perimetar pravokutnog trokuta, vrijedi napomenuti da je ova vrijednost za bilo koju ravnu geometrijsku figuru zbir svih strana. Dakle, u ovom slučaju, najlakši način da saznate rezultat je da zbrojite tri vrijednosti.
U naučnoj terminologiji, one stranice koje su susjedne pravom kutu nazivaju se "noge", a suprotna kutu od 90º je hipotenuza. Karakteristike ove figure proučavao je starogrčki naučnik Pitagora. Prema Pitagorinoj teoremi, kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.
.
Na osnovu ove teoreme, izvedena je još jedna formula koja objašnjava kako pronaći obim trokuta date dvije poznate stranice. Možete izračunati perimetar sa navedenom dužinom nogu koristeći sljedeću metodu.
.
Da biste saznali perimetar, imajući informacije o veličini jedne noge i hipotenuzi, morate odrediti dužinu druge hipotenuze. U tu svrhu koriste se sljedeće formule:
.
Također, perimetar opisanog tipa figure je određen bez podataka o dimenzijama nogu.
Morate znati dužinu hipotenuze, kao i ugao koji se nalazi uz nju. Znajući dužinu jedne od nogu, ako postoji ugao pored nje, perimetar figure se izračunava po formuli:
.
Obračun kroz visinu
Možete izračunati opseg kategorija kao što su jednakokraki i pravokutni trouglovi preko njihovog indikatora srednja linija. Kao što znate, visina trougla deli njegovu osnovu. Tako formira dvije pravokutne figure. Nadalje, željeni indikator se izračunava pomoću Pitagorine teoreme. Formula će izgledati ovako:
.
Ako znate visinu i polovinu baze, koristeći ovu metodu, dobit ćete željeni broj bez traženja ostatka podataka figure.
Korisni video: pronalaženje perimetra trougla
Opseg trougla, kao iu drugim stvarima i bilo kojoj figuri, naziva se zbir dužina svih strana. Često ova vrijednost pomaže u pronalaženju područja ili se koristi za izračunavanje drugih parametara figure.
Formula za obim trokuta izgleda ovako:
Primjer izračunavanja perimetra trokuta. Neka je zadan trokut sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Zamijenite podatke u formulu: cm
Formula za izračunavanje perimetra jednakokraki trougao izgledat će ovako:
Formula za izračunavanje perimetra jednakostranični trougao:
Primjer izračunavanja perimetra jednakostraničnog trokuta. Kada su sve strane figure jednake, onda se jednostavno mogu pomnožiti sa tri. Recimo da je u ovom slučaju dat pravilan trougao sa stranicom od 5 cm: cm
Općenito, kada su date sve strane, pronalaženje perimetra je prilično lako. U drugim situacijama potrebno je pronaći veličinu strane koja nedostaje. IN pravougaonog trougla možete pronaći treću stranu Pitagorina teorema. Na primjer, ako su poznate dužine kateta, hipotenuzu možete pronaći pomoću formule: 
Razmotrimo primjer izračunavanja perimetra jednakokračnog trougla, pod uvjetom da znamo dužinu kateta u pravokutnom jednakokračnom trokutu.
Dat je trokut s katetama a = b = 5 cm. Pronađite opseg. Prvo, pronađimo stranu koja nedostaje sa . cm
Sada izračunajmo obim: cm
Opseg pravokutnog jednakokračnog trougla bit će 17 cm.
U slučaju kada su hipotenuza i dužina jednog kraka poznate, onaj koji nedostaje može se pronaći pomoću formule: 
Ako u pravougaonog trougla hipotenuza i jedan od oštrih uglova su poznati, onda se strana koja nedostaje nalazi po formuli.
Perimetar je veličina koja podrazumijeva dužinu svih strana ravne (dvodimenzionalne) geometrijske figure. Za različite geometrijske oblike, postoje različiti načini za pronalaženje perimetra.
U ovom članku ćete naučiti kako pronaći obod oblika na različite načine, ovisno o njegovim poznatim licima.
- poznate su sve tri strane jednakokračnog ili bilo kojeg drugog trougla;
- kako pronaći obim pravokutnog trougla sa dva poznata lica;
- dva lica i ugao koji se nalazi između njih (kosinus formula) poznati su bez srednje linije i visine.
Prva metoda: poznate su sve strane figure
Kako pronaći obim trougla kada su sva tri lica poznata, neophodno za upotrebu sljedeću formulu: P = a + b + c, gdje su a,b,c poznate dužine svih strana trougla, P je obim figure.
Na primjer, poznate su tri strane figure: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm Ovo je pravilna jednakokračna figura, za izračunavanje perimetra koristimo formulu: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.
Ova formula radi za bilo koji trokut, samo trebate znati dužine svih njegovih stranica. Ako je barem jedan od njih nepoznat, trebate koristiti druge metode, o kojima ćemo govoriti u nastavku.
Drugi primjer: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Izračunajte obim: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.
Veoma je važno u primljenom odgovoru označiti mjernu jedinicu. U našim primjerima, dužine stranica su u centimetrima (cm), međutim, postoje različiti zadaci u kojima su prisutne i druge mjerne jedinice.
Druga metoda: pravougli trokut i njegove dvije poznate stranice
U slučaju kada je u zadatku koji se rješava dat pravokutni lik čije su dužine dva lica poznate, a treće nije, potrebno je koristiti Pitagorinu teoremu.
Opisuje odnos između strana pravokutnog trokuta. Formula opisana ovom teoremom jedna je od najpoznatijih i najčešće korištenih teorema u geometriji. Dakle, evo same teoreme:
Stranice svakog pravouglog trougla su opisane sljedećom jednačinom: a^2 + b^2 = c^2, gdje su a i b kraci figure, a c hipotenuza.
- Hipotenuza. Uvek se nalazi nasuprot pravog ugla (90 stepeni), a ujedno je i najduža strana trougla. U matematici je uobičajeno da se hipotenuza označava slovom c.
- noge- to su strane pravouglog trougla koje pripadaju pravom uglu i označene su slovima a i b. Jedna od nogu je ujedno i visina figure.
Dakle, ako uslovi zadatka određuju dužine dva od tri lica takve geometrijske figure, koristeći Pitagorinu teoremu, potrebno je pronaći dimenziju trećeg lica, a zatim koristiti formulu iz prve metode.
Na primjer, znamo dužinu 2 kraka: a = 3 cm, b = 5 cm. Zamijenite vrijednosti u teoremu: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm Dakle, hipotenuza takvog trougla je 5 cm. Inače, ovaj primjer je najčešći i zove se. Drugim riječima, ako su dva kraka figure 3 cm i 4 cm, tada će hipotenuza biti 5 cm, respektivno.
Ako je dužina jednog od krakova nepoznata, potrebno je formulu transformirati na sljedeći način: c^2 - a^2 = b^2. I obrnuto za drugu nogu.
Nastavimo primjer. Sada se morate obratiti standardnoj formuli za pronalaženje perimetra figure: P = a + b + c. U našem slučaju: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.
Treći metod: pomoću dva lica i ugla između njih
U srednjoj školi, kao i na fakultetu, najčešće se morate obratiti ovu metodu pronalaženje perimetra. Ako uslovi zadatka specificiraju dužine dviju stranica, kao i dimenziju ugla između njih, tada koristiti zakon kosinusa.
Ova teorema vrijedi za apsolutno svaki trokut, što ga čini jednim od najkorisnijih u geometriji. Sama teorema izgleda ovako: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C)), gdje su a, b, c standardne dužine lica, a A, B i C su uglovi koji leže nasuprot odgovarajućih strana trougla. To jest, A je ugao suprotnoj strani a, i tako dalje.
Zamislite da je opisan trokut čije su stranice a i b 100 cm, odnosno 120 cm, a ugao između njih je 97 stepeni. To jest, a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 stepeni.
Sve što treba učiniti u ovom slučaju je zamijeniti sve poznate vrijednosti u kosinus teoremu. Dužine poznatih lica se kvadiraju, nakon čega se poznate stranice množe jedna s drugom i sa dva i pomnože kosinusom ugla između njih. Zatim morate dodati kvadrate lica i od njih oduzeti drugu dobivenu vrijednost. Kvadratni korijen se izvlači iz konačne vrijednosti - ovo će biti treća, ranije nepoznata strana.
Nakon što su poznata sva tri lica figure, ostaje koristiti već voljenu standardna formula traži perimetar opisane figure iz prve metode.
1) y = 2x + 5 2) y = 4 - 3x 3) y = 8x - 2 4) y = 5x 5) y = 0,1x + 8 6) X \u003d Y \u003d \u003d 2 x - 3, y = 2x + 3 y = -3x + 1 y = 4x - 2 y = 5x + 2 y = 3 y = xy = -3 + x, 1) 0 2) 0 3) 1 4) 0 5) 1 6) 1 7) Beskonačan skup. sa testovima kartica. Kartica broj 1. A10. Povežite funkcije date formulama sa njihovim grafovima (slika 1).
?
Pravougli trokut je posebna vrsta proizvoljnog trougla. Kao i svaki drugi trougao, ima tri stranice, ali jedan od njegovih uglova mora biti 90 stepeni. Nakon što ste utvrdili da je dati trokut pravokutni trokut, možete početi pronaći njegove osnovne vrijednosti. Jedna od karakteristika pravouglog trougla je njegov perimetar. Mnogi problemi u geometriji posvećeni su pronalaženju perimetra pravokutnog trougla.
gdje je P obim trokuta;
A, b, c - stranice trougla.
Na osnovu Pitagorine teoreme, postalo je moguće odrediti obim pravokutnog trokuta po dvije bilo koje strane poznata dužina. Ako su poznate dužine kateta, tada se obim trokuta određuje pronalaženjem vrijednosti hipotenuze prema formuli:
Ako je poznata samo jedna od kateta i dužina hipotenuze, tada se obim trokuta određuje pronalaženjem vrijednosti nedostajuće katete pomoću formule:
Ako je u pravokutnom trokutu poznata samo dužina hipotenuze c i jedan od oštrih uglova α koji su uz nju, tada se obim trokuta u ovom slučaju može odrediti formulom:
U slučaju kada uslovi zadatka određuju dužinu kraka a i vrijednost oštrog ugla α nasuprot njoj, tada se obim pravokutnog trokuta u ovom slučaju izračunava po formuli:
Ako je krak a zadan sa uglom β koji je uz njega, tada se obim trokuta može izračunati na osnovu izraza:
Kako pronaći obim pravouglog trougla
P = a + b + c, gdje je, recimo,
P = v(a2 + b2) + a + b, ili
P = v(c2 - b2) + b + c.
P = (1 + sin? + cos?)*s.
P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)
P = a*(1/stg? + 1/cos? + 1)
Ostale povezane vijesti:
Površina i perimetar su glavne numeričke karakteristike bilo kojeg geometrijskog oblika. Pronalaženje ovih veličina je pojednostavljeno zahvaljujući opšteprihvaćenim formulama, prema kojima se takođe može izračunati jedna preko druge uz minimalno ili potpuno odsustvo dodatnih početnih podataka. P&G sponzor plasmana
Jednakostranični trokut, zajedno s kvadratom, je možda najjednostavniji i najsimetričniji lik u planimetriji. Naravno, svi odnosi koji važe za običan trougao važe i za jednakostraničan. Međutim, za pravilan trokut sve formule postaju mnogo jednostavnije. Za tebe
Opseg trokuta, kao i bilo koje druge ravne geometrijske figure, je zbir dužina segmenata koji ga ograničavaju. Stoga, da biste izračunali dužinu perimetra, morate znati dužine njegovih stranica. Ali zbog činjenice da su dužine strana u geometrijskim figurama povezane određenim odnosima sa
Trokut se smatra pravokutnim trouglom ako mu je jedan od uglova pravi ugao. Strana trougla nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza, a druge dvije stranice su katete. Da biste pronašli duljine stranica pravokutnog trokuta, možete koristiti nekoliko metoda. Sponzor
Opseg bilo koje geometrijske figure, uključujući trokut, jednak je ukupnoj dužini granica ove figure. Označava se velikim latiničnim slovom P i lako se nalazi dodavanjem dužina svih strana date figure. Sponzorira P&G Članci o plasmanu na temu "Kako izračunati obim trokuta"
Trougao je mnogougao sa tri strane i tri ugla. Kako izračunati njegov obim? Sponzorirano postavljanjem P&G članaka na temu "Kako pronaći obim trokuta" Kako pronaći obim trokuta prema koordinatama njegovih vrhova Kako pronaći površinu trokuta Kako pronaći dužinu i širina
Hipotenuza je najduža stranica pravouglog trougla. Nalazi se nasuprot pravog ugla. Način na koji ćete pronaći hipotenuzu pravouglog trougla zavisi od toga koji unos imate. Sponzorirano postavljanjem P&G članaka na temu "Kako pronaći hipotenuzu trougla" Kako
Pravokutni trokut karakteriziraju određeni omjeri između uglova i stranica. Znajući vrijednosti nekih od njih, možete izračunati druge. Za to se koriste formule, zasnovane, pak, na aksiomima i teoremama geometrije. P&G Sponzor plasmana Srodni članci Kako odrediti
Čini se da bi to moglo biti lakše nego izračunati površinu i obim trokuta - izmjeriti stranice, staviti brojeve u formulu - i to je to. Ako tako mislite, onda ste zaboravili da za ove svrhe ne postoje dvije jednostavne formule, već mnogo više - za svaku vrstu trokuta - svoje. Za tebe
Opseg trougla je zbir dužina njegovih stranica. Pronalaženje perimetra trokuta često je potrebno i u problemima početne geometrije i u težim zadacima. Prilikom njihovog rješavanja, vrijednosti koje nedostaju se pronalaze iz drugih podataka. Glavne zavisnosti perimetra trougla od njegovih ostalih dimenzija se ogledaju u
Formula za opseg pravokutnog trokuta
Kako pronaći obim pravouglog trougla
Pravougli trougao je trougao u kojem je jedan od uglova 90 stepeni, a druga dva oštra. Izračunavanje perimetra takvog trougla ovisit će o količini podataka poznatih o njemu.
U zavisnosti od slučaja, poznavanje dve od tri strane trougla, kao i jednog od njegovih oštrih uglova.
Sponzorirano postavljanjem P&G članaka na temu "Kako pronaći obim pravokutnog trokuta" Kako pronaći površinu piramide Kako pronaći obim ako je površina poznata Kako pronaći obim jednakostraničnog trokuta trougao
Metoda 1. Ako su poznate sve tri strane trokuta, tada će se, bez obzira da li je trokut pravougao ili ne, njegov obim izračunati na sljedeći način:
P = a + b + c, gdje je, recimo,
Metoda 2. Ako su u pravokutniku poznate samo 2 stranice, onda se pomoću Pitagorine teoreme obim ovog trokuta može izračunati po formuli:
P = v(a2 + b2) + a + b, ili
P = v(c2 - b2) + b + c.
Metoda 3. Neka su hipotenuza c i oštar ugao? dati u pravokutnom trokutu, tada možete pronaći obim na ovaj način:
P = (1 + sin? + cos?)*s.
Metoda 4. Dato je da je u pravouglom trouglu dužina jedne od kateta jednaka a, a nasuprot njoj leži oštar ugao?. Tada će se izračunavanje perimetra ovog trokuta izvršiti prema formuli:
P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)
Metoda 5. Upoznajmo krak a i ugao uz nju ?, tada će se perimetar izračunati na sljedeći način:
P = a*(1/stg? + 1/cos? + 1)