Postoji čitava grupa zadataka (uključenih u ispitne vrste zadataka) povezanih sa koordinatnom ravninom. To su zadaci počev od onih najosnovnijih, koji se rješavaju usmeno (određivanje ordinate ili apscise dati poen, ili tačke simetrične date jedne i druge), završavajući zadacima koji zahtijevaju kvalitetno znanje, razumijevanje i dobre vještine (zadaci koji se odnose na nagib prave).

Postepeno ćemo ih sve razmotriti. U ovom članku ćemo početi s osnovama. Ovo su jednostavni zadaci za određivanje: apscise i ordinate tačke, dužine segmenta, sredine segmenta, sinusa ili kosinusa ugla nagiba prave linije.Većina ovih zadataka neće biti zanimljiva. Ali mislim da ih je potrebno navesti.

Stvar je u tome da ne idu svi u školu. Mnogi ljudi polože ispit 3-4 godine ili više nakon diplomiranja, a nejasno se sjećaju što su apscisa i ordinata. Analizirat ćemo i druge zadatke vezane za koordinatnu ravan, nemojte je propustiti, pretplatite se na ažuriranje bloga. Sada n malo teorije.

Nastavimo dalje koordinatna ravan tačka A sa koordinatama x=6, y=3.

Kažu da je apscisa tačke A šest, ordinata tačke A tri.

Jednostavnije rečeno, x-osa je apscisa, a y-osa je y-osa.

To jest, apscisa je tačka na x-osi u koju se projektuje tačka data na koordinatnoj ravni; Ordinata je tačka na y-osi u koju se projektuje navedena tačka.

Dužina segmenta na koordinatnoj ravni

Formula za određivanje dužine segmenta, ako su poznate koordinate njegovih krajeva:

Kao što vidite, dužina segmenta je dužina hipotenuze u pravokutnom trokutu sa katetama jednakim

X B - X A i Y B - Y A

* * *

Sredina reza. Njene koordinate.

Formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta:

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

gdje je (x 1; y 1) i (x 2; y 2 ) koordinate datih tačaka.

Zamjenom vrijednosti koordinata u formulu, ona se svodi na oblik:

y = kx + b, gdje je k nagib prave

Ove informacije će nam trebati kada rješavamo drugu grupu problema vezanih za koordinatnu ravan. Biće članak o tome, nemojte ga propustiti!

Šta se još može dodati?

Ugao nagiba prave linije (ili segmenta) je ugao između ose oX i ove prave linije, u rasponu od 0 do 180 stepeni.

Razmotrimo zadatke.

Iz tačke (6;8) okomica se spušta na os y. Pronađite ordinatu osnove okomice.

Osnova okomice spuštene na y-osu imat će koordinate (0; 8). Ordinata je osam.

Odgovor: 8

Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) na y-osu.

Udaljenost od tačke A do y-ose jednaka je apscisi tačke A.

Odgovor: 6.

A(6;8) oko ose Ox.

Tačka simetrična tački A u odnosu na osu oX ima koordinate (6; - 8).

Ordinata je minus osam.

Odgovor: - 8

Pronađite ordinatu tačke simetrične tački A(6;8) u odnosu na porijeklo.

Tačka simetrična tački A u odnosu na ishodište ima koordinate (- 6; - 8).

Njegova ordinata je -8.

Odgovor: -8

Nađite apscisu sredine odsječka prave koji spaja tačkeO(0;0) i A(6;8).

Da bi se riješio problem, potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta. Koordinate krajeva našeg segmenta su (0;0) i (6;8).

Računamo po formuli:

Dobio (3;4). Apscisa je tri.

Odgovor: 3

* Apscisa sredine segmenta se može odrediti bez računanja po formuli, konstruisanjem ovom segmentu na koordinatnoj ravni na listu u kavezu. Ćelije će lako odrediti sredinu segmenta.

Nađite apscisu sredine odsječka prave koji spaja tačke A(6;8) i B(–2;2).

Da bi se riješio problem, potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta. Koordinate krajeva našeg segmenta su (–2;2) i (6;8).

Računamo po formuli:

Dobio (2;5). Apscisa je dva.

Odgovor: 2

* Apscisa sredine segmenta se može odrediti bez izračunavanja po formuli konstruisanjem ovog segmenta na koordinatnoj ravni na listu u ćeliji.

Odrediti dužinu segmenta koji povezuje tačke (0;0) i (6;8).

Dužina segmenta na datim koordinatama njegovih krajeva izračunava se po formuli:

u našem slučaju imamo O(0;0) i A(6;8). znači,

* Redoslijed koordinata pri oduzimanju nije bitan. Možete oduzeti apscisu i ordinatu tačke A od apscise i ordinate tačke O:

Odgovor:10

Naći kosinus nagiba segmenta koji povezuje tačke O(0;0) i A(6;8), sa x-osom.

Ugao nagiba segmenta je ugao između ovog segmenta i x-ose.

Iz tačke A spuštamo okomicu na os x:

To jest, ugao nagiba segmenta je ugaoVRIu pravouglom trouglu ABO.

Kosinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je

omjer susjednog kraka i hipotenuze

Treba pronaći hipotenuzuOA.

Prema Pitagorinoj teoremi:U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

Dakle, kosinus ugla nagiba je 0,6

Odgovor: 0.6

Iz tačke (6;8) okomita na osu apscise se spušta. Pronađite apscisu osnove okomice.

Kroz tačku (6; 8) povučena je prava linija osa paralelna apscisa. Naći ordinatu njegove tačke preseka sa osom OU.

Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) prema x-osi.

Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) do ishodišta.

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije tačke ravni i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se odgovarajuće koordinate preurede: I , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Odjeljak - to nije vektor, i ne možete ga nigdje pomjeriti, naravno. Osim toga, ako završite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rešenje je kratko, ali postoji nekoliko važnih tačaka koje bih želeo da razjasnim:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, da ponovimo školskog materijala, što je korisno ne samo za razmatrani problem:

obratite pažnju na važan tehnički trik – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u formi neće biti greška – ali je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane nastavnika.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često pod korijenom ispada dovoljno veliki broj, na primjer . Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, potpuno podijeliti, ovako: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno nije moguće. Pokušavam podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

Izlaz: ako ispod korijena dobijemo broj koji se potpuno ne može izdvojiti, tada pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Prilikom rješavanja raznih zadataka često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne muke oko finaliziranja rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i drugih potencija:

Pravila za radnje sa stepenom in opšti pogled može se naći u školskom udžbeniku iz algebre, ali mislim da je iz navedenih primjera već sve ili skoro sve jasno.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Dati bodovi i . Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ako dobro naoštrenom olovkom dodirnete list bilježnice, ostat će trag koji daje predstavu o poenti. (Sl. 3).

Na listu papira označavamo dvije tačke A i B. Ove tačke se mogu povezati raznim linijama (sl. 4). Kako spojiti tačke A i B kratka linija? To se može učiniti pomoću ravnala (sl. 5). Rezultirajuća linija se zove segment.

Tačka i linija - Primjeri geometrijski oblici.

Tačke A i B se nazivaju krajevi segmenta.

Postoji jedan segment čiji su krajevi tačke A i B. Dakle, segment se označava tako što se zapisuju tačke koje su njegovi krajevi. Na primjer, segment na slici 5 označen je na jedan od dva načina: AB ili BA. Pročitajte: "segment AB" ili "segment BA".

Slika 6 prikazuje tri segmenta. Dužina odsječka AB jednaka je 1 cm.Postavljena je tačno tri puta u segment MN, a tačno 4 puta u segment EF. Reći ćemo to dužina segmenta MN je 3 cm, a dužina segmenta EF je 4 cm.

Također je uobičajeno reći: "segment MN je 3 cm", "segment EF je 4 cm". Oni pišu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Mjerili smo dužine segmenata MN i EF pojedinačni segment, čija je dužina 1 cm Za mjerenje segmenata možete odabrati druge jedinice dužine, na primjer: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na slici 7, dužina segmenta je 17 mm. Mjeri se jednim segmentom, čija je dužina 1 mm, pomoću ravnala s podjelama. Takođe, pomoću ravnala možete izgraditi (nacrtati) segment zadate dužine (vidi sl. 7).

Uopšte, izmjeriti segment znači izbrojati koliko pojedinačni segmenti sadrži.

Dužina segmenta ima sljedeće svojstvo.

Ako je tačka C označena na segmentu AB, onda je dužina segmenta AB jednaka zbiru dužina segmenata AC i CB(Sl. 8).

Oni pišu: AB = AC + CB.

Na slici 9 prikazana su dva segmenta AB i CD. Ovi segmenti će se poklopiti kada se superponiraju.

Dva segmenta se nazivaju jednakima ako se poklapaju kada se preklapaju.

Stoga su segmenti AB i CD jednaki. Oni pišu: AB = CD.

Jednaki segmenti imaju jednake dužine.

Od dva nejednaka segmenta, smatraćemo da je veći onaj sa većom dužinom. Na primjer, na slici 6, segment EF je veći od segmenta MN.

Dužina segmenta AB se naziva razdaljina između tačaka A i B.

Ako je nekoliko segmenata raspoređeno kao što je prikazano na slici 10, dobijamo geometrijska figura, koji se zove slomljena linija. Imajte na umu da svi segmenti na slici 11 ne čine isprekidanu liniju. Smatra se da segmenti formiraju izlomljenu liniju ako se kraj prvog segmenta poklapa sa krajem drugog, a drugi kraj drugog segmenta poklapa se sa krajem trećeg itd.

Tačke A, B, C, D, E − vrhovi polilinije ABCDE, tačke A i E − prekinuta linija završava, a segmenti AB, BC, CD, DE su njegovi linkovi(vidi sliku 10).

Dužina isprekidane linije je zbir dužina svih njegovih karika.

Na slici 12 prikazane su dvije izlomljene linije čiji se krajevi poklapaju. Takve izlomljene linije se nazivaju zatvoreno.

Primjer 1 . Segment BC je za 3 cm manji od segmenta AB čija je dužina 8 cm (slika 13). Odredite dužinu segmenta AC.

Rješenje. Imamo: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Koristeći svojstvo dužine segmenta, možemo napisati AC = AB + BC. Dakle, AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Odgovor: 13 cm.

Primjer 2 . Poznato je da je MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (slika 14). Odredite dužinu odsječka NK.

Rješenje. Imamo: MN = MP − NP.

Dakle, MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Imamo: NK = MK − MN.

Dakle, NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Odgovor: 6 cm.

Uputstvo

Ako su koordinate ekstremnih tačaka segment su date u dvodimenzionalnim koordinatama, a zatim crtanjem linija kroz ove tačke okomito na koordinatne ose, dobićete pravougaonog trougla. Njegova hipotenuza će biti originalni segment, a krakovi čine segmente čija je dužina jednaka hipotenuzi na svakoj od koordinatnih osa. Iz Pitagorine teoreme, koja definira dužinu hipotenuze kao zbir kvadrata dužina kateta, možemo to učiniti da pronađemo dužinu originala segment dovoljno je pronaći dužine njegove dvije projekcije na koordinatne ose.

Pronađite dužine (X i Y) projekcija originala segment za svaku osu koordinatnog sistema. U dvodimenzionalnom sistemu od ekstremnih tačaka predstavljen je parom numeričkih vrijednosti (X1;Y1 i X2;Y2). Dužine projekcija se izračunavaju pronalaženjem razlike u koordinatama ovih tačaka duž svake ose: X = X2-X1, Y = Y2-Y1. Moguće je da će jedna ili obje rezultirajuće vrijednosti biti , ali u ovom slučaju to nije uloga.

Izračunati dužina početni segment(A) nalaz Kvadratni korijen iz kvadrata dužina projekcije na koordinatnim osa izračunatim u prethodnom koraku: A = √ (X² + Y²) = √ ((X2-X1)² + (Y2-Y1)²). Na primjer, ako je segment nacrtan između tačke sa koordinatama 2;4 i 4;1, tada će njegova dužina biti jednaka √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Ako su koordinate tačaka koje ograničavaju segment date u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu (X1;Y1;Z1 i X2;Y2;Z2), tada dužine (A) ovog segment bit će sličan onom dobivenom u prethodnom koraku. U ovom slučaju, morate pronaći kvadratni korijen zbira kvadrata projekcija na tri koordinatne ose: A = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²+(Z2-Z1)²) . Na primjer, ako je segment nacrtan između tačke, sa koordinatama 2;4;1 i 4;1;3, tada će njegova dužina biti jednaka √((4-2)²+(1-4)²+(3-1)²) = √17 ≈ 4,12 .

Izvori:

• formula za dužinu segmenta

Neka je segment zadan sa dvije tačke u koordinatnoj ravni, tada možete pronaći njegovu dužinu pomoću Pitagorine teoreme.

Uputstvo

Nakon što smo predstavili ovu šemu za pronalaženje dužine segmenta u opštem slučaju, lako je izračunati segment bez izgradnje segmenta. Izračunajmo dužinu segmenta, koordinate krajeva (1;3) i (2;5). Tada je |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5, tako da je dužina željenog segmenta 5^1/2.

Povezani video zapisi

Izvori:

• Dužina rezanja
• kolika je dužina segmenta

Ponekad u svakodnevnim aktivnostima može biti potrebno pronaći srednji pravi segment. Na primjer, ako morate napraviti uzorak, skicu proizvoda ili jednostavno izrezati drveni blok na dva jednaka dijela. Geometrija i malo svjetovne domišljatosti dolaze u pomoć.

Trebaće ti

• Kompasi, ravnalo; igla, olovka, konac

Uputstvo

Koristite uobičajene alate dizajnirane za dužinu. Ovo je najlakši način da pronađete srednji segment. Izmjerite ravnalom ili dužinu segmenta, podijelite rezultat na pola i izmjerite rezultat dobiven sa jednog od krajeva segmenta. Dobićete tačku koja odgovara sredini segmenta.

Postavite razmak između nogu šestara tako da bude jednak dužini segmenta ili veći od polovine segmenta. Zatim stavite iglu kompasa na jedan kraj segmenta i nacrtajte je tako da prelazi segment. Pomaknite iglu na drugi kraj segmenta i, bez promjene raspona nogu kompasa, nacrtajte drugi polukrug na potpuno isti način.

Ako pri ruci nije bilo kompasa ili dužina segmenta znatno premašuje dopušteni raspon njegovih nogu, možete koristiti jednostavan improvizirani uređaj. Možete ga napraviti od obične igle, konca i olovke. Zavežite krajeve konca za iglu i olovku, a dužina konca treba da bude nešto duža od dužine segmenta. Uz takvu improviziranu zamjenu za kompas, ostaje slijediti gore opisane korake.

Povezani video zapisi

Koristan savjet

Možete precizno pronaći sredinu ploče ili šipke pomoću običnog konca ili užeta. Da biste to učinili, odrežite konac tako da odgovara dužini ploče ili šipke. Ostaje presaviti konac tačno na pola i iseći na dva jednaka dijela. Jedan kraj primljenog mjerenja pričvrstiti na kraj predmeta koji se mjeri, a drugi kraj će odgovarati njegovoj sredini.

Postoje tri glavna koordinatna sistema koja se koriste u geometriji, teorijske mehanike, ostale grane fizike: kartezijanska, polarna i sferna. U ovim koordinatnim sistemima, svaka tačka ima tri koordinate. Poznavajući koordinate dvije tačke, možete odrediti udaljenost između ove dvije tačke.

Trebaće ti

• Kartezijanske, polarne i sferne koordinate krajeva segmenta

Uputstvo

Za početak razmotrite pravokutne kartezijanske koordinate. Položaj tačke u prostoru na ovoj koordinati određen je pomoću koordinate x,y i z. Radijus se povlači od početka koordinata do tačke. Projekcije ovog radijus vektora na koordinatne ose će biti koordinate ovu tačku.
Pretpostavimo da sada imate dvije točke sa koordinate x1,y1,z1 i x2,y2 i z2 respektivno. Označimo sa r1 i r2, redom, radijus vektore prve i tačke. Očigledno, udaljenost između ovih tačaka će biti modul vektora r = r1-r2, gdje je (r1-r2) vektorska razlika.
Koordinate vektora r očito će biti sljedeće: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Tada će vektor r ili udaljenost između dvije tačke biti: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

Razmotrimo sada polarni koordinatni sistem u kojem će koordinata tačke biti data radijalnom koordinatom r (radijus vektor XY), ugaonom koordinatom? (ugao između vektora r i ose X) i z koordinata, koja je slična z koordinati u Dekartovom sistemu. Polarne koordinate tačke mogu biti u Dekartovom na sledeći način: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Zatim udaljenost između dvije tačke sa koordinate r1, ?1 ,z1 i r2, ?2, z2 će biti jednaki R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

Sada razmislite sferni sistem koordinate. U njemu je pozicija tačke data sa tri koordinate r, ? I?. r - udaljenost od početka, ? I? su azimut i zenit uglovi, respektivno. Injekcija? sličan uglu sa istom oznakom u polarnom koordinatnom sistemu, ha? - ugao između radijus vektora r i Z ose, i 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с koordinate r1, ?1, ?1 i r2, ?2 i ?2 će biti jednaki R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Povezani video zapisi

Segment je definisan sa dve ekstremne tačke i sastoji se od skupa tačaka koje leže na pravoj liniji koja prolazi kroz ekstremne tačke. Ako je segment postavljen u bilo koji koordinatni sistem, tada pronalaženjem središta njegovih projekcija na svakoj od osi možete saznati koordinate srednji segment. U stvari, operacija se svodi na pronalaženje aritmetičke sredine parova brojeva za svaku od koordinatnih osa.

Uputstvo

Podijelite na pola zbroj početne i krajnje koordinate ekstremne tačke segment duž svake ose do sredine duž te ose. Na primjer, neka se segment postavi u trodimenzionalni XYZ koordinatni sistem i koordinate njegove krajnje tačke A(Xa,Ya,Za) i C(Xc,Yc,Zc). Onda koordinate njegova sredina E(Xe,Ye,Ze) se može dati formulama Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.

Koristite bilo koji od kalkulatora ako izračunate prosječne vrijednosti koordinata ekstremnih tačaka segment u umu nije moguće. Ako pri ruci nema takvog gadgeta, upotrijebite softver iz Windows OS-a. Može se pokrenuti klikom na dugme "Start" da otvorite sistemski meni. U meniju idite na odjeljak "Standard", zatim na pododjeljak "Uslužni programi", a zatim u odjeljku "Sve" odaberite stavku "Kalkulator". Možete zaobići glavni meni tako što ćete pritisnuti WIN + R, ukucati calc, a zatim pritisnuti Enter.

Zbrojite u parovima početni i konačni koordinate ekstremne tačke segment duž svake ose i rezultat podijelite sa dva. Interfejs softverskog kalkulatora imitira konvencionalni kalkulator, a numeričke vrijednosti i simbole matematičkih operacija možete unositi bilo klikom na dugmad sa kursorom miša na ekranu ili pritiskom na tipke na tastaturi. Sa ovim proračunima nema poteškoća.

Zapišite matematičke operacije u tekstualnom obliku i unesite ih u polje za pretragu na glavnoj stranici Google stranice, ako ne možete koristiti kalkulator, ali imate pristup Internetu. Ova tražilica ima ugrađeni multifunkcionalni kalkulator, koji je mnogo lakši za korištenje od bilo kojeg drugog. Nema interfejsa sa dugmadima - svi podaci se moraju uneti u tekstualnom obliku u jedno polje. Na primjer, ako je poznato koordinate ekstremne tačke segment u trodimenzionalnom koordinatnom sistemu A(51,34 17,2 13,02) i A(-11,82 7,46 33,5), tada koordinate srednja tačka segment C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Unoseći (51.34-11.82) / 2 u polje za pretragu, zatim (17.2 + 7.46) / 2 i (13.02 + 33.5) / 2, možete koristiti Google da dobijete koordinate C (19,76 12,33 23,26).