Danas vas pozivamo da s nama istražite i nacrtate graf funkcije. Nakon što ste pažljivo proučili ovaj članak, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovakav zadatak. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pažnju i tačnost proračuna. Da bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i proračune. Dobrodošli u neverovatan i fascinantan svet matematike! Idi!

Domain

Da biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava zavisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislite da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjena. Dakle, y je funkcija od x, pod uslovom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju, varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove zavisnosti, gradi se graf funkcije. Šta je graf funkcije? Ovo je skup tačaka koordinatnu ravan gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Funkcijski graf se ne može nacrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i nacrtati graf funkcije. Veoma je važno praviti bilješke tokom učenja. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najpovoljniji plan učenja:

1. Domain.
2. Kontinuitet.
3. Parno ili neparno.
4. Periodičnost.
5. Asimptote.
6. Nule.
7. Konstantnost.
8. Uzlazno i ​​silazno.
9. Ekstremi.
10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom tačkom. Nađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domen definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se termin "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona kretanja. Šta je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima kretanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tiganj, termometar i sl.), neprekidna linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja sa olovke).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne prekida. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici ovaj odjeljak. Funkcija je kontinuirana u nekoj tački x0 ako je ispunjen niz uslova:

• funkcija je definirana u datoj tački;
• desna i lijeva granica u tački su jednake;
• granica je jednaka vrijednosti funkcije u tački x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da funkcija prekida. A tačke u kojima se funkcija prekida nazivaju se tačke prekida. Primjer funkcije koja će se “pokvariti” kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štaviše, y ne postoji u tački x = 3 (pošto je nemoguće podijeliti sa nulom).

U funkciji koju proučavamo (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Čak i čudno

Sada ispitajte funkciju za paritet. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja zadovoljava uvjet f (-x) = f (x) za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti). Primjeri su:

• modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
• x na kvadrat (parabola);
• kosinus x (kosinusni val).

Imajte na umu da su svi ovi grafovi simetrični kada se gledaju u odnosu na y-osu.

Šta se onda zove neparna funkcija? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. primjeri:

• hiperbola;
• kubna parabola;
• sinusoida;
• tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na tačku (0:0), odnosno ishodište. Na osnovu onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Hajde da ispitamo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara nijednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je kriva koja je što je moguće bliža grafu, odnosno udaljenost od neke tačke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

• vertikalno, tj paralelne ose y;
• horizontalno, tj. paralelno sa x-osom;
• koso.

Što se tiče prvog tipa, ove linije treba tražiti u nekim tačkama:

• jaz;
• krajeve domena.

U našem slučaju, funkcija je kontinuirana, a domen definicije je R. Dakle, ne postoje vertikalne asimptote.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći zahtjev: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnost, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uslova:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada se može naći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcija nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafika funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak vezan za pronalaženje nula funkcije javlja ne samo u proučavanju i crtanju funkcije, već i kao samostalan zadatak, i kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da preciznije nacrtate funkciju. Ako pričam običan jezik, tada je nula funkcije vrijednost varijable x, pri kojoj je y=0. Ako tražite nule funkcije na grafu, onda biste trebali obratiti pažnju na tačke u kojima se graf seče sa x-osom.

Da biste pronašli nule funkcije, morate riješiti sljedeću jednačinu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon što izvršimo potrebne proračune, dobijamo sljedeći odgovor:

konstantnost znaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafike) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti na kojim intervalima funkcija uzima pozitivnu vrijednost, a na kojim intervalima negativnu vrijednost. Nule funkcija koje se nalaze u prethodnom odjeljku pomoći će nam u tome. Dakle, trebamo izgraditi pravu liniju (odvojeno od grafa) i rasporediti nule funkcije duž nje u ispravnom redoslijedu od najmanjeg do najvećeg. Sada morate odrediti koji od rezultirajućih intervala ima znak "+", a koji "-".

U našem slučaju, funkcija uzima pozitivnu vrijednost na intervalima:

• od 1 do 4;
• od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

• od minus beskonačnosti do 1;
• od 4 do 9.

Ovo je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je znak odgovor (minus ili plus).

Funkcija rastuća i opadajuća

Da bismo istražili i izgradili funkciju, moramo saznati gdje će graf porasti (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-ose).

Funkcija se povećava samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A mi uočavamo potpuno suprotan fenomen u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

• opseg (već ga imamo);
• izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
• riješiti jednačinu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon proračuna dobijamo rezultat:

Dobijamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Ekstremi

Istražena funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za bilo koju vrijednost varijable x. Tačka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače, oni se također nalaze pomoću funkcije derivacije. Nakon pronalaska, ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo s proučavanjem funkcije y(x). Sada moramo provjeriti ima li konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova je prilično teško sagledati, bolje je sve analizirati na primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažem se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobijamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačavamo desnu stranu sa nulom i rješavamo jednačinu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo prevojnu tačku, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnog u konkavno ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačnosti do 14/3, funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Takođe je veoma važno napomenuti da tačka savijanja na grafikonu treba da bude glatka i mekana, da ne bi trebalo da bude oštrih uglova.

Definicija dodatnih bodova

Naš zadatak je istražiti i nacrtati graf funkcije. Studiju smo završili, sada neće biti teško iscrtati funkciju. Za precizniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravni, možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzimamo x=3, rješavamo rezultirajuću jednačinu i nalazimo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Pronađeno ih je najmanje 3-5.

Plotting

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake u toku proračuna napravljene su na koordinatnoj ravni. Ostaje samo da se napravi graf, odnosno da se sve tačke međusobno povežu. Povezivanje tačaka je glatko i precizno, ovo je stvar vještine - malo vježbe i vaš raspored će biti savršen.

Jedna od mogućih šema za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa se dekomponuje na sledeće faze rešavanja problema: 1. Domen funkcije (O.O.F.). 2. Prelomne tačke funkcije, njihova priroda. Vertikalne asimptote. 3. Parna, neparna, periodična funkcija. 4. Tačke presjeka grafika sa koordinatnim osa. 5. Ponašanje funkcije u beskonačnosti. Horizontalne i kose asimptote. 6. Intervali monotonosti funkcije, tačke maksimuma i minimuma. 7. Pravci konveksnosti krive. Pregibne tačke. 8. Grafikon funkcije. Primjer 1. Iscrtajte funkciju y = 1. (vereiora ili uvojak Marije Anieei). - cijela numerička osa. 2. Nema tačaka prekida; ne postoje vertikalne asimptote. 3. Funkcija je parna: tako da je njen graf simetričan oko ose Oy \ neperiodičan. Iz parnosti funkcije slijedi da je dovoljno iscrtati njen grafik na polupravu x ^ 0, a zatim ga ogledati na y-osi. 4. Za x = 0 imamo Yx, tako da graf funkcije leži u gornjoj poluravni y > 0. Šema za konstruiranje grafa funkcije Istraživanje funkcija do ekstrema korištenjem izvoda višeg reda Izračunavanje korijena jednadžbi metodama tetiva i tangenta da graf ima horizontalnu asimptotu y \u003d O, nema kosih asimptota. Dakle, funkcija raste kao i opada kada. Tačka x = 0 je kritična. Kada x prođe kroz tačku x = 0, derivacija y "(x) mijenja predznak od minus do plus. Stoga je tačka x = 0 maksimalna tačka, y (Q) = I. Ovaj rezultat je prilično Očigledno: / (x) = T ^ IV *. Drugi izvod nestaje u tačkama x = . Proučavamo tačku x = 4- (dalje, razmatranja simetrije). Kod imamo. kriva je konveksna na dole; na dobijamo (kriva je konveksna prema gore). Dakle, tačka x = = - je graf prevojne tačke funkcije. Rezultati studije su sažeti u tabeli: Prevojna tačka max Tačka prevoja - tačka cijelu realnu os, isključujući tačku 2. Tačka diskontinuiteta funkcije. Dakle, imamo pravu x = 0 - vertikalnu asimptotu 3. Funkcija nije ni parna ni neparna [funkcija u općem položaju), neperiodična Pod pretpostavkom da dobijemo grafik funkcije koja seče osu Ox u tački (-1,0), nema kosih i horizontalnih asimptota. gdje je kritična tačka. Drugi izvod funkcije je u tački, pa je x = minimalna tačka. Druga izvodnica prelazi u yul u tački i mijenja svoj predznak kada prolazi kroz ovu tačku. Dakle, tačka je tačka pregiba krive. Jer) imamo e. konveksnost krive je usmjerena prema dolje; za -Imamo. konveksnost krivulje je usmjerena prema gore. Rezultate studije sumiramo u tabeli: Ne postoji Ne postoji Prevojna tačka Ne postoji. Vertikalna asimptota izvoda torusa nestaje na x = e,/2. a kada x prođe kroz ovu tačku, y "mijenja predznak. Dakle, apscisa je tačke pregiba krive. Rezultate istraživanja sumiramo u tabeli: Prevojna tačka. Grafikon funkcije je prikazan na slici 37. Primjer 4. Grafikujte funkciju cijele numeričke ose, isključujući tačku Tačka tačka diskontinuiteta 2. vrste funkcije. Pošto je Km, onda je direktna vertikalna asimptota grafika funkcije. Funkcija je u općem položaju, ne- periodično. Postavljanjem y = 0, imamo, odakle graf funkcije siječe x-osu u tački Dakle, graf funkcije ima kosu asimptotu Iz uvjeta dobijamo - kritičnu tačku. izvod funkcije y" \u003d D\u003e 0 svuda u domeni definicije, posebno u tački - minimalnoj tački funkcije. 7. Pošto je tada svuda u domenu definicije funkcije konveksnost njenog grafa usmjerena naniže. Rezultate studije sumiramo u tabeli: Ne postoji Ne postoji Ne postoji. x \u003d 0 - vertikalna asimptota Grafikon funkcije prikazan je na sl. Primjer 5. Grafikujte funkciju cijele brojevne ose. 2. Kontinuirano svuda. Ne postoje vertikalne asimptote. 3. opšti položaj, neperiodični. 4. Funkcija nestaje na 5. Dakle, graf funkcije ima kosu asimptotu.Izvod nestaje u tački i ne postoji u. Kada x prođe kroz tačku) derivacija ne mijenja predznak, tako da u tački x = 0 nema ekstrema. Kada tačka x prođe kroz tačku, derivacija) mijenja predznak iz “+” u Dakle, funkcija ima maksimum. Kada x prolazi kroz tačku x = 3 (x\u003e I), izvod y "(x) mijenja predznak, tj. u tački x = 3, funkcija ima minimum. 7. Pronađite drugi izvod od višeg reda Izračunavanje korijena jednadžbi metodama tetiva i tangenta Drugi izvod y "(x) ne postoji u tački x = 0 i kada x prolazi kroz tačku x = 0 y" mijenja predznak sa + na tako da tačka (0,0) krive je tačka u kojoj nema prevojne tačke sa vertikalnom tangentom. U tački x = 3 nema pregiba. Svuda u poluravni x > 0 konveksnost krive je usmerena prema gore 39. § 7. Istraživanje funkcija do ekstrema uz pomoć izvoda višeg reda Za pronalaženje tačaka maksimuma i minimuma funkcija može se koristiti Taylor formula. ki xq ima derivaciju n-tog reda, kontinuiranu u tački x0. Neka je 0. Tada ako je broj n neparan, onda funkcija f (x) u tački x0 nema ekstrem; kada je n paran, tada u tački x0 funkcija f(x) ima maksimum ako je f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 >0, koji je u intervalu, razlika - /(x0) zadržava svoj predznak. Po Taylor formuli kao po uslovu, onda iz (1) dobijamo kontinuirana funkcija postoji takav da se u intervalu () ne mijenja i poklapa se sa predznakom /(n)(ho). Razmotrimo moguće slučajeve: 1) n je paran broj i / Tada je I, dakle, na osnovu (2) . Prema definiciji, to znači da je tačka o tačka minimuma funkcije f(r). 2) n je paran i. Tada ćemo imati i zajedno sa ovim i Prema tome, tačka i će u ovom slučaju biti tačka maksimuma funkcije f(r). 3) n je neparan broj, /- Tada će se za x > x0 znak > poklapati sa predznakom /(n)(ro), a za r će biti suprotan. Dakle, za proizvoljno mali 0, predznak razlike f(r) - f(r0) neće biti isti za sve x e (r0 - 6, r0 + t). Prema tome, u ovom slučaju funkcija f(r) nema stremu u tački th. Primjer. Razmotrimo funkcije A. Lako je vidjeti da je tačka x = 0 kritična tačka obe funkcije. Za funkciju y = x4, prvi od izvoda koji nisu nula u tački x = 0 je izvod 4. reda: Dakle, ovdje je n = 4 paran i. Dakle, u tački x = 0, funkcija y = x4 ima minimum. Za funkciju y = x), prvi od izvoda koji nisu nula u tački x = 0 je izvod trećeg reda. Dakle, u ovom slučaju je n = 3 neparno, a u tački x = 0 funkcija y = x3 nema ekstrem. Komentar. Koristeći Taylorovu formulu, može se dokazati sljedeća teorema, koja izražava dovoljne uslove prevojne tačke. "Teorema 12. Neka funkcija /(r) u nekom susjedstvu tačke r0 ima derivaciju n-tog reda, kontinuiranu u tački xq. Mo(x0, f(xo)) je prevojna tačka grafa funkcije y = f(x).Najjednostavniji primjer daje funkcija § 8. Izračunavanje korijena jednadžbi metodama tetiva i tangenta Problem je pronaći pravi korijen jednačine Pretpostavimo da su sljedeći uslovi su zadovoljeni: 1) funkcija f(x) je kontinuirana na segmentu [a, 6]; 2) brojevi /(a) i f(b) su suprotni po predznaku: 3) na segmentu [a, 6] postoje izvodnice f "(x) i f "(x) koje čuvaju konstantan predznak na ovom intervalu. Iz uslova 1) i 2), na osnovu Bolzano-Cauchy teoreme (str. 220), slijedi da je funkcija f(x) nestaje barem u jednoj tački £ € ( a, b), tj. jednačina (1) ima barem jedan pravi korijen £ u intervalu (a, b). znak, tada je f(x) monotona na [a, b] i, prema tome, u međ rvale (a, b) jednadžba (1) ima samo jedan pravi korijen Razmotrimo metodu za izračunavanje približne vrijednosti ovog jedinstvenog realnog korijena £ € (a, 6) jednačine (I) sa bilo kojim stepenom tačnosti. Moguća su četiri slučaja (Sl. 40): 1) Sl. 40 Za određenost, uzmimo slučaj kada je f \ x) > 0, f "(x) > 0 na segmentu [a, 6) (slika 41). Povežimo tačke A (a, / (a) ) i B (b, f(b)) tetivom A B. Ovo je odsječak prave linije koja prolazi kroz tačke A i B, čiju jednadžbu y = 0, nalazimo na slici 41 lako da vidimo da će tačka a \ uvijek biti smještena na strani od koje su suprotni znakovi f (x) i f "(x). Nacrtajmo sada tangentu na krivu y = f (x) u tački B (b, f(b)), tj. na onom kraju luka ^AB na kojem f(x) i /"(x) imaju isti predznak. Ovo je suštinski uslov: bez njega, tačka preseka tangenta na x-osa možda uopće ne daje aproksimaciju traženom korijenu. Tačka b\, u kojoj tangenta siječe x-os, nalazi se između t i b na istoj strani kao i 6, i bolja je aproksimacija za nego b. Ova tangenta je određena jednadžbom Uz pretpostavku u (3) y = 0, nalazimo Funkcije Istraživanje funkcija do ekstrema korištenjem izvoda višeg reda. Izračunavanje korijena jednadžbi metodama tetiva i tangenta Dakle, imamo Neka je unaprijed data apsolutna greška aproksimacije C korijena £. Za apsolutnu grešku približnih vrijednosti aj i 6, korijen £, možemo uzeti vrijednost |6i - ai|. Ako je ova greška veća od dozvoljene, onda, uzimajući segment kao originalni, nalazimo sljedeće aproksimacije korijen gdje. Nastavljajući ovaj proces, dobijamo dva niza približnih vrednosti.Nizovi (an) i (bn) su monotoni i ograničeni i stoga imaju granice. Neka Može se pokazati da ako su gore formulisani uslovi zadovoljeni, 1 je jedini koren jednačine / Primer. Pronađite korijen (jednačine r2 - 1 = 0 na segmentu. Dakle, svi uslovi koji osiguravaju postojanje jednog korijena su ispunjeni (jednačine x2 - 1 = 0 na segmentu. i metoda bi trebala funkcionirati. 8 u našem slučaju a = 0, b = 2. Kada je n = I iz (4) i (5) nalazimo Kada je n = 2 dobijamo ono što daje aproksimaciju tačne vrijednosti korijena (sa apsolutnom greškom Vježbe Grafikon funkcije: Pronađite najveće i najmanju vrijednost funkcije na datim intervalima: Istražite ponašanje funkcija u susjedstvu date bodove koristeći derivate višeg reda: Odgovori

Ako je u problemu potrebno provesti potpunu studiju funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njenog grafa, onda ćemo ovaj princip detaljno razmotriti.

Za rješavanje problema ove vrste treba koristiti svojstva i grafove glavnog elementarne funkcije. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:

Pronalaženje domene definicije

Budući da se istraživanje vrši na domeni funkcije, potrebno je započeti s ovim korakom.

Primjer 1

Navedeni primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bismo ih isključili iz DPV-a.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kao rezultat, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti za korijen parnog stepena tipa g (x) 4 po nejednakosti g (x) ≥ 0 , za logaritam log a g (x) po nejednakosti g (x) > 0 .

Istraživanje granica ODZ-a i pronalaženje vertikalnih asimptota

Postoje vertikalne asimptote na granicama funkcije, kada su jednostrane granice u takvim tačkama beskonačne.

Primjer 2

Na primjer, razmotrite granične tačke jednake x = ± 1 2 .

Zatim je potrebno proučiti funkciju da bi se pronašla jednostrana granica. Tada dobijamo: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ovo pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su linije x = ± 1 2 vertikalne asimptote grafa.

Ispitivanje funkcije i za parne ili neparne

Kada je ispunjen uslov y (- x) = y (x), funkcija se smatra parnom. Ovo sugerira da se graf nalazi simetrično u odnosu na O y. Kada je ispunjen uslov y (- x) = - y (x), funkcija se smatra neparnom. To znači da simetrija ide u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednakost nije uspjela, dobivamo funkciju opšti pogled.

Ispunjenje jednakosti y (- x) = y (x) pokazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruisanja potrebno je uzeti u obzir da će postojati simetrija u odnosu na O y.

Za rješavanje nejednakosti koriste se intervali povećanja i smanjenja sa uslovima f "(x) ≥ 0 i f" (x) ≤ 0, respektivno.

Definicija 1

Stacionarne tačke su tačke koje pretvaraju izvod na nulu.

Kritične tačke su unutrašnje tačke iz domene gde je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

Prilikom donošenja odluke treba uzeti u obzir sljedeće tačke:

• za postojeće intervale povećanja i smanjenja nejednakosti oblika f"(x) > 0 kritične tačke nisu uključene u rješenje;
• tačke u kojima je funkcija definirana bez konačnog izvoda moraju biti uključene u intervale povećanja i smanjenja (na primjer, y = x 3, gdje tačka x = 0 čini funkciju definiranom, derivacija ima vrijednost beskonačnosti u ovom trenutku, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 je uključen u interval povećanja);
• kako bi se izbjegle nesuglasice, preporučuje se korištenje matematičke literature koju preporučuje Ministarstvo prosvjete.

Uključivanje kritičnih tačaka u intervale porasta i opadanja u slučaju da one zadovoljavaju domen funkcije.

Definicija 2

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći:

• derivat;
• kritične tačke;
• razbiti domen definicije uz pomoć kritičnih tačaka na intervale;
• odrediti predznak izvoda u svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.

Primjer 3

Pronađite izvod na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Rješenje

Za rješavanje potrebno je:

• pronađite stacionarne tačke, ovaj primjer ima x = 0 ;
• pronaći nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2 .

Izlažemo tačke na numeričkoj osi da bismo odredili derivaciju na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju tačku iz intervala i napraviti proračun. Ako je rezultat pozitivan, na grafu crtamo +, što znači povećanje funkcije, a - njeno smanjenje.

Na primjer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite broj linija.

odgovor:

• dolazi do povećanja funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
• postoji smanjenje na intervalu [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; +∞ .

Na dijagramu, koristeći + i -, prikazani su pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice pokazuju smanjenje i povećanje.

Ekstremne tačke funkcije su tačke u kojima je funkcija definisana i kroz koje derivacija menja predznak.

Primjer 4

Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x = 0, tada je vrijednost funkcije u njemu f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Kada se znak derivacije promijeni sa + na - i prolazi kroz tačku x = 0, tada se tačka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom točkom. Kada se znak promijeni sa - na +, dobijamo minimalni poen.

Konveksnost i konkavnost se određuju rješavanjem nejednačina oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rjeđe koriste naziv ispupčenje prema dolje umjesto udubljenje i ispupčenje prema gore umjesto ispupčenje.

Definicija 3

Za određivanje praznina konkavnosti i konveksnosti potrebno:

• naći drugi izvod;
• naći nule funkcije drugog izvoda;
• razbiti domen definicije po tačkama koje se pojavljuju u intervale;
• odrediti predznak jaza.

Primjer 5

Nađite drugi izvod iz domena definicije.

Rješenje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pronalazimo nule brojioca i nazivnika, pri čemu, koristeći naš primjer, imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2

Sada morate staviti tačke na brojevnu pravu i odrediti znak drugog izvoda iz svakog intervala. Shvatili smo to

odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna od praznina - ∞ ; - 1 2 i 1 2 ; +∞ .

Definicija 4

tačka pregiba je tačka oblika x 0 ; f(x0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, onda kada prođe kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.

Drugim riječima, to je takva tačka kroz koju prolazi drugi izvod i mijenja predznak, a u samim tačkama je jednak nuli ili ne postoji. Sve tačke se smatraju domenom funkcije.

U primjeru se vidjelo da nema pregibnih tačaka, jer drugi izvod mijenja predznak prolazeći kroz tačke x = ± 1 2 . Oni, pak, nisu uključeni u domen definicije.

Pronalaženje horizontalnih i kosih asimptota

Prilikom definiranja funkcije u beskonačnosti, potrebno je tražiti horizontalne i kose asimptote.

Definicija 5

Kose asimptote predstavljena pravim linijama dato jednačinom y = k x + b , gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Za k = 0 i b nije jednako beskonačnosti, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalno.

Drugim riječima, asimptote su linije kojima se graf funkcije približava beskonačno. Ovo doprinosi brzoj konstrukciji grafa funkcije.

Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati granicu funkcije na tim beskonačnostima kako bi se razumjelo kako će se ponašati graf funkcije.

Primjer 6

Kao primjer, razmotrite to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Nakon što istražite funkciju, možete je početi graditi.

Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama

Da bi crtanje bilo što preciznije, preporučuje se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u međutočkama.

Primjer 7

Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u tačkama x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti poklapaju sa vrijednostima u ovim tačkama, odnosno dobijamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Hajde da napišemo i rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za određivanje maksimuma i minimuma funkcije, prevojnih tačaka, međutačaka, potrebno je izgraditi asimptote. Za praktično označavanje, intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, konkavnosti su fiksni. Razmotrite sliku ispod.

Kroz označene tačke potrebno je povući linije grafikona, što će vam omogućiti da se približite asimptoti, prateći strelice.

Ovim je završeno kompletno proučavanje funkcije. Postoje slučajevi konstruisanja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prvo pokušajte pronaći opseg funkcije:

Jeste li uspjeli? Uporedimo odgovore:

U redu? Dobro urađeno!

Pokušajmo sada pronaći raspon funkcije:

Pronađen? uporedi:

Je li se složilo? Dobro urađeno!

Idemo opet raditi s grafovima, samo što je sada malo teže - pronaći i domenu funkcije i opseg funkcije.

Kako pronaći i domenu i opseg funkcije (napredno)

Evo šta se dogodilo:

Što se tiče grafike, mislim da ste shvatili. Pokušajmo sada pronaći domenu funkcije u skladu s formulama (ako ne znate kako to učiniti, pročitajte odjeljak o):

Jeste li uspjeli? Provjeravam odgovori:

1. , budući da korijenski izraz mora biti veći ili jednak nuli.
2. , budući da je nemoguće podijeliti sa nulom i radikalni izraz ne može biti negativan.
3. , pošto, respektivno, za sve.
4. jer ne možete podijeliti sa nulom.

Ipak, ostaje nam još jedan trenutak koji nije sređen...

Dozvolite mi da ponovim definiciju i da se fokusiram na nju:

Primijećeno? Riječ "samo" je vrlo, vrlo važan element naše definicije. Pokušaću da ti na prste objasnim.

Recimo da imamo funkciju datu pravom linijom. . Kada, ovu vrijednost zamjenjujemo u naše "pravilo" i dobijamo to. Jedna vrijednost odgovara jednoj vrijednosti. Možemo čak napraviti tablicu različitih vrijednosti i nacrtati datu funkciju da to potvrdimo.

„Pogledaj! - kažete, - "" sastaje se dvaput!" Dakle, možda parabola nije funkcija? Ne, jeste!

Činjenica da se "" pojavljuje dva puta daleko je od razloga da se parabola optužuje za dvosmislenost!

Činjenica je da smo, računajući za, dobili jednu utakmicu. I kada se računa sa, dobili smo jednu utakmicu. Tako je, parabola je funkcija. Pogledajte grafikon:

Jasno? Ako ne, evo vam primjera iz stvarnog života, daleko od matematike!

Recimo da imamo grupu aplikanata koji su se sreli prilikom podnošenja dokumenata, od kojih je svaki u razgovoru rekao gdje živi:

Slažem se, sasvim je realno da nekoliko momaka živi u istom gradu, ali nemoguće je da jedna osoba živi u više gradova u isto vrijeme. Ovo je, takoreći, logičan prikaz naše "parabole" - Nekoliko različitih x odgovara istom y.

Hajde sada da smislimo primjer gdje ovisnost nije funkcija. Recimo da su ti isti momci ispričali za koje su se specijalnosti prijavili:

Ovdje imamo potpuno drugačiju situaciju: jedna osoba se lako može prijaviti za jedan ili više smjerova. tj jedan element setovi se dopisuju više elemenata setovi. odnosno to nije funkcija.

Provjerimo svoje znanje u praksi.

Odredite iz slika što je funkcija, a što nije:

Jasno? I evo ga odgovori:

• Funkcija je - B,E.
• Nije funkcija - A, B, D, D.

Pitate zašto? Da, evo zašto:

U svim brojkama osim IN) I E) ima ih nekoliko za jednog!

Siguran sam da sada možete lako razlikovati funkciju od ne-funkcije, reći šta je argument, a šta zavisna varijabla, kao i odrediti opseg argumenta i opseg funkcije. Pređimo na sljedeći odjeljak - kako definirati funkciju?

Načini postavljanja funkcije

Šta mislite šta znače riječi "postavi funkciju"? Tako je, znači objasniti svima o kojoj funkciji je riječ u ovom slučaju. Štaviše, objasnite na način da vas svi dobro razumiju i da su grafovi funkcija koje su ljudi nacrtali prema vašem objašnjenju bili isti.

Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju? Najlakši način, koji je već korišten više puta u ovom članku - koristeći formulu. Pišemo formulu i zamjenom vrijednosti u nju izračunavamo vrijednost. I kao što se sjećate, formula je zakon, pravilo prema kojem nama i drugoj osobi postaje jasno kako se X pretvara u Y.

Obično upravo to rade - u zadacima vidimo gotove funkcije definirane formulama, međutim, postoje i drugi načini postavljanja funkcije na koje svi zaboravljaju, a samim tim i pitanje "kako drugačije možete postaviti funkciju?" zbunjuje. Pogledajmo sve redom i počnimo s analitičkom metodom.

Analitički način definiranja funkcije

Analitička metoda je zadatak funkcije koja koristi formulu. Ovo je najuniverzalniji i najsveobuhvatniji i nedvosmislen način. Ako imate formulu, onda znate apsolutno sve o funkciji - možete napraviti tablicu vrijednosti ​​na njoj, možete napraviti graf, odrediti gdje se funkcija povećava, a gdje smanjuje, općenito, istražite je u cijelosti.

Razmotrimo funkciju. šta to ima veze?

"Šta to znači?" - pitate. Sad ću objasniti.

Da vas podsjetim da se u notaciji izraz u zagradama naziva argumentom. A ovaj argument može biti bilo koji izraz, ne nužno jednostavan. Prema tome, bez obzira na argument (izraz u zagradama), umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu.

U našem primjeru to će izgledati ovako:

Razmotrite još jedan zadatak koji se odnosi na analitičku metodu specificiranja funkcije koju ćete imati na ispitu.

Pronađite vrijednost izraza, at.

Sigurna sam da ste se u početku uplašili kada ste vidjeli takav izraz lica, ali u tome nema apsolutno ničeg strašnog!

Sve je isto kao u prethodnom primjeru: bez obzira na argument (izraz u zagradama), umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu. Na primjer, za funkciju.

Šta bi trebalo učiniti u našem primjeru? Umjesto toga, trebate napisati, a umjesto -:

skratiti rezultirajući izraz:

To je sve!

Samostalan rad

Sada pokušajte sami pronaći značenje sljedećih izraza:

1. , ako
2. , ako

Jeste li uspjeli? Uporedimo naše odgovore: Navikli smo na činjenicu da funkcija ima oblik

Čak iu našim primjerima funkciju definiramo na ovaj način, ali je analitički moguće definirati funkciju implicitno, na primjer.

Pokušajte sami izgraditi ovu funkciju.

Jeste li uspjeli?

Evo kako sam ga napravio.

Sa kojom smo jednačinom završili?

Tačno! Linearno, što znači da će graf biti prava linija. Napravimo tabelu da odredimo koje tačke pripadaju našoj liniji:

Upravo o tome smo pričali... Jedan odgovara nekoliko.

Pokušajmo nacrtati šta se dogodilo:

Je li ono što imamo funkcija?

Tako je, ne! Zašto? Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje slikom. šta si dobio?

“Zato što jedna vrijednost odgovara nekoliko vrijednosti!”

Kakav zaključak možemo izvući iz ovoga?

Tako je, funkcija se ne može uvijek eksplicitno izraziti, a ono što je "prikriveno" u funkciju nije uvijek funkcija!

Tabelarni način definiranja funkcije

Kao što ime govori, ova metoda je jednostavna ploča. Da da. Kao onaj koji smo već napravili. Na primjer:

Ovdje ste odmah primijetili uzorak - Y je tri puta veći od X. A sada zadatak „vrlo dobro razmislite“: mislite li da je funkcija data u obliku tabele ekvivalentna funkciji?

Hajde da ne pričamo dugo, nego da crtamo!

Dakle. Crtamo funkciju datu na oba načina:

Vidite li razliku? Ne radi se o označenim tačkama! Pogledajte izbliza:

Jeste li ga sada vidjeli? Kada funkciju postavimo na tabelarni način, na grafu odražavamo samo one tačke koje imamo u tabeli i linija (kao u našem slučaju) prolazi samo kroz njih. Kada definiramo funkciju na analitički način, možemo uzeti bilo koje točke, a naša funkcija nije ograničena na njih. Evo takve karakteristike. Zapamtite!

Grafički način za izgradnju funkcije

Grafički način konstruisanja funkcije nije ništa manje zgodan. Nacrtamo našu funkciju, a druga zainteresirana osoba može pronaći koliko je y jednako pri određenom x, i tako dalje. Grafičke i analitičke metode su među najčešćim.

Međutim, ovdje se morate sjetiti o čemu smo pričali na samom početku - nije svaka „švrgola“ nacrtana u koordinatnom sistemu funkcija! Zapamtite? Za svaki slučaj, kopiraću ovde definiciju šta je funkcija:

U pravilu ljudi obično imenuju upravo ona tri načina specificiranja funkcije koje smo analizirali – analitički (pomoću formule), tabelarni i grafički, potpuno zaboravljajući da se funkcija može opisati verbalno. Volim ovo? Da, vrlo lako!

Verbalni opis funkcije

Kako verbalno opisati funkciju? Uzmimo naš nedavni primjer - . Ova funkcija se može opisati kao "svaka realna vrijednost x odgovara njenoj trostrukoj vrijednosti." To je sve. Ništa komplikovano. Naravno, prigovorićete – „ima ih toliko složene funkciješto je jednostavno nemoguće usmeno pitati!” Da, ima ih, ali postoje funkcije koje je lakše opisati verbalno nego postaviti formulom. Na primjer: "svaka prirodna vrijednost x odgovara razlici između cifara od kojih se sastoji, dok se najveća cifra sadržana u unosu broja uzima kao minus." Sada razmotrite kako se naš verbalni opis funkcije implementira u praksi:

Najveća znamenka u datom broju - odnosno - se smanjuje, tada:

Glavne vrste funkcija

Sada pređimo na ono najzanimljivije - razmotrite glavne vrste funkcija s kojima ste radili/radili i koje ćete raditi u toku školske i institutske matematike, odnosno upoznaćemo ih, da tako kažem, i dati im kratak opis. Pročitajte više o svakoj funkciji u odgovarajućem odjeljku.

Linearna funkcija

Funkcija obrasca gdje, - realni brojevi.

Grafikon ove funkcije je prava linija, dakle konstrukcija linearna funkcija svodi se na pronalaženje koordinata dvije tačke.

Položaj prave linije na koordinatnoj ravni zavisi od nagiba.

Opseg funkcije (aka raspon argumenata) - .

Raspon vrijednosti je .

kvadratna funkcija

Funkcija forme, gdje

Graf funkcije je parabola, kada su grane parabole usmjerene prema dolje, kada - prema gore.

Mnoge nekretnine kvadratna funkcija zavisi od vrednosti diskriminanta. Diskriminanta se izračunava po formuli

Položaj parabole na koordinatnoj ravni u odnosu na vrijednost i koeficijent prikazan je na slici:

Domain

Raspon vrijednosti ovisi o ekstremumu date funkcije (vrh parabole) i koeficijentu (smjer grana parabole)

Inverzna proporcionalnost

Funkcija data formulom, gdje

Broj se naziva faktor inverzne proporcionalnosti. Ovisno o kojoj vrijednosti, grane hiperbole su u različitim kvadratima:

Domena - .

Raspon vrijednosti je .

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

1. Funkcija je pravilo prema kojem se svakom elementu skupa dodjeljuje jedinstveni element skupa.

• - ovo je formula koja označava funkciju, odnosno zavisnost jedne varijable od druge;
• - varijabla ili argument;
• - zavisna vrijednost - mijenja se kada se argument promijeni, odnosno prema nekima određene formule, što odražava zavisnost jedne veličine od druge.

2. Važeće vrijednosti argumenata, ili opseg funkcije, je ono što je povezano s mogućim pod kojim funkcija ima smisla.

3. Raspon vrijednosti funkcije- to su vrijednosti koje uzima, sa važećim vrijednostima.

4. Postoje 4 načina za postavljanje funkcije:

• analitički (koristeći formule);
• tabelarni;
• grafički
• verbalni opis.

5. Glavne vrste funkcija:

• : , gdje su realni brojevi;
• : , gdje;
• : , gdje.

Vrlo često svjestan matematička analiza možete pronaći zadatak sa sljedećim riječima: "istraži funkciju i zaplet". Ova formulacija govori sama za sebe i dijeli zadatak u dvije faze:

• Faza 1: istraživanje funkcije;
• Faza 2: crtanje istraživane funkcije.

Prva faza je najobimnija i uključuje pronalaženje domena definicija i vrijednosti, ekstrema funkcije, prevojnih tačaka grafa, itd.

Kompletan plan istraživanja funkcije $y=f(x)$, koji prethodi cilju iscrtavanja, ima sljedeće tačke:

• Pronalaženje opsega funkcije $D_(y)$ i domene važećih vrijednosti $E_(y)$ funkcije.
• Određivanje vrste funkcije: parna, neparna, opšta.
• Određivanje točaka presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.
• Pronalaženje asimptota grafa funkcije (vertikalna, kosa, horizontalna).
• Pronalaženje intervala monotonosti funkcije i ekstremnih tačaka.
• Određivanje intervala konveksnosti, konkavnosti grafa i prevojnih tačaka.

Traženje domena funkcije $D_(y) $ podrazumijeva pronalaženje intervala na kojima datu funkciju postoji (definisano). U pravilu se ovaj zadatak svodi na pronalaženje ODZ-a (opseg prihvatljivih vrijednosti), na osnovu kojeg se formira $D_(y) $.

Primjer 1

Pronađite domenu funkcije $y=\frac(x)(x-1) $.

Nađimo ODZ razmatrane funkcije, tj. vrijednosti varijable za koje nazivnik ne ide na nulu.

ODZ: $x-1\ne 0\Strelica desno x\ne 1$

Napišimo domen definicije: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.

Definicija 1

Funkcija $y=f(x)$ je parna ako vrijedi sljedeća jednakost $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.

Definicija 2

Funkcija $y=f(x)$ je neparna ako vrijedi sljedeća jednakost $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.

Definicija 3

Funkcija koja nije ni parna ni neparna naziva se opšta funkcija.

Primjer 2

Odredite tip funkcija: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

1) $y=\frac(x)(x-1)$

$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, dakle, imamo opštu funkciju.

2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $

$f(-x)=f(x)$, dakle, imamo parnu funkciju.

3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

$f(-x)\ne -f(x)$, dakle, imamo neparnu funkciju.

Određivanje presečnih tačaka grafa funkcije sa koordinatnim osa uključuje pronalaženje presečnih tačaka: sa OX osom ($y=0$), sa OY osom ($x=0$).

Primjer 3

Pronađite tačke presjeka sa koordinatnim osama funkcije $y=\frac(x+2)(x-1) $.

1. sa OX osom ($y=0$)

$\frac(x+2)(x-1) =0\Strelica desno x+2=0\Strelica desno x=-2$; dobiti bod (-2;0)

1. sa OY osom ($x=0$)

$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, dobijamo tačku (0;-2)

Na osnovu rezultata dobijenih u fazi proučavanja funkcije, gradi se graf. Ponekad tačke dobijene u prvoj fazi nisu dovoljne za iscrtavanje funkcije, tada je potrebno pronaći dodatne tačke.

Primjer 4

Istražite funkciju i izgradite njen graf: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.

1. Domen definicije: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
2. Raspon: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
3. Parne, neparne funkcije :\ \

Opća funkcija, tj. nije ni paran ni neparan.

4) Raskrsnica sa koordinatnim osama:

sa OY osom: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, dakle, graf prolazi kroz tačku (0;1).

sa OX osom: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( racionalni koreni ne)

5) Asimptote grafa:

Ne postoje vertikalne asimptote, jer $D_(y) =\( x|x\in R\) $

Kose asimptote će se tražiti u obliku $y=kx+b$.

$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Dakle, nema kosih asimptota.

6) rastuća, opadajuća funkcija; ekstremi:

\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Strelica desno 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(niz)\]

Označavamo tačke na brojevnoj osi, stavljamo predznake prvog izvoda i bilježimo ponašanje funkcije:

Slika 1.

Funkcija se povećava za $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ i $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, smanjuje se za $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.

$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - maksimalna tačka; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1,172$

$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - minimalna tačka; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23,172$

7) Konveksnost, konkavnost grafa:

\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Strelica desno 6x-12=0\Strelica desno x=2) \end(niz)\]

Označavamo tačke na brojevnoj osi, postavljamo znakove drugog izvoda i bilježimo ponašanje grafa funkcije:

Slika 2.

Graf je konveksan prema gore za $(-\infty ;2]$, prema dolje za $

8) Grafikon funkcije:

Slika 3