Ako a f (x, t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0), tada se ova jednačina naziva homogena, inače - heterogena.

U zavisnosti od vrste graničnih uslova, problemi za jednadžbu toplote mogu se podeliti u tri tipa. Razmotrite opšti slučaj ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1, 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 1,\;2))).

Ako a α i = 0 , (i = 1, 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)), tada se ovaj uslov naziva stanje prve vrste, ako β i = 0 , (i = 1, 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2)) - druga vrsta, šta ako α i (\displaystyle \alpha _(i)) i β i (\displaystyle \beta _(i)) razlikuju se od nule, onda uslov treća vrsta. Odavde dobijamo probleme za jednadžbu toplote - prva, druga i treća granica.

Maksimalni princip

Neka funkcija u prostoru D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb (R) ^(n)), zadovoljava homogenu jednačinu provođenja toplote ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-a^(2)\Delta u=0), i D (\displaystyle D)- zabranjeno područje. Princip maksimuma kaže da je funkcija u (x, t) (\displaystyle u(x,\;t)) može poprimiti ekstremne vrijednosti bilo u početnom trenutku vremena ili na granici regije D (\displaystyle D).

Bilješke

Prilikom konstruiranja matematičkog modela širenja topline u štapu, postavljamo sljedeće pretpostavke:

1) štap je napravljen od homogenog provodljivog materijala gustine ρ ;

2) bočna površina štapa je termički izolirana, odnosno toplina se može širiti samo duž ose OH;

3) štap je tanak - to znači da je temperatura u svim tačkama bilo kojeg poprečnog presjeka štapa ista.

Razmotrimo dio štapa na segmentu [ x, x + ∆x] (pogledajte sliku 6) i koristite zakon održanja toplotne količine:

Ukupna količina toplote u segmentu [ x, x + ∆x] = ukupna količina toplote koja prolazi kroz granice + ukupna količina toplote koju stvaraju unutrašnji izvori.

Ukupna količina topline koja se mora predati dijelu štapa da bi se njegova temperatura podigla ∆U, izračunava se po formuli: ∆Q=CρS∆x∆U, gdje OD- specifični toplotni kapacitet materijala (= količina toplote koja se treba izvesti na 1 kg supstance da bi se njena temperatura podigla za 1°), S- površina poprečnog presjeka.

Količina toplote koja je prošla kroz lijevi kraj dijela štapa tokom vremena ∆t(toplotni tok) se izračunava po formuli: Q 1 \u003d -kSU x (x, t) ∆t, gdje k- koeficijent toplotne provodljivosti materijala (= količina toplote koja teče u sekundi kroz štap jedinične dužine i jedinične površine poprečnog preseka sa temperaturnom razlikom na suprotnim krajevima od 1°). U ovoj formuli, znak minus zahtijeva posebno objašnjenje. Činjenica je da se tok smatra pozitivnim ako je usmjeren u smjeru povećanja. X, a ovo, zauzvrat, znači da je lijevo od tačke X temperatura je viša nego na desnoj strani, tj U x< 0 . Stoga, kako bi se Q1 bio pozitivan, u formuli se nalazi znak minus.

Slično, protok topline kroz desni kraj dijela šipke izračunava se po formuli: Q 2 \u003d -kSU x (x +∆x,t)∆t.

Ako pretpostavimo da u štapu nema unutrašnjih izvora toplote i koristimo zakon održanja toplote, dobijamo:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆h, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Ako se ova jednakost podijeli sa S∆x∆t i truditi se ∆h i ∆t na nulu, imaćemo:

Odavde, jednačina provodljivosti toplote ima oblik

U t \u003d a 2 U xx,

gdje je koeficijent toplinske difuzivnosti.

U slučaju kada se unutar štapa nalaze izvori topline, kontinuirano raspoređeni sa gustinom q(x,t), dobijamo nehomogenu jednačinu provođenja toplote

U t = a 2 U xx + f(x,t),
gdje .

Početni uslovi i granični uslovi.

Samo za jednadžbu toplote jedan početni uslov U| t=0 = φ(x)(ili u drugom unosu U(x,0) = φ(x)) i fizički to znači da početna raspodjela temperature štapa ima oblik φ(x). Za jednadžbe provođenja topline u ravni ili u prostoru, početni uvjet ima isti oblik, samo funkciju φ zavisiće od dve ili tri varijable, respektivno.

Granični uslovi u slučaju jednačine toplote imaju isti oblik kao i talasne jednačine, ali je njihovo fizičko značenje već drugačije. Uslovi prva vrsta (5) znači da je temperatura postavljena na krajevima štapa. Ako se to ne promijeni s vremenom, onda g 1 (t) ≡ T 1 i g 2 (t) ≡ T 2, gdje T 1 i T 2- trajno. Ako se krajevi stalno drže na nulti temperaturi, onda T 1 = T 2 = 0 a uslovi će biti isti. Granični uslovi druga vrsta (6) odrediti toplotni tok na krajevima štapa. Konkretno, ako g 1 (t) = g 2 (t) = 0, tada uslovi postaju ujednačeni. Fizički, oni znače da se razmena toplote sa spoljašnjim okruženjem ne odvija preko krajeva (ovi uslovi se nazivaju i uslovi za toplotnu izolaciju krajeva). Konačno, granični uslovi treća vrsta (7) odgovaraju slučaju kada se razmjena toplote sa okolinom odvija kroz krajeve štapa prema Newtonovom zakonu (podsjetimo da smo prilikom izvođenja toplotne jednačine smatrali da je bočna površina toplinski izolirana). Istina, u slučaju jednačine toplote, uslovi (7) su napisani malo drugačije:

Fizički zakon razmjene toplote sa okolinom (Newtonov zakon) je da je toplotni tok kroz jediničnu površinu u jedinici vremena proporcionalan temperaturnoj razlici između tijela i okoline. Dakle, za lijevi kraj štapa, to je jednako Evo h1 > 0- koeficijent razmene toplote sa okolinom, g 1 (t)- temperatura okoline na lijevom kraju. Znak minus se stavlja u formulu iz istog razloga kao i kod izvođenja toplotne jednačine. Sa druge strane, zbog toplotne provodljivosti materijala, toplotni tok kroz isti kraj je jednak. Primenom zakona održanja količine toplote dobijamo:

Slično, uslov (14) se dobija na desnom kraju štapa, samo konstanta λ2 mogu biti različiti, jer su, općenito govoreći, okruženja koja okružuju lijevi i desni kraj različita.

Granični uslovi (14) su opštiji od uslova prve i druge vrste. Ako pretpostavimo da nema razmjene topline sa medijumom preko bilo kojeg kraja (tj. koeficijent prolaza toplote je nula), onda će se dobiti uslov druge vrste. U drugom slučaju, pretpostavimo da je koeficijent prijenosa topline, na primjer h1, veoma veliki.

Prepišimo uvjet (14) za x = 0 as i trudimo se. Kao rezultat toga, imaćemo stanje prve vrste:

Granični uslovi se formulišu slično za veći broj varijabli. Za problem širenja toplote u ravnoj ploči, uslov znači da se temperatura na njenim rubovima održava na nuli. Na isti način, uslovi su spolja vrlo slični, ali u prvom slučaju to znači da se razmatra ravna ploča i njeni rubovi su termički izolirani, au drugom slučaju to znači da se razmatra problem širenja topline u tijelu. a njegova površina je toplinski izolirana.

Rješenje prvog početno-graničnog problema za jednadžbu topline.

Razmotrimo homogeni prvi problem početne granične vrijednosti za jednadžbu topline:

Pronađite rješenje jednačine

U t = U xx , 0 0,

zadovoljavanje graničnih uslova

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

i početno stanje

Rešimo ovaj problem Furijeovom metodom.

Korak 1. Rješenja jednačine (15) tražit ćemo u obliku U(x,t) = X(x)T(t).

Nađimo parcijalne derivate:

Zamijenite ove derivate u jednačinu i odvojite varijable:

Prema glavnoj lemi, dobijamo

ovo implicira

Sada možete riješiti svaku od ovih običnih diferencijalnih jednadžbi. Obratimo pažnju na činjenicu da se korištenjem graničnih uvjeta (16) može tražiti ne opće rješenje jednačine b), već posebna rješenja koja zadovoljavaju odgovarajuće granične uvjete:

Korak 2 Hajde da rešimo problem Šturm-Liuvil

Ovaj problem se poklapa sa Sturm-Liouville problemom razmatranim u predavanja 3. Podsjetimo da vlastite vrijednosti i svojstvene funkcije ovog problema postoje samo za λ>0.

Svojstvene vrijednosti su

Svojstvene funkcije su (Pogledajte rješenje problema)

ANALITIČKE METODE ZA RJEŠAVANJE JEDNAČINE TOPLOTNE PROVODNOSTI

Trenutno je analitički riješen vrlo veliki broj jednodimenzionalnih problema provođenja topline.

A.V.Lykov, na primjer, razmatra četiri metode za rješavanje jednadžbe topline u jednodimenzionalnom problemu: metodu razdvajanja varijabli, metodu izvora, operativnu metodu, metodu konačnih integralnih transformacija.

U budućnosti ćemo se fokusirati samo na prvu metodu, koja je dobila najveću rasprostranjenost.

Metoda razdvajanja varijabli u rješavanju jednačine topline

Diferencijalna jednadžba provođenja toplote u uslovima jednodimenzionalnog problema i bez izvora toplote ima oblik

T /?f \u003d a? 2 t/?x 2 .(3.1)

Ova jednadžba je poseban slučaj homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima za neku funkciju t dvije varijable x i φ:

Lako je provjeriti da je određeno rješenje ove jednačine izraz

t = C exp (bx + cf).(3.3)

stvarno:

• ?t/?x = bC exp (bx + wf);?t/?ph = sc exp (bx + wf);
• ? 2 t /? x 2 \u003d b 2 C exp (bx + wf);
• ? 2 t /?f 2 \u003d u 2 C exp (bx + wf);? 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + wf).(3.4)

Zajedno rješavanje posljednjih sedam jednačina daje

a 1 b 2 + b 1 bc + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0.(3.5)

Posljednja jednačina se zove jednačina koeficijenta.

Prelazeći na jednačinu (3.1) i upoređujući je sa jednačinom (3.2), zaključujemo da

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0; a 1 = - a; l 1 = 1. (3.6)

Jednadžba koeficijenata (3.5) za konkretan slučaj jednačine (3.1) ima oblik

B 2 a + c = 0(3.7)

c = b 2 a.(3.8)

Dakle, posebno rješenje (3.3) je integral diferencijalne jednadžbe (3.1) i, uzimajući u obzir (3.8), poprima oblik

t = C exp (b 2 aph + bx).(3.9)

U ovoj jednadžbi možete postaviti bilo koje vrijednosti brojeva za C, b, a.

Izraz (3.9) se može predstaviti kao proizvod

t = C exp (b 2 aph) exp (bx), (3.10)

gdje je faktor exp (b 2 aph) funkcija samo vremena φ, a faktor exp (bx) samo je funkcija udaljenosti x:

exp (b 2 aph) = f (f); exp (bx) = q (x). (3.11)

Kako se vrijeme φ povećava, temperatura u svim tačkama kontinuirano raste i može postati viša od unaprijed određene, što se ne događa u praktičnim problemima. Stoga se obično uzimaju samo one vrijednosti od 6 za koje je 6 2 negativno, što je moguće kada je 6 čisto imaginarno. Prihvati

b = ± iq, (3.12)

gdje je q proizvoljan realan broj (ranije je q označavao specifični toplotni tok),

U ovom slučaju, jednačina (3.10) će poprimiti sljedeći oblik:

t \u003d C exp (- q 2 aph) exp (± iqx). (3.13)

Pozivajući se na dobro poznatu Ojlerovu formulu

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3.14)

i koristeći je, transformišemo jednačinu (3.13). Dobijamo dva rješenja u složenom obliku:

Sažimamo lijevi i desni dio jednačine (3.15), zatim odvajamo stvarne dijelove od imaginarnih dijelova u lijevom i desnom dijelu zbira i izjednačavamo ih, redom. Tada dobijamo dva rješenja:

Hajde da uvedemo notaciju:

(C 1 + C 2)/2 = D; (C 1 - C 2)/2 = C(3.17)

tada dobijamo dva rješenja koja zadovoljavaju diferencijalnu toplinsku jednadžbu (3.1):

t 1 = D exp (- q 2 af) cos (qx); t 2 = C exp (- q 2 af) sin (qx). (3.18)

Poznato je da ako željena funkcija ima dva posebna rješenja, onda će zbir ovih konkretnih rješenja također zadovoljiti originalnu diferencijalnu jednadžbu (3.1), tj. rješenje ove jednačine će biti

t \u003d C exp (- q 2 af) sin (qx) + D exp (- q 2 af) cos (qx), (3.19)

a opće rješenje koje zadovoljava ovu jednačinu može se napisati u sljedećem obliku:

Bilo koje vrijednosti q m , q n , C i , D i u jednačini (3.20) će zadovoljiti jednačinu (3.1). Specifikacija u izboru ovih vrednosti biće određena početnim i graničnim uslovima svakog konkretnog praktičnog problema, a vrednosti q m i q n određene su iz graničnih uslova, a C i , i D i , -- od početnih.

Pored općeg rješenja jednadžbe topline (3.20) u kojem se odvija umnožak dvije funkcije, od kojih jedna ovisi o x, a druga o φ, postoje i rješenja u kojima je takvo razdvajanje nemoguće, na primjer:

Oba rješenja zadovoljavaju jednadžbu topline, što je lako provjeriti diferenciranjem prvo s obzirom na φ, a zatim 2 puta u odnosu na x, i zamjenom rezultata u diferencijalna jednadžba (3.1).

Poseban primjer nestacionarnog temperaturnog polja u zidu

Razmotrimo primjer primjene gore dobivenog rješenja.

Početni podaci.

• 1. Dat je betonski zid debljine 2X = 0,80 m.
• 2. Temperatura medija koji okružuje zid u = 0°C.
• 3. U početnom trenutku vremena, temperatura zida u svim tačkama F(x)=1°C.
• 4. Koeficijent prolaza toplote zida b = 12,6 W/(m 2 °C); koeficijent toplotne provodljivosti zida l=0,7W/(m °C); gustina materijala zida c=2000kg/m 3 ; specifični toplotni kapacitet c=1,13 10 3 J/(kg °C); koeficijent toplotne difuzivnosti a=1,1·10 -3 m 2 /h; relativni koeficijent prolaza toplote b/l = h=18,0 1/m. Potrebno je odrediti raspodjelu temperature u zidu 5 sati nakon početnog vremena.

Rješenje. Okrećući se opštem rješenju (3.20) i imajući u vidu da su početna i naknadna raspodjela temperature simetrične u odnosu na osu zida, zaključujemo da niz sinusa u ovom općem rješenju nestaje, a za x = X imat će formu

Vrijednosti su određene iz graničnih uslova (bez daljeg objašnjenja ovdje) i date su u tabeli 3.1.

Imajući vrijednosti iz Tabele 3.1, pronalazimo željeni raspon vrijednosti pomoću formule

Tabela 3.1 Vrijednosti funkcija uključenih u formulu (3.24)

tj. D1 = 1,250; D2 \u003d - 0,373; D3 = 0,188; D4 \u003d - 0,109; D5 = 0,072.

Početna raspodjela temperature u razmatranom zidu imat će sljedeći oblik:

Da bi se dobila proračunska raspodjela temperature 5 sati nakon početnog trenutka, potrebno je odrediti niz vrijednosti za vrijeme nakon 5 sati.Ovi proračuni su urađeni u tabeli 3.2.

Tabela 3.2 Vrijednosti funkcija uključenih u formulu (3.23)

Konačni izraz za raspodjelu temperature u debljini zida 5 sati nakon početnog trenutka

Na slici 3.1 prikazana je distribucija temperature u debljini zida u početnom trenutku vremena i nakon 5 sati. Pored opšteg rešenja, ovde su prikazane i privatne, sa rimskim brojevima koji označavaju privatne krive koje odgovaraju uzastopnim članovima serije ( 3.25) i (3.26).

Sl.3.1.

Prilikom rješavanja praktičnih problema obično nema potrebe za određivanjem temperature na svim tačkama zida. Možete se ograničiti na izračunavanje temperature samo za bilo koju tačku, na primjer, za tačku na sredini zida. U ovom slučaju, količina računskog rada prema formuli (3.23) bit će značajno smanjena.

Ako početna temperatura u gore razmatranom slučaju nije jednaka 1 ° C, već T c, tada će jednačina (3.20) poprimiti oblik

Rješenje jednadžbe topline pod različitim graničnim uvjetima

Nećemo davati konzistentan tok rješavanja jednačine topline za druge granične uslove, koji su od praktične važnosti za rješavanje nekih problema. U nastavku se ograničavamo na formulaciju njihovih uslova uz demonstraciju dostupnih gotovih rješenja.

Početni podaci. Zid je debljine 2X. U početnom trenutku u svim njenim tačkama, osim na površini, temperatura je Ts. Temperatura na površini je 0°S tokom čitavog perioda proračuna.

Potrebno je pronaći t = f(x, φ).

Nepokretni rezervoar je bio prekriven ledom na temperaturi najveće gustine vode (Ts = 4°S). Dubina rezervoara je 5m (X = 5m). Izračunajte temperaturu vode u rezervoaru 3 mjeseca nakon smrzavanja. Toplotna difuzivnost mirne vode a = 4,8 10 -4 m 2 / h. Nema toplotnog toka blizu dna, tj. na x = 0.

Tokom obračunskog perioda (f=3·30·24=2160 h), temperatura na površini se održava konstantnom i jednakom nuli, odnosno pri x = X T p = 0°C. Cijeli proračun je sažet u tabeli. 3 i 4. Ove tabele vam omogućavaju da izračunate vrijednosti temperature 3 mjeseca nakon početnog trenutka za dubine blizu dna, a zatim više nakon 1 m, tj. t 0 (dno) = 4°C; t 1 \u003d 4 ° C; t 2 = 3,85°C; t 3 = 3,30°C; t 4 = 2,96°C; t 5 (pov) \u003d 0 ° C.

Tabela 3.3

Tabela 3.4

Kao što vidite, u apsolutno mirnoj vodi, temperaturne perturbacije vrlo sporo prodiru duboko u dubinu. U prirodnim uvjetima, u vodnim tijelima ispod ledenog pokrivača, uvijek se uočavaju struje, bilo gravitacijske (teče), bilo konvektivne (različite gustoće), ili, konačno, uzrokovane prilivom podzemnih voda. U praktičnim proračunima treba uzeti u obzir svu raznolikost ovih prirodnih karakteristika, a preporuke za ove proračune mogu se naći u priručnicima i radovima K.I. Rossinskyja.

Tijelo je omeđeno s jedne strane (poluravni). U trenutku vremena φ = 0 u svim tačkama temperatura tijela je jednaka T s. Za sve trenutke vremena φ > 0, na površini tijela se održava temperatura T p = 0°C.

Potrebno je pronaći raspodjelu temperature u debljini tijela i gubitak topline kroz slobodnu površinu kao funkciju vremena: t = f (x, f),

Rješenje. Temperatura bilo gdje u tijelu i u bilo koje vrijeme

gdje je Gaussov integral. Njegove vrijednosti u zavisnosti od funkcije date su u tabeli 3.5.

Tabela 3.5

U praksi, rješenje počinje određivanjem odnosa u kojima su x i φ dati u iskazu problema.

Količina topline koju jedinica tjelesne površine izgubi u okolinu određena je Fourierovim zakonom. Za cijeli period obračuna od početnog trenutka do poravnanja

U početnom trenutku, temperatura tla od površine do znatne dubine bila je konstantna i iznosila je 6°C. U ovom trenutku temperatura na površini tla je pala na 0°C.

Potrebno je odrediti temperaturu tla na dubini od 0,5 m nakon 48 sati sa vrijednošću koeficijenta toplinske difuzije tla a = 0,001 m 2 / h, kao i procijeniti količinu izgubljene topline. površine za to vreme.

Prema formuli (3.29), temperatura tla na dubini od 0,5 m nakon 48 sati iznosi t=6·0,87=5,2°C.

Ukupna količina izgubljene toplote po jedinici površine tla, sa koeficijentom toplotne provodljivosti l = 0,35 W/(m°C), specifičnim toplotnim kapacitetom c = 0,83 10 3 J/(kg°C) i gustinom c = 1500 kg / m 3 određujemo po formuli (3.30) Q = l,86 10 6 J / m 2.

integralno toplotno telo toplotne provodljivosti

Sl.3.2

Zbog nekog vanjskog utjecaja, površinska temperatura tijela omeđenog s jedne strane (poluravnina) podliježe periodičnim fluktuacijama oko nule. Pretpostavićemo da su ove oscilacije harmonijske, tj. temperatura površine varira duž kosinusnog talasa:

gdje je trajanje oscilacije (period), T 0 je temperatura površine,

T 0 max -- njegovo maksimalno odstupanje.

Potrebno je odrediti temperaturno polje kao funkciju vremena.

Amplituda temperaturnih fluktuacija mijenja se od x prema sljedećem zakonu (slika 3.2):

Primjer za zadatak br. 3. Promjenu temperature na površini suhog pješčanog tla tokom godine karakterizira kosinusni tok. U ovom slučaju prosječna godišnja temperatura iznosi 6°C, sa maksimalnim odstupanjima od prosjeka ljeti i zimi, dostižući 24°C.

Potrebno je odrediti temperaturu tla na dubini od 1 m u trenutku kada je temperatura na površini 30°C (uslovno 1/VII).

Izraz kosinusa (3.31) u odnosu na ovaj slučaj (temperatura površine) pri T 0 max = 24 0 C ima oblik

T 0 \u003d 24 cos (2rf / 8760) + 6.

Zbog činjenice da površina tla ima prosječnu godišnju temperaturu od 6°C, a ne nulu, kao u jednačini (3.32), jednačina proračuna će imati sljedeći oblik:

Uz pretpostavku za tlo koeficijent toplotne difuzivnosti a = 0,001 m 2 / h i imajući u vidu da je prema stanju zadatka potrebno odrediti temperaturu na kraju obračunskog perioda (nakon 8760 sati od početnog trenutka). ), mi nalazimo

Izraz za proračun (3.34) imat će sljedeći oblik: t = 24e -0,6 0,825 + 6 = 16,9 ° S.

Na istoj dubini od 1 m maksimalna amplituda godišnje temperaturne fluktuacije, prema izrazu (3.33), biće

T 1 max \u003d 24e -0,6 \u003d 13,2 ° C,

i maksimalne temperature na dubini od 1 m

t 1 max \u003d T x max + 6 \u003d 13,2 + 6 = 19,2 ° S.

U zaključku napominjemo da se razmatrani problemi i pristupi mogu koristiti u rješavanju pitanja vezanih za ispuštanje tople vode u rezervoar, kao i u hemijskoj metodi za određivanje protoka vode iu drugim slučajevima.

Formule za proračun temperaturnog polja i toplotnog toka u pojedinim problemima stacionarnog i nestacionarnog provođenja toplote dobijene su na osnovu matematičkog opisa (matematičkog modela) procesa. Osnova modela je diferencijalna jednadžba provođenja topline, koja je izvedena korištenjem prvog zakona termodinamike za tijela koja ne rade, i Fourierovog zakona provođenja topline. Diferencijalna jednadžba fizičkog procesa obično se izvodi pod određenim pretpostavkama koje pojednostavljuju proces. Dakle, rezultirajuća jednačina opisuje klasu procesa samo u okviru prihvaćenih pretpostavki. Svaki specifični zadatak je opisan odgovarajućim uslovima jedinstvenosti. Dakle, matematički opis procesa provođenja toplote uključuje diferencijalnu jednačinu toplotne provodljivosti i uslove jedinstvenosti.

Razmotrimo izvođenje diferencijalne jednadžbe provođenja topline pod sljedećim pretpostavkama:

• a) tijelo je homogeno i anizotropno;
• b) koeficijent toplotne provodljivosti zavisi od temperature;
• c) deformacija zapremine koja se razmatra, povezana sa promjenom temperature, vrlo je mala u odnosu na sam volumen;
• d) unutar tela su ravnomerno raspoređeni unutrašnji izvori toplote q v = f(x, y, z, m) = const;
• e) nema pomeranja telesnih makročestica jedna u odnosu na drugu (konvekcija).

U tijelu sa prihvaćenim karakteristikama odabiremo elementarni volumen u obliku paralelepipeda sa ivicama dx, dy, dz, definitivno orijentisan u ortogonalnom koordinatnom sistemu (slika 14.1). U skladu sa prvim zakonom termodinamike za tijela koja ne rade, promjena unutrašnje energije dU supstance u dodeljenoj zapremini tokom vremena dx jednak je količini dovedene toplote

Rice. 14.1.

zapremine zbog provodljivosti toplote dQ x , i toplote koju oslobađaju unutrašnji izvori dQ2".

Iz termodinamike je poznato da je promjena unutrašnje energije tvari u volumenu dV tokom dx jednaki

gdje dG = str dv- masa supstance; p - gustina; With - specifični maseni toplinski kapacitet (za kompresibilne tekućine c = cv (izohorni toplotni kapacitet)).

Količina energije koju izdvajaju unutrašnji izvori,

gdje qv - zapreminska gustina unutrašnjih izvora toplote, W / m 3.

Toplotni tok koji ulazi u zapreminu toplotnom provodljivošću dijeli se na tri komponente prema smjeru koordinatnih osa: Kroz suprotna lica će biti vrućina

biti uklonjena u određenoj količini Razlika između količine dovedene i odvedene topline je ekvivalentna promjeni unutrašnje energije zbog toplinske provodljivosti dQ v Ovu vrijednost predstavljamo kao zbir komponenti duž koordinatnih osa:

Zatim u smjeru x-ose imamo

Zbog -

gustine toplotnog fluksa na suprotnim kanalima.

Funkcija qx+dx je kontinuiran u razmatranom intervalu dx i može se proširiti u Taylor seriju:

Ograničavajući se na prva dva člana niza i zamjenom u (14.6), dobijamo

Slično, dobijamo:

Nakon zamjene (14.8)-(14.10) u (14.4) imamo

Zamjenom (14.2), (14.3) i (14.11) u (14.1) dobijamo diferencijalnu jednačinu za prijenos topline provođenjem topline, uzimajući u obzir unutrašnje izvore:

Prema Fourierovom zakonu provođenja toplote, zapisujemo izraze za projekcije na koordinatne osi gustine toplotnog fluksa:

gdje X x, X y, X z- koeficijenti toplotne provodljivosti u pravcu koordinatnih osa (anizotropno telo).

Zamjenom ovih izraza u (14.12) dobijamo

Jednačina (14.13) se naziva diferencijalna jednačina topline za anizotropna tijela sa fizičkim svojstvima nezavisnim od temperature.

Ako prihvatite X= const, a tijelo je izotropno, jednadžba topline poprima oblik

Evo a = H/(sr), m 2 / s, - termička difuzivnost,

što je fizički parametar tvari koji karakterizira brzinu promjene temperature u procesima zagrijavanja ili hlađenja. Tijela napravljena od tvari s visokim koeficijentom toplinske difuzije, ceteris paribus, brže se zagrijavaju i hlade.

U cilindričnom koordinatnom sistemu, diferencijalna toplotna jednačina za izotropno tijelo sa konstantnim fizičkim svojstvima ima oblik

gdje g, z, F - radijalne, aksijalne i ugaone koordinate.

Jednačine (14.13), (14.14) i (14.15) opisuju proces provođenja toplote u najopštijem obliku. Konkretni zadaci se razlikuju uslovi jedinstvenosti, tj. opis karakteristika procesa koji se razmatra.

uslovi za nedvosmislenost. Na osnovu fizičkih koncepata toplotne provodljivosti, moguće je izdvojiti faktore koji utiču na proces: fizička svojstva supstance; veličina i oblik tijela; početna raspodjela temperature; uslovi prenosa toplote na površini (granici) tela. Tako se uvjeti jedinstvenosti dijele na fizičke, geometrijske, početne i granične (granične).

fizičkih uslova dati su fizički parametri supstance X, s, p i distribucija internih izvora.

Geometrijski pojmovi zadaju se oblik i linearne dimenzije tijela u kojem se proces odvija.

Početni uslovi data je raspodjela temperature u tijelu u početnom trenutku vremena t= /(x, y, z) pri m = 0. Početni uslovi su važni kada se razmatraju nestacionarni procesi.

U zavisnosti od prirode prenosa toplote na granici tela, granični (granični) uslovi se dele na četiri tipa.

Granični uslovi prve vrste. Određuje raspodjelu temperature na površini t n tokom procesa

U posebnom slučaju, temperatura površine može ostati konstantna (/n = const).

Granični uvjeti prve vrste nastaju, na primjer, prilikom kontaktnog zagrijavanja u procesima lijepljenja šperploče, presovanja iverice i lesonita itd.

Granični uslovi druge vrste. Postavlja se distribucija vrijednosti gustine toplotnog toka na površini tijela tokom procesa

U određenom slučaju, toplotni tok na površini može ostati konstantan (

Granični uslovi treće vrste odgovaraju konvektivnom prijenosu topline na površini. U tim uslovima treba podesiti temperaturu tečnosti u kojoj se telo nalazi, Tf = /(t), i koeficijent prolaza toplote oc. U opštem slučaju, koeficijent prolaza toplote je promenljiva vrednost, stoga se mora postaviti zakon njegove promene a = / (t). Moguć je poseban slučaj: / f = const; a = konst.

Granični uslovi četvrte vrste okarakterizirati uvjete razmjene topline tijela sa različitim koeficijentima toplotne provodljivosti na njihovom idealnom kontaktu, kada se toplota prenosi toplotnom provodljivošću, a toplotni tokovi na suprotnim stranama kontaktne površine su jednaki:

Prihvaćene fizičke pretpostavke, jednačina izvedena na osnovu ovih pretpostavki i uslovi jedinstvenosti čine analitički opis (matematički model) procesa provođenja toplote. Uspeh korišćenja dobijenog modela za rešavanje konkretnog problema zavisiće od toga koliko su prihvaćene pretpostavke i uslovi jedinstvenosti adekvatni realnim uslovima.

Jednačine (14.14) i (14.15) se vrlo jednostavno rješavaju analitički za jednodimenzionalni stacionarni termički režim. Rješenja se razmatraju u nastavku. Za dvodimenzionalne i trodimenzionalne stacionarne procese koriste se približne numeričke metode

Za rješavanje jednačina (14.13) - (14.15) u uslovima nestacionarnog termičkog režima koristi se niz metoda koje su detaljno razmotrene u posebnoj literaturi. Poznate su egzaktne i približne analitičke metode, numeričke metode itd.

Numeričko rješavanje jednačine topline provodi se uglavnom metodom konačnih razlika. Izbor jedne ili druge metode rješenja ovisi o uvjetima problema. Kao rezultat rješavanja analitičkim metodama dobijaju se formule koje su primjenjive na rješavanje niza inženjerskih problema pod odgovarajućim uvjetima. Numeričke metode omogućavaju dobijanje temperaturnog polja t=f(x, y, z, m) kao skup diskretnih temperaturnih vrijednosti u različitim točkama u fiksno vrijeme za određeni zadatak. Stoga je upotreba analitičkih metoda poželjna, ali to nije uvijek moguće za višedimenzionalne probleme i složene granične uslove.