Grafička metoda. Koordinatna ravan (x;a)

Jednačina
površine
F(x,y,z)=0
.

Avion. Jednadžba ravni u odnosu na tačku i vektor normale

Položaj aviona u prostoru
može se odrediti postavljanjem bilo kojeg
tačka M0 na ravni i neke
normalni vektor. normalno
ravan vektor je bilo koji
vektor okomit na ovo
avioni.

Neka tačka M0(x0,y0,z0) leži u ravni.
Hajde da uvedemo proizvoljnu tačku
ravan M(x, y, z).
z
n (A,B,C)
M
y
M0
x

Vektori n(A, B, C) i M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ortogonalno.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Jednačina u ravni po tački i
normalni vektor.

Primjer 1:

prolazi kroz tačku M(2,3,-1)
okomito na vektor n(1,2, 3)
Rješenje:
Prema formuli: 1(x-2)+2(y-3)-3(z+1)=0
ili x+2y-3z-11=0

Primjer 2:
Napišite jednačinu ravnine,
prolazi kroz tačku M(1,0,0)
okomito na vektor n(2,0,1) .
Rješenje:
Dobijamo: 2(x-1)+0(y-0)+1(z-0)=0
ili 2x+z-2=0.

Opšta jednačina ravni

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, proširi ga
zagrade i označiti –Ah0-Vu0-Sz0=D.
Dajemo jednačinu razmatranog
avion za pogledati:
Ax+By+Cz+D=0 - opšta jednačina ravni.
Koeficijenti A,B,C su
normalne vektorske koordinate
avioni.

Posebni slučajevi opće jednačine ravnine

1. Neka je A=0, B, C, D≠0. Tada: By+Cz+D=0.
Normalni vektor ravni n(0, B, C)
okomito na x-osu i stoga
ravan je paralelna sa x-osom.
z
y
x

Jednačine Ax+Cz+D=0 i Ax+By+D=0
ekspresni avioni, paralelno sa osovinama OU
i O.Z.
2. D=0, A, B, C≠0. Jednačina ravni:
Ax+By+Cz=0. Tačka O(0,0,0) zadovoljava
ravan jednadžba. Jednačina specificira
ravan koja prolazi kroz ishodište
koordinate.
3. A=0, D=0, B, C≠0. Jednačina ravni:
By+Cz=0. Avion u isto vreme
je paralelna sa x-osi i prolazi kroz ishodište
koordinate, tj. prolazi kroz x-osu.

Slično, jednačine Ax+Cz=0 i Ax+By=0
ekspresne ravni koje prolaze kroz ose
OY i OZ.
4. A=0, B=0, C, D≠0. Jednačina ravni:
Cz+D=0. Avion u isto vreme
paralelno sa osovinama OX i OU, tj. koordinata
OXY avion. Jednačine
Po+D=0 i Ax+D=0 ekspresnim ravnima,
paralelno koordinatne ravni OXZ
i OYZ.

primjer:
Z=3
z
3
y
x

A=0, B=0, D=0, C≠0.
Jednačina ravni: Cz=0 ili z=0. to
ravan je paralelna
koordinatna ravan OXY, tj. sama
koordinatna ravan OXY. Slično:
y=0 i x=0 su koordinatne jednadžbe
avioni OXZ i OYZ.

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke

Tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) je proizvoljna tačka ravni.
z
M2
M1
M3
M

Vektori M1M , M 1M 2 , M 1 M 3 ,
komplanarno. Njihova mešavina
proizvod je nula.
xx1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Ovo je željena jednačina ravnine,
prolazeći kroz tri date tačke.

Primjer. Napišite jednačinu ravnine,
prolazeći kroz tačke M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Rješenje: korištenjem dobivenog
jednačina, imamo:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Ili 4x+11y+5z-31=0

Ugao između ravni, uslov paralelnosti i okomitosti dve ravni

Dvije ravni: A1x+B1y+C1z+D1=0 i
A2x+B2y+C2z+D2=0. Njihovo normalno
vektori n1 (A1, B1, C1), n2 (A2, B2, C2)
Ugao između dve ravni
naziva se ugao između njihove normale
vektori
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Ako su ravnine okomite, onda su
i normalni vektori
su okomite i stoga
proizvod tačke je nula:
A1 A2+B1 B2+C1 C2=0.
Ako su ravni paralelne, onda
njihovi normalni vektori su paralelni, i
To znači da su zadovoljeni sljedeći odnosi:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Primjer: Napišite jednačinu ravnine,
prolazi kroz tačku M(0,1,4)
paralelno sa ravninom 2x-4y-z+1=0.
Rješenje: Vektor normale datog
avion će biti normalan
vektor i za željenu ravan.
Koristimo jednadžbu ravnine po tački
i normalni vektor:
2(x-0)-4(y-1)-(z-4)=0 ili 2x-4y-z+8=0.

.Udaljenost od tačke do ravni

naći udaljenost od tačke M(x0, y0, z0) do
ravan: Ax+By+Cz+D=0. Pad sa tačke
M je okomito na MK na ravan (d).
z
M
n
K
x
y

Neka tačka K ima koordinate x1,y1,z1
n KM n KM d n
Ili n KM A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Tačka K leži u ravni, njena
koordinate zadovoljavaju jednačinu
ravni, tj. Ax1+By1+Cz1+D=0.

S obzirom na ovo, dobijamo: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Tada: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 Po 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

primjer:
Pronađite udaljenost od tačke M (-1,2,3) do
ravan 2x-6y-3z+2=0.
Rješenje:
Koristimo formulu i zamijenimo je
jednadžba koordinatne ravni
set lopta:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Opšte jednačine prave u prostoru

Razmatra se linija u prostoru
kao linija preseka dve ravni.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Sistem definira pravu liniju ako
ravni nisu paralelne
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Kanonske jednadžbe prave linije u prostoru

Položaj prave L u prostoru
jedinstveno određeno ako je poznato
neka tačka M0(x0, y0, z0) koja leži na njoj
prava linija L, a zadan je vektor smjera
S (m, n, p)
S
M
M0

M(x, y, z) je proizvoljna tačka na ovome
ravno. Zatim vektori
M 0 M \u003d (x-x0, y-y0, z-z0) i S (m, n, p)
bit će kolinearna:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
str
- kanonske jednačine pravo na
prostor ili jednačina prave linije u
vektor tačke i pravca.

Primjer 1:

kroz tačku M(1,2,3), paralelnu pravoj
x 1 y 7 z
2
5
3
Rješenje:
Pošto su prave paralelne, onda je S (2,5,3)
je vektor smjera i željeni
ravno. posljedično:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

Primjer 2:
Napišite jednačinu prave L koja prolazi
kroz tačku M(1,2,3) i imajući
vektor smjera S(2,0,5)
Rješenje:
Koristimo formulu:
x 1 z 3
i
2
5
y-2=0,
tj. 5x-2z+1=0 i y=2. To znači da
prava leži u ravni y=2

Jednačine prave u prostoru za dvije tačke

Date su dvije točke M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2).
Napišite jednačinu prave linije koja prolazi
kroz dve tačke.
M1
M2

Prava linija prolazi kroz tačku M1 i ima
kao vodeći vektor M 1M 2
Jednačina izgleda ovako:
xx1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Primjer: Napišite jednačinu prave linije,
prolazeći kroz tačke M1(1,4,-3) i
M2(2,1,1).
Rješenje: Koristimo formulu
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Parametarske jednačine prave u prostoru

Razmotrimo kanonske jednačine
direktno: x x0 y y0 z z 0
m
n
str
Hajde da uvedemo parametar t:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
str
-∞ < t <+∞.

Dobijamo:
xx0
t
y m y
0
t
n
z z0 t
str
ili
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
parametarske jednačine prave u
prostor. U ovom obliku su često
koristi se u mehanici i fizici, parametar t,
obično vreme.

Svođenje općih jednačina prave u prostoru na kanonski oblik

Date su opšte jednačine prave linije
prostor
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Dovedite ih u kanonski oblik
x x0 y y 0 z z 0
m
n
str

Za rješavanje problema potrebno je:
1. pronaći koordinate (x0, y0, z0) bilo kojeg
tačka na pravoj liniji
2. pronaći koordinate (m,n,p) vodiča
vektor ove linije.
Da bismo pronašli koordinate tačke M0 dodajemo
jedna od koordinata proizvoljna numerička
vrijednost, na primjer pretpostavljamo x=x0. Uvođenjem
u sistem (1), dobijamo sistem od dva
jednadžbe sa nepoznanicama y i z. Mi to rješavamo.
Kao rezultat, na liniji se nalazi tačka
M0(x0, y0, z0).

Kao vodeći vektor uzimamo
vektor koji je rezultat
vektorski proizvod normale
vektori dve ravni.
S (m, n, p) n1 n2
i
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
i
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
k

Dobivanje koordinata vodiča
vektor:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
str
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Opće jednačine direktno, upisano
kanonski oblik:
xx0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

Primjer: Zapišite kanonsku jednačinu
ravno
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Rješenje: Neka je z0=0. onda:
x 2 y 5
x y 1
Dakle: y0=-6, x0=7. Tačka M0 leži na
prava linija, ima koordinate: (7,-6,0).

Nađimo vektor smjera. Normalno
ravni vektori imaju koordinate
n1(1,2,1)
Onda
n2(1,1,1)
i j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Kanonske jednadžbe prave linije imaju oblik:
x 7 y 6 z
3
2
1

Ugao između dve prave u prostoru, uslov okomitosti i paralelizma pravih

linije L1 i L2 su date u kanonskom obliku sa
vektori smjera
S 1 (m1 , n1 , p1) i S 2 (m2 , n2 , p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

Ugao između dve prave naziva se ugao
između njihovih vektora smjera.
S1 S2
cos (L1 , L2) cos(S1, S 2)
S1 S2
cos(L1, L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

Linije su okomite ako
njihovi vektori pravca su okomiti:
To jest, S1 S2 0 , ili
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Prave su paralelne ako su paralelne
vektori smjera:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

Primjer: Pronađite ugao između linija
x 2 y 7
z
1
3
2
i
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Rješenje: Vektori pravca linija
imaju koordinate: (1,3,-2) i (4,1,2).
shodno tome,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1, L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1, L2) arccos
7 16

Ugao između prave i ravni

Zadata je ravan P: Ax+By+Cz+D=0, i
ravno L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
str
n
S
ω
φ

Ugao između prave i ravni
naziva se ugao φ između prave i projekcije
nju u avion.
ω - ugao između vektora normale
ravan i vektor pravca
ravno. ω=π/2-φ. Tada je sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Ali cosω=cos (n, S)
Onda
nS
sinφ= cos (n, S)
nS

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Primjer: Pronađite ugao između prave:
x 2 y 1 z
3
2
6
i ravan: 2x+y+2z-5=0.
Rješenje: Normalni ravan vektor
ima koordinate: (2,1,2), vodič
vektor linije ima koordinate: (3,2,-6).
grijeh
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

Uslov okomitosti i paralelnosti prave i ravni.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
str
P
Linija L je data:
i ravan P: Ax+By+Cz+D=0.
Ako je prava paralelna sa ravninom, onda
vodeći vektor ravno
okomito na vektor normale
avioni.
S
n
L

Dakle, njihov skalarni proizvod
je jednako nuli: A·m+B·n+C·p=0.
Ako je prava okomita na ravan, onda
ovi vektori su paralelni.
S
n
R
L
U ovom slučaju:
A B C
m n str

primjer:
Napišite jednačinu prave linije
prolazeći kroz tačku M(1,2,-3),
okomito na ravan
4x+2y-z+5=0.
Rješenje:
Pošto je ravan okomita
prava linija, zatim normalni vektor i
paralelni vektor smjera:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Pogledajmo tipičan problem.
Dati su vrhovi piramide ABCD: A(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Nađi:
1. Dužina i jednačina ivice AB,
2. Jednačina i površina lica ABC,
3. Jednačina i dužina visine izostavljeni
od vrha D do lica ABC,
4. Ugao između ivice AD i lica ABC,
5. Zapremina piramide.

Crtež:
z
D
C
B
A
x
y

1. Uvedemo vektor AB u razmatranje. Njegovo
koordinate: (0-1;2-0;0-0), ili (-1;2;0). Dužina
ivica AB jednaka je modulu vektora.
AB= 1 4 0 5
Jednačina prave AB (jednačina prave duž
dvije tačke):
x 1 g
1 2
Ili 2x+y-2=0

2. Jednačina lica ABC (jednačina
ravan za tri tačke):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Dakle: (x-1)∙6-y∙(-3)+z∙2=0,
ili 6x+3y+2z-6=0.
Pronađite površinu trougla ABC sa
unakrsni proizvod
vektori AB i AC

Vektorske koordinate AB =(-1;2;0),
vektor AC =(-1,0,3).
1
S∆ABC= AB AC
sq. jedinica
2
Vektorski proizvod:
i
j k
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Onda
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3,5 kv.
2
2

Jednačina visine - jednačina prave duž
tačka D(2,3,4) i vektor pravca. AT
kao vodeći vektor -
vektor normale lica ABC: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Da biste pronašli dužinu visine, koristite
formula:
Ax0 Po 0 Cz0 D
d
A2 B2 C2

Dobijamo:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Ugao između ivice AD i lica ABC.
ABC ivica jednadžbe: 6x+3y+2z-6=0,
normalni vektor ima koordinate:
(6,3,2). Napišimo jednačine prave linije,
prolazeći kroz tačke A(1,0,0) i D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Ova linija ima vektor smjera sa
koordinate:(1,3,4). Onda
grijeh
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arc sin
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. Zapremina piramide je 1/6 zapremine
izgrađen paralelopiped
vektori, kao na stranama. Koristimo
mješoviti proizvod vektora.
Vektorske koordinate: AB =(-1,2,0),
AC○=(-1,0,3), AD=(1,3,4)
○ Vbox
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vpiramide=23/6 kubnih jedinica

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2 date respektivno jednadžbama:

Ispod ugao između dvije ravni mislimo na jedan od diedarskih uglova koji formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili . Zbog toga . Jer i , onda

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov paralelnosti dve ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Na ovaj način, .

Primjeri.

DIREKTNO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA DIRECT.

PARAMETRSKE JEDNAČINE DIRECT

Položaj prave linije u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Vektor paralelan pravoj liniji naziva se vođenje vektor ove linije.

Pa pusti pravo l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. Pokazuje da je svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M ležeći na pravoj liniji.

Ovu jednačinu zapisujemo u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski pravolinijske jednačine.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y i z i tačka M kreće se pravolinijski.

DIREKTNE KANONIČKE JEDNAČINE

Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - tačka koja leži na pravoj liniji l, i je njegov vektor smjera. Opet, uzmite proizvoljnu tačku na pravoj liniji M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, tako da njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle

– kanonski pravolinijske jednačine.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe prave mogu dobiti iz parametarskih jednačina eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Napišite jednačinu prave linije na parametarski način.

Označite , dakle x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer, os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, Shodno tome, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave imaju oblik

Eliminacija parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave linije u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, onda to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanonske jednačine odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox i Oy ili paralelne ose Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVA PRAVA KAO PRAVA presjeka DVIJE RAVNI

Kroz svaku pravu liniju u prostoru prolazi beskonačan broj ravnina. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, su jednačine ove prave.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni date općim jednačinama

odrediti njihovu liniju ukrštanja. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu liniju datu jednadžbama

Da bi se konstruisao prava, dovoljno je pronaći bilo koje dve njene tačke. Najlakši način je da izaberete tačke preseka prave sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na liniji i vektor smjera linije.

Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora i . Dakle, za vektor smjera prave linije l možete uzeti unakrsni proizvod normalnih vektora:

Primjer. Dajte opće jednačine prave linije kanonskom obliku.

Pronađite tačku na pravoj liniji. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. shodno tome, l: .

UGAO IZMEĐU PRAVA

kutak između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Sve jednačine ravnine koje se razmatraju u narednim paragrafima mogu se dobiti iz opšte jednačine ravnine, a takođe se mogu svesti na opštu jednačinu ravni. Dakle, kada se govori o jednačini ravni, misli se na opštu jednačinu ravni, osim ako nije drugačije navedeno.

Jednačina ravnine u segmentima.

Pogledajte jednadžbu ravnine , gdje su a , b i c realni brojevi različiti od nule, poziva se jednačina ravnine u segmentima.

Ovo ime nije slučajno. Apsolutne vrijednosti brojeva a, b i c jednake su dužinama segmenata koje ravan odsiječe na koordinatnim osama Ox, Oy i Oz, računajući od početka. Predznak brojeva a, b i c pokazuje u kom smjeru (pozitivnom ili negativnom) treba polagati segmente na koordinatnoj osi.

Na primjer, konstruirajmo ravan u pravokutnom koordinatnom sistemu Oxyz, definiranom jednadžbom ravnine u segmentima . Da bismo to učinili, označavamo tačku koja je 5 jedinica udaljena od ishodišta u negativnom smjeru ose apscise, 4 jedinice u negativnom smjeru y-ose i 4 jedinice u pozitivnom smjeru aplikativne ose. Ostaje povezati ove tačke pravim linijama. Ravan rezultirajućeg trokuta je ravan koja odgovara jednadžbi ravnine u segmentima oblika .

Za više informacija pogledajte članak jednačina ravnine u segmentima, prikazuje svođenje jednačine ravnine u segmentima na opštu jednačinu ravni, na istom mestu ćete naći i detaljna rešenja tipičnih primera i zadataka.

Normalna jednačina ravnine.

Zove se jednadžba ravnine općeg izgleda normalna jednačina ravni, ako je jednako jedan, tj. , i .

Često možete vidjeti da je normalna jednačina ravnine zapisana kao . Ovdje su kosinusi smjera normalnog vektora date ravni jedinične dužine, odnosno, a p je nenegativan broj jednak udaljenosti od početka do ravni.

Normalna jednadžba ravnine u pravokutnom koordinatnom sistemu Oxyz definira ravan koja je na udaljenosti p od početka u pozitivnom smjeru vektora normale ove ravni . Ako je p=0, tada ravan prolazi kroz početak.

Dajemo primjer jednačine normalne ravni.

Neka je ravan data u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz opštom jednačinom ravni forme . Ova opšta jednačina ravnine je normalna jednačina ravnine. Zaista, i vektor normale ove ravni ima dužinu jednaku jedan, pošto .

Jednačina ravni u svom normalnom obliku omogućava pronalaženje udaljenost od tačke do ravni.

Preporučujemo da se detaljnije pozabavite ovom vrstom jednadžbe ravnine, vidite detaljna rješenja tipičnih primjera i problema, a također naučite kako da opću jednadžbu ravnine dovedete u normalan oblik. To možete učiniti pozivanjem na članak.

Bibliografija.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Zamislite pravougaoni koordinatni sistem Oxyz u prostoru.

jednačina površine je takva jednačina F(x,y,z)=0, koju zadovoljavaju koordinate svake tačke koja leži na površini, a ne zadovoljavaju je koordinate tačaka koje ne leže na površini.

Na primjer, sfera je lokus tačaka jednako udaljenih od neke tačke, koja se naziva središte sfere. Dakle, sve tačke zadovoljavaju jednačinu
leže na sferi sa centrom u tački O(0.0.0) i poluprečniku R (sl.1).

Koordinate bilo koje tačke koja ne leži na datoj sferi ne zadovoljavaju ovu jednačinu.

Linija u prostoru može se posmatrati kao linija preseka dveju površina. Dakle, na slici 1, presek sfere sa ravninom Oxy je kružnica sa centrom u tački O i poluprečnika R.

Najjednostavnija površina je avion, najjednostavnija linija u prostoru je ravno.

2. Avion u svemiru.

2.1. Jednadžba ravni u odnosu na tačku i vektor normale.

U Oxyz koordinatnom sistemu razmotrite ravan (Sl.2). Njegov položaj se određuje postavljanjem vektora okomito na ovu ravan i fiksnu tačku
leži u ovoj ravni. Vector
okomito na ravan
pozvao normalni vektor(normalni vektor). Razmotrimo proizvoljnu tačku M(x,y,z) ravni . Vector
stan
će biti okomita na normalni vektor Korištenje uvjeta ortogonalnosti vektora
dobijamo jednačinu: gdje

Jednadžba ( 2.2.1 )

naziva se jednadžba ravni u odnosu na tačku i vektor normale.

Ako u jednačini (2.1.1) otvorimo zagrade i preuredimo članove, onda dobijamo jednačinu ili Ax + By + Cz + D = 0, gdje je

D=
.

2.2. Opšta jednačina ravni.

Jednačina Ax + By + Cz + D = 0 ( 2.2.1 )

naziva se opšta jednačina ravni, gde je
je normalni vektor.

Razmotrimo posebne slučajeve ove jednačine.

1).D = 0. Jednačina ima oblik: Ax + By + Cz = 0. Takva ravan prolazi kroz početak. Njen normalni vektor

2). C \u003d 0: Ax + By + D \u003d 0
ravan je paralelna sa osom oz (sl.3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
ravan je paralelna sa osom oy (sl.4).

četiri). A = 0: Po + Cz + D = 0

ravan je paralelna sa osom vola (Sl.5).

5). C=D=0: Ax+By=0
ravan prolazi kroz osu oz (sl.6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
ravan prolazi kroz osu oy (slika 7).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
ravan prolazi kroz os vola (slika 8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
ravan je paralelna sa ravninom Oxy (slika 9).

9). B=C=0: Ax+D=0

||ox
avion

P paralelno sa Oyz ravninom (slika 10).

10).A = C = 0: By + D = 0

||oy
ravan je paralelna sa ravninom Oxz (Sl.11).

Primjer 1 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku
okomito na vektor
Pronađite tačke preseka ove ravni sa koordinatnim osa.

Rješenje. Po formuli (2.1.1) imamo

2x - y + 3z + 3 = 0.

Da bismo pronašli presek ove ravni sa osom vola, u rezultujuću jednačinu zamenjujemo y = 0, z = 0. Imamo 2x + 3 = 0; x \u003d - 1,5.

Tačka presjeka željene ravni sa osom vola ima koordinate:

Pronađite presjek ravnine sa y osom. Za ovo uzimamo x = 0; z = 0. Imamo

– y + 3 = 0 y = 3. Dakle,

Da bismo pronašli tačku preseka sa osom oz, uzimamo x = 0; y=0
3z + 3 = 0
z = – 1. Dakle,

odgovor: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Primjer 2 Istražite ravnine date jednadžbama:

a). 3x – y + 2z = 0

b). 2x + z - 1 = 0

in). – y + 5 = 0

Rješenje. a). Ova ravan prolazi kroz ishodište (D = 0) i ima vektor normale

b). U jednadžbi
koeficijent B = 0. Dakle,
Ravan je paralelna sa osom y.

in). U jednačini - y + 5 = 0, koeficijenti A = 0, C = 0. Dakle

Ravan je paralelna sa ravninom oxz.

G). Jednačina x = 0 definiše ravan oyz, pošto je pri B = 0, C = 0 ravan paralelna sa ravninom oyz, a iz uslova D = 0 proizilazi da ta ravan prolazi kroz početak.

Primjer 3 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku A(2,3,1) i okomita na vektor
gdje je B(1.0, –1), C(–2.2.0).

Rješenje. Nađimo vektor

Vector
je normalni vektor željene ravni koja prolazi kroz tačku A(2,3,1). Po formuli (2.1.1) imamo:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x - 2y - z + 1 = 0.

odgovor: 3x - 2y - z + 1 = 0.

2.3. Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke.

Tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji definišu jednu ravan (vidi sliku 12). Neka tačke ne leže na jednoj pravoj liniji. Da biste napisali jednačinu ravnine, morate znati jednu tačku ravnine i vektor normale. Poznate su tačke koje leže na ravni:
Možete uzeti bilo koje. Da bismo pronašli normalni vektor, koristimo definiciju vektorskog proizvoda vektora. Neka
Tada, dakle,
Poznavanje koordinata tačke
i normalni vektor nalazimo jednačinu ravni koristeći formulu (2.1.1).

Na drugi način, jednadžba ravni koja prolazi kroz tri date tačke može se dobiti korištenjem uslova koplanarnosti tri vektora. Zaista, vektori
gde je M(x,y,z) proizvoljna tačka željene ravni, su komplanarni (vidi sliku 13). Stoga je njihov mješoviti proizvod 0:

Primjenom formule miješanog proizvoda u koordinatnom obliku, dobijamo:

(2.3.1)

Primjer 1 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke

Rješenje. Po formuli (2.3.1) imamo

Proširujući determinantu, dobijamo:

Rezultirajuća ravan je paralelna sa oy osi. Njen normalni vektor

Odgovori: x + z - 4 = 0.

2.4. Ugao između dvije linije.

Dve ravni, koje se seku, formiraju četiri dvodelna ugla jednaka u parovima (vidi sliku 14). Jedan od diedarskih uglova jednak je uglu između vektora normale ovih ravni.

Neka su avioni dati:

Njihovi normalni vektori imaju koordinate:

Iz vektorske algebre je poznato da
ili

(2.4.1)

primjer: Pronađite ugao između ravnina:

Rješenje: Pronađite koordinate vektora normale: Po formuli (2.4.1) imamo:

Jedan od diedarskih uglova dobijenih na preseku ovih ravni je jednak
Takođe možete pronaći drugi ugao:

Odgovori:

2.5. Uslov paralelnosti dve ravni.

Neka su date dvije ravni:

Ako su ove ravni paralelne, onda su njihovi normalni vektori

kolinearno (vidi sliku 15).

Ako su vektori kolinearni, tada su njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne:

(2.5.1 )

Vrijedi i obrnuto: ako su normalni vektori ravni kolinearni, tada su ravni paralelne.

Primjer 1 Koje od sljedećih ravni su paralelne:

Rješenje: a). Zapišimo koordinate vektora normale.

Provjerimo njihovu kolinearnost:

Otuda to sledi

b). Hajde da ispišemo koordinate

Provjerimo kolinearnost:

Vektori
ne kolinearne, ravni
nisu paralelne.

Primjer 2 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku

M(2, 3, –2) paralelno sa ravninom

Rješenje:Željena ravan je paralelna datoj ravni. Dakle, vektor normale ravni može se uzeti kao vektor normale željene ravni.
Primjenom jednačine (2.1.1) dobijamo:

odgovor:
.

Primjer 3 Odredi za koje su ravni a i b paralelne:

Rješenje: Zapisujemo koordinate normalnih vektora:

Pošto su ravni paralelne, vektori
kolinearno Po uslovu (2.5.1)
Dakle, b = – 2; a = 3.

odgovor: a = 3; b = -2.

2.6. Uslov okomitosti dvije ravni.

Ako avion
su okomite, onda su njihovi normalni vektori
su također okomite (vidi sliku 16.) Iz toga slijedi da je njihov skalarni proizvod jednak nuli, tj.
ili u koordinatama: