Nesingularna matrica je kvadratna matrica n-tog reda, čija je determinanta različita od nule. Inače, matrica se zove degenerisati.

Teorema ( jedinstvenost postojanja inverzne matrice): Ako matrica ima inverznu matricu, onda je jedinstvena.

Dokaz.

Neka postoji matrica za koju i matrica za koju .

Onda, to je. Množenjem obje strane jednakosti matricom , dobivamo , gdje je i .

Dakle, što je trebalo dokazati.

12. Matrične jednadžbe, njihovo rješenje pomoću inverzne matrice.

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C date matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate ovu jednačinu pomnožiti s lijevom.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe.

13. Kvadratni sistemi linearne jednačine. Cramerovo pravilo.

Sistem od m linearnih jednadžbi u n nepoznatih (ili, linearni sistem) u linearnoj algebri je sistem jednadžbi oblika

Cramerova metoda (Cramerovo pravilo) - način rješavanja kvadratni sistemi linearno algebarske jednačine sa nenultom determinantom glavne matrice (štaviše, za takve jednačine rješenje postoji i jedinstveno je). Ime je dobio po Gabrielu Crameru (1704–1752), koji je izumio metodu.

Za sistem od n linearnih jednadžbi sa n nepoznatih (nad proizvoljnim poljem)

sa determinantom sistemske matrice Δ različitom od nule, rješenje se zapisuje kao

(i-ta kolona sistemske matrice je zamijenjena kolonom slobodnih pojmova).

U drugom obliku, Cramerovo pravilo je formulirano na sljedeći način: za bilo koje koeficijente c 1 , c 2 , ..., c n jednakost je tačna:

Sistem linearnih jednadžbi:

Za svaki brojevi a¹0 postoji inverzno a -1 takav da rad a × a -1 \u003d 1. Za kvadratne matrice uvodi sličan koncept.

Definicija. Ako postoje kvadratne matrice X i A istog reda koje zadovoljavaju uvjet:

gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrica A, tada se matrica X naziva obrnuto na matricu A i označava se sa A -1 .

Iz definicije slijedi da samo kvadratna matrica ima inverz; u ovom slučaju, inverzna matrica je također kvadrat istog reda.

Međutim, nema svaka kvadratna matrica inverzna. Ako stanje a¹0 je neophodan i dovoljan za postojanje broja a -1, tada je za postojanje matrice A -1 takav uslov uslov DA ¹0.

Definicija. kvadratna matrica n th red se zove nedegenerisan (ne-singularan), ako je njegova determinanta DA ¹0.

Ako je DA= 0 , tada se poziva matrica A degenerisan (poseban).

Teorema(obavezno i dovoljno stanje postojanje inverzne matrice). Ako je kvadratna matrica nespecijalan(to jest, njegova determinanta nije jednaka nuli), onda za nju postoji jedini inverzna matrica.

Dokaz.

I. Need. Neka matrica A ima inverzno A -1, tj. AA -1 = A -1 A \u003d E. By imovina 3 odrednice ( § 11) imamo D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, tj. DA ¹0 i DA-1 ¹0.

I I. Adekvatnost. Neka kvadratna matrica A nije singularna, tj. DA ¹0 . Napišimo transponiranu matricu A T:

U ovoj matrici, svaki element zamjenjujemo njegovim algebarskim komplementom, dobijamo matricu:

Matrica A* se zove u prilogu matrica u matricu A.

Pronađite proizvod AA * (i A * A):

Gdje dijagonala elementi = DA,

DA.(formula 11.1 §jedanaest)

I sve ostalo van dijagonale elementi matrice AA * jednaki su nuli in svojstvo 10 §11, na primjer:

itd. shodno tome,

AA * = ili AA * = DA = DA×E.

Slično, dokazano je da je A * A = DA×E.

Podijelimo obje dobijene jednakosti sa DA, dobivamo: . Dakle, prema definiciji inverzne matrice, slijedi da postoji inverzna matrica

Jer AA -1 = A -1 A \u003d E.

Dokazano je postojanje inverzne matrice. Dokažimo jedinstvenost. Pretpostavimo da postoji još jedna inverzna matrica F za matricu A, zatim AF = E i FA = E. Množenjem oba dijela prve jednakosti sa A -1 na lijevoj strani, a druge sa A -1 na desnoj strani, dobićemo dobiti: A -1 AF = A - 1 E i FA A -1 = E A -1 , odakle je EF = A -1 E i FE = E A -1 . Dakle, F = A -1. Jedinstvenost je dokazana.

Primjer. Za matricu A = , pronađite A -1 .

Algoritam za izračunavanje inverzne matrice:

Svojstva inverznih matrica.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (A -1) T .

⇐ Prethodno78910111213141516Sljedeće ⇒

⇐ Prethodna Strana 3 od 4Sljedeća ⇒

Razmotrite matrice

Štaviše, dati su elementi matrica A i B, a X 1, X 2, X 3 su nepoznati.

Tada se poziva jednačina A × X = B najjednostavnija matrična jednačina.

Da se to riješi, tj. pronađite elemente matrice nepoznanica X, postupite na sljedeći način:

1. Pomnožite obje strane jednačine sa matricom A -1, inverzno za matricu A , lijevo:

A -1 (A × X) \u003d A -1 × B

2. Koristeći svojstvo množenja matrice, pišemo

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. Iz definicije inverzne matrice

(A -1 × A = E) imamo E × X = A -1 × B.

4. Koristeći svojstvo matrice identiteta (E × X = X), konačno dobijamo X = A -1 × B

Komentar. Ako matrična jednadžba ima oblik X × C \u003d D, tada da biste pronašli nepoznatu matricu X, jednadžba se mora pomnožiti sa C -1 desno.

Primjer. Riješite matričnu jednačinu

Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju

Njihove definicije množenja matrice, uzimajući u obzir dimenzije A i B, matrica nepoznanica X će imati oblik

Uzimajući u obzir uvedenu notaciju, imamo

A × X = B odakle je X = A -1 × B

Nađimo A -1 algoritmom za konstruisanje inverzne matrice

Izračunajte proizvod

Tada za X dobijamo

X = odakle je x 1 = 3, x 2 = 2

Matrix rang

Razmotrimo matricu A veličine (m x n)

Minor k-tog reda matrice A je determinanta reda k, čiji su elementi elementi matrice A koji se nalaze na presjeku bilo kojeg K reda i bilo kojeg K stupca. Očigledno, k £ min (m, n).

Definicija. Rang r(A) matrice A je najveća narudžba nenulti minor ove matrice.

Definicija. Poziva se svaki minor matrice različit od nule čiji je red jednak njenom rangu osnovni mol.

Definiraj e. Pozivaju se matrice koje imaju iste rangove ekvivalentan.

Izračunavanje ranga matrice

Definicija. Matrica se zove stupio, ako ispod prvog elementa koji nije nulti u svakom od njegovih reda postoje nule u osnovnim redovima.

Teorema. Rang matrice koraka jednak je broju njenih redova koji nisu nula.

Dakle, transformacijom matrice u stepenasti oblik, lako je odrediti njen rang. Ova operacija se izvodi pomoću elementarne matrične transformacije, koji ne mijenjaju svoj rang:

— množenje svih elemenata reda matrice brojem l ¹ 0;

- zamjena redova kolonama i obrnuto;

- permutacija paralelnih redova;

- brisanje nultog reda;

- dodavanje elemenata određenog niza odgovarajućih elemenata paralelnog niza, pomnoženih bilo kojim realnim brojem.

Primjer.

Teorema (neophodan i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice).

Izračunajte rang matrice

A =

Rješenje. Hajde da transformišemo matricu u stepenasti oblik. Da biste to učinili, dodajte drugi red pomnožen sa (-3) trećem redu.

Ah~

Dodajmo treći red četvrtom redu.

Broj redova koji nisu nula u rezultirajućoj ekvivalentnoj matrici je tri, stoga je r(A) = 3.

Sistemi od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

Metode za njihovo rješavanje

Razmotrimo sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n \u003d b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n \u003d b 2 (1)

……………………………….

a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = b n

definicija: Rješenje sistema (1) je skup brojeva (x 1, x 2, ..., x n), koji svaku jednačinu sistema pretvara u pravu jednakost.

Matrica A, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, naziva se glavna matrica sistema (1).

A=

Matrica B, koja se sastoji od elemenata matrice A i stupca slobodnih članova sistema (1), naziva se proširena matrica.

B =

Matrična metoda

Razmotrite matrice

X = - matrica nepoznatih;

C = je matrica slobodnih termina sistema (1).

Tada se, prema pravilu množenja matrice, sistem (1) može predstaviti kao matrična jednačina

A × X = C (2)

Rješenje jednačine (2) je gore navedeno, odnosno X = A -1 × C, gdje je A -1 inverzna matrica za glavnu matricu sistema (1).

Cramer metoda

Sistem od n linearnih jednadžbi sa n nepoznatih, čija je glavna determinanta različita od nule, uvijek ima rješenje i, osim toga, jedino, koje se nalazi po formulama:

gde je D = det A determinanta glavne matrice A sistema (1), koja se zove glavna, Dh i se dobijaju iz determinante D zamenom i-te kolone sa kolonom slobodnih članova, tj.

Dh 1 = ;

Dh 2 = ; … ;

Primjer.

Rešiti sistem jednačina Cramerovom metodom

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Rješenje.

Izračunajmo determinantu glavne matrice sistema

D = det A = = 44 ¹ 0

Izračunajte pomoćne determinante

Dh 3 = = 132.

Koristeći Cramerove formule, nalazimo nepoznanice

; ; .

Dakle, x 1 \u003d 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

Gaussova metoda

Suština Gaussove metode je sukcesivno eliminisanje nepoznatih iz jednačina sistema, tj. u dovođenju glavne matrice sistema u trouglasti oblik, kada se ispod njegove glavne dijagonale nalaze nule. Ovo se postiže pomoću elementarnih transformacija matrice nad redovima. Kao rezultat ovakvih transformacija, ekvivalencija sistema se ne narušava i on takođe dobija trouglasti oblik, tj. posljednja jednačina sadrži jednu nepoznatu, pretposljednju dvije i tako dalje. Izražavanjem n-te nepoznanice iz posljednje jednadžbe i korištenjem obrnutih poteza, uz korištenje niza uzastopnih zamjena, dobiju se vrijednosti svih nepoznanica.

Primjer. Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Rješenje. Ispišimo proširenu matricu sistema i svedemo matricu A koja se u njoj nalazi u trouglasti oblik.

Zamenimo prvi i treći red matrice, što je ekvivalentno permutaciji prve i treće jednačine sistema. To će nam omogućiti da izbjegnemo pojavu frakcioni izrazi u kasnijim proračunima

U ~

Prvi red rezultirajuće matrice uzastopno množimo sa (-2) i (-3) i dodajemo ga drugom i trećem redu, dok će B izgledati ovako:

Nakon množenja drugog reda sa i njegovog dodavanja trećem redu, matrica A će poprimiti trouglasti oblik. Međutim, da biste pojednostavili proračune, možete učiniti sljedeće: pomnožite treći red sa (-1) i dodajte ga drugom. tada dobijamo:

U ~

U ~

Obnoviti iz rezultujuće matrice B sistem jednačina ekvivalentan datom

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

- 10x 3 = -10

Iz posljednje jednačine nalazimo Pronađenu vrijednost x 3 = 1 zamjenjujemo u drugu jednadžbu sistema, iz koje je x 2 = 2x 3 = 2 × 1 = 2.

Nakon zamjene x 3 = 1 i x 2 = 2 u prvoj jednadžbi za x 1, dobivamo x 1 = 9 - 4x 2 + 3x 3 = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Dakle, x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Komentar. Za provjeru ispravnosti rješenja sistema jednačina potrebno je u svaku od jednačina ovog sistema zamijeniti pronađene vrijednosti nepoznanica. Štaviše, ako se sve jednačine pretvore u identitete, onda je sistem ispravno riješen.

pregled:

3 x 4 + 2 x 2 + 1 = 17 je tačno

2 × 4 - 2 + 2 × 1 = 8 tačno

4 + 4 × 2 - 3 × 1 = 9 tačno

Dakle, sistem je ispravan.

⇐ Prethodno1234Sljedeće ⇒

Pročitajte također:

Najjednostavnije matrične jednadžbe

gdje su matrice takvih veličina da su sve korištene operacije moguće, a lijevi i desni dio ovih matričnih jednadžbi su matrice iste veličine.

Rješenje jednadžbi (1)-(3) moguće je uz pomoć inverznih matrica u slučaju nedegeneracije matrica na X. U opštem slučaju, matrica X se piše element po element i radnje su naznačene u jednadžba se izvodi na matricama. Rezultat je sistem linearnih jednačina. Nakon što riješite sistem, pronađite elemente matrice X.

Metoda inverzne matrice

Ovo je rješenje za sistem linearnih jednačina u slučaju kvadratne nesingularne matrice sistema A. Nalazi se iz matrične jednačine AX=B.

A -1 (AX) = A -1 B, (A -1 A) X = A -1 B, EX \u003d A -1 B, X = A -1 B.

Cramerove formule

Teorema.Neka Δ — determinanta matrice sistema A, a Δ j je determinanta matrice dobijene iz matrice A zamenom j-te kolone slobodnih članova. Tada ako je ∆≠ 0, tada sistem ima jedinstveno rješenje određeno formulama:

su Cramerove formule.

DZ 1. 2.23, 2.27, 2.51, 2.55, 2.62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40, 2.65

Tema 4. Kompleksni brojevi i polinomi

Kompleksni brojevi i operacije nad njima

Definicije.

1. Simbol oblika a + bi, gdje su a i b proizvoljni realni brojevi, dogovorit ćemo se da nazovemo kompleksan broj.

2. Složit ćemo se da kompleksne brojeve a + bi i a 1 + b 1 i smatramo jednakima ako je a = a 1 i

b = b 1 .

3. Složit ćemo se da kompleksni broj oblika a + 0i smatramo jednakim realnom broju a.

4. Zbir dva kompleksna broja a + bi i a 1 + b 1 i je kompleksni broj (a + a 1) + (b + b 1)i.

Inverzna matrica. Matrix rang.

Proizvod dva kompleksna broja je kompleksni broj aa 1 - bb 1 + (a b 1 + a 1 b)i.

Kompleksni broj oblika 0 + bi zove čisto imaginarni broj i obično se piše ovako: bi; broj 0+1 i = i pozvao imaginarna jedinica.

Prema definiciji 3, svaki realan broj ali odgovara "jednakom" kompleksnom broju a + 0i i obrnuto za bilo koji kompleksni broj a + 0i odgovara "jednakom" realnom broju ali, odnosno postoji korespondencija jedan prema jedan između ovih brojeva. S obzirom na zbir i proizvod kompleksnih brojeva a 1 + 0i i a 2 + 0i prema pravilima 4 i 5 dobijamo:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 - 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Vidimo da zbir (ili proizvod) ovih kompleksnih brojeva odgovara realnom broju "jednakom" zbiru (ili proizvodu) odgovarajućih realnih brojeva. Dakle, prepiska između kompleksni brojevi vrsta a + 0i i pravi broj ali je takav da kao rezultat aritmetičke operacije na odgovarajućim komponentama dobijaju se odgovarajući rezultati. Poziva se korespondencija jedan-na-jedan koja se čuva prilikom izvođenja radnji izomorfizam. Ovo nam omogućava da identifikujemo broj a + 0i sa stvarnim brojem ali i razmotriti svaki realan broj kao poseban slučaj kompleksnog.

Posljedica. Broj kvadrata i jednako - 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Teorema.Za sabiranje i množenje kompleksnih brojeva ostaju na snazi ​​osnovni zakoni operacija.

definicije:

1. Realni broj i zove se pravi deo kompleksni broj z = a + bi. Rez=a

2. Broj b naziva se imaginarni dio kompleksnog broja z, broj b se naziva koeficijent imaginarnog dijela z. Imz=b.

3. Brojevi a + bi i a - bi nazivaju se konjugirani.

Konjugirani broj z = a + bi označena simbolom

= a - bi.

Primjer. z=3 + i ,= 3 - i.

Teorema.Zbir i proizvod dva konjugirana kompleksna broja su realni.

Dokaz. Imamo

U skupu kompleksnih brojeva, operacije inverzne sabiranju i množenju su izvodljive.

Oduzimanje. Neka bude z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i su kompleksni brojevi. razlika z1 – z2 postoji broj z = x + y i, zadovoljavajući uslov z1 = z 2 + z ili

i 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Za utvrđivanje x I y dobijamo sistem jednačina a 2 + x = a 1 I b2 + y = b1, koji ima jedinstveno rješenje:

x \u003d a 1 - a 2, y \u003d b 1 - b 2,

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d a 1 - a 2 + (b 1 - b 2) i.

Oduzimanje se može zamijeniti sabiranjem sa suprotnim brojem koji treba oduzeti:

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 + b 1 i) + (- a 2 - b 2 i).

Division.

količnik brojeva z1 I z2≠ 0 je broj z = x + y i, zadovoljavajući uslov z 1 = z 2 z ili

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

shodno tome,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

odakle dobijamo sistem jednadžbi:

a 2 x - b 2 y \u003d a 1,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Odluka o tome će

shodno tome,

U praksi, da biste pronašli količnik, pomnožite dividendu i djelitelj sa konjugatom djelitelja:

Na primjer,

Konkretno, recipročna vrijednost datog broja z, može se predstaviti kao

Bilješka. U skupu kompleksnih brojeva ostaje validan teorema: ako je proizvod jednak nuli, tada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Zaista, ako z 1 z 2 =0 i ako z 1 ≠ 0, a zatim množenjem sa , dobivamo

Q.E.D.

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima treba se pridržavati sljedećeg opšteg pravila: radnje se izvode prema uobičajenim pravilima za radnje nad algebarskim izrazima, nakon čega se i 2 zamjenjuje sa-1.

Teorema.Prilikom zamjene svake od komponenti svojim konjugiranim brojem, rezultat akcije se također zamjenjuje konjugiranim brojem.

Dokaz se sastoji u direktnoj provjeri. Tako, na primjer, ako svaki pojam z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i zamijenjen konjugiranim brojem, tada dobijamo broj konjugiran sa zbirom z 1 + z 2 .

dakle,

Slično, za proizvod imamo:

Prethodna567891011121314151617181920Sljedeća

VIDI VIŠE:

Matrične jednačine

Catalin David

AX = B, gdje je matrica A invertibilna

Budući da množenje matrice nije uvijek komutativno, množimo obje strane jednadžbe na lijevoj strani sa $A^(-1)$.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\color(red)(X =A^(-1)\cdot B)$

Primjer 50
riješiti jednačinu
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

Teorema 2. Kriterijum za postojanje inverzne matrice.

Pomnožite na lijevoj strani njegovom inverznom matricom.
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmatrix)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 & -22 \\ 4 & 9 \end(pmatrix)$

XA = B, gdje je matrica A invertibilna

Pošto množenje matrice nije uvijek komutativno, množimo obje strane jednadžbe s desne strane sa $A^(-1)$.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

Rješenje jednadžbe ima opći oblik
$\color(red)(X =B\cdot A^(-1))$

Primjer 51
riješiti jednačinu
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

Uvjerimo se da je prva matrica invertibilna.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, stoga je matrica invertibilna.

Pomnožite na desnoj strani njegovom inverznom matricom.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) ) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1)$

$X=\begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\rightarrow X= \ begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 & 5 \end(pmatrix)$

MatriceMnoženje matrice Determinante Rang matrice Inverzne matriceSistemi jednadžbiMatrični kalkulatori

int. čuđenje, iznenađenje; radost, nada; iznenadnost, strah; tuga, očaj. Ah, kako dobro! Oh, neka bude! Oh, kako si me uplašio! O da, mašući rukama. Ah, ah, ali nema šta da pomogne. Ah, sudija, sudija: četiri sprata, osam džepova.

| Ponekad se ah pretvara u imenicu. , muž. Ah, da, o, da, ženski uzdasi. Šta je ovdje bilo ahov, iznenađenje, radost. Ahti, ahti ja, usklik tuge, tuge; Jao; Ahti ja, svi drugovi u zatvoru - hoće li mi se nešto dogoditi? Ohti-axmul se nekako udala? Ne budi tako ljut prema meni, ne iznenađujuće, ne bolno dobar. Akhanki za mene, ahakhanki, izražava, takoreći, saosećanje prema sebi ili prema drugima. Akhanki, kao mala djeca, ovo je neka vrsta pozdrava. dahnuti, dahnuti, dahnuti, čuditi se; raduj se nečemu, tuguj, jaukaj, uzvikni ah! Ah, da, kod kuće, sama. Akhal ujak, gledajući sebe, vodi računa o svima o sebi, o svom poslu. Dahnula sam, uplašena, zadivljena. I mi smo dahnuli, vidjeli smo tugu. Samac ponekad stenje, a oženjen stenje.

inverzna matrica

Dođi do čega. Dahnuli smo kada smo čuli za to. Naahali, i idemo. Bio sam zadivljen ovim čudima. Dosta je, zar ne? Uzdahni još. Jedan dahće, drugi dahće. Zašto je zamahnuo? Nevoljno se uzbuđuješ. Ne tako dahtanje, opet dahtanje, ismijavanje beskorisnih poziva. Protraćen ceo dan. Žena je došla da dahne, ali je morala da dahne; Došao sam da pogledam tuđu radost ili tugu, ali se desila moja nesreća. Akhanye cf. neumjeren izraz radosti, čuđenja, tuge, očaja: ahal čovjek je muž. zena prevarant ahala vol. koji se svemu čudi, tuđe pretjerano hvali, zavidi. Za svakog harmonikaša dolazi sedam harmonikaša. Za svaki bahar, sedam akhala. Ahovaya niže. penz koji oduzima dah. divan, nevjerovatno lijep, lijep, izaziva uzvik čuđenja i odobravanja. Ahh šal. Ahva? žensko , arh.-he. rupa, rupa; rupa, posjekotina na koži, oštećenje od neopreznog udarca, uboda ili udarca nečim. Ahovnya? žensko koža pokvarena kožom ahvoi, akhovaya ili ahvodnaya. Ahvit, ahvod ?, pokvari kožu udarcem, ubodom, posjekotinom. Užasna subota, sa uplatama, kada neispravni dahću za novcem.

Lema: Za bilo koju matricu ALI njegov proizvod na matricu identiteta odgovarajuće veličine jednak je matrici ALI: AE=EA=A.

Matrica IN pozvao obrnuto na matricu ALI, ako AB=BA=E. inverzna matrica na matricu ALI označeno A -1 .

Inverzna matrica postoji samo za kvadratnu matricu.

Teorema: kvadratna matrica ALI ima inverz ako i samo ako je determinanta ove matrice različita od nule (|A|≠0).

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice A -1:

(za matrice drugog i trećeg reda)

“Ako želite da naučite da plivate, onda hrabro uđite u vodu, a ako želite da naučite za rješavanje problema, onda riješi ih.»
D. Poya (1887-1985)

(Matematičar. Dao veliki doprinos popularizaciji matematike. Napisao nekoliko knjiga o tome kako se rješavaju problemi i kako naučiti rješavati probleme.)

Inverzna matrica · Matrica B se naziva inverzna matrici ako je jednakost istinita: . Oznaka: − Samo kvadrat matrica može imati inverznu matricu. − Ne svaki kvadrat matrica ima inverznu matricu. Svojstva: 1. ; 2. ; 3. , gdje su matrice kvadratne, iste dimenzije. Općenito govoreći, ako je za nekvadratne matrice moguć proizvod, koji će biti kvadratna matrica, tada je moguće i postojanje inverzne matrice , iako je u ovom slučaju povrijeđeno svojstvo 3. Da biste pronašli inverznu matricu, možete koristiti metodu elementarnih transformacija reda: 1. Sastavite proširenu matricu dodjeljivanjem matrice identiteta odgovarajuće dimenzije desno od originalne matrice: . 2. Elementarne transformacije reda matrice G dovesti do oblika: . − potreban rang matrice · Minor k-tog reda matrice je determinanta sastavljena od elemenata originalne matrice koji se nalaze na presjeku bilo kojeg k redaka i k stupaca ( ). Komentar. Svaki element matrice je njen minor prvog reda. Teorema. Ako su u matrici svi minori reda k jednaki nuli, tada su svi minori višeg reda jednaki nuli. Proširujemo mol (determinantu) ( k+1)-ti red kroz elemente 1. reda: . Algebarski dodaci su u suštini manji k- reda, koji su, prema pretpostavci teoreme, jednaki nuli. Shodno tome, . · U matrici reda za minor reda se kaže da je bazičan ako nije jednak nuli, a svi minori reda i iznad jednaki su nuli, ili uopšte ne postoje, tj. odgovara manjim brojevima ili . Stupci i redovi matrice koji čine osnovni minor nazivaju se osnovnim. U matrici može postojati nekoliko različitih baznih minora koji imaju isti redoslijed. · Red baznog minora matrice naziva se rang matrice I označeno: , . Očigledno je da . Na primjer. 1. , . 2. . Matrica IN sadrži jedini nenulti element koji je minor prvog reda. Sve determinante višeg reda će sadržavati 0. red i stoga jednake 0. Prema tome, . inverzna matrica 4. Sistemi linearnih jednačina. Osnovni koncepti. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi ( linearni sistem, koriste se i skraćenice SLAU, SLN) je sistem jednačina, svaka jednačina u kojoj je linearno-algebarska jednačina prvog stepena. Opšti oblik sistemi linearnih algebarskih jednadžbi: Ovdje je broj jednačina, i broj varijabli, jesu li nepoznanice koje treba odrediti, koeficijenti i slobodni termini pretpostavlja se da je poznato. Sistem se zove homogena, ako su svi slobodni članovi jednaki nuli (), inače - heterogena. Rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi je skup brojeva koji iz odgovarajuće zamjene umjesto u sistem pretvara sve svoje jednačine u identitete. Sistem se zove konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema rješenja. Rješenja se smatraju različitim ako se barem jedna od vrijednosti varijabli ne podudara. Zajednički sistem sa jednim rešenjem naziva se definitivnim, ako postoji više od jednog rešenja - pododređenim. Matrični oblik Sistem linearnih algebarskih jednačina može se predstaviti u matričnom obliku kao: ili: . Ovdje je matrica sistema, kolona nepoznatih, a kolona slobodnih termina. Ako je stupac slobodnih termina dodijeljen matrici s desne strane, tada se rezultirajuća matrica naziva proširena. Kronecker - Capelli teorem Kronecker - Capelli teorem uspostavlja neophodan i dovoljan uslov za kompatibilnost sistema linearnih algebarskih jednadžbi kroz svojstva matričnih reprezentacija: sistem je konzistentan ako i samo ako se rang njegove matrice poklapa sa rangom proširene matrice. Metode rješavanja sistema linearnih jednačina. Matrična metoda Neka je dat sistem linearnih jednačina sa nepoznatima (nad proizvoljnim poljem): Prepišimo u matričnom obliku: Rješenje sistema nalazimo po formuli. Inverznu matricu nalazimo po formuli: , gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice . Ako, onda inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem je riješen Gaussovom metodom. Cramerova metoda Cramerova metoda (Cramerovo pravilo) - način rješavanja SLAE s brojnim jednadžbama jednak broju nepoznanice sa determinantom glavne matrice koja nije nula. Za sistem linearnih jednadžbi sa nepoznanicama Zamijenite i-ti stupac matrice kolonom slobodnih termina b Primjer: Sistem linearnih jednadžbi sa realnim koeficijentima: kvalifikacije: U determinantama se stupac koeficijenata za odgovarajuću nepoznatu zamjenjuje kolonom slobodnih članova sistema. Rješenje: 5. Gaussova metoda Algoritam rješenja: 1. Zapisati proširenu matricu 2. Dovesti je u stepenasti oblik elementarnim transformacijama 3. Obrnuti pokret, pri čemu osnovne članove izražavamo u terminima slobodnih. Proširena matrica se dobija dodavanjem kolone slobodnih pojmova u matricu. Postoje sljedeće elementarne transformacije: 1. Redovi matrice se mogu preurediti. 2. Ako postoje (ili se pojavljuju) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda sve ove redove treba izbrisati iz matrice osim jednog. 3. Ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacije, onda i njega treba obrisati. 4. Red matrice se može pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem, ne-nula. 5. Redu matrice možete dodati još jedan red, pomnožen brojem koji nije nula. Elementarne transformacije ne menjaju rešenje sistema jednačina Obrnuto kretanje: Obično se kao osnovne varijable uzimaju one varijable koje se nalaze na prvim mestima u nenultim redovima transformisane matrice sistema, tj. na stepenicama. Dalje, osnovni uslovi su izraženi u terminima slobodnih. Idemo „odozdo prema vrhu“ na putu izražavajući osnovne članove i supstituirajući rezultate u višu jednačinu. Primjer: Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice. U ovom primjeru, osnovne varijable su i Slobodne varijable su sve preostale varijable koje nisu dobile korak. U našem slučaju postoje dvije: – slobodne varijable. Sada je sve potrebno bazne varijable izraziti samo kroz slobodne varijable. Obrnuti potez Gaussovog algoritma tradicionalno radi od dna stoljeća

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica, u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prelaze iz gornjeg lijevog ugla u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice one. za one matrice koje imaju isti broj redova i kolona.

Teorema uslova postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, neophodno je i dovoljno da bude nedegenerisana.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegenerisan ako su vektori stupaca linearno nezavisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice potrebno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. U tabelu za rešavanje sistema jednačina Gausovom metodom upisati matricu A i sa desne strane (umesto desnih delova jednačina) dodeliti joj matricu E.
2. Koristeći Jordan transformacije, dovedite matricu A u matricu koja se sastoji od pojedinačnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
3. Ako je potrebno, preuredite redove (jednačine) posljednje tablice tako da se matrica identiteta E dobije ispod matrice A originalne tablice.
4. Napišite inverznu matricu A -1, koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E originalne tablice.

Primjer 1

Za matricu A, pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Zapisujemo matricu A i na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta E. Koristeći Jordan transformacije, matricu A reduciramo na matricu identiteta E. Proračuni su prikazani u tabeli 31.1.

Provjerimo ispravnost proračuna množenjem originalne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrice, dobija se matrica identiteta. Dakle, proračuni su tačni.

odgovor:

Rješenje matričnih jednačina

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C date matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate ovu jednačinu pomnožiti s lijevom.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe.

Ostale jednadžbe se rješavaju slično.

Primjer 2

Riješite jednačinu AX = B ako

Rješenje: Pošto je inverz matrice jednak (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Zajedno s drugima, oni također nalaze primjenu matrične metode. Ove metode se zasnivaju na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Ovakve metode se koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno uporediti funkcionisanje organizacija i njihovih strukturnih podjela.

U procesu primjene matričnih metoda analize može se izdvojiti nekoliko faza.

U prvoj fazi vrši se formiranje sistema ekonomskih pokazatelja i na osnovu njega se sastavlja matrica početnih podataka, koja je tabela u kojoj su brojevi sistema prikazani u pojedinačnim redovima (i = 1,2,....,n), a duž vertikalnih grafikona - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi za svaki vertikalni stupac otkriva se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedinica.

Nakon toga, svi iznosi prikazani u ovoj koloni se dijele sa najveća vrijednost i formira se matrica standardizovanih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su na kvadrat. Ako imaju različitu važnost, tada se svakom indikatoru matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje stručnjak.

Na posljednjem četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena Rj grupisane po rastućem ili opadajućem redu.

Gore navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, kada komparativna analiza raznih investicionih projekata, kao i prilikom ocjenjivanja drugih pokazatelja ekonomskog učinka organizacija.