Predložena je frekventna metoda za rješavanje problema uzdužnih vibracija šipki stepenasto promjenjivog poprečnog presjeka, sa ili bez uzimanja u obzir disipacije energije pri udaru o krutu prepreku. Jednačina uzdužnih vibracija štapa se transformiše prema Laplaceu u prisustvu početnih uslova koji nisu nula. Riješen je granični problem koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih uzdužnih sila ruba kao funkcije pomaka rubova. Zatim se sastavlja sistem jednadžbi za ravnotežu čvorova, čijim se rešavanjem grade amplitudno-fazno-frekventne karakteristike (APFC) za preseke štapa od interesa. Izvođenjem inverzne Laplaceove transformacije konstruiše se prolazni proces. Kao testni primjer razmatra se šipka konstantnog presjeka konačne dužine. Dato je poređenje sa poznatim talasnim rešenjem. Predložena metoda za dinamički proračun štapa u sudaru sa krutom preprekom omogućava generalizacije na proizvoljan sistem štapa u prisustvu neograničenog broja elastično vezanih masa, sa proizvoljnom silom primijenjenom na krajevima i duž dužine šipke. rod.
frekvencijska metoda
uzdužne vibracije štapa
1. Biderman, V.L. Primijenjena teorija mehaničke vibracije/ V.L. Biderman. – M.: postdiplomske škole, 1972. - 416 str.
2. Lavrentiev, M.A. Metode teorije funkcija kompleksne varijable / M.A. Lavrentijev, B.V. Šabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 str.
3. Sankin, Yu.N. Dinamičke karakteristike viskoelastičnih sistema sa distribuiranim parametrima / Yu.N. Sankin. - Saratov: Izdavačka kuća Sarat. un-ta, 1977. - 312 str.
4. Sankin, Yu.N. Nestacionarne vibracije štapnih sistema u sudaru sa preprekom / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; ispod totala ed. Yu.N. Sankin. - Uljanovsk: UlGTU, 2010. - 174 str.
5. Sankin, Y.N. Uzdužne vibracije elastičnih šipki promjenjivog poprečnog presjeka pri sudaru sa krutom preprekom \ Yu. N. Sankin i N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, br. 3, str. 427-433, 2001.
Razmotrimo frekventnu metodu za rješavanje problema uzdužnih vibracija šipki stepenasto promjenjivog poprečnog presjeka, sa ili bez uzimanja u obzir disipacije energije pri udaru o krutu prepreku, koju ćemo uporediti s poznatim valnim rješenjem i rješenjem u obliku niza modova vibracija (14) .
Diferencijalna jednadžba uzdužnih vibracija štapa, uzimajući u obzir sile unutrašnjeg otpora, ima oblik:
Postavimo sljedeću granicu i početni uslovi:
. (2)
Transformirajmo jednačinu (1) i granične uslove (2) prema Laplaceu za date početne uslove (2). Tada će jednačina (2) i granični uslovi (2) biti zapisani na sljedeći način:
; (3)
,
gdje su Laplace-transformirani pomaci točaka štapa; p je parametar Laplaceove transformacije.
Jednačina (3) bez uzimanja u obzir disipacije energije (at = 0) će poprimiti oblik:
. (4)
Za rezultirajuću nehomogenu diferencijalnu jednadžbu riješen je granični problem koji se sastoji u pronalaženju Laplace-transformiranih uzdužnih sila ruba kao funkcije pomaka rubova.
Za ovo razmatramo homogenu jednadžbu uzdužnih vibracija štapa, uzimajući u obzir disipaciju energije
(5)
označavajući
i prelazeći na novu promenljivu, dobijamo umesto (5)
(6)
Ako je, gdje je parametar frekvencije, onda
.
Odluka homogena jednačina(6) ima oblik:
Konstante integracije c1 i c2 nalaze se iz početnih uslova:
u = u0 ; N = N0,
One. 
;
Ovo rješenje odgovara sljedećoj matrici prijenosa:
. (7)
Zamjenom dobijenih izraza za elemente matrice prijenosa u formule metode pomaka, dobijamo:
;
(8)
;
Indeksi n i k označavaju početak i kraj preseka štapa, respektivno. A geometrijske i fizičke konstante s indeksima nk i kn odnose se na određeni dio štapa.
Razbijajući štap na elemente, koristeći formule (8), sastavit ćemo jednadžbe dinamičke ravnoteže čvorova. Ove jednadžbe su sistem jednadžbi za nepoznate pomake čvorova. Pošto se odgovarajući koeficijenti dobijaju tačnim integrisanjem, dužina preseka štapa nije ograničena.
Rješavajući rezultujući sistem jednačina za , gradimo amplitudsko-fazno-frekventne karakteristike za presjeke štapa koji nas zanimaju. Ovi AFC se mogu posmatrati kao grafička slika jednostrane Fourierove transformacije, koja se poklapa sa Laplaceovom transformacijom pod impulsivnim radnjama. Kako sve singularne tačke odgovarajućih izraza leže lijevo od imaginarne ose, inverzna transformacija se može izvesti postavljanjem , tj. koristeći konstruisani AFC. Zadatak konstruisanja AFC-a, gde se polje početnih brzina pomnoženo sa gustinom štapa pojavljuje kao sila, je pomoćni. Obično se AFC konstruišu na osnovu uticaja remetalnih sila, zatim se inverzna Laplasova transformacija izvodi numeričkom integracijom ili na neki drugi način.
Kao jednostavan primjer, uzmimo ravan štap dužine l, koji se uzdužno sudara sa krutom preprekom brzinom V0 (slika 1).
Odredimo pomak tačaka štapa nakon udara. Pretpostavljamo da se nakon udara održava kontakt između prepreke i štapa, tj. ne dolazi do odskoka štapa. Ako je veza nezadrživa, onda se problem može smatrati komadno linearnim. Kriterijum za prelazak na drugo rješenje je promjena predznaka brzine u tački kontakta.
U monografiji Lavrentieva M.A., Shabat B.V. dato je valno rješenje jednadžbe (4):
i pronašao svoj original
, (9)
gdje je funkcija jediničnog koraka.
Drugi pristup rješavanju ovog problema može se provesti frekvencijskom metodom opisanom u . Za ovaj problem imaćemo:
; 
;
; ;
; 
;
. (10)
Hajde da nađemo original (11)
Rešimo isti problem na frekvencijski način. Iz jednadžbe ravnoteže 1. čvora:
(12)
dobijamo formulu za pomeranje kraja štapa.
Sada, ako se ispitna šipka konstantnog poprečnog presjeka podijeli na dva proizvoljna dijela dužine l1 i l2 (vidi sliku 1), tada će uslovi za ravnotežu čvorova biti sljedeći:
(13)
Kao rezultat rješavanja sistema (13) dobijamo grafike faznog odziva za pomake u 1. i 2. presjeku (U1 i U2, respektivno). Dakle, slika za pomak ivice u zatvorenom obliku, uzimajući u obzir disipaciju energije, u slučaju (12) i (13) se poklapa i ima oblik:
. (14)
Provjerimo podudarnost rezultata na kraju štapa. Na sl. Na slici 2 prikazani su grafovi rješenja (10) za x = l0.1 i kao rezultat rješavanja sistema (13). Savršeno se slažu.
Diskretna Fourierova transformacija se može koristiti za dobijanje prelaznog procesa. Rezultat se može dobiti izvođenjem numeričke integracije pri t=0… po formuli
. (15)
Na AFC-u (vidi sliku 2), samo jedan vidljivi kalem se značajno manifestuje. Dakle, treba uzeti jedan član niza (15). Iz grafikona na slici 3. može se vidjeti koliko se rješenje (9) i rješenje prema modovima oscilacija (11) tačno poklapaju sa predloženim frekventnim rješenjem. Greška ne prelazi 18%. Nastala neslaganja se objašnjava činjenicom da rješenja (9) i (11) ne uzimaju u obzir disipaciju energije u materijalu štapa.
Rice. 3. Prolazni proces za kraj štapa; 1, 2, 3 - grafovi konstruisani prema formulama (9), (11), (15), respektivno.
kao više složen primjer Razmotrimo problem uzdužnih vibracija stepenastog štapa (slika 4) sa opterećenjem na kraju, sudarajući se sa krutom preprekom brzinom V0, i neka je masa tereta jednaka masi susjednog presjeka. štapa:.
Rice. 4. Proračunska shema uzdužnih vibracija stepenaste šipke sa opterećenjem na kraju
Uvodimo karakteristične presjeke 1,2,3 štapa, u kojima ćemo izračunati pomake. Sastavljamo sistem rješavanja jednačina:
(16)
Kao rezultat rješavanja sistema (16), dobijamo AFC grafike (slika 5) za pomake u drugom i trećem presjeku (U2 () i U3 (), respektivno. Proračuni su rađeni sa sljedećim vrijednostima konstanti: l = 2 m; E = 2,1×1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Na dobijenim AFC-ima samo dva vidljiva zavoja se značajno pokazuju. Stoga, pri konstruisanju prelaznog procesa u odabranim presecima, uzimamo dva člana serije (16). Da biste to učinili, prvo morate definirati
Rice. Slika 5. AFC pomaka u drugom i trećem dijelu stepenastog štapa (vidi sliku 4)
Slično, prema formuli (15) se konstruiše prolazni proces.
Zaključak: razvijena je metoda za proračun uzdužnih vibracija štapova pri udaru o prepreku.
Recenzenti:
Lebedev A.M., doktor tehničkih nauka, vanredni profesor, profesor Visoke škole Uljanovsk škola vazduhoplovstva(Institut), Uljanovsk.
Antonets I.V., doktor tehničkih nauka, profesor države Uljanovsk tehnički univerzitet, Uljanovsk.
Bibliografska veza
Yuganova N.A. UZDUŽNE VIBRACIJE ŠTAPOVA U SUDARU SA KRUGIM PREPREKAMA // Contemporary Issues nauke i obrazovanja. - 2014. - br. 2.;URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodne istorije"
DEFINICIJA
Longitudinalni talas- ovo je talas, tokom čijeg širenja dolazi do pomeranja čestica medija u pravcu prostiranja talasa (slika 1, a).
Uzrok nastanka longitudinalnog vala je kompresija / ekstenzija, tj. otpor medija na promjenu njegove zapremine. U tekućinama ili plinovima takva deformacija je praćena razrjeđivanjem ili zbijanjem čestica medija. Uzdužni valovi mogu se širiti u bilo kojem mediju - čvrstom, tekućem i plinovitom.
Primjeri longitudinalni talasi su valovi u elastičnom štapu ili zvučni valovi u plinovima.
poprečni talasi
DEFINICIJA
poprečni talas- ovo je talas, tokom čijeg širenja dolazi do pomeranja čestica medija u pravcu okomitom na prostiranje talasa (slika 1b).
Uzrok poprečnog vala je posmična deformacija jednog sloja medija u odnosu na drugi. Kada se poprečni val širi u mediju, formiraju se grebeni i udubine. Tečnosti i gasovi, za razliku od čvrste materije, nemaju elastičnost u odnosu na smicanje slojeva, tj. ne opiru se promjeni oblika. Zbog toga se poprečni talasi mogu širiti samo u čvrstim materijama.
Primjeri poprečnih valova su valovi koji putuju duž istegnutog užeta ili uzduž žice.
Talasi na površini tekućine nisu ni uzdužni ni poprečni. Ako bacite plovak na površinu vode, možete vidjeti da se kreće, ljuljajući se na valovima, kružno. Dakle, val na površini tekućine ima i poprečnu i uzdužnu komponentu. Na površini tečnosti mogu se javiti i talasi posebnog tipa - tzv površinski talasi. Nastaju kao rezultat djelovanja i sile površinske napetosti.
Primjeri rješavanja problema
PRIMJER 1
| Vježba | Odredite smjer širenja poprečnog vala ako plovak u nekom trenutku ima smjer brzine prikazan na slici. |
| Odluka | Hajde da napravimo crtež. Nacrtajmo površinu talasa u blizini plovka nakon određenog vremenskog intervala, s obzirom da je za to vrijeme plovak pao nadole, budući da je u tom trenutku bio usmjeren prema dolje. Nastavljajući liniju desno i lijevo, pokazujemo položaj vala u trenutku . Upoređujući položaj vala u početnom trenutku vremena (puna linija) i u trenutku vremena (isprekidana linija), zaključujemo da se val širi lijevo. |
Razmotrimo jednoličnu šipku dužine, tj. tijelo cilindričnog ili nekog drugog oblika, za koje se mora primijeniti određena sila da se rastegne ili savije. Posljednja okolnost razlikuje čak i najtanji štap od strune, koja se, kao što znamo, slobodno savija.
U ovom poglavlju ćemo primijeniti metodu karakteristika na proučavanje uzdužnih vibracija štapa, a ograničit ćemo se na proučavanje samo onih vibracija kod kojih poprečni presjeci, krećući se duž ose štapa, ostaju ravni i paralelni sa jedni druge (slika 6). Takva pretpostavka je opravdana ako su poprečne dimenzije štapa male u odnosu na njegovu dužinu.
Ako je šipka nešto rastegnuta ili stisnuta duž uzdužne ose, a zatim ostavljena sama sebi, tada će se u njoj pojaviti uzdužne vibracije. Usmjerimo os duž ose štapa i pretpostavimo da su u mirovanju krajevi štapa u tačkama. Neka je apscisa nekog dijela štapa kada potonji miruje. Označimo sa pomakom ovog presjeka u trenutku, tada će pomak presjeka sa apscisom biti jednak
Odavde je jasno da je relativno izduženje štapa u presjeku sa apscisom x izraženo izvodom
Pretpostavljajući sada da štap vrši male vibracije, možemo izračunati napetost Real u ovom dijelu, primjenom Hookeovog zakona, nalazimo da
gdje je modul elastičnosti materijala štapa, njegova površina poprečnog presjeka. Uzmite priloženi element štapa
između dva preseka, čije su apscise u mirovanju respektivno jednake Na ovaj element utiču sile zatezanja koje se primenjuju u ovim presecima, a usmerene su duž ose. Rezultanta ovih sila ima vrednost
a također usmjerena uz . S druge strane, ubrzanje elementa je jednako, tako da možemo napisati jednakost
gdje je nasipna gustina štapa. Stavljanje
i smanjivanjem za dobijamo diferencijalnu jednadžbu uzdužnih vibracija homogenog štapa
Oblik ove jednadžbe pokazuje da su uzdužne oscilacije štapa talasne prirode, a brzina a prostiranja uzdužnih valova određena je formulom (4).
Ako na štap djeluje i vanjska sila izračunata po jedinici njegove zapremine, onda umjesto (3) dobijamo
Ovo je jednadžba prisilnih uzdužnih vibracija štapa. Kao i u dinamici općenito, jedna jednačina kretanja (6) nije dovoljna potpuna definicija kretanje štapa. Potrebno je postaviti početne uslove, odnosno postaviti pomake preseka štapa i njihove brzine u početnom trenutku vremena
gdje i unapred definisane funkcije u intervalu (
Osim toga, moraju se specificirati granični uvjeti na krajevima šipke. Na primjer.
Štap je tijelo čija jedna dimenzija, nazvana uzdužna, znatno premašuje njegove dimenzije u ravni koja je okomita na uzdužni smjer, tj. unakrsne dimenzije. Glavno svojstvo štapa je otpornost na uzdužnu kompresiju (napetost) i savijanje. Ovo svojstvo u osnovi razlikuje štap od strune, koja se ne rasteže i ne opire savijanju. Ako je gustina materijala štapa ista na svim njegovim tačkama, onda se štap naziva homogenim.
Obično se kao štapovi smatraju proširena tijela omeđena zatvorenom cilindričnom površinom. U ovom slučaju, površina poprečnog presjeka ostaje konstantna. Proučavaćemo ponašanje upravo takvog homogenog štapa dužine l, pod pretpostavkom da je podložan samo kompresiji ili napetosti, dok se pridržava Hookeovog zakona. Prilikom proučavanja malih uzdužnih deformacija štapa, tzv hipoteza ravnih presjeka. Leži u činjenici da poprečni presjeci, krećući se pod pritiskom ili naprezanjem duž šipke, ostaju ravni i paralelni jedan s drugim.
Usmjerimo osu x duž uzdužne ose štapa (slika 19) i pretpostavićemo da su u početnom trenutku krajevi štapa u tačkama x=0 i x=l. Uzmimo proizvoljan dio štapa s koordinatom x. Označiti sa u(x,t) pomjeranje ovog dijela u vremenu t, zatim pomak odsjeka s koordinatama istovremeno će biti jednaka
Zatim relativno izduženje štapa u presjeku xće biti jednako
Sila otpora ovom izduženju, prema Hookeovom zakonu, biće jednaka
gdje E je modul elastičnosti materijala štapa (Youngov modul), i S- površina poprečnog presjeka. Na granicama dijela šipke s dužinom dx sile deluju na njega T x i T x + dx, usmjerena duž ose x. Rezultanta ovih sila će biti jednaka
,
a ubrzanje presjeka štapa koji se razmatra je , tada će jednadžba gibanja ovog presjeka štapa izgledati ovako:
, (67)
gdje ρ – gustina materijala štapa. Ako su ova gustina i Youngov modul konstantni, tada možete unijeti vrijednost kroz i dijeljenjem obje strane jednačine sa sdx, konačno dobiti jednadžba uzdužnih vibracija štapa u odsustvu spoljne sile
(68)
Ova jednadžba je po obliku slična jednadžba poprečnih vibracija strune a metode rješenja za to su iste, međutim, po koeficijentu a ove jednačine predstavljaju različite veličine. U jednačini niza, količina a 2 predstavlja razlomak u čijem je brojiocu konstantna sila zatezanja strune - T, a u nazivniku linearna gustina ρ , a u jednadžbi nizova Youngov modul je u brojiocima i u nazivniku – volumetrijski gustina materijala štapa ρ . Stoga i fizičko značenje količine a u ovim jednačinama je drugačija. Ako je za strunu ovaj koeficijent brzina prostiranja malog poprečnog pomaka, onda je za štap brzina širenja male uzdužne napetosti ili kompresije i naziva se brzina širenja zvuka, budući da će se tom brzinom male uzdužne vibracije koje predstavljaju zvuk širiti duž štapa.
Za jednačinu (68) postavljeni su početni uslovi koji određuju pomak i brzinu pomaka bilo kojeg dijela štapa u početnom trenutku:
Za ograničeni štap, uslovi za fiksiranje ili primjenu sile na njegovim krajevima dati su u obliku granični uslovi 1., 2. i 3. vrste.
Granični uvjeti prve vrste definiraju uzdužni pomak na krajevima štapa:
Ako su krajevi štapa fiksirani nepomično, tada pod uslovima (6) 
. U ovom slučaju, baš kao iu problemu vibracije stegnute strune, primjenjujemo metodu razdvajanja varijabli.
U graničnim uslovima druge vrste na krajevima štapa se postavljaju elastične sile koje nastaju kao rezultat deformacije prema Hookeovom zakonu ovisno o vremenu. Prema formuli (66), ove sile su do konstantnog faktora jednake derivatu u x, dakle, ovi derivati su dati na krajevima kao funkcije vremena:
Ako je jedan od krajeva štapa slobodan, onda na ovom kraju u x = 0.
Granični uslovi treće vrste mogu se predstaviti kao uslovi pod kojima je opruga pričvršćena na svaki kraj štapa, čiji se drugi kraj kreće duž ose prema datom zakonu vremena θ (t), kao što je prikazano na sl. 20. Ovi uslovi se mogu napisati na sljedeći način
, (72)
gdje k 1 i k 2 - krutost opruga.
Ako na štap po osi djeluje i vanjska sila str(x,t) izračunato po jedinici zapremine, onda umesto jednačine (50) treba napisati nehomogena jednačina
,
Koji će, nakon dijeljenja sa , poprimiti oblik
, (73)
gdje 
. Jednačina (73) je jednačina za prisilne uzdužne vibracije štapa, koja se rješava analogno jednadžbi prisilne vibraciježice.
Komentar. Treba napomenuti da su i struna i štap modeli stvarnih tijela, koja u stvarnosti mogu pokazati i svojstva tetive i štapa, u zavisnosti od uslova u kojima se nalaze. Osim toga, dobivene jednadžbe ne uzimaju u obzir sile otpora okruženje i sile unutrašnjeg trenja, zbog čega ove jednačine opisuju neprigušene oscilacije. Da bi se uzeo u obzir efekat prigušenja, u najjednostavnijem slučaju koristi se disipativna sila, koja je proporcionalna brzini i usmjerena u smjeru suprotnom kretanju, tj. brzina. Kao rezultat, jednačina (73) poprima oblik
(74)
MEHANIKA
UDK 531.01/534.112
UZDUŽNE VIBRACIJE PAKETA ŠIPKI
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Ruska Federacija e-mail: [email protected]; [email protected]
U pitanjima dinamike tekućih raketa važnu ulogu igra problem stabilnosti kretanja rakete u slučaju uzdužnih elastičnih oscilacija. Pojava takvih oscilacija može dovesti do uspostavljanja autooscilacija, koje, ukoliko je raketa nestabilna u uzdužnom smjeru, mogu dovesti do njenog brzog uništenja. Formuliran je problem uzdužnih oscilacija paketne rakete, a kao proračunski model korišten je paket šipki. Pretpostavlja se da je tečnost u raketnim rezervoarima „zamrznuta“, tj. pravilna kretanja tečnosti se ne uzimaju u obzir. Formuliran je zakon ukupnog energetskog bilansa za problem koji se razmatra i data je njegova operatorska izjava. Dat je numerički primjer za koji su određene frekvencije, te konstruirani i analizirani vlastiti modovi.
Ključne riječi: longitudinalne vibracije, učestalost i oblik vibracija, paket štapova, zakon ukupne energije, samoprilagođeni operator, vibracijski spektar, POGO.
SISTEM UZDUŽNIH VIBRACIJA ŠIPKI A.M. Pavlov, Al. Temnov
Moskovski državni tehnički univerzitet Bauman, Moskva, Ruska Federacija e-mail: [email protected]; [email protected]
U pitanjima dinamike raketa na tečno gorivo problem stabilnosti kretanja ove rakete ima važnu ulogu sa pojavom uzdužnih elastičnih vibracija. Pojava takve vrste vibracija može izazvati vlastite vibracije koje mogu uzrokovati brzo uništenje rakete u slučaju nestabilnosti rakete u uzdužnom smjeru. Problem uzdužnih vibracija rakete na tekuće gorivo na bazi paketne šeme je formulisan korišćenjem paketnih štapova kao računskog modela. Pretpostavlja se da je tečnost u raketnim rezervoarima „zamrznuta“, tj. pravilni pokreti tečnosti nisu uključeni. Za ovaj problem formulisan je princip očuvanja energije i dat je njegov operatorski stepen. Postoji numerički primjer za koji su određene frekvencije, izgrađeni i analizirani oblici Eigen vibracija.
Ključne riječi: longitudinalni modovi vibracija, vlastiti modovi i frekvencije, model štapova, princip očuvanja energije, selfadjoint operator, vibracijski spektar, POGO.
Uvod. Trenutno se u Rusiji i inostranstvu za lansiranje korisnog tereta u potrebnu orbitu često koriste lansirne rakete (LV) paketnog rasporeda sa identičnim bočnim blokovima ravnomerno raspoređenim oko centralnog bloka.
Proučavanje oscilacija paketnih struktura nailazi na određene poteškoće povezane s dinamičkim djelovanjem bočnih i središnjih blokova. U slučaju simetrije rasporeda lansirne rakete, složena, prostorna interakcija blokova dizajna paketa može se podijeliti na konačan broj tipova vibracija, od kojih su jedna uzdužne vibracije središnjeg i bočnog bloka. Matematički model longitudinalnih vibracija sličan dizajn u obliku paketa šipki tankih stijenki detaljno se razmatra u radu. Rice. 1. Šema centralne
značajne vibracije paketa šipki, dopunjujući studiju koju je sproveo A.A. Jadno.
Formulacija problema. Razmotrimo druge uzdužne vibracije paketa šipki, koji se sastoji od centralnog štapa dužine l0 i N bočnih šipki iste dužine j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, pričvršćenih na tačka A (xA = l) (slika 1) sa centralnim opružnim elementima krutosti k.
Hajde da uvedemo fiksni referentni okvir OX i pretpostavimo da su krutost štapova EFj (x), raspoređena masa mj (x) i perturbacija q (x,t) ograničene funkcije x koordinate:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Neka se pomaci Uj (x, t) pojavljuju u poprečnim presjecima štapova sa koordinatom x, koji su određeni jednadžbama mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) granični uslovi za odsustvo normalnih sila na krajevima štapova 3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2, 0, x = 0, x = l0; uslovi jednakosti normalnih sila koje nastaju u štapovima, EF-3 = F x = l elastične sile opružnih elemenata FpPJ = k (u (ha) - u (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; uslov jednakosti pomaka u tački xa centralnog štapa W (ha-o) \u003d W (ha + o) i početni uvjeti W y (x, 0) - W (x); , _ u(x, 0) = u(x), gdje je u(x, 0) = "q^1(x, 0). Zakon ukupne energetske ravnoteže. Pomnožimo jednačinu (2) sa u(x, t), integrišemo po dužini svakog štapa i dodamo rezultate koristeći granične uslove (3) i uslov podudaranja (4). Kao rezultat, dobijamo (( 1 ^ [ (diL 2 tz (x) "BT" (x + dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ⩽ G „„ , f dn3\ , 1 ⩽ Gj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Yo N (x - -)(ne - Uj)2 dx = / ^ (x, t) ux y (x, t) (x, (6) gdje je 8(x - y) Diracova delta funkcija. U jednačini (6), prvi član u vitičastim zagradama je kinetička energija T (¿) sistema, drugi je potencijalna energija Pr (£) zbog deformacije štapova, a treći je potencijalna energija Pk (£) opružnih elemenata, koji se u prisustvu elastičnih deformacija šipkama mogu zapisati kao Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Ey. Jednačina (6) pokazuje da je promjena ukupne energije po jedinici vremena razmatranog mehaničkog sistema jednaka snazi spoljni uticaj. U odsustvu eksterne perturbacije q (x,t), dobijamo zakon održanja ukupne energije: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Podešavanje operatera. Zakon o energetskoj ravnoteži pokazuje da se za bilo koje vrijeme t funkcije Uj (x, t) mogu smatrati elementima Hilbertovog prostora L2j(; m3 (x)), definiranim na dužini ¡i skalarnim proizvodom (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 i relevantnu regulativu. Uvedemo Hilbertov prostor H, koji je jednak ortogonalnoj sumi L2j, H = L20 Φ L21 Φ... Φ L2N, vektorsku funkciju U = (uo, Ui,..., uN)m i operator A koji djeluje u prostoru H prema relaciji AU = dijagnoza(A00U0, A11U1, ..., Annun). mj(x)dx\jdx" operatori definisani na skup B (A33) C H funkcija koje zadovoljavaju uslove (3) i (4). Originalni problem (1)-(5) zajedno sa početnim uslovima može se zapisati kao Au = f(*), u(0) = u0, 17(0) = u1, (7) gdje je f (*) = (do (*) ,51 (*),..., Yam (¿)), tj. Lemma. 1. Ako su prva dva uslova (1) zadovoljena, tada je operator A u evolucionom problemu (7) neograničeni, samopridruženi, pozitivno određeni operator u prostoru H (Au, K)n = (u, AK)n, (Au, u)n > c2 (u, u)n. 2. Operator A generiše energetski prostor HA sa normom jednakom dvostrukoj vrijednosti potencijalne energije oscilacija paketa štapova 3 \ ^ I h)2 = 2n > 0. (8) IIIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2P > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef-(x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J E Fo (x) uo (x) vo (x) dx - E Fo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J E Fo (x) uo (x) v" (x) dx - E Fo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) r?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H \u003d ... \u003d I EF0 (x) u "2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u "0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx Y^k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u "2 (x) dx + / EF0 (x) u" 0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Iz navedenih rezultata slijedi da je energetska norma operatora A izražena formulom (8). Rješivost evolucijskog problema. Formuliramo sljedeću teoremu. Teorema 1. Neka su uslovi U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), tada problem (7) ima jedinstveno slabo rješenje U (t) na segmentu definisanom formulom U (t) = U0 cos (tA1/2) + U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 u odsustvu vanjske perturbacije f (£), zakon održanja energije je zadovoljen 1 II A 1/2UI2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Prirodne vibracije paketa štapova. Pretpostavimo da polje vanjskih sila ne djeluje na sistem štapova: f (t) = 0. U ovom slučaju, kretanje štapova ćemo nazvati slobodnim. Slobodna kretanja štapova, koja zavise od vremena t prema zakonu exp (iwt), nazvat ćemo vlastite oscilacije. Uzimajući u jednačinu (7) U (x, t) = U (x) eiWU, dobijamo spektralni problem za operator A: AU - AEU = 0, L \u003d w2. (devet) Svojstva operatora A nam omogućavaju da formulišemo teoremu o spektru i svojstvima sopstvenih funkcija. Teorema 2. Spektralni problem (9) o prirodnim oscilacijama paketa štapova ima diskretni pozitivni spektar 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то i sistem sopstvenih funkcija (Uk (x))^=0, potpun i ortogonan u prostorima H i HA, dok sledeće formule ortogonalnost: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/U^) d*+ K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Istraživanje spektralnog problema u slučaju homogenog paketa štapova. Predstavljajući funkciju pomaka m-(x, t) u obliku m-(x, t) = m-(x), nakon odvajanja varijabli, dobijamo spektralne probleme za svaki štap: ^0u + LM = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) koje zapisujemo u matričnom obliku 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t« u = (u0, u1, u2,..., u'), tj. Rješenje i analiza dobijenih rezultata. Označimo funkcije pomaka za središnji štap u presjeku kao u01, a u presjeku kao u02 (g). U ovom slučaju, za funkciju u02, pomičemo ishodište koordinata u tačku sa koordinatom /. Za svaki štap predstavljamo rješenje jednadžbe (10) u obliku Da bismo pronašli nepoznate konstante u (11), koristimo granične uslove formulisane gore. Iz homogenih graničnih uslova mogu se odrediti neke konstante, i to: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Kao rezultat, ostaje pronaći N + 3 konstante: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Da bismo to učinili, rješavamo N + 3 jednadžbe za N + 3 nepoznate. Rezultirajući sistem zapisujemo u matričnom obliku: (A) (C) = (0) . Ovdje (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)m je vektor nepoznanica; (A) - karakteristična matrica, cos (L1) EF0 L sin (L1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 y 00 00 0 000Y a \u003d k coe ^ ^A-L^; c \u003d -k co8 ((.40-01L) 1 / 2 ^; 7 \u003d (A4 "-1 l) 1/2 ap ((A" 1l) 1/2 + do sova ((A "1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ A = ^ A] ; A-- : 3 = 0. Za pronalaženje netrivijalnog rješenja uzimamo konstantu C01 € M kao varijablu. Imamo dvije opcije: C01 = 0; C01 = 0. Neka je S01 = 0, tada je S03 = S04 = 0. U ovom slučaju se može dobiti netrivijalno rješenje ako je 7 = 0 iz (12) pod dodatnim uvjetom £ c-1 = 0, (13) što se može dobiti iz treće jednačine sistema (12). Kao rezultat, dobijamo jednostavnu frekvencijsku jednačinu EP (A "1 L) 1/2 w ((A" 1 ^ 1/2 P + zz y \ V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , koja se poklapa sa frekvencijskom jednačinom za štap elastično fiksiran na jednom kraju, koji se može smatrati prvim parcijalnim sistemom. U ovom slučaju, sve moguće kombinacije kretanja bočnih šipki koje zadovoljavaju uvjet (13) mogu se uvjetno podijeliti u grupe koje odgovaraju različitim kombinacijama faza (u razmatranom slučaju faza je određena predznakom S.d). Ako uzmemo bočne šipke identične, onda imamo dvije mogućnosti: 1) Cd \u003d 0, tada se broj takvih kombinacija n za različite N može izračunati formulom n = N 2, gdje je funkcija dijeljenja bez ostatka; 2) bilo koja (ili bilo koja) od C- konstanti je jednaka 0, tada se broj mogućih kombinacija povećava i može se odrediti formulom £ [(N - m) div 2]. Neka je Coi = 0, tada je Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = C01 (-v/t), gdje su c i y kompleksi u (12). Iz sistema (12) imamo i: C03 = C01 cos (L/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), tj. sve konstante su izražene kroz C01. Jednačina frekvencije ima oblik EFo U-o1 L tg A-1 L) "(lo - l)) - K2 cos | ía!-,1 L Kao primjer, razmotrite sistem sa četiri bočne šipke. Pored gore opisane metode, za ovaj primjer možete napisati jednadžbu frekvencije za cijeli sistem tako što ćete izračunati determinantu matrice A i izjednačiti je sa nulom. Predstavljamo njenu formu Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+ L cos (L (/ o - /)) (EFoL sin (L /) + 4v)) - 4avt3L cos (L(/0 - /)) = 0. Na sl. 2. Kao početni podaci uzeti su sljedeći podaci: EF = 2109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; /=23; /o = 33 m. Vrijednosti prve tri frekvencije oscilacija razmatrane sheme su date u nastavku: n................................................ i, rad/s..................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Rice. 2. Dijagrami jednadžbi transcendentalne frekvencije za Coi = 0 (i) i Coi = 0 (2) Predstavimo modove vibracija koji odgovaraju dobijenim rešenjima (u opštem slučaju, modovi vibracija nisu normalizovani). Talasni oblici koji odgovaraju prvoj, drugoj, trećoj, četvrtoj, 13. i 14. frekvenciji prikazani su na sl. 3. Na prvoj frekvenciji oscilacije, bočne šipke osciliraju istog oblika, ali u parovima u antifazi Fig.3. Načini vibracije bočne (1) i centralne (2) šipke odgovaraju prvom V = 3,20 Hz (a), drugom V = 5,02 Hz (b), trećem V = 10,11 Hz (c), četvrtom V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) i 14. V = 50,88 Hz (e) frekvencije (slika 3, a), na drugom - centralni štap osciluje, a bočni osciliraju u istom obliku u fazi (slika 3, b). Treba napomenuti da prva i druga frekvencija oscilacija razmatranog sistema štapova odgovaraju oscilacijama sistema koji se sastoji od čvrstih tijela. Kada sistem oscilira sa trećom prirodnom frekvencijom, prvi put se pojavljuju čvorovi (slika 3c). Treća i naredne frekvencije (slika 3d) odgovaraju već elastičnim oscilacijama sistema. Sa povećanjem frekvencije oscilacija povezanih sa smanjenjem utjecaja elastičnih elemenata, frekvencije i oblici oscilacija teže parcijalnim (sl. 3, e, f). Krive funkcija čije su točke presjeka sa apscisnom osom rješenja transcendentalnih jednačina prikazane su na sl. 4. Prema slici, frekvencije prirodnih oscilacija sistema se nalaze u blizini parcijalnih frekvencija. Kao što je gore navedeno, kako frekvencija raste, konvergencija prirodnih frekvencija sa parcijalnim se povećava. Kao rezultat toga, frekvencije na kojima cijeli sistem oscilira se uslovno dijele u dvije grupe: one bliske parcijalnim frekvencijama bočne šipke i frekvencije bliske parcijalnim frekvencijama centralne šipke. Nalazi. Razmatra se problem uzdužnih vibracija paketa šipki. Svojstva isporučenog problem graničnih vrijednosti i njegov spektar sopstvene vrijednosti. Rješenje spektralnog problema za proizvoljan broj uniformne bočne šipke. Za numerički primjer, nalaze se vrijednosti prvih frekvencija oscilacija i konstruiraju se odgovarajući oblici. Otkrivene su i neke karakteristične osobine konstruisanih modova vibracija. Rice. 4. Krivulje funkcija čije su točke presjeka sa apscisnom osom rješenja transcendentalnih jednačina, za Cox = 0 (1), Cox = 0 (2) poklapaju se sa prvim parcijalnim sistemom (bočni štap pričvršćen na elastični element u tački x = I) i drugog parcijalnog sistema (5) (centralna šipka pričvršćena na četiri elastična elementa u tački A) LITERATURA 1. Kolesnikov K.S. Dinamika rakete. M.: Mashinostroenie, 2003. 520 str. 2. Balističke rakete i lansirne rakete / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin i dr. M.: Drofa, 2004. 511 str. 3. Rabinovich B.I. Uvod u dinamiku raketa nosača svemirskih letjelica. M.: Mashinostroenie, 1974. 396 str. 4. Studija parametara o POGO stabilnosti tekućih raketa / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011 Vol. 48. Is. 3. P. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Metode analize uzdužnih oscilacija raketa nosača s tekućim motorom // Kosmonautika i raketno inženjerstvo. 1995. br. 5. S. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Posebnosti matematički model Raspored paketa raketa na tečnost kao objekat upravljanja // Odabrani problemi čvrstoće savremenog mašinstva. 2008. S. 43-55. 7. Dokuchaev L.V. Unapređenje metoda za proučavanje dinamike upakovanog lansirnog vozila s obzirom na njihovu simetriju // Kosmonautika i raketno inženjerstvo. 2005. br. 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Razvoj približnih analitičkih metoda za proračun prirodnih i prisilnih vibracija elastičnih ljuski sa fluidom: Kand. ... Dr. tech. nauke. M., 2005. 220 str. 9. Kerin S.G. Linearno diferencijalne jednadžbe u Banahovim prostorima. M.: Nauka, 1967. 464 str. 10. Kopachevsky I.D. Operatorske metode matematičke fizike. Simferopol: OOO "Forma", 2008. 140 str. Kolesnikov K.S. Dinamika raketa. Moskva, Mašinostroenie Publ., 2003. 520 str. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., ur. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli. Moskva, Drofa Publ., 2003. 511 str. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositelej kosmičeskih aparata. Moskva, Mašinostroenie Publ., 1974. 396 str. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Studija parametara o stabilnosti POGO rakete na tekuće gorivo. J. Svemirske letjelice i rakete, 2011, vol. 48, br. 3, str. 537-541. Balakirev Yu.G. Metode analize uzdužnih vibracija raketa-nosača sa motorom na tečno gorivo. Kosm. i rockettostr. , 1995, br. 5, str. 50-58 (na ruskom). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob "ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moskva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 str. (citirano str. 4355). Dokuchaev L.V. Unapređenje metoda za proučavanje dinamike klastera lansirnih raketa s obzirom na njihovu simetriju. Kosm. i rockettostr. , 2005, br. 2, str. 112-121 (na ruskom). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizennyh analiticheskih metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennyh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Diss. doct. tehn. nauk . Kreyn S.G. Linejnye diferencijalniya "nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moskva, Nauka Publ., 1967. 464 str. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 str. Članak je primljen u uredništvo 28. aprila 2014 Pavlov Arsenij Mihajlovič - student odseka "Svemirske letelice i lansirne rakete" Moskovskog državnog tehničkog univerziteta. N.E. Bauman. Specijalizovan je u oblasti raketne i svemirske tehnologije. MSTU im. N.E. Baumash, Ruska Federacija, 105005, Moskva, 2. Baumanskaja, 5. Pavlov A.M. - student odsjeka "Svemirske letjelice i lansirna vozila" Moskovskog državnog tehničkog univerziteta Bauman. Specijalista u oblasti raketno-kosmičke tehnologije. Bauman Moskovski državni tehnički univerzitet, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moskva, 105005 Ruska Federacija. Temnov Aleksandar Nikolajevič - Dr. Phys.-Math. sci., vanredni profesor, Katedra za svemirske letjelice i lansirna vozila, Moskovski državni tehnički univerzitet. N.E. Bauman. Autor preko 20 naučni radovi u oblasti mehanike fluida i gasa i raketne i svemirske tehnologije. MSTU im. N.E. Baumash, Ruska Federacija, 105005, Moskva, 2. Baumanskaja, 5. Temnov A.N. - Cand. sci. (fizi.-mate.), vanr. profesor odsjeka "Svemirske letjelice i lansirna vozila" Moskovskog državnog tehničkog univerziteta Bauman. Autor više od 20 publikacija iz oblasti mehanike fluida i gasa i raketno-kosmičke tehnologije. Bauman Moskovski državni tehnički univerzitet, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moskva, 105005 Ruska Federacija.