Prisilne vibracije nazivaju se one vibracije koje se javljaju u sistemu pod dejstvom spoljašnje pogonske sile koja se periodično menja, koja se naziva pokretačka sila.

Priroda (ovisnost o vremenu) pokretačke sile može biti različita. To može biti sila koja se mijenja prema harmonijskom zakonu. Na primjer, zvučni val, čiji je izvor kamera, udara u bubnu opnu ili membranu mikrofona. Na membranu počinje da deluje harmonično promenljiva sila vazdušnog pritiska.

Pokretačka sila može biti u obliku udaraca ili kratkih impulsa. Na primjer, odrasla osoba ljulja dijete na ljuljački, povremeno ga gura u trenutku kada ljuljačka dođe u jedan od ekstremnih položaja.

Naš zadatak je da saznamo kako oscilatorni sistem na efekat pokretačke sile koja se periodično menja.

§ 1 Pokretačka snaga se mijenja u skladu sa harmonijskim zakonom

F kont = - rv x i pokretačka snaga F out \u003d F 0 sin wt.

Njutnov drugi zakon je napisan kao:

Rješenje jednačine (1) traži se u obliku , gdje je rješenje jednačine (1), ako nije imalo desnu stranu. Vidi se da se bez desne strane jednačina pretvara u nama poznatu jednadžbu prigušenih oscilacija čije rješenje već znamo. Za dovoljno dugo vremena slobodne oscilacije koje nastaju u sistemu kada se on iznese iz ravnoteže praktično će izumrijeti, a samo će drugi član ostati u rješenju jednačine. Ovo rješenje ćemo potražiti u formi
Grupirajmo termine drugačije:

Ova jednakost mora vrijediti u bilo kojem trenutku t, što je moguće samo ako su koeficijenti na sinusima i kosinusima jednaki nuli.

Dakle, tijelo na koje djeluje pokretačka sila, mijenjajući se po harmonijskom zakonu, čini oscilatorno kretanje frekvencijom pokretačke sile.

Razmotrimo detaljnije pitanje amplitude prisilnih oscilacija:

1 Amplituda prisilnih oscilacija u stabilnom stanju se ne mijenja tokom vremena. (Uporedi sa amplitudom slobodnih prigušenih oscilacija).

2 Amplituda prisilnih oscilacija je direktno proporcionalna amplitudi pokretačke sile.

3 Amplituda zavisi od trenja u sistemu (A zavisi od d, a faktor prigušenja d, zauzvrat, zavisi od koeficijenta otpora r). Što je veće trenje u sistemu, to je manja amplituda prinudnih oscilacija.

4 Amplituda prisilnih oscilacija zavisi od frekvencije pokretačke sile w. Kako? Proučavamo funkciju A(w).

Kada je w = 0 (na oscilatorni sistem deluje konstantna sila), pomeranje tela je nepromenjeno tokom vremena (treba imati na umu da se to odnosi na stacionarno stanje, kada su prirodne oscilacije skoro izumrle).

· Kada je w ® ¥, tada, kao što je lako vidjeti, amplituda A teži nuli.

Očigledno je da će na nekoj frekvenciji pokretačke sile amplituda prisilnih oscilacija uzeti najveća vrijednost(za dati d). Fenomen naglog povećanja amplitude prisilnih oscilacija pri određenu vrijednost frekvencija pokretačke sile naziva se mehanička rezonancija.

Zanimljivo je da faktor kvaliteta oscilatornog sistema u ovom slučaju pokazuje koliko puta rezonantna amplituda premašuje pomak tijela iz ravnotežnog položaja pod djelovanjem konstantne sile F 0 .

Vidimo da i rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda zavise od faktora prigušenja d. Kako d opada na nulu, rezonantna frekvencija raste i teži frekvenciji prirodnih oscilacija sistema w 0 . U ovom slučaju, rezonantna amplituda raste i, pri d = 0, prelazi u beskonačnost. Naravno, u praksi amplituda oscilacija ne može biti beskonačna, jer sile otpora uvijek djeluju u realnim oscilatornim sistemima. Ako sistem ima nisko prigušenje, tada približno možemo pretpostaviti da se rezonancija javlja na frekvenciji prirodnih oscilacija:

gdje je u razmatranom slučaju fazni pomak između pokretačke sile i pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.

Lako je vidjeti da fazni pomak između sile i pomaka zavisi od trenja u sistemu i frekvencije vanjske pokretačke sile. Ova zavisnost je prikazana na slici. Vidi se da na< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitivno.

Poznavajući zavisnost od ugla, može se dobiti zavisnost od frekvencije pokretačke sile.

Pri frekvencijama vanjske sile koje su znatno manje od njene, pomak neznatno zaostaje za pokretačkom silom u fazi. Kako se frekvencija vanjske sile povećava, ovo fazno kašnjenje se povećava. U rezonanciji (ako je mala), fazni pomak postaje jednak . Kod >>, pomaci i fluktuacije sile se javljaju u antifazi. Takva ovisnost na prvi pogled može izgledati čudno. Da bismo razumjeli ovu činjenicu, okrenimo se energetskim transformacijama u procesu prisilnih oscilacija.

§ 2 Energetske transformacije

Kao što već znamo, amplituda oscilovanja određena je ukupnom energijom oscilatornog sistema. Prethodno je pokazano da amplituda prisilnih oscilacija ostaje nepromijenjena s vremenom. To znači da se ukupna mehanička energija oscilatornog sistema ne mijenja tokom vremena. Zašto? Na kraju krajeva, sistem nije zatvoren! Dvije sile - vanjska sila koja se periodično mijenja i sila otpora - vrše rad koji bi trebao promijeniti ukupnu energiju sistema.

Hajde da pokušamo da shvatimo šta je u pitanju. Snaga vanjske pokretačke sile može se naći na sljedeći način:

Vidimo da je snaga vanjske sile, koja hrani oscilatorni sistem energijom, proporcionalna amplitudi oscilacije.

Zbog rada sile otpora, energija oscilatornog sistema treba da se smanji, pretvarajući se u unutrašnju energiju. Snaga sile otpora:

Očigledno, snaga sile otpora je proporcionalna kvadratu amplitude. Nacrtajmo obje zavisnosti na graf.

Da bi oscilacije bile stabilne (amplituda se ne menja tokom vremena), rad spoljne sile tokom perioda mora da nadoknadi gubitke energije sistema usled rada sile otpora. Tačka presjeka grafova snaga upravo odgovara ovom modu. Zamislite da se iz nekog razloga amplituda prisilnih oscilacija smanjila. To će dovesti do činjenice da će trenutna snaga vanjske sile biti veća od snage gubitaka. To će dovesti do povećanja energije oscilatornog sistema, a amplituda oscilacije će vratiti svoju prethodnu vrijednost.

Slično, može se vidjeti da će uz slučajni porast amplitude oscilacije, snaga gubitka premašiti snagu vanjske sile, što će dovesti do smanjenja energije sistema, a samim tim i do smanjenja amplitude. .

Vratimo se pitanju faznog pomaka između pomaka i pokretačke sile u rezonanciji. Već smo pokazali da pomak zaostaje, što znači da je sila ispred pomaka za . S druge strane, projekcija brzine u procesu harmonijskih oscilacija uvijek vodi koordinatu za . To znači da pri rezonanciji vanjska pokretačka sila i brzina osciliraju u istoj fazi. Dakle, oni su korežirani u svakom trenutku! Rad vanjske sile je uvijek pozitivan u ovom slučaju. sve ide na dopunu oscilatornog sistema energijom.

§ 3 Nesinusoidno periodično djelovanje

Prisilne oscilacije oscilatora su moguće pod bilo kojim periodičnim vanjskim utjecajem, a ne samo sinusoidnim. U ovom slučaju, stabilne oscilacije, generalno govoreći, neće biti sinusoidne, već će predstavljati periodično kretanje sa periodom jednakim periodu spoljašnjeg uticaja.

Spoljašnji utjecaj može biti, na primjer, uzastopni guranje (sjetite se kako odrasla osoba „ljulja“ dijete koje sjedi na ljuljaški). Ako se period vanjskih šokova poklopi s periodom prirodnih oscilacija, tada u sistemu može doći do rezonancije. U ovom slučaju, oscilacije će biti gotovo sinusne. Energija koja se daje sistemu pri svakom guranju nadoknađuje ukupnu energiju sistema izgubljenu zbog trenja. Jasno je da su u ovom slučaju moguće opcije: ako je energija data tokom guranja jednaka ili premašuje gubitke trenja za period, tada će oscilacije ili biti stabilne, ili će se njihova amplituda povećati. Ovo se jasno vidi na faznom dijagramu.

Očigledno je da je rezonancija moguća i u slučaju kada je period ponavljanja šokova višestruki od perioda prirodnih oscilacija. To je nemoguće sa sinusoidnom prirodom vanjskog utjecaja.

S druge strane, čak i ako se frekvencija udara poklapa sa prirodnom frekvencijom, rezonancija se možda neće primijetiti. Ako samo gubitak trenja po periodu premašuje energiju koju sistem primi tokom guranja, tada će se ukupna energija sistema smanjiti i oscilacije će biti prigušene.

§ 4 Parametrijska rezonanca

Vanjski utjecaj na oscilatorni sistem može se svesti na periodičnu promjenu parametara samog oscilatornog sistema. Oscilacije koje se pobuđuju na ovaj način nazivaju se parametarskim, a sam mehanizam parametarska rezonanca .

Prvo, pokušajmo da odgovorimo na pitanje: da li je moguće ljuljati male oscilacije koje već postoje u sistemu periodičnim mijenjanjem nekih njegovih parametara na određeni način.

Kao primjer, razmotrite ljuljanje osobe na ljuljački. Savijanjem i ispravljanjem nogu u „potrebnim“ trenucima on zapravo mijenja dužinu klatna. U ekstremnim položajima osoba čuči, čime se lagano spušta težište oscilatornog sistema, u srednjem položaju osoba se uspravlja, podižući težište sistema.

Da biste razumjeli zašto se osoba ljulja u isto vrijeme, razmotrite izuzetno pojednostavljeni model osobe na ljuljački - obično malo klatno, odnosno malu težinu na laganoj i dugoj niti. Da bismo simulirali podizanje i spuštanje centra gravitacije, gornji kraj konca ćemo provući kroz malu rupu i povući nit u onim trenucima kada klatno prijeđe ravnotežni položaj, i spustiti nit za istu količinu kada klatno prođe krajnji položaj.

Rad sile zatezanja niti za period (uzimajući u obzir činjenicu da se teret podiže i spušta dva puta po periodu i da je D l << l):

Imajte na umu da u zagradama nije ništa drugo do utrostručena energija oscilatornog sistema. Inače, ova vrijednost je pozitivna, dakle, rad sile zatezanja (naš rad) je pozitivan, dovodi do povećanja ukupne energije sistema, a samim tim i do ljuljanja klatna.

Zanimljivo je da relativna promjena energije tokom određenog perioda ne zavisi od toga da li se klatno njiše slabo ili snažno. Ovo je veoma važno, a evo i zašto. Ako se klatno "ne napumpa" energijom, tada će za svaki period gubiti određeni dio svoje energije zbog sile trenja, a oscilacije će prigušiti. A da bi se raspon oscilacija povećao, potrebno je da stečena energija premašuje energiju izgubljenu za prevladavanje trenja. A ovo stanje je, pokazalo se, isto - i pri maloj amplitudi i pri velikoj.

Na primjer, ako se u jednom periodu energija slobodnih oscilacija smanji za 6%, tada je da se oscilacije klatna dugog 1 m ne bi prigušile, dovoljno je smanjiti njegovu dužinu za 1 cm u srednjem položaju i povećati to za isti iznos u ekstremnom položaju.

Povratak na zamah: kada jednom počnete da se ljuljate, nema potrebe da čučnite sve dublje i dublje – čučnite sve vreme na isti način i letećete sve više i više!

*** Bože opet!

Kao što smo već rekli, za parametarsko stvaranje oscilacija potrebno je ispuniti uslov DE > A trenje po periodu.

Pronađite rad sile trenja za period

Može se vidjeti da je relativna vrijednost podizanja klatna za njegovo nagomilavanje određena faktorom kvaliteta sistema.

§ 5 Značaj rezonancije

Prisilne vibracije i rezonancija se široko koriste u inženjerstvu, posebno u akustici, elektrotehnici i radiotehnici. Rezonancija se, prije svega, koristi kada se iz velikog skupa oscilacija različitih frekvencija želi odabrati oscilacije određene frekvencije. Rezonancija se također koristi u proučavanju vrlo slabih, periodično ponavljajućih veličina.

Međutim, u nekim slučajevima, rezonancija je nepoželjna pojava, jer može dovesti do velikih deformacija i uništenja struktura.

§ 6 Primjeri rješavanja problema

Zadatak 1 Prisilne oscilacije opružnog klatna pod djelovanjem vanjske sinusne sile.

Teret mase m = 10 g okačen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sistem je postavljen u viskoznu sredinu sa koeficijentom otpora r = 0,1 kg/s. Uporedite prirodne i rezonantne frekvencije sistema. Odrediti amplitudu oscilacija klatna u rezonanciji pod dejstvom sinusoidne sile amplitude F 0 = 20 mN.

Rješenje:

1 Prirodna frekvencija oscilirajućeg sistema je frekvencija slobodnih oscilacija u odsustvu trenja. Prirodna ciklička frekvencija je, frekvencija oscilovanja.

2 Rezonantna frekvencija je frekvencija vanjske pokretačke sile pri kojoj se amplituda prisilnih vibracija naglo povećava. Rezonantna ciklička frekvencija je , gdje je koeficijent slabljenja jednak .

Dakle, rezonantna frekvencija je . Lako je vidjeti da je rezonantna frekvencija manja od svoje! Takođe se može vidjeti da što je manje trenje u sistemu (r), to je rezonantna frekvencija bliža svojoj.

3 Rezonantna amplituda je

Zadatak 2 Rezonantna amplituda i faktor kvaliteta oscilatornog sistema

Teret mase m = 100 g okačen je na oprugu krutosti k = 10 N/m i sistem je postavljen u viskoznu sredinu sa koeficijentom otpora.

r = 0,02 kg/s. Odrediti faktor kvaliteta oscilatornog sistema i amplitudu oscilacija klatna u rezonanciji pod dejstvom sinusoidne sile amplitude F 0 = 10 mN. Pronađite omjer rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod djelovanjem konstantne sile F 0 = 20 mN i uporedite ovaj omjer sa faktorom kvalitete.

Rješenje:

1 Faktor kvaliteta oscilatornog sistema je , gdje je logaritamski dekrement prigušenja.

Logaritamski dekrement prigušenja je .

Pronalazimo faktor kvaliteta oscilatornog sistema.

2 Rezonantna amplituda je

3 Statički pomak pod djelovanjem konstantne sile F 0 = 10 mN je .

4 Odnos rezonantne amplitude i statičkog pomaka pod dejstvom konstantne sile F 0 jednak je

Lako je vidjeti da se ovaj omjer poklapa sa faktorom kvaliteta oscilatornog sistema

Zadatak 3 Rezonantne vibracije zraka

Pod uticajem težine elektromotora, konzolni rezervoar, na koji je ugrađen, savio se za . Pri kojem broju okretaja armature motora može postojati opasnost od rezonancije?

Rješenje:

1 Tijelo motora i greda na koju je ugrađena doživljavaju periodične udare sa strane rotirajuće armature motora i stoga vrše prisilne oscilacije frekvencijom udaraca.

Rezonancija će se uočiti kada se frekvencija ponavljanja šokova poklopi sa prirodnom frekvencijom oscilovanja zraka sa motorom. Neophodno je pronaći prirodnu frekvenciju oscilovanja sistema greda-motor.

2 Analog oscilirajuće grede - motora može biti vertikalno opružno klatno, čija je masa jednaka masi motora. Prirodna frekvencija oscilovanja opružnog klatna je . Ali krutost opruge i masa motora nisu poznati! Kako biti?

3 U ravnotežnom položaju opružnog klatna, sila gravitacije tereta je uravnotežena sa silom elastičnosti opruge

4 Nalazimo rotaciju armature motora, tj. frekvencija potresa

Problem 4 Prisilne oscilacije opružnog klatna pod dejstvom periodičnih udara.

Teg mase m = 0,5 kg okačen je na spiralnu oprugu krutosti k = 20 N/m. Logaritamski dekrement prigušenja oscilatornog sistema je . Žele da zaljuljaju uteg kratkim trzajima, delujući na teg silom F = 100 mN za vreme τ = 0,01 s. Kolika bi trebala biti učestalost ponavljanja udara da bi amplituda girja bila najveća? U kojim trenucima i u kom smjeru treba gurnuti girja? Do koje će amplitude biti moguće zamahnuti kettlebell na ovaj način?

Rješenje:

1 Prisilne vibracije se mogu javiti bilo kojim periodičnim djelovanjem. U ovom slučaju, postojana oscilacija će se pojaviti sa stopom ponavljanja vanjskog djelovanja. Ako se period vanjskih šokova poklopi s frekvencijom prirodnih oscilacija, tada se u sistemu javlja rezonancija - amplituda oscilacija postaje najveća. U našem slučaju, za početak rezonancije, period ponavljanja udara mora se poklopiti sa periodom oscilovanja opružnog klatna.

Logaritamski dekrement prigušenja je mali, stoga postoji malo trenja u sistemu, a period oscilovanja klatna u viskoznom mediju praktično se poklapa sa periodom oscilovanja klatna u vakuumu:

2 Očigledno, smjer udara mora se podudarati sa brzinom girja. U ovom slučaju, rad vanjske sile koja dopunjuje sistem energijom bit će pozitivan. I vibracije će se ljuljati. Energija koju sistem primi tokom udara

će biti najveće kada opterećenje pređe ravnotežni položaj, jer je u tom položaju brzina klatna maksimalna.

Dakle, sistem će se najbrže zanjihati pod dejstvom udaraca u pravcu kretanja tereta kada prođe ravnotežni položaj.

3 Amplituda oscilacije prestaje da raste kada energija data sistemu tokom udara bude jednaka gubitku energije usled trenja tokom perioda: .

Gubitak energije za period nalazimo kroz faktor kvaliteta oscilatornog sistema

gdje je E ukupna energija oscilatornog sistema, koja se može izračunati kao .

Umjesto energije gubitaka, zamjenjujemo energiju koju sistem primi tokom udara:

Maksimalna brzina tokom oscilovanja je . Imajući ovo na umu, dobijamo .

§7 Zadaci za samostalno rješavanje

Test "Prisilne vibracije"

1 Koje vibracije se nazivaju prisilnim?

A) Oscilacije koje nastaju pod dejstvom spoljašnjih periodično promenljivih sila;

B) Oscilacije koje se javljaju u sistemu nakon eksternog pritiska;

2 Koja od sljedećih oscilacija je prisilna?

A) Oscilacija tereta okačenog na oprugu nakon njenog pojedinačnog odstupanja od ravnotežnog položaja;

B) Vibracije difuzora zvučnika tokom rada prijemnika;

C) Oscilacija tereta okačenog na oprugu nakon jednog udarca na teret u ravnotežnom položaju;

D) Vibracije tela elektromotora tokom njegovog rada;

E) Vibracije bubne opne osobe koja sluša muziku.

3 Oscilatorni sistem sa prirodnom frekvencijom je pod utjecajem vanjske pokretačke sile koja se mijenja u skladu sa zakonom . Koeficijent prigušenja u oscilatornom sistemu je . Po kom zakonu se koordinata tijela mijenja tokom vremena?

C) Amplituda prisilnih oscilacija će ostati nepromijenjena, jer će gubici energije sistema uslijed trenja biti nadoknađeni dobitkom energije uslijed rada vanjske pogonske sile.

5 Sistem vrši prisilne oscilacije pod dejstvom sinusoidne sile. Odrediti sve faktori od kojih zavisi amplituda ovih oscilacija.

A) Od amplitude vanjske pokretačke sile;

B) Prisustvo oscilatornog sistema energije u trenutku početka dejstva spoljne sile;

C) Parametri samog oscilatornog sistema;

D) Trenje u oscilatornom sistemu;

E) Postojanje prirodnih oscilacija u sistemu u trenutku kada spoljašnja sila počinje da deluje;

E) Vrijeme uspostavljanja oscilacija;

G) Frekvencije vanjske pokretačke sile.

6 Šipka mase m vrši prisilne harmonijske oscilacije duž horizontalne ravni s periodom T i amplitudom A. Koeficijent trenja μ. Koliki rad izvrši vanjska pokretačka sila u vremenu jednakom periodu T?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; C) μmgA; D) 0;

E) Nije moguće dati odgovor, jer nije poznata veličina spoljašnje pokretačke sile.

7 Dajte tačnu izjavu

Rezonancija je fenomen...

A) Podudarnost frekvencije vanjske sile sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema;

B) Oštar porast amplitude prisilnih oscilacija.

Rezonancija se opaža pod uslovom

A) Smanjenje trenja u oscilatornom sistemu;

B) Povećanje amplitude spoljašnje pokretačke sile;

C) Podudarnost frekvencije vanjske sile sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema;

D) Kada se frekvencija vanjske sile poklapa sa rezonantnom frekvencijom.

8 Fenomen rezonancije se može uočiti u ...

A) U bilo kom oscilatornom sistemu;

B) U sistemu koji vrši slobodne oscilacije;

C) U autooscilatornom sistemu;

D) U sistemu koji vrši prisilne oscilacije.

9 Na slici je prikazan grafik zavisnosti amplitude prisilnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile. Rezonancija se javlja na frekvenciji...

10 Tri identična klatna u različitim viskoznim medijima vrše prisilne oscilacije. Na slici su prikazane rezonantne krive za ova klatna. Koje od klatna doživljava najveći otpor viskoznog medija tokom procesa oscilovanja?

A) 1; B) 2; IN 3;

D) Odgovor nije moguće dati, jer amplituda prinudnih oscilacija, pored frekvencije spoljne sile, zavisi i od njene amplitude. Stanje ne govori ništa o amplitudi vanjske pokretačke sile.

11 Period prirodnih vibracija oscilatornog sistema jednak je T 0 . Koliki može biti period ponavljanja šokova tako da se amplituda oscilacija naglo poveća, odnosno da dođe do rezonancije u sistemu?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Zamah možete zamahnuti guranjima bilo koje frekvencije.

12 Vaš mlađi brat sjedi na ljuljašci, vi ga ljuljate kratkim guranjima. Koji period treba da bude naknadnih potresa da bi se proces odvijao najefikasnije? Period prirodnih oscilacija zamaha T 0 .

D) Zamah možete zamahnuti guranjima bilo koje frekvencije.

13 Vaš mlađi brat sjedi na ljuljaški, vi ga ljuljate kratkim guranjima. U kojoj poziciji ljuljačke treba izvršiti guranje i u kom smjeru guranje da bi se proces odvijao najefikasnije?

A) Gurnite u krajnji gornji položaj zamaha u pravcu ravnotežnog položaja;

B) Gurnite u krajnji gornji položaj zamaha u pravcu od ravnotežnog položaja;

B) Gurnite u položaj ravnoteže u pravcu kretanja zamaha;

D) Možete gurati u bilo kojem položaju, ali uvijek u smjeru zamaha.

14 Čini se da se pucanjem iz praćke na most na vrijeme sa vlastitim vibracijama i mnogo hitaca, može se jako uzdrmati, ali malo je vjerovatno da će to uspjeti. Zašto?

A) Masa mosta (njegova inercija) je velika u odnosu na masu "metka" iz praćke, pod uticajem takvih udaraca most neće moći da se kreće;

B) Udarna sila “metka” iz praćke je toliko mala da se most neće moći pomjeriti pod utjecajem takvih udaraca;

C) Energija koja se prenosi na most jednim udarcem je mnogo manja od gubitka energije zbog trenja tokom perioda.

15 Nosite kantu vode. Voda u kanti se ljulja i prska van. Šta se može učiniti da se to ne dogodi?

A) Mahanje rukom u kojoj se nalazi kanta u skladu sa hodanjem;

B) Promenite brzinu kretanja, ostavljajući dužinu koraka nepromenjenom;

C) Povremeno se zaustavljajte i sačekajte da se vibracije vode smire;

D) Pazite da tokom pokreta ruka sa kantom bude postavljena strogo okomito.

Zadaci

1 Sistem izvodi prigušene oscilacije sa frekvencijom od 1000 Hz. Odredite frekvenciju v0 prirodne vibracije, ako je rezonantna frekvencija

2 Odredite koliko je D v rezonantna frekvencija se razlikuje od prirodne frekvencije v0= 1000 Hz oscilatornog sistema karakteriziranog koeficijentom prigušenja d = 400s -1 .

3 Masa od 100 g, okačena na oprugu krutosti 10 N/m, vrši prinudne oscilacije u viskoznom mediju sa koeficijentom otpora r = 0,02 kg/s. Odredite faktor prigušenja, rezonantnu frekvenciju i amplitudu. Vrijednost amplitude pokretačke sile je 10 mN.

4 Amplitude prisilnih harmonijskih oscilacija na frekvencijama w 1 = 400 s -1 i w 2 = 600 s -1 jednake su jedna drugoj. Odredite rezonantnu frekvenciju.

5 Kamioni ulaze u skladište žita na zemljanom putu s jedne strane, istovaraju i napuštaju skladište istom brzinom, ali sa druge strane. Koja strana skladišta ima više rupa na putu od druge? Kako odrediti sa koje strane magacina ulaz, a koji izlaz su determinisani stanjem puta? Obrazložite svoj odgovor

Gubitak mehaničke energije u bilo kojem oscilatornom sistemu zbog prisustva sila trenja je neizbježan, stoga će bez "pumpanja" energije izvana oscilacije biti prigušene. Postoji nekoliko fundamentalno različitih načina za stvaranje oscilatornih sistema neprigušenih oscilacija. Pogledajmo izbliza neprigušene oscilacije pod dejstvom vanjske periodične sile. Takve oscilacije se nazivaju prisilne. Nastavimo proučavati kretanje harmonijskog klatna (slika 6.9).

Pored prethodno razmatranih elastičnih sila i viskoznog trenja, na loptu djeluje vanjski uvjerljiv periodična sila koja varira u skladu sa harmonijskim zakonom

frekvencija, koja se može razlikovati od prirodne frekvencije klatna ω o. Priroda ove sile nam u ovom slučaju nije bitna. Takva sila se može stvoriti na različite načine, na primjer, davanjem električnog naboja lopti i stavljanjem u vanjsko naizmjenično električno polje. Jednačina kretanja lopte u predmetnom slučaju ima oblik

Podijelimo ga sa masom lopte i koristimo prethodnu notaciju za parametre sistema. Kao rezultat, dobijamo jednačina prisilnih vibracija:

gdje f o = F o /m je omjer vrijednosti amplitude vanjske pogonske sile i mase lopte. Opšte rješenje jednačine (3) je prilično glomazno i, naravno, zavisi od  početnih uslova. Priroda kretanja lopte, opisana jednadžbom (3), je razumljiva: pod djelovanjem pogonske sile nastaju oscilacije čija će se amplituda povećati. Ovaj prelazni režim je prilično komplikovan i zavisi od početnih uslova. Nakon određenog vremenskog perioda uspostavit će se oscilatorni režim, njihova amplituda će prestati da se mijenja. Upravo stabilna oscilacija, u mnogim slučajevima je od primarnog interesa. Nećemo razmatrati tranziciju sistema u stabilno stanje, već ćemo se fokusirati na opis i proučavanje karakteristika ovog režima. Kod ovakvog postavljanja problema nema potrebe postavljati početne  uslove, budući da nas interesantan stacionarni režim ne zavisi od početnih uslova, njegove karakteristike su u potpunosti određene samom jednačinom. Na sličnu situaciju naišli smo kada smo proučavali kretanje tijela pod djelovanjem stalne vanjske sile i sile viskoznog trenja.

Nakon nekog vremena, tijelo se kreće konstantnom ravnomjernom brzinom v = F o /β , koja ne zavisi od početnih uslova i potpuno je određena jednadžbom kretanja. Početni uslovi odrediti način prijelaza na ravnomjerno kretanje. Na osnovu zdravog razuma, razumno je pretpostaviti da će u stacionarnom režimu oscilovanja lopta oscilirati frekvencijom vanjske pokretačke sile. Stoga rješenje jednačine (3) treba tražiti u harmonijskoj funkciji sa frekvencijom pokretačke sile. Prvo rješavamo jednačinu (3), zanemarujući silu otpora

Pokušajmo pronaći njegovo rješenje u obliku harmonijske funkcije

Da bismo to uradili, izračunavamo zavisnosti brzine i ubrzanja tela od vremena, kao derivate zakona kretanja

i zamijenimo njihove vrijednosti u jednadžbu (4)

Sada možete rezati cosωt. Stoga se ovaj izraz pretvara u pravi identitet u bilo kojem trenutku, pod uvjetom da je uvjet

Tako je opravdana naša pretpostavka o rješenju jednačine (4) u obliku (5) : stacionarni oscilacijski mod opisan je funkcijom

Imajte na umu da je koeficijent A prema dobijenom izrazu (6) može biti i pozitivan (za ω < ω o) i negativno (za ω > ω o). Promjena predznaka odgovara promjeni faze oscilovanja za π (razlog takve promjene bit će razjašnjen malo kasnije), dakle, amplituda oscilacija je modul ovog koeficijenta |A|. Amplituda stabilnih oscilacija, kako se i očekivalo, proporcionalna je veličini pokretačke sile. Osim toga, ova amplituda na složen način ovisi o frekvenciji pokretačke sile. Šematski dijagram ove zavisnosti je prikazan na Sl. 6.10

Rice. 6.10 Rezonantna kriva

Kao što slijedi iz formule (6) i što se jasno vidi na grafikonu, kako se frekvencija pokretačke sile približava prirodnoj frekvenciji sistema, amplituda naglo raste. Razlog za takvo povećanje amplitude je jasan: pokretačka sila "u vremenu" gura loptu, uz potpunu podudarnost frekvencija, stabilno stanje je odsutno - amplituda se povećava do beskonačnosti. Naravno, u praksi, takvo beskonačno povećanje je nemoguće uočiti: Prvo, to može dovesti do uništenja samog oscilatornog sistema, Drugo, pri velikim amplitudama oscilacija, sile otpora sredine se ne mogu zanemariti. Oštar porast amplitude prisilnih oscilacija kako se frekvencija pokretačke sile približava prirodnoj frekvenciji oscilacija sistema naziva se fenomen rezonancije. Prijeđimo sada na traženje rješenja jednadžbe prisilnih oscilacija, uzimajući u obzir silu otpora

Naravno, i u ovom slučaju rješenje treba tražiti u obliku  harmonijske funkcije sa frekvencijom pokretačke sile. Lako je vidjeti da traženje rješenja u obliku (5) u ovom slučaju neće dovesti do uspjeha. Zaista, jednačina (8), za razliku od jednačine (4), sadrži brzinu čestice, koja je opisana sinusnom funkcijom. Stoga se vremenski dio u jednačini (8) neće smanjiti. Stoga rješenje jednačine (8) treba predstaviti u općem obliku harmonijske funkcije

u kojoj dva parametra A o I φ mora se naći pomoću jednačine (8). Parametar A o je amplituda prisilnih oscilacija, φ − fazni pomak između promjenjive koordinate i promjenjive pokretačke sile. Koristeći trigonometrijsku formulu za kosinus sume, funkcija (9) se može predstaviti u ekvivalentnom obliku

koji takođe sadrži dva parametra B=A o cosφ I C = -A o sinφ da se utvrdi. Pomoću funkcije (10) pišemo eksplicitne izraze za ovisnosti brzine i ubrzanja čestice od vremena

i zamijeniti u jednačinu (8):

Prepišimo ovaj izraz kao

Da bi jednakost (13) vrijedila u bilo kojem trenutku , potrebno je da koeficijenti na kosinusu i sinusu budu jednaki nuli. Na osnovu ovog uslova dobijamo dve linearne jednadžbe za određivanje parametara funkcije (10):

Rješenje ovog sistema jednačina ima oblik

Na osnovu formule (10) određujemo karakteristike prisilnih oscilacija: amplitudu

fazni pomak

Pri malom prigušenju, ova ovisnost ima oštar maksimum kada se frekvencija pokretačke sile približi ω na prirodnu frekvenciju sistema ω o. Dakle, u ovom slučaju može doći i do rezonancije, pa se konstruisane zavisnosti često nazivaju rezonantna kriva. Obračunavanje slabog prigušenja pokazuje da se amplituda ne povećava do beskonačnosti, njena maksimalna vrijednost ovisi o koeficijentu slabljenja - kako se potonji povećava, maksimalna amplituda se brzo smanjuje. Rezultirajuća zavisnost amplitude oscilacije od frekvencije pokretačke sile (16) sadrži previše nezavisnih parametara ( f o , ω o , γ ) kako bi se konstruisala kompletna familija rezonantnih krivulja. Kao iu mnogim slučajevima, ova zavisnost se može značajno pojednostaviti prelaskom na "bezdimenzionalne" varijable. Pretvorimo formulu (16) u sljedeći oblik

i označiti

− relativna frekvencija (odnos frekvencije pokretačke sile prema sopstvenoj frekvenciji oscilacija sistema);

− relativna amplituda (odnos amplitude oscilacija i veličine odstupanja A o = f/ω o 2 na nultoj frekvenciji);

je bezdimenzionalni parametar koji određuje količinu slabljenja. Koristeći ove oznake, funkcija (16) je znatno pojednostavljena

budući da sadrži samo jedan parametar − δ . Jednoparametarska familija rezonantnih krivulja opisanih funkcijom  (16 b) može se konstruisati, posebno lako uz pomoć kompjutera. Rezultat takve konstrukcije prikazan je na sl. 629.

pirinač. 6.11

Imajte na umu da se prijelaz na "uobičajene" mjerne jedinice može izvršiti elementarnom promjenom skale koordinatnih osa. Treba napomenuti da frekvencija pokretačke sile, pri kojoj je amplituda  prisilnih oscilacija maksimalna, također ovisi o koeficijentu prigušenja, koji se blago smanjuje s rastom potonjeg. Na kraju, naglašavamo da povećanje koeficijenta prigušenja dovodi do značajnog povećanja širine rezonantne krivulje. Rezultirajući fazni pomak između oscilacija tačke i pokretačke sile također  ovisi o frekvenciji oscilacija i njihovom koeficijentu prigušenja. Sa ulogom ovog faznog pomaka ćemo se detaljnije upoznati kada razmatramo transformaciju energije u procesu prisilnih oscilacija.

frekvencija slobodnih neprigušenih oscilacija poklapa se sa prirodnom frekvencijom, frekvencija prigušenih oscilacija je nešto manja od prirodne frekvencije, a frekvencija prisilnih oscilacija poklapa se sa frekvencijom pokretačke sile, a ne sa prirodnom frekvencijom.

Prisilne elektromagnetne oscilacije

prinuđen nazivaju se takve oscilacije koje se javljaju u oscilatornom sistemu pod uticajem spoljašnjeg periodičnog uticaja.

Sl.6.12. Kolo s prisilnim električnim oscilacijama

Razmotrimo procese koji se dešavaju u električnom oscilatornom kolu ( sl.6.12) priključen na eksterni izvor, čiji EMF varira u skladu sa harmonijskim zakonom

,

gdje  m je amplituda vanjskog EMF-a,

 je ciklična frekvencija EMF-a.

Označiti sa U C napon na kondenzatoru, i i - jačina struje u kolu. U ovom krugu, pored promjenljive EMF  (t) i dalje važi EMF samoindukcija  L u induktoru.

EMF samoindukcije je direktno proporcionalan brzini promjene jačine struje u kolu

.

Za izlaz diferencijalna jednadžba prisilnih oscilacija nastaje u takvom kolu, koristimo drugo Kirchhoffovo pravilo

.

Napon otpora R naći po Ohmovom zakonu

.

Jačina električne struje jednaka je naboju koji teče u jedinici vremena kroz poprečni presjek provodnika

.

Shodno tome

.

voltaža U C na kondenzatoru je direktno proporcionalna naboju na pločama kondenzatora

.

EMF samoindukcije može se predstaviti kroz drugi izvod naboja s obzirom na vrijeme

.

Zamjena napona i emfs u Kirchhoffovo drugo pravilo

.

Deleći obe strane ovog izraza sa L i raspodjelom pojmova prema stupnju smanjenja reda derivacije, dobijamo diferencijalnu jednačinu drugog reda

.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju i dobijemo

je koeficijent slabljenja,

je ciklična frekvencija prirodnih oscilacija kola.

. (1)

Jednačina (1) je heterogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Jednačine ovog tipa opisuju ponašanje široke klase oscilatornih sistema (električnih, mehaničkih) pod utjecajem vanjskog periodičnog djelovanja (spoljna EMF ili vanjska sila).

Opće rješenje jednačine (1) je zbir općeg rješenja q 1 homogena diferencijalna jednadžba (2)

(2)

i bilo koje posebno rješenje q 2 heterogena jednadžbe (1)

.

Nekako generalno rešenje homogena jednačina (2) zavisi od vrijednosti koeficijenta prigušenja  . Zanima nas slučaj slabog prigušenja  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

gdje B I  0 su konstante date početnim uslovima.

Rješenje (3) opisuje prigušene oscilacije u kolu. Vrijednosti uključene u (3):

je ciklična frekvencija prigušenih oscilacija;

je amplituda prigušenih oscilacija;

je faza prigušenih oscilacija.

Tražimo određeno rješenje jednadžbe (1) u obliku harmonijske oscilacije koja se javlja frekvencijom jednakom frekvenciji  spoljni periodični uticaj - EMF, i zaostajanje u fazi po  Od njega

gdje
je amplituda prisilnih oscilacija, koja zavisi od frekvencije.

Zamijenimo (4) u (1) i dobijemo identitet

Za poređenje faza oscilacija koristimo formule trigonometrijske redukcije

.

Tada će naša jednačina biti prepisana u obliku

Predstavimo fluktuacije na lijevoj strani dobijenog identiteta u obliku vektorski dijagram (pirinač.6.13)..

Treći član koji odgovara fluktuacijama kapacitivnosti OD, koji ima fazu (  t –  ) i amplitudu
, predstavljaju horizontalni vektor usmjeren udesno.

Sl.6.13. vektorski dijagram

Prvi član lijeve strane, koji odgovara oscilacijama na induktivnosti L, će biti predstavljen na vektorskom dijagramu vektorom usmjerenim horizontalno ulijevo (njegova amplituda
).

Drugi član odgovara oscilacijama u otporu R, predstavljaju vektor usmjeren vertikalno prema gore (njegova amplituda
), jer je njegova faza /2 iza faze prvog člana.

Budući da zbir tri vibracije lijevo od znaka jednakosti daje harmonijsku vibraciju
, tada vektorski zbroj na dijagramu (pravokutna dijagonala) prikazuje oscilaciju amplitude i faza  t, koji je uključen  ispred faze oscilacija trećeg člana.

Iz pravokutnog trokuta, koristeći Pitagorinu teoremu, možete pronaći amplitudu A( )

(5)

I tg kao omjer suprotne noge i susjedne noge.

. (6)

Prema tome, rješenje (4), uzimajući u obzir (5) i (6), poprima oblik

. (7)

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe(1) je zbir q 1 i q 2

. (8)

Formula (8) pokazuje da kada se periodični spoljni EMF primeni na kolo, u njemu nastaju oscilacije dve frekvencije, tj. neprigušene oscilacije sa frekvencijom spoljašnje EMF  i prigušene oscilacije sa frekvencijom
. Amplituda prigušenih oscilacija
postaje zanemariv s vremenom, a u kolu ostaju samo prisilne oscilacije čija amplituda ne ovisi o vremenu. Posljedično, stabilne prisilne oscilacije su opisane funkcijom (4). To jest, u strujnom kolu se javljaju prisilne harmonijske oscilacije, sa frekvencijom jednakom frekvenciji vanjskog utjecaja, i amplitudom
, u zavisnosti od ove frekvencije ( pirinač. 3ali) prema zakonu (5). U ovom slučaju faza prinudne oscilacije zaostaje  od prisile.

Diferencirajući izraz (4) s obzirom na vrijeme, nalazimo jačinu struje u kolu

gdje
je amplituda jačine struje.

Zapisujemo ovaj izraz za trenutnu snagu u obliku

, (9)

gdje
–fazni pomak između struje i eksterne emf.

Prema (6) i pirinač. 2

. (10)

Iz ove formule slijedi da fazni pomak između struje i vanjske emf ovisi, pri konstantnom otporu R, iz omjera između frekvencije pogonskog EMF-a  i prirodnu frekvenciju kola  0 .

Ako  <  0, zatim fazni pomak između struje i vanjskog EMF-a  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Ako  >  0 , onda  > 0. Fluktuacije struje zaostaju za uglom za EMF fluktuacijama u fazi  .

Ako  =  0 (rezonantna frekvencija), onda  \u003d 0, tj. jačina struje i EMF osciliraju u istoj fazi.

Rezonancija- ovo je fenomen naglog povećanja amplitude oscilacija kada se frekvencija vanjske, pokretačke sile poklapa sa prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema.

Na rezonanciji  =  0 i period oscilacije

.

S obzirom da je koeficijent slabljenja

,

dobijamo izraze za faktor kvaliteta na rezonanciji T = T 0

,

S druge strane

.

Amplitude napona na induktivnosti i kapacitivnosti na rezonanciji mogu se izraziti u smislu faktora kvaliteta kola

, (15)

. (16)

Iz (15) i (16) se vidi da pri  =  0, amplituda napona na kondenzatoru i induktivnost u Q puta amplituda vanjske emf. Ovo je svojstvo serije RLC petlja se koristi za izolaciju radio signala određene frekvencije
iz spektra radio frekvencija tokom restrukturiranja radio prijemnika.

Na praksi RLC kola se spajaju na druga kola, merne instrumente ili uređaje za pojačavanje, unoseći dodatno slabljenje u RLC kolo. Dakle, stvarna vrijednost faktora kvalitete učitava RLC kolo ispada nižim od faktora kvalitete, procijenjenog formulom

.

Realna vrijednost faktora kvaliteta može se procijeniti kao

Sl.6.14. Određivanje faktora kvaliteta iz rezonantne krivulje

,

gdje je  f je propusni opseg u kojem je amplituda 0,7 od maksimalne vrijednosti ( pirinač. 4).

Napon kondenzatora U C, na aktivni otpor U R i na induktoru U L dostižu maksimum na različitim frekvencijama, respektivno

,
,
.

Ako je prigušenje malo  0 >>  , onda se sve ove frekvencije praktično poklapaju i to možemo pretpostaviti

.

Prisilne oscilacije su one koje se javljaju u oscilatornom sistemu pod dejstvom spoljne sile koja se periodično menja. Ova sila, po pravilu, ima dvostruku ulogu: prvo, potresa sistem i daje mu određenu količinu energije; drugo, periodično nadopunjuje gubitke energije (potrošnja energije) kako bi se savladale sile otpora i trenja.

Neka se pokretačka snaga mijenja s vremenom u skladu sa zakonom:

Sastavimo jednačinu kretanja za sistem koji oscilira pod uticajem takve sile. Pretpostavljamo da na sistem takođe utiču kvazielastična sila i sila otpora sredine (što važi pod pretpostavkom malih oscilacija). Tada će jednačina kretanja sistema izgledati ovako:

Nakon zamjene, - prirodne frekvencije oscilacija sistema, dobijamo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednačinu 2. reda:

Iz teorije diferencijalnih jednadžbi poznato je da je opšte rješenje ne homogena jednačina jednak je zbiru opšteg rešenja homogene jednačine i posebnog rešenja nehomogene jednačine.

Opšte rješenje homogene jednačine je poznato:

Koristeći vektorski dijagram, možete se uvjeriti da je ova pretpostavka istinita, kao i odrediti vrijednosti "a" i "j".

Amplituda oscilacije određena je sljedećim izrazom:

Vrijednost “j”, koja je veličina faznog kašnjenja prinudne oscilacije od pokretačke sile koja ju je izazvala, također se određuje iz vektorskog dijagrama i iznosi:

Konačno, određeno rješenje nehomogene jednadžbe će poprimiti oblik:

Ova funkcija sumira da daje opšte rešenje nehomogene diferencijalne jednačine koja opisuje ponašanje sistema tokom prisilnih oscilacija. Pojam (2) igra značajnu ulogu u početnoj fazi procesa, tokom tzv. uspostavljanja oscilacija (slika 1). Tokom vremena, zbog eksponencijalnog faktora, uloga drugog člana (2) sve više opada, a nakon dovoljno vremena može se zanemariti, zadržavajući samo član (1) u rješenju.

Slika 1.

Dakle, funkcija (1) opisuje stabilne prisilne oscilacije. To su harmonijske oscilacije sa frekvencijom jednakom frekvenciji pokretačke sile. Amplituda prisilnih oscilacija je proporcionalna amplitudi pogonske sile. Za dati oscilatorni sistem (definisano w 0 i b) amplituda zavisi od frekvencije pokretačke sile. Prisilne oscilacije zaostaju za pokretačkom silom u fazi, a količina zaostajanja "j" zavisi i od frekvencije pokretačke sile. Detlaf A.A., Yavorsky B.M. kurs fizike: tutorial za univerzitete. - 4. izdanje, Rev. - M.: Više. škola, 2012. - 428 str.

Zavisnost amplitude prinudnih oscilacija od frekvencije pokretačke sile dovodi do toga da na određenoj frekvenciji određenoj za dati sistem amplituda oscilovanja dostiže maksimalna vrijednost. Oscilatorni sistem posebno reagira na djelovanje pokretačke sile na ovoj frekvenciji. Ova pojava se naziva rezonancija, a odgovarajuća frekvencija se naziva rezonantna frekvencija.

U velikom broju slučajeva oscilatorni sistem oscilira pod dejstvom vanjske sile čiji rad periodično nadoknađuje gubitak energije usled trenja i drugih otpora. Frekvencija takvih oscilacija ne zavisi od svojstava samog oscilacionog sistema, već od učestalosti promena periodične sile, pod čijim uticajem sistem vrši svoje oscilacije. U ovom slučaju radi se o prinudnim oscilacijama, odnosno oscilacijama nametnutim našem sistemu djelovanjem vanjskih sila.

Izvori ometajućih sila, a samim tim i prisilnih oscilacija, vrlo su raznoliki.

Zadržimo se na prirodi uznemirujućih sila koje se susreću u prirodi i tehnologiji. Kao što je već spomenuto, električne mašine, parne ili plinske turbine, brzorotirajući zamašnjaci itd. zbog neravnoteže rotirajućih masa izazivaju oscilacije rotora, podova temelja zgrada itd. Klipne mašine, koje uključuju motore sa unutrašnjim sagorevanjem i parne mašine, zbog stalnog klipnog kretanja nekih delova (na primer klipa), izduvnih gasova ili pare, predstavljaju izvor periodičnih remetalnih sila.

Uobičajeno, sile ometanja rastu sa povećanjem broja obrtaja mašine, pa borba protiv vibracija u mašinama velike brzine postaje izuzetno važna. Često se izvodi stvaranjem posebne elastične podloge ili pomoću elastičnog ovjesnog uređaja za mašinu. Ako je mašina kruto pričvršćena na temelj, tada se uznemirujuće sile koje djeluju na mašinu gotovo u potpunosti prenose na temelj i dalje kroz tlo do zgrade u kojoj je mašina ugrađena, kao i na obližnje objekte.

Da bi se smanjilo djelovanje neuravnoteženih sila na podlogu, potrebno je da prirodna frekvencija vibracija mašine na elastičnoj podlozi (podložku) bude znatno niža od frekvencije remetećih sila, određene brojem okretaja mašina.

Razlog za prisilne oscilacije broda, nagib brodova su valovi koji se povremeno vrte na plutajućem brodu. Osim kotrljanja broda u cjelini pod djelovanjem vodenih valova, uočavaju se i prisilne oscilacije (vibracije) pojedinih dijelova trupa broda. Razlog za takve vibracije je neuravnoteženost glavnog motora plovila, koji rotira elisu, kao i pomoćnih mehanizama (pumpe, dinamo, itd.). Tijekom rada brodskih mehanizama nastaju sile inercije neuravnoteženih masa čija učestalost ponavljanja ovisi o broju okretaja stroja. Osim toga, prisilne vibracije broda mogu biti uzrokovane periodičnim udarom lopatica propelera o trup broda. Sommerfeld A., Mehanika. Í̈ Izhevsk: Istraživački centar "Regularna i haotična dinamika", 2001. Í̈168 str.

Prisilne vibracije mosta mogu uzrokovati grupa ljudi koji hodaju po njemu u korak. Oscilacije željezničkog mosta mogu nastati pod djelovanjem blizanaca koji spajaju pogonske kotače parne lokomotive koja prolazi. Uzroci koji izazivaju prisilne vibracije voznog parka (električne lokomotive, parne lokomotive ili dizel lokomotive i vagona) uključuju periodično ponavljane udare točkova o šinske čvorove. Prisilne vibracije automobila uzrokovane su ponovljenim udarima točkova o neravnine na površini puta. Prinudne oscilacije elevatora i podiznih postolja mina nastaju zbog neravnomjernog rada mašine za dizanje, zbog nepravilnog oblika bubnjeva na koje su namotana užad itd. Uzroci izazivanja prisilnih vibracija električnih žica, visoke zgrade, jarboli i dimnjaci podložni su naletima vjetra.

Posebno su zanimljive prisilne vibracije aviona, koje mogu biti uzrokovane različitim razlozima. Ovdje, prije svega, treba imati na umu vibracije aviona uzrokovane radom propelerske grupe. Zbog neuravnoteženosti koljenastog mehanizma, motora koji rade i rotirajućih propelera nastaju periodični udari koji podržavaju prisilne oscilacije.

Uz oscilacije uzrokovane djelovanjem vanjskih periodičnih sila o kojima smo gore govorili, u avionima se primjećuju i vanjski utjecaji različite prirode. Konkretno, postoje vibracije povezane sa lošom racionalizacijom prednjeg dijela aviona. Slabo strujanje nadgradnje na krilu ili neravnomjerno povezivanje krila sa trupom (tijelom) aviona dovodi do formiranja vrtloga. Vrtlozi zraka, odvajajući se, stvaraju pulsirajući mlaz koji udara u repnu jedinicu i uzrokuje njeno potresanje. Takvo podrhtavanje aviona nastaje u određenim uslovima leta i manifestuje se u vidu udaraca koji se ne javljaju sasvim redovno, nakon 0,5-1 sekunde.

Ova vrsta vibracija, uglavnom zbog vibracija dijelova aviona zbog turbulencije u strujanju oko krila i drugih prednjih dijelova aviona, naziva se "buffing". Fenomen udarca izazvanog zastojem krila posebno je opasan kada je period udara u repni deo aviona blizak periodu slobodnih oscilacija repa ili trupa aviona. U ovom slučaju oscilacije "poliranja" naglo se povećavaju.

Uočeni su vrlo interesantni slučajevi udaranja pri ispuštanju trupa sa krila aviona. Pojava ljudi na krilu dovela je do formiranja vrtloga, zbog čega je letjelica vibrirala. Još jedan slučaj pojave glancanja perja na avionu sa dva sjedišta uzrokovan je činjenicom da je putnik sjedio u stražnjoj kabini, a izbočena glava doprinijela je stvaranju vrtloga u struji zraka. U odsustvu putnika u stražnjoj kabini nisu uočene oscilacije.

Važne su i savojne oscilacije propelera uzrokovane remetećim silama aerodinamičke prirode. Ove sile nastaju zbog činjenice da propeler za vrijeme rotacije za svaki okret dva puta prolazi pored prednje ivice krila. Brzine strujanja zraka u neposrednoj blizini krila i na nekoj udaljenosti od njega su različite, pa se stoga aerodinamičke sile koje djeluju na propeler moraju periodično mijenjati dvaput za svaki okretaj propelera. Ova okolnost je razlog uzbuđenja poprečne vibracije lopatice propelera.

Za razliku od slobodnih oscilacija, kada sistem prima samo jednom (kada se sistem ukloni od ), u slučaju prinudnih oscilacija, sistem apsorbuje ovu energiju iz izvora spoljašnje periodične sile kontinuirano. Ova energija nadoknađuje gubitke utrošene na savladavanje, pa stoga ukupni ne ostaje nepromijenjen.

Prisilne vibracije, za razliku od slobodnih, mogu se pojaviti na bilo kojoj frekvenciji. poklapa se sa frekvencijom vanjske sile koja djeluje na oscilatorni sistem. Dakle, frekvencija prisilnih oscilacija nije određena svojstvima samog sistema, već frekvencijom vanjskog utjecaja.

Primjeri prisilnih vibracija su vibracije dječje ljuljačke, vibracije igle u šivaćoj mašini, vibracije klipa u cilindru automobila automobila, vibracije opruga automobila koji se kreće po neravnom putu, itd.

Rezonancija

DEFINICIJA

Rezonancija- ovo je fenomen naglog povećanja prisilnih oscilacija kada se frekvencija pokretačke sile približi prirodnoj frekvenciji oscilatornog sistema.

Rezonancija nastaje jer spoljna sila, djelujući u skladu sa slobodne vibracije, cijelo vrijeme ima isti smjer od oscilirajućeg tijela i radi pozitivan rad: energija oscilirajućeg tijela se povećava i postaje velika. Ako vanjska sila djeluje „ne u vremenu“, tada ova sila naizmjenično obavlja ili negativan ili pozitivan rad, i kao rezultat toga, energija sistema se neznatno mijenja.

Na slici 1 prikazana je ovisnost amplitude prisilnih oscilacija o frekvenciji pokretačke sile. Vidi se da ova amplituda dostiže maksimum na određenoj frekvencijskoj vrijednosti, tj. na , gdje je prirodna frekvencija oscilatornog sistema. Krivulje 1 i 2 razlikuju se po veličini sile trenja. Kod malog trenja (kriva 1), rezonantna kriva ima oštar maksimum, a kod veće sile trenja (kriva 2) nema tako oštrog maksimuma.

Često se susrećemo sa fenomenom rezonancije u Svakodnevni život. Ako su prozori podrhtavali u prostoriji kada je teški kamion prošao ulicom, to znači da je prirodna frekvencija prozora jednaka frekvenciji mašine. Ako su morski valovi u rezonanciji s periodom broda, onda nagib postaje posebno jak.

Fenomen rezonancije se mora uzeti u obzir pri projektovanju mostova, zgrada i drugih konstrukcija koje doživljavaju vibracije pod opterećenjem, u suprotnom, pod određenim uslovima, ove konstrukcije mogu biti uništene. Međutim, rezonancija takođe može biti korisna. Fenomen rezonancije se koristi pri podešavanju radio prijemnika na određenu frekvenciju emitovanja, kao iu mnogim drugim slučajevima.

Primjeri rješavanja problema

PRIMJER 1

Zadatak	Na kraju opruge horizontalnog klatna, čije opterećenje ima masu od 1 kg, djeluje promjenjiva sila čija je frekvencija oscilacija 16 Hz. Hoće li se primijetiti rezonancija ako je brzina opruge 400 N/m.
Rješenje	Odredimo prirodnu frekvenciju oscilatornog sistema formulom: Hz Pošto frekvencija vanjske sile nije jednaka prirodnoj frekvenciji sistema, fenomen rezonancije se neće primijetiti.
Odgovori	Fenomen rezonancije se neće uočiti.

PRIMJER 2

Zadatak	Mala lopta je okačena na konac dužine 1 m od plafona automobila. Pri kojoj brzini automobila će lopta posebno snažno vibrirati pod udarom točkova o šine? Dužina šine 12,5 m.
Rješenje	Lopta vrši prisilne vibracije frekvencijom jednakom frekvenciji točkova koji udaraju o spojeve šine: Ako su dimenzije kuglice male u odnosu na dužinu konca, onda se može uzeti u obzir sistem čija je prirodna frekvencija: amplituda prisilnih neprigušenih oscilacija je maksimalna u slučaju rezonancije, tj. kada . Tako je moguće napisati:

U ovoj lekciji svi će moći da prouče temu „Transformacija energije tokom oscilatorno kretanje. prigušene vibracije. Prisilne vibracije. U ovoj lekciji ćemo razmotriti kakva se transformacija energije dešava tokom oscilatornog kretanja. Da bismo to učinili, provest ćemo važan eksperiment sa horizontalnim opružnim sistemom klatna. Također ćemo razgovarati o pitanjima vezanim za prigušene oscilacije i prisilne oscilacije.

Nastava je posvećena temi "Pretvorba energije pri oscilatornom kretanju". Osim toga, razmotrit ćemo pitanje koje se odnosi na prigušene i prisilne oscilacije.

Upoznajmo ovo pitanje sa sljedećim važnim eksperimentom. Na oprugu je pričvršćeno tijelo koje može oscilirati horizontalno. Takav sistem se naziva horizontalno opružno klatno. U ovom slučaju, efekat gravitacije se može zanemariti.

Rice. 1. Horizontalno opružno klatno

Pretpostavićemo da u sistemu sila trenja ne postoje sile otpora. Kada je ovaj sistem u ravnoteži i nema oscilovanja, brzina tijela je 0 i nema deformacije opruge. U ovom slučaju, ovo klatno nema energiju. Ali čim se tijelo pomjeri u odnosu na tačku ravnoteže udesno ili ulijevo, u ovom slučaju ćemo obaviti posao komuniciranja energije u ovom oscilatornom sistemu. Šta se dešava u ovom slučaju? Događa se sljedeće: opruga je deformisana, njena dužina se mijenja. Dajemo izvoru potencijalnu energiju. Ako sada otpustite opterećenje, nemojte ga držati, tada će se početi kretati prema ravnotežnom položaju, opruga će se početi ispravljati i deformacija opruge će se smanjiti. Brzina tijela će se povećati, a prema zakonu održanja energije potencijalna energija opruge će se pretvoriti u kinetičku energiju kretanja tijela.

Rice. 2. Faze oscilacije opružnog klatna

Deformacija∆x opruge se određuje na sljedeći način: ∆x = x 0 - x. Uzimajući u obzir deformaciju, možemo reći da je sva potencijalna energija pohranjena u oprugu: .

Za vrijeme oscilacija potencijalna energija se konstantno pretvara u kinetičku energiju šipke: .

Na primjer, kada šipka prođe tačku ravnoteže x 0 , deformacija opruge je 0, tj. ∆x=0, dakle, potencijalna energija opruge je 0 i sva potencijalna energija opruge se pretvorila u kinetičku energiju šipke: E p (u tački B) \u003d E k (u tački A). Or .

Kao rezultat ovog kretanja, potencijalna energija se pretvara u kinetičku energiju. Tada na scenu stupa takozvani fenomen inercije. Tijelo koje ima određenu masu po inerciji prelazi tačku ravnoteže. Brzina tijela počinje opadati, a deformacija, izduženje opruge se povećava. Može se zaključiti da kinetička energija tijelo se smanjuje, a potencijalna energija opruge ponovo počinje rasti. Možemo govoriti o transformaciji kinetičke energije u potencijalnu.

Kada se tijelo konačno zaustavi, brzina tijela će biti jednaka 0, a deformacija opruge će postati maksimalna, u ovom slučaju možemo reći da se sva kinetička energija tijela pretvorila u potencijalnu energiju opruge. . U budućnosti se sve ponavlja iz početka. Ako je ispunjen jedan uslov, takav proces će se odvijati kontinuirano. Šta je ovo stanje? Ovo stanje je odsustvo trenja. Ali sila trenja, sila otpora prisutna je u svakom sistemu. Stoga, svakim narednim kretanjem klatna dolazi do gubitaka energije. Radi se na prevazilaženju sile trenja. Sila trenja prema Coulomb-ovom zakonu - Amonton: F TP \u003d μ.N.

Govoreći o oscilacijama, uvijek moramo imati na umu da sila trenja dovodi do toga da se postepeno sva energija pohranjena u datom oscilatornom sistemu pretvara u unutrašnju energiju. Kao rezultat toga, oscilacije prestaju, a kada oscilacije prestanu, tada se takve oscilacije nazivaju prigušenim.

prigušene vibracije - oscilacije čija se amplituda smanjuje zbog činjenice da se energija oscilatornog sistema troši na savladavanje sila otpora i sila trenja.

Rice. 3. Grafikon prigušenih oscilacija

Sljedeća vrsta oscilacija koju ćemo razmotriti, tzv. prisilne vibracije. Prisilne vibracije nazivaju se takve vibracije koje nastaju pod dejstvom periodične, spoljašnje sile koja deluje na dati oscilatorni sistem.

Ako klatno oscilira, onda da se te oscilacije ne bi zaustavile, svaki put na klatno mora djelovati vanjska sila. Na primjer, djelujemo na klatno svojom rukom, tjeramo ga da se kreće, guramo ga. Imperativ je djelovati s određenom snagom i nadoknaditi gubitak energije. Dakle, prisilne vibracije su one vibracije koje nastaju pod djelovanjem vanjske pokretačke sile. Frekvencija takvih oscilacija će se poklopiti sa frekvencijom vanjske djelujuće sile. Kada vanjska sila počne djelovati na klatno, događa se sljedeće: u početku će oscilacije imati malu amplitudu, ali će se postepeno ova amplituda povećavati. A kada amplituda poprimi konstantnu vrijednost, frekvencija oscilacija također poprima konstantnu vrijednost, kažu da su takve oscilacije uspostavljene. Uspostavljene su prisilne oscilacije.

uspostavljena prisilne vibracije nadoknaditi gubitak energije upravo zbog rada vanjske pokretačke sile.

Rezonancija

Postoji vrlo važan fenomen koji se prilično često opaža u prirodi i tehnologiji. Ova pojava se zove rezonancija. "Rezonancija" je latinska riječ i na ruski se prevodi kao "odgovor". Rezonancija (od lat.resono - "odgovaram") - fenomen povećanja amplitude prisilnih oscilacija sistema, koji se javlja kada se frekvencija vanjskog djelovanja sile približi frekvenciji prirodnog oscilovanja klatna ili ovog oscilatornog sistema .

Ako postoji klatno koje ima sopstvenu dužinu, masu ili krutost opruge, onda to klatno ima svoje oscilacije koje karakteriše frekvencija. Ako vanjska pokretačka sila počne djelovati na ovo klatno i frekvencija ove sile počne se približavati prirodnoj frekvenciji klatna (poklapa se s njom), tada dolazi do naglog povećanja amplitude oscilacije. Ovo je fenomen rezonancije.

Kao rezultat takvog fenomena, oscilacije mogu biti toliko velike da će se tijelo, sam oscilatorni sistem, srušiti. Poznat je slučaj kada je niz vojnika koji je išao preko mosta, kao rezultat takve pojave, jednostavno srušio most. Još jedan slučaj kada se, kao rezultat kretanja zračnih masa, dovoljno snažnih naleta vjetra, srušio most u Sjedinjenim Državama. Ovo je takođe fenomen rezonancije. Oscilacije mosta, njihove vlastite vibracije, poklopile su se sa frekvencijom naleta vjetra, vanjske pokretačke sile. Zbog toga se amplituda toliko povećala da se most srušio.

Oni pokušavaju da uzmu u obzir ovu pojavu prilikom projektovanja struktura i mehanizama. Na primjer, kada se voz kreće, može se dogoditi sljedeće. Ako se vagon kreće i ovaj vagon se počne ljuljati u ritmu svog kretanja, tada se amplituda oscilacija može povećati toliko da vagon može iskočiti iz šina. Doći će do sudara. Za karakterizaciju ovog fenomena koriste se krivulje koje se nazivaju rezonantne.

Rice. 4. Rezonantna kriva. Vrh krivulje - maksimalna amplituda

Naravno, rezonancija se ne samo bori, već se i koristi. Najviše se koristi u akustici. Tamo gde postoji auditorijum, pozorišna sala, koncertna sala, moramo voditi računa o fenomenu rezonancije.

Spisak dodatne literature:

Da li ste upoznati sa rezonancijom? // Quantum. - 2003. - br. 1. - Str. 32-33 Fizika: mehanika. Ocena 10: Proc. za dubinski studij fizike / M.M. Balašov, A.I. Gomonova, A.B. Dolitsky i drugi; Ed. G.Ya. Myakishev. - M.: Drfa, 2002. Osnovni udžbenik fizike. Ed. G.S. Landsberg, T. 3. - M., 1974