Za rješavanje mnogih problema dinamike, posebno u sistemskoj dinamici, umjesto direktnu integraciju diferencijalnih jednačina kretanja, pokazalo se da je efikasnije koristiti takozvane opšte teoreme, koje su posledice osnovnog zakona dinamike.

Značaj opštih teorema je u tome što one uspostavljaju jasne odnose između odgovarajućih dinamičkih karakteristika kretanja materijalna tela i time otvaraju nove mogućnosti za proučavanje kretanja mehaničkih sistema koji se široko koriste u inženjerskoj praksi. Osim toga, primjena općih teorema eliminira potrebu da se za svaki problem izvode one integracijske operacije koje se jednom za svagda izvode prilikom izvođenja ovih teorema; čime se pojednostavljuje proces odlučivanja.

Prijeđimo na razmatranje općih teorema dinamike tačaka.

§ 83. IZNOS KRETANJA TAČKA. IMPULSNA SILA

Jedna od glavnih dinamičkih karakteristika kretanja tačke je količina kretanja

Količina pokreta materijalna tačka naziva se vektorska veličina jednaka proizvodu mase tačke i njene brzine. Vektor je usmjeren na isti način kao i brzina tačke, odnosno tangencijalno na njenu putanju.

Jedinica mjerenja količine kretanja je u SI - iu ICSS sistemu - .

Impuls sile. Da bi se okarakteriziralo djelovanje sile na tijelo u određenom vremenskom periodu, uvodi se pojam impulsa sile. Prvo uvodimo pojam elementarnog impulsa, tj. impulsa za elementarni vremenski period

Elementarni impuls sile je vektorska veličina jednaka proizvodu sile F za elementarni vremenski period

Elementarni impuls je usmjeren duž linije djelovanja sile.

Impuls S bilo koje sile F tokom konačnog vremenskog perioda izračunava se kao granica integralnog zbira odgovarajućih elementarnih impulsa, tj.

Dakle, impuls sile u određenom vremenskom periodu jednak je definitivni integral od elementarnog impulsa, uzetog u rasponu od nule do

Koji se sastoji od n materijalne tačke. Izdvojimo neku tačku iz ovog sistema Mj sa masom mj. Poznato je da na ovu tačku djeluju vanjske i unutrašnje sile.

Nanesite na tačku Mj rezultat svih unutrašnjih sila F j i i rezultat svega spoljne sile F j e(Slika 2.2). Za odabranu materijalnu tačku Mj(kao za slobodnu tačku) zapisujemo teoremu o promjeni količine kretanja u diferencijalnom obliku (2.3):

Za sve tačke pišemo slične jednačine mehanički sistem (j=1,2,3,…,n).

Slika 2.2

Hajde da sve spojimo n jednadžbe:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)

Evo ∑mj ×Vj =Q je impuls mehaničkog sistema;
∑ F j e = R e – glavni vektor sve vanjske sile koje djeluju na mehanički sistem;
∑ F j i = R i =0- glavni vektor unutrašnjih sila sistema (prema svojstvu unutrašnjih sila jednak je nuli).

Konačno, za mehanički sistem dobijamo

dQ/dt = Re. (2.11)

Izraz (2.11) je teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku (u vektorskom izrazu): vremenski izvod vektora zamaha mehaničkog sistema jednak je glavnom vektoru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Projektovanjem vektorske jednakosti (2.11) na kartezijanske koordinatne ose, dobijamo izraze za teoremu o promeni momenta kretanja mehaničkog sistema u koordinatnom (skalarnom) izrazu:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

one. vremenski izvod projekcije impulsa mehaničkog sistema na bilo koju osu jednak je projekciji na ovu osu glavnog vektora svih vanjskih sila koje djeluju na ovaj mehanički sistem.

Množenje obje strane jednakosti (2.12) sa dt, dobijamo teoremu u drugom diferencijalnom obliku:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

one. diferencijal impulsa mehaničkog sistema jednak je elementarnom impulsu glavnog vektora (zbir elementarnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Integrisanje jednakosti (2.13) unutar vremenskog raspona od 0 do t, dobijamo teoremu o promjeni impulsa mehaničkog sistema u konačnom (integralnom) obliku (u vektorskom izrazu):

Q - Q 0 \u003d S e,

one. promjena količine kretanja mehaničkog sistema tokom konačnog vremenskog perioda jednaka je ukupnom impulsu glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.

Projektovanjem vektorske jednakosti (2.14) na kartezijanske koordinatne ose dobijamo izraze za teoremu u projekcijama (u skalarnom izrazu):

one. promjena projekcije impulsa mehaničkog sistema na bilo koju osu tokom konačnog vremenskog perioda jednaka je projekciji na istu osu ukupnog impulsa glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila djelujući na mehanički sistem u istom vremenskom periodu.

Iz razmatrane teoreme (2.11) - (2.15) slijede sljedeće posljedice:

1. Ako R e = ∑ F j e = 0, onda Q = konst– imamo zakon održanja vektora momenta mehaničkog sistema: ako je glavni vektor Re svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sistem jednaka je nuli, tada vektor momenta ovog sistema ostaje konstantan po veličini i smjeru i jednak svojoj početnoj vrijednosti Q0, tj. Q = Q0.
2. Ako R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), onda Q x = konst- imamo zakon održanja projekcije na osu momenta kretanja mehaničkog sistema: ako je projekcija glavnog vektora svih sila koje djeluju na mehanički sistem na bilo koju osu jednaka nuli, tada je projekcija na istu osu vektor momenta ovog sistema će biti konstantna vrijednost i jednak projekciji na ovu osu inicijalnog vektora momenta, tj. Qx = Q0x.

Diferencijalni oblik teoreme o promjeni impulsa materijalnog sistema ima važne i zanimljive primjene u mehanici kontinuuma. Iz (2.11) može se dobiti Ojlerova teorema.

Količina kretanja sistema nazvat će se vektorska veličina Q, jednaka geometrijski zbir(glavni vektor) impulsa svih tačaka sistema (Sl. 288):

Koristeći ovu definiciju, naći ćemo formulu pomoću koje je mnogo lakše izračunati vrijednost Q, kao i razumjeti njeno značenje. Iz jednakosti (D) slijedi da

Uzimajući vremensku derivaciju oba dijela, dobijamo

Odavde to nalazimo

tj. količina kretanja sistema jednaka je proizvodu mase cijelog sistema i brzine njegovog centra mase.

Ovaj rezultat je posebno pogodan za korištenje pri izračunavanju momenta kretanja krutih tijela.

Iz formule (19) se može vidjeti da ako se tijelo (ili sistem) kreće tako da centar mase ostaje nepomičan, tada je impuls tijela nula. Na primjer, impuls tijela koje rotira oko fiksne ose koja prolazi kroz njegovo središte mase bit će nula.

Ako je kretanje tijela složeno, tada vrijednost Q neće ovisiti o njegovom rotacijskom kretanju oko centra mase. Na primjer, za točak koji se kotrlja, bez obzira na to kako se točak rotira oko svog centra mase C.

Dakle, zamah se može smatrati karakteristikom kretanje napred sistema (tijela), i kada složeno kretanje- kao karakteristika translatornog dijela kretanja zajedno sa centrom mase.

Količina kretanja sistema nazovimo geometrijski zbir količina kretanja svih materijalnih tačaka sistema

Za pojašnjenje fizičkog čula(70) izračunaj derivaciju (64)

. (71)

Rješavajući (70) i ​​(71) zajedno, dobijamo

. (72)

Na ovaj način, vektor momenta mehaničkog sistema određen je proizvodom mase sistema i brzine njegovog centra mase.

Izračunajmo derivaciju (72)

. (73)

Rješavajući (73) i (67) zajedno, dobijamo

. (74)

Jednačina (74) izražava sljedeću teoremu.

Teorema: Vremenski izvod vektora zamaha sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila sistema.

Prilikom rješavanja zadataka, jednačina (74) se mora projicirati na koordinatne osi:

. (75)

Analiza (74) i (75) implicira sljedeće zakon održanja impulsa sistema: Ako je zbir svih sila sistema jednak nuli, tada njegov vektor momenta zadržava svoju veličinu i smjer.

Ako
, onda
,Q = konst . (76)

U konkretnom slučaju, ovaj zakon se može ispuniti duž jedne od koordinatnih osa.

Ako
, onda, Q z = konst. (77)

Preporučljivo je koristiti teoremu promjene momenta u slučajevima kada tečna i plinovita tijela ulaze u sistem.

Teorema o promjeni ugaonog momenta mehaničkog sistema

Količina kretanja karakterizira samo translacijsku komponentu kretanja. Da bi se okarakterisalo rotaciono kretanje tela, koncept glavnog momenta veličina kretanja sistema u odnosu na ovaj centar (ugaoni moment).

Zamah sistema u odnosu na dati centar je geometrijski zbir momenata količina kretanja svih njegovih tačaka u odnosu na isti centar

. (78)

Projektovanjem (22) na koordinatne ose može se dobiti izraz za ugaoni moment u odnosu na koordinatne ose

. (79)

Ugaoni moment kretanja tijela oko osi jednak je proizvodu momenta inercije tijela oko ove ose na ugaonu brzinu tijela

. (80)

Iz (80) proizilazi da kinetički moment karakteriše samo rotacionu komponentu kretanja.

Karakteristika rotacijskog djelovanja sile je njen moment u odnosu na os rotacije.

Teorema promjene zamaha uspostavlja odnos između karakteristike rotacijskog kretanja i sile koja uzrokuje ovo kretanje.

Teorema: Vremenski izvod vektora ugaonog momenta sistema u odnosu na neki centar jednak je geometrijskom zbiru momenata svih spoljnih sila sistema u odnosu naisti centar

. (81)

Prilikom rješavanja inženjerskih zadataka (81) potrebno je projektirati na koordinatne osi

Njihova analiza (81) i (82) implicira zakon održanja momenta: Ako je zbir momenata svih vanjskih sila oko centra (ili ose) jednak nuli, tada kinetički moment sistema oko ovog centra (ili ose) zadržava svoju veličinu i smjer.

,

ili

Moment inercije se ne može promeniti dejstvom unutrašnjih sila sistema, ali se usled tih sila može promeniti moment inercije, pa stoga ugaona brzina.

Slično, kao za jednu materijalnu tačku, izvodimo teoremu o promjeni impulsa za sistem u različitim oblicima.

Transformišemo jednačinu (teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema)

na sljedeći način:

;

Rezultirajuća jednačina izražava teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku: vremenski izvod količine kretanja mehaničkog sistema jednak je glavnom vektoru vanjskih sila koje djeluju na sistem. .

U projekcijama na kartezijanske koordinatne ose:

; ; .

Uzimajući integrale oba dijela posljednje jednačine u vremenu, dobijamo teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u integralnom obliku: promjena količine gibanja mehaničkog sistema jednaka je impulsu glavnog vektora spoljne sile koje deluju na sistem .

.

Ili u projekcijama na kartezijanske koordinatne osi:

; ; .

Posljedice iz teoreme (zakoni održanja impulsa)

Zakon održanja impulsa dobijen je kao posebni slučajevi teoreme o promjeni impulsa za sistem u zavisnosti od karakteristika sistema vanjskih sila. unutrašnje sile mogu biti bilo koje, jer ne utiču na promjene momenta.

Moguća su dva slučaja:

1. Ako je vektorski zbir svih vanjskih sila primijenjenih na sistem jednak nuli, tada je impuls sistema konstantan po veličini i smjeru

2. Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju koordinatna osa i/ili i/ili , tada je projekcija količine kretanja na iste ose konstantna vrijednost, tj. i/ili i/ili respektivno.

Slični zapisi se mogu napraviti za materijalnu tačku i za materijalnu tačku.

Zadatak. Iz pištolja čija masa M, projektil mase izleti u horizontalnom smjeru m brzinom v. Pronađite brzinu V puške nakon pucanja.

Rješenje. Sve vanjske sile koje djeluju na mehanički sistem top-projektil su vertikalne. Dakle, na osnovu posledica teoreme o promeni količine kretanja sistema, imamo: .

Količina kretanja mehaničkog sistema prije metka:

Količina kretanja mehaničkog sistema nakon metka:

.

Izjednačavanjem pravih delova izraza dobijamo to

.

Znak "-" u rezultirajućoj formuli označava da će se nakon metka pištolj otkotrljati u smjeru suprotnom od osi Ox.

PRIMJER 2. Mlaz tekućine gustine izlazi brzinom V iz cijevi poprečnog presjeka F i udara u vertikalni zid pod uglom. Odredite pritisak tečnosti na zidu.

RJEŠENJE. Teoremu o promjeni količine gibanja u integralnom obliku primjenjujemo na zapreminu tekućine s masom m udaranje o zid tokom određenog vremenskog perioda t.

JEDNAČINA MEŠČERSKOG

(osnovna jednadžba dinamike tijela promjenljive mase)

U modernoj tehnologiji nastaju slučajevi kada masa tačke i sistema ne ostaju konstantni u procesu kretanja, već se mijenjaju. Tako, na primjer, tokom leta svemirskih raketa, zbog izbacivanja produkata izgaranja i pojedinih nepotrebnih dijelova raketa, promjena mase dostiže 90-95% ukupne početne vrijednosti. Ali ne samo svemirska tehnologija može biti primjer dinamike kretanja promjenljive mase. U tekstilnoj industriji dolazi do značajne promjene u masi raznih vretena, bobina, rola na savremenim mašinskim i mašinskim brzinama.

Razmotrite glavne karakteristike povezane s promjenom mase, koristeći primjer translacijskog kretanja tijela promjenjive mase. Osnovni zakon dinamike ne može se direktno primijeniti na tijelo promjenljive mase. Dakle, dobijamo diferencijalne jednadžbe kretanje tačke promenljive mase, primenom teoreme o promeni količine gibanja sistema.

Neka tačka mase m+dm kreće se brzinom. Zatim dolazi do odvajanja od tačke neke čestice sa masom dm krećući se brzinom.

Količina kretanja tijela prije odvajanja čestice:

Količina kretanja sistema koji se sastoji od tijela i odvojene čestice nakon njenog odvajanja:

Tada je promjena momenta:

Na osnovu teoreme o promjeni impulsa sistema:

Označimo vrijednost - relativnu brzinu čestice:

Označiti

vrijednost R zove se reaktivna sila. Mlazna sila je potisak motora, zbog ispuštanja plina iz mlaznice.

Konačno dobijamo

-

Ova formula izražava osnovnu jednačinu dinamike tijela promjenljive mase (formula Meščerskog). Iz posljednje formule slijedi da diferencijalne jednadžbe kretanja tačke promjenljive mase imaju isti oblik kao i za tačku konstantne mase, osim dodatne reaktivne sile koja se primjenjuje na tačku zbog promjene mase.

Osnovna jednadžba dinamike tijela promjenljive mase ukazuje da se ubrzanje ovog tijela ne formira samo zbog vanjskih sila, već i zbog reaktivne sile.

Reaktivna sila je sila slična onoj koju osjeća osoba koja puca - kada puca iz pištolja, osjeti se rukom; pri pucanju iz puške percipira se po ramenu.

Prva formula Ciolkovskog (za jednostepenu raketu)

Neka se tačka promenljive mase ili raketa kreće pravolinijski pod dejstvom samo jedne reaktivne sile. Budući da za mnoge moderne mlazne motore , gdje je maksimalna reaktivna sila dopuštena konstrukcijom motora (potisak motora); je sila gravitacije koja djeluje na motor zemljine površine. One. gore navedeno omogućava da se zanemari komponenta u jednadžbi Meščerskog i da se za dalju analizu prihvati ova jednačina u obliku: ,

označiti:

Rezerva goriva (za mlazne motore na tečno gorivo - suha masa rakete (njena preostala masa nakon što sve gorivo izgori);

Masa čestica odvojenih od rakete; smatra se varijabla koja varira od do .

Hajde da napišemo jednačinu pravolinijsko kretanje tačke promenljive mase u sledećem obliku

.

Pošto je formula za određivanje promenljive mase rakete

Dakle, jednačine kretanja tačke Uzimajući integrale oba dijela, dobijamo

gdje - karakteristična brzina- ovo je brzina koju raketa postiže pod dejstvom potiska nakon erupcije svih čestica iz rakete (kod mlaznih motora na tečno gorivo - nakon što izgori svo gorivo).

Izvađeno iz integralnog znaka (što se može uraditi na osnovu poznatog višu matematiku teorema srednje vrijednosti) je prosječna brzinačestice izbačene iz rakete.