Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke. Teorema o promjeni ugaonog momenta tačke

Prvi vremenski izvod ugaonog momenta tačke u odnosu na bilo koje središte jednak je momentu sile u odnosu na isto središte:

Projektovanjem (171) na pravougaone kartezijanske koordinatne ose, dobijamo teoreme o promeni ugaoni moment tačke o ovim koordinatne ose:

,
,
. (171")

Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema

Prvi vremenski izvod ugaonog momenta sistema u odnosu na bilo koju tačku jednak je vektorskom zbiru momenata spoljnih sila koje deluju na sistem u odnosu na istu tačku.

, (172)

gdje
– glavna tačka sve spoljne sile sistemima.

Projektovanjem (172) na pravougaone kartezijanske koordinatne ose dobijamo teoreme o promeni ugaonog momenta sistema u odnosu na ove koordinatne ose, tj.

,
,
. (172")

Zakoni održanja impulsa

1. Ako je glavni moment spoljnih sila sistema u odnosu na tačku jednako nuli, tj.
, zatim, prema (79), ugaoni moment sistema
u odnosu na istu tačku je konstantan po veličini i pravcu, tj.

. (173)

Ovaj poseban slučaj teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema naziva se zakon održanja impulsa. U projekcijama na pravougaone kartezijanske koordinatne ose prema ovom zakonu

,
,
,

gdje ,,su konstantne vrijednosti.

2. Ako je zbir momenata svih vanjskih sila sistema oko ose
jednako nuli, tj.
, onda iz (172") slijedi da

. (174)

shodno tome, kinetički moment sistema oko bilo koje koordinatne ose je konstantan ako je zbroj momenata vanjskih sila oko ove ose nula,što se posebno opaža kada su vanjske sile paralelne s osom ili je prelaze. U konkretnom slučaju, za tijelo ili sistem tijela koji se svi zajedno mogu rotirati oko fiksne ose, a ako se u isto vrijeme

, ili
, (175)

gdje i - moment inercije sistema tijela i njihova ugaona brzina u odnosu na osu rotacije u proizvoljnom trenutku vremena ;i - moment inercije tijela i njihova ugaona brzina u trenutku vremena odabranog kao početno.

Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela oko fiksne ose

Iz teoreme o promjeni kinetičkog momenta (172") slijedi diferencijalna jednadžba rotacije čvrsto telo okolo fiksna osovina
:

, (176)

gdje je ugao rotacije tijela.

Diferencijalna jednadžba rotacionog kretanja krutog tijela u općem slučaju omogućava rješavanje dva glavna problema: određivanje momenta vanjskih sila iz date rotacije tijela i pronalaženje rotacije tijela od datog rotacionog momenta i početnog uslovima. Prilikom rješavanja drugog problema, da bi se pronašao ugao rotacije, potrebno je integrirati diferencijalna jednadžba rotaciono kretanje. Metode njegove integracije potpuno su slične razmatranim metodama integracije diferencijalne jednadžbe pravolinijskog kretanja tačke.

Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema u relativnom kretanju u odnosu na centar mase

Neka se mehanički sistem kreće u odnosu na glavni koordinatni sistem
. Uzmimo pokretni koordinatni sistem
sa ishodištem u centru mase sistema , krećući se naprijed u odnosu na glavni koordinatni sistem. Moguće je dokazati valjanost formule:

gdje je apsolutna brzina centra mase,
.

Vrijednost
je ugaoni moment sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje u odnosu na koordinatni sistem koji se kreće translatorno sa centrom mase, tj. sistem
.

Formula (176) to pokazuje ugaoni moment apsolutno kretanje sistema u vezi fiksna tačka jednak je vektorskom zbroju ugaonog momenta centra mase u odnosu na istu tačku, ako je čitava masa sistema koncentrisana u centru mase, i ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje sistema u odnosu na pokretni koordinatni sistem koji se kreće translaciono sa centrom mase.

Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje sistem u odnosu na koordinatni sistem koji se kreće naprijed sa centrom mase; formulisan je na isti način kao da je centar mase fiksna tačka:

ili
, (178)

gdje
je glavni moment svih vanjskih sila oko centra mase.

Uzmite u obzir materijalnu tačku M težina m krećući se pod uticajem sile F(Slika 3.1). Zapišimo i konstruirajmo vektor ugaonog momenta (kinetički moment) M0 materijalna tačka u odnosu na centar O:

Slika 3.1

Razlikujte izraz za moment momenta (kinetički moment k 0) po vremenu:

Jer dr/dt=V, onda vektorski proizvod V×m∙V(kolinearni vektori V i m∙V) je nula. U isto vrijeme d(m∙V)/dt=F prema teoremi zamaha za materijalnu tačku. Dakle, dobijamo to

dk 0 /dt = r×F, (3.3)

gdje r×F = M 0 (F)– vektor-moment sile F u odnosu na fiksni centar O. Vector k 0⊥ avion ( r, m×V), i vektor M 0 (Ž)⊥ avion ( r, F), konačno imamo

dk 0 /dt = M 0 (F). (3.4)

Jednačina (3.4) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na centar: vremenska derivacija momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isto središte.

Projektovanje jednakosti (3.4) na ose Kartezijanske koordinate, dobijamo

dk x /dt = M x (F);

dk y /dt = M y (F);

dk z /dt = M z (F). (3.5)

Jednačine (3.5) izražavaju teoremu o promjeni ugaonog momenta (kinetičkog momenta) materijalne tačke oko ose: vremenski izvod momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak je momentu sile koja deluje na ovu tačku u odnosu na istu osu.

Razmotrimo posljedice koje proizlaze iz teorema (3.4) i (3.5).

Zaključak 1

Razmotrimo slučaj kada je sila F tokom čitavog kretanja tačka prolazi kroz fiksni centar O(slučaj centralne sile), tj. kada M 0 (F) = 0. Tada iz teoreme (3.4) slijedi da k 0 = konst, one. u slučaju centralne sile, ugaoni moment (kinetički moment) materijalne tačke u odnosu na centar ove sile ostaje konstantan po veličini i pravcu(Slika 3.2).

Slika 3.2

Od uslova k 0 = konst sledi da je putanja pokretne tačke ravna kriva, čija ravan prolazi kroz centar ove sile.

Posljedica 2

Neka M z (F) = 0, tj. sila prelazi osu z ili paralelno sa njim.

U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz treće jednačine (3.5), kz = konst, one. ako je moment sile koja djeluje na tačku u odnosu na bilo koju fiksnu osu uvijek jednak nuli, tada ugaoni moment (kinetički moment) tačke u odnosu na ovu os ostaje konstantan.

Ugaoni moment tačke i mehanički sistem

Rice. 3.14

Jedan od dinamičke karakteristike kretanje materijalne tačke i mehaničkog sistema je kinetički moment ili moment impulsa.

Za materijalnu tačku, kinetički moment u odnosu na bilo koji centar O naziva se momentom momenta tačke u odnosu na ovo središte (slika 3.14),

Ugaoni moment materijalne tačke u odnosu na osu je projekcija na ovu osu ugaonog momenta tačke u odnosu na bilo koji centar na ovoj osi:

Ugaoni moment mehaničkog sistema u odnosu na centar O se naziva geometrijski zbir kinetički momenti svih tačaka sistema u odnosu na isti centar (slika 3.15):

(3.20)

Kinetički moment se primjenjuje na tačku O prema kojoj se obračunava.

Ako projektujemo (3.20) na ose Kartezijanski sistem koordinate, onda dobijamo projekcije ugaonog momenta na ove ose, odnosno kinetičke momente u odnosu na koordinatne ose:

Odredimo ugaoni moment tijela u odnosu na njegovu fiksnu os rotacije z(Sl. 3.16).

Prema formulama (3.21) imamo

Ali kada se tijelo rotira ugaonom brzinom w, brzinom i zamah tačke okomito na segment dk i leži u ravni okomitoj na os rotacije Oz, Shodno tome,

Rice. 3.15

Rice. 3.16

Za cijelo tijelo:

gdje Jz je moment inercije oko ose rotacije.

Dakle, kinetički moment krutog tijela oko ose rotacije jednak je proizvodu momenta inercije tijela oko ove ose za ugaona brzina tijelo.

2. Teorema o promjeni ugaonog momenta
mehanički sistem

Ugaoni moment sistema u odnosu na fiksni centar O(Sl. 3.15)

Uzmite derivaciju vremena s lijeve i desne strane ove jednakosti:

(3.22)

Mi to uzimamo u obzir tada izraz (3.22) poprima oblik

Ili, s obzirom na to

- zbir momenata vanjskih sila oko centra O, konačno imamo:

(3.23)

Jednakost (3.23) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta.

Teorema o promjeni kinetičkog momenta. Vremenski izvod ugaonog momenta mehaničkog sistema u odnosu na fiksni centar jednak je glavnom momentu spoljnih sila sistema u odnosu na isti centar.

Projektujući jednakost (3.23) na fiksne ose kartezijanskih koordinata, dobijamo teoremu o projekcijama na ove ose:

Iz (3.23) slijedi da ako je glavni moment vanjskih sila u odnosu na neki fiksni centar jednak nuli, tada kinetički moment u odnosu na ovo središte ostaje konstantan, tj. ako

(3.24)

Ako je zbroj momenata vanjskih sila sistema u odnosu na bilo koju fiksnu osu jednak nuli, tada odgovarajuća projekcija ugaonog momenta ostaje konstantna,

(3.25)

Tvrdnje (3.24) i (3.25) predstavljaju zakon održanja ugaonog momenta sistema.

Dobijamo teoremu o promjeni ugaonog momenta sistema tako što za tačku pri izračunavanju ugaonog momenta odaberemo tačku A, krećući se brzinom u odnosu na inercijski referentni sistem

Ugaoni moment sistema u odnosu na tačku A(Sl. 3.17)

Rice. 3.17

jer onda

S obzirom na to gdje je brzina centra mase sistema, dobijamo

Izračunajte vremenski izvod ugaonog momenta

U rezultirajućem izrazu:

Kombinujući drugi i treći termin, i uzimajući to u obzir

konačno dobijamo

Ako se tačka poklapa sa centrom mase sistema C, onda i teorema postaje

one. ima isti oblik kao za fiksnu tačku O.

3. Diferencijalna jednačina rotacije krutog tijela
oko fiksne ose

Neka kruto tijelo rotira oko fiksne ose Az(Sl. 3.18) pod dejstvom sistema spoljnih sila
Zapisujemo jednačinu teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema u projekciji na os rotacije:

Rice. 3.18

Za slučaj rotacije krutog tijela oko fiksne ose:

gdje Jz je konstantni moment inercije oko ose rotacije; w je ugaona brzina.

S obzirom na ovo, dobijamo:

Ako uvedemo ugao rotacije tijela j, onda, uzimajući u obzir jednakost imamo

(3.26)

Izraz (3.26) je diferencijalna jednadžba za rotaciju krutog tijela oko fiksne ose.

4. Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema
u relativnom kretanju u odnosu na centar mase

Za proučavanje mehaničkog sistema biramo fiksni koordinatni sistem Ox 1 y 1 z 1 i mobilni Cxyz počevši od centra mase C, krećući se naprijed (sl. 3.19).

Iz vektorskog trougla:

Rice. 3.19

Razlikujući ovu jednakost s obzirom na vrijeme, dobijamo

ili

gdje je apsolutna brzina tačke M k, - apsolutna brzina centra mase OD,
- relativna brzina tačke M k, jer

Zamah oko poena O

Zamjenom vrijednosti i , dobijamo

U ovom izrazu: je masa sistema; ;

je ugaoni moment sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje u koordinatnom sistemu Sxyz.

Zamah poprima oblik

Teorema o promjeni ugaonog momenta u odnosu na tačku O ima oblik

Zamijenite vrijednosti i dobijamo

Hajde da transformišemo ovaj izraz uzimajući u obzir to

ili

Ova formula izražava teoremu o promeni ugaonog momenta sistema u odnosu na centar mase za relativno kretanje sistema u odnosu na koordinatni sistem koji se kreće translaciono sa centrom mase. Formulisan je na isti način kao da je centar mase fiksna tačka.

Smjer i veličina momenta gibanja određuju se na potpuno isti način kao i u slučaju procjene momenta sile (paragraf 1.2.2).

Istovremeno definirati ( glavni) ugaoni moment kako vektorska suma momenti broja kretanja tačaka sistema koji se razmatra. Ima i drugo ime ugaoni moment :

Vremenski izvod izraza (3.40) pronalazimo koristeći pravila za diferenciranje umnožaka dvije funkcije, kao i činjenicu da je izvod sume jednak zbiru izvoda (tj. predznak zbira tokom diferencijacije može pomjeriti kao koeficijent):

Uzimamo u obzir očigledne kinematičke jednakosti: . onda: . Koristimo prosječnu jednačinu iz formula (3.26) , kao i činjenica da je vektorski proizvod dva kolinearna vektora ( i ) jednak nuli, dobijamo:

Primjenjujući se na 2. mandat imovine unutrašnje sile(3.36), dobijamo izraz za teoremu o promeni glavnog momenta momenta gibanja mehaničkog sistema:

(3.42)

Vremenski izvod ugaonog momenta jednak je zbiru momenata svih vanjskih sila koje djeluju u sistemu.

Ova formulacija se često naziva ukratko: teorema momenta .

Treba napomenuti da je teorema o momentu formulisana u fiksnom referentnom okviru u odnosu na određeni fiksni centar O. Ako se kruto tijelo posmatra kao mehanički sistem, onda je pogodno odabrati centar O na osi rotacije tijelo.

Treba napomenuti jedno važno svojstvo teoreme o momentu (prikazujemo je bez izvođenja). Teorema o momentu važi i u translaciono pokretnom referentnom okviru, ako je centar mase (m. C) tela (mehaničkog sistema) izabran kao njegovo središte:

Formulacija teoreme je u ovom slučaju praktično sačuvana.

Zaključak 1

Neka je desna strana izraza (3.42) jednaka nuli =0, - sistem je izolovan. Tada iz jednačine (3.42) slijedi da je .

Za izolovani mehanički sistem, vektor ugaonog momenta sistema se ne menja tokom vremena ni po pravcu ni po veličini.

Posljedica 2

Ako je desna strana bilo kojeg od izraza (3.44) jednaka nuli, na primjer, za osu Oz: =0 (djelimično izolovani sistem), onda iz jednačina (3.44) slijedi: =const.

Dakle, ako je zbir momenata vanjskih sila oko bilo koje ose jednak nuli, tada se aksijalni kinetički moment sistema duž ove ose ne mijenja s vremenom.

Formulacije koje su date u nastavku su izrazi zakon održanja ugaonog momenta u izolovanim sistemima .

Kinetički moment krutog tijela

Razmotrimo poseban slučaj - rotaciju krutog tijela oko ose Oz (slika 3.4).

Sl.3.4

Tačka tijela, odvojena od ose rotacije rastojanjem h k , rotira u ravni paralelnoj sa Oxy brzinom od . U skladu sa definicijom aksijalnog momenta koristimo izraz (1.19) zamjenjujući projekciju F XY sila na ovoj ravni po momentu tačke . Procijenimo aksijalni kinetički moment tijela:

Prema Pitagorinoj teoremi , pa se (3.46) može napisati na sljedeći način:

(3.47)

Tada će izraz (3.45) poprimiti oblik:

(3.48)

Ako koristimo zakon održanja ugaonog momenta za djelimično izolovani sistem (koronar 2) primenjen na čvrsto telo (3.48), dobijamo . U ovom slučaju mogu se razmotriti dvije opcije:

PITANJA ZA SAMOPROVERU

1. Kako se određuje ugaoni moment rotirajućeg krutog tijela?

2. Koja je razlika između aksijalnog momenta inercije i aksijalnog kinetičkog momenta?

3. Kako se brzina rotacije krutog tijela mijenja s vremenom u odsustvu vanjskih sila?

Aksijalni moment inercije krutog tijela

Kao što ćemo kasnije vidjeti, aksijalni moment inercije tijela ima isti značaj za rotaciono kretanje tijela kao i masa tijela tokom njegovog kretanje napred. Ovo je jedna od najvažnijih karakteristika tijela, koja određuje inerciju tijela tokom njegove rotacije. Kao što se vidi iz definicije (3.45), ovo je pozitivna skalarna veličina, koja zavisi od masa tačaka sistema, ali u većoj meri od udaljenosti tačaka od ose rotacije.

Za čvrsta homogena tijela jednostavnih oblika vrijednost osnog momenta inercije, kao iu slučaju procjene položaja centra mase (3.8), razmatra se metodom integracije, koristeći umjesto diskretne mase masu elementarni volumen dm=ρdV:

(3.49)

Za referencu, dajemo vrijednosti momenata inercije za neka jednostavna tijela:

m i dužina l u odnosu na osu koja prolazi okomito na štap kroz njegovu sredinu (slika 3.5).

Sl.3.5

moment inercije tankog homogena šipka težina m i dužina l u odnosu na osu koja prolazi okomito na štap kroz njegov kraj (slika 3.6).

Sl.3.6

Moment inercije tankog homogenog prstena sa masom m i radijus R u odnosu na osu koja prolazi kroz njegov centar okomito na ravan prstena (slika 3.7).

Sl.3.7

Moment inercije tankog homogenog diska s masom m i radijus R u odnosu na osu koja prolazi kroz njegov centar okomito na ravan diska (slika 3.7).

Sl.3.8

· Moment inercije tijela proizvoljnog oblika.

Za tijela proizvoljnog oblika, moment inercije se zapisuje u sljedećem obliku:

gdje ρ - takozvani. radijus rotacije tijelo, ili radijus određenog uvjetnog prstena s masom m, čiji je aksijalni moment inercije jednak momentu inercije datog tijela.

Huygens–Steinerova teorema

Sl.3.9

Povežite dva paralelna koordinatna sistema sa tijelom. Prvi Cx"y"z", sa ishodištem u centru mase, naziva se centralnim, a drugi Oxyz, sa centrom O, koji leži na Cx" osi na udaljenosti CO = d(Slika 3.9). Lako je uspostaviti veze između koordinata tačaka tijela za ove sisteme:

U skladu s formulom (3.47), moment inercije tijela oko ose Oz:

Ovdje su konstante za sve članove 2. i 3. zbira desne strane faktori 2 d i d skinut sa odgovarajućih iznosa. Zbir masa u trećem članu je masa tijela. Drugi zbir, u skladu sa (3.7), određuje koordinatu centra mase C na osi Cx"(), a jednakost je očigledna: . Uzimajući u obzir da je 1. član, po definiciji, trenutak inercija tela u odnosu na centralna osovina Cz" (ili Z C) , dobijamo formulaciju Huygens-Steinerova teorema:

(3.50)

Moment inercije tijela oko određene ose jednak je zbiru momenta inercije tijela oko paralelne centralne ose i proizvoda mase tijela pomnoženog s kvadratom udaljenosti između ovih osa.

PITANJA ZA SAMOPROVERU

1. Navedite formule za aksijalni momenti inercija štapa, prstena, diska.

2. Pronađite polumjer rotacije okruglog čvrstog cilindra oko njegove središnje ose.

Teorema o promjeni impulsa sistema

Koncept impulsa sile nam omogućava da formulišemo teoremu o promeni momenta kretanja sistema za proizvoljnim sistemima:

gdje je početni, a konačni impuls izolovanog sistema koji je u interakciji sa drugim sistemima samo putem sila. Zapravo, u ovoj formulaciji, zakon održanja momenta je ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i njegov je integral tokom vremena, budući da

Teorema o promjeni ugaonog momenta (kinetičkog momenta) materijalne tačke

Uzmite u obzir materijalnu tačku M težina m krećući se pod uticajem sile F (Slika 3.1). Zapišimo i konstruirajmo vektor ugaonog momenta (kinetički moment) M 0 materijalne tačke u odnosu na centar O :

Slika 3.1

Razlikujte izraz za moment momenta (kinetički moment k 0) po vremenu:

Jer dr /dt = V , zatim vektorski proizvod V ⊗ m⋅V (kolinearni vektori V i m⋅V ) je nula. U isto vrijeme d(m⋅V) /dt = F prema teoremi o impulsu materijalne tačke. Dakle, dobijamo to

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

gdje r ⊗F = M 0 (F) – vektor-moment sile F u odnosu na fiksni centar O . Vector k 0 ⊥ ravan ( r,m ⊗V ), i vektor M 0 (F) ⊥ avion ( r ,F ), konačno imamo

dk 0 /dt = M 0 (F) . (3.4)

Jednačina (3.4) izražava teoremu o promjeni ugaonog momenta (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na centar: vremenska derivacija momenta zamaha (kinetičkog momenta) materijalne tačke u odnosu na bilo koji fiksni centar jednaka je momentu sile koja djeluje na tačku u odnosu na isto središte.

Projektovanjem jednakosti (3.4) na ose kartezijanskih koordinata dobijamo

dk x /dt = Mx(F); dk y /dt = M y(F); dkz /dt = Mz(F) . (3.5)

Razmotrimo posljedice koje proizlaze iz teorema (3.4) i (3.5).

Posljedica 1. Razmotrimo slučaj kada je sila F tokom čitavog kretanja tačka prolazi kroz fiksni centar O (slučaj centralne sile), tj. kada M 0 (F) = 0. Tada iz teoreme (3.4) slijedi da k 0 = konst ,

one. u slučaju centralne sile, moment momenta (kinetički moment) materijalne tačke u odnosu na centar ove sile ostaje konstantan po veličini i pravcu (slika 3.2).

Slika 3.2

Od uslova k 0 = konst sledi da je putanja pokretne tačke ravna kriva, čija ravan prolazi kroz centar ove sile.

Posljedica 2. Neka Mz(F) = 0, tj. sila prelazi osu z ili paralelno sa njim. U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz treće jednačine (3.5), kz = konst ,

one. ako je moment sile koja djeluje na tačku u odnosu na bilo koju fiksnu osu uvijek jednak nuli, tada ugaoni moment (kinetički moment) tačke u odnosu na ovu os ostaje konstantan.