Putanja kretanja materijalne tačke kroz radijus vektor

Pošto sam zaboravio ovaj deo matematike, u mom sećanju jednačine kretanja materijalne tačke su uvek bile predstavljene koristeći svima nama poznatu zavisnost y(x), a gledajući tekst zadatka, malo sam se zatekao kada sam vidio vektore. Pokazalo se da postoji prikaz putanje materijalne tačke pomoću radijus-vektor- vektor koji specificira položaj tačke u prostoru u odnosu na neku unapred fiksiranu tačku, koja se naziva ishodište.

Formula za putanju materijalne tačke, pored radijus vektora, opisana je na isti način orts- jedinični vektori i, j, k u našem slučaju se poklapa sa osama koordinatnog sistema. I, na kraju, razmotrimo primjer jednadžbe za putanju materijalne točke (u dvodimenzionalnom prostoru):

Šta je zanimljivo u ovom primjeru? Putanja kretanja tačke data je sinusima i kosinusima, šta mislite kako će graf izgledati u poznatom prikazu y(x)? „Vjerovatno jezivo“, pomislili ste, ali nije sve tako teško kao što se čini! Pokušajmo izgraditi putanju materijalne točke y(x), ako se kreće prema gore predstavljenom zakonu:

Ovdje sam primijetio kvadrat kosinusa, ako u bilo kojem primjeru vidite kvadrat sinusa ili kosinus, to znači da trebate primijeniti osnovni trigonometrijski identitet, što sam i uradio (druga formula) i transformirao koordinatnu formulu y da umjesto sinusa zamijenite formulu promjene x:

Kao rezultat toga, strašni zakon kretanja tačke pokazao se običnim parabolačije su grane usmjerene prema dolje. Nadam se da razumete približni algoritam za konstruisanje zavisnosti y(x) iz reprezentacije kretanja kroz vektor radijusa. A sada da pređemo na naše glavno pitanje: kako pronaći vektor brzine i ubrzanja materijalne tačke, kao i njihove module.

Vektor brzine materijalne tačke

Svima je poznato da je brzina materijalne tačke vrijednost udaljenosti koju tačka prijeđe u jedinici vremena, odnosno izvod formule za zakon kretanja. Da biste pronašli vektor brzine, morate uzeti derivaciju u odnosu na vrijeme. Pogledajmo konkretan primjer pronalaženja vektora brzine.

Primjer pronalaženja vektora brzine

Imamo zakon pomaka materijalne tačke:

Sada morate uzeti derivaciju ovog polinoma, ako ste zaboravili kako se to radi, onda ste tu. Kao rezultat, vektor brzine će izgledati ovako:

Ispostavilo se da je sve lakše nego što ste mislili, sada pronađite vektor ubrzanja materijalne tačke prema istom zakonu koji je gore predstavljen.

Kako pronaći vektor ubrzanja materijalne tačke

Vektor ubrzanja tačke ovo je vektorska veličina koja karakteriše promjenu modula i smjera brzine tačke tokom vremena. Da biste pronašli vektor ubrzanja materijalne tačke u našem primjeru, trebate uzeti derivaciju, ali iz formule vektora brzine predstavljene malo iznad:

Modul vektora brzine tačke

Sada pronađimo modul vektora brzine materijalne tačke. Kao što znate iz 9. razreda, modul vektora je njegova dužina, u pravokutnim dekartovskim koordinatama jednak je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata. A gdje tražite od vektora brzine koji smo dobili gore da uzmete njegove koordinate? Sve je vrlo jednostavno:

Sada je dovoljno samo zamijeniti vrijeme navedeno u zadatku i dobiti određenu brojčanu vrijednost.

Modul vektora ubrzanja

Kao što ste shvatili iz gore napisanog (i iz 9. razreda), pronalaženje modula vektora ubrzanja odvija se na isti način kao i modula vektora brzine: izvlačimo kvadratni korijen iz zbira kvadrata vektora koordinate, sve je jednostavno! Pa evo primjera za vas:

Kao što vidite, ubrzanje materijalne tačke prema gore datom zakonu ne zavisi od vremena i ima konstantnu veličinu i pravac.

Više primjera rješenja problema pronalaženja vektora brzine i ubrzanja

I ovdje možete pronaći primjere rješavanja drugih problema iz fizike. A za one koji baš i ne razumiju kako pronaći vektor brzine i ubrzanja, evo još par primjera iz mreže bez dodatnog objašnjenja, nadam se da će vam pomoći.

Ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u komentarima.

pet minuta:Zakon kretanja tačke dat je jednačinama

x=2m/s*t; y=2m/s*t-1m/s 2 *t 2

Pronađite koordinate tačke za vremenske tačke 0, 0.5s, 1s, 1.5s, 2s. Označiti položaj tačke u X-Y koordinatnom sistemu, nacrtati putanju, odrediti brzinu tačke (|v|) kao funkciju vremena.

Iz formule (1.3) proizlazi da se brzina bilo kojeg kretanja može predstaviti kao rezultat sabiranja brzina tri pravolinijska kretanja duž koordinatnih osa X, Y i Z, tj. svako složeno kretanje može se predstaviti kao zbir pravolinijskih kretanja (princip superpozicije pokreta). Koristeći ovaj princip, odredimo, na primjer, vrijednost prve kosmičke brzine, tj. takvu brzinu, paralelnu sa zemljinom površinom, koju tijelo mora imati da nikada ne padne na zemlju. Problem se može riješiti na sljedeći način. Kretanje tijela duž zemljine površine može se predstaviti kao zbir dvaju kretanja: ravnomjernog horizontalnog kretanja sa brzinom bacanja v i slobodnog pada tijela prema zemljinoj površini uz ubrzanje g (ubrzanje slobodnog pada).

Za mali vremenski period Dt, tijelo će proći, krećući se okomito na Zemljin poluprečnik, od tačke A do tačke B. (vidi sliku 1.9). U ovom slučaju, njegov radijus vektor će se rotirati za neki mali ugao β. U isto vrijeme, brzina tijela će se povećati ∆v=g∆t duž poluprečnika Zemlje, tj. vektor brzine će se također rotirati za neki ugao. Da bi se tijelo nastavilo kretati po površini zemlje, ovaj ugao mora se poklapati sa uglom rotacije radijus vektora tijela. Prema tome, ugao rotacije vektora brzine je i ugao β. Izjednačimo tangentu β pronađenu iz trokuta pomaka i trokuta brzine:

(1.7)

Nakon toga izražavamo vrijednost brzine:

Kao što se može vidjeti iz izvođenja izraza za prvu kosmičku brzinu, svako tijelo koje se kreće oko Zemlje ovom brzinom mijenja smjer brzine zbog stalnog pada na tlo. a ova promjena dovodi do činjenice da je vektor brzine uvijek paralelan sa zemljinom površinom.

Kretanje sa vektorom konstantne brzine naziva se uniformno. Općenito, brzina varira i po veličini i po smjeru.

Da bi se okarakterizirala brzina promjene brzine, uvodi se koncept ubrzanje. Ubrzanje je omjer povećanja brzine u beskonačno malom vremenskom intervalu prema ovom intervalu, tj. derivat brzine u odnosu na vrijeme

Vektor ubrzanja se također može proširiti duž koordinatnih osa:

Modul vektora ubrzanja jednak je:

. (1.11)

Zamjenjujući u (1.9) izraz za brzinu kao derivaciju radijus vektora tijela, dobijamo izraz za ubrzanje u obliku drugog izvoda radijus vektora s obzirom na vrijeme:

Primjer. Vektor radijusa pokretne tačke je dat sledećim izrazom:

Odredite prirodu kretanja, brzinu i ubrzanje.

Da bismo odredili prirodu kretanja, izračunavamo modul radijus vektora:

Dakle, kada se tačka pomeri |r|-const. Možemo zaključiti da se radi o kretanju duž kružnice poluprečnika R sa središtem u ishodištu.

Izračunajte brzinu tačke:

Modul brzine:

Modul brzine se također ne mijenja u vremenu, dakle, radi se o kretanju u krugu sa konstantnim modulom brzine.

Definirajmo ubrzanje tačke:

Upoređujući formule za radijus vektor tačke i njeno ubrzanje, vidimo da one izražavaju suprotno usmjerene vektore. Ako je vektor radijusa usmjeren od centra putanje do točke, tada je vektor ubrzanja usmjeren od tačke do centra putanje. U ovom slučaju, modul ubrzanja se ne mijenja u vremenu i jednak je |a|=Rω 2 . Izračunajmo skalarni proizvod vektora brzine i ubrzanja:

Stoga su u ovom primjeru vektori brzine i ubrzanja okomiti jedan na drugi.

U opštem slučaju, vektori brzine i ubrzanja formiraju neku vrstu ugla. Pogodno je razložiti vektor ubrzanja na dvije komponente. Jedan od njih je paralelan (ili antiparalelan) vektoru brzine i naziva se tangencijalni komponenta ubrzanja. Drugi je okomit na vektor brzine, zove se normalno komponenta ubrzanja. Tangencijalna komponenta ubrzanja izražava promjenu modula brzine, a normalna komponenta - promjenu smjera brzine. U primjeru o kojem se gore govori, tangencijalna komponenta ubrzanja je nula. Kao rezultat toga, brzina se mijenja samo u smjeru, njen modul ostaje nepromijenjen.

U opštem slučaju, ukupni modul ubrzanja je određen Pitagorinom teoremom:

1.3. Kinematika rotacionog kretanja, vektor ugaone brzine, odnos linearne i ugaone brzine tačke, vektor ugaonog ubrzanja.

Kružno kretanje je privatna, ali vrlo česta vrsta kretanja. Za njega se uvode takve dodatne kinematičke karakteristike kao ugaona brzina - ω I ugaono ubrzanje - ε.

Vrijednost ugaone brzine w definira se kao odnos prirasta ugla - dj, za koji će se polumjerni vektor tačke okrenuti u vremenu dt, prema ovom vremenskom intervalu tj.

Ovo je vrlo prirodna definicija. Međutim, prema (1.18), i kut rotacije i kutna brzina definirani su kao vektorske veličine. U budućnosti ćemo vidjeti da će se takva definicija kutnih veličina pokazati vrlo zgodnom i produktivnom. Smjer vektora kuta rotacije određen je pravilom desnog vijka: ako se desni vijak okrene u smjeru prirasta pozitivnog kuta, tada će translacijsko kretanje vijka pokazati smjer vektora povećanja kuta.

Slična definicija se već danas susrela u definiciji vektorskog proizvoda. Zaista, ako izrazimo povećanje radijus vektora tačke koja se kreće duž kružnice kada rotira za ugao ∆φ, onda ćemo dobiti sljedeću formulu

(1.19)

Vektor linearne brzine kada se tačka kreće duž kružnice sa ugaonom brzinom ω određuje se na osnovu (1.19)

> Prosječna vektorska brzina: grafička interpretacija

prosječna brzina po vektorskoj količini: definicija, kako pronaći prosječnu brzinu tijela, jedinica mjerenja vektorske brzine, formula i proračun.

Prosječna brzina vektora– promjena položaja tokom kretanja.

Zadatak učenja

• Razumjeti konstantnu brzinu i fizičku.

Ključne točke

• Prosječna brzina se izračunava određivanjem ukupnog pomaka podijeljenog s vremenom putovanja.
• Prosječna brzina ne govori ništa o tome šta se dešava sa objektom između dvije tačke.
• Srednja vektorska brzina razlikuje se od skalarne po tome što uzima u obzir smjer kretanja i ukupnu promjenu položaja.

Termin

Vektorska brzina je veličina koja pokazuje brzinu promjene položaja u vremenu ili smjeru.

Ako govorimo o svakodnevnom životu, onda se vektorska i skalarna brzina jednostavno nazivaju brzina i ne prave nikakvu razliku. Ali u fizici su jasno vidljivi. Skalarna brzina ima samo veličinu, dok vektorska srednja brzina dodaje smjer veličini.

Prosječna skalarna brzina izračunava se kao pređena udaljenost za vrijeme ukupnog vremena putovanja. Vektor je promjena položaja tokom cijelog vremena kretanja.

Vmean = Δx/t

SI jedinica za brzinu je m/s, ali može biti i km/h, mph, cm/s. Recimo da je putniku u vozu trebalo 5 sekundi da se pomakne -4m (negativni znak označava kretanje unazad). Tada je prosječna brzina vektora:

V = Δx/t = -4m/5s = -0,8 m/s.

Međutim, ovi podaci ne govore ništa o tome šta se dogodilo sa objektom između dvije tačke. Nećemo moći da saznamo da li je stao ili se vratio. Da biste saznali detalje, morat ćete uroniti u manje vremenske intervale.

Pogledajmo još jedan primjer kako bismo povukli jasnu liniju između vektorskih i skalarnih brzina. Recimo da ste se našli u malom pravougaoniku. Krećete se 3m sjeverno, 4m istočno, 3m južno i 4m zapadno. Sve ovo je trajalo pola minute. Proračun skalara će početi pokrivanjem cijele udaljenosti (3 + 4 + 3 + 4 = 14 m), a odavde - 14/30 = 0,47 m/s.

Međutim, vektor s vremenom reagira na pomicanje. Vratili ste se na početnu tačku, tako da je pomak = 0. Dakle, prosječna vektorska brzina je 0 m/s.

(1 ocjene, prosjek: 5,00 od 5)

Brzina je vektorska veličina koja karakterizira ne samo brzinu kretanja čestice duž putanje, već i smjer u kojem se čestica kreće u svakom trenutku vremena.

Prosječna brzina tokom vremena od t1 prije t2 jednak je omjeru kretanja za to vrijeme i vremenskog intervala za koji se ovo kretanje dogodilo:

Činjenicu da je ovo prosječna brzina primijetit ćemo tako što ćemo prosječnu vrijednost staviti u uglaste zagrade:<...>, kao što je gore urađeno.

Gornja formula za vektor prosječne brzine je direktna posljedica opće matematičke definicije prosječne vrijednosti<f(x)> proizvoljna funkcija f(x) na intervalu [ a,b]:

Zaista

Prosječna brzina može biti previše gruba karakteristika kretanja. Na primjer, prosječna brzina tokom perioda oscilacija je uvijek nula, bez obzira na prirodu tih oscilacija, iz jednostavnog razloga što će se tokom nekog perioda - po definiciji perioda - oscilirajuće tijelo vratiti na svoju početnu tačku i, prema tome, pomak tokom perioda je uvijek nula. Iz ovog i niza drugih razloga uvodi se trenutna brzina – brzina u datom trenutku vremena. Ubuduće ćemo, podrazumijevajući trenutnu brzinu, pisati jednostavno: "brzina", izostavljajući riječi "trenutačno" ili "u datom trenutku" kad god to ne može dovesti do nesporazuma. Da biste dobili brzinu u trenutku t moramo učiniti očiglednu stvar: izračunati granicu omjera kada vremenski interval teži ka t2 – t1 na nulu. Preimenujmo: t1 = t I t 2 \u003d t + i prepiši gornju relaciju kao:

Brzina na vreme t jednaka je granici odnosa kretanja u vremenu i vremenskog intervala tokom kojeg se ovo kretanje odvijalo, kada potonje teži nuli

Rice. 2.5. Za definiciju trenutne brzine.

Trenutno ne razmatramo pitanje postojanja ove granice, pod pretpostavkom da ona postoji. Imajte na umu da ako postoji konačan pomak i konačan vremenski interval, tada su i njihove granične vrijednosti: beskonačno mali pomak i infinitezimalni interval vremena. Dakle, desna strana definicije brzine

nije ništa više od razlomka - količnik dijeljenja sa , tako da se posljednji omjer može prepisati i prilično se često koristi u obliku

Prema geometrijskom značenju derivacije, vektor brzine u svakoj tački putanje je usmjeren tangencijalno na putanju u ovoj tački u smjeru njenog kretanja.

Video 2.1. Vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju. Eksperiment sa oštrilom.

Bilo koji vektor se može proširiti u bazi (za jedinične vektore baze, drugim riječima, jedinične vektore koji određuju pozitivne smjerove osa OX,OY,oz koristimo notaciju , , ili , respektivno). Koeficijenti ove ekspanzije su projekcije vektora na odgovarajuće ose. Važno je sljedeće: u algebri vektora je dokazano da je proširenje u smislu baze jedinstveno. Proširimo radijus vektor neke pokretne materijalne tačke u smislu baze

Uzimajući u obzir konstantnost kartezijanskih jediničnih vektora , , , ovaj izraz ćemo razlikovati s obzirom na vrijeme

S druge strane, ekspanzija u smislu osnove vektora brzine ima oblik

poređenjem posljednja dva izraza, uzimajući u obzir jedinstvenost ekspanzije bilo kojeg vektora u smislu baze, daje se sljedeći rezultat: projekcije vektora brzine na kartezijanske ose jednake su vremenskim derivatima odgovarajućih koordinata, tj. je

Modul vektora brzine je

Hajde da dobijemo još jedan, važan izraz za modul vektora brzine.

Već je napomenuto da za vrijednost || sve manje različit od odgovarajućeg puta (vidi sliku 2). Zbog toga

i u granici (>0)

Drugim riječima, modul brzine je derivat prijeđenog puta u odnosu na vrijeme.

Konačno imamo:

Prosječni modul vektora brzine, definira se na sljedeći način:

Prosječna vrijednost modula vektora brzine jednaka je omjeru prijeđenog puta i vremena za koje je ovaj put pređen:

Evo s(t1,t2)- put u vremenu od t1 prije t2 i shodno tome, s(t0,t2)- put u vremenu od t0 prije t2 I s(t0,t2)- put u vremenu od t0 prije t1.

Vektor prosječne brzine, ili jednostavno prosječna brzina kao što je gore, je

Imajte na umu da je, prije svega, ovo vektor, njegov modul - modul srednjeg vektora brzine ne treba brkati sa prosječnom vrijednošću modula vektora brzine. U opštem slučaju, oni nisu jednaki: modul prosječnog vektora uopće nije jednak srednjem modulu ovog vektora. Dvije operacije: obračun modula i izračun prosjeka, u opštem slučaju, ne mogu se zamijeniti.

Razmotrimo primjer. Neka se tačka kreće u jednom smjeru. Na sl. 2.6. prikazuje grafik putanje koju je prešla s u to vrijeme (za vrijeme od 0 prije t). Koristeći fizičko značenje brzine, koristite ovaj grafikon da pronađete trenutak u vremenu u kojem je trenutna brzina jednaka prosječnoj brzini tla za prve sekunde kretanja tačke.

Rice. 2.6. Određivanje trenutne i prosječne brzine tijela

Modul brzine u datom trenutku

budući da je derivacija putanje u odnosu na vrijeme, jednaka je ugaonom koeficijentu ljuljanja na grafu zavisnosti do tačke koja odgovara trenutku vremena t*. Prosječan modul brzine za vremenski period od 0 prije t* je nagib sekante koja prolazi kroz tačke istog grafa koji odgovaraju početku t = 0 i kraj t = t* vremenski interval. Moramo pronaći takav trenutak na vrijeme t* kada su oba nagiba ista. Da bismo to učinili, crtamo pravu liniju kroz ishodište koordinata, tangentu na putanju. Kao što se može vidjeti sa slike, dodirna tačka ove prave linije s(t) i daje t*. U našem primjeru dobijamo