METODA KRETANJA POSTAVKE

Određivanje brzine tačke

Brzina je vektorska veličina koja karakterizira brzinu i smjer kretanja tačke u datom referentnom okviru.

At vektorski način Zadatak kretanja, položaj pokretne tačke u svakom trenutku vremena određen je radijus vektorom, koji je funkcija vremena. Neka trenutno t tačka zauzima poziciju M, određen radijus vektorom, a trenutno - pozicijom M 1 , određen radijus vektorom (slika 8.6). Iz trougla OMM 1,

.

Rice. 8.6 Sl. 8.7

Kada se tačka pomjeri, njen radijus vektor se povećava:

Iz posljednje dvije jednakosti slijedi da je vektor pomaka tačke prirast vektora radijusa tačke u vremenskom intervalu t.

Odnos vektora pomaka i vremenskog intervala t, tokom kojeg se ovo kretanje dogodilo, je vektor prosječne brzine imaginarnog kretanja tačke duž tetive MM 1:

Smjer vektora je isti kao i smjer Δ. Sa smanjenjem vremenskog intervala Δ t i približavajući se nuli, vektor Δ takođe teži nuli, a vektor - do neke granice. Ova granica je vektor brzine tačke u ovom trenutku t:

.

Pošto Δ t- prirast skalarni argument t, a Δ je prirast vektorske funkcije , tada je granica relacije at vektorski izvod od on t:

dakle, vektor brzine tačke u datom trenutku jednak je derivaciji radijus-vektora tačke u odnosu na vreme.

Vektor je usmjeren duž tetive MM 1 u smjeru kretanja tačke. Kada je Δ t ide na nultu tačku M 1 teži jednoj tački M, odnosno granični položaj sekante MM 1 je tangenta.

Iz toga slijedi vektor brzine tačke je usmeren tangencijalno na putanju u pravcu kretanja tačke.

Kada se tačka kreće duž krivolinijske putanje, smjer vektora brzine se kontinuirano mijenja (slika 8.8).

Tačka brzina je neujednačena krivolinijsko kretanje varira i po veličini i po pravcu.

Obratite pažnju na brojne pozicije pokretne tačke na putanji M 1 , M 2 , M 3 , M 4 i pokažite na ovim pozicijama brzine tačke (Sl. 8.8, a).

Biranje u svemiru fiksna tačka O 1, od ove tačke izdvajamo vektore geometrijski jednake brzinama (Sl. 8.8, b). Ako iz tačke O 1 odvojene brzine koje odgovaraju svim pozicijama tačke M na krivini AB, i spojite krajeve ovih vektora, dobićete liniju CD, biće hodograf brzine.

dakle, hodograf brzine je lokus krajeva vektora brzina pokretne tačke, nacrtan iz iste proizvoljne tačke u prostoru.

Predstavimo na sl. 8.9, a putanja tačke AB i njegovu brzinu u bilo kom trenutku t, i na sl. 8.9, b - hodograf brzine CD ovu tačku.

Hajdemo kroz tačku O 1 koordinatna osa X, Y, Z, paralelno sa glavnim osovinama x,y,z. Zatim radijus vektor bilo koje tačke N hodograf brzine CDće biti brzina i koordinate hodografskih tačaka X, Y, Zće biti jednaka projekcijama brzine na koordinatne osi:

Ove jednačine su parametarske jednačine hodograf brzine.

Određivanje ubrzanja tačke

Kod neravnomjernog krivolinijskog kretanja tačke mijenjaju se modul i smjer njene brzine. Ubrzanje tačke karakteriše brzinu promene modula i smer brzine tačke.

Pretpostavimo to u to vrijeme t tačka zauzima poziciju M i ima brzinu i vrijeme ona zauzima poziciju M 1 i ima brzinu (sl. 8.10, a).

Odrediti prirast vektora brzine u vremenskom intervalu Δ t. Da biste to učinili, ostavite po strani od točke M brzinu i konstruirajte paralelogram u ovoj tački, čija će jedna strana biti brzina , a dijagonala je brzina.

Tada će druga strana paralelograma biti prirast vektora brzine, jer

.

Dijeljenje priraštaja vektora brzine sa vremenskim intervalom Δ t, dobijamo vektor prosečnog ubrzanja tačke za ovaj interval:

Ovaj vektor ima pravac i stoga je usmjeren prema konkavnosti krive. Konstruisanjem hodografa brzine CD(Sl. 13,b), odložite brzine v i v 1 , prirast vektora brzine , kao i prosječni vektor ubrzanja usmjeren duž tetive NN 1 hodograf brzine. Granica kojoj teži vektor srednjeg ubrzanja kada je Δ t teži nuli, je vektor ubrzanja tačke α u datom trenutku t: je u ravni koja prolazi kroz tačku tangentu na putanju M i prava paralelna sa tangentom u tački M 1 (Sl. 10a). Granični položaj ove ravni kako tačka teži M 1 do tačke M pozvao kontinualna ravan.

Iz toga slijedi lociran vektor ubrzanja tačke in kontinualne ravni i usmjerena je prema udubljenosti krive.

Ako je kriva ravna, tada je tangentna ravan ravan krive i vektor ubrzanja leži u ovoj ravni.

Brzina tačke je vektor koji u svakom trenutku određuje brzinu i pravac kretanja tačke.

Brzina ravnomerno kretanje određuje se odnosom putanje koju je prešla tačka u određenom vremenskom periodu i vrijednosti ovog vremenskog perioda.

Speed; S-way; t-vrijeme.

Brzina se mjeri u jedinicama dužine podijeljenoj s jedinicom vremena: m/s; cm/s; km/h itd.

U slučaju pravolinijskog kretanja, vektor brzine je usmjeren duž putanje u smjeru njegovog kretanja.

Ako tačka putuje nejednakim putanjama u jednakim vremenskim intervalima, tada se ovo kretanje naziva neravnomjernim. Brzina je varijabla i funkcija je vremena.

Prosječna brzina tačke u datom vremenskom periodu je brzina takvog ravnomjernog pravolinijskog kretanja pri kojoj bi tačka primila isto kretanje tokom ovog vremenskog perioda kao u svom razmatranom kretanju.

Razmotrimo tačku M koja se kreće duž krivolinijske putanje zadane zakonom

Tokom vremenskog intervala? t, tačka M će se pomeriti u poziciju M 1 duž luka MM 1. Ako je vremenski interval? t mali, tada se luk MM 1 može zameniti tetivom i, u prvoj aproksimaciji, naći prosječna brzina kretanje tačke

Ova brzina je usmjerena duž tetive od tačke M do tačke M 1 . Pravu brzinu pronalazimo tako što idemo do granice kada je? t> 0

Kada je?t> 0, smjer tetive u granici poklapa se sa smjerom tangente na putanju u tački M.

Dakle, vrijednost brzine jedne tačke je definirana kao granica omjera prirasta putanje i odgovarajućeg vremenskog intervala pošto potonji teži nuli. Smjer brzine se poklapa sa tangentom putanje u datoj tački.

tačka ubrzanja

Imajte na umu da se u općem slučaju, kada se krećete krivolinijskom putanjom, brzina točke mijenja i po smjeru i po veličini. Promjena brzine po jedinici vremena određena je ubrzanjem. Drugim rečima, ubrzanje tačke je veličina koja karakteriše brzinu promene brzine tokom vremena. Ako se za vremenski interval?t brzina promijeni za vrijednost, tada je prosječno ubrzanje

Pravo ubrzanje tačke u datom trenutku t je vrijednost kojoj teži prosječno ubrzanje kada? t\u003e 0, tj.

Sa vremenskim intervalom koji teži nuli, vektor ubrzanja će se promijeniti i po veličini i po smjeru, težeći svojoj granici.

Dimenzija ubrzanja

Ubrzanje se može izraziti u m/s 2 ; cm/s 2 itd.

U opštem slučaju, kada je kretanje tačke dato na prirodan način, vektor ubrzanja se obično razlaže na dve komponente usmerene duž tangente i duž normale na putanju tačke.

Tada se ubrzanje tačke u trenutku t može predstaviti kao

Označimo konstitutivne granice sa i.

Smjer vektora ne zavisi od veličine vremenskog intervala?t.

Ovo ubrzanje se uvijek poklapa sa smjerom brzine, odnosno usmjereno je tangencijalno na putanju točke i stoga se naziva tangencijalno ili tangencijalno ubrzanje.

Druga komponenta ubrzanja tačke usmjerena je okomito na tangentu putanje u ovoj tački prema konkavnosti krive i utiče na promjenu smjera vektora brzine. Ova komponenta ubrzanja se zove normalno ubrzanje.

Pošto je numerička vrijednost vektora jednaka priraštaju brzine tačke u razmatranom vremenskom intervalu?t, onda je numerička vrijednost tangencijalnog ubrzanja

Numerička vrijednost tangencijalnog ubrzanja tačke jednaka je vremenskom izvodu numeričke vrijednosti brzine. Numerička vrijednost normalnog ubrzanja tačke jednaka je kvadratu brzine tačke podijeljenom polumjerom krivine putanje u odgovarajućoj tački na krivulji

Ukupno ubrzanje u slučaju neujednačenog krivolinijskog kretanja tačke geometrijski je sastavljeno od tangencijalnog i normalnog ubrzanja.

Na primjer, automobil koji krene brže se kreće kako povećava brzinu. Na početnoj tački, brzina automobila je nula. Započevši kretanje, automobil ubrzava do određene brzine. Ako treba da usporite, automobil se neće moći zaustaviti odmah, već neko vrijeme. Odnosno, brzina automobila će težiti nuli - automobil će se početi polako kretati dok se potpuno ne zaustavi. Ali fizika nema izraz "usporavanje". Ako se tijelo kreće, smanjujući brzinu, ovaj proces se također naziva ubrzanje, ali sa znakom "-".

Prosečno ubrzanje je omjer promjene brzine i vremenskog intervala tokom kojeg se ta promjena dogodila. Izračunajte prosječno ubrzanje koristeći formulu:

gdje je . Smjer vektora ubrzanja je isti kao i smjer promjene brzine Δ = - 0

gdje je 0 početna brzina. U trenutku t1(vidi sliku ispod) tijelo ima 0 . U trenutku t2 telo ima brzinu. Na osnovu pravila oduzimanja vektora određujemo vektor promjene brzine Δ = - 0 . Odavde izračunavamo ubrzanje:

.

U SI sistemu jedinica za ubrzanje naziva se 1 metar u sekundi u sekundi (ili metar u sekundi na kvadrat):

.

Metar u sekundi na kvadrat je ubrzanje tačke koja se kreće pravolinijski, pri čemu se brzina ove tačke povećava za 1 m/s u 1 s. Drugim riječima, ubrzanje određuje stepen promjene brzine tijela za 1 s. Na primjer, ako je ubrzanje 5 m / s 2, tada se brzina tijela povećava za 5 m / s svake sekunde.

Trenutačno ubrzanje tijela ( materijalna tačka) u datom trenutku je fizička veličina koja je jednaka granici kojoj teži prosječno ubrzanje kada vremenski interval teži 0. Drugim riječima, ovo je ubrzanje koje tijelo razvije u vrlo malom vremenskom periodu:

.

Ubrzanje ima isti smjer kao i promjena brzine Δ u izuzetno malim vremenskim intervalima tokom kojih se brzina mijenja. Vektor ubrzanja se može postaviti korištenjem projekcija na odgovarajuće koordinatne ose u datom referentnom sistemu (projekcije a X, a Y, a Z).

Sa ubrzanim pravolinijsko kretanje brzina tijela raste po modulu, tj. v 2 > v 1 , a vektor ubrzanja ima isti smjer kao i vektor brzine 2 .

Ako se modulo brzina tijela smanji (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем usporavanje(ubrzanje je negativno, i< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Ako postoji kretanje duž krivolinijske putanje, tada se mijenjaju modul i smjer brzine. To znači da je vektor ubrzanja predstavljen kao 2 komponente.

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje nazovimo onu komponentu vektora ubrzanja, koja je usmjerena tangencijalno na putanju u datoj tački putanje kretanja. Tangencijalno ubrzanje opisuje stepen promjene brzine po modulu pri krivolinijskom kretanju.

At tangencijalni vektori ubrzanjaτ (vidi sliku iznad) smjer je isti kao i smjer linearna brzina ili suprotno tome. One. vektor tangencijalnog ubrzanja je u istoj osi kao i tangentni krug, što je putanja tijela.

Uvodimo jedinični vektor τ povezan s pokretnom tačkom A i usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru povećanja koordinata luka (slika 1.6). Očigledno, τ je varijabilni vektor: zavisi od l. Vektor brzine v tačke A usmjeren je tangencijalno na putanju, pa se može predstaviti na sljedeći način

gdje je v τ =dl/dt projekcija vektora v na smjer vektora τ, a v τ je algebarska veličina. Štaviše, |v τ |=|v|=v.

tačka ubrzanja

Razlikovati (1.22) s obzirom na vrijeme

(1.23)

Hajde da transformišemo poslednji član ovog izraza

(1.24)

Definirajmo prirast vektora τ za dl (slika 1.7).

Kao što se može vidjeti sa sl. 1,7, ugao , odakle , i na .

Uvodeći jedinični vektor n normale na putanju u tački 1, usmjeren prema centru zakrivljenosti, zapisujemo posljednju jednakost u vektorskom obliku

Zamjenjujemo (1.23) u (1.24), a rezultirajući izraz u (1.22). Kao rezultat, nalazimo

(1.26)

Ovdje se zove prvi pojam tangencijalni a τ , drugi - normalno a n .

dakle, puno ubrzanje a tačke se mogu predstaviti kao geometrijski zbir tangencijalna i normalna ubrzanja.

Modul pune tačke ubrzanja

(1.27)

Usmjeren je prema konkavnosti putanje pod kutom α prema vektoru brzine, i .

Ako je ugao α oštar, onda je tgα>0, dakle, dv/dt>0, pošto je v 2 /R>0 uvijek.

U ovom slučaju, veličina brzine raste s vremenom - kretanje se naziva ubrzano(Sl. 1.8).

U slučaju kada se brzina vremenom smanji po veličini, kretanje se naziva sporo(Sl. 1.9).

Ako je ugao α=90°, tgα=∞, odnosno dv/dt=0. U ovom slučaju, brzina se ne mijenja po veličini tokom vremena, a ukupno ubrzanje će biti jednako centripetalnom

(1.28)

Konkretno, ukupno ubrzanje uniforme rotaciono kretanje(R=const, v=const) da centripetalno ubrzanje, jednaka po veličini a n = v 2 /R i cijelo vrijeme usmjerena prema centru.

U pravolinijskom kretanju, naprotiv, ukupno ubrzanje tijela jednako je tangencijalnom. U ovom slučaju, a n =0, budući da se pravolinijska putanja može smatrati krugom beskonačno velikog radijusa, a kada je R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .

Sada neka funkcija bude poznata. Na sl. 5.10
i
 vektori brzine pokretne tačke u momentima t i  t. Da biste dobili prirast vektora brzine
pomerati vektor paralelno
upravo M:

Prosečno ubrzanje tačke tokom vremenskog perioda  t je omjer prirasta vektora brzine
na vremenski interval t:

dakle, ubrzanje tačke u datom trenutku je jednako prvom vremenskom izvodu vektora brzine tačke ili drugom vremenskom izvodu vektora radijusa

. (5.11)

tačka ubrzanja ovo je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene vektora brzine u odnosu na vrijeme.

Napravimo hodograf brzine (Sl.5.11). Po definiciji, hodograf brzine je kriva koju kraj vektora brzine crta kada se tačka kreće, ako je vektor brzine nacrtan iz iste tačke.

Određivanje brzine tačke koordinatnom metodom određivanja njenog kretanja

Neka je kretanje tačke dato na koordinatni način u Kartezijanski sistem koordinate

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radijus-vektor tačke je jednak

.

Pošto su jedinični vektori
konstanta, onda po definiciji

. (5.12)

Označimo projekcije vektora brzine na ose Oh, OU i Oz kroz V x , V y , V z

(5.13)

Upoređujući jednakosti (5.12) i (5.13) dobijamo

(5.14)

U nastavku će se vremenski izvod označavati tačkom odozgo, tj.

.

Modul brzine tačke određen je formulom

. (5.15)

Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjera:

Određivanje ubrzanja tačke koordinatnom metodom određivanja njenog kretanja

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je

.

A-prioritet

Označimo projekcije vektora ubrzanja na ose Oh, OU i Oz kroz a x , a y , a z odnosno proširiti vektor brzine duž osi:

. (5.17)

Upoređujući jednakosti (5.16) i (5.17) dobijamo

Modul vektora ubrzanja tačke izračunava se slično kao i modul vektora brzine tačke:

, (5.19)

a smjer vektora ubrzanja je kosinus smjera:

Određivanje brzine i ubrzanja tačke sa prirodnim načinom određivanja njenog kretanja

Ova metoda koristi prirodne ose sa ishodištem na trenutnoj poziciji tačke M na trajektoriji (slika 5.12) i jediničnim vektorima Jedinični vektor usmjerena tangencijalno na putanju u smjeru pozitivne reference luka, jediničnog vektora usmjerena duž glavne normale putanje prema njenoj konkavnosti, jediničnom vektoru usmjerena duž binormalne na putanju u tački M.

Horts i lezi u kontinualna ravan, orts i in normalan avion, orts i  u ravnina za ispravljanje.

Dobijeni triedar se naziva prirodnim.

Neka je zadan zakon kretanja tačke s = s(t).

radijus vektor bodova M u odnosu na neku fiksnu tačku biće složena funkcija vremena
.

Iz diferencijalne geometrije poznate su formule Serre-Fresnet, koje uspostavljaju veze između jediničnih vektora prirodnih osa i vektorske funkcije krivulje.

gdje je  polumjer zakrivljenosti putanje.

Koristeći definiciju brzine i Serre Frenet formulu, dobijamo:

. (5.20)

Označavajući projekciju brzine na tangentu a uzimajući u obzir da je vektor brzine tangencijalno usmjeren, imamo

. (5.21)

Upoređujući jednakosti (5.20) i (5.21), dobijamo formule za određivanje vektora brzine po veličini i pravcu

Vrijednost je pozitivna ako je tačka M kreće se u smjeru pozitivnog luka s a inače negativan.

Koristeći definiciju ubrzanja i Serre Frenet formulu, dobijamo:

Označimo projekciju ubrzanja tačke na tangentu , glavna normalna i binormalna
respektivno.

Tada je ubrzanje

Iz formula (5.23) i (5.24) slijedi da vektor ubrzanja uvijek leži u susjednoj ravni i širi se u smjerovima i :

(5.25)

Projekcija ubrzanja na tangentu
pozvao tangenta ili tangencijalno ubrzanje. Karakterizira promjenu veličine brzine.

Projekcija ubrzanja na glavnu normalu
pozvao normalno ubrzanje. Karakterizira promjenu vektora brzine u smjeru.

Modul vektora ubrzanja je jednak
.

Ako a i jedan znak, tada će se kretanje tačke ubrzati.

Ako a i različitih znakova, tada će kretanje tačke biti sporo.