Sada neka funkcija bude poznata. Na sl. 5.10
i
 vektori brzine pokretne tačke u momentima t i  t. Da biste dobili prirast vektora brzine
pomerati vektor paralelno
upravo M:

Prosečno ubrzanje tačke tokom vremenskog perioda  t je omjer prirasta vektora brzine
na vremenski interval t:

shodno tome, ubrzanje tačke u datom trenutku je jednako prvom vremenskom izvodu vektora brzine tačke ili drugom vremenskom izvodu vektora radijusa

. (5.11)

tačka ubrzanje ovo je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene vektora brzine u odnosu na vrijeme.

Napravimo hodograf brzine (Sl.5.11). Po definiciji, hodograf brzine je kriva koju kraj vektora brzine crta kada se tačka kreće, ako je vektor brzine nacrtan iz iste tačke.

Određivanje brzine tačke koordinatnom metodom za određivanje njenog kretanja

Neka je kretanje tačke dato na koordinatni način u Dekartovom koordinatnom sistemu

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radijus-vektor tačke je jednak

.

Pošto su jedinični vektori
konstanta, onda po definiciji

. (5.12)

Označimo projekcije vektora brzine na ose Oh, OU i Oz kroz V x , V y , V z

(5.13)

Upoređujući jednakosti (5.12) i (5.13) dobijamo

(5.14)

U nastavku će se vremenski izvod označavati tačkom odozgo, tj.

.

Modul brzine tačke određen je formulom

. (5.15)

Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjera:

Određivanje ubrzanja tačke koordinatnom metodom određivanja njenog kretanja

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je

.

Po definiciji

Označimo projekcije vektora ubrzanja na ose Oh, OU i Oz kroz a x , a y , a z odnosno proširiti vektor brzine duž osi:

. (5.17)

Upoređujući jednakosti (5.16) i (5.17) dobijamo

Modul vektora ubrzanja tačke izračunava se slično kao i modul vektora brzine tačke:

, (5.19)

a smjer vektora ubrzanja je kosinus smjera:

Određivanje brzine i ubrzanja tačke sa prirodnim načinom određivanja njenog kretanja

Ova metoda koristi prirodne ose sa ishodištem na trenutnoj poziciji tačke M na trajektoriji (slika 5.12) i jediničnim vektorima Jedinični vektor usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru pozitivne reference luka, jedinični vektor usmjerena duž glavne normale putanje prema njenoj konkavnosti, jediničnom vektoru usmjerena duž binormale na putanju u tački M.

Horts i lezi u kontinualna ravan, orts i in normalan avion, orts i  u ravnina za ispravljanje.

Dobijeni triedar se naziva prirodnim.

Neka je zadan zakon kretanja tačke s = s(t).

radijus vektor bodova M u odnosu na neku fiksnu tačku biće složena funkcija vremena
.

Iz diferencijalne geometrije poznate su formule Serre-Fresnet, koje uspostavljaju veze između jediničnih vektora prirodnih osa i vektorske funkcije krivulje.

gdje je  polumjer zakrivljenosti putanje.

Koristeći definiciju brzine i Serre Frenet formulu, dobijamo:

. (5.20)

Označavajući projekciju brzine na tangentu a uzimajući u obzir da je vektor brzine tangencijalno usmjeren, imamo

. (5.21)

Upoređujući jednakosti (5.20) i (5.21), dobijamo formule za određivanje vektora brzine po veličini i pravcu

Vrijednost je pozitivna ako je tačka M kreće se u smjeru pozitivnog luka s a inače negativan.

Koristeći definiciju ubrzanja i Serre Frenet formulu, dobijamo:

Označimo projekciju ubrzanja tačke na tangentu , glavna normalna i binormalna
respektivno.

Tada je ubrzanje

Iz formula (5.23) i (5.24) slijedi da vektor ubrzanja uvijek leži u susjednoj ravni i širi se u smjerovima i :

(5.25)

Projekcija ubrzanja na tangentu
pozvao tangenta ili tangencijalno ubrzanje. Karakterizira promjenu veličine brzine.

Projekcija ubrzanja na glavnu normalu
pozvao normalno ubrzanje. Karakterizira promjenu vektora brzine u smjeru.

Modul vektora ubrzanja je jednak
.

Ako a i jedan znak, tada će se kretanje tačke ubrzati.

Ako a i različitih znakova, tada će kretanje tačke biti sporo.

Mehaničko kretanje je promjena tokom vremena u položaju tačaka i tijela u prostoru u odnosu na bilo koje glavno tijelo s kojim je povezan referentni okvir. Kinematika proučava mehaničko kretanje tačaka i tijela, bez obzira na sile koje uzrokuju ta kretanja. Svako kretanje, kao i mirovanje, je relativno i zavisi od izbora referentnog okvira.

Putanja tačke je neprekidna linija opisana pokretnom tačkom. Ako je putanja prava linija, tada se kretanje tačke naziva pravolinijsko, a ako je kriva, onda je krivolinijsko. Ako je putanja ravna, tada se kretanje tačke naziva ravno.

Kretanje tačke ili tijela smatra se zadanim ili poznatim ako je za svaki trenutak vremena (t) moguće naznačiti položaj tačke ili tijela u odnosu na odabrani koordinatni sistem.

Položaj tačke u prostoru određen je zadatkom:

a) putanje tačke;

b) početak očitavanja udaljenosti O 1 duž putanje (slika 11): s = O 1 M - krivolinijska koordinata tačke M;

c) smjer pozitivnog očitavanja udaljenosti s;

d) jednadžba ili zakon kretanja tačke duž putanje: S = s(t)

Tačkasta brzina. Ako tačka prelazi jednake udaljenosti u jednakim vremenskim intervalima, tada se njeno kretanje naziva ravnomerno. Brzina ravnomjernog kretanja mjeri se omjerom puta z koji je prešla tačka u određenom vremenskom periodu i vrijednosti ovog vremenskog perioda: v = s / 1. Ako tačka putuje nejednakim putanjama u jednakim vremenskim intervalima, tada se njeno kretanje naziva neravnomernim. Brzina je u ovom slučaju također promjenjiva i funkcija je vremena: v = v(t). Razmotrimo tačku A koja se kreće duž date putanje prema određenom zakonu s = s(t) (slika 12):

Za vremenski period t t. A pomaknuo se u poziciju A 1 duž luka AA. Ako je vremenski interval Δt mali, tada se luk AA 1 može zamijeniti tetivom i, u prvoj aproksimaciji, vrijednošću prosječna brzina kretanje tačke v cp = Ds/Dt. Prosječna brzina je usmjerena duž tetive od t. A do t. A 1.

Prava brzina tačke je usmerena tangencijalno na putanju, a njena algebarska vrednost određena je prvim izvodom putanje u odnosu na vreme:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Jedinica za tačku brzine: (v) = dužina/vrijeme, npr. m/s. Ako se tačka pomiče u smjeru povećanja krivolinijske koordinate s, tada je ds > 0, i stoga v > 0, inače ds< 0 и v < 0.

Ubrzanje tačke. Promjena brzine po jedinici vremena određena je ubrzanjem. Razmotrimo kretanje tačke A duž krivolinijske putanje u vremenu Δt od položaja A do položaja A 1 . U položaju A tačka je imala brzinu v , a u poziciji A 1 - brzinu v 1 (slika 13). one. brzina tačke se promijenila u veličini i smjeru. Nalazimo geometrijsku razliku, brzine Δv, konstruisanjem vektora v 1 iz tačke A.

Ubrzanje tačke naziva se vektor ", jednako prvom izvodu vektora brzine tačke u odnosu na vreme:

Pronađeni vektor ubrzanja a može se razložiti na dvije međusobno okomite komponente osim tangente i normale na putanju kretanja. Tangencijalno ubrzanje a 1 poklapa se u smjeru sa brzinom pri ubrzanom kretanju ili je suprotno njemu tijekom zamijenjenog kretanja. Karakterizira promjenu vrijednosti brzine i jednaka je vremenskom izvodu vrijednosti brzine

Normalni vektor ubrzanja a usmjeren je duž normale (okomite) na krivulju prema konkavnosti putanje, a njegov modul jednak je omjeru kvadrat brzine tačke prema poluprečniku zakrivljenosti putanje u tački koja se razmatra.

Normalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine duž
smjer.

Vrijednost punog ubrzanja: , m/s 2

Vrste kretanja tačke u zavisnosti od ubrzanja.

Uniforma pravolinijsko kretanje (kretanje po inerciji) karakterizira činjenica da je brzina kretanja konstantna, a polumjer zakrivljenosti putanje jednak beskonačnosti.

To jest, r = ¥, v = const, tada ; i zbog toga . Dakle, kada se tačka kreće po inerciji, njeno ubrzanje je nula.

Pravolinijsko neujednačeno kretanje. Polumjer zakrivljenosti putanje je r = ¥, a n = 0, dakle, a = a t i a = a t = dv/dt.

Neka je kretanje tačke M zadano na vektorski način, odnosno vektor radijusa tačke je dat kao funkcija vremena

Prava opisana krajem promjenljivog vektora, čiji je početak u datoj fiksnoj tački, naziva se hodograf ovog vektora. Odavde i iz definicije putanje slijedi sljedeće pravilo: putanja tačke je hodograf njenog radijus-vektora.

Neka u nekom trenutku t tačka zauzima poziciju M i ima radijus vektor, a u trenutku - poziciju i radijus vektor (slika 78).

Vektor koji povezuje uzastopne pozicije tačaka sa navedenim

momenta, naziva se vektor pomaka tačke u vremenu. Vektor pomaka se izražava kroz vrijednosti vektorske funkcije (5) kako slijedi:

Ako se vektor pomaka podijeli sa vrijednošću intervala , dobićemo vektor prosječne brzine tačke tokom vremena

Sada ćemo smanjiti interval , težeći ga na nulu. Granica kojoj teži vektor prosječne brzine sa neograničenim smanjenjem intervala naziva se brzina tačke u trenutku t ili jednostavno brzina tačke 0. U skladu sa onim što je rečeno za brzinu dobijamo:

Dakle, vektor brzine tačke jednak je vremenskoj derivaciji njenog vektora radijusa:

Budući da sekansa u granici (at ) prelazi u tangentu, zaključujemo da je vektor brzine usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.

U opštem slučaju, brzina tačke je takođe promenljiva, a može se zanimati i brzina promene brzine. Brzina promjene brzine naziva se ubrzanje tačke.

Da bismo odredili ubrzanje a, biramo neku fiksnu tačku A i iz nje crtamo vektor brzine u u različitim trenucima vremena.

Linija koju opisuje kraj N vektora brzine je hodograf brzine (slika 79). Promjena vektora brzine izražava se u činjenici da se geometrijska tačka N kreće duž hodografa brzine, a brzina ovog kretanja služi, po definiciji, kao ubrzanje tačke M.

1. Metode za određivanje kretanja tačke u datom referentnom sistemu

Glavni zadaci kinematike tačaka su:

1. Opis načina za određivanje kretanja tačke.

2. Određivanje kinematičkih karakteristika kretanja tačke (brzina, ubrzanje) prema datom zakonu kretanja.

mehaničko kretanje − promjena položaja jednog tijela u odnosu na drugo (referentno tijelo), koje je povezano sa koordinatnim sistemom tzv referentni sistem .

Lokus uzastopnih pozicija pokretne tačke u referentnom okviru koji se razmatra naziva se putanja bodova.

Set motion − predstavlja način na koji se može odrediti položaj tačke u bilo kojem trenutku u odnosu na odabrani referentni okvir. Glavni načini za određivanje kretanja tačke su:

vektorski, koordinatni i prirodni .

1.Vektorski način za postavljanje kretanja (Sl. 1).

Položaj tačke je određen radijus vektorom povučen iz fiksne tačke povezane sa referentnim tijelom: − vektorska jednačina kretanja tačke.

2. Koordinatni način postavljanja kretanja (Sl. 2).

U ovom slučaju koordinate tačke su date kao funkcija vremena:

- jednadžbe kretanja tačke u koordinatnom obliku.

Ovo i parametarske jednačine trajektorije pokretne tačke, u kojoj vrijeme igra ulogu parametra. Da bi se njegova jednačina zapisala u eksplicitnom obliku, potrebno je isključiti iz njih. U slučaju prostorne putanje, isključujući , dobijamo:

U slučaju ravne putanje

eliminisanjem dobijamo:

Ili .

3. Prirodan način definiranja kretanja (Sl. 3).

U ovom slučaju postavite:

1) putanja tačke,

2) referentna tačka na putanji,

3) pozitivan referentni smjer,

4) zakon promene koordinata luka: .

Ova metoda je pogodna za korištenje kada je putanja točke unaprijed poznata.

2. Brzina i tačka ubrzanja

Razmotrite kretanje tačke u kratkom vremenskom periodu(slika 4):

Zatim − prosječna brzina tačke za određeni vremenski period.

Brzina tačke u datom trenutku nalazi se kao granica prosječne brzine u :

Brzina tačke − je kinematička mjera njegovog kretanja, jednaka vremenska derivacija radijus vektora ove tačke u referentnom okviru koji se razmatra.

Vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju točke u smjeru kretanja.

Prosječno ubrzanje karakterizira promjenu vektora brzine u kratkom vremenskom periodu(Sl. 5).

Ubrzanje tačke u datom trenutku nalazi se kao granica prosječnog ubrzanja u :

Ubrzanje tačke − je mjera promjene njegove brzine, jednaka derivatu u vremenu od brzine ove tačke ili druge derivacije radijus vektora tačke u vremenu .

Ubrzanje tačke karakteriše promjenu vektora brzine u veličini i smjeru. Vektor ubrzanja je usmjeren prema konkavnosti putanje.

3. Određivanje brzine i ubrzanja tačke u koordinatni način zadaci kretanja

Odnos između vektorske metode zadavanja kretanja i koordinatne metode je dat relacijom

(Sl. 6).

Iz definicije brzine:

Projekcije brzine na koordinatne ose jednake su derivacijama odgovarajućih koordinata s obzirom na vrijeme

, , . .

Modul i smjer brzine određeni su izrazima:

Ovdje i ispod, tačka iznad označava diferencijaciju s obzirom na vrijeme

Iz definicije ubrzanja:

Projekcije ubrzanja na koordinatne ose jednake su drugim vremenskim derivacijama odgovarajućih koordinata:

, , .

Modul i smjer ubrzanja određuju se izrazima:

, , .

4 Brzina i ubrzanje tačke sa prirodnim načinom određivanja kretanja

4.1 Prirodne sjekire.

Određivanje brzine i ubrzanja tačke prirodnim načinom određivanja kretanja

Prirodne ose (tangenta, glavna normala, binormalna) su ose pokretnog pravougaonog koordinatnog sistema sa ishodištem u tački kretanja. Njihov položaj je određen putanjom kretanja. Tangenta (sa jediničnim vektorom) je usmjerena tangencijalno u pozitivnom smjeru referentne koordinate luka i nalazi se kao granična pozicija sekante koja prolazi kroz dati poen(Sl. 9). Dodirna ravan prolazi kroz tangentu (slika 10), koja se nalazi kao granični položaj ravni str jer tačka M1 teži tački M. Normalna ravan je okomita na tangentu. Linija preseka normalne i susedne ravni je glavna normala. Jedinični vektor glavne normale usmjeren je prema konkavnosti putanje. Binormala (sa jediničnim vektorom ) je usmjerena okomito na tangentu i glavnu normalu tako da orti , i čine desnu trojku vektora. Koordinatne ravni od uvedenog pokretnog koordinatnog sistema (kontinualnog, normalnog i ispravljajućeg) formiraju prirodni triedar, koji se kreće zajedno sa pokretnom tačkom, kao solidan. Njegovo kretanje u prostoru određeno je putanjom i zakonom promjene koordinata luka.

Iz definicije tačke brzine

gdje je , jedinični vektor tangente.

Onda

, .

Algebarska brzina − projekcija vektora brzine na tangentu jednaku vremenskom izvodu lučne koordinate. Ako je derivacija pozitivna, tada se tačka pomiče u pozitivnom smjeru referentne lučne koordinate.

Iz definicije ubrzanja

− usmjereni vektor i

Derivat je određen samo tipom putanje u blizini date tačke, dok uzimajući u obzir ugao rotacije tangente imamo

I zašto je to potrebno. Već znamo šta su referentni okvir, relativnost kretanja i materijalna tačka. Pa, vrijeme je da krenemo dalje! Ovdje ćemo pogledati osnovne koncepte kinematike, okupljajući najviše korisne formule o osnovama kinematike i dati praktičan primjer rješavanja zadatka.

Hajde da rešimo sledeći problem: Tačka se kreće u krugu poluprečnika 4 metra. Zakon njegovog kretanja izražava se jednačinom S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. U kom trenutku normalno ubrzanje tačka je 9 m/s^2? Pronađite brzinu, tangencijalnu i puno ubrzanje bodova za ovu tačku u vremenu.

Rješenje: znamo da da bismo pronašli brzinu, moramo uzeti prvi vremenski izvod zakona kretanja, a normalno ubrzanje je jednako privatnom kvadratu brzine i polumjera kružnice po kojoj se tačka kreće . Naoružani ovim znanjem, pronalazimo željene vrijednosti.

Trebate pomoć u rješavanju problema? Profesionalni studentski servis je spreman da to pruži.