Neki problemi iz matematike zahtijevaju sposobnost izračunavanja vrijednosti kvadratnog korijena. Ovi problemi uključuju rješavanje jednačina drugog reda. U ovom članku predstavljamo efikasnu metodu za izračunavanje kvadratnih korijena i koristimo je pri radu s formulama za korijene kvadratne jednadžbe.
Šta je kvadratni korijen?
U matematici, ovaj koncept odgovara simbolu √. Istorijski podaci govore da je prvi put počeo da se koristi oko prve polovine 16. veka u Nemačkoj (prvo nemačko delo o algebri Kristofa Rudolfa). Naučnici vjeruju da je ovaj simbol transformirano latinično slovo r (radix znači "korijen" na latinskom).
Korijen bilo kojeg broja jednak je takvoj vrijednosti, čiji kvadrat odgovara izrazu korijena. U jeziku matematike, ova definicija će izgledati ovako: √x = y ako je y 2 = x.
Korijen pozitivnog broja (x > 0) je također pozitivan broj (y > 0), ali ako uzmete korijen negativnog broja (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Evo dva jednostavna primjera:
√9 = 3 jer je 3 2 = 9; √(-9) = 3i pošto je i 2 = -1.
Heronova iterativna formula za pronalaženje vrijednosti kvadratnog korijena
Gore navedeni primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju javljati već pri pronalaženju korijenskih vrijednosti za bilo koju vrijednost koja se ne može predstaviti kao kvadrat prirodnog broja, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da se u praksi potrebno je pronaći korijene za necijele brojeve: na primjer √(12.15), √(8.5) i tako dalje.
U svim gore navedenim slučajevima treba koristiti posebnu metodu za izračunavanje kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje u Taylorov niz, podjela po stupcu i neke druge. Od svih poznatih metoda, možda je najjednostavnija i najefikasnija upotreba Heronove iterativne formule, koja je poznata i kao babilonska metoda za određivanje kvadratnih korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim proračunima).
Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena je sljedeća:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdje je lim n->∞ (a n) => x.
Hajde da dešifrujemo ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebate uzeti neki broj a 0 (može biti proizvoljan, međutim, da biste brzo dobili rezultat, trebali biste ga odabrati tako da (a 0) 2 bude što bliže x. Zatim ga zamijenite u naznačenu formulu za izračunavanje kvadratnog korijena i dobijete novi broj a 1, koji će već biti bliži željenoj vrijednosti. Nakon toga, potrebno je u izraz zamijeniti 1 i dobiti 2. Ovaj postupak treba ponavljati sve dok postiže se potrebna tačnost.
Primjer primjene Heronove iterativne formule
Za mnoge, algoritam za dobivanje kvadratnog korijena datog broja može zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti se sve ispostavi da je mnogo jednostavnije, budući da se ova formula vrlo brzo konvergira (naročito ako se odabere dobar broj a 0).
Navedimo jednostavan primjer: potrebno je izračunati √11. Biramo 0 = 3, budući da je 3 2 = 9, što je bliže 11 nego 4 2 = 16. Zamjenom u formulu, dobivamo:
a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) = 3,31662.
Nema smisla nastavljati s proračunima, jer smo otkrili da 2 i 3 počinju da se razlikuju tek na 5. decimalu. Dakle, bilo je dovoljno primijeniti formulu samo 2 puta da se izračuna √11 s tačnošću od 0,0001.
Trenutno se kalkulatori i kompjuteri široko koriste za izračunavanje korijena, međutim, korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu tačnu vrijednost.
Jednačine drugog reda
Razumijevanje što je kvadratni korijen i sposobnost njegovog izračunavanja koristi se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi. Ove jednačine su jednakosti sa jednom nepoznatom, čiji je opšti oblik prikazan na slici ispod.
Ovdje su c, b i a neki brojevi, a a ne smije biti jednak nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući i jednake nuli.
Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se njegovim korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Budući da jednačina koja se razmatra ima 2. red (x 2), onda za nju ne može biti više korijena od dva broja. Kasnije ćemo u članku razmotriti kako pronaći ove korijene.
Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe (formula)
Ova metoda rješavanja razmatrane vrste jednakosti naziva se i univerzalna ili metoda kroz diskriminantu. Može se primijeniti na bilo koje kvadratne jednadžbe. Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:
Iz njega se može vidjeti da korijeni zavise od vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednačine. Štaviše, izračunavanje x 1 razlikuje se od izračunavanja x 2 samo po znaku ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b 2 - 4ac, nije ništa drugo do diskriminanta razmatrane jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe igra važnu ulogu jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je nula, tada će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, onda jednačina ima dva realna korijena, i konačno, negativna diskriminanta vodi do dva kompleksna korijena x 1 i x 2.
Vietin teorem ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda
Krajem 16. veka, jedan od osnivača moderne algebre, Francuz, proučavajući jednačine drugog reda, uspeo je da dobije svojstva njenih korena. Matematički se mogu napisati ovako:
x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.
Obje jednakosti mogu lako dobiti svi, a za to je potrebno samo izvršiti odgovarajuće matematičke operacije s korijenima dobivenim preko formule s diskriminantom.
Kombinacija ova dva izraza s pravom se može nazvati drugom formulom korijena kvadratne jednadžbe, koja omogućava da se nagađaju njena rješenja bez upotrebe diskriminanta. Ovdje treba napomenuti da iako su oba izraza uvijek važeća, zgodno ih je koristiti za rješavanje jednadžbe samo ako se može rastaviti na faktore.
Zadatak konsolidacije stečenog znanja
Riješit ćemo matematički problem u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uslovi zadatka su sljedeći: potrebno je pronaći dva broja za koja je proizvod -13, a zbir 4.
Ovaj uvjet odmah podsjeća na Vietin teorem, koristeći formule za zbir kvadratnih korijena i njihovog proizvoda, pišemo:
x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;
x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.
Uz pretpostavku da je a = 1, tada je b = -4 i c = -13. Ovi koeficijenti nam omogućavaju da sastavimo jednačinu drugog reda:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Koristimo formulu sa diskriminantom, dobijamo sledeće korene:
x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Odnosno, zadatak se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68 = 4 * 17, a zatim, koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobijamo: √68 = 2√17.
Sada koristimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a 0 \u003d 4, zatim:
a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) = 4,1231.
Nema potrebe za izračunavanjem 3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju samo za 0,02. Dakle, √68 = 8,246. Zamijenivši ga u formulu za x 1,2, dobijamo:
x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 i x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.
Kao što vidite, zbroj pronađenih brojeva je zaista jednak 4, ali ako pronađete njihov proizvod, onda će biti jednak -12,999, što zadovoljava uvjet problema s točnošću od 0,001.
Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.
Uz pomoć diskriminanta rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe, a za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku "Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi".
Koje se kvadratne jednačine nazivaju potpunim? to jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da biste riješili potpunu kvadratnu jednačinu, potrebno je izračunati diskriminanta D.
D \u003d b 2 - 4ac.
U zavisnosti od toga koju vrijednost diskriminanta ima, zapisaćemo odgovor.
Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.
Ako je diskriminant nula, tada je x = (-b) / 2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),
tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.
Na primjer. riješi jednačinu x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odgovor: 2.
Riješite jednačinu 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Odgovor: nema korijena.
Riješite jednačinu 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Odgovor: - 3,5; jedan.
Dakle, zamislimo rješenje potpune kvadratne jednadžbe po shemi na slici 1.
Ove formule se mogu koristiti za rješavanje bilo koje potpune kvadratne jednadžbe. Samo treba biti oprezan jednačina je napisana kao polinom standardnog oblika
a x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, u pisanju jednačine x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno odlučiti da
a = 1, b = 3 i c = 2. Tada
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi primjer 2 rješenje iznad).
Dakle, ako jednačina nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednačina mora napisati kao polinom standardnog oblika (na prvom mjestu treba biti monom sa najvećim eksponentom, tj. a x 2 , zatim sa manje – bx, a zatim slobodni termin With.
Prilikom rješavanja gornje kvadratne jednačine i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom za drugi član mogu se koristiti i druge formule. Hajde da se upoznamo sa ovim formulama. Ako je u punoj kvadratnoj jednadžbi sa drugim članom koeficijent paran (b = 2k), onda se jednačina može riješiti pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 2.
Potpuna kvadratna jednadžba naziva se redukovanom ako je koeficijent at x 2 jednako jedinstvu i jednačina poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva jednadžba se može dati za rješavanje ili se dobije dijeljenjem svih koeficijenata jednačine sa koeficijentom a stoji na x 2 .
Slika 3 prikazuje dijagram rješenja redukovanog kvadrata 
jednačine. Razmotrimo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.
Primjer. riješiti jednačinu
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Rešimo ovu jednačinu koristeći formule prikazane na slici 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1 + √ (3))) / 6 = -1 + √ 3
Odgovor: -1 - √3; –1 + √3
Možete vidjeti da je koeficijent na x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b = 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednadžbu koristeći formule prikazane na dijagramu slike D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3
Odgovor: -1 - √3; –1 + √3. Uočivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi sa 3 i dijeljenjem, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + 2x - 2 = 0 Ovu jednačinu rješavamo koristeći formule za redukovanu kvadratnu jednačinu 
jednadžbe na slici 3.
D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 = (2 (-1 + √ (3))) / 2 = - 1 + √ 3
Odgovor: -1 - √3; –1 + √3.
Kao što vidite, rješavajući ovu jednačinu koristeći različite formule, dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste dobro savladali formule prikazane na dijagramu slike 1, uvijek možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednačinu.
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.
Kvadratna jednadžba ili jednadžba drugog stepena s jednom nepoznatom je jednačina koja se nakon transformacija može svesti na sljedeći oblik:
sjekira 2 + bx + c = 0 - kvadratna jednačina
gdje x je nepoznato, i a, b i c- koeficijenti jednačine. U kvadratnim jednačinama a naziva se prvi koeficijent ( a ≠ 0), b naziva se drugi koeficijent, i c naziva se poznatim ili slobodnim članom.
jednadžba:
sjekira 2 + bx + c = 0
pozvao kompletan kvadratna jednačina. Ako je jedan od koeficijenata b ili c je nula, ili su oba ova koeficijenta jednaka nuli, tada se jednačina prikazuje kao nepotpuna kvadratna jednačina.
Redukovana kvadratna jednačina
Potpuna kvadratna jednadžba se može svesti na pogodniji oblik dijeljenjem svih njenih članova sa a, odnosno za prvi koeficijent:
Jednačina x 2 + px + q= 0 naziva se redukovana kvadratna jednačina. Stoga se svaka kvadratna jednadžba u kojoj je prvi koeficijent jednak 1 može nazvati redukovanom.
Na primjer, jednadžba:
x 2 + 10x - 5 = 0
se smanjuje, a jednačina:
3x 2 + 9x - 12 = 0
može se zamijeniti gornjom jednačinom dijeljenjem svih njenih članova sa -3:
x 2 - 3x + 4 = 0
Rješavanje kvadratnih jednadžbi
Da biste riješili kvadratnu jednačinu, morate je dovesti u jedan od sljedećih oblika:
sjekira 2 + bx + c = 0
sjekira 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0
Svaka vrsta jednadžbe ima svoju formulu za pronalaženje korijena:
Obratite pažnju na jednačinu:
sjekira 2 + 2kx + c = 0
ovo je pretvorena jednadžba sjekira 2 + bx + c= 0, pri čemu je koeficijent b- ravnomjerno, što omogućava zamjenu tipom 2 k. Stoga se formula za pronalaženje korijena ove jednadžbe može pojednostaviti zamjenom 2 k umjesto b:
Primjer 1 Riješite jednačinu:
3x 2 + 7x + 2 = 0
Budući da drugi koeficijent u jednadžbi nije paran broj, a prvi koeficijent nije jednak jedinici, tražit ćemo korijene koristeći prvu formulu, koja se zove opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Prvo
a = 3, b = 7, c = 2
Sada, da bismo pronašli korijene jednadžbe, jednostavno zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formulu:
| x 1 = | -2 | = - | 1 | , x 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| odgovor: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Primjer 2:
x 2 - 4x - 60 = 0
Odredimo čemu su koeficijenti jednaki:
a = 1, b = -4, c = -60
Budući da je drugi koeficijent u jednadžbi paran broj, koristit ćemo formulu za kvadratne jednadžbe s parnim drugim koeficijentom:
x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6
odgovor: 10, -6.
Primjer 3
y 2 + 11y = y - 25
Dovedemo jednačinu u opšti oblik:
y 2 + 11y = y - 25
y 2 + 11y - y + 25 = 0
y 2 + 10y + 25 = 0
Odredimo čemu su koeficijenti jednaki:
a = 1, str = 10, q = 25
Budući da je prvi koeficijent jednak 1, tražit ćemo korijene koristeći formulu za gornje jednadžbe s parnim drugim koeficijentom:
odgovor: -5.
Primjer 4
x 2 - 7x + 6 = 0
Odredimo čemu su koeficijenti jednaki:
a = 1, str = -7, q = 6
Budući da je prvi koeficijent jednak 1, tražit ćemo korijene koristeći formulu za date jednadžbe s neparnim drugim koeficijentom:
x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1
Video lekcija 2: Rješavanje kvadratnih jednadžbi
Predavanje: Kvadratne jednadžbe
Jednačina
Jednačina- ovo je vrsta jednakosti u čijim se izrazima nalazi varijabla.
riješi jednačinu- znači pronaći takav broj umjesto varijable koja će ga dovesti do tačne jednakosti.
Jednačina može imati jedno rješenje, nekoliko rješenja ili nijedno rješenje.
Da biste riješili bilo koju jednačinu, treba je pojednostaviti što je više moguće do oblika:
linearno: a*x = b;
Kvadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.
Odnosno, svaka jednačina prije rješavanja mora se pretvoriti u standardni oblik.
Svaka jednačina se može riješiti na dva načina: analitički i grafički.
Na grafu se rješenjem jednačine smatraju tačke u kojima graf siječe x-osu.
Kvadratne jednadžbe
Jednadžba se može nazvati kvadratnom ako, kada se pojednostavi, ima oblik:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Gde a, b, c su koeficijenti jednačine koji se razlikuju od nule. ALI "X"- korijen jednačine. Vjeruje se da kvadratna jednadžba ima dva korijena ili da uopće nema rješenje. Rezultirajući korijeni mogu biti isti.
"a"- koeficijent koji stoji ispred korijena u kvadratu.
"b"- stoji pred nepoznatim u prvom stepenu.
"sa"- slobodni član jednačine.
Ako, na primjer, imamo jednačinu oblika:
2x 2 -5x+3=0
U njemu je "2" koeficijent na najvišem članu jednačine, "-5" je drugi koeficijent, a "3" je slobodni član.
Rješavanje kvadratne jednadžbe
Postoji mnogo načina za rješavanje kvadratne jednačine. Međutim, u školskom predmetu matematike rješenje se proučava korištenjem Vietine teoreme, kao i korištenjem diskriminanta.
Diskriminantno rješenje:
Prilikom rješavanja ovom metodom potrebno je izračunati diskriminanta pomoću formule:
Ako ste tokom proračuna dobili da je diskriminanta manja od nule, to znači da ova jednačina nema rješenja.
Ako je diskriminanta nula, onda jednačina ima dva identična rješenja. U ovom slučaju, polinom se može skupiti prema skraćenoj formuli množenja u kvadrat zbira ili razlike. Zatim ga riješite kao linearnu jednačinu. Ili koristite formulu:
Ako je diskriminanta veća od nule, tada se mora koristiti sljedeća metoda:
Vietin teorem
Ako je jednadžba redukovana, odnosno koeficijent na najvišem članu jednak jedan, onda možete koristiti Vietin teorem.
Dakle, recimo da je jednadžba:
Korijeni jednadžbe se nalaze na sljedeći način:
Nepotpuna kvadratna jednadžba
Postoji nekoliko opcija za dobijanje nepotpune kvadratne jednadžbe, čiji oblik zavisi od prisustva koeficijenata.
1. Ako su drugi i treći koeficijent jednaki nuli (b=0, c=0), tada će kvadratna jednadžba izgledati ovako:
Ova jednačina će imati jedinstveno rješenje. Jednakost će biti istinita samo ako je rješenje jednadžbe nula.