Hajde da uvedemo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem O xy. Razmotrimo proizvoljan presek u koordinatnoj ravni ( zatvorenom prostoru) sa površinom A (slika 1).
statične momente
Tačka C sa koordinatama (x C , y C)
pozvao težište preseka.
Ako koordinatne ose prolaze kroz centar gravitacije presjeka, tada su statički momenti presjeka jednaki nuli:
Aksijalni momenti inercije presjeci u odnosu na ose x i y nazivaju se integrali oblika:
Polarni moment inercije presek u odnosu na ishodište naziva se integralom oblika:
centrifugalni moment inercije sekcija se naziva integralom oblika:
Glavne osi inercije presjeka nazivaju se dvije međusobno okomite ose u odnosu na koje je I xy =0. Ako je jedna od međusobno okomitih osa osa simetrije presjeka, tada su I xy = 0 i, stoga, ove osi su glavne. Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne osi inercije presjeka
2. Steiner-Huygensova teorema o paralelnom prevođenju osa
Steiner-Huygensova teorema (Steinerova teorema).
Aksijalni moment inercije presjeka I u odnosu na proizvoljan fiksna osovina x jednak je zbiru aksijalni moment inercije ovog presjeka I sa relativnom osom x * paralelnom s njom, koja prolazi kroz centar mase presjeka, i proizvod površine presjeka A na kvadrat udaljenosti d između dvije ose.
Ako su poznati momenti inercije I x i I y u odnosu na ose x i y, tada se u odnosu na osi ν i u, zakrenute za ugao α, aksijalni i centrifugalni momenti inercije izračunavaju po formulama:
Iz gornjih formula se može vidjeti da
One. zbir aksijalnih momenata inercije se ne mijenja kada se rotiraju međusobno okomite ose, odnosno ose u i v, u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije presjeka jednak nuli, i aksijalni momenti inercija Í u i I v imaju ekstremne vrijednosti max ili min, koje se nazivaju glavne ose presjeka. Glavne ose koje prolaze kroz težište presjeka nazivaju se glavne centralne ose preseka. Za simetrične presjeke, njihove ose simetrije su uvijek glavne centralne ose. Položaj glavnih osi presjeka u odnosu na druge ose određuje se omjerom:
gdje je α 0 ugao za koji se x i y osi moraju zarotirati kako bi postale glavne (uobičajeno je da se pozitivan ugao odvoji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, negativan - u smjeru kazaljke na satu). Aksijalni momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavni momenti inercije:
znak plus ispred drugog člana odnosi se na maksimalni moment inercije, a znak minus na minimum.
Neka se zna i Ix, Iy, Ixy. Nacrtajmo novu os x 1 , y 1 paralelno sa xy osi.
I određujemo moment inercije istog presjeka u odnosu na nove ose.
X 1 \u003d x-a; y 1 =y-b
I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Ako x-osa prolazi kroz težište presjeka, tada je statički moment Sx =0.
I x 1 = Ix + b 2 A
Slično novoj osi y 1, imat ćemo formulu I y 1 = Iy + a 2 A
Centrifugalni moment inercije u odnosu na nove ose
Ix 1 y 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.
Ako xy ose prolaze kroz centar gravitacije presjeka, tada je Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Ako je presjek simetričan, barem jedan od centralne ose poklapa se sa osom simetrije, zatim Ixy = 0, što znači Ix 1 y 1 = abA
Promjena u momentima inercije pri okretanju osi.
Neka su poznati aksijalni momenti inercije oko xy osi.
Novi koordinatni sistem xy će se dobiti rotacijom starog sistema za ugao (a > 0), ako je rotacija u suprotnom smeru kazaljke na satu.
Uspostavite odnos između starih i novih koordinata lokacije
y 1 = ab \u003d ac - bc \u003d ab-de
iz trougla acd:
ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α
iz trougla oed:
de/od=sinα dc=od*sinα
Zamijenite ove vrijednosti u izraz za y
y 1 = ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.
Slično
x 1 \u003d x cos α + y sin α.
Izračunajte aksijalni moment inercije oko nove ose x 1
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
Slično, Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.
Dodajemo lijevi i desni dio rezultirajućih izraza:
Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
Zbir aksijalnih momenata inercije se ne mijenja tokom rotacije.
Odredimo centrifugalni moment inercije u odnosu na nove ose. Predstavimo vrijednosti x 1 ,y 1 .
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .
Glavni momenti i glavne osi inercije.
Glavni momenti inercije nazivaju njihove ekstremne vrednosti.
Osi oko kojih se dobijaju ekstremne vrednosti nazivaju se glavne osi inercije. Oni su uvijek međusobno okomiti.
Centrifugalni moment inercije oko glavnih osa je uvijek 0. Pošto je poznato da u presjeku postoji osa simetrije, centrifugalni moment je 0, što znači da je osa simetrije glavna osovina. Ako uzmemo prvi izvod izraza I x 1, a zatim ga izjednačimo sa "0", onda ćemo dobiti vrijednost ugla = koji odgovara položaju glavnih osi inercije.
tg2 α 0 = - 
Ako je α 0 >0, tada se za određeni položaj glavnih osa stara os mora okrenuti suprotno od kazaljke na satu. Jedna od glavnih osa je max, a druga min. U ovom slučaju, max os uvijek odgovara manjem kutu s onom slučajnom osom u odnosu na koju ima veći aksijalni moment inercije. Ekstremne vrijednosti aksijalnog momenta inercije određuju se formulom:
Poglavlje 2. Osnovni pojmovi o čvrstoći materijala. Zadaci i metode.
Prilikom projektovanja različitih konstrukcija potrebno je riješiti različita pitanja čvrstoće, krutosti i stabilnosti.
Snaga- sposobnost dato telo izdržati različita opterećenja bez razaranja.
Krutost- sposobnost konstrukcije da percipira opterećenja bez velikih deformacija (pomaka). Prethodno dopuštene vrijednosti deformacije regulirane su građevinskim propisima i propisima (SNIP).
Održivost
Razmotrite kompresiju fleksibilne šipke
Ako se opterećenje postepeno povećava, tada će se šipka prvo skratiti. Kada sila F dostigne određenu kritičnu vrijednost, šipka će se izvijati. - apsolutno skraćivanje.
U ovom slučaju, štap nije uništen, već oštro mijenja svoj oblik. Ova pojava se zove izvijanje i dovodi do uništenja.
Sopromat- to su osnove nauke o čvrstoći, krutosti, stabilnosti inženjerskih konstrukcija. Metode se koriste u sopromatu teorijska mehanika, fizika, matematika. Za razliku od teorijske mehanike, čvrstoća materijala uzima u obzir promjene veličine i oblika tijela pod utjecajem opterećenja i temperature.
Slika 7
,
,
,
gdje I x , I y su aksijalni momenti inercije u odnosu na referentne ose;
Ixy je centrifugalni moment inercije oko referentnih osa;
I xc , I yc su aksijalni momenti inercije oko centralnih osa;
I xcyc je centrifugalni moment inercije oko centralnih osa;
a, b- razmak između osovina.
Određivanje momenata inercije presjeka pri rotaciji ose
Poznate su sve geometrijske karakteristike presjeka u odnosu na centralne ose x C,u C(Sl. 8). Odrediti momente inercije oko osi x 1,1 rotirani u odnosu na centralne za neki ugao a.
Slika 8
,
gdje I x 1 , I y 1 su aksijalni momenti inercije oko osi x 1,1 ;
I x 1 y 1 je centrifugalni moment inercije oko osi x 1,1 .
Određivanje položaja glavnih centralnih osi inercije
Položaj glavnih središnjih osi inercije presjeka određuje se formulom:
,
gdje a 0 je ugao između centralne i glavne osi inercije.
Određivanje glavnih momenata inercije
Glavni momenti inercije presjeka određeni su formulom:
Redoslijed izračunavanja složenog presjeka
1) Podijelite složeni dio na jednostavne geometrijske figure [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]
2) Odaberite proizvoljne osi XOY .
3) Odredite položaj težišta presjeka [x c , y c].
4) Nacrtajte centralne ose X c OY c.
5) Izračunajte momente inercije x c, Iy c , koristeći teoremu paralelnog prevođenja osa.
6) Izračunajte centrifugalni moment inercije Ix c y c.
7) Odrediti položaj glavnih osa inercije tg2a 0.
8) Izračunajte glavne momente inercije Imax, Ja sam za.
PRIMJER 2
Za sliku prikazanu na slici 13, odredite glavne tačke
inercija i položaj glavnih osi inercije.
1) Složeni presjek razbijamo na jednostavne geometrijske oblike
S 1 = 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.
2) Odaberite proizvoljne XOY osi.
3) Odrediti položaj težišta presjeka
x c = 25 mm, yc=35 mm.
4) Nacrtajte centralne ose X c OY c
5) Izračunajte momente inercije Ix c , Iy c
6) Izračunajte centrifugalni moment inercije Ix c y c
7) Odrediti položaj glavnih osa inercije
Ako a I x >I y i a 0 >0 , zatim ugao a 0 van ose X s u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
8) Izračunajte glavne momente inercije Imax, Ja sam za
PRIMJER 3
 |
Za sliku prikazanu na sl. 8 odredite položaj glavnih osi
Slika 8
inercija i glavni momenti inercije.
1) Za svaku figuru ispisujemo glavne početne podatke
Kanal
S 1 = 10,9 cm2
I x = 20,4 cm 4
I y = 174 cm 4
y 0= 1,44 cm
h= 10 cm
nejednak ugao
S 3 = 6,36 cm2
I x = 41,6 cm 4
I y = 12,7 cm 4
I min = 7,58 cm 4
tga= 0,387
x0= 1,13 cm
y 0= 2,6 cm
Pravougaonik
S2 = 40 cm 2
cm 4
cm 4
2) Crtamo dio na mjerilu
3) Nacrtajte proizvoljne koordinatne ose
4) Odredite koordinate težišta presjeka
5) Nacrtajte centralne ose
6) Odrediti aksijalne momente inercije oko centralnih osa
7) Odrediti centrifugalni moment inercije oko centralnih ose
Centrifugalni moment inercije za kutno valjani čelik u odnosu na njegovo težište određuje se iz jednog od sledeće formule:
-4
Predznak centrifugalnog momenta inercije za kutno valjani čelik određen je prema sl. 9, dakle I xy 3\u003d -13,17 cm 4.
8) Odrediti položaj glavnih osi inercije
 |
a0 = 21,84°
9) Odrediti glavne momente inercije
ZADATAK 4
Za date šeme (tabela 6) potrebno je:
1) Nacrtajte poprečni presjek u strogoj mjeri.
2) Odredite položaj težišta.
3) Nađite vrijednosti aksijalnih momenata inercije oko središnjih osa.
4) Odrediti vrijednost centrifugalnog momenta inercije oko centralnih osa.
5) Odrediti položaj glavnih osi inercije.
6) Pronađite glavne momente inercije.
Uzmite numeričke podatke iz tabele. 6.
Dizajn šeme za zadatak br. 4
 |
|||
 | |||
 |
Tabela 6
Početni podaci za zadatak br. 4
| № | Ugao sa jednakim policama | Korner nejednak | I-beam | Kanal | Pravougaonik | broj šeme |
| 30´5 | 50´32´4 | 100´30 | ||||
| 40´6 | 56´36´4 | 100´40 | ||||
| 50´4 | 63´40´8 | 100´20 | ||||
| 56´4 | 70´45´5 | 80´40 | ||||
| 63´6 | 80´50´6 | 14a | 80´60 | |||
| 70´8 | 90´56´6 | 80´100 | ||||
| 80´8 | 100´63´6 | 20a | 16a | 80´20 | ||
| 90´9 | 90´56´8 | 60´40 | ||||
| 75´9 | 140´90´10 | 22a | 18a | 60´60 | ||
| 100´10 | 160´100´12 | 60´40 | ||||
| d | a | b | in | G | d |
Upute za zadatak 5
Savijanje je vrsta deformacije u kojoj se u poprečnom presjeku šipke javlja V.S.F. - moment savijanja.
Za proračun grede za savijanje potrebno je znati vrijednost najvećeg momenta savijanja M i položaj sekcije u kojoj se javlja. Na isti način, morate znati najveću bočnu silu Q. U tu svrhu grade se grafikoni momenata savijanja i posmičnih sila. Iz dijagrama je lako procijeniti gdje će biti maksimalna vrijednost momenta ili posmične sile. Za određivanje vrijednosti M i Q koristeći metodu sekcije. Razmotrimo kolo prikazano na sl. 9. Sastavite zbroj sila na osovinu Y djelujući na odsječeni dio grede.
 |
Slika 9
Poprečna sila je jednaka algebarskom zbiru svih sila koje djeluju na jednoj strani presjeka.
Sastavite zbir momenata koji djeluju na odsječeni dio grede u odnosu na presjek.
Moment savijanja jednak je algebarskom zbroju svih momenata koji djeluju na odsječeni dio grede, u odnosu na težište presjeka.
Da bi se moglo izračunati sa bilo kojeg kraja grede, potrebno je prihvatiti pravilo predznaka za faktore unutrašnje sile.
Za silu smicanja Q.
Slika 10.
Ako vanjska sila rotira odsječeni dio grede u smjeru kazaljke na satu, tada je sila pozitivna, ako vanjska sila rotira odsječeni dio grede u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je sila negativna.
Za trenutak savijanja M.
Slika 11.
Ako je pod uticajem spoljna sila zakrivljena os grede ima oblik konkavne posude, tako da će je kiša koja dolazi odozgo napuniti vodom, tada je moment savijanja pozitivan (Sl. 11a). Ako pod djelovanjem vanjske sile savijena os grede poprimi oblik konveksne posude, tako da je kiša koja pada odozgo neće ispuniti vodom, tada je moment savijanja negativan (slika 11b).
Između intenziteta raspoređenog opterećenja q, poprečna sila Q i moment savijanja M, djelujući u određenom dijelu, postoje sljedeće diferencijalne zavisnosti:
Ove diferencijalne zavisnosti u savijanju omogućavaju nam da ustanovimo neke karakteristike dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja.
1) U onim područjima gdje nema raspoređenog opterećenja, dijagram Q je ograničen na prave linije paralelne osi dijagrama i dijagrama M , u opštem slučaju, su kose prave (sl. 19).
2) U onim područjima gdje se na gredu primjenjuje ravnomjerno raspoređeno opterećenje, dijagram Q ograničen kosim pravim linijama i dijagramom M – kvadratne parabole(Sl. 20). Prilikom crtanja M na komprimiranim vlaknima, konveksnost parabole je okrenuta u smjeru suprotnom djelovanju raspoređenog opterećenja (sl. 21a, b).
Slika 12.
Slika 13.
3) U onim dijelovima gdje Q= 0, tangenta na dijagram M paralelno sa osom dijagrama (sl. 12, 13). Moment savijanja u takvim dijelovima grede je ekstremne veličine ( M max,Mmin).
4) U područjima gdje Q > 0, M povećava, odnosno s lijeva na desno, pozitivne ordinate dijagrama M povećanje, negativno - smanjenje (sl. 12, 13); u onim oblastima gde Q < 0, M opada (sl. 12, 13).
5) U onim dijelovima gdje se na gredu primjenjuju koncentrisane sile:
a) na parceli Q doći će do skokova u veličini iu smjeru primijenjenih sila (sl. 12, 13).
b) na dijagramu M doći će do prijeloma (sl. 12, 13), vrh loma je usmjeren protiv djelovanja sile.
6) U onim presjecima gdje se koncentrirani momenti primjenjuju na gredu, na dijagramu M na dijagramu će biti skokova u veličini ovih trenutaka Q neće biti promena (slika 14).
Slika 14.
Slika 15.
7) Ako je koncentrisan
momenta, tada je u ovom presjeku moment savijanja jednak vanjskom momentu (presjeci C i B na sl. petnaest).
8) Dijagram Q je dijagram derivacije dijagrama M. Dakle, ordinate Q proporcionalno tangenti nagiba tangente na dijagram M(Sl. 14).
Redoslijed crtanja Q i M:
1) Izrađuje se proračunski dijagram grede (u obliku ose) sa slikom opterećenja koja na nju djeluju.
2) Uticaj oslonaca na gredu se zamenjuje odgovarajućim reakcijama; naznačene su oznake reakcija i njihovi prihvaćeni pravci.
3) Sastavljaju se jednadžbe ravnoteže za gredu čije rješenje određuje vrijednosti reakcija oslonca.
4) Greda je podeljena na preseke čije su granice tačke primene spoljašnjih koncentrisanih sila i momenata, kao i tačke početka i kraja dejstva ili promene prirode raspoređenih opterećenja.
5) Sastavljeni izrazi momenata savijanja M i poprečne sile Q za svaki dio grede. Shema proračuna pokazuje početak i smjer brojanja udaljenosti za svaku dionicu.
6) Na osnovu dobijenih izraza izračunavaju se ordinate dijagrama za određeni broj presjeka grede u količini dovoljnoj za prikaz ovih dijagrama.
7) Određuju se presjeci u kojima su poprečne sile jednake nuli i u kojima, dakle, djeluju momenti Mmax ili Mmin za ovaj dio grede; izračunavaju se vrijednosti ovih momenata.
8) Dijagrami se grade prema dobijenim vrijednostima ordinata.
9) Konstruisani dijagrami se provjeravaju međusobnom poređenjem.
Dijagrami unutrašnjih faktora sile pri savijanju grade se radi određivanja opasnog presjeka. Nakon što se pronađe opasna dionica, greda se izračunava za snagu. Uglavnom poprečno savijanje, kada u presjecima grede djeluju moment savijanja i poprečna sila, u presjeku grede nastaju normalni i posmični naponi. Stoga je logično uzeti u obzir dva uslova snage:
a) normalnim naponima
b) naponi smicanja
Budući da su glavni destruktivni faktor za grede normalna naprezanja, tada se dimenzije poprečnog presjeka grede prihvaćenog oblika određuju iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja:
Zatim se provjerava da li odabrani presjek grede zadovoljava uvjet čvrstoće posmičnog naprezanja.
Međutim, takav pristup proračunu greda još ne karakterizira snagu grede. U mnogim slučajevima postoje točke u presjecima grede u kojima istovremeno djeluju velika normalna i posmična naprezanja. U takvim slučajevima postaje potrebno provjeriti čvrstoću grede za glavna naprezanja. Za takvu provjeru najprikladnije su treća i četvrta teorija čvrstoće:
, 
.
PRIMJER 1
Izgradite grafikone smične sile Q i moment savijanja M za gredu prikazanu na sl. 16 ako: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, a = 2m, b = 1 m, With = 3m.
Slika 16.
1) Odredite reakcije podrške.
;
;
pregled:
Reakcije pronađene ispravno
2) Podijelite gredu na dijelove CA,AD,DE,EK,KB.
3) Odredite vrijednosti Q i M u svakoj oblasti.
SA
, ; 
, .
AD
, 
;
, 
.
DE
, 
;
, 
.
HF
, , 
.
Pronađite maksimalni moment savijanja na presjeku KB.
Izjednačite jednačinu Q na ovoj sekciji na nulu i izrazite koordinate zmax , s kojim Q= 0, a trenutak ima maksimalnu vrijednost. Zatim vršimo zamjenu zmax u jednadžbu trenutka na ovom dijelu i pronađite Mmax.
EC
, 
.
4) Pravimo dijagrame (slika 16)
PRIMJER 2
Za gredu prikazanu na sl. 16 odredite dimenzije okruglog, pravougaonog ( h/b = 2) i I-presjek. Provjerite čvrstoću I-grede prema glavnim naprezanjima, ako [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.
1) Određujemo traženi moment otpora iz stanja čvrstoće
2) Odredite dimenzije kružnog presjeka
3) Odredite dimenzije pravougaonog preseka
4) Odabiremo I-gredu br. 10 prema asortimanu (GOST 8239-89)
W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, I X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.
Za provjeru čvrstoće grede u smislu glavnih napona, potrebno je u opasnom presjeku nacrtati normalna i posmična naprezanja. Budući da veličina glavnih napona zavisi i od normalnih i od posmičnog naprezanja, ispitivanje čvrstoće treba provesti u onom dijelu grede gdje je M i Q su dovoljno veliki. na osloncu AT(sl. 16) sila smicanja Q ima maksimalnu vrijednost, ali ovdje M= 0. stoga smatramo da je dio o osloncu opasan ALI, gdje je moment savijanja maksimalan, a poprečna sila relativno velika.
Normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, poštuju linearni zakon:
gdje y- koordinata tačke preseka (Sl. 24).
at at= 0, s = 0;
at ymax
, 
Zakon promjene posmičnih naprezanja određen je zakonom promjene statičkog momenta površine, koji se zauzvrat mijenja po visini presjeka prema paraboličkom zakonu. Nakon izračunavanja vrijednosti za karakteristične točke presjeka, konstruiramo dijagram posmičnih naprezanja. Prilikom izračunavanja vrijednosti t koristimo notaciju za dimenzije presjeka usvojene na Sl. 17.
Uslov čvrstoće za sloj 3-3 je ispunjen.
ZADATAK 5
Za date sheme greda (tablica 12) izgraditi dijagrame poprečne sile Q i moment savijanja M. Odaberite poprečni presjek za shemu a) okrugli [s]= 10 MPa; b) I-zraka [s]= 150 MPa.
Uzmite numeričke podatke iz tabele. 7.
Tabela 7
Početni podaci za zadatak br. 6
| № | a, m | q 1 = q 3, kN / m | q 2 , kN/m | F 1 , kN | F 2 , kN | F 3 , kN | M 1, kN∙m | M 2, kN∙m | M 3, kN∙m | broj šeme | ||
| 0,8 | ||||||||||||
| 1,2 |  |
|||||||||||
| Tabela 12 se nastavlja | ||||||||||||
 |  |
|||||||||||
 |
Neka z With, u s su centralne ose presjeka, su momenti inercije presjeka oko ovih osa. Odredimo momente inercije presjeka u odnosu na nove ose z1, 1, paralelno sa centralnim osovinama i pomaknuto u odnosu na njih za udaljenosti a i d. Neka dA je elementarna oblast u blizini tačke M sa koordinatama y i z u centralnom koordinatnom sistemu. Od sl. 4.3 može se vidjeti da su koordinate tačke C u novi sistem koordinate će biti jednake, .
Odredimo moment inercije presjeka oko y-ose 1 :
|
| z c |
| yc |
| z1 |
| y 1 |
| d |
| a |
| C |
Na ovaj način,
Slično
Promjena momenata inercije presjeka kada se osi rotiraju
Pronađite odnos između momenata inercije oko osi y, z i momenti inercije oko osi y 1, z1, rotirano pod uglom a. Neka Jy> Jz i pozitivan ugao a mjereno od ose y u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Neka koordinate tačke M pre skretanja y, z, nakon okretanja y 1, z1(Sl. 4.4).
Iz slike slijedi:
Sada određujemo momente inercije oko osi y 1 i z1:
|
| M |
| z |
| z1 |
| y 1 |
| y |
| a |
| y |
| y 1 |
| z1 |
| z |
Slično:
Zbrajajući član po član jednačine (4.13) i (4.14), dobijamo:
one. zbir momenata inercije oko bilo koje međusobno okomite ose ostaje konstantan i ne menja se kada se koordinatni sistem rotira.
Glavne ose inercije i glavni momenti inercije
Sa promjenom ugla rotacije osi a svaka od veličina i mijenja, ali njihov zbir ostaje nepromijenjen. Dakle, postoji takva vrijednost
a = a 0 , pri čemu momenti inercije dostižu ekstremne vrijednosti, tj. jedan od njih dostiže svoju maksimalnu vrijednost, a drugi minimalnu. Da biste pronašli vrijednost a 0 uzimamo prvi izvod od (ili) i izjednačavamo ga sa nulom:
Pokažimo da je u odnosu na dobijene ose centrifugalni moment inercije jednak nuli. Da bismo to učinili, desnu stranu jednačine (4.15) izjednačimo sa nulom: , odakle, tj. dobiti istu formulu za a 0 .
Osi u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli, a aksijalni momenti inercije poprimaju ekstremne vrijednosti, nazivaju se glavne ose. Ako su i ove ose centralne, onda se nazivaju glavne centralne ose. Aksijalni momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavnim momentima inercije.
Glavne ose označavamo sa y 0 i z0. Onda
Ako presjek ima os simetrije, tada je ta os uvijek jedna od glavnih središnjih osi inercije presjeka.
Ako su osi centralne, tada će ose momenta izgledati ovako: 
15.Odnos između momenti inercije pri okretanju osi:
J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;
J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;
Ugao a>0, ako se prijelaz iz starog koordinatnog sistema u novi odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. J y 1 + J x 1 = J y + J x
Ekstremne (maksimalne i minimalne) vrijednosti momenata inercije nazivaju se glavni momenti inercije. Osi u odnosu na koje aksijalni momenti inercije imaju ekstremne vrijednosti nazivaju se glavne osi inercije. Glavne osi inercije su međusobno okomite. Centrifugalni momenti inercije oko glavnih ose = 0, tj. glavne osi inercije - osi prema kojima je centrifugalni moment inercije = 0. Ako se jedna od osa poklapa ili obje poklapaju sa osom simetrije, onda su glavne. Ugao koji definira položaj glavnih osa: 
, ako je a 0 >0 Þ osi se rotiraju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Osa maksimuma uvek čini manji ugao u odnosu na ose, u odnosu na koje moment inercije ima veću vrednost. Glavne ose koje prolaze kroz centar gravitacije nazivaju se glavne centralne osi inercije. Trenuci inercije oko ovih osa: 
J max + J min = J x + J y . Centrifugalni moment inercije oko glavnih centralnih osi inercije je 0. Ako su poznati glavni momenti inercije, tada su formule za prelazak na rotirane ose:
J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;
Krajnji cilj proračuna geometrijske karakteristike odjeljak je definicija principala centralni momenti inercija i položaji glavnih centralnih osi inercije. 
Radijus inercije - 
; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .
Ako su J x i J y glavni momenti inercije, onda i x i i y - glavni radijusi rotacije. Elipsa izgrađena na glavnim poluprečnikima inercije kao na poluosi naziva se elipsa inercije. Koristeći elipsu inercije, možete grafički pronaći polumjer rotacije i x 1 za bilo koju os x 1. Da biste to učinili, nacrtajte tangentu na elipsu, paralelno sa osom x 1 i izmjerite udaljenost od ove ose do tangente. Znajući radijus inercije, možete pronaći moment inercije presjeka oko x-ose 1:. Za presjeke s više od dvije osi simetrije (na primjer: krug, kvadrat, prsten, itd.), aksijalni momenti inercije oko svih središnjih osa jednaki su jedni drugima, J xy = 0, elipsa inercija se pretvara u krug inercije.