Osi koje prolaze kroz težište ravne figure nazivaju se centralne ose.
Moment inercije oko centralne ose se naziva centralna tačka inercija.

Teorema

Moment inercije oko bilo koje osi jednak je zbroju momenta inercije oko središnje osi paralelne datoj, i umnožak površine figure kvadratom udaljenosti između osa .

Da bismo dokazali ovu teoremu, razmotrimo proizvoljnu ravan figuru čija je površina jednaka ALI , centar gravitacije se nalazi u tački OD , i centralni moment inercije oko ose x bice I x .
Izračunajte moment inercije figure oko neke ose x 1 , paralelno sa središnjom osom i udaljeno od nje na udaljenosti a (pirinač).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Analizirajući dobijenu formulu, napominjemo da je prvi član aksijalni moment inercije oko središnje ose, drugi član je statički moment površine ove figure u odnosu na središnju os (dakle, jednak je nuli ), a treći pojam nakon integracije može se predstaviti kao proizvod a 2 A , tj. kao rezultat dobijamo formulu:

I x1 \u003d I x + a 2 A- teorema je dokazana.

Na osnovu teoreme može se zaključiti da iz niza paralelnih osa, aksijalni moment inercije ravne figure bit će najmanji u odnosu na središnju os .

Glavne ose i glavni momenti inercije

Zamislimo ravnu figuru čiji su momenti inercije oko koordinatnih osa I x i I y , a polarni moment inercije oko ishodišta jednak je I ρ . Kako je ranije utvrđeno,

I x + I y = I ρ.

Ako se koordinatne ose rotiraju u svojoj ravni oko ishodišta, tada će polarni moment inercije ostati nepromijenjen, a aksijalni momentiće varirati, dok njihov zbir ostaje konstantan. Pošto je zbroj varijabli konstantan, jedna od njih opada, a druga raste, i obrnuto.
Dakle, na određenom položaju osi, jedan od aksijalnih momenata će dostići maksimalna vrijednost, a drugi je minimum.

Osi u odnosu na koje momenti inercije imaju minimalne i maksimalne vrijednosti nazivaju se glavne osi inercije.
Moment inercije oko glavne ose naziva se glavni moment inercije.

Ako glavna os prolazi kroz težište figure, naziva se glavna centralna osovina, a moment inercije oko takve ose je glavni centralni moment inercije.
Može se zaključiti da ako je figura simetrična oko neke ose, onda će ta os uvijek biti jedna od glavnih središnjih osi inercije ove figure.

centrifugalni moment inercije

Centrifugalni moment inercije ravne figure je zbir proizvoda elementarnih površina uzetih na cijeloj površini na udaljenosti dvije međusobno okomite ose:

I xy = Σ xy dA,

gdje x , y - udaljenost od lokacije dA to axes x i y .
Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan, negativan ili nula.

Centrifugalni moment inercije uključen je u formule za određivanje položaja glavnih osi asimetričnih presjeka.
Tabele standardnih profila sadrže karakteristiku tzv radijus rotacije presjeka , izračunato po formulama:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (u daljem tekstu znak"√"- korijenski znak)

gdje I x , I y - aksijalni momenti inercije presjeka u odnosu na centralne ose; ALI - površina poprečnog presjeka.
Ova geometrijska karakteristika se koristi u proučavanju ekscentrične napetosti ili kompresije, kao i izvijanja.

Torziona deformacija

Osnovni koncepti torzije. Torzija okrugle šipke.

Torzija je vrsta deformacije u kojoj se u bilo kojem poprečnom presjeku grede javlja samo zakretni moment, odnosno faktor sile koji uzrokuje kružno pomicanje presjeka u odnosu na osu okomitu na ovaj presjek, ili sprječava takvo pomicanje. Drugim riječima, torzijske deformacije nastaju ako se par ili parovi sila primjenjuju na ravnu gredu u ravninama okomitim na njegovu os.
Momenti ovih parova sila nazivaju se uvijanjem ili rotacijom. Obrtni moment je označen T .
Takva definicija uslovno dijeli faktore sile torzijske deformacije na vanjske (uvijanje, momenti momenta T ) i unutrašnji (moment M cr ).

U strojevima i mehanizmima, okrugla ili cjevasta osovina najčešće su podvrgnuta torziji, stoga se za takve jedinice i dijelove najčešće izrađuju proračuni čvrstoće i krutosti.

Razmotrite torziju okrugle cilindrične osovine.
Zamislite gumenu cilindričnu osovinu s jednim krajem čvrsto učvršćenim, a na površinu je nanesena mreža uzdužnih linija i poprečnih krugova. Primjenjujemo nekoliko sila na slobodni kraj osovine, okomito na os ove osovine, odnosno uvijamo ga duž osi. Ako pažljivo razmotrite linije mreže na površini osovine, primijetit ćete da:
- osa osovine, koja se naziva osom torzije, ostat će ravna;
- prečnici krugova će ostati isti, a razmak između susjednih krugova neće se promijeniti;
- uzdužne linije na osovini će se pretvoriti u spiralne linije.

Iz ovoga možemo zaključiti da kada je okrugla cilindrična greda (osovina) uvijena, hipoteza je tačna ravnim sekcijama, a također pretpostavimo da polumjeri kružnica ostaju ravni tokom deformacije (pošto se njihovi prečnici nisu promijenili). A budući da u dijelovima osovine nema uzdužnih sila, razmak između njih je očuvan.

Stoga se torzijska deformacija okrugle osovine sastoji u okretanju poprečnih presjeka jedan u odnosu na drugi oko torzione osi, a njihovi uglovi rotacije su direktno proporcionalni udaljenostima od fiksnog presjeka - što je dalje od fiksnog kraja osovine bilo koja sekcija se nalazi, to je veći ugao u odnosu na os osovine koju uvija.
Za svaki dio osovine, kut rotacije jednaka uglu uvijanje dijela osovine zatvorene između ovog dijela i završetka (fiksni kraj).


Ugao ( pirinač. jedan) rotacija slobodnog kraja osovine (krajnjeg preseka) naziva se ukupni ugao uvijanja cilindrične šipke (osovine).
Relativni ugao uvijanja φ 0 naziva se omjer ugla uvijanja φ 1 na distancu l 1 od ove sekcije do završetka (fiksna sekcija).
Ako je cilindrična greda (osovina) sa dužinom l ima konstantan poprečni presjek i opterećen je torzijskim momentom na slobodnom kraju (tj. sastoji se od homogenog geometrijskog presjeka), tada je tvrdnja tačna:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = konst - vrijednost je konstantna.

Ako uzmemo u obzir tanak sloj na površini gornje gumene cilindrične šipke ( pirinač. jedan) ograničena ćelijom mreže cdef , napominjemo da se ova ćelija iskrivljuje tokom deformacije, a njena strana, koja je udaljena od fiksnog presjeka, pomiče se prema uvrtanju grede, zauzimajući poziciju cde 1 f 1 .

Treba napomenuti da se slična slika uočava i tijekom posmične deformacije, samo što se u ovom slučaju površina deformira zbog translacijskog pomaka presjeka jedan u odnosu na drugi, a ne zbog rotacijskog pomaka, kao kod torzijske deformacije. Na osnovu ovoga možemo zaključiti da prilikom torzije u poprečnim presjecima nastaju samo tangente unutrašnje sile(naprezanje) koje stvara obrtni moment.

Dakle, moment je rezultujući moment u odnosu na os grede unutrašnjih tangencijalnih sila koje djeluju u poprečnom presjeku.

Često je prilikom rješavanja praktičnih problema potrebno odrediti momente inercije presjeka u odnosu na osi orijentirane na različite načine u njegovoj ravnini. U ovom slučaju, prikladno je koristiti već poznate vrijednosti momenata inercije cijelog presjeka (ili njegovih pojedinačnih dijelova) u odnosu na druge osi, date u tehničkoj literaturi, posebnim referentnim knjigama i tablicama, kao i izračunati korištenjem dostupnih formula. Stoga je vrlo važno uspostaviti odnos između momenata inercije istog presjeka u odnosu na različite ose.

U najopćenitijem slučaju, prijelaz sa bilo kojeg starog na bilo koji novi sistem koordinate se mogu posmatrati kao dvije uzastopne transformacije starog koordinatnog sistema:

1) paralelnim prenošenjem koordinatnih osa u novi položaj i

2) rotirajući ih u odnosu na novo ishodište. Razmotrimo prvu od ovih transformacija, tj. paralelno prevođenje koordinatnih osa.

Pretpostavimo da su momenti inercije datog presjeka u odnosu na stare ose (slika 18.5) poznati.

Uzmimo novi koordinatni sistem čije su ose paralelne sa starim. Neka a i b označavaju koordinate tačke (tj. novo ishodište) u starom koordinatnom sistemu

Razmotrimo elementarnu oblast čije koordinate u starom koordinatnom sistemu su y i . U novom sistemu su jednaki

Zamijenimo ove koordinate u izraz za aksijalni moment inercije oko ose

U rezultirajućem izrazu, moment inercije, statički moment presjeka oko ose jednak je površini F presjeka.

shodno tome,

Ako z osa prolazi kroz težište presjeka, tada statički moment i

Iz formule (25.5) se može vidjeti da je moment inercije oko bilo koje ose koja ne prolazi kroz težište veći od momenta inercije oko ose koja prolazi kroz centar gravitacije, za iznos koji je uvijek pozitivan . Dakle, od svih momenata inercije oko paralelnih osa, aksijalni moment inercije ima najmanju vrijednost u odnosu na osu koja prolazi kroz centar gravitacije presjeka.

Moment inercije oko ose [po analogiji sa formulom (24.5)]

U posebnom slučaju kada y-osa prolazi kroz težište presjeka

Formule (25.5) i (27.5) se široko koriste u proračunu aksijalnih momenata inercije složenih (kompozitnih) presjeka.

Zamijenimo sada vrijednosti u izraz za centrifugalni moment inercije oko osi

Slika 7

,

,

,

gdje I x , I y su aksijalni momenti inercije u odnosu na referentne ose;

Ixy je centrifugalni moment inercije oko referentnih osa;

I xc , I yc su aksijalni momenti inercije oko centralnih osa;

I xcyc je centrifugalni moment inercije oko centralnih osa;

a, b- razmak između osovina.

Određivanje momenata inercije presjeka pri rotaciji ose

Svi su poznati geometrijske karakteristike preseci u odnosu na centralne ose x C,u C(Sl. 8). Odrediti momente inercije oko osi x 1,1 rotirani u odnosu na centralne za neki ugao a.

Slika 8

,

gdje I x 1 , I y 1 su aksijalni momenti inercije oko osi x 1,1 ;

I x 1 y 1 je centrifugalni moment inercije oko osi x 1,1 .

Određivanje položaja glavnih centralnih osi inercije

Položaj glavnih središnjih osi inercije presjeka određuje se formulom:

,

gdje a 0 je ugao između centralne i glavne osi inercije.

Određivanje glavnih momenata inercije

Glavni momenti inercije presjeka određeni su formulom:

Redoslijed izračunavanja složenog presjeka

1) Podijelite složeni dio na jednostavne geometrijske figure [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]

2) Odaberite proizvoljne osi XOY .

3) Odredite položaj težišta presjeka [x c , y c].

4) Nacrtajte centralne ose X c OY c.

5) Izračunajte momente inercije x c, Iy c , koristeći teoremu paralelnog prevođenja osa.

6) Izračunajte centrifugalni moment inercije Ix c y c.

7) Odrediti položaj glavnih osa inercije tg2a 0.

8) Izračunajte glavne momente inercije Imax, Ja sam za.

PRIMJER 2

Za sliku prikazanu na slici 13, odredite glavne tačke

inercija i položaj glavnih osi inercije.

1) Složeni presjek razbijamo na jednostavne geometrijske oblike

S 1 = 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.

2) Odaberite proizvoljne XOY osi.

3) Odrediti položaj težišta presjeka

x c = 25 mm, y c=35 mm.

4) Nacrtajte centralne ose X c OY c

5) Izračunajte momente inercije Ix c , Iy c

6) Izračunajte centrifugalni moment inercije Ix c y c

7) Odrediti položaj glavnih osa inercije

Ako a I x >I y i a 0 >0 , zatim ugao a 0 van ose X s u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

8) Izračunajte glavne momente inercije Imax, Ja sam za

PRIMJER 3

Za sliku prikazanu na sl. 8 odredite položaj glavnih osi

Slika 8

inercija i glavni momenti inercije.

1) Za svaku figuru ispisujemo glavne početne podatke

Kanal

S 1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

I y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

nejednak ugao

S 3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

I y = 12,7 cm 4

I min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Pravougaonik

S2 = 40 cm 2

cm 4

cm 4

2) Crtamo dio na mjerilu

3) Nacrtajte proizvoljne koordinatne ose

4) Odredite koordinate težišta presjeka

5) Nacrtajte centralne ose

6) Odrediti aksijalne momente inercije oko centralnih osa

7) Odrediti centrifugalni moment inercije oko centralnih ose

Centrifugalni moment inercije za kutno valjani čelik u odnosu na njegovo težište određuje se iz jednog od sledeće formule:

-4

Predznak centrifugalnog momenta inercije za kutno valjani čelik određen je prema sl. 9, dakle I xy 3\u003d -13,17 cm 4.

8) Odrediti položaj glavnih osi inercije

a0 = 21,84°

9) Odrediti glavne momente inercije

ZADATAK 4

Za date šeme (tabela 6) potrebno je:

1) Nacrtajte poprečni presjek u strogoj mjeri.

2) Odredite položaj težišta.

3) Nađite vrijednosti aksijalnih momenata inercije oko središnjih osa.

4) Odrediti vrijednost centrifugalnog momenta inercije oko centralnih osa.

5) Odrediti položaj glavnih osi inercije.

6) Pronađite glavne momente inercije.

Uzmite numeričke podatke iz tabele. 6.

Dizajn šeme za zadatak br. 4

Tabela 6

Početni podaci za zadatak br. 4

№	Ugao sa jednakim policama	Korner nejednak	I-beam	Kanal	Pravougaonik	broj šeme
	30´5	50´32´4			100´30
	40´6	56´36´4			100´40
	50´4	63´40´8			100´20
	56´4	70´45´5			80´40
	63´6	80´50´6		14a	80´60
	70´8	90´56´6			80´100
	80´8	100´63´6	20a	16a	80´20
	90´9	90´56´8			60´40
	75´9	140´90´10	22a	18a	60´60
	100´10	160´100´12			60´40
	d	a	b	in	G	d

Upute za zadatak 5

Savijanje je vrsta deformacije u kojoj se u poprečnom presjeku šipke javlja V.S.F. - moment savijanja.

Za proračun grede za savijanje potrebno je znati vrijednost najvećeg momenta savijanja M i položaj sekcije u kojoj se javlja. Na isti način, morate znati najveću bočnu silu Q. U tu svrhu grade se grafikoni momenata savijanja i posmičnih sila. Iz dijagrama je lako procijeniti gdje će biti maksimalna vrijednost momenta ili posmične sile. Za određivanje vrijednosti M i Q koristeći metodu sekcije. Razmotrimo kolo prikazano na sl. 9. Sastavite zbroj sila na osovinu Y djelujući na odsječeni dio grede.

Slika 9

Poprečna sila je jednaka algebarskom zbiru svih sila koje djeluju na jednoj strani presjeka.

Sastavite zbir momenata koji djeluju na odsječeni dio grede u odnosu na presjek.

Moment savijanja jednak je algebarskom zbroju svih momenata koji djeluju na odsječeni dio grede, u odnosu na težište presjeka.

Da bi se moglo izračunati sa bilo kojeg kraja grede, potrebno je prihvatiti pravilo predznaka za faktore unutrašnje sile.

Za silu smicanja Q.

Slika 10.

Ako vanjska sila rotira odsječeni dio grede u smjeru kazaljke na satu, tada je sila pozitivna, ako vanjska sila rotira odsječeni dio grede u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je sila negativna.

Za trenutak savijanja M.

Slika 11.

Ako je pod uticajem spoljna sila zakrivljena os grede ima oblik konkavne zdjele, tako da će je kiša koja dolazi odozgo napuniti vodom, tada je moment savijanja pozitivan (slika 11a). Ako pod djelovanjem vanjske sile savijena os grede poprimi oblik konveksne posude, tako da je kiša koja pada odozgo neće ispuniti vodom, tada je moment savijanja negativan (slika 11b).

Između intenziteta raspoređenog opterećenja q, poprečna sila Q i moment savijanja M, djelujući u određenom dijelu, postoje sljedeće diferencijalne zavisnosti:

Ove diferencijalne zavisnosti u savijanju omogućavaju nam da ustanovimo neke karakteristike dijagrama poprečnih sila i momenata savijanja.

1) U onim područjima gdje nema raspoređenog opterećenja, dijagram Q je ograničen na prave linije paralelne osi dijagrama i dijagrama M , u opštem slučaju, su kose prave (sl. 19).

2) U onim područjima gdje se na gredu primjenjuje ravnomjerno raspoređeno opterećenje, dijagram Q ograničen kosim pravim linijama i dijagramom M – kvadratne parabole(Sl. 20). Prilikom crtanja M na komprimiranim vlaknima, konveksnost parabole je okrenuta u smjeru suprotnom djelovanju raspoređenog opterećenja (sl. 21a, b).

Slika 12.

Slika 13.

3) U onim dijelovima gdje Q= 0, tangenta na dijagram M paralelno sa osom dijagrama (sl. 12, 13). Moment savijanja u takvim dijelovima grede je ekstremne veličine ( M max,Mmin).

4) U područjima gdje Q > 0, M povećava, odnosno s lijeva na desno, pozitivne ordinate dijagrama M povećanje, negativno - smanjenje (sl. 12, 13); u onim oblastima gde Q < 0, M opada (sl. 12, 13).

5) U onim dijelovima gdje se na gredu primjenjuju koncentrisane sile:

a) na parceli Q doći će do skokova u veličini iu smjeru primijenjenih sila (sl. 12, 13).

b) na parceli M doći će do prijeloma (sl. 12, 13), vrh loma je usmjeren protiv djelovanja sile.

6) U onim presjecima gdje se koncentrirani momenti primjenjuju na gredu, na dijagramu M biće skokova u veličini ovih trenutaka, na parceli Q neće biti promena (slika 14).

Slika 14.

Slika 15.

7) Ako je koncentrisan

momenta, tada je u ovom presjeku moment savijanja jednak vanjskom momentu (presjeci C i B na sl. petnaest).

8) Dijagram Q je dijagram derivacije dijagrama M. Dakle, ordinate Q proporcionalno tangenti nagiba tangente na dijagram M(Sl. 14).

Redoslijed crtanja Q i M:

1) Izrađuje se proračunski dijagram grede (u obliku ose) sa slikom opterećenja koja na nju djeluju.

2) Uticaj oslonaca na gredu se zamenjuje odgovarajućim reakcijama; date su oznake reakcija i njihovi prihvaćeni pravci.

3) Sastavljaju se jednadžbe ravnoteže za gredu čije rješenje određuje vrijednosti reakcija oslonca.

4) Greda je podeljena na preseke čije su granice tačke primene spoljašnjih koncentrisanih sila i momenata, kao i tačke početka i kraja dejstva ili promene prirode raspoređenih opterećenja.

5) Sastavljeni izrazi momenata savijanja M i poprečne sile Q za svaki dio grede. Shema proračuna pokazuje početak i smjer brojanja udaljenosti za svaku dionicu.

6) Na osnovu dobijenih izraza izračunavaju se ordinate dijagrama za određeni broj presjeka grede u količini dovoljnoj za prikaz ovih dijagrama.

7) Određuju se presjeci u kojima su poprečne sile jednake nuli i u kojima, dakle, djeluju momenti Mmax ili Mmin za ovaj dio grede; izračunavaju se vrijednosti ovih momenata.

8) Dijagrami se grade prema dobijenim vrijednostima ordinata.

9) Konstruisani dijagrami se provjeravaju međusobnom poređenjem.

Dijagrami unutrašnjih faktora sile pri savijanju grade se radi određivanja opasnog presjeka. Nakon što se pronađe opasna dionica, greda se izračunava za snagu. Uglavnom poprečno savijanje, kada u presjecima grede djeluju moment savijanja i poprečna sila, u presjeku grede nastaju normalni i posmični naponi. Stoga je logično uzeti u obzir dva uslova snage:

a) normalnim naponima

b) naponi smicanja

Budući da su glavni destruktivni faktor za grede normalna naprezanja, tada se dimenzije poprečnog presjeka grede prihvaćenog oblika određuju iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja:

Zatim se provjerava da li odabrani presjek grede zadovoljava uvjet čvrstoće posmičnog naprezanja.

Međutim, takav pristup proračunu greda još ne karakterizira snagu grede. U mnogim slučajevima postoje točke u presjecima grede u kojima istovremeno djeluju velika normalna i posmična naprezanja. U takvim slučajevima postaje potrebno provjeriti čvrstoću grede za glavna naprezanja. Za takvu provjeru najprikladnije su treća i četvrta teorija čvrstoće:

, .

PRIMJER 1

Izgradite grafikone smične sile Q i moment savijanja M za gredu prikazanu na sl. 16 ako: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, a = 2m, b = 1 m, With = 3m.

Slika 16.

1) Odredite reakcije podrške.

;

pregled:

Reakcije pronađene ispravno

2) Podijelite gredu na dijelove CA,AD,DE,EK,KB.

3) Odredite vrijednosti Q i M u svakoj oblasti.

SA

, ; , .

AD

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , ;

, , .

Pronađite maksimalni moment savijanja na presjeku KB.

Izjednačite jednačinu Q na ovoj sekciji na nulu i izrazite koordinate zmax , s kojim Q= 0, a trenutak ima maksimalnu vrijednost. Zatim vršimo zamjenu zmax u jednadžbu trenutka na ovom dijelu i pronađite Mmax.

EC

, ;

, .

4) Pravimo dijagrame (slika 16)

PRIMJER 2

Za gredu prikazanu na sl. 16 odredite dimenzije okruglog, pravougaonog ( h/b = 2) i I-presjek. Provjerite čvrstoću I-grede prema glavnim naprezanjima, ako [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) Određujemo traženi moment otpora iz stanja čvrstoće

2) Odredite dimenzije kružnog presjeka

3) Odredite dimenzije pravougaonog preseka

4) Odabiremo I-gredu br. 10 prema asortimanu (GOST 8239-89)

W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, I X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

Za provjeru čvrstoće grede u smislu glavnih napona, potrebno je u opasnom presjeku nacrtati normalna i posmična naprezanja. Budući da veličina glavnih napona zavisi i od normalnih i od posmičnog naprezanja, ispitivanje čvrstoće treba izvesti u onom dijelu grede gdje je M i Q su dovoljno veliki. na osloncu AT(sl. 16) sila smicanja Q ima maksimalnu vrijednost, ali ovdje M= 0. stoga smatramo da je dio o osloncu opasan ALI, gdje je moment savijanja maksimalan, a poprečna sila relativno velika.

Normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, poštuju linearni zakon:

gdje y- koordinata tačke preseka (Sl. 24).

at at= 0, s = 0;

at ymax ,

Zakon promjene posmičnih naprezanja određen je zakonom promjene statičkog momenta površine, koji se zauzvrat mijenja po visini presjeka prema paraboličkom zakonu. Nakon izračunavanja vrijednosti za karakteristične točke presjeka, konstruiramo dijagram posmičnih naprezanja. Prilikom izračunavanja vrijednosti t koristimo notaciju za dimenzije presjeka usvojene na Sl. 17.

Uslov čvrstoće za sloj 3-3 je zadovoljen.

ZADATAK 5

Za date sheme greda (tablica 12) izgraditi dijagrame poprečne sile Q i moment savijanja M. Odaberite poprečni presjek za shemu a) okrugli [s]= 10 MPa; b) I-zraka [s]= 150 MPa.

Uzmite numeričke podatke iz tabele. 7.

Tabela 7

Početni podaci za zadatak br. 6

№

a, m

q 1 = q 3, kN / m

q 2 , kN/m

F 1 , kN

F 2 , kN

F 3 , kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

broj šeme

0,8

1,2

Tabela 12 se nastavlja

Neka z With, u s su centralne ose presjeka, su momenti inercije presjeka oko ovih osa. Odredimo momente inercije presjeka u odnosu na nove ose z1, 1, paralelno sa centralnim osovinama i pomaknuto u odnosu na njih za udaljenosti a i d. Neka dA je elementarna oblast u blizini tačke M sa koordinatama y i z u centralnom koordinatnom sistemu. Od sl. 4.3 može se vidjeti da će koordinate tačke C u novom koordinatnom sistemu biti jednake, .

Odredimo moment inercije presjeka oko y-ose 1 :

Sl.4.3

z c

y c

z1

y 1

d

a

C

Očigledno, prvi integral daje, drugi - , jer je originalni koordinatni sistem centralni, a treći - površinu poprečnog presjeka ALI.

Na ovaj način,

Slično

Promjena momenata inercije presjeka kada se osi rotiraju

Pronađite odnos između momenata inercije oko osi y, z i momenti inercije oko osi y 1, z1, rotirano pod uglom a. Neka Jy> Jz i pozitivan ugao a mjereno od ose y u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Neka koordinate tačke M pre skretanja y, z, nakon okretanja y 1, z1(Sl. 4.4).

Iz slike slijedi:

Sada određujemo momente inercije oko osi y 1 i z1:

Rice. 4.4

M

z

z1

y 1

y

a

y

y 1

z1

z

. (4.13)

Slično:

Zbrajajući član po član jednačine (4.13) i (4.14), dobijamo:

one. zbir momenata inercije oko bilo koje međusobno okomite ose ostaje konstantan i ne menja se kada se koordinatni sistem rotira.

Glavne ose inercije i glavni momenti inercije

Sa promjenom ugla rotacije osi a svaka od veličina i mijenja, ali njihov zbir ostaje nepromijenjen. Dakle, postoji takva vrijednost

a = a 0 , pri čemu momenti inercije dostižu ekstremne vrijednosti, tj. jedan od njih dostiže svoju maksimalnu vrijednost, a drugi minimalnu. Da biste pronašli vrijednost a 0 uzimamo prvi izvod od (ili) i izjednačavamo ga sa nulom:

Pokažimo da je u odnosu na dobijene ose centrifugalni moment inercije jednak nuli. Da bismo to učinili, desnu stranu jednačine (4.15) izjednačimo sa nulom: , odakle, tj. dobiti istu formulu za a 0 .

Osi u odnosu na koje je centrifugalni moment inercije jednak nuli, a aksijalni momenti inercije poprimaju ekstremne vrijednosti, nazivaju se glavne ose. Ako su i ove ose centralne, onda se nazivaju glavne centralne ose. Aksijalni momenti inercije oko glavnih osa nazivaju se glavnim momentima inercije.

Glavne ose označavamo sa y 0 i z0. Onda

Ako presjek ima os simetrije, tada je ta os uvijek jedna od glavnih središnjih osi inercije presjeka.

2. Statički momenti površine poprečnog presjeka u odnosu na ose Oz i Oy(cm 3, m 3):

4. Centrifugalni moment inercije presjeka oko osi Oz i Oy(cm 4, m 4):

Od tada

Aksijalni Jz i Jy i polarni J p momenti inercije su uvek pozitivni, pošto su koordinate u drugom stepenu pod predznakom integrala. Statički momenti Sz i Sy, kao i centrifugalni moment inercije Jzy može biti i pozitivno i negativno.

U asortimanu valjanog čelika za uglove, vrijednosti centrifugalnih momenata su date u apsolutnoj vrijednosti. Njihove vrijednosti treba unijeti u izračun uzimajući u obzir znak.

Da bismo odredili predznak centrifugalnog momenta ugla (slika 3.2), mi ga mentalno predstavljamo kao zbir tri integrala, koji se posebno računaju za dijelove presjeka koji se nalaze u četvrtima koordinatnog sistema. Očigledno je da ćemo za dijelove koji se nalaze u I i III kvartalu imati pozitivnu vrijednost ovog integrala, budući da je proizvod zydAće biti pozitivan, a integrali izračunati za dijelove koji se nalaze u II i IV kvartalu bit će negativni (proizvod zydAće biti negativan). Dakle, za ugao na Sl. 3.2, a vrijednost centrifugalnog momenta inercije bit će negativna.

Argumentirajući na sličan način za presjek koji ima barem jednu os simetrije (slika 3.2, b), možemo zaključiti da centrifugalni moment inercije J zy jednak je nuli ako je jedna od osi (Oz ili Oy) osa simetrije presjeka. Zaista, za dijelove trokuta koji se nalaze u 1 i 2 četvrtine, centrifugalni momenti inercije će se razlikovati samo u znaku. Isto se može reći i za dijelove koji se nalaze u III i IV kvartalu.

statične momente. Određivanje centra gravitacije

Izračunajte statičke momente oko osi Oz i Oy pravougaonik prikazan na sl. 3.3.

Slika 3.3. Za proračun statičkih momenata

ovdje: ALI- površina poprečnog presjeka, y C i z C su koordinate njegovog centra gravitacije. Težište pravougaonika je u preseku dijagonala.

Očigledno, ako ose, u odnosu na koje se izračunavaju statički momenti, prolaze kroz težište figure, tada su njegove koordinate jednake nuli ( z C = 0, y C= 0), a prema formuli (3.6) i statički momenti će biti jednaki nuli. Na ovaj način, težište presjeka je tačka koja ima sljedeće svojstvo: statički moment oko bilo koje ose koja prolazi kroz njega,nula.

Formule (3.6) nam omogućavaju da pronađemo koordinate centra gravitacije z C i y C sekcije složenog oblika. Ako se sekcija može predstaviti kao n dijelova za koje su poznate površine i položaji centara gravitacije, tada se izračunavanje koordinata težišta cijelog presjeka može zapisati kao:

.

(3.7)

Promjena momenata inercije s paralelnim kretanjem osi

Neka su poznati momenti inercije Jz, Jy i Jzy o sekirama Oyz. Potrebno je odrediti momente inercije J Z, J Y i JZY o sekirama O 1 YZ, paralelno sa osama Oyz(Sl. 3.4) i odvojeni od njih udaljenostima a(horizontalno) i b(vertikalno)

Slika 3.4. Promjena momenata inercije s paralelnim kretanjem osi

Osnovne koordinate lokacije dA su međusobno povezani sledećim jednačinama: Z = z + a; Y = y + b.

Izračunajte momente inercije J Z, J Y i JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Ako tačka O ukrštanja osovina Oyz poklapa se sa tačkom OD- statički momenti težišta presjeka (slika 3.5). Sz i Sy postaju jednake nuli, a formule su pojednostavljene Y i i Zi morate uzeti u obzir znakove. Znaci koordinata neće utjecati na aksijalne momente inercije (koordinate su podignute na drugu potenciju), ali će znak koordinate imati značajan utjecaj na centrifugalni moment inercije (proizvod Z i Y i A i može biti negativan).