Jednako nuli:

.

Ortogonalni sistem, ako je potpun, može se koristiti kao osnova za prostor. U ovom slučaju, dekompozicija bilo kojeg elementa može se izračunati po formulama: , gdje je .

Slučaj kada se norma svih elemenata naziva ortonormalnim sistemom.

Ortogonalizacija

Svaki potpuni linearno nezavisan sistem u konačnodimenzionalnom prostoru je osnova. Od proste baze, dakle, može se preći na ortonormalnu bazu.

Ortogonalna dekompozicija

Prilikom dekompozicije vektora vektorskog prostora u ortonormalnoj bazi, proračun skalarnog proizvoda je pojednostavljen: , gdje i .

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Ortogonalni sistem" u drugim rječnicima:

1) Oh... Mathematical Encyclopedia

- (grč. orthogonios pravokutni) konačan ili prebrojiv sistem funkcija koji pripadaju (odvojivom) Hilbertovom prostoru L2(a,b) (kvadratno integrabilne funkcije) i zadovoljavaju uslove Funkcija g(x) se zove. težine O. s. f., * znači ... ... Physical Encyclopedia

Sistem funkcija??n(x)?, n=1, 2,..., definisan na segmentu ORTOGONALNA TRANSFORMACIJA linearna transformacija Euklidski vektorski prostor, koji čuva dužine ili (što je ekvivalentno ovome) skalarne proizvode vektora ... Veliki enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija (φn(x)), n = 1, 2, ..., definisan na segmentu [a, b] i koji zadovoljava sljedeći uvjet ortogonalnosti: za k≠l, gdje je ρ(x) neka funkcija zove težina. Na primjer, trigonometrijski sistem 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija ((fn(x)), n=1, 2, ..., definisanih na segmentu [a, b] i koji zadovoljavaju uslov traga, ortogonalnosti za k nije jednako l, gde je p(x) je negranična funkcija, koja se zove težina Na primjer, trigonometrijski sistem 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. s težinom ... ... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonalni sa težinom ρ (x) na segmentu [a, b], tj. takav da Primjeri. Trigonometrijski sistem 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., OSF sa težinom 1 na intervalu [ π, π]. Bessel … Velika sovjetska enciklopedija

Ortogonalne su koordinate u kojima metrički tenzor ima dijagonalni oblik. gdje je d U ortogonalnim koordinatnim sistemima q = (q1, q², …, qd) koordinatne površine su ortogonalne jedna na drugu. Konkretno, u Kartezijanski sistem koordinate ... ... Wikipedia

ortogonalni višekanalni sistem- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije uopšte EN ortogonalni multipleks ...

(fotogrametrijski) koordinatni sistem slike- Desno ortogonalno prostorni sistem koordinate fiksirane na fotogrametrijskoj slici snimcima referentnih oznaka. [GOST R 51833 2001] Teme fotogrametrija ... Priručnik tehničkog prevodioca

sistem- 4.48 sistemska kombinacija elemenata koji međusobno djeluju organizirani za postizanje jednog ili više navedenih ciljeva Napomena 1 za unos: Sistem se može posmatrati kao proizvod ili usluge koje pruža. Napomena 2 U praksi…… Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Definicija. Vektoria Ib nazivaju ortogonalnim (okomitim) jedni prema drugima ako su njihovi skalarni proizvod jednako nuli, tj.a × b = 0.

Za vektore koji nisu nula a I b nulti skalarni proizvod znači da je cos j= 0, tj. . Nulti vektor je ortogonan na bilo koji vektor, jer a × 0 = 0.

Vježba. Neka i biti ortogonalni vektori. Tada je prirodno uzeti u obzir dijagonalu pravokutnika sa stranama i . Dokaži to

one. kvadrat dužine dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata dužina njegove dvije neparalelne stranice(Pitagorina teorema).

Definicija. Vektorski sistema 1 ,…, a m se naziva ortogonalnim ako su bilo koja dva vektora ovog sistema ortogonalna.

Dakle, za ortogonalni sistem vektora a 1 ,…,a m jednakost je istinita: a i × a j= 0 at i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Ortogonalni sistem koji se sastoji od vektora koji nisu nula je linearno nezavisan. .

□ Dokažimo kontradikcijom. Pretpostavimo da je ortogonalni sistem vektora koji nisu nula a 1 , …, a m linearno zavisna. Onda

l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , pri čemu . (1.15)

Neka je, na primjer, l 1 ¹ 0. Pomnožite sa a 1 obje strane jednakosti (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

Svi članovi, osim prvog, jednaki su nuli zbog ortogonalnosti sistema a 1 , …, a m. Onda l 1 a 1× a 1 =0, odakle slijedi a 1 = 0 , što je u suprotnosti sa uslovom. Naša pretpostavka se pokazala pogrešnom. Dakle, ortogonalni sistem vektora koji nisu nula je linearno nezavisan. ■

Vrijedi sljedeća teorema.

Teorema 1.6. U prostoru R n uvijek postoji baza koja se sastoji od ortogonalni vektori(ortogonalna osnova)
(bez dokaza).

Ortogonalne baze su zgodne, prije svega, jer se koeficijenti ekspanzije proizvoljnog vektora u takvim bazama lako određuju.

Neka je potrebno pronaći dekompoziciju proizvoljnog vektora b u ortogonalnoj osnovi e 1 ,…,e n. Sastavimo ekspanziju ovog vektora sa do sada nepoznatim koeficijentima ekspanzije u ovoj bazi:

Pomnožite obje strane ove jednakosti skalarno vektorom e jedan . Na osnovu aksioma 2° i 3° skalarnog proizvoda vektora, dobijamo

Pošto su bazni vektori e 1 ,…,e n su međusobno ortogonalni, tada su svi skalarni produkti baznih vektora, osim prvog, jednaki nuli, tj. koeficijent se određuje po formuli

Množenjem jednakosti (1.16) drugim baznim vektorima, dobijamo jednostavne formule za izračunavanje koeficijenata ekspanzije vektora b :

Formule (1.17) imaju smisla jer .

Definicija. Vectora naziva se normaliziranim (ili jediničnim) ako je njegova dužina jednaka 1, tj. (a , a )= 1.

Bilo koji vektor različit od nule može se normalizirati. Neka bude a ¹ 0 . Zatim , i vektor je normalizirani vektor.

Definicija. Vektorski sistem e 1 ,…,e n se naziva ortonormalno ako je ortogonalno i ako je dužina svakog vektora sistema 1, tj.

Kako prostor R n uvijek ima ortogonalnu bazu i vektori te baze mogu biti normalizirani, onda R n uvijek ima ortonormalnu bazu.

Primjer ortonormalne baze za prostor Rn je sistem vektora e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) sa skalarnim proizvodom definisanim jednakošću (1.9). U ortonormalnoj osnovi e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formule (1.17) za određivanje koordinata dekompozicije vektora b imaju najjednostavniji oblik:

Neka bude a I b su dva proizvoljna vektora u prostoru Rn sa ortonormalnom osnovom e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Označite koordinate vektora a I b u osnovi e 1 ,…,e n odnosno kroz a 1 ,…,a n I b 1 ,…, b n i pronađite izraz za skalarni proizvod ovih vektora u smislu njihovih koordinata u ovu osnovu, tj. Pretvarajmo se to

Iz posljednje jednakosti, na osnovu aksioma skalarnog proizvoda i relacija (1.18), dobijamo

Konačno imamo

Na ovaj način, u ortonormalnoj bazi, skalarni proizvod bilo koja dva vektora jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora.

Razmotrimo sada potpuno proizvoljnu (općenito govoreći, ne ortonormalnu) bazu u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru R n i pronađemo izraz za skalarni proizvod dva proizvoljna vektora a I b kroz koordinate ovih vektora u specificiranoj bazi. f 1 ,…,f n Euklidski prostor R n skalarni proizvod bilo koja dva vektora bio je jednak zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora, potrebno je i dovoljno da osnova f 1 ,…,f n bio ortonormalan.

Zaista, izraz (1.20) postaje (1.19) ako i samo ako su zadovoljeni odnosi koji uspostavljaju ortonormalnost baze f 1 ,…,f n.

Ako se na ravni odaberu bilo koja dva međusobno okomita vektora jedinične dužine (slika 7), onda se proizvoljni vektor u istoj ravni može proširiti u smjerovima ova dva vektora, tj. predstaviti ga u obliku

gdje su brojevi jednaki projekcijama vektora na smjerove osa. Pošto je projekcija na osu jednaka proizvodu dužine i kosinusa ugla sa osom, onda, podsećajući na definiciju skalarnog proizvoda , možemo pisati

Slično, ako u trodimenzionalni prostor odaberite bilo koja tri međusobno okomita vektora jedinične dužine, onda se proizvoljni vektor u ovom prostoru može predstaviti kao

U Hilbertovom prostoru se mogu razmatrati i sistemi parno ortogonalnih vektora ovog prostora, tj. funkcije

Takvi sistemi funkcija nazivaju se ortogonalnim sistemima funkcija i igraju važnu ulogu u analizi. Oni se susreću u raznim problemima matematičke fizike, integralnih jednačina, približnih proračuna, teorije funkcija realne varijable itd. stvoriti opšti koncept Hilbertov prostor.

Hajde da damo precizne definicije. Funkcijski sistem

naziva se ortogonalnim ako su bilo koje dvije funkcije ovog sistema ortogonalne jedna prema drugoj, tj.

U trodimenzionalnom prostoru, tražili smo da dužine vektora sistema budu jednake jedan. Podsjećajući na definiciju dužine vektora, vidimo da se u slučaju Hilbertovog prostora ovaj zahtjev piše na sljedeći način:

Sistem funkcija koji zadovoljava zahtjeve (13) i (14) naziva se ortogonalnim i normaliziranim.

Navedimo primjere takvih sistema funkcija.

1. Na intervalu razmotrite slijed funkcija

Sve dvije funkcije iz ovog niza su ortogonalne jedna prema drugoj. Ovo se potvrđuje jednostavnim proračunom odgovarajućih integrala. Kvadrat dužine vektora u Hilbertovom prostoru je integral kvadrata funkcije. Dakle, kvadrati dužina vektora sekvenci

suština integrala

tj. naš vektorski niz je ortogonan, ali nije normalizovan. Dužina prvog vektora niza je i sve

ostali imaju dužinu. Deljenjem svakog vektora njegovom dužinom dobijamo ortogonalni i normalizovani sistem trigonometrijske funkcije

Ovaj sistem je istorijski jedan od prvih i najvažnijih primera ortogonalnih sistema. Nastala je u radovima Eulera, D. Bernoullija, D'Alemberta u vezi s problemom vibracija struna. Njegovo proučavanje odigralo je ključnu ulogu u razvoju cjelokupne analize.

Pojava ortogonalnog sistema trigonometrijskih funkcija u vezi sa problemom vibracija struna nije slučajna. Svaki problem malih oscilacija sredine dovodi do određenog sistema ortogonalnih funkcija koje opisuju takozvane prirodne oscilacije datog sistema (vidi § 4). Na primjer, u vezi s problemom vibracija sfere pojavljuju se takozvane sferne funkcije, u vezi s problemom vibracija kružne membrane ili cilindra pojavljuju se tzv. cilindrične funkcije itd.

2. Možemo dati primjer ortogonalnog sistema funkcija čija je svaka funkcija polinom. Takav primjer je niz Legendreovih polinoma

tj. postoji (do konstantnog faktora) izvod reda od . Zapisujemo prvih nekoliko polinoma ovog niza:

Očigledno, postoji polinom stepena uopšte. Ostavljamo čitaocu da sam provjeri da li su ovi polinomi ortogonalni niz na intervalu

Opću teoriju ortogonalnih polinoma (tzv. ortogonalnih polinoma s težinom) razvio je izvanredni ruski matematičar P. L. Čebišev u drugoj polovini 19. vijeka.

Ekspanzija u ortogonalnim sistemima funkcija. Kao iu trodimenzionalnom prostoru, svaki vektor može biti predstavljen

as linearna kombinacija tri uparna ortogonalna vektora jedinične dužine

u prostoru funkcija nastaje problem proširenja proizvoljne funkcije u niz u terminima ortogonalnog i normaliziranog sistema funkcija, tj. predstavljanja funkcije u obliku

U ovom slučaju, konvergencija niza (15) funkciji se razumije u smislu udaljenosti između elemenata u Hilbertovom prostoru. To znači da srednja kvadratna devijacija parcijalne sume serije od funkcije teži nuli na , tj.

Ova konvergencija se obično naziva "prosječnom konvergencijom".

Ekspanzije u različitim sistemima ortogonalnih funkcija često se susreću u analizi i predstavljaju važnu metodu za rješavanje problema matematičke fizike. Tako, na primjer, ako je ortogonalni sistem sistem trigonometrijskih funkcija na intervalu

onda je takvo proširenje klasično proširenje funkcije u trigonometrijski niz

Pretpostavimo da je proširenje (15) moguće za bilo koju funkciju iz Hilbertovog prostora i pronađite koeficijente takve ekspanzije. Da bismo to učinili, množimo obje strane jednakosti skalarno istom funkcijom našeg sistema. Dobijamo jednakost

od čega je, zbog činjenice da je at određena vrijednošću koeficijenta

Vidimo da su, kao iu običnom trodimenzionalnom prostoru (vidi početak ovog paragrafa), koeficijenti jednaki projekcijama vektora na smjerove vektora.

Podsjećajući na definiciju skalarnog proizvoda, dobivamo da su koeficijenti proširenja funkcije u terminima ortogonalnog i normaliziranog sistema funkcija

određuju se formulama

Kao primjer, razmotrite ortogonalni normalizirani trigonometrijski sistem funkcija dat gore:

Dobili smo formulu za izračunavanje koeficijenata proširenja funkcije u trigonometrijski niz, naravno uz pretpostavku da je to proširenje moguće.

Ustanovili smo oblik koeficijenata proširenja (18) funkcije u terminima ortogonalnog sistema funkcija pod pretpostavkom da se takva ekspanzija odvija. Međutim, beskonačan ortogonalni sistem funkcija možda neće biti dovoljan za proširenje bilo koje funkcije iz Hilbertovog prostora u smislu njega. Da bi takva dekompozicija bila moguća, sistem ortogonalnih funkcija mora zadovoljiti dodatni uslov, takozvani uslov potpunosti.

Ortogonalni sistem funkcija naziva se potpun ako mu je nemoguće dodati jednu funkciju koja nije identično nula i ortogonalna svim funkcijama sistema.

Lako je dati primjer nekompletnog ortogonalnog sistema. Da bismo to učinili, uzimamo neki ortogonalni sistem, na primjer, isti

sistem trigonometrijskih funkcija i isključiti jednu od funkcija ovog sistema, na primjer, preostali beskonačni sistem funkcija

će i dalje biti ortogonalna, naravno, neće biti potpuna, budući da je funkcija : koju smo isključili ortogonalna na sve funkcije sistema.

Ako sistem funkcija nije potpun, onda se svaka funkcija iz Hilbertovog prostora ne može proširiti u smislu njega. Zaista, ako pokušamo da proširimo nultu funkciju ortogonalnu na sve funkcije sistema u takvom sistemu, tada će, na osnovu formule (18), svi koeficijenti biti jednaki nuli, dok funkcija nije jednaka nuli.

Vrijedi sljedeća teorema: ako je dat kompletan ortogonalni i normalizirani sistem funkcija u Hilbertovom prostoru, onda se svaka funkcija može proširiti u niz u smislu funkcija ovog sistema

U ovom slučaju, koeficijenti proširenja jednaki su projekcijama vektora na elemente ortogonalnog normaliziranog sistema

Pitagorina teorema u § 2 u Hilbertovom prostoru omogućava nam da pronađemo zanimljivu relaciju između koeficijenata i funkcije.Označimo razlikom između i zbirom prvih članova njenog niza, tj.

Takav podskup vektora $\backslash lijevo\backslash (\; \backslash varphi\_i\; \backslash desno\backslash )\backslash podskup\; H$ da su bilo koja različita dva od njih ortogonalna, to jest da je njihov proizvod tačaka nula:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Ortogonalni sistem, ako je potpun, može se koristiti kao osnova za prostor. U ovom slučaju, dekompozicija bilo kojeg elementa $\backslash vec\; a$ može se izračunati pomoću formula: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, gdje $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

Slučaj kada je norma svih elemenata $||\backslash varphi\_i||=1$, naziva se ortonormalnim sistemom.

Ortogonalizacija

Svaki potpuni linearno nezavisan sistem u konačnodimenzionalnom prostoru je osnova. Od proste baze, dakle, može se preći na ortonormalnu bazu.

Ortogonalna dekompozicija

Prilikom dekompozicije vektora vektorskog prostora u ortonormalnoj bazi, proračun skalarnog proizvoda je pojednostavljen: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, gdje $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$ I $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

vidi takođe

Napišite recenziju na članak "Ortogonalni sistem"

Izvod koji karakteriše ortogonalni sistem

- Pa, šta hoćeš? Svi ste zaljubljeni ovih dana. Pa, zaljubljena, pa se udaj za njega! reče grofica, ljutito se smejući. - Sa Bogom!
“Ne, majko, nisam zaljubljena u njega, ne smijem biti zaljubljena u njega.
„Pa, ​​samo mu to reci.
- Mama, jesi li ljuta? Ne ljuti se draga, šta sam ja kriva?
„Ne, šta je, prijatelju? Ako hoćeš, otići ću da mu kažem - rekla je grofica smešeći se.
- Ne, ja lično, samo podučavam. Tebi je sve lako”, dodala je, odgovarajući na osmeh. „A ako ste videli kako mi je ovo rekao!“ Uostalom, znam da on to nije htio reći, ali je to slučajno rekao.
- Pa, ipak moraš da odbiješ.
- Ne, ne moraš. Žao mi ga je! On je tako sladak.
Pa, prihvati ponudu. A onda je vrijeme da se udamo - rekla je majka ljutito i podrugljivo.
„Ne, mama, tako mi ga je žao. Ne znam kako da kažem.
„Da, nemaš šta da kažeš, sama ću reći“, rekla je grofica, ogorčena što su se usudili da na ovu malu Natašu gledaju kao na veliku.
„Ne, nema šanse, ja sam sam, a ti slušaj na vratima“, a Nataša je kroz dnevnu sobu utrčala u hodnik, gde je Denisov sedeo na istoj stolici, za klavikordom, pokrivajući lice svojim ruke. Poskočio je na zvuk njenih laganih koraka.
- Natalie, - rekao je, prilazeći joj brzim koracima, - odluči o mojoj sudbini. Ona je u tvojim rukama!
"Vasilije Dmitrič, tako mi te je žao!... Ne, ali ti si tako fin... ali nemoj... to je... ali uvek ću te voleti takvog."