Logaritam kompleksnog broja. Kompleksni logaritmi

Plan:

1 Realni logaritam
- 1.1 Svojstva
- 1.2 logaritamska funkcija
- 1.3 prirodni logaritmi
- 1.4 Decimalni logaritmi
2 Kompleksni logaritam
- 2.1 Definicija i svojstva
- 2.2 Primjeri
- 2.3 Analitički nastavak
- 2.4 Rimanova površina
3 Istorijski pregled
- 3.1 Realni logaritam
- 3.2 Kompleksni logaritam
4 Logaritamske tablice
5 Aplikacije

Uvod

Rice. 1. Grafovi logaritamskih funkcija

Logaritam broja b razumom a (iz grčkog. λόγος - "riječ", "stav" i ἀριθμός - “broj”) se definiše kao indikator stepena do kojeg se baza mora podići a da dobijem broj b. Oznaka: . Iz definicije slijedi da su unosi i ekvivalentni.

Na primjer, jer .

1. Realni logaritam

Logaritam dnevnika realnog broja a b ima smisla kada . Kao što znate, eksponencijalna funkcija y = a x je monotona i svaka vrijednost uzima samo jednom, a raspon njenih vrijednosti sadrži sve pozitivne realne brojeve. Iz toga slijedi da je vrijednost realnog logaritma pozitivan broj uvijek postoji i jedinstveno je određen.

Najviše se koriste sljedeće vrste logaritama.

1.1. Svojstva

Dokaz

Dokažimo to.

(jer po uslovu bc > 0). ■

Dokaz

Dokažimo to

(jer prema uslovu ■

Dokaz

Iskoristimo identitet da to dokažemo. Obje strane identiteta logaritiramo bazi c. Dobijamo:

Dokaz

Dokažimo to.

(jer b str> 0 po uslovu). ■

Dokaz

Dokažimo to

Dokaz

Uzmite logaritam lijeve i desne strane na bazu c :

Lijeva strana: Desna strana:

Jednakost izraza je očigledna. Pošto su logaritmi jednaki, onda zbog monotonosti logaritamska funkcija sami izrazi su jednaki. ■

1.2. logaritamska funkcija

Ako posmatramo logaritamski broj kao promenljivu, dobijamo logaritamska funkcija y= log a x (vidi sliku 1). Definiran je na . Raspon vrijednosti: .

Funkcija se striktno povećava za a> 1 i striktno se smanjuje na 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Pravo x= 0 je lijeva vertikalna asimptota, jer at a> 1 i na 0< a < 1 .

Derivat logaritamske funkcije je:

Dokaz

I. Hajde da to dokažemo

Hajde da zapišemo identitet e ln x = x i razlikovati njegovu lijevu i desnu stranu

Dobijamo to , odakle to slijedi

II. Dokažimo to

Logaritamska funkcija implementira izomorfizam multiplikativna grupa pozitivno realni brojevi i aditivnu grupu svih realnih brojeva.

1.3. prirodni logaritmi

Odnos s decimalnim logaritmom: .

Kao što je gore navedeno, izvod prirodnog logaritma ima jednostavnu formulu:

Zbog toga se prirodni logaritmi uglavnom koriste u matematičkim istraživanjima. Često se pojavljuju kada diferencijalne jednadžbe, proučavanje statističkih zavisnosti (na primjer, distribucija primarni brojevi) itd.

Neodređeni integral prirodnog logaritma lako je pronaći integracijom po dijelovima:

Proširenje serije Taylor može se predstaviti na sljedeći način:
kada je jednakost

(1)

posebno,

Ovaj niz konvergira brže, a osim toga, lijeva strana formule sada može izraziti logaritam bilo kojeg pozitivnog broja.

1.4. Decimalni logaritmi

Rice. 2a. Logaritamska skala

Rice. 2b. Logaritamska skala sa simbolima

Logaritmi na osnovu 10 (simbol: lg a) prije pronalaska kalkulatora su se naširoko koristili za proračune. Neuniformna skala decimalnih logaritama se obično primjenjuje i na pravila slajdova. Slična skala se koristi u mnogim poljima nauke, na primjer:

Fizika - intenzitet zvuka (decibeli).
Astronomija je skala za sjaj zvijezda.
Hemija - aktivnost vodonikovih jona (pH).
Seizmologija - Richterova skala.
Muzička teorija - muzička ljestvica, u odnosu na frekvencije muzičkih zvukova.
Istorija je logaritamska vremenska skala.

Logaritamska skala se takođe široko koristi za identifikaciju eksponenta u eksponencijalnim zavisnostima i koeficijenta u eksponentu. Istovremeno, graf izgrađen na logaritamskoj skali duž jedne ili dvije ose poprima oblik ravne linije, što je lakše proučavati.

2. Kompleksni logaritam

2.1. Definicija i svojstva

Za kompleksne brojeve, logaritam se definira na isti način kao i realni. U praksi se gotovo isključivo koristi prirodni kompleksni logaritam koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takav da e z = w . Kompleksni logaritam postoji za bilo koji , i njegov pravi dio je jednoznačno određen, dok imaginarni ima beskonačan broj vrijednosti. Iz tog razloga se naziva viševrijedna funkcija. Ako zamislite w u eksponencijalnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Evo pravog logaritma, r = | w | , k je proizvoljan cijeli broj. Vrijednost dobijena kada k= 0 se poziva glavni značaj složeni prirodni logaritam; uobičajeno je uzeti vrijednost argumenta u njemu u intervalu (− π,π] . Odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija se zove glavna grana logaritam i označava se sa . Ponekad se označava i vrijednost logaritma, koji ne leži na glavnoj grani.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Budući da su složene trigonometrijske funkcije povezane s eksponencijalom (Eulerova formula), kompleksni logaritam, kao inverz eksponencijalne funkcije, povezan je s inverznim trigonometrijske funkcije. Primjer takve veze:

2.2. Primjeri

Evo glavne vrijednosti logaritma za neke argumente:

Treba biti oprezan kada pretvarate složene logaritme, uzimajući u obzir da su oni viševrijedni, pa stoga jednakost logaritama bilo kojeg izraza ne podrazumijeva jednakost ovih izraza. Primjer pogrešnog zaključivanja:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - očigledan apsurd.

Imajte na umu da je glavna vrijednost logaritma na lijevoj strani, a vrijednost iz osnovne grane na desnoj strani ( k= − 1 ). Razlog greške je nepažljivo korištenje svojstva, koje, općenito govoreći, u složenom slučaju podrazumijeva cijeli beskonačan skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

2.3. Analitički nastavak

Rice. 3. Kompleksni logaritam (imaginarni dio)

Logaritam kompleksni broj također se može definirati kao analitički nastavak realnog logaritma na cijelu kompleksnu ravan. Neka kriva Γ počinje od 1, ne prolazi kroz nulu i ne siječe negativni dio realne ose. Zatim glavna vrijednost logaritma u krajnjoj tački w kriva Γ se može odrediti formulom:

Ako je Γ jednostavna kriva (bez samopresjeka), tada se za brojeve koji leže na njoj bez straha mogu primijeniti logaritamski identiteti, npr.

Ako je dozvoljeno da krivulja Γ siječe negativni dio realne ose, tada prvi takav presjek prenosi rezultat iz grane glavne vrijednosti u susjednu granu, a svaki sljedeći presjek uzrokuje sličan pomak duž grana logaritamske funkcije ( vidi sliku).

Iz formule analitičkog nastavka slijedi da na bilo kojoj grani logaritma

Za bilo koji krug S zatvarajući tačku 0:

Integral se uzima u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Ovaj identitet leži u osnovi teorije ostataka.

Također se može definirati analitički nastavak kompleksnog logaritma koristeći gornju seriju (1), generaliziranu na slučaj složen argument. Međutim, iz vrste proširenja proizlazi da je ono jednako nuli na jedinici, odnosno da se niz odnosi samo na glavnu granu viševrijedne funkcije kompleksnog logaritma.

2.4. Rimanova površina

Kompleksna logaritamska funkcija je primjer Riemannove površine; njegov imaginarni dio (slika 3) sastoji se od beskonačnog broja grana uvijenih u obliku spirale. Ova površina je jednostavno povezana; njegova jedina nula (prvog reda) se dobija pomoću z= 1 , posebne tačke: z= 0 i (tačke grananja beskonačnog reda).

Rimanova površina logaritma je univerzalno pokrivanje za složena ravan bez tačke 0.

3. Istorijski pregled

3.1. Realni logaritam

Potreba za složenim proračunima u 16. veku je brzo rasla, a veliki deo poteškoća bio je povezan sa množenjem i deljenjem višecifrenih brojeva, kao i izvlačenjem korena. Krajem vijeka, nekoliko matematičara, gotovo istovremeno, došlo je na ideju: zamijeniti dugotrajno množenje jednostavnim sabiranjem, upoređujući geometrijske i aritmetičke progresije pomoću posebnih tablica, dok će geometrijska biti originalna. Tada se deljenje automatski zamenjuje nemerljivo jednostavnijim i pouzdanijim oduzimanjem, a izvlačenje korena stepena n svodi na dijeljenje logaritma radikalnog izraza sa n. On je prvi objavio ovu ideju u svojoj knjizi Arithmetica integra» Michael Stiefel, koji, međutim, nije uložio ozbiljne napore da implementira svoju ideju.

Godine 1614, škotski matematičar amater John Napier objavio je na Latinski esej pod nazivom " Opis nevjerovatne logaritamske tablice"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Imalo je Kratki opis logaritmi i njihova svojstva, kao i osmocifrene tablice logaritama sinusa, kosinusa i tangenta, sa korakom od 1". logaritam, koji je predložio Napier, etablirao se u nauci. Napier je izložio teoriju logaritama u svojoj drugoj knjizi " Pravljenje nevjerovatne tablice logaritama"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), koji je posthumno objavio njegov sin 1619.

Koncept funkcije još nije postojao, a Napier je odredio logaritam kinematički, upoređujući jednolično i logaritamski usporeno kretanje; na primjer, definirao je logaritam sinusa na sljedeći način:

Logaritam datog sinusa je broj koji se uvijek aritmetički povećava istom brzinom kao što je puni sinus počeo geometrijski da se smanjuje.

U modernoj notaciji, Napierov kinematički model može se predstaviti diferencijalnom jednadžbom: dx/x = -dy/M, gdje je M faktor skaliranja uveden da vrijednost postane cijeli broj sa željenim brojem znamenki ( decimale još nije u širokoj upotrebi). Napier je uzeo M = 10000000.

Strogo govoreći, Napier je tablično prikazao pogrešnu funkciju, koja se sada zove logaritam. Ako njegovu funkciju označimo kao LogNap(x), onda je ona povezana s prirodnim logaritmom na sljedeći način:

Očigledno, LogNap (M) = 0, odnosno, logaritam "punog sinusa" je nula - to je Napier tražio svojom definicijom. .

Glavno svojstvo Napierovog logaritma: ako se količine oblikuju geometrijska progresija, tada njihovi logaritmi formiraju aritmetičku progresiju. Međutim, pravila za logaritam za ne-Pierovu funkciju razlikovala su se od pravila za moderni logaritam.

Na primjer, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Nažalost, sve vrijednosti u Napierovoj tabeli sadržavale su računsku grešku nakon šeste znamenke. Međutim, to nije spriječilo novu metodu izračunavanja da stekne široku popularnost, a mnogi evropski matematičari, uključujući Keplera, preuzeli su kompilaciju logaritamskih tablica. Već 5 godina kasnije, 1619. godine, londonski učitelj matematike John Spydell ( John Spidell) ponovo objavio Napierove tabele, transformisane tako da su zapravo postale tabele prirodnih logaritama (iako je Spydell zadržao skaliranje na cele brojeve). Termin "prirodni logaritam" skovao je italijanski matematičar Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) sredinom XVI vijeka.

1620-ih Edmund Wingate i William Oughtred izumili su prvo klizno pravilo, prije pojave džepnih kalkulatora, nezamjenjivog alata za inženjera.

Blisko modernom shvatanju logaritma – kao operacije inverzne dizanju na stepen – prvi put se pojavio kod Wallisa i Johanna Bernoullija, a konačno ga je legalizovao Ojler u 18. veku. U Uvodu u analizu beskonačnosti (1748), Euler je dao moderne definicije i eksponencijalne i logaritamske funkcije, dovele su do njihovog širenja u nizove stepena, a posebno je istaknuta uloga prirodnog logaritma.

Ojler takođe ima zaslugu proširenja logaritamske funkcije na kompleksnu oblast.

3.2. Kompleksni logaritam

Prve pokušaje proširenja logaritma na kompleksne brojeve napravili su na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće Leibniz i Johann Bernoulli, ali nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što koncept samog logaritma još nije bio jasan. definisano. Diskusija o ovom pitanju prvo se vodila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom XVIII vijeka - između d'Alemberta i Eulera. Bernuli i d'Alembert su smatrali da je potrebno definisati log(-x) = log(x). Kompletna teorija logaritme negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747-1751 i suštinski se ne razlikuje od modernog.

Iako se spor nastavio (D'Alembert je branio svoje gledište i detaljno ga argumentovao u članku u svojoj Enciklopediji i drugim radovima), Ojlerovo gledište je brzo steklo opšte priznanje.

4. Logaritamske tablice

Logaritamske tablice

Iz svojstava logaritma proizlazi da je umjesto dugotrajnog množenja viševrijednih brojeva dovoljno pronaći (iz tablica) i sabrati njihove logaritme, a zatim izvršiti potenciranje pomoću istih tabela, odnosno pronaći vrijednost rezultata prema njegovom logaritmu. Izvođenje dijeljenja razlikuje se samo po tome što se logaritmi oduzimaju. Laplas je rekao da je pronalazak logaritama "produžio život astronomima" tako što je uveliko ubrzao proces računanja.

Prilikom pomicanja decimalne točke u broju na n cifara, vrijednost decimalnog logaritma ovog broja mijenja se u n. Na primjer, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Iz toga slijedi da je dovoljno napraviti tablicu decimalnih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier (1614), a sadržavale su samo logaritme trigonometrijskih funkcija, i to s greškama. Nezavisno od njega, Joost Burgi, Keplerov prijatelj, objavio je njegove tabele (1620). Godine 1617. profesor matematike na Oksfordu Henry Briggs objavio je tabele koje su već uključivale decimalne logaritme samih brojeva, od 1 do 1000, sa 8 (kasnije 14) cifara. Ali Briggsove tabele su takođe pokazale greške. Prvo nepogrešivo izdanje zasnovano na Vega tablicama (1783.) pojavilo se tek 1857. u Berlinu (Bremiver tabele).

U Rusiji su prve tablice logaritama objavljene 1703. uz učešće L. F. Magnitskog. U SSSR-u je objavljeno nekoliko zbirki tablica logaritama.

Bradis V. M.Četvorocifrene matematičke tabele. 44. izdanje, M., 1973.

Korištene su Bradysove tablice (1921.). obrazovne institucije i u inženjerskim proračunima koji ne zahtijevaju veliku tačnost. Sadržavale su mantise decimalnih logaritama brojeva i trigonometrijskih funkcija, prirodne logaritme i neke druge korisne alate za računanje.

Vega G. Tabele sedmocifrenih logaritama, 4. izdanje, M., 1971.

Profesionalna kolekcija za tačne proračune.

Petoznamenkaste tablice prirodnih vrijednosti trigonometrijskih veličina, njihovi logaritmi i logaritmi brojeva, 6. izd., M.: Nauka, 1972.
Tabele prirodnih logaritama, 2. izdanje, u 2 toma, Moskva: Nauka, 1971.

Trenutno, sa širenjem kalkulatora, nestala je potreba za korištenjem tablica logaritama.

M, Karakteristika (kompleksna analiza).

(od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) se zove takav broj c, And b= a c, odnosno log α b=c I b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Drugim riječima logaritam brojevi b razumom ali formulisan kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b.

Na primjer:

log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .

Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućava da se odmah odredi vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određena snaga baze. Zaista, formulacija logaritma omogućava da se opravda da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki od. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepen broja.

Pominje se izračunavanje logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzme logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.

Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sumi termina se pretvaraju u proizvod faktora.

Vrlo često se koriste realni logaritmi sa bazama 2 (binarni), e Eulerovim brojem e ≈ 2,718 (prirodni logaritam) i 10 (decimalno).

U ovoj fazi, vredi razmisliti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer se u prvom od njih pod znakom logaritma stavlja negativan broj, u drugom - negativan broj u bazu, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinice u bazi.

Uslovi za određivanje logaritma.

Vrijedi posebno razmotriti uslove a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto se uzimaju ova ograničenja. Ovo će nam pomoći sa jednakošću oblika x = log α b, nazvan osnovnim logaritamskim identitetom, što direktno proizilazi iz gore date definicije logaritma.

Uzmite uslov a≠1. Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.

Hajde da dokažemo neophodnost uslova a>0. At a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda shodno tome log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, pošto je nula na bilo koji stepen koji nije nula. Da bi se otklonila ova dvosmislenost, uslov a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, jer je eksponent sa racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Iz tog razloga je stanje a>0.

I poslednji uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, jer je x=log α b, i vrijednost stepena sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.

Osobine logaritama.

Logaritmi karakteriše karakteristično karakteristike, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se uvelike olakšala mukotrpna izračunavanja. U prelasku "u svijet logaritama" množenje se pretvara u mnogo lakše sabiranje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na stepen i uzimanje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.

Formulaciju logaritama i tablicu njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) prvi je objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tabele, uvećane i detaljnije od strane drugih naučnika, bile su široko korišćene u naučnim i inženjerskim proračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronski kalkulatori i računari.

Date su glavne karakteristike logaritma, graf logaritma, domen definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, povećanje i smanjenje. Razmatra se pronalaženje derivacije logaritma. I također integralno, proširenje u snaga serije i predstavljanje pomoću kompleksnih brojeva.

Sadržaj

Domen, skup vrijednosti, rastući, silazni

Logaritam je monotonska funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tabeli.


Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Raspon vrijednosti	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotona	monotono raste	monotono opada
Nule, y= 0	x= 1	x= 1
Tačke presjeka sa y-osom, x = 0	br	br
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privatne vrijednosti

Poziva se logaritam baze 10 decimalni logaritam i označen je ovako:

osnovni logaritam e pozvao prirodni logaritam:

Osnovne logaritamske formule

Svojstva logaritma koji proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzima logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sumi termina se pretvaraju u proizvode faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane za logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrite imovinu eksponencijalna funkcija
.
Onda
.
Primijenite svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu promjene baze.
;
.
Postavljanje c = b , imamo:

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost logaritma baze a je eksponencijalna funkcija s eksponentom a.

Ako onda

Derivat logaritma

Derivat logaritma po modulu x :
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Da bismo pronašli derivaciju logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.

Integral

Integral logaritma se izračunava integracijom po dijelovima : .
dakle,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Izrazimo kompleksan broj z preko modula r i argument φ :
.
Zatim, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or

Međutim, argument φ nije jasno definisano. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
onda će to biti isti broj za različite n.

Dakle, logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje serije snaga

Za , proširenje se odvija:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Vidi također:

Eksponencijalna funkcija realne varijable (za pozitivno tlo) određuje se u nekoliko koraka. Prvo, za prirodne vrijednosti - kao proizvod jednakih faktora. Definicija se zatim proširuje na negativne cjelobrojne i različite od nule vrijednosti za po pravilima. Nadalje, razmatraju se frakcioni indikatori u kojima se vrijednost eksponencijalne funkcije određuje korištenjem korijena: . Za iracionalne vrijednosti, definicija je već povezana sa osnovnim konceptom matematičke analize - sa prelaskom do granice, iz razloga kontinuiteta. Sva ova razmatranja ni na koji način nisu primjenjiva na pokušaje proširenja eksponencijalne funkcije na kompleksne vrijednosti indikatora, a što je, na primjer, potpuno neshvatljivo.

Ojler je prvi put uveo stepen sa kompleksnim eksponentom sa prirodnom bazom na osnovu analize niza konstrukcija integralnog računa. Ponekad vrlo slični algebarski izrazi kada su integrirani daju potpuno različite odgovore:

Istovremeno, ovdje se drugi integral formalno dobija od prvog zamjenom sa

Iz ovoga možemo zaključiti da su, uz pravilnu definiciju eksponencijalne funkcije sa kompleksnim eksponentom, inverzne trigonometrijske funkcije povezane s logaritmima, pa je eksponencijalna funkcija povezana sa trigonometrijskim funkcijama.

Ojler je imao hrabrosti i mašte da da razumnu definiciju za eksponencijalnu funkciju sa bazom, naime,

Ovo je definicija, pa stoga ova formula nije dokazana, samo se mogu tražiti argumenti u prilog razumnosti i svrsishodnosti takve definicije. Matematička analiza daje dosta argumenata ove vrste. Ograničićemo se samo na jedno.

Poznato je da realno vrijedi granična relacija: . Na desnoj strani nalazi se polinom koji ima smisla čak i za kompleksne vrijednosti za . Granica niza kompleksnih brojeva definirana je na prirodan način. Niz se smatra konvergentnim ako se nizovi realnog i imaginarnog dijela konvergiraju i uzima se

Hajde da nađemo. Da bismo to učinili, okrećemo se trigonometrijskom obliku, a za argument ćemo odabrati vrijednosti iz intervala. Sa ovim izborom, jasno je da za . dalje,

Da bi se prešlo na granicu, potrebno je provjeriti postojanje ograničenja za i pronaći ove granice. Jasno je da i

Tako u izrazu

pravi dio teži , imaginarni - tako da

Ovaj jednostavan argument daje jedan od argumenata u korist Ojlerove definicije eksponencijalne funkcije.

Utvrdimo sada da se prilikom množenja vrijednosti eksponencijalne funkcije eksponenti zbrajaju. stvarno:

2. Ojlerove formule.

Stavili smo u definiciju eksponencijalne funkcije. Dobijamo:

Zamenivši b sa -b, dobijamo

Sabiranjem i oduzimanjem ovih jednakosti član po član, nalazimo formule

nazvane Eulerove formule. Oni uspostavljaju vezu između trigonometrijskih funkcija i eksponencijalnih sa imaginarnim eksponentima.

3. Prirodni logaritam kompleksnog broja.

Kompleksni broj dat u trigonometrijskom obliku može se zapisati u obliku Ovaj oblik pisanja kompleksnog broja naziva se eksponencijalni. Zadržava sva dobra svojstva trigonometrijskog oblika, ali je još sažetiji. Nadalje, stoga je prirodno pretpostaviti da je realni dio logaritma kompleksnog broja logaritam njegovog modula, imaginarni deo je njegov argument. Ovo donekle objašnjava "logaritamsko" svojstvo argumenta - argument proizvoda jednak je zbiru argumenata faktora.

Dokaz formule .

= =

budući da sinus i kosinus ne zavise od sabiranja ugla koji je višekratnik

A ova jednakost je već očigledna, jer je ovo trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Dakle, logaritam postoji za sve tačke u ravni, osim za nulu. Za realan pozitivan broj, argument je 0, tako da je ovaj beskonačan skup tačaka , odnosno, jedna od vrijednosti, naime, na , pasti će na realnu osu. Ako izračunamo logaritam negativnog broja, dobijamo , odnosno skup točaka je pomaknut prema gore i nijedna od njih ne pada na realnu os.

Iz formule se može vidjeti da samo kada je argument originalnog broja nula, jedna od vrijednosti logaritma pada na realnu osu. A ovo odgovara desnoj poluosi, i zato su se u toku školske matematike razmatrali samo logaritmi pozitivnih brojeva. Logaritmi negativnih i imaginarnih brojeva također postoje, ali nemaju jednu vrijednost na realnoj osi.

Sljedeći crtež pokazuje gdje se u ravni nalaze sve vrijednosti logaritma pozitivnog broja. Jedan od njih je na realnoj osi, ostali su iznad i ispod za , , i tako dalje. Za negativan ili kompleksan broj, argument nije nula, tako da se ovaj niz tačaka pomera okomito, što rezultira bez tačaka na realnoj osi.

Primjer. Izračunati .

Rješenje. Definirajmo modul broja (jednak 2) i argument 180 0 , tj. Tada = .

Dodatak 1. Pitanja za dokaze (za karte).

Predavanje #1

1. Dokazati formulu za integraciju po dijelovima.

Predavanje #2

1. Dokazati da zamjena , gdje je r = LCM (r 1 ,...,r k) svodi integral na integral racionalnog razlomka.

2. Dokazati da zamjena smanjuje integral oblika na integral racionalnog razlomka.

3. Izvedite formule transformacije za sinus i kosinus

Za univerzalnu trigonometrijsku promjenu.

4. Dokazati da u slučaju kada je funkcija neparna u odnosu na kosinus, zamjena svodi integral na racionalni razlomak.

5. Dokazati to u slučaju kada

zamjena: svodi integral na racionalni razlomak.

6. Dokazati to za integral oblika

7. Dokažite formulu

8. Dokazati to za integral oblika zamjena ima svoj vlastiti integral za racionalni razlomak.

9. Dokazati to za integral oblika zamjena svodi integral na racionalni razlomak.

Predavanje #3

1. Dokazati da je funkcija je antiderivat funkcije .

2. Dokažite Newton-Leibniz formulu: .

3. Dokažite formulu za dužinu eksplicitno date krive:

4. Dokažite formulu za dužinu krive date u polarnim koordinatama

Predavanje #4

Dokazati teoremu: konvergira, konvergira.

Predavanje #5

1. Eksplicitno izvedite (dokažite) formulu površine zadata površina .

2. Izvođenje formula za prijelaz na polarne koordinate.

3. Derivacija Jacobijeve determinante polarnih koordinata.

4. Izvođenje formula za prijelaz na cilindrične koordinate.

5. Derivacija Jacobijeve determinante cilindrične koordinate.

6. Izvođenje formula za prijelaz na sferne koordinate:

Predavanje #6

1. Dokažite da zamjena svodi homogenu jednačinu na jednačinu sa odvojivim varijablama.

2. Povući se opšti oblik linearno homogena jednačina.

3. Izvesti opšti prikaz rješenja linearne nehomogene jednačine Lagrangeovom metodom.

4. Dokažite da zamjena svodi Bernoullijevu jednačinu na linearnu jednačinu.

Predavanje broj 7.

1. Dokažite da zamjena snižava red jednačine za k.

2. Dokažite da zamjena snižava red jednačine za jedan .

3. Dokazati teoremu: Funkcija je rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe, postoji karakterističan korijen.

4. Dokazati teoremu da linearna kombinacija rješenja linearne homogene dif. jednačina je ujedno i njeno rješenje.

5. Dokažite teoremu o nametanju rješenja: Ako je rješenje linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe s desnom stranom, i rješenje iste diferencijalne jednadžbe, ali s desnom stranom, onda je zbroj rješenje jednadžbe sa desnom stranom.

Predavanje broj 8.

1. Dokazati teoremu da je sistem funkcija linearno zavisan.

2. Dokazati teoremu da postoji n linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n.

3. Dokažite da ako je 0 korijen višestrukosti , tada sistem rješenja koji odgovara ovom korijenu ima oblik .

Predavanje broj 9.

1. Dokažite pomoću eksponencijalnog oblika da se pri množenju kompleksnih brojeva moduli množe i argumenti sabiraju.

2. Dokazati De Moivreovu formulu za stepen n

3. Dokažite formulu za korijen reda n kompleksnog broja

4. Dokažite to I

su generalizacije sinusa i kosinusa, tj. za realni brojevi prema ovim formulama dobiće se sinus (kosinus).

5. Dokažite formulu za logaritam kompleksnog broja:

Dodatak 2

Mala i usmena pitanja o poznavanju teorije (za kolokvijume).

Predavanje #1

1. Šta je antiderivat i neodređeni integral, Koja je razlika?

2. Objasni zašto je i antiderivativ.

3. Napišite formulu za integraciju po dijelovima.

4. Koja je zamjena potrebna u integralu forme i kako se eliminiraju korijeni?

5. Zapišite vrstu proširenja integrala racionalnog razlomka u najjednostavnije u slučaju kada su svi korijeni različiti i realni.

6. Zapišite vrstu proširenja integrala racionalnih razlomaka u jednostavne u slučaju kada su svi korijeni realni i postoji jedan višestruki korijen k.

Predavanje broj 2.

1. Napiši kakva je dekompozicija racionalnog razlomka na najjednostavniji u slučaju kada imenilac ima faktor 2 stepena sa negativnim diskriminantom.

2. Koja zamjena svodi integral na racionalni razlomak?

3. Šta je univerzalna trigonometrijska zamjena?

4. Koje se zamjene vrše u slučajevima kada je funkcija pod predznakom integrala neparna u odnosu na sinus (kosinus)?

5. Koje se zamjene rade ako integrand sadrži izraze , , ili .

Predavanje broj 3.

1. Definicija određenog integrala.

2. Navedite neka od glavnih svojstava određenog integrala.

3. Napišite Newton-Leibniz formulu.

4. Napišite formulu za zapreminu tijela okretanja.

5. Napišite formulu za dužinu eksplicitne krive.

6. Napišite formulu za dužinu parametarske krive.

Predavanje broj 4.

1. Definicija nepravilnog integrala (uz pomoć limita).

2. Koja je razlika između nepravih integrala 1. i 2. vrste.

3. Navedite jednostavne primjere konvergentnih integrala 1. i 2. vrste.

4. Za koje integrale (T1) konvergiraju.

5. Kako je konvergencija povezana sa konačnom granicom antiderivata (T2)

6. Šta je neophodan znak konvergencija, njena formulacija.

7. Znak poređenja u konačnom obliku

8. Test poređenja u graničnom obliku.

9. Definicija višestrukog integrala.

Predavanje broj 5.

1. Promjena redoslijeda integracije, pokazati na najjednostavnijem primjeru.

2. Napišite formulu za površinu.

3. Šta je polarne koordinate, pisati prelazne formule.

4. Šta je Jakobijan polarnog koordinatnog sistema?

5. Šta su cilindrične i sferne koordinate, koja je njihova razlika.

6. Šta je Jakobijan cilindričnih (sfernih) koordinata.

Predavanje broj 6.

1. Šta je diferencijalna jednačina 1. reda (opći pogled).

2. Šta je diferencijalna jednačina 1. reda, riješena s obzirom na izvod. Dajte neki primjer.

3. Šta je jednačina sa odvojivim varijablama.

4. Šta je opšte, posebno rešenje, Cauchy uslovi.

5. Šta je homogena jednačina, koja je opšta metoda za njeno rješavanje.

6. Šta je linearna jednačina, koji je algoritam za njegovo rješavanje, šta je Lagrangeova metoda.

7. Šta je Bernulijeva jednačina, algoritam za njeno rješavanje.

Predavanje broj 7.

1. Koja je zamjena potrebna za jednadžbu oblika .

2. Koja je zamjena potrebna za jednačinu oblika .

3. Pokažite na primjerima kako se to može izraziti kao .

4. Šta je linearna diferencijalna jednadžba reda n.

5. Šta je karakteristični polinom, karakteristična jednačina.

6. Formulirajte teoremu na kojoj je r funkcija rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe.

7. Formulirajte teoremu da je linearna kombinacija rješenja linearne homogene jednadžbe ujedno i njeno rješenje.

8. Navedite teoremu nametanja rješenja i njene posljedice.

9. Šta su linearno zavisni i linearno nezavisni sistemi funkcija, navedite neke primjere.

10. Koja je Wronskyjeva determinanta sistema od n funkcija, navedite primjer Wronskyjeve determinante za LZS i LNS sisteme.

Predavanje broj 8.

1. Koje svojstvo ima determinanta Wronskyja ako je sistem linearno zavisna funkcija.

2. Koliko linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n postoji.

3. Definicija FSR-a ( fundamentalni sistem rješenja) linearne homogene jednadžbe reda n.

4. Koliko funkcija je sadržano u SRF-u?

5. Zapišite oblik sistema jednačina za nalaženje Lagrangeovom metodom za n=2.

6. Zapišite vrstu određenog rješenja u slučaju kada

7. Šta je linearni sistem diferencijalne jednadžbe, napišite primjer.

8. Šta je autonomni sistem diferencijalnih jednačina.

9. fizičko značenje sistemi diferencijalnih jednadžbi.

10. Zapišite od kojih funkcija se sastoji FSR sistema jednačina, ako su poznate sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori glavne matrice ovog sistema.

Predavanje broj 9.

1. Šta je imaginarna jedinica.

2. Šta je konjugirani broj i šta se dešava kada se pomnoži sa originalnim.

3. Šta je trigonometrija, indikativni oblik kompleksni broj.

4. Napišite Eulerovu formulu.

5. Šta je modul, argument kompleksnog broja.

6. šta se dešava sa modulima i argumentima tokom množenja (dijeljenja).

7. Napišite De Moivreovu formulu za stepen n.

8. Napišite formulu za korijen reda n.

9. Napišite generalizirane sinusne i kosinusne formule za složeni argument.

10. Napišite formulu za logaritam kompleksnog broja.

Prilog 3. Zadaci sa predavanja.

Predavanje #1

Primjer. . Primjer. .

Primjer. Primjer. .

Primjer. . Primjer. .

Predavanje #2

Primjer. . Primjer. .

Primjer. . Primjer.. , gdje, broj .

Primjer. Podijelite u eksponencijalnom obliku.

Primjer. Pronađite po De Moivreovoj formuli.

Primjer. Pronađite sve korijenske vrijednosti.