1) Opseg funkcije i opseg funkcija.
Opseg funkcije je skup svih važećih valjanih vrijednosti argumenta x(promenljiva x) za koju je funkcija y = f(x) definisano. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvata.
U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.
2) Nule funkcije.
Nula funkcije je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.
3) Intervali konstantnosti predznaka funkcije.
Intervali predznaka konstante funkcije su takvi skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.
4) Monotonost funkcije.
Povećajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
Opadajuća funkcija (u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
5) Parne (neparne) funkcije.
Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na y-os.
Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
6) Ograničene i neograničene funkcije.
Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, onda je funkcija neograničena.
7) Periodičnost funkcije.
Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da je za bilo koji x iz domena funkcije f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).
19. Osnovni elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u privredi.
Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi
1. Linearna funkcija.
Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.
Broj ali koji se naziva nagib prave linije, jednak je tangenti ugla nagiba ove prave linije u odnosu na pozitivan smjer x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dvije tačke.
Svojstva linearne funkcije
1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D (y) \u003d R
2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R
3. Funkcija uzima nultu vrijednost za ili.
4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.
5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencibilna i .
2. Kvadratna funkcija.
Funkcija oblika, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni.
Odds a, b, c odrediti lokaciju grafa na koordinatnoj ravni
Koeficijent a određuje smjer grana. Graf kvadratne funkcije je parabola. Koordinate vrha parabole nalaze se po formulama:
Svojstva funkcije:
2. Skup vrijednosti jednog od intervala: ili.
3. Funkcija uzima nulte vrijednosti kada 
, pri čemu se diskriminanta izračunava po formuli:.
4. Funkcija je kontinuirana u cijeloj domeni definicije i derivacija funkcije je jednaka .
Koncept funkcije. Ograničene karakteristike.
Definicija funkcije: Ako je svaki broj x iz skupa brojeva D povezan s jednim brojem y, onda kažu da je funkcija f data na skupu D i pišu y = f (x), gdje se x naziva nezavisnim varijabla ili argument ove funkcije, a skup D je domena ove funkcije.
Ograničene i neograničene funkcije. Funkcija se poziva ograničeno ako postoji takav pozitivan broj Mšta | f(x) | M za sve vrednosti x . Ako takav broj ne postoji, onda funkcija postoji neograničeno.
PRIMJERI.
Funkcije su parne, neparne, monotone.
Parne i neparne funkcije. Ako za bilo koji x iz opsega definicije funkcije odvija se: f(- x) = f (x), tada se poziva funkcija čak; ako radi: f(- x) = - f (x), tada se poziva funkcija odd. Grafikon parne funkcije simetrično oko Y ose(Sl.5), graf neparne funkcije simetrično oko porijeklo(Sl. 6).
monotonska funkcija. Ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x 1 i x 2 uslova x 2 >x 1 slijedi f(x 2 ) >f(x 1), zatim funkciju f(x) pozvao povećanje; ako za bilo koji x 1 i x 2 uslova x 2 >x 1 slijedi f(x 2 ) <f(x 1 ), zatim funkciju f(x) se zove opadanje. Poziva se funkcija koja se samo povećava ili smanjuje monotono.
3. Numerički nizovi. Definicija i primjeri.
Reći ćemo da je varijabla x jesti uređena varijabla, ako je poznato područje njegove promjene i za svaku od bilo koje dvije njegove vrijednosti može se reći koja je od njih prethodna, a koja sljedeća. Poseban slučaj uređene varijable je varijabla čije se vrijednosti formiraju niz brojeva x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Za takve vrijednosti na i< j, i, j Î N , značenje x i smatra se prethodnim, x j– naknadno, bez obzira koja je od ovih vrijednosti veća. Dakle, numerički niz je varijabla čije se uzastopne vrijednosti mogu prenumerisati. Numerički niz će biti označen sa . Pojedinačni brojevi niza nazivaju se njegovim elementi.
Na primjer, numerički niz se formira od sljedećih veličina:
3. , gdje a, d su konstantni brojevi.
Granica numeričkog niza.
Broj a pozvao limit sekvence x = {x n) ako za proizvoljan unaprijed zadani proizvoljno mali pozitivan broj ε postoji takav prirodni broj N, to za sve n>N nejednakost |x n - a|< ε.
Ako broj a postoji ograničenje sekvence x = {x n), onda to kažu x n teži da a, i napišite .
Da bismo ovu definiciju formulirali u geometrijskim terminima, uvodimo sljedeći pojam. Susjedstvo tačke x 0 naziva se proizvoljnim intervalom ( a, b) koji sadrži ovu tačku u sebi. Često se razmatra susjedstvo tačke x0, za koji x0 je onda sredina x0 pozvao centar susjedstvo, i količina ( b–a)/2 – radijus susjedstvo.
Dakle, hajde da saznamo šta geometrijski znači koncept granice numeričkog niza. Da bismo to učinili, zapisujemo posljednju nejednakost iz definicije u obliku Ova nejednakost znači da svi elementi niza s brojevima n>N mora ležati u intervalu (a – ε; a + ε).
Dakle, konstantan broj a je granica numeričkog niza ( x n) ako je za bilo koje malo susjedstvo sa središtem u tački a poluprečnik ε (ε su okoline tačke a) postoji takav element niza sa brojem N da svi naredni elementi sa brojevima n>Nće biti unutar ovog naselja.
Primjeri.
1. Neka je varijabla x uzima vrijednosti sekvencijalno
Dokažimo da je granica ovog numeričkog niza jednaka 1. Uzmimo proizvoljan pozitivan broj ε. Moramo pronaći takav prirodan broj N, to za sve n>N nejednakost | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.
zatim ispuniti relaciju |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N bilo koji prirodan broj koji zadovoljava nejednakost , dobijamo ono što nam treba. Dakle, ako uzmemo, na primjer, , onda, postavljanje N= 6, za sve n>6 imaćemo .
2. Koristeći definiciju granice numeričkog niza, dokazati da .
Uzmite proizvoljno ε > 0. Razmotrite Onda , ako je ili , tj. . Stoga biramo bilo koji prirodan broj koji zadovoljava nejednakost .
Primjeri.
3. Uzmite u obzir. At x→1 brojilac razlomka teži 1, a imenilac 0. Ali pošto, tj. je infinitezimalna funkcija za x→ 1, onda
Teorema 4. Neka su date tri funkcije f(x), u(x) I v(x), zadovoljavajući nejednakosti u (x)≤f(x)≤v(x). Ako funkcije u(x) I v(x) imaju istu granicu x→a(ili x→∞), zatim funkciju f(x) teži istoj granici, tj. ako
Teorema 5. Ako na x→a(ili x→∞) funkcija y=f(x) uzima nenegativne vrijednosti y≥0 i teži krajnjim granicama b, tada ova granica ne može biti negativna: b≥0.
Dokaz. Dokaz će biti izveden kontradikcijom. Pretvarajmo se to b<0 , onda |y – b|≥|b| i, prema tome, modul razlike ne teži nuli na x→a. Ali onda y ne ide do krajnjih granica b at x→a, što je u suprotnosti sa uslovom teoreme.
Teorema 6. Ako dvije funkcije f(x) I g(x) za sve vrijednosti argumenta x zadovoljiti nejednakost f(x)≥ g(x) i imaju granice , tada imamo nejednakost b≥c.
Dokaz. Prema teoremi f(x)-g(x) ≥0, dakle, prema teoremi 5 , ili .
6. Otkrivanje nesigurnosti (0/0), ∞ -∞
I. Neizvjesnost.
Prilikom dekomponovanja brojioca na faktore, koristili smo pravilo za dijeljenje polinoma polinomom „uglom“. Od broja x=1 je korijen polinoma x 3 – 6x2 + 11x– 6, onda pri dijeljenju dobijemo
7. Granica sekvence . Koncept prirodnog logaritma.
DRUGA Izvanredna GRANICA
primjeri:
osnovni logaritam e (e- naziva se transcendentalni broj približno jednak 2,718281828 ...). prirodni logaritam. Prirodni logaritam broja x označen ln x. Prirodni logaritmi se široko koriste u matematici, fizici i inženjerskim proračunima.
Logaritmi se široko koriste
baza, koja se naziva prirodnim. Prirodni logaritmi su označeni simbolom
Koncept granice funkcije.
Koncept kontinuiteta funkcije direktno je povezan sa konceptom granice funkcije.
Broj A naziva se granica funkcije f u tački a, koja je granična za skup E, ako za bilo koju okolinu V(A) tačke A postoji probušena okolina tačke a takva da je njena slika ispod preslikavanja f je podskup date okoline V(A) tačke A.
Granica funkcije f u tački a, koja je granica za skup E, označava se na sljedeći način: ili , ako je moguće izostaviti spominjanje skupa E.
Budući da se svakom susjedstvu može pridružiti vlastito regularno (simetrično) susjedstvo, definicija granice se može formulirati u jeziku -δ u obliku koji je uobičajen u matematičkoj analizi:
Granica funkcije u tački f u tački a, koja je granica za skup E, direktno je povezana sa granicom niza.
Razmotrićemo sve moguće nizove tačaka skupa E koje imaju tačku a kao svoju granicu, i odgovarajuće nizove vrednosti funkcija u tačkama niza. Ako granica funkcije funkcije f u tački a postoji, onda će ovo ograničenje biti granica svakog niza.
Obratno je također istinito: ako se svi nizovi konvergiraju na istu vrijednost, tada funkcija ima ograničenje jednako datoj vrijednosti.
PRVA Izvanredna GRANICA
Funkcija nije definirana kada x=0, pošto brojilac i imenilac razlomka nestaju. Grafikon funkcije je prikazan na slici.
Međutim, granicu ove funkcije možete pronaći na X→0.
Predstavljamo dokaz napisane formule. Razmotrimo krug radijusa 1 i pretpostavimo da je ugao α, izražen u radijanima, unutar 0< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Iz slike se vidi da
SΔOAC .
Pošto su naznačene površine respektivno jednake
S∆OAC=0,5∙OC∙OA grijeh α= 0.5sinα, S sect. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC= 0.5tga.
shodno tome,
sinα< α < tg α.
Sve članove nejednakosti dijelimo sa sin α > 0: .
ali . Stoga, na osnovu teoreme 4 o granicama, zaključujemo da se izvedena formula naziva prva izuzetna granica.
Dakle, prva izuzetna granica služi za otkrivanje neizvjesnosti. Imajte na umu da se rezultirajuća formula ne smije brkati s ograničenjima Primjeri.
11.Limit i povezana ograničenja.
DRUGA Izvanredna GRANICA
Druga izuzetna granica služi za otkrivanje nesigurnosti 1 ∞ i izgleda ovako
Obratimo pažnju na činjenicu da u formuli za drugu izuzetnu granicu eksponent mora sadržavati izraz koji je suprotan onome koji se dodaje jedinici u bazi (pošto je u ovom slučaju moguće unijeti promjenu varijabli i smanjiti željenu granicu na drugu izuzetnu granicu)
Primjeri.
1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 je beskonačno malo za x→1, budući da (vidi sliku).
2. Funkcija f(x)=tg x je beskonačno mala pri x→0.
3. f(x)= log(1+ x) je beskonačno mala pri x→0.
4. f(x) = 1/x je beskonačno mala pri x→∞.
Hajde da uspostavimo sledeću važnu relaciju:
Teorema. Ako je funkcija y=f(x) zastupljen na x→a kao zbir konstantnog broja b i beskonačno mali α(x): f(x)=b+ α(x) onda .
Obrnuto, ako , tada f(x)=b+α(x), gdje sjekira) je beskonačno mala pri x→a.
Dokaz.
1. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Od jednakosti f(x)=b+α(x) trebalo bi |f(x) – b|=| α|. Ali pošto sjekira) je beskonačno mala, onda za proizvoljno ε postoji δ, susjedstvo tačke a, za sve x od kojih, vrednosti sjekira) zadovoljiti odnos |α(x)|< ε. Onda |f(x) – b|< ε. A to znači da .
2. Ako , tada za bilo koje ε >0 za sve X iz nekog δ je susjedstvo tačke aće |f(x) – b|< ε. Ali ako označimo f(x) – b= α, onda |α(x)|< ε, što znači da a- beskonačno mali.
Razmotrimo glavna svojstva infinitezimalnih funkcija.
Teorema 1. Algebarski zbir dva, tri i općenito bilo kojeg konačnog broja infinitezimala je infinitezimalna funkcija.
Dokaz. Dajemo dokaz za dva člana. Neka bude f(x)=α(x)+β(x), gdje i . Moramo dokazati da za proizvoljno mali ε > 0 tamo δ> 0, tako da za x zadovoljavanje nejednakosti |x- a|<δ , izvedeno |f(x)|< ε.
Dakle, fiksiramo proizvoljan broj ε > 0. Pošto je, prema hipotezi teoreme, α(x) je infinitezimalna funkcija, onda postoji δ 1 > 0, koji u |x – a|< δ 1 imamo |α(x)|< ε / 2. Isto tako, pošto β(x) je beskonačno mala, onda postoji takav δ 2 > 0, koji u |x – a|< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.
Uzmimo δ=min(δ1 , δ2 } .Onda u susjedstvu točke a radijus δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Dakle, u ovom naselju će ih biti
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,
one. |f(x)|< ε, što je trebalo dokazati.
Teorema 2. Posao je beskonačan mala funkcija sjekira) za ograničenu funkciju f(x) at x→a(ili kada x→∞) je infinitezimalna funkcija.
Dokaz. Od funkcije f(x) je ograničen, onda postoji broj M tako da za sve vrijednosti x iz nekog susedstva tačke a|f(x)|≤M. Osim toga, pošto sjekira) je infinitezimalna funkcija za x→a, tada za proizvoljno ε > 0 postoji susjedstvo tačke a, u kojoj je nejednakost |α(x)|< ε /M. Zatim u manjem od ovih naselja koje imamo | αf|< ε /M= ε. A to znači to af- beskonačno mali. Za tu priliku x→∞ dokaz se izvodi na sličan način.
Iz dokazane teoreme slijedi:
Posljedica 1. Ako i tada
Posljedica 2. Ako i c= const, zatim .
Teorema 3. Omjer infinitezimalne funkcije α(x) po funkciji f(x), čija je granica različita od nule, je infinitezimalna funkcija.
Dokaz. Neka bude . Zatim 1 /f(x) postoji ograničena funkcija. Dakle, razlomak je proizvod infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je beskonačno mala.
Primjeri.
1. Jasno je da za x→+∞ funkcija y=x 2 + 1 je beskonačan. Ali onda, prema gore formuliranoj teoremi, funkcija je infinitezimalna u x→+∞, tj. .
Obrnuta teorema se također može dokazati.
Teorema 2. Ako je funkcija f(x)- beskonačno mali u x→a(ili x→∞) i onda ne nestaje y= 1/f(x) je beskonačna funkcija.
Dokažite teoremu sami.
Primjeri.
3. , budući da su funkcije i beskonačno male za x→+∞, tada je zbir infinitezimalnih funkcija infinitezimalna funkcija. Funkcija je zbir konstantnog broja i beskonačno male funkcije. Stoga, prema teoremu 1, za infinitezimalne funkcije dobijamo traženu jednakost.
Dakle, najjednostavnija svojstva beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija mogu se napisati korištenjem sljedećih uvjetnih odnosa: A≠ 0
13. Beskonačno male funkcije istog reda, ekvivalentne beskonačno male.
Beskonačno male funkcije i nazivaju se infinitezimalnimi istog reda malenosti ako , Označite . I, konačno, ako ne postoji, onda su infinitezimalne funkcije i neuporedive.
PRIMJER 2. Poređenje infinitezimalnih funkcija
Ekvivalentne infinitezimalne funkcije.
Ako , tada se pozivaju infinitezimalne funkcije i ekvivalentan, označimo ~ .
Lokalno ekvivalentne funkcije:
Kada ako
Neke ekvivalentnosti(u ):
Jednostrane granice.
Do sada smo razmatrali definiciju granice funkcije kada x→a proizvoljno, tj. granica funkcije nije ovisila o tome kako je x prema a, lijevo ili desno od a. Međutim, prilično je uobičajeno pronaći funkcije koje nemaju ograničenja pod ovim uvjetom, ali imaju ograničenje ako x→a, ostajući na jednoj strani ali, lijevo ili desno (vidi sl.). Stoga se uvodi koncept jednostranih granica.
Ako f(x) teži krajnjim granicama b at x težeći nekom broju a tako x uzima samo vrijednosti manje od a, zatim pišite i pozovite kraj funkcije f(x) u tački a na lijevoj strani.
Dakle, broj b naziva se granica funkcije y=f(x) at x→a na lijevoj strani, ako postoji bilo koji pozitivan broj ε, postoji broj δ (manji od a
Slično, ako x→a i poprima velike vrijednosti a, zatim pišite i pozovite b ograničenje funkcije u jednoj tački ali desno. One. broj b pozvao granica funkcije y=f(x) na x→a desno, ako postoji bilo koji pozitivan broj ε, postoji i takav broj δ (veći od ali) da nejednakost vrijedi za sve .
Imajte na umu da ako su granice lijevo i desno u jednoj tački a za funkciju f(x) ne podudaraju, tada funkcija nema (dvostrano) ograničenje u tački ali.
Primjeri.
1. Razmotrite funkciju y=f(x), definisan na segmentu kako slijedi
Nađimo granice funkcije f(x) at x→ 3. Očigledno, a
Drugim riječima, za bilo koji proizvoljno mali broj epsilona postoji tolika delta, ovisno o epsilonima, da iz činjenice da za bilo koji x koji zadovoljava nejednakost slijedi da će razlika u vrijednostima funkcije u tim tačkama biti proizvoljno mali.
Kriterijum za kontinuitet funkcije u tački:
Funkcijaće kontinuirano u tački A ako i samo ako je kontinuirana u tački A i s desne i s lijeve strane, tj. da bi dvije jednostrane granice postojale u tački A, one su jedna drugoj jednake i jednake vrijednosti funkcija u tački A.
Definicija 2: Funkcija je kontinuirana na skupu ako je kontinuiran u svim tačkama ovog skupa.
Derivat funkcije u tački
Neka je dano definirano u susjedstvu . Razmislite
Ako ovo ograničenje postoji, onda se poziva derivacija funkcije f u tački .
Derivat funkcije- granica omjera inkrementa funkcije i inkrementa argumenta, kada se argument povećava.
Operacija izračunavanja ili pronalaženja derivacije u tački se zove diferencijaciju .
Pravila diferencijacije.
derivat funkcije f(x) u tački x=x 0 je omjer prirasta funkcije u ovoj tački i priraštaja argumenta, budući da potonji teži nuli. Pronalaženje derivacije se naziva diferencijaciju. Derivat funkcije se izračunava prema opštem pravilu diferencijacije: Označimo f(x) = u, g(x) = v- funkcije koje se mogu razlikovati u jednoj tački X. Osnovna pravila diferencijacije 1) (izvod zbira je jednak zbiru derivacija) 2) (dakle, posebno, slijedi da je izvod proizvoda funkcije i konstante jednak umnošku izvoda ove funkcije po konstanti) 3) Derivat količnika: ako je g 0 4) Derivat kompleksne funkcije: 5) Ako je funkcija postavljena parametarski: , tada
Primjeri.
1. y = x a - funkcija snage sa proizvoljnim indeksom.
Implicitna funkcija
Ako je funkcija data jednadžbom y=ƒ(x) riješenom u odnosu na y, tada je funkcija data eksplicitno (eksplicitna funkcija).
Ispod implicitno zadavanje funkcije razumiju dodjelu funkcije u obliku jednačine F(x;y)=0, što nije dozvoljeno u odnosu na y.
Bilo koji očigledno datu funkciju y=ƒ(x) može se implicitno napisati kao dato jednačinomƒ(x)-y=0, ali ne i obrnuto.
Nije uvijek lako, a ponekad i nemoguće, riješiti jednačinu za y (na primjer, y+2x+cozy-1=0 ili 2y-x+y=0).
Ako je implicitna funkcija data jednadžbom F(x; y)=0, tada za pronalaženje derivacije y u odnosu na x nema potrebe rješavati jednačinu s obzirom na y: dovoljno je razlikovati ovu jednačinu u odnosu na x, dok se y razmatra kao funkcija od x, a zatim riješite rezultirajuću jednačinu s obzirom na y".
Derivat implicitne funkcije izražava se u terminima argumenta x i funkcije y.
primjer:
Naći derivaciju funkcije y date jednadžbom x 3 +y 3 -3xy=0.
Rješenje: Funkcija y je implicitno definirana. Razlikovati s obzirom na x jednakost x 3 +y 3 -3xy=0. Iz rezultirajućeg omjera
3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0
slijedi da je y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, tj. y "= (y-x 2) / (y 2 -x).
Derivati višeg reda
Jasno je da je derivat
funkcije y=f(x) postoji i funkcija iz x:
y"=f" (x)
Ako je funkcija f"(x) je diferencibilan, onda se njegov izvod označava simbolom y""=f""(x) x dvaput.
Izvod drugog izvoda, tj. funkcije y""=f""(x), zove se treći izvod funkcije y=f(x) ili izvod funkcije f(x) trećeg reda i simboliziran je
Uopšte n-i derivat ili derivat n-th funkcija reda y=f(x) označene simbolima
F-la Leibniz:
Pretpostavimo da su funkcije i diferencijabilne zajedno sa svojim derivatima do n-tog reda uključujući. Primjenom pravila diferencijacije proizvoda dviju funkcija dobijamo
Uporedimo ove izraze sa snagama binoma:
Pravilo korespondencije je upečatljivo: da biste dobili formulu za derivaciju 1., 2. ili 3. reda iz proizvoda funkcija i , morate zamijeniti stupnjeve i u izrazu za (gdje n= 1,2,3) derivati odgovarajućih redova. Osim toga, nulte potencije i treba da budu zamijenjene derivatima nultog reda, što znači funkcije i :
Uopštavanje ovog pravila na slučaj derivacije proizvoljnog reda n, dobijamo Leibnizova formula,
gdje su binomni koeficijenti:
Rolleova teorema.
Ova teorema omogućava pronalaženje kritičnih tačaka, a zatim korištenje dovoljne uslove istražiti f-yu za ekstreme.
Neka je 1) f-ti f(x) definiran i kontinuiran na nekom zatvorenom intervalu; 2) postoji konačan izvod, barem u otvorenom intervalu (a;b); 3) na krajevima interval f-i uzima jednake vrijednosti f(a) = f(b). Tada između tačaka a i b postoji takva tačka c da će izvod u ovoj tački biti = 0.
Prema teoremi o svojstvu f-ti koje su neprekidne na segmentu, f-ti f(x) preuzima na ovom segmentu njegove maksimalne i min vrijednosti.
f (x 1) = M - max, f (x 2) = m - min; x 1 ;x 2 O
1) Neka je M = m, tj. m £ f(x) £ M
Þ f-ti f(x) će poprimiti interval od a do b konstantnih vrijednosti, a Þ njegov izvod će biti jednak nuli. f'(x)=0
2) Neka je M>m
Jer prema uslovima teoreme, f(a) = f(b) z je najmanji ili najveći f-ta vrijednost neće uzeti na krajevima segmenta, već će Þ uzeti M ili m u unutrašnjoj tački ovog segmenta. Tada prema Fermatovoj teoremi f'(c)=0.
Lagrangeova teorema.
Formula konačnog prirasta ili Lagrangeova teorema srednje vrijednosti navodi da ako funkcija f kontinuirano na segmentu [ a;b] i diferencibilan u intervalu ( a;b), onda postoji tačka takva da
Cauchyjev teorem.
Ako su funkcije f(x) i g(x) kontinuirane na intervalu i diferencibilne na intervalu (a, b) i g¢(x) ¹ 0 na intervalu (a, b), tada postoji barem jedan tačka e, a< e < b, такая, что
One. omjer prirasta funkcija na ovom segmentu jednak je omjeru derivacija u tački e. Primjeri rješavanja zadataka tok predavanja Proračun zapremine tijela po poznati trgovi njegov paralelne sekcije Integralni račun
Primjeri izvođenja seminarski rad elektrotehnike
Za dokazivanje ove teoreme, na prvi pogled, vrlo je zgodno koristiti Lagrangeovu teoremu. Zapišite formulu konačne razlike za svaku funkciju, a zatim ih podijelite jednu s drugom. Međutim, ovaj stav je pogrešan, jer tačka e za svaku od funkcija je općenito drugačija. Naravno, u nekim posebnim slučajevima ova tačka intervala može biti ista za obje funkcije, ali ovo je vrlo rijetka slučajnost, a ne pravilo, pa se stoga ne može koristiti za dokazivanje teoreme.
Dokaz. Razmotrite pomoćnu funkciju
Kada je x→x 0, vrijednost c također teži x 0; pređimo prethodnu jednakost do granice:
Jer , zatim .
Zbog toga
(granica omjera dva infinitezimala jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako potonji postoji)
L'Hopitalovo pravilo, na ∞ / ∞.
Funkciju y=f(x) OGRANIČENO (ODNO) na skupu A iz domene D(f) zvaćemo ako postoji takav broj M , da je za bilo koji x iz ovog postavljen uslov
Koristeći logičke simbole, definicija se može napisati kao:
f(x) – omeđen odozgo na setu
(f(x) – ograničeno odozdo na setu
Funkcije ograničene apsolutnom vrijednošću ili jednostavno ograničene se također uvode u razmatranje.
Pozvat ćemo funkciju OGRANIČENU na skupu A iz domene definicije ako postoji pozitivan broj M takav da
Jezikom logičkih simbola
f(x) – ograničeno na setu
Funkcija koja nije ograničena naziva se neograničena. Znamo da definicije date kroz negaciju imaju malo sadržaja. Da bismo ovu tvrdnju formulisali kao definiciju, koristimo svojstva kvantifikatorskih operacija (3.6) i (3.7). Tada će poricanje ograničenosti funkcije na jeziku logičkih simbola dati:
f(x) – ograničeno na setu
Dobiveni rezultat nam omogućava da formuliramo sljedeću definiciju.
Funkcija se naziva NEOGRANIČENA na skupu A, koji pripada domeni funkcije, ako na ovom skupu za bilo koji pozitivan broj M postoji takva vrijednost argumenta x , da će vrijednost i dalje premašiti vrijednost M, odnosno, .
Kao primjer, razmotrite funkciju
Definiran je na cijeloj realnoj osi. Ako uzmemo segment [–2;1] (skup A), onda će na njemu biti omeđen i odozgo i odozdo.
Zaista, da bismo pokazali da je ograničen odozgo, moramo razmotriti predikat
i pokazati da postoji (postoji) M takvo da će za sve x uzeti na segmentu [–2;1] biti tačno
Nije teško naći takvog M. Možemo pretpostaviti da je M = 7, kvantifikator postojanja podrazumijeva pronalaženje barem jedne vrijednosti M. Prisustvo takvog M potvrđuje činjenicu da je funkcija na segmentu [–2;1] ograničena odozgo.
Da bismo dokazali njegovu ograničenost odozdo, moramo razmotriti predikat
Vrijednost M, koja osigurava istinitost ovog predikata, je, na primjer, M = -100.
Može se dokazati da će funkcija biti i ograničena po modulu: za sve x iz segmenta [–2;1], vrijednosti funkcije se poklapaju sa vrijednostima , dakle, kao M, možemo uzeti , na primjer, prethodna vrijednost M = 7.
Pokažimo da će ista funkcija, ali na intervalu , biti neograničena, tj.
Da biste pokazali da takav x postoji, razmotrite izjavu
Tražeći tražene vrijednosti x među pozitivnim vrijednostima argumenta, dobijamo
To znači da bez obzira na pozitivno Mwe, vrijednosti x osiguravaju ispunjenje nejednakosti
se dobijaju iz omjera.
Razmatrajući funkciju na cijeloj realnoj osi, može se pokazati da je neograničena u apsolutnoj vrijednosti.
Zaista, iz nejednakosti
Odnosno, bez obzira koliko je veliko pozitivno M, ili će osigurati ispunjenje nejednakosti .
EKSTREMNA FUNKCIJA.
Funkcija ima u točki od lokalni maksimum (minimum) ako postoji takva okolina ove tačke da za x¹ od ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost
posebno da tačka ekstrema može biti samo unutrašnja tačka jaza, a f(x) mora biti definisana u njoj. Mogući slučajevi odsustva ekstremuma prikazani su na Sl. 8.8.
Ako se funkcija povećava (smanjuje) na nekom intervalu i smanjuje (povećava) u nekom intervalu, tada je tačka od je tačka lokalni maksimum(minimum).
Odsustvo maksimuma funkcije f(x) u tački od može se formulisati ovako:
_______________________
f(x) ima maksimum na c
To znači da ako tačka c nije lokalna tačka maksimuma, onda bez obzira na susjedstvo koje uključuje tačku c kao unutrašnju, postoji barem jedna vrijednost x koja nije jednaka c, za koju . Dakle, ako nema maksimuma u tački c, onda možda uopšte ne postoji ekstrem u ovoj tački, ili može biti tačka minimuma (slika 8.9).
Koncept ekstrema daje komparativnu procjenu vrijednosti funkcije u bilo kojoj tački u odnosu na one u blizini. Slično poređenje vrijednosti funkcije može se napraviti za sve točke nekog intervala.
NAJVEĆA (MINIMALNA) vrijednost funkcije na skupu je njena vrijednost u tački iz ovog skupa tako da je – za . Najveća vrijednost funkcije postiže se u unutrašnjoj tački segmenta , a najmanja – na njegovom lijevom kraju.
Za određivanje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije date na segmentu, potrebno je izabrati najveći (najmanji) broj među svim vrijednostima njenih maksimuma (minimuma), kao i vrijednosti uzetih na krajevi intervala. To će biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije. Ovo pravilo će biti precizirano kasnije.
Problem pronalaženja najvećeg i najmanjih vrednosti funkcije na otvorenom intervalu nisu uvijek lako riješene. Na primjer, funkcija
u intervalu (slika 8.11) ih nema.
Uvjerimo se, na primjer, da ova funkcija nema najveću vrijednost. Zaista, s obzirom na monotonost funkcije, može se tvrditi da bez obzira koliko blizu postavimo vrijednosti x lijevo od jedinice, postojat će drugi x u kojem će vrijednosti funkcije biti veće od njegove vrijednosti u datim fiksnim tačkama, ali još uvijek manje od jedinice.
Teorema o granici monotone funkcije. Dokaz teoreme je dat korištenjem dvije metode. Date su i definicije strogo rastuće, neopadajuće, strogo opadajuće i nerastuće funkcije. Definicija monotone funkcije.
SadržajFunkcija nije ograničena odozgo
1.1. Neka je broj b konačan: .
1.1.2. Neka je funkcija neograničena odozgo.
.
u .
Označimo . Onda za bilo koji postoji , tako da
u .
To znači da je granica lijevo u tački b (pogledajte "Definicije jednostranih beskonačnih granica funkcije u krajnjoj točki").
b rano plus beskonačnost
Funkcija ograničena odozgo
1. Neka se funkcija ne smanjuje na intervalu .
1.2.1. Neka je funkcija odozgo ograničena brojem M : za .
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.
Pošto je funkcija ograničena odozgo, postoji konačna gornja granica
.
Prema definiciji najmanje gornje granice, ispunjeni su sljedeći uslovi:
;
za svako pozitivno postoji argument za koji
.
Budući da se funkcija ne smanjuje, onda za . Zatim u . Or
u .
Tako smo otkrili da za bilo koji postoji broj , tako da
u .
"Definicije jednostranih granica u beskonačnosti").
Funkcija nije ograničena odozgo
1. Neka se funkcija ne smanjuje na intervalu .
1.2. Neka je broj b plus beskonačnost: .
1.2.2. Neka je funkcija neograničena odozgo.
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.
Budući da funkcija nije ograničena odozgo, tada za bilo koji broj M postoji argument , za koji
.
Budući da se funkcija ne smanjuje, onda za . Zatim u .
Dakle, za bilo koji postoji broj , tako da
u .
To znači da je granica na (pogledajte "Definicije jednostranih beskonačnih granica u beskonačnosti").
Funkcija se ne povećava
Sada razmotrite slučaj kada se funkcija ne povećava. Možete, kao što je gore navedeno, razmotriti svaku opciju zasebno. Ali mi ćemo ih odmah pokriti. Za ovo koristimo. Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.
Razmotrimo konačnu donju granicu skupa vrijednosti funkcije:
.
Ovdje B može biti ili konačan broj ili beskonačna tačka. Prema definiciji egzaktnog infimuma, ispunjeni su sljedeći uslovi:
;
za bilo koju okolinu tačke B postoji argument za koji
.
Po uvjetu teoreme, . Zbog toga .
Budući da se funkcija ne povećava, onda za . Od tada
u .
Or
u .
Nadalje, primjećujemo da nejednakost definira lijevo probušeno susjedstvo tačke b.
Dakle, našli smo da za bilo koju okolinu tačke , postoji takva probušena lijeva okolina tačke b da
u .
To znači da je granica lijevo u tački b:
(vidi univerzalnu definiciju granice funkcije prema Cauchyju).
Ograničenje u tački a
Sada pokažimo da postoji granica u tački a i pronađimo njenu vrijednost.
Razmotrimo funkciju. Po uvjetu teoreme, funkcija je monotona za . Zamenimo promenljivu x sa - x (ili izvršimo supstituciju i zatim zamenimo varijablu t sa x). Tada je funkcija monotona za . Množenjem nejednakosti sa -1 i mijenjajući njihov redoslijed, zaključujemo da je funkcija monotona za .
Na sličan način, lako je pokazati da ako se ne smanjuje, onda se ne povećava. Zatim, prema onome što je gore dokazano, postoji granica
.
Ako se ne povećava, onda se ne smanjuje. U ovom slučaju postoji granica
.
Sada ostaje pokazati da ako postoji granica funkcije na , onda postoji granica funkcije na , a ove granice su jednake:
.
Hajde da uvedemo notaciju:
(1)
.
Izrazimo f u terminima g:
.
Uzmi proizvoljan pozitivan broj. Neka postoji epsilon susjedstvo tačke A. Epsilon susjedstvo je definirano i za konačne i za beskonačne vrijednosti A (pogledajte "Okruženje tačke"). Pošto postoji granica (1), onda, prema definiciji granice, za bilo koje postoji takva da
u .
Neka je a konačan broj. Izrazimo lijevu probušenu okolinu tačke -a koristeći nejednačine:
u .
Zamenimo x sa -x i uzmimo u obzir sledeće:
u .
Posljednje dvije nejednakosti definiraju probijenu desnu okolinu tačke a . Onda
u .
Neka je a beskonačan broj, . Ponavljamo diskusiju.
at ;
at ;
at ;
u .
Dakle, otkrili smo da za bilo koje postoji takvo što
u .
To znači da
.
Teorema je dokazana.
Vidi također:Lekcija i prezentacija na temu: "Svojstva funkcije. Povećanje i smanjenje funkcije"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 9. razred
Interaktivni vodič za učenje za 9. razred "Pravila i vježbe iz geometrije"
Elektronski udžbenik "Razumljiva geometrija" za 7-9 razred
Ljudi, nastavljamo sa učenjem numeričke funkcije. Danas ćemo se fokusirati na temu kao što su svojstva funkcije. Funkcije imaju mnoga svojstva. Sjetite se koja svojstva smo nedavno proučavali. Tako je, obim i opseg, oni su jedno od ključnih svojstava. Nikada ne zaboravite na njih i zapamtite da funkcija uvijek ima ova svojstva.
U ovom dijelu ćemo definirati neka svojstva funkcija. Redoslijed kojim ćemo ih odrediti, preporučujem da se pridržavate prilikom rješavanja problema.
Funkcija rastuća i opadajuća
Prvo svojstvo koje ćemo definirati je povećanje i smanjenje funkcije.
Funkcija se naziva rastućom na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.Funkcija se naziva opadajućom na skupu X⊂D(f) ako za bilo koje x1 i x2 takve da je x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). To jest, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.
Koncepte "povećanje" i "smanjenje" funkcije vrlo je lako razumjeti ako pažljivo pogledate grafove funkcije. Za rastuću funkciju: nekako idemo uzbrdo, za opadajuću funkciju, odnosno idemo dolje. Opšti oblik Funkcije povećanja i smanjenja prikazane su na grafikonima ispod.
Povećanje i smanjenje funkcije općenito se naziva monotonost. Odnosno, naš zadatak je pronaći intervale opadajućih i rastućih funkcija. U opštem slučaju, ovo se formuliše na sledeći način: pronađite intervale monotonosti ili ispitajte monotonost funkcije.
Istražite monotonost funkcije $y=3x+2$.
Rješenje: Provjerite funkciju za bilo koje x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Jer, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Ograničenje funkcije
Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozdo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.
Kaže se da je funkcija $y=f(x)$ ograničena odozgo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da je za bilo koji xϵX nejednakost f(x)< a.
Ako interval X nije naznačen, onda se smatra da je funkcija ograničena na cijelom domenu definicije. Funkcija ograničena i odozgo i odozdo naziva se ograničenom.
Ograničenje funkcije je lako pročitati iz grafa. Moguće je nacrtati pravu liniju
$y=a$, a ako je funkcija viša od ove linije, onda je ograničena odozdo. Ako ispod, onda iznad. Ispod je graf niže ograničene funkcije. Graf ograničene funkcije, ljudi, pokušajte da ga nacrtate sami.
Istražite ograničenost funkcije $y=\sqrt(16-x^2)$.
Rješenje: Kvadratni korijen nekog broja je veći ili jednak nuli. Očigledno je i naša funkcija veća ili jednaka nuli, odnosno ograničena je odozdo.
Iz njega možemo izdvojiti samo kvadratni korijen nenegativan broj, zatim $16-x^2≥0$.
Rješenje naše nejednakosti će biti interval [-4;4]. Na ovom segmentu $16-x^2≤16$ ili $\sqrt(16-x^2)≤4$, ali to znači ograničenost odozgo.
Odgovor: naša funkcija je ograničena sa dva reda $y=0$ i $y=4$.
Najviša i najniža vrijednost
Najmanja vrijednost funkcije y= f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da je:
b) Za bilo koji xϵX vrijedi $f(x)≥f(x0)$.
Najveća vrijednost funkcije y=f(x) na skupu H⊂D(f) je neki broj m, takav da je:
a) Postoji neki x0 takav da je $f(x0)=m$.
b) Za bilo koji xϵX, $f(x)≤f(x0)$ je zadovoljeno.
Najveća i najmanja vrijednost obično se označavaju sa y max. i y ime. .
Koncepti ograničenosti i najveće s najmanjom vrijednošću funkcije su usko povezani. Tačne su sljedeće tvrdnje:
a) Ako postoji najmanja vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena odozdo.
b) Ako postoji najveća vrijednost funkcija, onda je ograničena odozgo.
c) Ako funkcija nije ograničena odozgo, onda nema maksimalne vrijednosti.
d) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda najmanja vrijednost ne postoji.
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rješenje: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $x=4$ $f(4)=5$, za sve ostale vrijednosti, funkcija uzima manje vrijednosti ili ne postoji, odnosno, ovo je najveća vrijednost funkcije.
Po definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Hajde da nađemo korene kvadratni trinom$(2x+1)(2x-9)≥0$. Na $x=-0.5$ i $x=4.5$ funkcija nestaje, u svim ostalim tačkama je veća od nule. Tada je, po definiciji, najmanja vrijednost funkcije nula.
Odgovor: y max. =5 i y min. =0.
Ljudi, također smo proučavali koncepte konveksnosti funkcije. Prilikom rješavanja nekih problema može nam zatrebati ova nekretnina. Ovo svojstvo se također lako utvrđuje pomoću grafova.
Funkcija je konveksna prema dolje ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je ispod linije koja povezuje točke.
Funkcija je konveksna prema gore ako su bilo koje dvije točke grafa izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je iznad linije koja povezuje točke.
Funkcija je kontinuirana ako graf naše funkcije nema diskontinuiteta, kao što je graf funkcije iznad.
Ako želite pronaći svojstva funkcije, redoslijed traženja svojstava je sljedeći:
a) Područje definicije.
b) Monotonija.
c) ograničenje.
d) Najveća i najmanja vrijednost.
e) Kontinuitet.
f) Raspon vrijednosti.
Pronađite svojstva funkcije $y=-2x+5$.
Rješenje.
a) Područje definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Provjerimo bilo koje vrijednosti x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Jer x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) ograničenje. Očigledno, funkcija nije ograničena.
d) Najveća i najmanja vrijednost. Budući da funkcija nije ograničena, ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
e) Kontinuitet. Graf naše funkcije nema praznina, tada je funkcija kontinuirana.
f) Raspon vrijednosti. E(y)=(-∞;+∞).
Zadaci o svojstvima funkcije za nezavisno rješenje
Pronađite svojstva funkcije:a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.