Zbir serije n 2. §4

Neka je zadan niz brojeva R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,…. Izraz R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… se zove beskrajno blizu, ili jednostavno u blizini, i brojevi R 1 , R 2 , R 3 ,… - članovi jednog broja. Istovremeno, oni znače da akumulacija sume niza počinje sa njegovim prvim članovima. Zove se zbir S n = delimična suma red: za n=1 - prvi delimični zbir, za n=2 - drugi delimični zbir, i tako dalje.

pozvao konvergentne serije, ako je slijed njegovog parcijalnog sume ima ograničenje, i divergentan- inače. Koncept zbira niza može se proširiti, i tada će neki divergentni nizovi također imati zbrojeve. Upravo produženo razumijevanje iznosi red koristiće se u razvoju algoritama sa sledećom izjavom problema: akumulaciju sume treba vršiti sve dok sledeći član niza ne bude veći po apsolutnoj vrednosti od date vrednosti ε.

U općem slučaju, svi ili dio članova niza mogu se dati izrazima u zavisnosti od broja članova niza i varijabli. Na primjer,

Tada se postavlja pitanje kako minimizirati količinu proračuna - izračunati vrijednost sljedećeg člana serije po opšta formula člana serije(u datom primjeru predstavljen je izrazom pod znakom sume), rekurzivnom formulom (njeno izvođenje je prikazano u nastavku), ili koristite rekurzivne formule samo za dijelove izraza člana serije (vidi dolje).

Izvođenje rekurzivne formule za izračunavanje člana niza

Neka je potrebno pronaći niz brojeva R 1 , R 2 , R 3 ,..., uzastopno ih računajući prema formulama

,
, …,

Da biste skratili proračune u ovom slučaju, zgodno je koristiti ponavljajuća formula vrsta
, omogućavajući izračunavanje vrijednosti R N za N>1, znajući vrijednost prethodnog člana serije R N-1 , gdje je
- izraz koji se može dobiti nakon pojednostavljenja odnosa izraza u formuli (3.1) za N prema izrazu za N-1:

Dakle, rekurzivna formula će poprimiti oblik
.

Poređenje opšte formule za član niza (3.1) i rekurzivne (3.2) pokazuje da rekurzivna formula u velikoj meri pojednostavljuje proračune. Primijenimo to za N=2, 3 i 4 znajući to
:

Metode za izračunavanje vrijednosti člana serije

Za izračunavanje vrijednosti člana serije, ovisno o njegovom tipu, može biti poželjno koristiti ili opću formulu člana serije, ili rekurzivnu formulu, ili mješoviti metod izračunavanja vrijednosti člana niza, kada se rekurentne formule koriste za jedan ili više dijelova člana serije, a zatim se njihove vrijednosti zamjenjuju u opću formulu člana serije. Na primjer, - za niz, lakše je izračunati vrijednost člana serije
prema svojoj opštoj formuli
(uporedi sa
- ponavljajuća formula); - za red
bolje je koristiti rekurzivnu formulu
; - za seriju treba primijeniti mješovitu metodu, računajući A N \u003d X 3N pomoću rekurzivne formule
, N=2, 3,… sa A 1 =1 i B N =N! - takođe po rekurzivnoj formuli
, N=2, 3,… na B 1 =1, a zatim - član serije
- prema opštoj formuli, koja će poprimiti oblik
.

Primjer 3.2.1 izvršavanje zadatka

Izračunajte sa tačnošću ε za 0 o  X  45 o

koristeći rekurzivnu formulu za izračunavanje člana niza:

tačnu vrijednost funkcije cos X,

apsolutne i relativne greške približne vrijednosti.

program Project1;

($APPTYPE KONZOLA)

K=Pi/180; //Faktor za pretvaranje iz stupnjeva u radijane

Eps: Prošireno=1E-8;

X: Prošireno=15;

R, S, Y, D: Prošireno;

($IFNDEF DBG) //Izjave se ne koriste za otklanjanje grešaka

Write("Unesite potrebnu preciznost: ");

Write("Unesite vrijednost ugla u stepenima: ");

D:=Sqr(K*X); // Pretvori X u radijane i kvadrat

//Postavi početne vrijednosti za varijable

//Petlja za izračunavanje članova niza i akumuliranje njihove sume.

//Izvrši dok je modul sljedećeg člana serije veći od Eps.

dok Abs(R)>Eps rade

ako je N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, " R=", R:14:11, " S=", S:14:11);

//Izlaz rezultata proračuna:

WriteLn(N:14," = Broj dostignutih koraka",

"specificirana tačnost");

WriteLn(S:14:11," = Približna vrijednost funkcije");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Tačna vrijednost funkcije");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Apsolutna greška");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = relativna greška");

Osnovni pojmovi i definicije

Neka je zadan beskonačan niz brojeva:

, … (1.1)

Prošle godine smo definirali niz brojeva kao funkciju prirodnog argumenta. To znači da je svaki član niza funkcija svog broja P: . U nastavku ćemo ponekad razmotriti P jednak nuli, pa će numerički niz biti definiran kao funkcija cijeli broj argument (od riječi "integer").

Definicija 1. Izraz

(1.2)

pozvao beskrajna brojevna linija, ili, ukratko, u blizini. Sequence Members ,… su pozvani članovi jednog broja; izraz sa indeksom P- obični član serije.

Lako je razlikovati niz od niza: članovi niza se pišu odvojeni zarezima, članovi niza su povezani znacima plus.

Dakle, koncept niza je generalizacija sumiranja na slučaj beskonačnog broja pojmova.

Niz se smatra datim ako je poznata (data) formula njegovog zajedničkog pojma. Zajednički član niza (1.2) poklapa se sa zajedničkim članom niza (1.1) i također je funkcija cjelobrojnog argumenta n, tj. . Na primjer, ako je zajednički termin dat kao

, (1.3)

zatim, stavljajući ovu formulu n= 1, 2, 3,..., može se pronaći bilo koji član niza, a time i cijeli niz:

- članovi niza ili članovi serije,

(1.4)

Red broj.

Definicija. Suma n zove se prvi članovi serije n- Oh djelomični zbir serije i označava se simbolom:

Može se napisati ovako: .

posebno,

Od svih parcijalnih suma niza (1.2) sastavljamo numerički niz:

(1.7)

To se zove niz parcijalnih suma. Kao i svaki niz brojeva, može imati ograničenje, tj. konvergiraju, ili nemaju ograničenja, tj. divergirati. Granica niza parcijalnih suma, ako postoji, biće označena slovom S.

Definicija. Red se zove konvergirajući(red konvergira) ako se niz parcijalnih suma ovog niza konvergira. Istovremeno, granica S nizovi parcijalnih suma naziva se zbir ove serije, tj.

. (1.8)

Za konvergentni niz sa zbrojem S, možemo formalno napisati jednakost:

Zove se niz koji nema zbir (1.8). divergentan. Konkretno, ako , onda kažemo da se niz divergira na , i u ovom slučaju koristimo simboličku jednakost

Komentar. Iz jednakosti (1.6) slijedi da se bilo koji član niza može predstaviti kao razlika između parcijalnih suma i :

. (1.10)

Predstavimo geometrijski niz parcijalnih suma. Na slici 1.1, a i b, niz konvergira, na slici 1.1, c se divergira.

ali)

Sl.1.1

Napomena 3. Ponekad broj članova serije počinje od nule: .

Primjeri brojevnih serija. Izračunavanje sume niza

Primjer 1º.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Evo , .

Ovaj niz divergira Þ 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .=+¥.

Primjer 2º .

Kao i obično, izmjena znakova + i - specificira se pomoću stepena (-1). Ovdje niz parcijalnih suma ima oblik:

one. vrijednost parcijalnog zbroja zavisi od parnosti broja P:

Dakle, parni i neparni parcijalni zbroji teže dvije različite granice:

paran na nulu, neparan na jedan:

Sl.1.2

Dakle, niz nema ograničenja, a dati niz divergira.

Primjer 3º .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Ovo je aritmetička progresija s razlikom. Podsjetimo da naziv "aritmetika" potiče od činjenice da je svaki član ove progresije, počevši od drugog, jednak aritmetička sredina susjedni članovi:

U ovoj progresiji , a niz parcijalnih suma ima oblik:

Primjer 6º.

Rezultat će biti dat u nastavku. Ovdje su imenilac samo neparni brojevi.

Primjer 7º.

. Rezultat će biti dat u nastavku.

Primjer 8º.

Rezultat će biti dat u nastavku. Zbir niza jednak je broju e- osnova prirodnog logaritma.

Zbir niza nije uvijek lako izračunati, pa čak i nije uvijek moguće. Stoga se u teoriji nizova često rješava jednostavniji problem - utvrđivanje da li se niz konvergira ili divergira. To se zove proučavanje konvergencije serije.

Niz je visoko uređen numerički skup formiran prema datom zakonu. Termin "serija" označava rezultat zbrajanja članova odgovarajuće sekvence. Za različite numeričke nizove možemo pronaći zbir svih njegovih članova ili ukupan broj elemenata do date granice.

Subsequence

Ovaj termin se odnosi na dati skup elemenata brojevnog prostora. Svakom matematičkom objektu data je određena formula za određivanje zajedničkog elementa niza, a za većinu konačnih numeričkih skupova postoje jednostavne formule za određivanje njihove sume. Naš program je zbirka od 8 online kalkulatora dizajniranih za izračunavanje zbira najpopularnijih numeričkih skupova. Počnimo s najjednostavnijim - prirodnim nizom, koji koristimo u svakodnevnom životu za brojanje predmeta.

prirodni niz

Kada učenici uče brojeve, prva stvar koju uče je da broje predmete, kao što su jabuke. Prirodni brojevi prirodno nastaju prilikom brojanja predmeta, a svako dijete zna da su 2 jabuke uvijek 2 jabuke, ni više ni manje. Prirodni niz je dat jednostavnim zakonom koji izgleda kao n. Formula kaže da je n-ti član skupa brojeva jednak n: prvi je 1, drugi je 2, četiri stotine pedeset i prvi je 451, i tako dalje. Rezultat zbrajanja prvih n prirodnih brojeva, odnosno počevši od 1, određuje se jednostavnom formulom:

∑ = 0,5n × (n+1).

Izračunavanje zbira prirodnog niza

Za proračune, moraćete da izaberete formulu prirodnog niza n u meniju kalkulatora i unesete broj članova u nizu. Izračunajmo zbir prirodnog niza od 1 do 15. Određivanjem n = 15 dobićete rezultat u obliku samog niza:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

i zbir prirodnog niza jednak 120.

Lako je provjeriti ispravnost proračuna koristeći gornju formulu. Za naš primjer, rezultat sabiranja će biti 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Tako je.

Niz kvadrata

Kvadratni niz se formira od prirodnog kvadriranjem svakog člana. Broj kvadrata formira se prema zakonu n 2, stoga će n-ti član niza biti jednak n 2: prvi - 1, drugi - 2 2 = 4, treći - 3 2 \ u003d 9 i tako dalje. Rezultat zbrajanja početnih n elemenata kvadratnog niza izračunava se prema zakonu:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Pomoću ove formule možete lako izračunati zbir kvadrata od 1 do n za proizvoljno veliko n. Očigledno je da je i ovaj niz beskonačan, a kako n raste, tako će rasti i ukupna vrijednost numeričkog skupa.

Izračunavanje zbira kvadratnog niza

U ovom slučaju, moraćete da izaberete zakon niza kvadrata n 2 u meniju programa, a zatim izaberete vrednost n. Izračunajmo zbir prvih deset članova niza (n=10). Program će dati sam niz:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

kao i iznos od 385.

kubne serije

Red kocaka je niz prirodnih brojeva u kocki. Zakon formiranja zajedničkog elementa niza zapisuje se kao n 3 . Dakle, prvi član niza je 1 3 = 1, drugi je 2 3 = 8, treći je 3 3 = 27, i tako dalje. Zbir prvih n elemenata kubnog niza određen je formulom:

∑ = (0,5n × (n+1)) 2

Kao iu prethodnim slučajevima, elementi brojevnog prostora teže beskonačnosti, a što je veći broj članova, to je veći rezultat sumiranja.

Izračunavanje zbira kubnih serija

Za početak odaberite zakon kubnog reda n 3 u meniju kalkulatora i postavite bilo koju vrijednost n. Odredimo zbir niza od 13 članova. Kalkulator će nam dati rezultat u obliku niza:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

i zbir niza koji mu odgovara, jednak 8281.

Niz neparnih brojeva

Skup prirodnih brojeva sadrži podskup neparnih elemenata, odnosno onih koji nisu djeljivi sa 2 bez ostatka. Niz neparnih brojeva je određen izrazom 2n - 1. Prema zakonu, prvi član niza će biti jednak 2 × 1 - 1 = 1, drugi - 2 × 2 - 1 = 3, treći - 2 × 3 - 1 = 5 i tako dalje. Zbir početnih n elemenata neparnog reda izračunava se pomoću jednostavne formule:

Razmotrimo primjer.

Izračunavanje zbira neparnih brojeva

Prvo izaberite zakon formiranja neparnog niza 2n−1 u meniju programa, a zatim unesite n. Hajde da saznamo prvih 12 članova neparnog niza i njegov zbir. Kalkulator će odmah dati rezultat kao skup brojeva:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

kao i zbir neparnog niza, koji je 144. I zaista, 12 2 = 144. Tako je.

Pravougaoni brojevi

Pravokutni brojevi pripadaju klasi kovrčavih brojeva, koji su klasa numeričkih elemenata potrebnih za konstruiranje geometrijskih oblika i čvrstih tijela. Na primjer, da biste izgradili trokut trebate 3, 6 ili 10 bodova, kvadrat - 4, 9 ili 16 bodova, a za postavljanje tetraedra potrebno vam je 4, 10 ili 20 loptica ili kocki. Pravougaonike je lako konstruisati koristeći dva uzastopna broja, na primer 1 i 2, 7 i 8, 56 i 57. Pravougaoni brojevi se izražavaju kao proizvod dva uzastopna prirodna broja. Formula za zajednički član serije izgleda kao n × (n+1). Prvih deset elemenata takvog numeričkog skupa izgleda ovako:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

Sa povećanjem n, povećava se i vrijednost pravokutnih brojeva, pa će se i zbir takvog niza povećati.

obrnuti niz

Za pravougaone brojeve postoji inverzni niz definisan formulom 1 / (n × (n+1)). Skup brojeva se pretvara u skup razlomaka i izgleda ovako:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Zbir niza razlomaka određen je formulom:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Očigledno, kako se broj elemenata u nizu povećava, vrijednost razlomka 1/(n + 1) teži nuli, a rezultat sabiranja se približava jedan. Razmotrite primjere.

Zbir pravokutnog niza i njegovog inverza

Izračunajmo vrijednost pravokutnog niza za n = 20. Da biste to učinili, odaberite zakon za navođenje zajedničkog člana numeričkog skupa n × (n + 1) u online meniju kalkulatora i navedite n. Program će vratiti trenutni rezultat kao 3080. Da biste izračunali inverzni niz, promijenite zakon na 1 / (n × (n+1)). Zbir recipročnih numeričkih elemenata će biti jednak 0,952.

Serija proizvoda od tri uzastopna broja

Pravokutni skup brojeva može se modificirati dodavanjem drugog uzastopnog množitelja. Stoga će se formula za izračunavanje n-tog člana skupa transformirati u n × (n+1) × (n+2). Prema ovoj formuli, elementi niza se formiraju kao proizvod tri uzastopna broja, na primjer, 1 × 2 × 3 ili 10 × 11 × 12. Prvih deset elemenata takvog niza izgledaju ovako:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Ovo je brzo rastući numerički skup, a zbir odgovarajućeg niza ide u beskonačnost kako n raste.

obrnuti niz

Kao iu prethodnom slučaju, možemo obrnuti formulu n-tog člana i dobiti izraz 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Tada će se skup cjelobrojnih vrijednosti pretvoriti u niz razlomaka, čiji će nazivnik biti proizvod tri uzastopna broja. Početak takvog seta izgleda ovako:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Zbir odgovarajuće serije je određen formulom:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Očigledno, kako se broj elemenata povećava, razlomak 1 / ((n + 1) × (n + 2)) teži nuli, a zbir niza se približava vrijednosti 0,5 × 0,5 = 0,25. Razmotrite primjere.

Niz proizvoda od tri uzastopna broja i njegov inverz

Da biste radili sa ovim skupom, morate odabrati zakon za određivanje zajedničkog elementa n × (n + 1) × (n + 2) i postaviti n, na primjer, 100. Kalkulator će vam dati i sam niz kao vrijednost rezultata zbrajanja stotina brojeva, jednakog 26 527 650. Ako odaberemo inverzni zakon 1 / (n × (n + 1) × (n + 2)), zbir niza od 100 članova biće jednako 0,250.

Zaključak

Problem sabiranja skupa pojmova riješen je u teoriji redova.

gdje u 1, u 2, u 3 …., u n ... su članovi beskonačnog numeričkog niza, naziva se numeričke serije.

Brojevi u 1, u 2, u 3 …., u n ... se zovu članovi jednog broja, ali u n je zajednički termin serije.

Zbir konačnog broja n prvih članova niza naziva se n-ti parcijalni zbir niza.

S n = u 1 + u 2 +… + u n

one. S 1 = u 1; S2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Niz se naziva konvergentnim ako postoji konačan limit parcijalne sume S n for n, tj

Broj S naziva se zbir niza.

inače:

Tada se niz naziva divergentnim.

Referentne linije.

1. Geometrijske serije (geometrijska progresija)

Primjer.

2. Harmonični niz.

3. Generalizovani harmonijski niz.

Primjer.

Znaci konvergencije predznak pozitivnih nizova

Teorema 1. Neophodan kriterij za konvergenciju.

Pomoću ove funkcije možete postaviti divergenciju serije.

Primjer.

Dovoljni znakovi

Teorema 1. Znak poređenja serija.

Neka su date dvije pozitivne serije:

Štaviše, ako se niz (2) konvergira, onda i niz (1) konvergira.

Ako se serija (1) divergira, onda i serija (2) divergira.

Primjer. Ispitajte niz za konvergenciju:

Uporedite ovu seriju sa geometrijskim nizom:

Stoga, za poređenje, željeni niz konvergira.

Teorema 2. d'Alembertov test.

Primjer. Ispitajte niz za konvergenciju:

prema d'Alembertovom testu, niz konvergira.

Teorema 3. Cauchyjev radikalni test.

3) za , pitanje konvergencije ostaje otvoreno.

primjer: ispitati konvergenciju numeričkog niza:

Rješenje:

Dakle, niz konvergira u smislu Cauchyja.

Teorema 4. Cauchyjev integralni test.

Neka članovi serije

su pozitivne i ne rastu, odnosno vrijednosti su kontinuirane nerastuće funkcije f(x) at x= 1, 2, …, n.

Tada je za konvergenciju niza potrebno i dovoljno da nepravilni integral konvergira:

Primjer.

Rješenje:

Dakle, niz divergira jer se nepravilni integral divergira.

Varijabilni redovi. Koncept apsolutne i uslovne konvergencije naizmeničnog niza.

Red se zove naizmjenično, ako bilo koji od njegovih uvjeta može biti i pozitivan i negativan.

Razmotrite naizmjenične serije:

Teorema 1. Leibnizov test (dovoljan test).

Ako je naizmjenična serija

uslovi smanjenje apsolutne vrijednosti, tj.

tada red konvergira i njegov zbir ne prelazi prvi član, tj. S ≤ .

Primjer.

Rješenje:

Primenjujemo Leibnizov znak:

Stoga se niz konvergira u Lajbnicovom smislu.

Teorema 2. Dovoljan kriterij za konvergenciju naizmjeničnog niza.

Ako za naizmjenični niz konvergira niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova, tada se ovaj naizmjenični niz konvergira.

primjer: ispitati konvergenciju niza:

Rješenje:

od apsolutnih vrijednosti članova originalnog niza konvergira kao generalizirani harmonijski niz na .

Stoga se originalni niz konvergira.

Ovaj znak je dovoljan, ali nije neophodan, odnosno postoje naizmjenični nizovi koji se konvergiraju, iako se nizovi sastavljeni od apsolutnih vrijednosti razilaze.

Definicija 1. apsolutno konvergentno, ako se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira.

Definicija 2. Naizmjenični niz se zove uslovno konvergentan, ako se sam niz konvergira, ali se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova razilazi.

Razlika između njih je u tome što se apsolutno konvergentni niz konvergira zbog činjenice da se njegovi članovi brzo smanjuju, a uslovno konvergentni niz konvergira zbog činjenice da se pozitivni i negativni članovi međusobno poništavaju.

Primjer.

Rješenje:

Primenjujemo Leibnizov znak:

Stoga se niz konvergira u Lajbnicovom smislu. Ali niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova razilazi se kao harmoničan.

Dakle, originalni niz konvergira uslovno.

Kako je daleko od uvijek moguće izračunati tačnu vrijednost zbira niza (mi smo razmatrali takve probleme), javlja se problem približnog izračunavanja zbira niza sa datom tačnošću.

Podsjetimo da je -ti ostatak serije dobijen iz originalne serije odbacivanje prvog uslovi:

Zatim, budući da je za konvergentni niz
,

ostatak konvergentnog niza jednak je razlici između zbira reda i djelomični zbir:

i za dovoljno velike imamo približnu jednakost

Iz definicije ostatka niza proizilazi da je apsolutna greška pri zamjeni tačne nepoznate vrijednosti sume njegov delimični zbir jednak modulu ostatka serije:

Dakle, ako želite da izračunate zbir niza sa datom tačnošću , onda morate ostaviti zbir takvog broja članove tako da sljedeća nejednakost vrijedi za odbačeni ostatak niza:

Metoda približnog izračunavanja sume se bira u zavisnosti od vrste serije:

ako je niz pozitivan i može se ispitati na konvergenciju po integralnom kriteriju (zadovoljava uvjete odgovarajuće teoreme), tada za procjenu sume koristimo formulu

;

ako je ovo Leibnizov niz, tada primjenjujemo procjenu:

U drugim problemima možete koristiti formulu za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Zadatak broj 1. Koliko termina serije treba uzeti
da dobijemo njegov zbir sa preciznošću od 0,01.

Rješenje. Prije svega, napominjemo da se ova serija konvergira. Razmislite -ti ostatak niza, što je greška u izračunavanju sume niza:

Procijenimo ovu seriju koristeći beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Da bismo to učinili, zamjenjujemo faktor u svakom pojmu na , dok će se svaki pojam povećavati:

Nakon uzimanja zajedničkog faktora iz zagrade, zagrada je ostavila niz sastavljen od članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije, čiji smo zbroj izračunali po formuli

Navedena preciznost će se postići ako će zadovoljiti uslov

Rješavamo nejednakost uzimajući u obzir to - cela.

At
imamo

Zbog monotonosti funkcije
, nejednakost
biće urađeno za sve
.

Stoga, ako umjesto tačne vrijednosti zbroja uzmemo prvih pet (ili više) članova, greška izračuna neće biti veća od 0,01.

odgovor:
.

Zadatak broj 2. Procijenite grešku dobivenu zamjenom sume niza
zbir prvih 100 članova.

Rješenje. Imajte na umu da je ovaj niz konvergentan i naizmjeničan u predznaku. Ocijenićemo seriju
, koji se sastoji od modula originalne serije, što odmah povećava grešku u proračunu. Osim toga, morat ćemo prijeći (koristeći uporedni test) na veći, jednostavniji konvergentni niz:

Razmotrite seriju . Pošto ovaj niz zadovoljava uslove teoreme - integralni kriterijum konvergencije, onda za procenu greške u izračunavanju sume koristimo odgovarajuću formulu:

Izračunavamo nepravilan integral:

greška proračuna se može procijeniti po formuli

po stanju
, onda.

odgovor:
.

Zadatak broj 3. Procijenite grešku dobivenu zamjenom sume niza
zbir prvih 10 članova.

Rješenje. Još jednom naglašavamo da problem približnog izračunavanja sume ima smisla samo za konvergentni niz, stoga, prije svega, napominjemo da ovaj niz konvergira. S obzirom na to da se niz koji se proučava ima naizmjenično predznanje sa složenim pravilom promjene predznaka, potrebno je procijeniti, kao u prethodnom primjeru, niz modula ove serije: