Osnovne definicije i svojstva numeričkih nizova. Osnovna svojstva konvergentnih brojevnih nizova

Uvod

d'Alembert numerički cauchy

Koncept beskonačnih suma bio je zapravo poznat naučnicima Ancient Greece(Eudoks, Euklid, Arhimed). Pronalaženje beskonačnih suma bio je sastavni dio takozvane metode iscrpljivanja, koju su drevni grčki naučnici naširoko koristili za pronalaženje površina figura, volumena tijela, dužina krivulja itd. Tako je, na primjer, Arhimed pronašao zbir beskonačnog geometrijska progresija sa nazivnikom 1/4.

Broj, kao samostalan koncept, matematičari su počeli da koriste u 17. veku. I. Newton i G. Leibniz koristili su niz za rješavanje algebarskih i diferencijalne jednadžbe. Teorija serija u XVIII-XIX vijeku. razvijena u radovima J. i I. Bernoullija, B. Taylora, C. Maclaurina, L. Eulera, J. d'Alemberta, J. Lagrangea i dr. U 19. veku stvorena je rigorozna teorija nizova. zasnovan na konceptu granice u radovima K. Gaussa, B. Bolzana, O. Cauchyja, P. Dirichleta, N. Abela, K. Weierstrassa, B. Riemanna i drugih.

Relevantnost proučavanja ovog problema je zbog činjenice da se grana matematike koja omogućava rješavanje bilo kojeg dobro postavljenog problema s dovoljnom preciznošću za praktičnu upotrebu naziva teorija serija. Čak i ako su neki suptilni koncepti matematička analiza kada su se pojavili van dodira s teorijom serija, odmah su primijenjeni na serije, koje su služile, takoreći, kao alat za testiranje značaja ovih pojmova. Ovakva situacija traje do danas. Stoga se čini relevantnim proučavati nizove brojeva, njihove osnovne koncepte i karakteristike konvergencije nizova.

1. Istorijat pojave

.1 Prvo spominjanje i upotreba brojevnog niza

Pravila aritmetike nam daju mogućnost da odredimo zbir dva, tri, četiri i općenito bilo koji konačni skup brojeva. Šta ako je broj pojmova beskonačan? Čak i ako je to „najmanja“ beskonačnost, tj. neka broj termina bude prebrojiv.

Pronalaženje beskonačnih suma bio je sastavni dio takozvane metode iscrpljivanja, koju su drevni grčki naučnici naširoko koristili za pronalaženje površina figura, volumena tijela, dužina krivulja itd. Tako je, na primjer, Arhimed pronašao zbir beskonačne geometrijske progresije sa nazivnikom 1/4 kako bi izračunao površinu paraboličnog segmenta (to jest figure ograničene pravom linijom i parabolom).

Pre skoro dve i po hiljade godina, grčki matematičar i astronom Eudoks iz Knida primenio je metod „iscrpljenja“ za pronalaženje površina i zapremina. Ideja ove metode je podijeliti tijelo koje se proučava na prebrojiv broj dijelova, čija su područja ili volumeni poznati, a zatim dodati ove volumene. Ovu metodu su koristili i Euklid i Arhimed. Naravno, u djelima drevnih matematičara nije bilo potpune i tačne potpore metode. Prije toga bilo je potrebno proći dug dvije hiljade godina dug put, na kojem je bilo briljantnih otkrića, grešaka i radoznalosti.

Na primjer, evo kako je razmišljao jedan srednjovjekovni teolog dokazujući – ni više ni manje – postojanje Svemogućeg Boga.

Zapisujemo jednake količine S kao beskonačan zbir

S = 1010101010… (1)

„Zamenimo svaku nulu na desnoj strani ove jednakosti sa zbrojem 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Ostavljajući prvi član na desnoj strani (2) sam, kombiniramo drugi član sa trećim, četvrti s petim, i tako dalje, koristeći zagrade. Onda

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.”

“Ako se može dobiti jedan od nule po volji, onda je i pretpostavka stvaranja svijeta ni iz čega prihvatljiva!”

Slažemo li se sa ovim obrazloženjem? Naravno da ne. Sa stanovišta moderne matematike, greška autora je što pokušava da operiše pojmovima koji nisu definisani (šta je to - "zbir beskonačnog broja pojmova"), te vrši transformacije (otvaranje zagrada, pregrupisavanje) , čija zakonitost nije opravdana.

Brojanje suma je naširoko koristilo, ne obraćajući dovoljno pažnje na pitanje šta tačno ovaj koncept znači, najveći matematičari 17. i 18. veka - Isak Njutn (1642-1727), Gotfrid Vilhelm Lajbnic (1646-1716), Bruk Tejlor ( 1685-1731), Colin Maclaurin (1698-1746), Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Leonard i Euler (1707-1783) bili su poznati po svom virtuoznom majstorstvu rukovanja serijama; međutim, često je priznavao da su tehnike koje je koristio bile nedovoljno potkrijepljene. U stotinu radova se ponavljaju ovakve rečenice: „Otkrili smo da su ova dva beskonačna izraza jednaka, iako se pokazalo da je to nemoguće dokazati“. Upozorava matematičare da ne koriste "divergentne nizove", iako on sam nije uvijek mario za to, a samo ga briljantna intuicija štiti od pogrešnih zaključaka; Istina, on ima i "ubode".

Početkom 19. vijeka postaje jasna potreba za pažljivim potvrđivanjem svojstava "prebrojivih suma". Godine 1812. Carl Friedrich Gauss (1777-1865) daje prvi primjer proučavanja konvergencije redova, 1821. naš dobar prijatelj Augustin Louis Cauchy (1789-1857) uspostavlja osnovne moderne principe teorije redova.

.2 Dalja studija numeričke serije. Jasna izjava o konceptu niza brojeva

Zbrajanje beskonačnih geometrijskih progresija sa nazivnikom manjim od 1 vršeno je već u antici (Arhimed). Divergenciju harmonijskog niza ustanovio je italijanski naučnik Mengoli 1650. godine. Snažni niz pojavio se kod Njutna (1665.), koji je verovao da snaga serije bilo koja funkcija može biti predstavljena. Naučnici 18. veka stalno su nailazili na nizove u proračunima, ali daleko od toga da su uvek obraćali pažnju na pitanje konvergencije. Tačna teorija serija počinje radom Gausa (1812), Bolzana (1817) i konačno Cauchyja, gdje je prvi put dat moderna definicija utvrđeni su zbroji konvergentnog niza i glavne teoreme. 1821. Cauchy objavljuje "Tečaj analize na Kraljevskoj politehničkoj školi", koji je najveća vrijednostširiti nove ideje potkrepljivanja matematičke analize u prvoj polovini 19. veka.

„Brojom se naziva neograničeni niz količina

dobili jedno od drugog prema određenom zakonu ... Neka

je zbir prvih n članova, gdje je n neki cijeli broj. Ako se, uz konstantno povećanje vrijednosti n, zbroj neograničeno približava poznatoj granici S, niz se naziva konvergentnim, a ova granica je zbir niza. Naprotiv, ako se, s neograničenim povećanjem n, zbir ne približi nijednoj određenoj granici, niz će biti divergentan i neće imati zbir... ”[Iz prvog dijela O. Cauchyjevog kursa analize na Kraljevska politehnička škola (1821) ( br.54 tom III, str. 114-116, preveo A.P. Yushkevich}]

.3 Problemi koji vode do koncepta brojevnog niza i oni u kojima je korišten

Brzonogi Ahil nikada neće sustići kornjaču ako je kornjača bila na nekoj udaljenosti ispred njega na početku pokreta. Zaista, neka početna udaljenost bude a i neka Ahilej trči k puta brže od kornjače. Kada Ahilej pređe razdaljinu a, kornjača će otpuzati nazad do a/k; kada Ahilej pređe ovu udaljenost, kornjača će otpuzati do a/, itd., tj. svaki put će između takmičara biti razmak koji nije nula.

U ovoj aporiji, pored iste težine brojanja beskonačnosti, postoji još jedna. Pretpostavimo da u nekom trenutku Ahilej sustiže kornjaču. Hajde da napišemo Ahilov put

i put kornjače

Svaki segment puta a/ koji je prešao Ahilej odgovara segmentu puta a/ kornjače. Stoga, do trenutka susreta, Ahilej mora proći "onoliko" segmenata puta koliko i kornjača. S druge strane, svaki segment a/ koji je prošla kornjača može biti povezan sa jednakim segmentom Ahilove staze. Ali, pored toga, Ahilej mora pretrčati još jedan segment dužine a, tj. mora proći još jedan segment od kornjače. Ako je broj segmenata koje je prošli zadnji je b, onda dobijamo

"Strelica". "Strelica". Ako se vrijeme i prostor sastoje od nedjeljivih čestica, onda je leteća strijela nepomična, jer u svakom nedjeljivom trenutku vremena zauzima jednak položaj za sebe, tj. miruje, a vremenski interval je zbir takvih nedjeljivih momenata.

Ova aporija je usmjerena protiv pojma kontinuirana vrijednost- kao o zbiru beskonačnog broja nedjeljivih čestica.

"Stadion". Neka se stadion kreće duž paralelnih linija jednake mase istom brzinom ali u suprotnim smjerovima. Neka red označava stacionarne mase, red - mase koje se kreću udesno, a red - mase koje se kreću ulijevo (slika 1). Pogledajmo sada mase. kao nedeljive. U nedeljivom trenutku vremena prolazi nedeljivi deo prostora. Zaista, ako bi u nedjeljivom trenutku vremena određeno tijelo prošlo kroz više od jednog nedjeljivog dijela prostora, tada bi nedjeljivi trenutak vremena bio djeljiv, ako je manji, tada bi bilo moguće podijeliti nedjeljivi dio prostora. Razmotrimo sada kretanje nedjeljivih jedno u odnosu na drugo: u dva nedjeljiva momenta vremena proći će dva nedjeljiva dijela, a pritom će brojiti četiri nedjeljiva dijela, tj. nedeljiv trenutak vremena će biti deljiv.

Ovoj aporiji se može dati malo drugačiji oblik. U isto vrijeme t, tačka prolazi polovinu segmenta i cijeli segment. Ali svaki nedeljivi trenutak vremena odgovara nedeljivom delu prostora koji se pređe za to vreme. Tada neki segment a i segment 2a sadrže "isti" broj tačaka, "isti" u smislu da se može uspostaviti korespondencija jedan prema jedan između tačaka oba segmenta. Ovo je bio prvi put da je takva korespondencija uspostavljena između tačaka segmenata različitih dužina. Ako pretpostavimo da se mera segmenta dobija kao zbir mera nedeljivih, onda je zaključak paradoksalan.

2. Primjena brojevnog niza

.1 Definicija

Neka je dat beskonačan numerički niz

Definicija 1.1. Numeričke serije ili jednostavno u blizini se naziva izraz (zbir) oblika

Zovu se brojevi članovi jednog broja, - general ili nthčlan reda.

Za definiranje niza (1.1) dovoljno je definirati funkciju prirodnog argumenta izračunavanja -tog člana niza njegovim brojem

Od članova niza (1.1) formiramo numeričku redoslijed parcijalnih iznosi gdje je zbir prvih članova niza, koji se zove n-i delimična suma, tj.

…………………………….

Numerički niz uz neograničeno povećanje broja može:

) imaju konačan limit;

) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Definicija 1.2. Poziva se niz (1.1). konvergirajući, ako niz njegovih parcijalnih suma (1.5) ima konačan limit, tj.

U ovom slučaju se poziva broj suma serija (1.1) i označena je

Definicija 1.3. Poziva se niz (1.1). divergentan, ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačnu granicu.

Divergentnom nizu se ne pripisuje zbir.

Dakle, problem nalaženja zbira konvergentnog niza (1.1) je ekvivalentan izračunavanju granice niza njegovih parcijalnih suma.

.2 Osnovna svojstva brojevnih nizova

Svojstva zbira konačnog broja članova razlikuju se od onih niza, tj. sume beskonačnog broja pojmova. Dakle, u slučaju konačnog broja pojmova, oni se mogu grupisati bilo kojim redoslijedom, to ne mijenja zbir. Postoje konvergentni nizovi (uslovno konvergentni) za koje se, kako je pokazao Riemann Georg Friedrich Bernhard, promjenom reda njihovih članova na odgovarajući način, može učiniti zbir reda jednakim bilo kojem broju, pa čak i divergentnom nizu.

Primjer 2.1.Razmotrimo divergentni niz oblika

Grupirajući njegove članove u parove, dobijamo konvergentni niz brojeva sa zbrojem jednakim nuli:

S druge strane, grupiranjem njegovih članova u parove, počevši od drugog člana, dobijamo i konvergentni niz, ali sa zbrojem jednakim jedan:

Konvergentni nizovi imaju određena svojstva koja nam omogućavaju da ih tretiramo kao da su konačni sumi. Dakle, mogu se množiti brojevima, sabirati i oduzimati član po član. Mogu kombinovati u grupe bilo koje susedne termine.

Teorema 2.1. (Obavezna karakteristika konvergencija serije).

Ako se niz (1.1) konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli kako n raste beskonačno, tj.

Dokaz teoreme slijedi iz činjenice da i ako

S je onda zbir serije (1.1).

Uslov (2.1) je neophodan, ali ne dovoljno stanje za konvergenciju serije. Odnosno, ako zajednički član niza teži nuli na, onda to ne znači da niz konvergira. Na primjer, za harmonijski niz (1.2), međutim, on divergira.

Posljedica(dovoljan kriterijum za divergenciju niza).

Ako zajednički član serije ne teži nuli u, tada se ovaj niz divergira.

Svojstvo 2.1. Konvergencija ili divergencija niza se neće promijeniti ako iz njega proizvoljno uklonite, dodate mu, preuredite konačan broj članova u njemu (istovremeno, za konvergentni niz, njegov se zbir može promijeniti).

Dokaz svojstva slijedi iz činjenice da red (1.1) i bilo koji njegov ostatak konvergiraju ili divergiraju istovremeno.

Svojstvo 2.2. Konvergentni niz se može pomnožiti brojem, tj. ako niz (1.1) konvergira, ima zbir S i c je neki broj, tada

Dokaz slijedi iz činjenice da za konačne sume imamo jednakosti

Svojstvo 2.3. Konvergentni nizovi se mogu sabirati i oduzimati član po član, tj. ako su redovi

konvergirati,

konvergira i njen zbir je tj.

Dokaz slijedi iz svojstava granice konačnih suma, tj.

Znak za poređenje

Neka postoje dva pozitivna reda

a uslovi su ispunjeni za sve n=1,2,…

Tada: 1) konvergencija reda (3.2) implicira konvergenciju reda (3.1);

) divergencija niza (3.1) implicira divergenciju niza (3.2).

Dokaz. 1. Neka se niz (3.2) konvergira i njegov zbir jednak je B. Niz parcijalnih zbira niza (3.1) je neopadajući i odozgo je ograničen brojem B, tj.

Zatim, zbog svojstava takvih nizova, slijedi da on ima konačnu granicu, tj. red (3.1) konvergira.

Neka niz (3.1) divergira. Zatim, ako se niz (3.2) konvergira, onda bi, na osnovu gore dokazane tačke 1, konvergirao i originalni niz, što je u suprotnosti sa našim uslovom. Stoga i niz (3.2) divergira.

Ova karakteristika se prikladno primjenjuje na određivanje konvergencije redova upoređivanjem sa redovima čija je konvergencija već poznata.

Znak d'Alamberta

Tada: 1) za q< 1 ряд (1.1) сходится;

) za q > 1 serija (1.1) divergira;

) za q = 1 ništa se ne može reći o konvergenciji reda (1.1), potrebna su dodatna istraživanja.

komentar: Serija (1.1) će se također razilaziti kada

Cauchy znak

Neka su članovi pozitivnog niza (1.1) takvi da postoji granica

Tada: 1) za q< 1 ряд (1.1) сходится;

) za q > 1 serija (1.1) divergira;

3) za q = 1 ne može se ništa reći o konvergenciji reda (1.1), potrebna su dodatna istraživanja.

Integralni znak Cauchyja - Maclaurin

Neka je funkcija f(x) kontinuirana nenegativna nerastuća funkcija na intervalu

Tada se niz i nepravilni integral konvergiraju ili divergiraju istovremeno.

.3 Zadaci

Brojčani nizovi se koriste ne samo u matematici, već iu nizu drugih nauka. Želio bih navesti nekoliko primjera takve upotrebe.

Na primjer, za proučavanje svojstava struktura klastičnih stijena. U praksi se upotreba koncepta „strukture“ uglavnom svela na karakterizaciju dimenzionalnih parametara zrna. U tom smislu, koncept "strukture" u petrografiji ne odgovara konceptu "strukture" u kristalografiji, strukturnoj geologiji i drugim naukama o strukturi materije. U potonjem, "struktura" je više u skladu s konceptom "teksture" u petrografiji i odražava način na koji je prostor ispunjen. Ako prihvatimo da je "struktura" prostorni koncept, onda bi se sljedeće strukture trebale smatrati praznim: sekundarne ili primarne strukture i teksture; kristalne, hemijske, supstitucije (korozija, rekristalizacija, itd.), deformacione strukture, orijentisane, rezidualne strukture, itd. Stoga se ove "strukture" nazivaju "lažne strukture".

Struktura je skup strukturnih elemenata karakteriziranih veličinama zrna i njihovim kvantitativnim omjerima.

Prilikom izvođenja specifičnih klasifikacija, linearni parametri zrna se obično koriste sa sekvencom

iako se kvantitativne procjene prevalencije provode kroz prostorne (procentualne) parametre. Ovaj niz može biti velike dužine i nikada se ne gradi. Obično govore samo o granicama varijacije parametara, imenujući maksimalne (max) i minimalne (min) vrijednosti veličine zrna.

Jedan od načina predstavljanja P4 je upotreba numeričkih nizova, koji se konstruišu na isti način kao i gornji niz, ali se umjesto (?) stavlja znak zbira (+). Konvolucija svih sekvenci se izvodi kombinovanjem jednakih elemenata i dodavanjem njihovih površina. Tada imamo niz:

Izraz znači da je izmjerena površina koju zauzimaju svi dijelovi zrna i, čija je veličina jednaka.

Ova karakteristika zrna omogućava da se izvrši numerička analiza dobijenih relacija. Prvo, parametar se može smatrati vrijednostima koordinatna osa i tako izgraditi neki graf S=f(l). Drugo, niz (RSl) 1 može se rangirati, na primjer, u opadajućem redoslijedu koeficijenata, što rezultira nizom

Upravo se ova serija naziva strukturom određenog dijela stijene, a to je i definicija koncepta "strukture". Parametar je element strukture, a parametar k= je dužina strukture. Po konstrukciji, n=k. Ovakav prikaz strukture omogućava međusobno upoređivanje različitih struktura.

Takođe, Butusov Kiril Pavlovič je otkrio fenomen "rezonancije talasa otkucaja", na osnovu čega je formulisao "zakon planetarnih perioda", zbog čega periodi revolucije planeta formiraju numeričke serije Fibonačija i Luke. i dokazao da je "zakon planetarnih udaljenosti" Johanna Titiusa posljedica "rezonance udarnog talasa" (1977). Istovremeno je otkrio manifestaciju "zlatnog preseka" u raspodeli niza drugih parametara tela Sunčevog sistema (1977). S tim u vezi, radi na stvaranju "zlatne matematike" - novi sistem račun zasnovan na broju Fidija (1,6180339), adekvatniji za zadatke astronomije, biologije, arhitekture, estetike, teorije muzike itd.

Iz istorije astronomije je poznato da je I. Titius, nemački astronom iz 18. veka, koristeći ovaj Fibonačijev niz, pronašao obrazac i red u udaljenostima između planeta. Solarni sistem.

Međutim, jedan slučaj koji je izgleda bio protivzakonito: nije bilo planete između Marsa i Jupitera. Fokusirano promatranje ove regije neba dovelo je do otkrića asteroidnog pojasa. To se dogodilo nakon Ticijeve smrti početkom 19. vijeka. Fibonačijev niz ima široku upotrebu: uz njegovu pomoć oni predstavljaju arhitektoniku živih bića, i strukture koje je napravio čovjek, i strukturu galaksija. Ove činjenice dokaz su nezavisnosti brojevnog niza od uslova njegovog ispoljavanja, što je jedan od znakova njegove univerzalnosti.

Kriptografija je nauka o matematičke metode osiguranje povjerljivosti (nemogućnost čitanja informacija strancima) i autentičnosti (integritet i autentičnost autorstva, kao i nemogućnost odbijanja autorstva) informacija. Velika većina modernih kriptografskih sistema koristi stream ili blok algoritme zasnovane na razne vrste supstitucijske i permutacijske šifre. Nažalost, skoro svi algoritmi koji se koriste u striming kriptosistemima orijentisani su na upotrebu u vojnim i vladinim komunikacijskim sistemima, a u nekim slučajevima i na zaštitu informacija komercijalne prirode, što ih sasvim prirodno čini tajnim i nedostupnim za pregled. Jedini standardni algoritmi za šifriranje toka su već američki DES standard (CFB i OFB načini) i ruski GOST 28147-89 standard (gama mod). U isto vrijeme, algoritmi šifriranja toka koji se koriste u ovim standardima su klasifikovani.

Osnova funkcionisanja stream kriptosistema su generatori slučajnih ili pseudo-slučajnih sekvenci. Razmotrimo ovo pitanje detaljnije.

Pseudoslučajne sekvence

Tajni ključevi su osnova kriptografskih transformacija, za koje, slijedeći Kerckhoffovo pravilo, snagu dobrog sistema šifriranja određuje samo tajnost ključa. Međutim, u praksi, kreiranje, distribucija i pohranjivanje ključeva rijetko je bio tehnički složen, iako skup, zadatak. Glavni problem klasične kriptografije dugo vrijeme bila je poteškoća u generiranju nepredvidivih binarnih sekvenci velike dužine korištenjem kratkog slučajnog ključa. Da bi se to riješilo, široko se koriste generatori binarnih pseudoslučajnih sekvenci. Značajan napredak u razvoju i analizi ovih generatora postignut je tek početkom šezdesetih godina. Stoga se u ovom poglavlju razmatraju pravila za izvođenje ključeva i generiranje dugih pseudo-slučajnih sekvenci na osnovu njih, koje koriste kriptografski sistemi za pretvaranje poruka u enkripciju.

Programski primljeni iz ključa, nasumični ili pseudoslučajni nizovi brojeva nazivaju se gama u žargonu domaćih kriptografa, imenom y - slova grčke abecede, koja se u matematičkim notacijama označavaju slučajne varijable. Zanimljivo je napomenuti da je u knjizi "Stranci na mostu", koju je napisao Abelov obaveštajni advokat, dat termin gama, koji su stručnjaci CIA-e označili komentarom - "muzička vežba?", odnosno pedesetih godina nije znao njegovo značenje. Dobijanje i umnožavanje realizacija stvarnih slučajnih nizova je opasno, teško i skupo. Fizičko modeliranje slučajnosti koristeći takve fizičke pojave, kako zračenje, udarni šum u elektronskoj cijevi ili tunelski slom poluvodičke zener diode ne daju stvarne slučajne procese. Iako postoje slučajevi njihove uspješne primjene u generiranju ključeva, na primjer, u ruskom kriptografskom uređaju KRYPTON. Stoga, umjesto fizički procesi za generisanje gama koriste se kompjuterski programi koji se, iako se nazivaju generatori slučajni brojevi, ali zapravo daje determinističke numeričke nizove, koji su samo po svojim svojstvima nasumični. Od njih se traži da čak i poznaju zakon formiranja, ali ne poznaju ključ u formi početni uslovi, niko nije mogao razlikovati niz brojeva od slučajnog, kao da se dobija bacanjem ideala kockice. Postoje tri glavna zahtjeva za kriptografski siguran pseudo-slučajni niz ili gama generator:

Gama period mora biti dovoljno velik da šifrira poruke različitih dužina.

Gamu bi trebalo biti teško predvidjeti. To znači da ako su poznati tip generatora i dio gama, onda je nemoguće predvidjeti sljedeći bit gama nakon ovog dijela s vjerovatnoćom većom od x. Ako kriptoanalitičar postane svjestan nekog dijela skale, još uvijek ne može odrediti bitove koji mu prethode ili slijede.

Generisanje gama ne bi trebalo da bude povezano sa velikim tehničkim i organizacionim poteškoćama.

Fibonačijevi nizovi

Zanimljivu klasu generatora slučajnih brojeva više puta su predlagali mnogi stručnjaci za cjelobrojnu aritmetiku, posebno George Marsalia i Arif Zeiman. Generatori ovog tipa zasnivaju se na upotrebi Fibonačijevih sekvenci. Klasičan primjer takvog niza je (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…). Sa izuzetkom prva dva člana, svaki naredni član jednak je zbiru prethodna dva. Ako uzmete samo posljednju cifru svakog broja u nizu, onda ćete dobiti niz brojeva (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) Ako ovaj niz se koristi za inicijalizaciju niza velike dužine, a zatim, koristeći ovaj niz, možete kreirati nasumični generator Fibonačijevih brojeva sa kašnjenjem, gdje se ne dodaju susjedni, već udaljeni brojevi. Marsalia i Zeiman predložili su uvođenje “carry bit” u Fibonačijevu šemu, koja može imati početnu vrijednost od 0 ili 1. Generator “carry add” izgrađen na ovoj osnovi dobija zanimljiva svojstva, na osnovu njih moguće je kreirati sekvence čiji je period mnogo veći od perioda kongruentnih generatora koji se trenutno koriste. Prema figurativnom izrazu Marsalije, generatori ove klase mogu se smatrati pojačivačima slučajnosti. "Uzmete nasumični padding dug nekoliko hiljada bitova i generišete dugačke nizove nasumičnih brojeva." Međutim, dug period sam po sebi nije dovoljan uslov. Slabosti u skali mogu biti teško otkriti, a analitičar mora primijeniti sofisticirane tehnike analize sekvence kako bi istaknuo određene obrasce koji su skriveni u velikom nizu brojeva.

zaključci

Nizovi se široko koriste u matematici i njenoj primjeni, teorijskim studijama i približnim numeričkim rješenjima zadataka. Mnogi brojevi se mogu napisati kao posebne serije, uz pomoć kojih je pogodno izračunati njihove približne vrijednosti sa potrebnom preciznošću. Metoda proširenja serije je efikasan metod funkcije učenja. Koristi se za izračunavanje približnih vrijednosti funkcija, za izračunavanje i procjenu integrala, za rješavanje svih vrsta jednadžbi (algebarskih, diferencijalnih, integralnih).

Bibliografija

1. Šilov G.E. Matematička analiza. Funkcije jedne varijable. Glava 1-2 - M.: Nauka, 1969

Maykov E.V. Matematička analiza. Numeričke serije / E.V. Maikov. - 1999

.„Kurs analize na Kraljevskoj politehničkoj školi“

O. Cauchy (1821) (br. 54 vol. III, str. 114-116, preveo A.P. Yushkevich)

Istorija matematike od antičkih vremena do početkom XIX veka (pod uredništvom Juškevič A.P., tom I)

Čitanka o istoriji matematike (II deo) (priredio Yushkevich A.P.)

višu matematiku: Opšti kurs: Proc. - 2. izd., / A.I. Yablonsky, A.V. Kuznjecov, E.I. Šilkina i drugi; Pod totalom ed. S.A. Samal. - Mn.: Vysh. škola, 2000. - 351 str.

Markov L.N., Razmyslovich G.P. Viša matematika. Dio 2. Osnove matematičke analize i elementi diferencijalnih jednačina. - Minsk: Amalfeja, 2003. - 352 str.

8. Makarov V.P. Pitanja teorijske geologije. 7. Elementi teorije konstrukcija. / Contemporary Issues i načini njihovog rješavanja u nauci, transportu, proizvodnji i obrazovanju 2007. Odesa, Černomorije, 2007. V.19. str. 27 - 40.

9. Polovinkina Yu. Ir. Strukture stijena. Dio 1: Magmatske stijene; Dio 2: Sedimentne stijene; Dio 3: Metamorfne stijene. - M.: Gosgeolizdat, 1948.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

Nastavno-metodički kompleks discipline "Matematika". Odjeljak 10 "Redovi". Teorijska osnova. Metodička uputstva za studente. Materijali za samostalan rad studenti. - Ufa: Izdavačka kuća UGNTU, 2007. - 113 str.

13.http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Galuev G.A. Matematičke osnove kriptologije: Nastavno-metodički priručnik. Taganrog: Izd-vo ISTINA 2003.-120 str.

Tutoring

Trebate pomoć u učenju teme?

Naši stručnjaci će savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju.
Pošaljite prijavu naznačivši temu odmah da saznate o mogućnosti dobijanja konsultacija.

Svojstva zbira konačnog broja članova razlikuju se od svojstava niza, odnosno zbira beskonačnog broja članova. Dakle, u slučaju konačnog broja pojmova, oni se mogu grupisati bilo kojim redoslijedom, to ne mijenja zbir. Postoje konvergentni nizovi (uslovno konvergentni, o čemu će biti reči u odeljku 5) za koje je, kako je pokazao Riman Riman Georg Fridrih Bernhard (1826 - 1866), nemački matematičar, promenom redosleda njihovih članova na odgovarajući način, jedan može učiniti zbir niza jednakim bilo kojem željenom broju, pa čak i divergentnom nizu.

Primjer 2.1. Razmotrimo divergentni niz oblika (1.7)

Grupirajući njegove članove u parove, dobijamo konvergentni niz brojeva sa zbrojem jednakim nuli:

S druge strane, grupiranjem njegovih članova u parove, počevši od drugog člana, dobijamo i konvergentni niz, ali sa zbrojem jednakim jedan:

Teorema 2.1. (Neophodan kriterijum za konvergenciju niza).

Ako red (1.1) konvergira, onda je njegov zajednički član teži nuli kako se n neograničeno povećava, tj.

Dokaz teoreme slijedi iz činjenice da i ako

S je onda zbir serije (1.1).

Uslov (2.1) je neophodan, ali ne i dovoljan uslov da bi red konvergirao. Odnosno, ako zajednički član niza teži nuli na, onda to ne znači da niz konvergira. Na primjer, za harmonijski niz (1.2), međutim, kao što će biti pokazano u nastavku, on divergira.

Posljedica (dovoljan kriterij za divergenciju niza).

Ako je zajednički pojam serije ne teži nuli kao, tada se ovaj niz divergira.

Primjer 2.2. Istražite nizove konvergencije

Za ovaj red

Stoga se ova serija razlikuje.

Gore razmatrani divergentni redovi (1.6), (1.7) su takođe divergentni nizovi zbog činjenice da ne zadovoljavaju neophodan kriterijum za konvergenciju. Za niz (1.6) granica za niz (1.7) ne postoji.

Svojstvo 2.1 . Konvergencija ili divergencija niza se neće promijeniti ako iz njega proizvoljno uklonite, dodate mu, preuredite konačan broj članova u njemu (istovremeno, za konvergentni niz, njegov se zbir može promijeniti).

Dokaz svojstva slijedi iz činjenice da red (1.1) i bilo koji njegov ostatak konvergiraju ili divergiraju istovremeno.

Svojstvo 2.2 . Konvergentni niz se može pomnožiti brojem, tj. ako niz (1.1) konvergira, ima zbir S i c je neki broj, tada

Dokaz slijedi iz činjenice da za konačne sume imamo jednakosti

Svojstvo 2.3. Konvergentni nizovi se mogu sabirati i oduzimati član po član, tj. ako je niz,

konvergirati,

zatim red

konvergira i njen zbir je tj.

Dokaz slijedi iz svojstava granice konačnih suma, tj.

Primjer 2.3. Izračunajte zbir niza

Zajednički pojam serije predstavljamo u obliku

Tada se originalni niz može predstaviti kao pojam razlika dva konvergentna niza geometrijske progresije

Koristeći formulu (1.8), izračunavamo zbrojeve odgovarajuće serije geometrijske progresije.

Za prvi red, dakle

Za drugi red, dakle

Konačno imamo

1. Brojevi nizovi: osnovni pojmovi, neophodni uslovi za konvergenciju niza. Ostatak reda.

2. Nizovi sa pozitivnim članovima i znacima njihove konvergencije: znaci poređenja, d'Alembert, Cauchy.

3. Naizmjenični redovi, Leibnizov test.

1. Definicija brojevnog niza. Konvergencija

U matematičkim aplikacijama, kao iu rješavanju nekih problema u ekonomiji, statistici i drugim oblastima, razmatraju se zbirovi sa beskonačnim brojem pojmova. Ovdje definiramo šta se podrazumijeva pod takvim iznosima.

Neka je dat beskonačan numerički niz

Definicija 1.1. Numeričke serije ili jednostavno u blizini se naziva izraz (zbir) oblika

. (1.1)

Brojevi pozvao članovi jednog broja, –general ili nthčlan reda.

Za postavljanje niza (1.1) dovoljno je postaviti funkciju prirodnog argumenta za izračunavanje th člana niza po njegovom broju

Primjer 1.1. Neka bude . Red

(1.2)

pozvao harmonične serije.

Primjer 1.2. Let Row

(1.3)

pozvao generalizovani harmonijski niz. U posebnom slučaju, na , dobija se harmonijski niz.

Primjer 1.3. Neka =. Red

pozvao pored geometrijske progresije.

Od članova niza (1.1) formiramo numeričku redoslijed parcijalnih iznosi gdje - zbir prvih članova niza, koji se zove n-i delimična suma, tj.

…………………………….

Numerički niz uz neograničeno povećanje broja, može:

1) imaju konačan limit;

2) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Definicija 1.2. Poziva se niz (1.1). konvergirajući, ako niz njegovih parcijalnih suma (1.5) ima konačan limit, tj.

U ovom slučaju se poziva broj suma serija (1.1) i napisana je

Definicija 1.3. Poziva se niz (1.1). divergentan, ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačnu granicu.

Divergentnom nizu se ne pripisuje zbir.

Dakle, problem nalaženja zbira konvergentnog niza (1.1) je ekvivalentan izračunavanju granice niza njegovih parcijalnih suma.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.4. Dokaži da je serija

konvergira i pronađi njen zbir.

Nađimo n-ti parcijalni zbir datog niza.

Zajednički član predstavljamo niz u obliku .

Stoga imamo: . Dakle, ovaj niz konvergira i njegov zbir je jednak 1:

Primjer 1.5. Istražite nizove konvergencije

Za ovaj red

. Stoga se ova serija razlikuje.

Komentar. Za , serija (1.6) je zbir beskonačnog broja nula i očigledno je konvergentna.

2. Osnovna svojstva brojevnih nizova

Svojstva zbira konačnog broja članova razlikuju se od svojstava niza, odnosno zbira beskonačnog broja članova. Dakle, u slučaju konačnog broja pojmova, oni se mogu grupisati bilo kojim redoslijedom, to ne mijenja zbir. Postoje konvergentni nizovi (uslovno konvergentni, koji će biti razmotreni u odjeljku 5) za koje je, kako je pokazao Riemann * , odgovarajućom promjenom redoslijeda njihovih članova, može se zbir reda učiniti jednakim bilo kojem broju, pa čak i divergentnom nizu.

Primjer 2.1. Razmotrimo divergentni niz oblika (1.7)

Grupirajući njegove članove u parove, dobijamo konvergentni niz brojeva sa zbrojem jednakim nuli:

S druge strane, grupiranjem njegovih članova u parove, počevši od drugog člana, dobijamo i konvergentni niz, ali sa zbrojem jednakim jedan:

Teorema 2.1.(Neophodan kriterijum za konvergenciju niza).

Ako niz (1.1) konvergira, onda njegov opšti član teži nuli kako n raste beskonačno, tj.

Dokaz teoreme slijedi iz činjenice da , i ako

S je onda zbir serije (1.1).

Uslov (2.1) je neophodan, ali ne i dovoljan uslov da bi red konvergirao. To jest, ako zajednički član niza teži nuli na , onda to ne znači da niz konvergira. Na primjer, za harmonijski niz (1.2) međutim, kao što će biti pokazano u nastavku, on se razlikuje.

Posljedica(dovoljan kriterijum za divergenciju niza).

Ako zajednički član serije ne teži nuli u, tada se ovaj niz divergira.

Primjer 2.2. Istražite nizove konvergencije

Za ovaj red

Stoga se ova serija razlikuje.

Divergentni nizovi (1.6), (1.7) razmatrani gore su takođe divergentni nizovi zbog činjenice da ne zadovoljavaju neophodan kriterijum za konvergenciju. za seriju (1.7) granica ne postoji.

Dokaz svojstva slijedi iz činjenice da je niz (1.1) i bilo koji njegov ostatak konvergiraju ili divergiraju u isto vrijeme.

Svojstvo 2.2. Konvergentni niz se može pomnožiti brojem, tj. ako niz (1.1) konvergira, ima zbir S i c je neki broj, tada

Dokaz slijedi iz činjenice da za konačne sume imamo jednakosti

Svojstvo 2.3. Konvergentni nizovi se mogu dodavati i oduzimati član po član, tj. ako je niz ,

konvergirati,

konvergira i njen zbir je tj.

Dokaz slijedi iz svojstava granice konačnih suma, tj.

UVOD

Priručnik je namijenjen nastavnicima matematike u tehničkim školama, kao i studentima drugih godina svih specijalnosti.

U ovom radu izlažemo osnovne pojmove teorije serija. Teorijski materijal ispunjava uslove Državnog obrazovnog standarda srednjeg stručnog obrazovanja (Ministarstvo prosvjete Ruska Federacija. M., 2002).

Izlaganje teorijskog materijala o cjelokupnoj temi praćeno je razmatranjem velikog broja primjera i zadataka, a izvodi se pristupačnim, po mogućnosti, strogim jezikom. Na kraju priručnika su primjeri i zadaci koje učenici mogu obavljati u načinu samokontrole.

Priručnik je namijenjen studentima dopisnog i redovnog oblika obrazovanja.

Uzimajući u obzir stepen pripremljenosti učenika tehničkih škola, kao i izuzetno ograničen broj časova (12 sati + 4 funte) predviđenih programom za polaganje više matematike u tehničkim školama, strogi zaključci, koji predstavljaju velike poteškoće za asimilaciju , su izostavljeni, ograničeni na razmatranje primjera.

OSNOVNI KONCEPTI

Rješenje problema predstavljenog u matematičkom smislu, na primjer, kao kombinacija različitih funkcija, njihovih izvoda i integrala, mora biti sposobno „dovesti do broja“, koji najčešće služi kao konačni odgovor. Za to su razvijene različite metode u raznim granama matematike.

Dio matematike koji omogućava rješavanje bilo kojeg dobro postavljenog problema sa dovoljnom preciznošću za praktičnu upotrebu naziva se teorija serija.

Čak i ako su se neki suptilni koncepti matematičke analize pojavili van veze s teorijom serija, oni su odmah primijenjeni na nizove, koji su služili kao alat za provjeru valjanosti ovih koncepata. Ovakva situacija traje do danas.

Izražavanje forme

gdje su ;;;…;;… članovi serije; - nth ili zajednički član niza, naziva se beskonačan niz (broj).

Ako članovi serije:

I. Brojne serije

1.1. Osnovni koncepti brojevnog niza.

Brojevni niz je zbir oblika

, (1.1)

gdje ,,,…,,…, zvani članovi serije, formiraju beskonačan niz; član se naziva zajedničkim članom serije.

sastavljene od prvih članova niza (1.1) nazivaju se parcijalni sumi ovog niza.

Svaki red može biti povezan sa nizom parcijalnih suma .

Ako sa beskonačnim povećanjem broja n parcijalni zbir niza teži granici, tada se red naziva konvergentan, a broj se naziva zbir konvergentnog niza, tj.

Ovaj unos je ekvivalentan unosu

Ako se djelomični zbir niza (1.1) neograničeno povećava n nema konačnu granicu ( teži ili ), onda se takav niz naziva divergentan .

Ako je red konvergentan , zatim vrijednost za dovoljno veliku n je približan izraz za sumu niza S.

Razlika se zove ostatak serije. Ako se niz konvergira, tada njegov ostatak teži nuli, tj. i obrnuto, ako ostatak teži nuli, tada red konvergira.

1.2. Primjeri brojevnih serija.

Primjer 1. Serija obrasca

(1.2)

pozvao geometrijski .

Geometrijski niz se formira od članova geometrijske progresije.

Poznato je da je zbir njegovog prvog nčlanovi. Očigledno je ovo n- th parcijalni zbir niza (1.2).

Mogući slučajevi:

Serija (1.2) ima oblik:

, serija se razilazi;

Serija (1.2) ima oblik:

Nema ograničenja, serija se razilazi.

je konačan broj, red konvergira.

- serija se razilazi.

Dakle, ovaj niz konvergira na i divergira na .

Primjer 2. Serija obrasca

(1.3)

pozvao harmonično .

Napišimo djelimični zbir ove serije:

Iznos je veći od iznosa prikazanog na sljedeći način:

ili .

Ako onda , ili .

Stoga, ako , Tada , tj. harmonijski niz se razilazi.

Primjer 3. Serija obrasca

(1.4)

pozvao generalizovani harmonik .

Ako , tada se ovaj niz pretvara u harmonijski niz, koji je divergentan.

Ako je , tada su članovi ovog niza veći od odgovarajućih članova harmonijskog niza i, prema tome, divergira. Kada imamo geometrijsku seriju u kojoj ; konvergentan je.

Dakle, generalizirani harmonijski niz konvergira na i divergira na .

1.3. Neophodni i dovoljni kriterijumi za konvergenciju.

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza.

Niz može konvergirati samo ako njegov zajednički član teži nuli kako broj raste bez ograničenja: .

Ako , tada se serija divergira, što je dovoljan znak divergenciju serije.

Dovoljni uslovi za konvergenciju niza sa pozitivnim članovima.

Znak poređenja serija sa pozitivnim članovima.

Proučavani niz konvergira ako njegovi članovi ne prelaze odgovarajuće članove drugog, očigledno konvergentnog niza; serija koja se proučava se divergira ako njeni članovi premašuju odgovarajuće članove drugog, očigledno divergentnog niza.

Znak d'Alamberta.

Ako za seriju sa pozitivnim terminima

uslov je zadovoljen, tada red konvergira na i divergira na .

d'Alembertov znak ne daje odgovor ako . U ovom slučaju se koriste druge metode za proučavanje serije.

Vježbe.

Napišite niz prema datom uobičajenom pojmu:

Uz pretpostavku ,,,…, imamo beskonačan niz brojeva:

Zbrajanjem njegovih uslova, dobijamo seriju

Učinivši isto, dobijamo seriju

Dajući vrijednosti 1,2,3,… i uzimajući u obzir to,,,…, dobijamo niz

Naći n- th član niza prema njegovim datim prvim članovima:

Imenioci članova niza, počevši od prvog, su parni brojevi; shodno tome, n- Vi član serije ima oblik .

Brojnici članova niza čine prirodni niz brojeva, a odgovarajući imenioci čine prirodni niz brojeva, a odgovarajući imenioci čine prirodni niz brojeva, počevši od 3. Znakovi se izmjenjuju prema zakonu ili prema prema zakonu. znači, n- Vi član serije ima oblik . ili .

Istražite konvergenciju niza pomoću potrebnog testa konvergencije i testa poređenja:

;

Mi nalazimo .

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen, ali da bi se rešilo pitanje konvergencije, mora se primeniti jedan od dovoljnih kriterijuma konvergencije. Uporedite ovu seriju sa geometrijskom serijom

koji konvergira od tada.

Upoređujući članove ovog niza, počevši od drugog, sa odgovarajućim članovima geometrijskog niza, dobijamo nejednakosti

one. članovi ovog niza, počevši od drugog, prema tome su manji od članova geometrijskog niza, iz čega slijedi da dati niz konvergira.

Ovdje je zadovoljen dovoljan test za divergenciju niza; stoga se serija razilazi.

Mi nalazimo .

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen. Uporedimo ovaj niz sa generalizovanim harmonijskim redom

koji konvergira, pošto, dakle, konvergira i dati niz.

Istražite konvergenciju niza koristeći d'Alembertov test:

;

Zamjena u zajednički pojam serije umjesto n broj n+ 1, dobijamo . Nađimo granicu omjera -tog člana prema n- mu član na:

Stoga se ova serija konvergira.

Dakle, ova serija se razilazi.

One. red se razilazi.

II. naizmenične serije

2.1 Koncept naizmjeničnog niza.

Brojne serije

pozvao naizmjenično ako njegovi članovi uključuju i pozitivne i negativne brojeve.

Brojevna prava se zove naizmjenično ako bilo koja dva susjedna člana imaju suprotne predznake.

gdje za sve (tj. niz čiji pozitivni i negativni članovi slijede jedan za drugim). Na primjer,

;

Za naizmjenične serije postoji dovoljan kriterij za konvergenciju (ustanovio ga je 1714. Leibniz u pismu I. Bernoulliju).

2.2 Znak Leibniza. Apsolutna i uslovna konvergencija serije.

Teorema (Leibnizov test).

Naizmjenični niz konvergira ako:

Niz apsolutnih vrijednosti članova niza monotono se smanjuje, tj. ;

Uobičajeni član serije teži nuli:.

Štaviše, zbir S serije zadovoljava nejednakosti

Napomene.

Proučavanje naizmjeničnog niza oblika

(sa negativnim prvim članom) se smanjuje množenjem svih njegovih članova sa proučavanjem serije .

Redovi za koje su ispunjeni uslovi Leibnizove teoreme nazivaju se Leibnizian (ili Leibnizova serija).

Relacija nam omogućava da dobijemo jednostavnu i pogodnu procjenu greške koju pravimo zamjenom sume S ovog niza svojim djelomičnim zbrojem .

Odbačena serija (ostatak) je također naizmjenična serija , čiji je zbir manji od prvog člana ovog niza, odnosno greška je manja od modula prvog odbačenog člana.

Primjer. Izračunajte približno zbroj serije.

Rješenje: dati niz Lajbnicovog tipa. On konvergira. Možete napisati:

Uzimajući pet mandata, tj. zamjenjiv

Hajde da napravimo manju grešku

kako . Dakle,.

Za naizmjenične serije, primjenjuje se sljedeći opći dovoljan kriterij za konvergenciju.

Teorema. Neka je dat naizmjenični niz

Ako se niz konvergira

sastavljen od modula članova datog niza, tada sam naizmjenični niz konvergira.

Leibnizov kriterijum konvergencije za naizmenične redove je dovoljan kriterijum za konvergenciju naizmeničnih redova.

Naizmjenični niz se zove apsolutno konvergentno , ako se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira, tj. svaki apsolutno konvergentan niz je konvergentan.

Ako se naizmjenični niz konvergira, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova divergira, tada se ovaj niz naziva uslovno (nije apsolutno) konvergirajući.

2.3. Vježbe.

Ispitati konvergenciju (apsolutnu ili uslovnu) naizmjeničnog niza:

Prema tome, prema Leibniz testu, niz konvergira. Hajde da saznamo da li se ovaj niz konvergira apsolutno ili uslovno.

Red , sastavljen od apsolutnih vrijednosti date serije, je harmonijski niz koji se divergira. Dakle, ovaj niz konvergira uslovno.

Članovi ove serije monotono smanjuju apsolutnu vrijednost:

, ali

Serija se razilazi jer Leibnizov test ne vrijedi.

Koristeći Leibnizov test, dobijamo

one. serija konvergira.

Ovo je geometrijski niz oblika gdje, koji konvergira. Stoga se ova serija apsolutno konvergira.

Koristeći Leibnizov test, imamo

;

, tj. serija konvergira.

Razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova ovog niza:

, ili

Ovo je generalizovani harmonijski niz koji se divergira, pošto. Dakle, ovaj niz konvergira uslovno.

III. Funkcionalni raspon

3.1. Koncept funkcionalne serije.

Poziva se niz čiji su članovi funkcije funkcionalan :

Dajući određenu vrijednost, dobijamo niz brojeva

koja može biti ili konvergentna ili divergentna.

Ako se rezultirajući niz brojeva konvergira, tada se tačka naziva tačka konvergencije funkcionalni red; ako se serija razilazi tačka divergencije funkcionalni red.

Skup numeričkih vrijednosti argumenta, na kojem se funkcionalni niz konvergira, naziva se njegovim region konvergencije .

U području konvergencije funkcionalnog niza, njegov zbir je određena funkcija :.

Definira se u području konvergencije jednakošću

, gdje

Djelomični zbir serije.

Primjer. Pronađite područje konvergencije niza.

Rješenje. Ovaj niz je niz geometrijske progresije sa nazivnikom. Dakle, ovaj niz konvergira za , tj. za sve ; zbir serije je ;

, u .

3.2. Power series.

Potencijski niz je niz oblika

gdje su brojevi pozvao koeficijenti serije , a termin je uobičajen pojam serije.

Područje konvergencije stepena niza je skup svih vrijednosti za koje niz konvergira.

Broj je pozvan radijus konvergencije potencijskog niza, ako je za , serija konvergira i, osim toga, apsolutno, a za , serija divergira.

Radijus konvergencije nalazimo pomoću d'Alembertovog testa:

(ne zavisi od),

one. ako snaga serije konvergira za bilo koje zadovoljavanje ovog uvjeta i divergira za .

Iz toga slijedi da ako postoji granica

tada je radijus konvergencije serije jednak ovoj granici, a red snage konvergira na , tj. između kojih se zove interval (interval) konvergencije.

Ako je , tada snaga niz konvergira u jednoj tački .

Na krajevima intervala, nizovi mogu konvergirati (apsolutno ili uslovno), ali mogu i divergirati.

Konvergencija redova stepena za i istražuje se korištenjem jednog od kriterija konvergencije.

3.3. Vježbe.

Pronađite područje konvergencije niza:

Rješenje. Pronađite radijus konvergencije ovog niza:

Dakle, ovaj niz konvergira apsolutno na cijeloj brojevnoj osi.

Rješenje. Koristimo d'Alembertov znak. Za ovu seriju imamo:

Serija konvergira apsolutno ako ili . Proučimo ponašanje niza na krajevima intervala konvergencije.

Jer imamo seriju

Jer imamo seriju je također konvergentni Leibnizov niz. Stoga je područje konvergencije originalnog niza segment.

Rješenje. Pronađite polumjer konvergencije niza:

Dakle, niz konvergira na, tj. at.

Uzmimo seriju , koji konvergira prema Leibnizovom testu.

Uzimamo divergentnu seriju

Stoga je područje konvergencije originalnog niza interval.

IV. Razgradnja elementarne funkcije u seriji Maclaurin.

Za aplikacije je važno biti u mogućnosti ovu funkciju proširiti u niz stepena, tj. predstavljaju funkciju kao zbir stepena niza.

Taylorov red za funkciju naziva se niz stepena oblika

Ako je , onda ćemo dobiti poseban slučaj Taylorove serije

koji se zove blizu Maclaurina .

Niz stepena unutar svog intervala konvergencije može se diferencirati pojam po član i integrirati onoliko puta koliko se želi, a rezultirajući niz ima isti interval konvergencije kao i originalni niz.

Dva niza stepena mogu se sabirati i množiti član po član prema pravilima sabiranja i množenja polinoma. U ovom slučaju, interval konvergencije rezultirajućeg novog niza poklapa se sa zajedničkim dijelom intervala konvergencije originalnog niza.

Za proširenje funkcije u Maclaurinov niz, potrebno je:

Izračunajte vrijednosti funkcije i njenih uzastopnih izvoda u tački , tj.,,,…,;

Sastavite Maclaurinov niz zamjenom vrijednosti funkcije i njenih uzastopnih derivata u formulu Maclaurinovog reda;

Pronađite interval konvergencije rezultirajućeg niza po formuli

, .

Primjer 1. Proširite funkciju u Maclaurinov niz.

Rješenje. Jer , zatim, zamjenom sa u proširenju, dobijamo:

Primjer 2. Napišite Maclaurinov red funkcije .

Rješenje. Budući da , onda koristeći formulu u kojoj zamjenjujemo sa , dobivamo:

Primjer 3. Proširiti funkciju u Maclaurinov niz.

Rješenje. Koristimo formulu. Jer

, a zatim zamjenom sa dobivamo:

, ili

gdje , tj. .

V. Praktični zadaci za samokontrolu učenika.

Uspostavite konvergenciju koristeći test poređenja serija

konvergira uslovno;

poklapa se apsolutno.

;

VII. Istorijat.

Rješenje mnogih problema svodi se na izračunavanje vrijednosti funkcija i integrala ili na rješenje diferencijalnih jednadžbi koje sadrže izvode ili diferencijale nepoznatih funkcija.

Međutim, tačno izvođenje ovih matematičkih operacija u mnogim slučajevima se ispostavlja veoma teškim ili nemogućim. U ovim slučajevima moguće je dobiti približno rješenje mnogih problema sa bilo kojom željenom točnošću korištenjem serija.

Serije su jednostavan i savršen alat matematičke analize za približno izračunavanje funkcija, integrala i rješenja diferencijalnih jednadžbi.

I stoji na desnoj strani funkcionalnog.

Da bi se umjesto znaka “” stavio znak jednakosti, potrebno je izvršiti dodatna razmišljanja koja se odnose upravo na beskonačnost broja članova na desnoj strani jednakosti i koji se tiču područja konvergencije reda.

Kada Taylorova formula poprimi oblik u kojem se zove Maclaurin formula:

Colin Maclaurin (1698. - 1746.), Newtonov učenik, u svom Traktatu o fluksijama (1742.) je ustanovio da postoji samo jedan niz stepena koji izražava analitičku funkciju, a to će biti Taylorov niz generiran takvom funkcijom. U Njutnovoj binomnoj formuli, koeficijenti na stepenu su vrednosti, pri čemu .

Dakle, redovi su nastali u 18. veku. kao način predstavljanja funkcija koje omogućavaju beskonačnu diferencijaciju. Međutim, funkcija koju predstavlja niz nije nazvana njenim zbirom, a općenito u to vrijeme još nije bilo utvrđeno koliki je zbir numeričkog ili funkcionalnog niza, bilo je samo pokušaja da se uvede ovaj koncept.

Na primjer, L. Euler (1707-1783), ispisavši niz stepena koji odgovara nekoj funkciji, dao je varijabli određenu vrijednost. Imam brojevnu liniju. Ojler je smatrao da je vrednost originalne funkcije u tački zbir ovog niza. Ali to nije uvijek tačno.

Da divergentni niz nema zbir, naučnici su počeli da nagađaju tek u 19. veku, iako u 18. veku. mnogi, a prije svega L. Euler, su naporno radili na konceptima konvergencije i divergencije. Ojler naziva niz konvergentan ako njegov zajednički pojam teži nuli kao .

U teoriji divergentnih redova, Ojler je dobio mnogo značajnih rezultata, ali ti rezultati dugo nisu našli primenu. Davne 1826 N.G. Abel (1802 - 1829) nazvao je divergentne redove "đavolskom izmišljotinom". Ojlerovi rezultati našli su opravdanje tek krajem 19. veka.

U formiranju koncepta zbira konvergentnog niza, francuski naučnik O.L. Cauchy (1789 - 1857); učinio je izuzetno mnogo ne samo u teoriji serija, već iu teoriji granica, u razvoju samog pojma granice. Godine 1826 Cauchy je izjavio da divergentni niz nema zbroj.

Godine 1768 Francuski matematičar i filozof J.L. D'Alembert je proučavao omjer sljedećeg člana prema prethodnom u binomskom nizu i pokazao da ako je ovaj omjer manji od jedan po apsolutnoj vrijednosti, tada niz konvergira. Cauchy 1821 dokazao teoremu koja navodi u opšti pogled znak konvergencije predznačno pozitivnih nizova, koji se sada naziva d'Alembertov znak.

Za proučavanje konvergencije naizmjeničnih nizova koristi se Leibnizov test.

G.V. Leibniz (1646 - 1716), veliki njemački matematičar i filozof, uz I. Newtona, osnivač je diferencijalnog i integralnog računa.

Bibliografija:

Glavni:

Bogomolov N.V., Praktična nastava iz matematike. M., “ srednja škola“, 1990. – 495 str.;
Tarasov N.P., Kurs više matematike za tehničke škole. M., "Nauka", 1971 - 448 str.;
Zaitsev I.L., Kurs više matematike za tehničke škole. M., državna izdavačka kuća tehničkih škola - teorijska literatura, 1957 - 339 str.;
Pismenny D.T., Kurs predavanja o višoj matematici. M., “Iris Press”, 2005, 2. dio – 256 str.;
Vygodsky M.Ya., Priručnik za višu matematiku. M., "Nauka", 1975. - 872 str.;

Dodatno:

Gusak A.A., Viša matematika. U 2 sveska, tom 2: Udžbenik za studente. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 str.;
Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematika za studente ekonomskih specijalnosti. Dio 2. Krasnodar, 2002. - 348 str.;
Griguletsky V.G. itd. Zadatak iz matematike. Krasnodar. KSAU, 2003. - 170 str.;
Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Zadaci i vježbe za studente fakulteta računovodstva i finansija. Krasnodar. 2001. - 173 str.;
Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Viša matematika. Krasnodar, 1998. - 186 str.;
Malykhin V.I., Matematika u ekonomiji. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

VIŠA MATEMATIKA

Brojne serije

Predavanje.Brojne serije

1. Definicija brojevnog niza. Konvergencija

2. Osnovna svojstva brojevnih nizova

3. Serija sa pozitivnim pojmovima. Znakovi konvergencije

4. Naizmjenični redovi. Leibnizov test konvergencije

5. Naizmjenične serije

Pitanja za samoispitivanje

Književnost

Predavanje. NUMERICAL SERIES

1. Definicija brojevnog niza. Konvergencija.

2. Osnovna svojstva numeričkih nizova.

3. Serija sa pozitivnim pojmovima. Znakovi konvergencije.

4. Naizmjenični redovi. Leibnizov test konvergencije.

5. Naizmjenične serije.

1. Definicija brojevnog niza. Konvergencija

Neka je dat beskonačan numerički niz

, , …, , …

Definicija 1.1. Numeričke serije ili jednostavno u blizini se naziva izraz (zbir) oblika

. (1.1) se nazivaju članovi jednog broja, – general ili n – mčlan reda.

Za definiranje niza (1.1) dovoljno je definirati funkciju prirodnog argumenta

izračunavanje th člana serije po njegovom broju

Primjer 1.1. Neka bude

. Red (1.2)

pozvao harmonične serije .

Primjer 1.2. Neka bude

, Serija (1.3)

pozvao generalizovani harmonijski niz. U konkretnom slučaju, kada

dobija se harmonijski niz.

Primjer 1.3. Neka bude

= . Red (1.4)

pozvao pored geometrijske progresije.

Od članova niza (1.1) formiramo numeričku redoslijed parcijalnihiznosi gdje

je zbir prvih članova niza, koji se zove n-i delimična suma, tj. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Numerički niz

uz neograničeno povećanje broja može:

1) imaju konačan limit;

2) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Definicija 1.2. Poziva se niz (1.1). konvergirajući, ako niz njegovih parcijalnih suma (1.5) ima konačan limit, tj.

U ovom slučaju, broj

pozvao suma serija (1.1) i napisano je .

Definicija 1.3.Poziva se niz (1.1). divergentan, ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačnu granicu.

Divergentnom nizu se ne pripisuje zbir.

Dakle, problem nalaženja zbira konvergentnog niza (1.1) je ekvivalentan izračunavanju granice niza njegovih parcijalnih suma.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.4. Dokaži da je serija

konvergira i pronađi njen zbir.

Hajde da nađemo n- parcijalni zbir date serije

Zajednički član

predstavljamo niz u obliku .

Stoga imamo:

. Dakle, ovaj niz konvergira i njegov zbir je jednak 1:

Primjer 1.5. Istražite nizove konvergencije

(1.6)

Za ovaj red

. Stoga se ova serija razlikuje.

Komentar. At

niz (1.6) je zbir beskonačnog broja nula i očigledno je konvergentan.

Primjer 1.6. Istražite nizove konvergencije

(1.7)

Za ovaj red

U ovom slučaju, granica niza parcijalnih suma

ne postoji, a serija se razilazi.

Primjer 1.7. Istražite konvergenciju serije geometrijske progresije (1.4):

Lako je to pokazati n-th parcijalni zbir niza geometrijske progresije za

dato formulom.

Razmotrite slučajeve:

Zatim i .

Dakle, red konvergira i njegov zbir je jednak