Gustina distribucije vjerovatnoće X pozovite funkciju f(x) je prvi izvod funkcije distribucije F(x):
Koncept distribucije gustine vjerovatnoće slučajna varijabla X za diskretna količina nije primjenjivo.
Gustoća vjerovatnoće f(x)- zvao diferencijalna funkcija distribucije:
Nekretnina 1. Gustina distribucije je nenegativna vrijednost:
Nekretnina 2. Nepravilan integral gustine distribucije u rasponu od do jednak je jedan:
Primjer 1.25. S obzirom na funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
f(x).
Rješenje: Gustoća distribucije jednaka je prvom izvodu funkcije distribucije:
1. Zadana funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
Pronađite gustinu distribucije.
2. Zadana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
Pronađite gustinu distribucije f(x).
1.3. Numeričke karakteristike kontinuiranog slučajnog
količine
Očekivana vrijednost kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Oh, određen je jednakošću:
Pretpostavlja se da integral konvergira apsolutno.
a,b), zatim:
f(x) je gustina distribucije slučajne varijable.
Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi, određena je jednakošću:
Poseban slučaj. Ako vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu ( a,b), zatim:
Verovatnoća da Xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu ( a,b), određena je jednakošću:
.
Primjer 1.26. Kontinuirana slučajna varijabla X
Naći očekivana vrijednost, varijansa i vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X u intervalu (0; 0,7).
Rješenje: Slučajna varijabla je raspoređena po intervalu (0,1). Definirajmo gustinu distribucije kontinuirane slučajne varijable X:
a) Matematičko očekivanje 
:
b) Disperzija 
u) 
Zadaci za samostalan rad:
1. Slučajna varijabla X dato funkcijom distribucije:
M(x);
b) disperzija D(x);
X u interval (2,3).
2. Slučajna vrijednost X
Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);
b) disperzija D(x);
c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (1; 1,5).
3. Slučajna vrijednost X data je integralnom funkcijom distribucije:
Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);
b) disperzija D(x);
c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu.
1.4. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable
1.4.1. Ujednačena distribucija
Kontinuirana slučajna varijabla X ima ujednačenu distribuciju na intervalu [ a,b], ako je na ovom segmentu gustina distribucije vjerovatnoće slučajne varijable konstantna, a izvan nje jednaka nuli, tj.:
Rice. 4.
; 
; 
.
Primjer 1.27. Autobus neke rute kreće se ravnomjerno sa intervalom od 5 minuta. Nađite vjerovatnoću da je ravnomjerno raspoređena slučajna varijabla X– vrijeme čekanja na autobus će biti manje od 3 minute.
Rješenje: Slučajna vrijednost X- ravnomjerno raspoređeni po intervalu.
Gustoća vjerovatnoće: 
.
Kako vrijeme čekanja ne bi bilo duže od 3 minute, putnik mora doći na autobusko stajalište u roku od 2 do 5 minuta nakon polaska prethodnog autobusa, tj. slučajna vrijednost X mora biti unutar intervala (2;5). To. željena vjerovatnoća:
Zadaci za samostalan rad:
1. a) pronaći matematičko očekivanje slučajne varijable X ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2; 8);
b) pronaći varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2;8).
2. Minutna kazaljka električnog sata skače na kraju svake minute. Odrediti vjerovatnoću da će u datom trenutku sat pokazati vrijeme koje se razlikuje od pravog vremena za najviše 20 sekundi.
1.4.2. Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija
Kontinuirana slučajna varijabla X je eksponencijalno distribuiran ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:
gdje je parametar eksponencijalne distribucije.
Na ovaj način 
Rice. pet.
Numeričke karakteristike:
Primjer 1.28. Slučajna vrijednost X- vrijeme rada sijalice - ima eksponencijalnu distribuciju. Odredite vjerovatnoću da će lampa trajati najmanje 600 sati ako je prosječni vijek trajanja lampe 400 sati.
Rješenje: Prema uslovu zadatka, matematičko očekivanje slučajne varijable X iznosi 400 sati, pa:
; 
Željena vjerovatnoća , gdje
konačno:
Zadaci za samostalan rad:
1. Napišite gustinu i funkciju distribucije eksponencijalnog zakona, ako je parametar .
2. Slučajna vrijednost X
Pronađite matematičko očekivanje i varijansu veličine X.
3. Slučajna vrijednost X dato funkcijom raspodjele vjerovatnoće:
Pronađite matematičko očekivanje i standardnu devijaciju slučajne varijable.
1.4.3. Normalna distribucija
normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, čija gustina ima oblik:
gdje ali– matematičko očekivanje, – standardna devijacija X.
Verovatnoća da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu:
, gdje
je Laplaceova funkcija.
Distribucija koja ima ; , tj. sa gustinom vjerovatnoće 
naziva se standardnim.
Rice. 6.
Vjerovatnoća da je apsolutna vrijednost odstupila je manja od pozitivan broj :
.
Konkretno, kada a= 0 jednakost je tačna:
Primjer 1.29. Slučajna vrijednost X raspoređeno normalno. Standardna devijacija . Naći vjerovatnoću da će odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti biti manje od 0,3.
Rješenje: .
Zadaci za samostalan rad:
1. Napišite gustinu vjerovatnoće normalne distribucije slučajne varijable X, znajući to M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X su 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15;20).
3. Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom mm i matematičkim očekivanjem a= 0. Odrediti vjerovatnoću da greška najmanje jednog od 3 nezavisna mjerenja ne prelazi 4 mm u apsolutnoj vrijednosti.
4. Neka supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom r. Naći vjerovatnoću da će vaganje biti izvršeno sa greškom koja ne prelazi 10 g u apsolutnoj vrijednosti.
Za razliku od diskretne slučajne varijable, kontinuirane slučajne varijable ne mogu se specificirati u obliku tabele njenog zakona distribucije, jer je nemoguće navesti i ispisati sve njene vrijednosti u određenom nizu. Jedan od mogućih načina za definiranje kontinuirane slučajne varijable je korištenje funkcije distribucije.
DEFINICIJA. Funkcija distribucije je funkcija koja određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je na realnoj osi prikazana tačkom lijevo od x tačke, tj.
Ponekad se umjesto izraza "funkcija distribucije" koristi izraz "integralna funkcija".
Svojstva funkcije distribucije:
1. Vrijednost funkcije distribucije pripada segmentu: 0F(x)1
2. F(x) je neopadajuća funkcija, tj. F(x 2)F(x 1) ako je x 2 >x 1
Posljedica 1. Vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (a,b) jednaka je inkrementu funkcije distribucije na ovom intervalu:
P(aX
Primjer 9. Slučajna varijabla X data je funkcijom distribucije:
Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0; 2): P(0 Rješenje: Pošto je na intervalu (0;2) po uslovu, F(x)=x/4+1/4, onda je F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Dakle, P(0 Posljedica 2. Vjerovatnoća da kontinuirana slučajna varijabla X uzme jednu određenu vrijednost jednaka je nuli. Posljedica 3. Ako moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu (a;b), tada: 1) F(x)=0 za xa; 2) F(x)=1 za xb. Graf funkcije distribucije nalazi se u traci ograničenoj pravim linijama y=0, y=1 (prvo svojstvo). Kako se x povećava u intervalu (a;b), koji sadrži sve moguće vrijednosti slučajne varijable, graf se "podiže". Za xa, ordinate grafa su jednake nuli; na xb, ordinate grafa su jednake jedan: Primjer 10. Diskretna slučajna varijabla X data je tablicom distribucije: Pronađite funkciju distribucije i izgradite njen graf. DEFINICIJA: Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je funkcija f (x) - prvi izvod funkcije distribucije F (x): f (x) \u003d F "(x) Iz ove definicije slijedi da je funkcija distribucije antiderivat gustine raspodjele. Teorema. Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a; b) jednaka je određenom integralu gustine distribucije, uzetom u rasponu od a do b: Svojstva gustine vjerovatnoće: 1. Gustoća vjerovatnoće je nenegativna funkcija: f(x)0. Primjer 11. Zadata je gustina raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable X Rješenje: Željena vjerovatnoća: Proširimo definiciju numeričkih karakteristika diskretnih veličina na kontinuirane veličine. Neka je kontinuirana slučajna varijabla X data gustinom distribucije f(x). DEFINICIJA. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable X, čije moguće vrijednosti pripadaju segmentu, naziva se definitivnim integralom: M(x)=xf(x)dx (9) Ako moguće vrijednosti pripadaju cijeloj x-osi, tada: M(x)=xf(x)dx (10) Mod M 0 (X) kontinuirane slučajne varijable X je njena moguća vrijednost, koja odgovara lokalnom maksimumu gustine distribucije. Medijan M e (X) kontinuirane slučajne varijable X je njena moguća vrijednost, koja je određena jednakošću: P(X e (X))=P(X>M e (X)) DEFINICIJA. Disperzija kontinuirane slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata njenog odstupanja. Ako moguće vrijednosti X pripadaju segmentu, tada: D(x)=2 f(x)dx (11) Ako moguće vrijednosti pripadaju cijeloj x-osi, onda. U teoriji vjerovatnoće, moramo imati posla sa slučajnim varijablama, čije se sve vrijednosti ne mogu razvrstati. Na primjer, nemoguće je uzeti i "sortirati" sve vrijednosti slučajne varijable $X$ - radnog vremena sata, jer se vrijeme može mjeriti u satima, minutama, sekundama, milisekundama itd. Možete odrediti samo određeni interval unutar kojeg se nalaze vrijednosti slučajne varijable. Kontinuirana slučajna varijabla je slučajna varijabla čije vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval. Budući da nije moguće sortirati sve vrijednosti kontinuirane slučajne varijable, ona se može specificirati pomoću funkcije distribucije. funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ je funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, tj. $F\left(x\ desno)$ )=P\lijevo(X< x\right)$. Svojstva funkcije distribucije: 1
. $0\le F\levo(x\desno)\le 1$. 2
. Vjerovatnoća da slučajna varijabla $X$ uzme vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog intervala : $P\lijevo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$. 3
. $F\left(x\right)$ - neopadajuće. 4
. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$. Primjer 1
$$P\lijevo(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$ Funkcija $f\left(x\right)=(F)"(x)$ naziva se gustina distribucije vjerovatnoće, odnosno ona je izvod prvog reda uzet iz funkcije raspodjele $F\left(x\right) $ sam. Svojstva funkcije $f\left(x\right)$. 1
. $f\left(x\right)\ge 0$. 2
. $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$. 3
. Vjerovatnoća da slučajna varijabla $X$ uzima vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ je $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$. 4
. $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$. Primjer 2
. Kontinuirana slučajna varijabla $X$ data je sljedećom funkcijom distribucije $F(x)=\left\(\begin(matrix) Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable $X$ izračunava se po formuli $$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$ Primjer 3
. Pronađite $M\left(X\right)$ za slučajnu varijablu $X$ iz primjera $2$. $$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\preko (2))\bigg|_0^1=((1)\preko (2)).$$ Varijanca kontinuirane slučajne varijable $X$ se izračunava po formuli $$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$ Primjer 4
. Nađimo $D\left(X\right)$ za slučajnu varijablu $X$ iz primjera $2$. $$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\preko (2))\desno))^2=((x^3)\preko (3))\bigg|_0^1-( (1)\preko (4))=((1)\preko (3))-((1)\preko (4))=((1)\preko (12)).$$ kao što je poznato, slučajna varijabla
naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). razlikovati kontinuirano i diskretne slučajne varijable
. Kontinuirana slučajna varijabla
slučajna varijabla X se zove ako se njena funkcija distribucije (integralna funkcija distribucije) može predstaviti kao: Funkcija f(x) se zove gustina raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable
X (funkcija diferencijalne distribucije). Vjerovatnoća
činjenica da kontinuirana slučajna varijabla X uzima vrijednost u datom intervalu izračunava se na sljedeći način: Primjeri distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X: Prilikom rješavanja zadataka široko se koriste numeričke karakteristike kontinuiranih slučajnih varijabli (tabela 1). Zadatak.
Gustoća vjerovatnoće slučajne varijable je poznata: Pronađite: a) parametar a; b) funkcija raspodjele F(x); c) vjerovatnoća da X padne u interval (-π/4; π/4). Rješenje.
1. Poznavajući svojstva funkcije gustoće vjerovatnoće f(x), nalazimo nepoznati parametar a. Iz nejednakosti f(x)≥0 zaključujemo da je a≥0. dalje: Izračunajmo ovaj integral. Znajući da njegova vrijednost mora biti jednaka jedan, izražavamo a. A-(-a) \u003d 2a. Znajući to dobijamo 2a=1, dakle a=1/2. ako je x ≤ 0 Ako je 0< х ≤ π, то = ½ (-cosx + cos0) = ½ (1-cosx) Ako je x > π, onda Željena integralna funkcija poprima konačni oblik: Grafikon funkcije F(x) prikazan je na slici 2. 3. Vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X u intervalu (-π / 4; π / 4) nalazi se po formuli: P(a Kontinuirane slučajne varijable imaju beskonačan broj mogućih vrijednosti. Stoga je nemoguće uvesti distributivnu seriju za njih. Umjesto vjerovatnoće da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku x, tj. p(X = x), razmotrite vjerovatnoću da će X poprimiti vrijednost manju od x, tj. P(X< х). Uvodimo novu karakteristiku slučajnih varijabli - funkciju distribucije i razmatramo njena svojstva. Funkcija distribucije je najuniverzalnija karakteristika slučajne varijable. Može se definirati i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable: F(x) = p(X< x). Svojstva funkcije distribucije. Funkcija distribucije je neopadajuća funkcija svog argumenta, tj. ako: Na minus beskonačnosti, funkcija distribucije je nula: Na plus beskonačno, funkcija distribucije je jednaka jedan: Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u dati interval određena je formulom: Funkcija f(x), koja je jednaka derivatu funkcije distribucije, naziva se gustoća vjerovatnoće slučajne varijable X ili gustina distribucije: Izrazimo vjerovatnoću pogađanja sekcije b do c u terminima f(x). Jednaka je zbiru elemenata vjerovatnoće u ovom dijelu, tj. integral: Odavde možemo izraziti funkciju distribucije u smislu gustine vjerovatnoće: Svojstva gustoće vjerovatnoće. Gustoća vjerovatnoće je nenegativna funkcija (pošto je funkcija distribucije neopadajuća funkcija): Gustina vjerovatno sti je kontinuirana funkcija. Integral u beskonačnim granicama gustine vjerovatnoće jednak je 1: Gustoća vjerovatnoće ima dimenziju slučajne varijable. Matematičko očekivanje i disperzija kontinuirane slučajne varijable Značenje matematičkog očekivanja i varijanse ostaje isto kao iu slučaju diskretnih slučajnih varijabli. Oblik formula za njihovo pronalaženje mijenja se zamjenom: Tada dobijamo formule za izračunavanje matematičkog očekivanja i disperzije kontinuirane slučajne varijable: Primjer. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable je data sa: Nađite vrijednost a, gustinu vjerovatnoće, vjerovatnoću da ćete pogoditi lokaciju (0,25-0,5), matematičko očekivanje i varijansu. Pošto je funkcija distribucije F(x) kontinuirana, onda je za x = 1 ax2 = 1, dakle a = 1. Gustoća vjerovatnoće se nalazi kao derivacija funkcije distribucije: Proračun vjerovatnoće udara u datu oblast može se izvršiti na dva načina: korištenjem funkcije raspodjele i korištenjem gustine vjerovatnoće. Pronalaženje matematičkog očekivanja: Pronalaženje varijanse: Ujednačena distribucija Razmotrimo kontinuiranu slučajnu varijablu X čije moguće vrijednosti leže u određenom intervalu i jednako su vjerojatne. Gustoća vjerovatnoće takve slučajne varijable će biti: gdje je c neka konstanta. Grafikon gustine vjerovatnoće će biti prikazan na sljedeći način: Parametar c izražavamo u terminima b i c. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da integral gustoće vjerovatnoće za cijelo područje mora biti jednak 1: Gustoća distribucije jednoliko raspoređene slučajne varijable Pronađite funkciju distribucije: Funkcija distribucije jednoliko raspoređene slučajne varijable Nacrtajmo funkciju distribucije: Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable koja se pridržava uniformne raspodjele. Tada će standardna devijacija izgledati ovako: Normalna (Gausova) distribucija Kontinuirana slučajna varijabla X naziva se normalno raspoređena s parametrima a, y > 0 ako ima gustinu vjerovatnoće: Kriva distribucije slučajne varijable ima oblik: Test 2 Zadatak 1. Sastaviti zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X, izračunati matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 1 QCD provjerava proizvode za standardizaciju. Vjerovatnoća da je stavka standardna je 0,7. Testirano 20 artikala. Naći zakon raspodjele slučajne varijable X - broj standardnih proizvoda među testiranim. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 2 U urni se nalaze 4 kuglice, na kojima su označene 2 tačke; 4; pet; 5. Lopta se izvlači nasumično. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj tačaka na njoj. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 3 Lovac gađa divljač dok ne pogodi, ali ne može ispaliti više od tri hica. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,6. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj hitaca koje je strijelac ispalio. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 4 Verovatnoća prekoračenja navedene tačnosti u merenju je 0,4. Sastaviti zakon raspodjele slučajne varijable X - broj grešaka u 10 mjerenja. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 5 Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,45. Ispaljeno 20 hitaca. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj pogodaka. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 6 Proizvodi određene fabrike sadrže 5% braka. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj neispravnih proizvoda među pet uzetih za sreću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 7 Dijelovi potrebni montažeru nalaze se u tri od pet kutija. Sastavljač otvara kutije dok ne pronađe prave dijelove. Sastaviti zakon raspodjele slučajne varijable X - broj otvorenih kutija. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 8 Urna sadrži 3 crne i 2 bijele kuglice. Izvodi se sekvencijalno vađenje loptica bez povratka sve dok se ne pojavi crna. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj izvađenih loptica. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 9 Učenik zna 15 pitanja od 20. U listiću su 3 pitanja. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj pitanja poznatih učeniku u listiću. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Opcija 10 Postoje 3 sijalice od kojih svaka ima kvar sa vjerovatnoćom 0,4. Kada se uključi, neispravna sijalica pregori i zamjenjuje se drugom. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj testiranih lampi. Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju slučajne varijable. Zadatak 2. Slučajna varijabla X data je funkcijom raspodjele F(X). Naći gustinu distribucije, matematičko očekivanje, varijansu, kao i vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval (b, c). Konstruirati grafove funkcija F(X) i f(X). Opcija 1 Opcija 2 Opcija 3 Opcija 4 Opcija 5 Opcija 6 Opcija 7 Opcija 8 Opcija 9 Opcija 10 Pitanja za ispit Klasična definicija vjerovatnoće. Elementi kombinatorike. Smještaj. Primjeri. Elementi kombinatorike. Permutacija. Primjeri. Elementi kombinatorike. Kombinacije. Primjeri. Teorema o zbiru vjerovatnoća. Teorema množenja vjerovatnoće. Operacije na događajima. Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula. Ponavljanje testova. Bernulijeva formula. Diskretne slučajne varijable. Raspon distribucije. Primjer. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable. Disperzija diskretne slučajne varijable. Binomna distribucija slučajne varijable. Poissonova distribucija. Distribucija prema zakonu geometrijske progresije. Kontinuirane slučajne varijable. Funkcija distribucije i njena svojstva. Gustoća vjerovatnoće i njena svojstva. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable. Disperzija kontinuirane slučajne varijable. Uniformna distribucija kontinuirane slučajne varijable. Zakon normalne distribucije.
Važeći sljedeći granični odnosi:
Slika 1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Rješenje: Funkcija distribucije može se analitički napisati na sljedeći način:
Slika-2
(8)
2. Definitivni integral od -∞ do +∞ gustine distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable jednak je 1: f(x)dx=1.
3. Definitivni integral od -∞ do x gustine distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable jednak je funkciji distribucije ove varijable: f(x)dx=F(x)
Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,5; 1).
ili
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrix)\right.$. Vjerovatnoća da slučajna varijabla $X$ padne u interval $\left(0.3;0.7\right)$ može se naći kao razlika između vrijednosti funkcije distribucije $F\left(x\right)$ na krajevi ovog intervala, tj.:Gustoća vjerovatnoće
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrix)\right.$. Tada je funkcija gustoće $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(matrix)\right.$Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable
Disperzija kontinuirane slučajne varijable
Tabela 1 - Numeričke karakteristike kontinuiranih slučajnih varijabli
Numerička karakteristika Oznaka i formula
Očekivana vrijednost
Ako sve moguće vrijednosti X pripadaju intervalu (a, b), tada se izračunava matematičko očekivanje
Disperzija
kontinuirana slučajna varijabla X
inače
Ako sve moguće vrijednosti X pripadaju intervalu (a, b), tada se izračunava varijansa
inače
Standardna devijacija
kontinuirana slučajna varijabla X
Primjer rješavanja problema na temu "Kontinuirane slučajne varijable"
Izgradite grafove f(x), F(x).
P(-π/4< x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).
