Jednakost oblika F(x, y) = 0 naziva se jednačina sa dvije varijable x, y, ako nije tačna ni za jedan par brojeva x, y. Kažu da dva broja x \u003d x 0, y \u003d y 0 zadovoljavaju neku jednadžbu oblika F (x, y) \u003d 0, ako kada se ovi brojevi zamijene za varijable x i y u jednačini, lijevo strana nestaje.
Jednačina date prave (u zadatom koordinatnom sistemu) je jednačina u dvije varijable koju zadovoljavaju koordinate svake tačke koja leži na ovoj pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate svake tačke koja ne leži na njoj.
U nastavku, umjesto izraza „data je jednačina prave F(x, y) = 0“, često ćemo reći kraće: data je prava F(x, y) = 0.
Ako su date jednadžbe dvije prave F(x, y) = 0 i F(x, y) = 0, tada je zajedničko rješenje sistema
F(x, y) = 0, F(x, y) = 0
daje sve njihove tačke preseka. Tačnije, svaki par brojeva koji je zajedničko rešenje ovog sistema određuje jednu od presečnih tačaka,
157. Zadati bodovi *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Odredite koje od datih tačaka leže na pravoj definisanoj jednadžbom x + y = 0, a koje ne leže na njoj. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Prikaži to na crtežu.)
158. Na pravoj definisanoj jednadžbom x 2 + y 2 = 25, pronađite tačke čije su apscise jednake sljedećim brojevima: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na istoj pravoj naći tačke čije su ordinate jednake brojevima: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Prikaži to na crtežu.)
159. Odredite koje su linije određene sljedećim jednadžbama (izgradite ih na crtežu): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Date su prave: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Odredi koji od njih prolazi kroz ishodište.
161. Date su prave: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Pronađite tačke njihovog preseka: a) sa x-osom; b) sa Oy osom.
162. Pronađite presečne tačke dve prave:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. Tačke M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) i M 5 ( 1;2/3π ). Odredite koja od ovih tačaka leži na pravoj definisanoj u polarne koordinate jednačina p = 2cosΘ, a koje ne leže na njoj. Koja je prava određena ovom jednačinom? (Prikaži to na crtežu.)
164. Na liniji definisanoj jednadžbom p \u003d 3 / cosΘ pronađite tačke čiji su polarni uglovi jednaki sljedećim brojevima: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Izgradite ga na crtežu.)
165. Na liniji definisanoj jednadžbom p = 1 / sinΘ pronađite tačke čiji su polarni polumjeri jednaki sljedećim brojevima: a) 1 6) 2, c) √2. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Izgradite ga na crtežu.)
166. Odredite koje su linije određene u polarnim koordinatama sljedećim jednadžbama (izgradite ih na crtežu): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) r cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Na crtežu konstruisati Arhimedove spirale: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.
168. Na crtežu konstruisati sledeće hiperboličke spirale: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) r = π/Θ; 4) r= - π/Θ
169. Konstruirajte sljedeće logaritamske spirale na crtežu: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .
170. Odredite dužinu segmenata na koje Arhimedova spirala p = 3Θ seče snop napuštajući pol i nagnut prema polarnoj osi pod uglom Θ = π / 6. Napravite crtež.
171. Tačka C je uzeta na Arhimedovoj spirali p = 5 / πΘ, čiji je polarni radijus 47. Odredite koliko dijelova ova spirala siječe polarni polumjer tačke C. Napravite crtež.
172. Na hiperboličnoj spirali P = 6 / Θ, pronađite tačku P čiji je polarni polumjer 12. Napravite crtež.
173. Na logaritamskoj spirali p = 3 Θ pronađite tačku P, čiji je polarni polumjer 81. Napravite crtež.
Ako je naznačeno pravilo prema kojem je određeni broj u povezan sa svakom tačkom M ravni (ili nekim dijelom ravnine), onda kažu da je na ravni (ili na dijelu ravni) "funkcija od daje se bod; dodjela funkcije je simbolički izražena jednakošću oblika u=f(M). Broj u povezan s tačkom M naziva se vrijednost ove funkcije u tački M. Na primjer, ako je A fiksna tačka ravni, M je proizvoljna tačka, tada je udaljenost od A do M funkcija tačka M. U ovom slučaju, f (m) \u003d AM .
Neka je data neka funkcija u=f(M) i, istovremeno, uveden koordinatni sistem. Tada je proizvoljna tačka M određena koordinatama x, y. Shodno tome, vrijednost ove funkcije u tački M određena je koordinatama x, y, ili, kako kažu, u=f(M) je funkcija dvije varijable x i y. Funkcija dvije varijable x i y označena je simbolom f(x; y): ako je f(M)=f(x;y), onda se formula u=f(x; y) naziva izrazom ovog funkcija u odabranom koordinatnom sistemu. Dakle, u prethodnom primjeru f(M)=AM; ako uvedemo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački A, dobićemo izraz za ovu funkciju:
u=sqrt(x^2 + y^2)
ZADATAK 3688 Zadana funkcija f (x, y)=x^2–y^2–16.
Zadana funkcija f (x, y)=x^2–y^2–16. Definirajte izraz ove funkcije u novi sistem koordinate, ako koordinatne ose rotirano za -45 stepeni.Parametarske jednadžbe linija
Označimo slovima x i y koordinate neke tačke M; razmotrimo dvije funkcije argumenta t:
x=φ(t), y=ψ(t) (1)
Kada se t promijeni, vrijednosti x i y će se, općenito govoreći, promijeniti, dakle, tačka M će se pomjeriti. Jednakosti (1) se nazivaju parametarske jednačine prave, što je putanja tačke M; argument t je imenovan prema parametru. Ako se parametar t može isključiti iz jednakosti (1), tada dobijamo jednačinu za putanju tačke M u obliku
Preuzmite sa Depositfiles
ANALITIČKA GEOMETRIJA
Predavanje br. 7. Tema 1 : Prave u ravni i njihove jednačine
1.1. Prave i njihove jednačine u Kartezijanski sistem koordinate
U analitičkoj geometriji, linije na ravni se smatraju lokusom tačaka (g.m.t.) koje imaju isto svojstvo zajedničko svim tačkama prave.
Definicija. Jednačina linije 
je jednadžba sa dvije varijableX I at, koje zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke na pravoj, a ne zadovoljavaju koordinate bilo koje druge tačke koja ne leži na ovoj pravoj.
Vrijedi i obrnuto, tj. bilo koja jednačinaat
oblika, uopšteno govoreći, u kartezijanskom 
koordinatni sistem (DSC) definira liniju
kao H.M.T., čije koordinate zadovoljavaju 
ovu jednačinu. O 
X
Napomena 1. Ne definira svaka jednadžba tipa liniju. Na primjer, za jednadžbu 
ne postoje tačke, koordinate, koje bi zadovoljile ovu jednačinu. Takvi slučajevi se neće dalje razmatrati.Ovo je slučaj takozvanih imaginarnih linija.
P 
primjer 1.Napišite jednačinu za kružnicu poluprečnikaR
centriran na tačku 
.
Za bilo koju tačku laganjaatM
na krug, po definicijiR
krugovi kao g.m.t., jednako udaljeni 
iz tačke , dobijamo jednačinuX
1.2. Parametarske jednadžbe linije
Postoji još jedan način da se definiše pravac na ravni pomoću jednačina tzvparametarski:
Primjer 1 Linija je data parametarskim jednadžbama 
Potrebno je dobiti jednačinu ove linije u DSC-u.
Isključite parametart . Da bismo to učinili, kvadriramo obje strane ovih jednadžbi i saberemo
Primjer 2 Linija je data parametarskim jednadžbama
ali
Potrebno je dobiti jednačinu
ovu liniju u DSC. —aa
Uradimo isto, onda ćemo dobiti
— ali
Napomena 2. Treba napomenuti da je parametart u mehanici je vrijeme.
1.3. Jednadžba linije u polarnim koordinatama
DSC nije jedini način da se odredi položaj tačke, a samim tim i jednačina prave. U avionu je često svrsishodno koristiti takozvani polarni koordinatni sistem (PSC).
P 
SC će se odrediti navođenjem tačke O - stub i greda ILI , koji proizilazi iz ove tačke, koja se zove polarnu os. Tada je položaj bilo koje tačke određen sa dva broja: polarnim radijusom 
i polarni ugao 
je ugao između
polarnu os i polarni radijus. 
Pozitivan referentni smjer 
polarni ugao od polarne ose
broji suprotno od kazaljke na satu.
Za sve tačke ravni 
,
O R
a za jedinstvenost polarnog ugla razmatra se 
.
Ako se početak DSC-a kombinuje sa
pol i O os X poslati po
polarnoj osi, to je lako provjeritiat
u vezi između polarnih i
kartezijanske koordinate:
O X R
nazad,
(1)
Ako jednadžba linija u DSC ima oblik , onda u PSC - Tada iz ove jednačine možete dobiti jednačinu u obliku 
Primjer 3 Napišite jednadžbu kruga u UCS ako je centar kruga na polu.
Koristeći prelazne formule (1) iz DSC u PSC, dobijamo
P 
primjer 4.Napišite jednačinu za krug
ako je pol na kružnici i polarnoj osiat
prolazi kroz prečnik.
Uradimo isto
Oko 2 R X
R
Ova jednačina se takođe može dobiti
iz geometrijskih prikaza (vidi sl.).
P 
primjer 5.Plot Line
Pređimo na PSC. Jednačina
poprimiće formu 
O
Nacrtaćemo liniju saali
uzimajući u obzir njegovu simetriju i ODZ
karakteristike: 
Ova linija se zovelemniscate Bernoulli.
1.4. Transformacija koordinatnog sistema.
Jednačina linije u novom koordinatnom sistemu
1.
Paralelni prijenos DSC-a.at
Zamislite da dva DSC-a imajuM
isti smjer osi, ali 
različitog porijekla. 
U koordinatnom sistemu O hu dot
u vezi sa sistemom 
O X
ima koordinate 
. Onda imamo
I 
U koordinatnom obliku, rezultirajuća vektorska jednakost ima oblik
ili 
. (2)
Formule (2) su formule za prelazak iz "starog" koordinatnog sistema O huna "novi" koordinatni sistem i obrnuto.
Primjer 5 Dobijte jednadžbu kruga radeći paralelni transfer koordinatni sistemido centra kruga.
I 
iz formula (2) slijedi 
at O
Ponovimo * Šta je kvadratna jednačina? * Koje se jednačine nazivaju nepotpunim kvadratnim jednačinama? * Koji kvadratna jednačina zove smanjena? * Šta je koren kvadratne jednačine? * Šta znači riješiti kvadratnu jednačinu? Šta je kvadratna jednačina? Koje se jednadžbe nazivaju nepotpunim kvadratnim jednadžbama? Koja se kvadratna jednačina naziva redukovana? Šta je korijen kvadratne jednačine? Šta znači riješiti kvadratnu jednačinu? Šta je kvadratna jednačina? Koje se jednadžbe nazivaju nepotpunim kvadratnim jednadžbama? Koja se kvadratna jednačina naziva redukovana? Šta je korijen kvadratne jednačine? Šta znači riješiti kvadratnu jednačinu?
Algoritam za rješavanje kvadratne jednačine: 1. Odrediti koji je način racionalnije riješiti kvadratnu jednadžbinu 2. Odaberite najracionalniji način rješavanja 3. Određivanje broja korijena kvadratne jednačine 4. Pronalaženje korijena tablice kvadratne jednadžbe ...
Dodatni uvjet Korijeni jednadžbe Primjeri 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 = (-b ± D) / 2 a, gdje je D \u003d u 2 - 4 as, D0 5. c je paran broj (b = 2k), ali 0, na 0, sa 0 ax 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1,2 = (-b ± D) / a, D 1 \u003d k 2 - ac, gdje je k = 6. Teorema je suprotna Vietinoj teoremi x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - px 1 x 2 = q
II. Posebne metode 7. Metoda izdvajanja kvadrata binoma. Svrha: Napisati jednačinu opšti pogled na nepotpunu kvadratnu jednačinu. Napomena: metoda je primjenjiva za sve kvadratne jednadžbe, ali nije uvijek zgodna za korištenje. Koristi se za dokazivanje formule za korijene kvadratne jednadžbe. Primer: rešiti jednačinu x 2 -6 x + 8 = 0 8. Metoda "prenosa" starijeg koeficijenta. Korijeni kvadratnih jednadžbi ax 2 + bx + c = 0 i y 2 +by+ac=0 povezani su relacijama: i Napomena: metoda je dobra za kvadratne jednadžbe sa "pogodnim" koeficijentima. U nekim slučajevima vam omogućava da usmeno riješite kvadratnu jednačinu. Primjer: riješite jednačinu 2 x 2 -9 x-5=0 Na osnovu teorema: Primjer: riješite jednačinu 157 x x-177=0 9. Ako je u kvadratnoj jednadžbi a + b + c = 0, onda je jedan od korijeni su 1, a drugi, prema Vietinoj teoremi, c / a 10. Ako je u kvadratnoj jednadžbi a + c \u003d b, tada je jedan od korijena -1, a drugi, prema Vieta teorema je -c / a Primjer: riješite jednadžbu 203 xx + 17 = 0 x 1 = y 1 / a, x 2 = y 2 / a
III. Opće metode rješavanja jednačina 11. Metoda faktoringa. Svrha: Dovesti opštu kvadratnu jednačinu u oblik A(x)·B(x)=0, gde su A(x) i B(x) polinomi u odnosu na x. Metode: Stavljanje zajedničkog faktora u zagrade; Korištenje skraćenih formula za množenje; metod grupisanja. Primjer: riješiti jednačinu 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metoda za uvođenje nove varijable. Dobar izbor nove varijable čini strukturu jednačine transparentnijom. Primjer: riješite jednačinu (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8
Ako su dvije prave paralelne s trećom pravom, onda su paralelne.3. Koja teorema se naziva inverznom ove teoreme? Navedite primjere teorema koje su inverzne podacima. 4. Dokažite da kada dvije paralelne prave sijeku sekantu, uglovi koji leže jednaki 5. Dokažite da ako je prava okomita na jedan od dvije paralelne prave, onda je i ona okomita na drugu.6.Dokazati da su na sjecištu dvije paralelne prave sekante: a) odgovarajući uglovi jednaki; b) zbir jednostranih uglova je 180°.
Molimo za pomoć sa pitanjima iz geometrije (9. razred)! 2) Šta znači rastaviti vektor na dva deladati vektori. 9) Koliki je poluprečnik vektora tačke?Dokazati da su koordinate tačke jednake odgovarajućim koordinatama vektora. 10) Izvesti formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovog početka i kraja. 11) Izvedi formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovih krajeva. 12) Izvesti formulu za izračunavanje dužine vektora po njegovim koordinatama. 13) Izvedi formulu za izračunavanje udaljenosti između dve tačke po njihovim koordinatama. 15) Koja se jednačina naziva jednačina ove prave? Navedite primjer. 16) Izvesti jednačinu kružnice datog poluprečnika sa centrom u datoj tački.
1) Formulirati i dokazati lemu o kolinearnim vektorima.
3) Formulirati i dokazati teoremu o proširenju vektora u dva nekolinearna vektora.
4) Objasnite kako se uvodi pravougaoni koordinatni sistem.
5) Šta su koordinatni vektori?
6) Formulisati i dokazati tvrdnju o dekompoziciji proizvoljnog vektora u koordinatne vektore.
7) Šta su vektorske koordinate?
8) Formulisati i dokazati pravila za pronalaženje koordinata zbira i razlike vektora, kao i proizvoda vektora brojem prema datim koordinatama vektora.
10) Izvesti formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovog početka i kraja.
11) Izvedi formule za izračunavanje koordinata vektora iz koordinata njegovih krajeva.
12) Izvesti formulu za izračunavanje dužine vektora po njegovim koordinatama.
13) Izvedi formulu za izračunavanje udaljenosti između dve tačke po njihovim koordinatama.
14) Navedite primjer rješenja geometrijski problem koristeći koordinatnu metodu.
16) Izvesti jednačinu kružnice datog poluprečnika sa centrom u datoj tački.
17) Napišite jednačinu za kružnicu datog polumjera sa centrom u početku.
18) Izvedite jednačinu ove prave u pravougaonom koordinatnom sistemu.
19) Napišite jednačinu linija koje prolaze dati poen M0 (X0: Y0) i paralelno sa osama koordinate.
20) Napišite jednačinu koordinatnih osa.
21) Navedite primjere korištenja jednadžbi kružnice i prave linije u rješavanju geometrijskih zadataka.
Molim vas, veoma je potrebno! Po mogućnosti sa crtežima (gdje je potrebno)!
GEOMETRIJA 9 RAZRED.1) Formulirati i dokazati lemu o kolinearnim vektorima.
2) Šta znači razložiti vektor na dva data vektora.
3) Formulirati i dokazati teoremu o proširenju vektora u dva nekolinearna vektora.
4) Objasnite kako se uvodi pravougaoni koordinatni sistem.
5) Šta su koordinatni vektori?
6) Formulisati i dokazati tvrdnju o dekompoziciji proizvoljnog vektora u koordinatne vektore.
7) Šta su vektorske koordinate?
8) Formulisati i dokazati pravila za pronalaženje koordinata zbira i razlike vektora, kao i proizvoda vektora brojem prema datim koordinatama vektora.
9) Koliki je radijus vektor tačke? Dokažite da su koordinate tačke jednake odgovarajućim koordinatama vektora.
14) Navedite primjer rješavanja geometrijskog problema koordinatnom metodom.
15) Koja se jednačina naziva jednačina ove prave? Navedite primjer.
17) Napišite jednačinu za kružnicu datog polumjera sa centrom u početku.
18) Izvedite jednačinu ove prave u pravougaonom koordinatnom sistemu.
19) Napišite jednačinu pravih koje prolaze kroz datu tačku M0 (X0: Y0) i paralelne su sa koordinatnim osa.
20) Napišite jednačinu koordinatnih osa.
21) Navedite primjere korištenja jednadžbi kružnice i prave linije u rješavanju geometrijskih zadataka.