7.1. Definicija unakrsnog proizvoda

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeta navedenim redoslijedom, formiraju desnu trojku ako se od kraja trećeg vektora c vidi da je najkraći zaokret od prvog vektora a do drugog vektora b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, i levi ako je u smeru kazaljke na satu (vidi sl. 16).

Vektorski proizvod vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b;

2. Ima dužinu brojčano jednaku površini paralelograma izgrađenog na vektorima a ib kao na bočnim stranama (vidi sl. 17), tj.

3. Vektori a, b i c formiraju desnu trojku.

vektorski proizvod označeno kao a x b ili [a,b]. Iz definicije vektorskog proizvoda, sljedeće relacije između ortova koje slijedim direktno, j i k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, to i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ali | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektori i , j i k formiraju desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Unakrsna svojstva proizvoda

1. Kada se faktori preurede, vektorski proizvod mijenja predznak, tj. i xb \u003d (b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je axb = -(bxa).

2. Vektorski proizvod ima svojstvo kombinacije u odnosu na skalarni faktor, tj. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b je također okomita na vektore a i b(vektori a, l ali leže u istoj ravni). Dakle, vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearno. Očigledno je da im se pravci poklapaju. Imaju istu dužinu:

Zbog toga l(a xb)= l a xb. Slično se dokazuje za l<0.

3. Dva različita od nule vektora a i b su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski proizvod jednak nultom vektoru, tj. i ||b<=>i xb \u003d 0.

Konkretno, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Prihvatite bez dokaza.

7.3. Unakrsni izraz proizvoda u smislu koordinata

Koristićemo tablicu vektorskih unakrsnih proizvoda i , j i k :

ako se smjer najkraće staze od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako se ne poklapa, treći vektor se uzima sa predznakom minus.

Neka dva vektora a =a x i +a y j+az k i b=bx i+by j+bz k. Nađimo vektorski proizvod ovih vektora množenjem ih kao polinome (prema svojstvima vektorskog proizvoda):

Rezultirajuća formula se može napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene unakrsnog proizvoda

Uspostavljanje kolinearnosti vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trougla

Prema definiciji unakrsnog proizvoda vektora a i b |a xb | = a | * |b |sin g , tj. S par = |a x b |. I, stoga, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile oko tačke

Neka sila deluje u tački A F =AB pusti to O- neka tačka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da obrtni moment F u odnosu na tačku O zove vektor M , koji prolazi kroz tačku O i:

1) okomito na ravan koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) brojčano jednak proizvodu sile i ramena

3) formira desnu trojku sa vektorima OA i A B .

Dakle, M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tačka M krutog tijela koje rotira ugaonom brzinom w oko fiksne ose, određuje se Eulerovom formulom v = w x r, gdje je r = OM, gdje je O neka fiksna točka ose (vidi sliku 21).

Ugao između vektora

Da bismo uveli koncept unakrsnog proizvoda dva vektora, prvo se moramo pozabaviti konceptom kao što je ugao između ovih vektora.

Neka su nam data dva vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$. Uzmimo neku tačku $O$ u prostoru i odvojimo vektore $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$ iz nje, a zatim ugao $AOB $ će se zvati ugao između ovih vektora (slika 1).

Notacija: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Koncept unakrsnog proizvoda vektora i formula za pronalaženje

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora je vektor okomit na oba data vektora, a njegova dužina će biti jednaka proizvodu dužina ovih vektora sa sinusom ugla između ovih vektora, a ovaj vektor sa dva početna ima isti orijentacija kao Dekartov koordinatni sistem.

Oznaka: $\overline(α)h\overline(β)$.

Matematički to izgleda ovako:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ su isto orijentisan (sl. 2)

Očigledno, vanjski proizvod vektora će biti jednak nultom vektoru u dva slučaja:

1. Ako je dužina jednog ili oba vektora nula.
2. Ako je ugao između ovih vektora jednak $180^\circ$ ili $0^\circ$ (jer je u ovom slučaju sinus jednak nuli).

Da biste jasno vidjeli kako se nalazi unakrsni proizvod vektora, razmotrite sljedeće primjere rješenja.

Primjer 1

Pronađite dužinu vektora $\overline(δ)$, koji će biti rezultat unakrsnog proizvoda vektora, sa koordinatama $\overline(α)=(0,4,0)$ i $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Rješenje.

Opišimo ove vektore u kartezijanskom koordinatnom prostoru (slika 3):

Slika 3. Vektori u Dekartovom koordinatnom prostoru. Author24 - online razmjena studentskih radova

Vidimo da ovi vektori leže na $Ox$ i $Oy$ osi, respektivno. Stoga će ugao između njih biti jednak $90^\circ$. Nađimo dužine ovih vektora:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Tada, prema definiciji 1, dobijamo modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Odgovor: 12$.

Izračunavanje unakrsnog proizvoda po koordinatama vektora

Definicija 1 odmah implicira način da se pronađe unakrsni proizvod za dva vektora. Pošto vektor, osim vrijednosti, ima i smjer, nemoguće ga je pronaći samo pomoću skalarne vrijednosti. Ali osim njega, postoji još jedan način da pomoću koordinata pronađemo vektore koji su nam dati.

Neka nam budu dati vektori $\overline(α)$ i $\overline(β)$, koji će imati koordinate $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$, respektivno. Tada se vektor unakrsnog proizvoda (naime njegove koordinate) može pronaći po sljedećoj formuli:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Inače, proširivanjem determinante, dobijamo sledeće koordinate

$\overline(α)h\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Primjer 2

Pronađite vektor unakrsnog proizvoda kolinearnih vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$ sa koordinatama $(0,3,3)$ i $(-1,2,6)$.

Rješenje.

Koristimo gornju formulu. Get

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Odgovor: $(12,-3,3)$.

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Za proizvoljna pomiješana tri vektora $\overline(α)$, $\overline(β)$ i $\overline(γ)$, kao i $r∈R$, vrijede sljedeće osobine:

Primjer 3

Pronađite površinu paralelograma čiji vrhovi imaju koordinate $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ i $(3,8,0) $.

Rješenje.

Prvo nacrtajte ovaj paralelogram u koordinatnom prostoru (slika 5):

Slika 5. Paralelogram u koordinatnom prostoru. Author24 - online razmjena studentskih radova

Vidimo da su dvije strane ovog paralelograma konstruirane pomoću kolinearnih vektora sa koordinatama $\overline(α)=(3,0,0)$ i $\overline(β)=(0,8,0)$. Koristeći četvrto svojstvo, dobijamo:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Pronađite vektor $\overline(α)h\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Shodno tome

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Korištenje unakrsnog proizvoda VEKTORA

za izračunavanje površine

neki geometrijski oblici

Istraživački rad iz matematike

Učenik 10 B razreda

MOU srednja škola №73

Perevoznikov Mikhail

Lideri:

Nastavnik matematike MOU u srednjoj školi №73 Dragunova Svetlana Nikolaevna

Odsjek asistent. Matematička analiza Mehaničkog i matematičkog fakulteta SSU N.G. Černiševski Berdnikov Gleb Sergejevič

Saratov, 2015

Uvod.

1. Teorijski pregled.

1.1. Vektori i proračuni s vektorima.

1.2. Korištenje skalarnog proizvoda vektora u rješavanju problema

1.3 Tačkasti proizvod vektora u koordinatama

1.4. Vektorski proizvod vektora u trodimenzionalnom euklidskom prostoru: definicija pojma.

1.5. Vektorske koordinate produkti vektora.

2. Praktični dio.

2.1. Odnos između poprečnog proizvoda i površine trokuta i paralelograma. Izvođenje formule i geometrijskog značenja vektorskog proizvoda vektora.

2.2. Poznavajući samo koordinate tačaka, pronađite površinu trokuta. Dokaz teoreme

2.3. Provjera ispravnosti formule na primjerima.

2.4. Praktična upotreba vektorske algebre i proizvoda vektora.

Zaključak

Uvod

Kao što znate, mnogi geometrijski problemi imaju dva ključna rješenja - grafičko i analitičko. Grafička metoda je povezana sa konstrukcijom grafova i crteža, a analitička podrazumijeva rješavanje problema uglavnom uz pomoć algebarskih operacija. U potonjem slučaju, algoritam za rješavanje problema vezan je za analitičku geometriju. Analitička geometrija je grana matematike, odnosno linearne algebre, koja razmatra rješavanje geometrijskih problema pomoću algebre zasnovane na metodi koordinata na ravni i u prostoru. Analitička geometrija vam omogućava da analizirate geometrijske slike, istražite linije i površine koje su važne za praktične primjene. Štoviše, u ovoj nauci, kako bi se proširilo prostorno razumijevanje figura, ponekad se koristi i vektorski proizvod vektora.

Zbog široke upotrebe trodimenzionalnih prostornih tehnologija, proučavanje svojstava nekih geometrijskih oblika pomoću vektorskog proizvoda čini se relevantnim.

S tim u vezi, identificirana je svrha ovog projekta - korištenje unakrsnog proizvoda vektora za izračunavanje površine nekih geometrijskih oblika.

U vezi sa ovim ciljem riješeni su sljedeći zadaci:

1. Teorijski proučiti neophodne osnove vektorske algebre i definisati vektorski proizvod vektora u koordinatnom sistemu;

2. Analizirati postojanje veze između vektorskog proizvoda i površine trokuta i paralelograma;

3. Izvesti formulu za površinu trokuta i paralelograma u koordinatama;

4. Provjerite na konkretnim primjerima ispravnost izvedene formule.

1. Teorijski pregled.

1. Vektori i proračuni s vektorima

Vektor je usmjereni segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je tačka ALI, kraj segmenta je tačka AT. Sam vektor je označen sa
ili . Da pronađemo koordinate vektora
, znajući koordinate njegovih početnih tačaka A i krajnje tačke B, potrebno je od koordinata krajnje tačke oduzeti odgovarajuće koordinate početne tačke:

= { B x - A x ; B y - A y }

Vektori koji leže na paralelnim linijama ili na istoj liniji nazivaju se kolinearni. U ovom slučaju, vektor je segment karakteriziran dužinom i smjerom.

Dužina usmjerenog segmenta određuje numeričku vrijednost vektora i naziva se dužina vektora ili modul vektora.

Dužina vektora || u pravokutnim kartezijanskim koordinatama jednak je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata.

Vektorima se može manipulisati na mnogo načina.

Na primjer, dodavanje. Da biste ih dodali, prvo morate nacrtati drugi vektor sa kraja prvog, a zatim povezati početak prvog sa krajem drugog (slika 1). Zbir vektora je još jedan vektor sa novim koordinatama.

Zbir vektora = {a x ; a y) i = {b x ; b y) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

+ = (a x +b x ; a y +b y }

Rice. 1. Radnje s vektorima

Kada oduzimate vektore, prvo ih morate nacrtati iz jedne tačke, a zatim povezati kraj druge sa krajem prve.

Vektorska razlika = {a x ; a y) i = {b x ; b y } može se pronaći pomoću formule:

- = { a x -b x ; a y -b y }

Takođe, vektori se mogu množiti brojem. Rezultat će također biti vektor koji je k puta veći (ili manji) od datog. Njegov smjer ovisit će o predznaku k: ako je k pozitivan, vektori su u istom smjeru, a ako je k negativan, oni su suprotno usmjereni.

Vektorski proizvod = {a x ; a y } a broj k se može naći pomoću sljedeće formule:

k = (k a x ; k a y }

Da li je moguće pomnožiti vektor sa vektorom? Naravno, čak i dvije opcije!

Prva opcija je skalarni proizvod.

Rice. 2. Točkasti proizvod u koordinatama

Da biste pronašli proizvod vektora, možete koristiti ugao  između ovih vektora, prikazan na slici 3.

Iz formule slijedi da je skalarni proizvod jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih, njegov rezultat je broj. Važno je da ako su vektori okomiti, onda je njihov skalarni proizvod jednak nuli, jer kosinus pravog ugla između njih je nula.

U koordinatnoj ravni vektor takođe ima koordinate. AT vektori, njihove koordinate i tačkasti proizvod su neke od najpogodnijih metoda za izračunavanje ugla između linija (ili njihovih segmenata) ako se unese koordinatni sistem.I ako koordinate
, tada je njihov skalarni proizvod:

U trodimenzionalnom prostoru postoje 3 ose i, shodno tome, tačke i vektori u takvom sistemu će imati po 3 koordinate, a skalarni proizvod vektora se izračunava po formuli:

1.2. Vektorski proizvod vektora u trodimenzionalnom prostoru.

Druga opcija za izračunavanje proizvoda vektora je vektorski proizvod. Ali da bi se to odredilo, više nije potrebna ravan, već trodimenzionalni prostor u kojem početak i kraj vektora imaju po 3 koordinate.

Za razliku od skalarnog proizvoda vektora u trodimenzionalnom prostoru, operacija "množenja vektora" na vektorima dovodi do drugačijeg rezultata. Ako je u prethodnom slučaju skalarnog množenja dva vektora rezultat bio broj, onda će u slučaju vektorskog množenja vektora rezultat biti drugi vektor okomit na oba vektora koja su ušla u proizvod. Stoga se ovaj proizvod vektora naziva vektorski proizvod.

Očigledno, kada se konstruiše rezultujući vektor , okomito na dva koja su ušla u proizvod - i , mogu se izabrati dva suprotna smjera. U ovom slučaju, smjer rezultirajućeg vektora određuje se pravilom desne ruke, odnosno pravilom gimleta.Ako vektore nacrtate tako da im se počeci podudaraju i zarotirate prvi vektor množenja na najkraći način do drugog vektora množenja, a četiri prsta desne ruke pokažu smjer rotacije (kao da pokriva rotirajući cilindar), tada će istureni palac pokazati smjer vektora proizvoda (slika 7).

Rice. 7. Pravilo desne ruke

1.3. Svojstva unakrsnog proizvoda vektora.

Dužina rezultujućeg vektora određena je formulom

.

Gde
vektorski proizvod. Kao što je gore spomenuto, rezultirajući vektor će biti okomit
, a njegov smjer je određen pravilom desne ruke.

Vektorski proizvod zavisi od redosleda faktora, i to:

Unakrsni proizvod vektora koji nisu nula je 0 ako su kolinearni, tada će sinus ugla između njih biti 0.

Koordinate vektora u trodimenzionalnom prostoru izražavaju se na sljedeći način: . Tada se koordinate rezultirajućeg vektora nalaze po formuli

Dužina rezultujućeg vektora se nalazi po formuli:

.

2. Praktični dio.

2.1. Veza vektorskog proizvoda sa površinom trokuta i paralelograma u ravni. Geometrijsko značenje unakrsnog proizvoda vektora.

Neka nam je dat trougao ABC (slika 8). Poznato je da .

Ako stranice trokuta AB i AC predstavimo kao dva vektora, tada u formuli površine trokuta nalazimo izraz za unakrsni proizvod vektora:

Iz navedenog možemo odrediti geometrijsko značenje vektorskog proizvoda (slika 9):

dužina križnog proizvoda vektora jednaka je dvostrukoj površini trokuta sa stranicama vektora i , ako su odvojeni od jedne točke.

Drugim riječima, dužina poprečnog proizvoda vektora i jednaka je površini paralelograma,izgrađen na vektorima i , sa strane i i kut između njih jednak .

Rice. 9. Geometrijsko značenje vektorskog proizvoda vektora

U tom smislu možemo dati još jednu definiciju vektorskog proizvoda vektora :

Unakrsni proizvod vektora na vektoru naziva se vektor , čija je dužina numerički jednaka površini paralelograma izgrađenog na vektorima i , okomito na ravan ovih vektora i usmjereno tako da najmanja rotacija od k oko vektora izvedeno je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu gledano sa kraja vektora (slika 10).

Rice. 10. Definicija unakrsnog proizvoda vektora

koristeći paralelogram

2.2. Izvođenje formule za pronalaženje površine trokuta u koordinatama.

Dakle, dat nam je trougao ABC u ravni i koordinate njegovih vrhova. Nađimo površinu ovog trougla (slika 11).

Rice. 11. Primjer rješavanja problema pronalaženja površine trokuta po koordinatama njegovih vrhova

Rješenje.

Prvo razmotrite koordinate vrhova u prostoru i izračunajte koordinate vektora AB i AC.

Prema gornjoj formuli izračunavamo koordinate njihovog vektorskog proizvoda. Dužina ovog vektora jednaka je 2 površine trougla ABC. Površina trougla je 10.

Štoviše, ako razmatramo trokut na ravni, tada će prve 2 koordinate vektorskog proizvoda uvijek biti nula, tako da možemo formulirati sljedeću teoremu.

Teorema: Neka je dat trougao ABC i koordinate njegovih vrhova (slika 12).

Onda .

Rice. 12. Dokaz teoreme

Dokaz.

Razmotrite tačke u prostoru i izračunajte koordinate vektora BC i BA. . Koristeći gornju formulu, izračunavamo koordinate unakrsnog proizvoda ovih vektora. Imajte na umu da svi pojmovi koji sadržez 1 ili z 2 je jednako 0, jer z 1i z 2 = 0. UKLONI!!!

Dakle, dakle,

2.3. Provjera ispravnosti formule na primjerima

Pronađite površinu trokuta formiranog od vektora a = (-1; 2; -2) i b = (2; 1; -1).

Rješenje: Nađimo unakrsni proizvod ovih vektora:

a ×b=

I(2 (-1) - (-2) 1) - j((-1) (-1) - (-2) 2) + k((-1) 1 - 2 2) =

I(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5 j - 5 k = (0; -5; -5)

Iz svojstava vektorskog proizvoda:

SΔ =

| a×b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Odgovor: SΔ = 2,5√2.

Zaključak

2.4. Primjena vektorske algebre

te skalarni i unakrsni proizvod vektora.

Gdje su potrebni vektori? Vektorski prostor i vektori nisu samo teoretski, već imaju i vrlo stvarnu praktičnu primjenu u modernom svijetu.

U mehanici i fizici mnoge veličine imaju ne samo numeričku vrijednost, već i smjer. Takve veličine se nazivaju vektorske veličine. Uz korištenje elementarnih mehaničkih koncepata, na osnovu njihovog fizičkog značenja, mnoge veličine se smatraju klizećim vektorima, a njihova svojstva se opisuju kako aksiomima, što je uobičajeno u teorijskoj mehanici, tako i uz pomoć matematičkih svojstava vektora. Najupečatljiviji primjeri vektorskih veličina su brzina, impuls i sila (slika 12). Na primjer, ugaoni moment i Lorentzova sila su matematički zapisani pomoću vektora.

U fizici nisu važni samo vektori, već su u velikoj meri važni i njihovi produkti koji pomažu u izračunavanju nekih veličina. Unakrsni proizvod je koristan za određivanje kolinearnosti vektora.Modul unakrsnog proizvoda dva vektora jednak je proizvodu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori kousmjereni ili suprotno usmjereni.

Kao drugi primjer, tačkasti proizvod se koristi za izračunavanje rada koristeći formulu ispod, gdje je F vektor sile, a s vektor pomaka.

Jedan primjer korištenja proizvoda vektora je moment sile, koji je jednak proizvodu vektora radijusa povučenog od ose rotacije do tačke primjene sile i vektora ove sile.

Velik dio onoga što se u fizici izračunava pravilom desne ruke je unakrsni proizvod. Pronađite dokaze, dajte primjere.

Također je vrijedno napomenuti da moguće varijante vektorskih prostora nisu ograničene na dvodimenzionalni i trodimenzionalni prostor. Viša matematika razmatra prostore viših dimenzija, u kojima su također definirani analogi formula za skalarne i vektorske proizvode. Uprkos činjenici da prostore većih dimenzija od 3, ljudski um nije u stanju da vizualizira, oni iznenađujuće nalaze primjenu u mnogim područjima nauke i industrije.

Istovremeno, rezultat unakrsnog proizvoda vektora u trodimenzionalnom euklidskom prostoru nije broj, već rezultirajući vektor sa svojim vlastitim koordinatama, smjerom i dužinom.

Pravac rezultujućeg vektora je određen pravilom desne ruke, što je jedna od najiznenađujućih odredbi analitičke geometrije.

Unakrsni proizvod vektora može se koristiti za pronalaženje površine trokuta ili paralelograma po koordinatama vrhova, što je potvrđeno izvođenjem formule, dokazivanjem teorema i rješavanjem praktičnih zadataka.

Vektori se široko koriste u fizici, gdje se indikatori kao što su brzina, zamah i sila mogu predstaviti kao vektorske veličine i izračunati geometrijski.

Spisak korištenih izvora

Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B. et al. Geometrija. 7-9 razred: udžbenik za obrazovne ustanove. M.: , 2013. 383 str.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za obrazovne organizacije: osnovni i profilni nivoi. M.: , 2013. 255 str.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.

Kletenik D.V. Zbirka zadataka iz analitičke geometrije. Moskva: Nauka, Fizmatlit, 1998.

Analitička geometrija.

Matematika. Clover.

Učenje matematike online.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Web stranica V. Glaznjeva.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Wikipedia.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED %E8%E5

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Šta će vas usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da označavam unakrsni proizvod vektora na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je u tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće važne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore , tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb- vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda i . Napominjemo da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom i, na osnovu toga, formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima biće vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta zajebancija - ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije razumjela suštinu zadatka. Taj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, moglo bi se dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema reči o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu željenog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se rasporediti u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u testovima, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „pakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj dio neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je volumen paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavno rečeno, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

vektorski proizvod je pseudovektor okomit na ravan konstruisan sa dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" na vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Vektorski proizvod nema svojstva komutativnosti i asocijativnosti (antikomutativan je) i za razliku od skalarnog proizvoda vektora je vektor. Široko se koristi u mnogim tehničkim i fizičkim aplikacijama. Na primjer, ugaoni moment i Lorentzova sila su matematički zapisani kao unakrsni proizvod. Unakrsni proizvod je koristan za "mjerenje" okomitosti vektora - modul unakrsnog proizvoda dva vektora jednak je proizvodu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Možete definirati vektorski proizvod na različite načine, a teoretski, u prostoru bilo koje dimenzije n, možete izračunati proizvod n-1 vektora, dok dobijete jedan vektor okomit na sve njih. Ali ako je proizvod ograničen na netrivijalne binarne proizvode sa vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski proizvod definiran samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog proizvoda, kao i skalarni proizvod, zavisi od metrike euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje skalarnog proizvoda iz koordinata vektora u trodimenzionalnom pravougaonom koordinatnom sistemu, formula za vektorski proizvod zavisi od orijentacije pravougaonog koordinatnog sistema, odnosno, drugim rečima, njegove „kiralnosti“.

definicija:
Vektorski proizvod vektora a i vektora b u prostoru R3 naziva se vektor c koji zadovoljava sljedeće zahtjeve:
dužina vektora c jednaka je proizvodu dužina vektora a i b i sinusa ugla φ između njih:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je ortogonan na svaki od vektora a i b;
vektor c je usmjeren tako da je trojka vektora abc desna;
u slučaju prostora R7 potrebna je asocijativnost trojke vektora a,b,c.
Oznaka:
c===a×b

Rice. 1. Površina paralelograma jednaka je modulu poprečnog proizvoda

Geometrijska svojstva unakrsnog proizvoda:
Neophodan i dovoljan uslov kolinearnosti dva vektora različita od nule je jednakost njihovog vektorskog proizvoda nuli.

Modul za više proizvoda jednaka površina S paralelogram izgrađen na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a i b(vidi sliku 1).

Ako a e- jedinični vektor ortogonan na vektore a i b i izabran tako da trostruko a,b,e- u pravu, i S- površina paralelograma izgrađenog na njima (svedena na zajedničko ishodište), tada je sljedeća formula istinita za vektorski proizvod:
=S e

Fig.2. Volumen paralelepipeda kada se koristi vektor i skalarni proizvod vektora; isprekidane linije pokazuju projekcije vektora c na a × b i vektora a na b × c, prvi korak je pronaći unutrašnje proizvode

Ako a c- bilo koji vektor π - bilo koja ravan koja sadrži ovaj vektor, e- jedinični vektor koji leži u ravni π i ortogonalno na c,g- jedinični vektor ortogonan na ravan π i usmjeren tako da trojka vektora ekg je u pravu, onda za bilo koje ležanje u avionu π vektor a tačna formula je:
=Pr e a |c|g
gdje je Pr e a projekcija vektora e na a
|c|-modul vektora c

Kada koristite vektorske i skalarne proizvode, možete izračunati volumen paralelepipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b i c. Takav proizvod tri vektora naziva se mješoviti.
V=|a (b×c)|
Slika pokazuje da se ovaj volumen može pronaći na dva načina: geometrijski rezultat je sačuvan čak i kada se "skalarni" i "vektorski" proizvodi zamjenjuju:
V=a×b c=a b×c

Vrijednost unakrsnog proizvoda zavisi od sinusa ugla između originalnih vektora, tako da se unakrsni proizvod može smatrati stepenom "okomitosti" vektora, baš kao što se tačkasti proizvod može smatrati stepenom "paralelizam". Unakrsni proizvod dva jedinična vektora jednak je 1 (jedinični vektor) ako su početni vektori okomiti, i jednak 0 (nulti vektor) ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Izraz unakrsnog proizvoda u kartezijanskim koordinatama
Ako dva vektora a i b definirani su svojim pravokutnim kartezijanskim koordinatama, tačnije, predstavljeni su u ortonormalnoj bazi
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
a koordinatni sistem je ispravan, tada njihov vektorski proizvod ima oblik
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Da zapamtite ovu formulu:
i =∑ε ijk a j b k
gdje ε ijk- simbol Levi-Civite.