Parcijalni derivati ​​funkcija više varijabli su funkcije istih varijabli. Ove funkcije, zauzvrat, mogu imati parcijalne izvode, koje ćemo nazvati drugim parcijalnim derivatima (ili parcijalnim izvodima drugog reda) originalne funkcije.

Tako, na primjer, funkcija dvije varijable ima četiri parcijalne derivacije drugog reda, koje su definirane i označene na sljedeći način:

Funkcija od tri varijable ima devet parcijalnih izvoda drugog reda:

Parcijalni derivati ​​trećeg i više high order funkcije nekoliko varijabli: parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli je parcijalni izvod prvog reda parcijalnog izvoda reda iste funkcije.

Na primjer, parcijalni izvod trećeg reda funkcije je parcijalni izvod prvog reda u odnosu na y parcijalnog izvoda drugog reda

Parcijalni izvod drugog ili višeg reda uzet u odnosu na nekoliko različitih varijabli naziva se mješoviti parcijalni izvod.

Na primjer, parcijalni derivati

su mješoviti parcijalni derivati ​​funkcije dvije varijable.

Primjer. Naći mješovite parcijalne izvode funkcije drugog reda

Odluka. Pronalaženje parcijalnih izvoda prvog reda

Zatim nalazimo mješovite parcijalne izvode drugog reda

Vidimo da su mješovite parcijalne derivacije koje se razlikuju samo po redoslijedu diferencijacije, odnosno po redoslijedu u kojem se vrši diferencijacija u odnosu na različite varijable, pokazale identično jednake. Ovaj rezultat nije slučajan. Što se tiče mješovitih parcijalnih izvoda, vrijedi sljedeća teorema koju prihvatamo bez dokaza.

Neka je data funkcija dvije varijable. Povećajmo argument i ostavimo argument nepromijenjen. Tada će funkcija dobiti povećanje, koje se naziva djelomično povećanje u odnosu na varijablu i označava se:

Slično, fiksiranjem argumenta i povećanjem argumenta, dobivamo djelomično povećanje funkcije u odnosu na varijablu:

Vrijednost se naziva punim povećanjem funkcije u tački.

Definicija 4. Djelomični izvod funkcije dvije varijable u odnosu na jednu od ovih varijabli je granica omjera odgovarajućeg parcijalnog prirasta funkcije i prirasta date varijable kada potonja teži nuli (ako je ova granica postoji). Parcijalni derivat se označava kao: ili, ili.

Dakle, po definiciji imamo:

Parcijalni derivati ​​funkcije izračunavaju se prema istim pravilima i formulama kao funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir da se pri diferenciranju u odnosu na varijablu smatra konstantnom, a kada se diferencira u odnosu na varijablu, smatra se konstantan.

Primjer 3. Pronađite parcijalne izvode funkcija:

Odluka. a) Da bismo pronašli, pretpostavljamo konstantnu vrijednost i diferenciramo kao funkciju jedne varijable:

Slično, uz pretpostavku konstantne vrijednosti, nalazimo:

Definicija 5. Ukupni diferencijal funkcije je zbir proizvoda parcijalnih izvoda ove funkcije i prirasta odgovarajućih nezavisnih varijabli, tj.

S obzirom da se diferencijali nezavisnih varijabli poklapaju sa njihovim priraštajima, tj. , formula za ukupni diferencijal se može napisati kao

Primjer 4. Pronađite ukupni diferencijal funkcije.

Odluka. Pošto, onda po formuli ukupnog diferencijala nalazimo

Parcijalni derivati ​​višeg reda

Parcijalni derivati ​​se također nazivaju parcijalni derivati ​​prvog reda ili prvi parcijalni derivati.

Definicija 6. Parcijalni izvod drugog reda funkcije su parcijalni izvod parcijalnih izvoda prvog reda.

Postoje četiri parcijalne derivacije drugog reda. Oni su označeni kako slijedi:

Slično su definisane parcijalne derivacije 3., 4. i višeg reda. Na primjer, za funkciju imamo:

Parcijalni derivati ​​drugog ili višeg reda uzeti u odnosu na različite varijable nazivaju se mješoviti parcijalni derivati. Za funkciju, to su derivati. Imajte na umu da u slučaju kada su mješoviti derivati ​​kontinuirani, tada se javlja jednakost.

Primjer 5. Pronađite parcijalne izvode funkcije drugog reda

Odluka. Parcijalni derivati ​​prvog reda za ovu funkciju nalaze se u primjeru 3:

Diferencirajući i s obzirom na varijable x i y, dobijamo

I ne morate ništa tražiti: u našem posebnom članku već smo pripremili sve da to možete učiniti. Hajde sada da pričamo o parcijalnim derivatima.

Dobrodošli na naš telegram kanal za korisne biltene i aktuelne vijesti o studentima.

Funkcija dvije ili više varijabli

Prije nego što govorimo o parcijalnim izvodima, moramo se dotaknuti koncepta funkcije nekoliko varijabli, bez kojih nema smisla parcijalni izvod. U školi smo navikli da se bavimo funkcijama jedne varijable:

Ranije smo razmatrali derivate takvih funkcija. Graf funkcije jedne varijable je prava na ravni: prava linija, parabola, hiperbola itd.

Šta ako dodamo još jednu varijablu? Dobijate funkciju poput ove:

Ovo je funkcija dvije nezavisne varijable x i y. Graf takve funkcije je površina u trodimenzionalni prostor: kugla, hiperboloid, paraboloid ili neki drugi sferni konj u vakuumu. Parcijalne derivacijske funkcije z za x i y, respektivno, zapisuju se na sljedeći način:

Postoje i funkcije od tri ili više varijabli. Istina, nemoguće je nacrtati graf takve funkcije: to bi zahtijevalo barem četverodimenzionalni prostor, koji se ne može prikazati.

Parcijalni izvod prvog reda

Zapamtite glavno pravilo:

Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda u odnosu na jednu od varijabli, druga varijabla se uzima kao konstanta. U suprotnom, pravila za izračunavanje derivata se ne mijenjaju.

Odnosno, parcijalni derivat se u suštini ne razlikuje od uobičajenog. Dakle, držite tabelu izvedenica pred vašim očima elementarne funkcije i pravila za izračunavanje običnih derivata. Pogledajmo jedan primjer da bude sasvim jasno. Recimo da želite izračunati parcijalne izvode prvog reda sljedeće funkcije:

Prvo, uzimamo parcijalni izvod u odnosu na x, smatrajući y kao običan broj:

Sada razmatramo parcijalni izvod u odnosu na y, uzimajući x kao konstantu:

Kao što vidite, u tome nema ništa komplikovano, a uspeh sa više složeni primjeri je samo stvar prakse.

Parcijalni izvod drugog reda

Šta je parcijalni izvod drugog reda? Baš kao i prvi. Da biste pronašli parcijalne izvode drugog reda, potrebno je samo uzeti derivaciju izvoda prvog reda. Vratimo se na gornji primjer i izračunajmo parcijalne izvode drugog reda.

Po igrici:

Parcijalni derivati ​​trećeg i višeg reda se ne razlikuju po principu računanja. Organizirajmo pravila:

1. Prilikom diferenciranja u odnosu na jednu nezavisnu varijablu, druga se uzima kao konstanta.
2. Izvod drugog reda je derivat izvoda prvog reda. Treći red je derivat izvoda drugog reda, itd.

Parcijalni izvod i totalni diferencijal funkcije

Često pitanje u praktičnim zadacima je pronalaženje totalnog diferencijala funkcije. Za funkciju od nekoliko varijabli, ukupni diferencijal je definiran kao glavni linearni dio malog ukupnog prirasta funkcije u odnosu na inkremente argumenata.

Definicija zvuči glomazno, ali sa slovima je sve lakše. Ukupni diferencijal prvog reda funkcije nekoliko varijabli izgleda ovako:

Znajući kako se izračunavaju parcijalni derivati, nema problema izračunati ukupni diferencijal.

Parcijalne izvedenice nisu tako beskorisna tema. Na primjer, diferencijalne jednadžbe u parcijalnim derivatima drugog reda se široko koriste za matematički opis realnih fizičkih procesa.

Ovdje smo dali samo opću, površnu ideju o parcijalnim derivatima prvog i drugog reda. Da li vas zanima ova tema ili imate konkretna pitanja? Pitajte ih u komentarima i obratite se stručnjacima stručnog studentskog servisa za kvalifikovanu i brzu pomoć u vašem studiranju. Sa nama nećete ostati sami sa problemom!

Primjer. Naći parcijalne izvode funkcije y x yxz

Odluka. Postavljanjem y = const, nalazimo xy x z

Postavljanjem x =const nalazimo 2 2) 1 (1 y x x y xx y z

Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije u tački M (1, - 1, 0). xyzyxu)ln(

Odluka. Postavljanjem y = const , z = const , nalazimo 10 11 22 1)02(1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u

Slično, nalazimo 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z ​​u

Geometrijsko značenje parcijalnog izvoda (na primjer,) je tangenta nagiba tangente povučene u tački M 0 (x 0, y 0, z 0) na presjek površine ravninom y = y 0. xz

Pretpostavimo da funkcija z = f (x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode), (yxf x z x), (yxf y z y

Ovi derivati ​​su, zauzvrat, funkcije nezavisnih varijabli x i y. Parcijalne izvode prvog reda nazivat ćemo također.), (yxf x), (yxf y

Parcijalni derivati ​​2. reda nazivaju se parcijalni derivati ​​parcijalnih izvoda 1. reda. Za funkciju z \u003d f (x, y) od dvije varijable mogu se pronaći četiri parcijalne derivacije 2. reda, koje su označene sljedećim modom:

U opštem slučaju, mješoviti parcijalni derivati ​​se možda ne podudaraju, ali za njih vrijedi sljedeća teorema: Teorema. Ako su mješoviti parcijalni derivati ​​i kontinuirani u nekoj tački M (x, y) , tada su jednaki, tj. xyfyxf), (yxfyxf yxxy

Parcijalni derivati ​​n-tog reda su parcijalni derivati ​​parcijalnih izvoda (n-1)-tog reda. Označavaju se, itd. 221 , yx z x z n n n

Primjer. Naći parcijalne izvode 2. reda funkcije)1 sin(23 xyyxz

Odluka. sukcesivno pronalaziti); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx

); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx

)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx

Razmotrimo funkciju z = f(x, y). Dajemo argumentu x prirast Δ x , a argumentu y inkrement Δ y. Tada će z dobiti prirast koji se naziva ukupni prirast funkcije z.), (yxfyyxxfz

Pretpostavimo da f(x, y) u tački M(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode.

Definicija. Diferencijal 1. reda funkcije z \u003d f (x, y) glavni je dio ukupnog prirasta Δ z ove funkcije, linearnog u odnosu na Δ x i Δ y , označen simbolom dz ili df i izračunava se po formuli y y z x x z zd

Pošto se diferencijali nezavisnih varijabli poklapaju sa njihovim priraštajima, tj. dx = Δ x , dy = Δ y , ova formula se može napisati kao: dy y z dx x z zd

Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je povećanje aplikacione (z-koordinate) tangentne ravni na površinu tokom prijelaza od tačke (x 0, y 0) do tačke (x 0 + x, y 0 + y).

Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog smisla diferencijal funkcije jedne varijable.

Diferencijal 2. reda funkcije z = f (x, y) je diferencijal njenog diferencijala 1. reda i označen je) (zzddd

Ako su sve parcijalne derivacije 2. reda funkcije z = f (x, y) kontinuirane, tada se primjenjuje formula: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd

Primjer. Naći diferencijale 1. i 2. reda funkcije y x yz 2 x

Odluka. Pronađite parcijalne izvode 1. i 2. reda: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z

; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy

Dakle, diferencijali 1. i 2. reda će se pisati kao: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzdddd

Neka je funkcija f(x, y) diferencijabilna u tački (x, y). Hajde da nađemo puni prirast ova funkcija :), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (

Ako u ovu formulu zamijenimo izraz, dobićemo približnu formulu: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (

Primjer. Izračunajte približnu vrijednost na osnovu vrijednosti funkcije na x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln

Odluka. Iz datog izraza određujemo x = 1, 04 - 1 = 0,04, y = 1,99 - 2 = -0,01, z = 1,02 - 1 = 0,02. ( Pronađite vrijednost funkcije u y, z) = 11 ln

Pronađite parcijalne izvode: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y

Ukupni diferencijal funkcije u je: 2 1 ln 2 1 zx z z u y

05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu

Tačna vrijednost ovog izraza je: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu

Tangentna ravan na površinu u njenoj tački M 0 je ravan koja sadrži sve tangente na krivulje povučene na površini kroz ovu tačku.

Normalna na površinu u tački M 0 je prava linija koja prolazi kroz ovu tačku i okomita na tangentnu ravan povučenu u datoj tački.

Ako je površina data jednadžbom F (x, y, z) \u003d 0, tada jednadžba tangentne ravnine u tački M 0 (x 0, y 0, z 0) ima oblik: 0)) ( (00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

Jednadžbe normale povučene na površinu u tački M 0 (x 0 , y 0 , z 0) biće zapisane na sljedeći način:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx

Ako je površina data jednadžbom z = f (x, y), tada jednadžba tangentne ravnine u tački M 0 (x 0, y 0, z 0) ima oblik :)) (, (000 0000 yyyxf xxyxfzz y x

a normalne jednadžbe će biti zapisane na sljedeći način: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx

Primjer. Sastaviti jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu u tački M 0 (x 0, y 0, z 0) ako je 01332 22 yzxzxyyx. 1, 200yx

Odluka. Zamjenom x 0 i y 0 u jednačinu površine, nalazimo vrijednost z 0: odakle nalazimo z 0 = 1. Dakle, M 0 (2, - 1, 1) je tačka kontakta. 01)1(32)1(23)1(2400 2zz

Uslovom problema, površina je data implicitno. Označite i pronađite parcijalne izvode u tački M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx.

, 32 zyx. F x 21)1(322)(0 MF x , 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y , 3 yx. F z 1)1(32)(0 MF z

Pronađene vrijednosti parcijalnih izvoda zamjenjujemo u jednadžbu tangentne ravni 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

Normalne jednadžbe imaju oblik 1 1 5 1 2 2 zyx

Definicija. Funkcija z = f (x, y) ima maksimum u tački M 0 (x 0, y 0) ako postoji takva okolina ove tačke da za bilo koju tačku M (x, y) iz ove okoline vrijedi nejednakost ), (00 yxfyxf

Koncept funkcije mnogih varijabli

Neka postoji n varijabli i svakom x 1, x 2 ... x n iz određenog skupa x je dodijeljena definicija. broj Z, tada je na skupu x dana funkcija Z = f (x 1, x 2 ... x n) mnogih varijabli.

X - područje definiranih funkcija

x 1, x 2 ... x n - nezavisna varijabla (argumenti)

Z - funkcija Primjer: Z = P x 2 1 * x 2 (Zapremina cilindra)

Uzmimo u obzir Z = f (x; y) - f-cija 2 varijable x (x 1, x 2 zamijenjeno sa x, y). Rezultati se analogno prenose na druge funkcije mnogih varijabli. Područje definiranja funkcije 2 varijable je cijeli niz kvadrata (ooh) ili njegov dio. Mn-u vrijednosti th funkcije 2 varijable - površina u 3-dimenzionalnom prostoru.

Tehnike konstruisanja grafova: - Rassm-t presek po površini kvadrata || koordinatni kvadrati.

Primjer: x \u003d x 0, zn. kvadrat X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tip funkcije: Z = f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

Na primjer: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Parabola kružnica(centar(0;1)

Granice i kontinuitet funkcija dvije varijable

Neka je dat Z = f (x; y), tada je A granica f-cije u m (x 0, y 0), ako je za bilo koji proizvoljno mali stav. broj E>0 imenica-t pozitivan broj b>0, koji za sve x,y zadovoljava |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z = f (x; y) je kontinuiran u t. (x 0, y 0), ako: - je definiran u ovom t .; - ima konačni granica na x, koja teži x 0 i y ka y 0; - ova granica = vrijednost

funkcije u t. (x 0, y 0), tj. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Ako je funkcija kontinuirana u svakom. t. mn-va X, onda je kontinuirano u ovoj oblasti

Diferencijalna funkcija, njeno geoznačenje. Upotreba dif-la u približnim vrijednostima.

dy=f’(x)∆x – diferencijalna funkcija

dy=dx, tj. dy=f '(x)dx ako je y=x

Sa gledišta geologa, diferencijal funkcije je povećanje ordinate tangente povučene na graf funkcije u tački sa apscisom x 0

Dif-l se koristi u proračunu cca. vrijednosti funkcije prema formuli: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Što je ∆x bliže x, to je tačniji rezultat.

Parcijalni derivati ​​prvog i drugog reda

Izvod prvog reda (koji se naziva privatnim)

A. Neka su x, y priraštaji nezavisnih varijabli x i y u nekoj tački iz područja X. Tada se vrijednost jednaka z = f(x + x, y + y) = f(x, y) naziva ukupan prirast u tački x 0, y 0. Ako je varijabla x fiksna, a varijabla y uvećana za y, onda dobijamo zu = f(x, y, + y) – f(x, y)

Slično se definira i parcijalni izvod varijable y, tj.

Parcijalni izvod funkcije od 2 varijable nalazi se prema istim pravilima kao i za funkcije jedne varijable.

Razlika je u tome što se pri diferenciranju funkcije s obzirom na varijablu x, y smatra konstantnim, a kada se diferencira u odnosu na y, x se smatra konstantnim.

Izolirane konste se povezuju na funkciju sa operacijama sabiranja/oduzimanja.

Pridružene konste povezane su s funkcijom s operacijama množenja/dijeljenja.

Derivat izolovane konst = 0

1.4.Ukupni diferencijal funkcije 2 varijable i njene primjene

Neka je onda z = f(x,y).

tz = - naziva se puni inkrement

Parcijalni izvod 2. reda

Za kontinuirane funkcije 2 varijable, mješoviti parcijalni izvod 2. reda i poklapaju se.

Upotreba parcijalnih izvoda za određivanje parcijalnih izvoda max i min funkcija naziva se ekstremima.

A. Tačke se nazivaju max ili min z = f(x,y) ako postoje segmenti takvi da za sve x i y iz ovog susjedstva f(x,y)

T. Ako je data tačka ekstrema funkcije od 2 varijable, tada je vrijednost parcijalnih izvoda u ovoj tački jednaka 0, tj. ,

Tačke u kojima se parcijalni izvod prvog reda nazivaju stacionarnim ili kritičnim.

Prema tome, da bi se pronašle tačke ekstrema funkcije od 2 varijable, koriste se dovoljni uslovi ekstrema.

Neka je funkcija z = f(x,y) dvaput diferencibilna, a neka stacionarna tačka,

1) i maxA<0, minA>0.

1.4.(*)puni diferencijal. Geometrijsko značenje diferencijala. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

O. Neka je funkcija y = f(x) definirana u nekom susjedstvu u tačkama . Funkcija f(x) se zove diferencijabilna u tački ako je njen prirast u ovoj tački , gdje je predstavljeno u obliku (1)

Gdje je A konstantna vrijednost neovisna o , u fiksnoj točki x, - beskonačno mala na . Relativno linearna funkcija A naziva se diferencijal funkcije f(x) u tački i označava se sa df() ili dy.

Dakle, izraz (1) se može zapisati kao ().

Diferencijal funkcije u izrazu (1) ima oblik dy = A . Kao i svaka linearna funkcija, definirana je za bilo koju vrijednost dok se prirast funkcije mora uzeti u obzir samo za one za koje + pripada domeni funkcije f(x).

Radi lakšeg označavanja diferencijala, prirast se označava sa dx i naziva se diferencijalom nezavisne varijable x. Stoga se diferencijal zapisuje kao dy = Adx.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u svakoj točki nekog intervala, tada je njen diferencijal funkcija dvije varijable - točke x i varijable dx:

T. Da bi funkcija y = g(x) bila diferencibilna u nekoj tački, potrebno je i dovoljno da u ovoj tački ima derivaciju, dok

(*)Dokaz. Need.

Neka je funkcija f(x) diferencijabilna u tački , tj. . Onda

Dakle, izvod f'() postoji i jednak je A. Otuda je dy = f'()dx

Adekvatnost.

Neka postoji derivacija f'(), tj. = f'(). Tada je kriva y = f(x) tangentni segment. Da biste izračunali vrijednost funkcije u tački x, uzmite tačku u nekom njenom susjedstvu, tako da nije teško pronaći f() i f’()/