Suština matrice
Definicija 1
Matrica je pravokutna tablica koja sadrži brojeve i ima određeni broj redova ($m$) i stupaca ($n$). Redovi matrice su elementi koji se nalaze na istoj liniji slijeva nadesno, a stupci su elementi koji se nalaze na istoj liniji idući odozgo prema dolje.
Brojevi m i n određuju red (dimenziju) matrice.
Analog matrice je obična dvodimenzionalna tablica.
Osnovne operacije nad matricama
Na matricama je moguće izvršiti sljedeće osnovne radnje:
- Matrično dodavanje;
- Množenje matrice brojem;
- Množenje matrica jedne na drugu (primjenjivo ako su matrice međusobno konzistentne - to jest, matrica $A$ mora imati broj kolona jednak broju redova u matrici $B$);
- Matrična transpozicija; *Množenje matrice vektorom kolone ili redom;
- Proračun matrične determinante.
Po pravilu, matrica reda $m\puta n$ piše se na sljedeći način:
$\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_( 22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(m1) ) & (a_(m2) ) & (...) & (a_(mn) ) \end(niz)\desno)$ ili $\left(a_(ij) \right)$ gdje je $i=1... m ,j=1..n$.
U rjeđim slučajevima, dvostruke okomite linije se koriste umjesto zagrada za pisanje matrice, na primjer, $\left\| a_(ij)\desno\| $, gdje je $i=1...m,j=1..n$.
Napomena 1
Brojevi $a_(ij)$ iz unosa matrice nazivaju se matričnim elementima, gdje je $i$ broj reda, $j$ broj kolone.
Za označavanje matrice često se koriste velika slova latinice: $A, B, C$, itd.
Primjer 1
Zadana matrica $A=\left(\begin(array)(cc) (1) & (3) \\ (6) & (-2) \end(array)\right)$
Odredite koja je veličina matrice i napišite elemente matrice s njihovim brojevima.
Rješenje:
Redoslijed matrice $A$: $2\puta 2$.
Elementi matrice A: $a_(11) =1,a_(12) =3,a_(21) =6,a_(22) =-2$.
Postoji nekoliko vrsta matrica:
- Kvadratni i pravougaoni;
- Vektor reda i vektor kolone;
- Scalar;
- Diagonal;
- Jednostruka i nula;
- Triangular.
Kvadratna matrica reda $n$ je matrica dimenzije $n\puta n$, tj. broj redova i kolona je isti, odnosno broj elemenata u redovima i kolonama je jednak.
Pravokutna matrica naziva se matrica dimenzije $m\puta n$, tj. broj redova i kolona nije isti.
Vektor reda je matrica koja se sastoji od samo jednog reda elemenata, tj. dimenzija matrice je $1\puta n$.
Column Vector je matrica koja se sastoji od samo jedne kolone, tj. dimenzija matrice je $m\puta 1$.
skalar naziva se matrica koja sadrži samo jedan element, tj. dimenzija matrice je $1\put 1$.
Primjer 2
Podaci matrice:
$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(niz)\desno), B=\lijevo(\begin(niz)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(niz)\desno),$ $C=\left(\begin(niz)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(niz)\desno), D=\ lijevo(\begin(niz)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(niz)\desno), F=\lijevo(1\desno).$
Rješenje:
$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (1) & (19) \\ (-3) & (2) & (1) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - kvadratna matrica;
$B=\left(\begin(niz)(ccc) (3) & (-4) & (3) \\ (0) & (5) & (-4) \end(array)\right)$ - pravokutna matrica;
$C=\left(\begin(array)(c) (1) \\ (-4) \\ (5) \end(array)\right)$ - vektor stupca; $D=\left(\begin(array)(cccc) (-2) & (-3) & (0) & (9) \end(array)\right)$ - vektor reda;
$F=\left(1\right)$ je skalar.
kvadratna matrica ima glavnu i sekundarnu dijagonalu, i:
- Elementi glavne dijagonale nalaze se na liniji koja ide od gornjeg lijevog ugla matrice (element $a_(11)$) do donjeg desnog ugla matrice (element $a_(nn)$);
- Elementi sekundarne dijagonale nalaze se na liniji koja je usmjerena od gornjeg desnog ugla matrice (element $a_(1n) $) do donjeg lijevog ugla matrice (element $a_(n1) $).
Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli.
Matrica identiteta je dijagonalna matrica u kojoj su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedan, takva matrica se može koristiti za transpoziciju. Oznaka za matricu identiteta je $E$.
Nulta matrica je matrica sa svim elementima jednakim nuli.
trouglasta matrica je kvadratna matrica čiji su elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli.
Napomena 2
Postoje gornje trokutaste i donje trokutaste matrice. U prvom slučaju nulti elementi su ispod glavne dijagonale, u drugom slučaju su iznad glavne dijagonale.
Primjer 3
Podaci matrice:
$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3 ) \end(niz)\desno), B=\lijevo(\begin(niz)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & (3) \end(niz)\desno), C=\left(\begin(niz)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & (3) \end(niz)\desno), E=\left(\begin(niz)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1) \end(niz)\desno), D=\left(\begin(niz)( ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \end(array)\right).$
Odredite tip svake matrice.
Rješenje:
$A=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (0) & (2) & (0) \\ (0) & (0) & (3 ) \end(array)\right)$ - dijagonalna matrica;
$B=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (0) & (0) \\ (-2) & (2) & (0) \\ (1) & (4) & ( 3) \end(array)\right)$ - donja trokutasta matrica;
$C=\left(\begin(array)(ccc) (3) & (5) & (2) \\ (0) & (2) & (-1) \\ (0) & (0) & ( 3) \end(array)\right)$ - gornja trokutasta matrica;
$E=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (0) \\ (0) & (1) & (0) \\ (0) & (0) & (1 ) \end(array)\right)$ - matrica identiteta;
$D=\left(\begin(array)(ccc) (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0 ) \end(array)\right)$ - nulta matrica.
U ovoj temi ćemo razmotriti koncept matrice, kao i vrste matrica. Pošto u ovoj temi ima dosta pojmova, dodaću sažetak radi lakšeg snalaženja u materijalu.
Definicija matrice i njenog elementa. Notacija.
Matrica je tabela sa $m$ redova i $n$ kolona. Elementi matrice mogu biti objekti potpuno različite prirode: brojevi, varijable ili, na primjer, druge matrice. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ima 3 reda i 2 kolone; njegovi elementi su cijeli brojevi. Matrica $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & ut & 8\end(array) \right)$ sadrži 2 reda i 4 kolone.
Različiti načini pisanja matrica: prikaži\sakrij
Matrica se može pisati ne samo u okruglim zagradama, već iu uglatim ili dvostrukim ravnim zagradama. Ispod je ista matrica u različitim notacijama:
$$ \left(\begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \levo[ \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \desno]; \;\; \left \Vert \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right \Vert $$
Poziva se proizvod $m\puta n$ veličina matrice. Na primjer, ako matrica sadrži 5 redaka i 3 stupca, onda se govori o matrici $5\puta 3$. Matrica $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ima veličinu $3 \puta 2$.
Matrice se obično označavaju velikim slovima latinične abecede: $A$, $B$, $C$ i tako dalje. Na primjer, $B=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeracija redova ide od vrha do dna; kolone - s lijeva na desno. Na primjer, prvi red matrice $B$ sadrži elemente 5 i 3, a drugi stupac sadrži elemente 3, -87, 0.
Elementi matrica se obično označavaju malim slovima. Na primjer, elementi matrice $A$ su označeni sa $a_(ij)$. Dvostruki indeks $ij$ sadrži informacije o poziciji elementa u matrici. Broj $i$ je broj reda, a broj $j$ je broj kolone na čijem se presjeku nalazi element $a_(ij)$. Na primjer, na presjeku drugog reda i pete kolone matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $ a_(25)= 59 dolara:
Slično, na presjeku prvog reda i prve kolone, imamo element $a_(11)=51$; na preseku trećeg reda i druge kolone - element $a_(32)=-15$ i tako dalje. Imajte na umu da se $a_(32)$ čita kao "tri dva", ali ne i "trideset dva".
Za skraćenu oznaku matrice $A$, čija je veličina jednaka $m\puta n$, koristi se notacija $A_(m\times n)$. Često se koristi sljedeća notacija:
$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$
Ovdje $(a_(ij))$ označava oznaku elemenata matrice $A$, tj. kaže da su elementi matrice $A$ označeni kao $a_(ij)$. U proširenom obliku, matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ može se napisati na sljedeći način:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$
Hajde da uvedemo još jedan termin - jednake matrice.
Dvije matrice iste veličine $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se nazivaju jednaka ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.
Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide
Unos "$i=\overline(1,m)$" znači da se parametar $i$ mijenja sa 1 na m. Na primjer, unos $i=\overline(1,5)$ kaže da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.
Dakle, za jednakost matrica potrebna su dva uslova: podudarnost veličina i jednakost odgovarajućih elemenata. Na primjer, matrica $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ nije jednaka matrici $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ jer je matrica $A$ $3\puta 2$, a matrica $B$ je $2\put 2$. Takođe matrica $A$ nije jednaka matrici $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) $ jer $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ali za matricu $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$, možemo sigurno napisati $A =F$ jer se i veličine i odgovarajući elementi matrica $A$ i $F$ poklapaju.
Primjer #1
Odredite veličinu matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(niz) \desno)$. Navedite čemu su jednaki elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.
Ova matrica sadrži 5 redova i 3 kolone, tako da je njena veličina $5\put 3$. Za ovu matricu može se koristiti i oznaka $A_(5\times 3)$.
Element $a_(12)$ je na raskrsnici prvog reda i druge kolone, tako da je $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ je na raskrsnici trećeg reda i treće kolone, tako da je $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ je na raskrsnici četvrtog reda i treće kolone, tako da je $a_(43)=-5$.
Odgovori: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Vrste matrica ovisno o njihovoj veličini. Glavna i bočna dijagonala. Matrični trag.
Neka je data neka matrica $A_(m\times n)$. Ako je $m=1$ (matrica se sastoji od jednog reda), tada se data matrica naziva matrica-red. Ako je $n=1$ (matrica se sastoji od jednog stupca), onda se takva matrica naziva matrica stupaca. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ je matrica reda, a $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - matrica stupaca.
Ako je uslov $m\neq n$ tačan za matricu $A_(m\times n)$ (tj. broj redova nije jednak broju kolona), onda se često kaže da je $A$ pravokutnu matricu. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ima veličinu $2\puta 4 $, one. sadrži 2 reda i 4 kolone. Pošto broj redova nije jednak broju kolona, ova matrica je pravokutna.
Ako je uslov $m=n$ tačan za matricu $A_(m\puta n)$ (tj. broj redova je jednak broju kolona), onda se kaže da je $A$ kvadratna matrica naručite $n$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica drugog reda; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica 3. reda. IN opšti pogled kvadratna matrica $A_(n\puta n)$ može se napisati na sljedeći način:
$$ A_(n\puta n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$
Za elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ se kaže da su na glavna dijagonala matrice $A_(n\puta n)$. Ovi elementi se nazivaju glavni dijagonalni elementi(ili samo dijagonalni elementi). Elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ su na bočna (sekundarna) dijagonala; oni se nazivaju sekundarni dijagonalni elementi. Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( niz) \desno)$ imamo:
Elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ su glavni dijagonalni elementi; elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ su sekundarni dijagonalni elementi.
Zove se zbir glavnih dijagonalnih elemenata nakon čega slijedi matrica i označeno sa $\Tr A$ (ili $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ imamo:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Koncept dijagonalnih elemenata se također koristi za nekvadratne matrice. Na primjer, za matricu $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ glavni dijagonalni elementi će biti $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Vrste matrica ovisno o vrijednostima njihovih elemenata.
Ako su svi elementi matrice $A_(m\times n)$ jednaki nuli, tada se takva matrica naziva null i obično se označava slovom $O$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ su nula matrice.
Razmotrimo neki nenulti red matrice $A$, tj. niz koji sadrži najmanje jedan element koji nije nula. vodeći element niza koji nije nula, nazovimo ga prvim (brojeći slijeva na desno) elementom koji nije nula. Na primjer, razmotrite sljedeću matricu:
$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $
U drugom redu, četvrti element će biti vodeći, tj. $w_(24)=12$, a u trećem redu vodeći element će biti drugi element, tj. $w_(32)=-9$.
Matrica $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ se naziva stupio ako ispunjava dva uslova:
- Null redovi, ako ih ima, nalaze se ispod svih redova koji nisu nuli.
- Brojevi vodećih elemenata nizova koji nisu nula formiraju striktno rastući niz, tj. ako su $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ vodeći elementi nenultih redova matrice $A$, tada je $k_1\lt(k_2)\lt\ldots\ lt( k_r)$.
Primjeri matrica koraka:
$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \levo(\begin(niz)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(niz)\desno). $$
Za poređenje: matrica $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ nije matrica koraka, jer je drugi uvjet u definiciji matrice koraka prekršen. Vodeći elementi u drugom i trećem redu $q_(24)=7$ i $q_(32)=10$ su numerisani kao $k_2=4$ i $k_3=2$. Za matricu koraka mora biti zadovoljen uslov $k_2\lt(k_3)$, koji je u ovom slučaju prekršen. Napominjem da ako zamijenimo drugi i treći red, dobijamo stepenastu matricu: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(niz)\desno)$.
Matrica koraka se zove trapezoidan ili trapezoidan, ako vodeći elementi $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ zadovoljavaju uslove $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, tj. dijagonalni elementi su vodeći. Općenito, trapezoidna matrica se može napisati na sljedeći način:
$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(niz)\desno) $$
Primjeri trapeznih matrica:
$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \levo(\begin(niz)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(niz)\desno). $$
Dajemo još neke definicije za kvadratne matrice. Ako svi elementi kvadratna matrica koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli, tada se takva matrica naziva gornja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - gornja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija gornje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze iznad glavne dijagonale ili na glavnoj dijagonali. One mogu biti nula, a ne moraju, nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je također gornja trouglasta matrica.
Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze iznad glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva donja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - donja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija donje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze ispod ili na glavnoj dijagonali. Mogu ili ne moraju biti nulte, nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ begin (niz) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ su također niže trokutaste matrice.
Kvadratna matrica se zove dijagonala ako su svi elementi ove matrice koji nisu na glavnoj dijagonali jednaki nuli. Primjer: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ kraj(niz)\desno)$. Elementi na glavnoj dijagonali mogu biti bilo koji (jednaki nuli ili ne) - to nije bitno.
Dijagonalna matrica se zove single ako su svi elementi ove matrice koji se nalaze na glavnoj dijagonali jednaki 1. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrica identiteta 4. reda; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ je matrica identiteta drugog reda.
Danas je to zaista prelako: možete prići kompjuteru i sa malo ili nimalo znanja o tome šta radite, stvarati razumne i besmislice zaista zapanjujućom brzinom. (J. Box)
Matrix Basics
U ovom dijelu pružamo osnovne informacije o matricama potrebnim za razumijevanje statistike i analizu podataka.
matrica veličinem x n (čitaj m na n) naziva se pravokutna tablica brojeva koja sadržim linije i n kolone.
Brojevi koji čine matricu nazivaju se matričnim elementima.
Matrice se označavaju velikim (velikim) slovima latinice, na primjer, A, B, C,….
Elementi matrice su označeni malim slovima sa dvostrukim indeksom, na primjer: aij , gdje i - broj reda, j- broj kolone.
Na primjer, matrica:
U skraćenom zapisu, označavamo A =( aij) ; i=1,2,…m ; j =1,2,…,n
Evo primjera matrice 2x2:
Vidite da a 11 = 1, a 12 = 0, a 21 = 2, a 22 =5
Zajedno sa zagradama, koriste se i druge oznake matrice:
Pozivaju se dvije matrice A i B iste veličine jednaka ako se poklapaju element po element, aij = b ij za bilo koji i=1,2,…m ; j =1,2,…n
Vrste matrica
Matrica koja se sastoji od jednog reda naziva se matrica (vektor) - red, a iz jednog stupca - matrica (vektor) - stupac:
A =(a 11 ,a 12 ,…,a 1n) - matrica - red
Matrica se zove kvadrat n reda, ako je broj njegovih redova jednak broju kolona i jednak je n.
Na primjer, 
Matrični elementi aij , čiji broj kolone jednak broju reda formu glavna dijagonala matrice. Za kvadratnu matricu, glavnu dijagonalu čine elementi a 11 , a 22 ,…, ann.
Ako su svi vandijagonalni unosi kvadratne matrice nula, tada se matrica naziva dijagonala.
Matrične operacije
Na matricama, kao i na brojevima, može se izvršiti niz operacija, od kojih su neke slične operacijama nad brojevima, a neke specifične.
1. Množenje matrice brojem. Proizvod matrice A brojem naziva se matrica B=A, čiji elementi bij=aij za i=1,2,…m; j=1,2,…n
Zaključak: Zajednički faktor svih elemenata matrice može se izvaditi iz predznaka matrice.
Konkretno, proizvod matrice A i broja 0 je nula matrica.
2. Sabiranje matrice. Zbir dvije matrice A i B iste veličine m je matrica C \u003d A + B, čiji elementi c ij =a ij +b ij za i=1,2,…m; j=1,2,…n(tj. matrice se dodaju element po element).
3. Oduzimanje matrice. Razlika dvije matrice iste veličine određena je prethodnim operacijama: A -B =A +(-1)∙B .
4. Množenje matrice. Množenje matrice A sa matricom B je definirano kada je broj stupaca prve matrice jednak broju redova druge. Tada je proizvod matrica A m ∙B k takva matrica C m , čiji je svaki element cij jednak zbiru proizvoda i-tog reda matrice A odgovarajućim elementima j -ti stupac matrice B:
i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
Mnoga svojstva svojstvena operacijama nad brojevima važe i za operacije na matricama (što slijedi iz ovih operacija):
A+B=B+A
(A+B)+C=A +(B+C)
λ (A+B)= λA + λB
A( B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ (AB)=( λA )B=A(λB)
A( BC)=(AB)C
Međutim, postoje i specifična svojstva matrica. Dakle, operacija množenja matrice ima neke razlike od množenja brojeva:
a) Ako AB postoji, onda nakon preuređivanja faktora, matrični proizvod BA možda neće postojati.
Ova tema će pokriti operacije kao što su sabiranje i oduzimanje matrica, množenje matrice brojem, množenje matrice matricom, transpozicija matrice. Svi simboli koji se koriste na ovoj stranici preuzeti su iz prethodne teme.
Sabiranje i oduzimanje matrica.
Zbir $A+B$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m \times n) =(c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline( 1,n) $.
Slična definicija je uvedena za razliku matrica:
Razlika $AB$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times n)=( c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1, n)$.
Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide
Unos "$i=\overline(1,m)$" znači da se parametar $i$ mijenja sa 1 na m. Na primjer, unos $i=\overline(1,5)$ kaže da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.
Vrijedi napomenuti da su operacije sabiranja i oduzimanja definirane samo za matrice iste veličine. Općenito, sabiranje i oduzimanje matrica su operacije koje su intuitivno jasne, jer zapravo znače samo zbrajanje ili oduzimanje odgovarajućih elemenata.
Primjer #1
Date su tri matrice:
$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \desno)\;\; B=\left(\begin(niz) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \desno); \;\; F=\left(\begin(niz) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(niz) \desno). $$
Da li je moguće pronaći matricu $A+F$? Pronađite matrice $C$ i $D$ ako je $C=A+B$ i $D=A-B$.
Matrica $A$ sadrži 2 reda i 3 kolone (drugim riječima, veličina matrice $A$ je $2\puta 3$), a matrica $F$ sadrži 2 reda i 2 stupca. Dimenzije matrice $A$ i $F$ se ne poklapaju, pa ih ne možemo dodati, tj. operacija $A+F$ za ove matrice nije definirana.
Veličine matrica $A$ i $B$ su iste, tj. matrični podaci sadrže jednak iznos redove i kolone, tako da je operacija sabiranja primjenjiva na njih.
$$ C=A+B=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \right)+ \left(\begin(niz) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(niz) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(niz) \desno) $$
Pronađite matricu $D=A-B$:
$$ D=AB=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \desno)- \left(\begin(niz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \right)=\\= \left(\begin(niz) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(niz) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(niz) \desno) $$
Odgovori: $C=\left(\begin(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.
Množenje matrice brojem.
Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i broja $\alpha$ je matrica $B_(m\times n)=(b_(ij))$, gdje je $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.
Jednostavno rečeno, pomnožiti matricu nekim brojem znači pomnožiti svaki element date matrice tim brojem.
Primjer #2
Zadana matrica: $ A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \right)$. Pronađite matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ i $-A$.
$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin( niz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(niz) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno). $$
Oznaka $-A$ je skraćenica za $-1\cdot A$. To jest, da biste pronašli $-A$, trebate pomnožiti sve elemente matrice $A$ sa (-1). U stvari, to znači da će se predznak svih elemenata matrice $A$ promijeniti u suprotno:
$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \right)= \ lijevo(\begin(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \desno) $$
Odgovori: $3\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno);\; -5\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno);\; -A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \right)$.
Proizvod dvije matrice.
Definicija ove operacije je glomazna i, na prvi pogled, nerazumljiva. Stoga ću prvo istaći opšta definicija, a zatim ćemo detaljno analizirati šta to znači i kako s njim raditi.
Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times k )=(c_( ij))$ za koji je svaki element $c_(ij)$ jednak zbroju proizvoda odgovarajućeg i-ti elementi redovi matrice $A$ po elementima j-te kolone matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$
Korak po korak, analizirat ćemo množenje matrica koristeći primjer. Međutim, odmah treba obratiti pažnju da se sve matrice ne mogu pomnožiti. Ako želimo da pomnožimo matricu $A$ sa matricom $B$, onda prvo moramo biti sigurni da je broj kolona matrice $A$ jednak broju redova matrice $B$ (takve matrice se često nazivaju pristao). Na primjer, matrica $A_(5\times 4)$ (matrica sadrži 5 redova i 4 stupca) ne može se pomnožiti sa matricom $F_(9\times 8)$ (9 redova i 8 kolona), pošto je broj stupaca matrica $A $ nije jednaka broju redova matrice $F$, tj. $4\neq 9$. Ali moguće je pomnožiti matricu $A_(5\times 4)$ sa matricom $B_(4\times 9)$, pošto je broj stupaca matrice $A$ jednak broju redova matrice $A$. matrica $B$. U ovom slučaju, rezultat množenja matrica $A_(5\times 4)$ i $B_(4\times 9)$ je matrica $C_(5\times 9)$, koja sadrži 5 redova i 9 stupaca:
Primjer #3
Zadate matrice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (niz) \desno)$ i $ B=\left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) $. Pronađite matricu $C=A\cdot B$.
Za početak, odmah određujemo veličinu matrice $C$. Pošto matrica $A$ ima veličinu $3\puta 4$, a matrica $B$ ima veličinu $4\puta 2$, veličina matrice $C$ je $3\puta 2$:
Dakle, kao rezultat proizvoda matrica $A$ i $B$, trebali bismo dobiti matricu $C$, koja se sastoji od tri reda i dva stupca: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(niz) \desno)$. Ako oznake elemenata pokreću pitanja, onda možete pogledati prethodnu temu: "Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi", na čijem početku je objašnjeno označavanje elemenata matrice. Naš cilj je pronaći vrijednosti svih elemenata matrice $C$.
Počnimo s elementom $c_(11)$. Da biste dobili element $c_(11)$, potrebno je pronaći zbir proizvoda elemenata prvog reda matrice $A$ i prve kolone matrice $B$:
Da biste pronašli sam element $c_(11)$, potrebno je da pomnožite elemente prvog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima prve kolone matrice $B$, tj. prvi element na prvi, drugi na drugi, treći na treći, četvrti na četvrti. Sumiramo dobijene rezultate:
$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$
Nastavimo s rješenjem i nađimo $c_(12)$. Da biste to učinili, morate pomnožiti elemente prvog reda matrice $A$ i drugog stupca matrice $B$:
Slično kao i prethodni, imamo:
$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$
Pronađeni su svi elementi prvog reda matrice $C$. Prelazimo na drugi red, koji počinje elementom $c_(21)$. Da biste ga pronašli, morate pomnožiti elemente drugog reda matrice $A$ i prvog stupca matrice $B$:
$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$
Sljedeći element $c_(22)$ nalazi se množenjem elemenata drugog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima drugog stupca matrice $B$:
$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$
Da bismo pronašli $c_(31)$, pomnožimo elemente trećeg reda matrice $A$ sa elementima prvog stupca matrice $B$:
$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$
I, konačno, da biste pronašli element $c_(32)$, morate pomnožiti elemente trećeg reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima druge kolone matrice $B$:
$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$
Svi elementi matrice $C$ su pronađeni, ostaje samo da zapišemo da je $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \desno)$ . Ili, da napišem u potpunosti:
$$ C=A\cdot B =\left(\begin(niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \desno). $$
Odgovori: $C=\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \right)$.
Inače, često nema razloga da se detaljno opiše lokacija svakog elementa matrice rezultata. Za matrice čija je veličina mala, možete učiniti sljedeće:
$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(niz) \desno) =\lijevo (\begin(niz) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(niz) \desno) $$
Također je vrijedno napomenuti da množenje matrice nije komutativno. To znači da općenito $A\cdot B\neq B\cdot A$. Samo za neke vrste matrica koje se nazivaju permutacijski(ili commuting), jednakost $A\cdot B=B\cdot A$ je tačna. Na osnovu nekomutativnosti množenja potrebno je naznačiti kako tačno množimo izraz jednom ili drugom matricom: desno ili lijevo. Na primjer, fraza "pomnoži obje strane jednakosti $3EF=Y$ sa matricom $A$ na desnoj strani" znači da želite da dobijete sljedeću jednakost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.
Transponirana u odnosu na matricu $A_(m\times n)=(a_(ij))$ je matrica $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, za elemente gdje je $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.
Jednostavno rečeno, da biste dobili transponovanu matricu $A^T$, trebate zamijeniti stupce u originalnoj matrici $A$ odgovarajućim redovima prema ovom principu: postojao je prvi red - prvi stupac će postati; postojao je drugi red - druga kolona će postati; postojao je treći red - postojaće i treći stupac i tako dalje. Na primjer, pronađimo transponiranu matricu u matricu $A_(3\times 5)$:
Prema tome, ako je originalna matrica imala veličinu $3\put 5$, onda transponovana matrica ima veličinu $5\puta 3$.
Neka svojstva operacija nad matricama.
Ovdje se pretpostavlja da su $\alpha$, $\beta$ neki brojevi, a $A$, $B$, $C$ matrice. Za prva četiri svojstva naveo sam imena, ostala se mogu imenovati po analogiji sa prva četiri.
Definicija 1. Matrix A veličinam n je pravougaona tabela od m redova i n kolona, koja se sastoji od brojeva ili drugih matematičkih izraza (zvanih matrični elementi), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
, ili
Definicija 2.
Dvije matrice 
I 
iste veličine se zovu jednaka, ako se poklapaju element po element, tj. 
=
,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
Uz pomoć matrica lako je zapisati neke ekonomske zavisnosti, na primjer tabele raspodjele resursa za pojedine sektore privrede.
Definicija 3. Ako se broj redova matrice poklapa sa brojem njenih kolona, tj. m = n, tada se matrica zove kvadratni redn, inače pravougaona.
Definicija 4. Prijelaz iz matrice A u matricu A m, u kojoj se redovi i stupci zamjenjuju uz očuvanje reda, naziva se transpozicija matrice.
Vrste matrica: kvadratne (veličine 33) - 
,
pravougaona (veličina 25) - 
,
dijagonala - 
, single - 
, nula - 
,
matrica-red - 
, matrica-kolona -.
Definicija 5.
Elementi kvadratne matrice reda n sa istim indeksima nazivaju se elementi glavne dijagonale, tj. ovo su elementi: 
.
Definicija 6. Elementi kvadratne matrice reda n nazivaju se sekundarnim dijagonalnim elementima ako je zbroj njihovih indeksa jednak n + 1, tj. ovo su elementi: .
1.2. Operacije na matricama.
1
0
.
suma
dvije matrice 
I 
iste veličine naziva se matrica S = (s ij), čiji su elementi određeni jednakošću sa ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).
Osobine operacije sabiranja matrice.
Za bilo koje matrice A,B,C iste veličine, ispunjene su sljedeće jednakosti:
1) A + B = B + A (komutativnost),
2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asocijativnost).
2
0
.
rad
matrice
po broju
zove se matrica 
iste veličine kao matrica A, a b ij = 
(i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Svojstva operacije množenja matrice brojem.
(A) = ()A (asocijativnost množenja);
(A+V) = A+V (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje matrice);
(+)A = A+A (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje brojeva).
Definicija 7.
Linearna kombinacija matrica 
I 
iste veličine naziva se izraz oblika A + B, gdje su i proizvoljni brojevi.
3 0 . Proizvod A U matricama A i B, respektivno, veličine mn i nk, naziva se matrica C veličine mk, takva da je element sa ij jednak zbroju proizvoda elemenata i-tog reda matrice A i j-te kolone matrice B, tj sa ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .
Proizvod AB postoji samo ako je broj stupaca matrice A isti kao broj redova matrice B.
Svojstva operacije množenja matrice:
(AV)S = A(VS) (asocijativnost);
(A+V)S = AS+VS (distributivnost u odnosu na dodavanje matrice);
A(V+S) = AV+AS (distributivnost u odnosu na dodavanje matrice);
AV VA (ne komutativnost).
Definicija 8. Matrice A i B, za koje je AB = BA, nazivaju se komutirajuće ili permutirajuće.
Množenjem kvadratne matrice bilo kojeg reda s odgovarajućom matricom identiteta se matricu ne mijenja.
Definicija 9. Elementarne transformacije matrice se nazivaju sljedeće operacije:
Zamijenite dva reda (kolone).
Pomnožite svaki element reda (kolone) brojem koji nije nula.
Dodavanje elementima jednog reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone).
Definicija 10. Matrica B dobijena iz matrice A uz pomoć elementarnih transformacija se zove ekvivalentan(označeno BA).
Primjer 1.1. Naći linearna kombinacija matrice 2A–3B, ako
,
.
,
,
.
Primjer
1.2.
Pronađite proizvod matrica 
, ako
.
Rješenje: budući da je broj stupaca prve matrice isti kao i broj redova druge matrice, onda proizvod matrice postoji. Kao rezultat, dobijamo novu matricu 
, gdje
Kao rezultat, dobijamo 
.
Predavanje 2. Determinante. Izračunavanje determinanti drugog, trećeg reda. Svojstva kvalifikatoran-th red.