Neka svojstva operacija nad matricama.
Matrični izrazi
A sada će uslijediti nastavak teme, u kojoj ćemo razmotriti ne samo novi materijal, ali ćemo raditi matrične operacije.
Neka svojstva operacija nad matricama
Postoji dosta svojstava koja se odnose na operacije s matricama; na istoj Wikipediji možete se diviti vitkim redovima odgovarajućih pravila. Međutim, u praksi su mnoga svojstva u određenom smislu „mrtva“, jer se samo neka od njih koriste u toku rješavanja stvarnih problema. Moj cilj je da sagledam primjenu svojstava na konkretnim primjerima, a ako vam je potrebna rigorozna teorija, koristite neki drugi izvor informacija.
Razmotrite neke izuzeci od pravila potrebna za obavljanje praktičnih zadataka.
Ako kvadratna matrica ima inverzna matrica, tada je njihovo množenje komutativno: 
matrica identiteta naziva se kvadratna matrica sa glavna dijagonala jedinice su locirane, a preostali elementi su jednaki nuli. Na primjer: , itd.
Gde sljedeće svojstvo je tačno: ako se množi proizvoljna matrica lijevo ili desno matricom identiteta odgovarajućih veličina, onda je rezultat originalna matrica:
Kao što vidite, komutativnost množenja matrice također se odvija ovdje.
Uzmimo neku matricu, pa, recimo matricu iz prethodnog problema: 
.
Zainteresovani mogu provjeriti i uvjeriti se da: 
Matrica identiteta za matrice je analogna numeričkoj jedinici za brojeve, što se posebno jasno vidi iz upravo razmatranih primjera.
Komutativnost numeričkog faktora u odnosu na množenje matrice
Za matrice i pravi broj sljedeće svojstvo je tačno: 
Odnosno, numerički faktor se može (i treba) pomjeriti naprijed tako da „ne ometa“ množenje matrica.
Bilješka : Uopšteno govoreći, formulacija svojstva je nepotpuna - "lambda" se može staviti bilo gdje između matrica, čak i na kraju. Pravilo ostaje važeće ako se pomnože tri ili više matrica.
Primjer 4
Izračunajte proizvod 
Rješenje:
(1) Prema imovini 
pomeriti numerički faktor unapred. Same matrice se ne mogu preurediti!
(2) - (3) Izvršiti množenje matrice.
(4) Ovdje možete podijeliti svaki broj 10, ali tada će među elementima matrice biti decimalešto nije dobro. Međutim, primjećujemo da su svi brojevi u matrici djeljivi sa 5, pa svaki element množimo sa .
Odgovori: 
Mala šarada koju možete sami riješiti:
Primjer 5
Izračunajte ako 
Rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Koja tehnika je bitna u toku rješavanja slični primjeri? Bavljenje brojevima zadnji .
Prikačimo još jedan vagon na lokomotivu:
Kako pomnožiti tri matrice?
Prije svega, ŠTA bi trebao biti rezultat množenja tri matrice? Mačka neće roditi miša. Ako je množenje matrice izvodljivo, onda će rezultat također biti matrica. Pa, moj profesor algebre ne vidi kako objašnjavam zatvorenost algebarske strukture u odnosu na njene elemente =)
Proizvod tri matrice može se izračunati na dva načina:
1) pronaći i zatim pomnožiti sa matricom "ce": ;
2) ili prvo pronađite, a zatim izvršite množenje.
Rezultati će se nužno poklapati, i u teoriji ovo svojstvo se naziva asocijativnost množenja matrice:
Primjer 6
Pomnožite matrice na dva načina 
Algoritam rješenja dvokorak: pronađite proizvod dvije matrice, zatim ponovo pronađite proizvod dvije matrice.
1) Koristite formulu
Akcija prva:
Akcija dva:
2) Koristite formulu
Akcija prva:
Akcija dva:
Odgovori: 
Poznatiji i standardniji je, naravno, prvi način rješavanja, tamo "kao da je sve u redu". Usput, o narudžbi. U zadatku koji se razmatra često se javlja iluzija da je riječ o nekoj vrsti permutacije matrica. Oni nisu ovde. Ponovo vas podsećam na to Uglavnom NEMOJTE ZAMJENJATI MATRICE. Dakle, u drugom pasusu, u drugom koraku, vršimo množenje, ali ni u kom slučaju. Sa običnim brojevima bi takav broj prošao, ali ne i sa matricama.
Svojstvo asocijativnosti množenja vrijedi ne samo za kvadratne, već i za proizvoljne matrice - sve dok se množe:
Primjer 7
Pronađite proizvod tri matrice 
Ovo je "uradi sam" primjer. U rješenju uzorka proračuni su obavljeni na dva načina, analizirati koji je način isplativiji i kraći.
Svojstvo asocijativnosti množenja matrice odvija se za veći broj faktora.
Sada je vrijeme da se vratimo moćima matrica. Kvadrat matrice se razmatra na samom početku i na dnevnom redu je pitanje:
Kako kockati matricu i veće sile?
Ove operacije su također definirane samo za kvadratne matrice. Da biste podigli kvadratnu matricu u kocku, morate izračunati proizvod:
Zapravo, ovo je poseban slučaj množenja tri matrice, prema svojstvu asocijativnosti množenja matrice: . A matrica pomnožena sama sa sobom je kvadrat matrice:
Tako dobijamo radnu formulu:
Odnosno, zadatak se izvodi u dva koraka: prvo se matrica mora kvadrirati, a zatim se rezultirajuća matrica množi sa matricom.
Primjer 8
Podignite matricu na kocku.
Ovo je mali problem koji morate riješiti sami.
Podizanje matrice na četvrti stepen izvodi se na prirodan način: 
Koristeći asocijativnost množenja matrice, izvodimo dvije radne formule. Prvo: je proizvod tri matrice.
jedan) . Drugim riječima, prvo nađemo, zatim ga pomnožimo sa "be" - dobijemo kocku, i, na kraju, ponovo izvršimo množenje - biće četvrti stepen.
2) Ali postoji rješenje korak kraće: . Odnosno, u prvom koraku nalazimo kvadrat i, zaobilazeći kocku, vršimo množenje
Dodatni zadatak za primjer 8:
Podignite matricu na četvrti stepen.
Kao što je upravo navedeno, to se može učiniti na dva načina:
1) Čim je kocka poznata, tada vršimo množenje.
2) Međutim, ako je prema stanju problema potrebno izgraditi matricu samo na četvrtom stepenu, tada je povoljno skratiti put - pronaći kvadrat matrice i koristiti formulu .
I rješenja i odgovor nalaze se na kraju lekcije.
Slično, matrica se podiže na peti ili više visoki stepeni. Iz praktičnog iskustva mogu reći da ponekad ima primjera podizanja na 4. stepen, ali ne sjećam se nečega već na 5. stepenu. Ali za svaki slučaj daću optimalni algoritam:
1) naći;
2) naći;
3) podići matricu na peti stepen: .
Ovdje su, možda, sva glavna svojstva matričnih operacija koja mogu biti korisna u praktičnim problemima.
U drugom dijelu lekcije ne očekuje se ništa manje šarena zabava.
Matrični izrazi
Ponovimo uobičajene školske izraze sa brojevima. Numerički izraz se sastoji od brojeva, matematičkih simbola i zagrada, na primjer: 
. U proračunima važi poznati algebarski prioritet: prvo, the zagrade, zatim izvršeno eksponencijacija / ekstrakcija korijena, Onda množenje / dijeljenje i na kraju - sabiranje / oduzimanje.
Ako numerički izraz ima smisla, onda je rezultat njegove evaluacije broj, na primjer:
Matrični izrazi skoro potpuno isto! S tom razlikom što je glavni glumci pojavljuju se matrice. Plus neke specifične matrične operacije, kao što je transponovanje i pronalaženje inverza matrice.
Razmotrimo matrični izraz 
, gdje su neke matrice. Ovaj matrični izraz ima tri člana i operacije sabiranja/oduzimanja se izvode posljednje.
U prvom terminu, prvo trebate transponirati matricu "be": , zatim izvršiti množenje i dodati "dva" rezultujućoj matrici. Zapiši to operacija transponovanja ima veći prioritet od operacije množenja. Zagrade, kao u numeričkim izrazima, mijenjaju redoslijed radnji: - ovdje se prvo vrši množenje, a zatim se rezultirajuća matrica transponira i množi sa 2.
U drugom terminu, prvo se izvodi množenje matrice, a inverzna matrica se već nalazi iz proizvoda. Ako su zagrade uklonjene: , onda prvo morate pronaći inverzna matrica, a zatim pomnožite matrice: . Pronalaženje inverzne matrice također ima prednost nad množenjem.
Sa trećim članom, sve je očigledno: matricu podižemo u kocku i dodamo „pet“ u rezultujuću matricu.
Ako matrični izraz ima smisla, onda je rezultat njegove evaluacije matrica.
Svi zadaci će biti iz realnih kontrolni radovi, a počećemo s najjednostavnijim:
Primjer 9
Matrični podaci 
. Naći:
Rješenje: redoslijed operacija je očigledan, prvo se vrši množenje, a zatim sabiranje.
Sabiranje nije moguće jer su matrice različitih veličina.
Nemojte se iznenaditi, očigledno nemoguće radnje se često nude u zadacima ovog tipa.
Pokušajmo izračunati drugi izraz:
Ovde je sve u redu.
Odgovori: radnja se ne može izvršiti, 
.
Matrice i determinante
1.1 Matrice. Koncepti.
Matrica pravokutne veličine m x n naziva se totalitet mn brojevi raspoređeni u pravougaonu tabelu koja sadrži m linije i n kolone. Matricu ćemo zapisati kao
ili skraćeno kao A = (a ij) (i = ; j = ). Brojevi a ij koji čine ovu matricu nazivaju se njenim elementima; prvi indeks pokazuje na broj reda, drugi indeks na broj kolone. Dvije matrice A = (a ij) i B = (b ij) iste veličine nazivaju se jednakim ako su njihovi elementi na istim mjestima parno jednaki, odnosno A = B ako je a ij = b ij .
Matrica koja se sastoji od jednog reda ili jedne kolone naziva se vektor reda ili vektor kolone, respektivno. Vektori stupaca i vektori reda se jednostavno nazivaju vektori.
Matrica koja se sastoji od jednog broja identificira se sa ovim brojem. Size Matrix m x n, čiji su svi elementi jednaki nuli, naziva se nulta matrica i označava se sa 0. Elementi matrice sa istim indeksima nazivaju se elementi glavne dijagonale. Ako je broj redova matrice jednak broju stupaca, tj m = n, tada se matrica naziva kvadrat reda n. Kvadratne matrice, u kojima su samo elementi glavne dijagonale različiti od nule, nazivaju se dijagonalne matrice i pišu se na sljedeći način:
Ako su svi elementi a ii dijagonalne matrice jednaki 1, tada se matrica naziva matrica identiteta i označava se slovom E:
Kvadratna matrica se naziva trokutastom ako su svi elementi iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli. Transpozicija je transformacija matrice u kojoj se redovi i stupci zamjenjuju uz zadržavanje njihovog broja. Transpozicija je označena sa T na vrhu.
Neka je data matrica (4.1). Zamijenite redove sa kolonama. Uzmi matricu
koji će biti transponovan u odnosu na matricu A. Konkretno, kada se transponuje vektor kolone, dobija se vektor reda i obrnuto.
Osnovne operacije nad matricama.
Glavne aritmetičke operacije na matricama su množenje matrice brojem, sabiranje i množenje matrica.
Prijeđimo na definiciju osnovnih operacija nad matricama.
Sabiranje matrice : Zbir dvije matrice, na primjer: A i B, koje imaju isti broj redova i stupaca, drugim riječima, istog reda m i n, je matrica S = (Sij) (i = 1, 2, ... m, j = 1, 2, …n) istog reda m i n, čiji su elementi Cij jednaki.
Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2)
Za označavanje sume dvije matrice koristi se oznaka C = A + B. Operacija sastavljanja zbira matrica naziva se njihovo zbrajanje
Dakle, po definiciji imamo:
Iz definicije zbira matrica, odnosno iz formule (1.2), direktno slijedi da operacija sabiranja matrice ima ista svojstva kao i operacija sabiranja realni brojevi, odnosno:
1) komutativno svojstvo: A + B = B + A
2) asocijativno svojstvo: (A + B) + C = A + (B + C)
Ova svojstva omogućavaju da se ne brinete o redoslijedu termina matrica prilikom sabiranja dva ili više matrice.
Množenje matrice brojem :
Proizvod matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) sa realnim brojem je matrica C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), čiji su elementi jednaki
Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3)
Za označavanje proizvoda matrice brojem, koristi se oznaka C \u003d A ili C \u003d A. Operacija sastavljanja proizvoda matrice brojem naziva se množenjem matrice ovim brojem.
Iz formule (1.3) je jasno da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:
1) svojstva raspodjele u odnosu na zbir matrica:
(A + B) = A + B
2) asocijativno svojstvo u odnosu na numerički faktor:
3) distributivno svojstvo u odnosu na zbir brojeva:
( + ) A = A + A.
komentar: Razlika dvije matrice A i B istih redova, prirodno je takvu matricu nazvati C istih redova, koja zajedno sa matricom B daje matricu A. Za označavanje razlike dvije matrice koristi se prirodna notacija: C = A – B.
Množenje matrice :
Proizvod matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), koji ima redove jednake m i n, respektivno, po matrici B = (Bij ) (i = 1, 2, …, n;
j = 1, 2, …, p), koji ima redove jednake n i p, respektivno, naziva se matrica C = (Sij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), koji ima redove , odnosno jednake m i p, i elemente Cij definisane formulom
Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4)
Za označavanje proizvoda matrice A sa matricom B, koristite notaciju
C=AB. Operacija sastavljanja proizvoda matrice A sa matricom B naziva se množenjem ovih matrica. Iz gore formulirane definicije slijedi da se matrica A ne može pomnožiti ni sa jednom matricom B: potrebno je da broj stupaca matrice A bude jednaki broj redova matrice B. Da bi oba proizvoda AB i BA ne samo bila definisana, već i imala isti red, potrebno je i dovoljno da obe matrice A i B budu kvadratne matrice istog reda.
Formula (1.4) je pravilo za sastavljanje elemenata matrice C,
koji je proizvod matrice A i matrice B. Ovo pravilo se može formulirati i verbalno: Element Cij koji stoji na i-ta raskrsnica red i j-ti stupac matrice C = AB, jednak je zbroju parnih proizvoda odgovarajućih i-ti elementi redovi matrice A i j-ti stupac matrice B. Kao primjer primjene ovog pravila predstavljamo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda
Formula (1.4) implicira sljedeća svojstva proizvoda matrice A i matrice B:
1) asocijativno svojstvo: (AB) C = A (BC);
2) distributivno svojstvo u odnosu na zbir matrica:
(A + B) C = AC + BC ili A (B + C) = AB + AC.
Pitanje svojstva permutacije proizvoda matrica ima smisla samo za kvadratne matrice istog reda. Elementarni primjeri pokazuju da proizvodi dvije kvadratne matrice istog reda, općenito, nemaju svojstvo permutacije. Zaista, ako stavimo
A = , B = , zatim AB = , i BA =
Iste matrice, za čiji je proizvod svojstvo permutacije istinito, obično se nazivaju komutirajuće.
Među kvadratnim matricama izdvajamo klasu takozvanih dijagonalnih matrica, od kojih svaka ima elemente koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednake nuli. Među svim dijagonalnim matricama sa podudarnim unosima na glavnoj dijagonali, posebno važnu ulogu igrati dvije matrice. Prva od ovih matrica se dobija kada su svi elementi glavne dijagonale jednaki jedan, naziva se matrica identiteta n-tog reda i označava se simbolom E. Druga matrica se dobija sa svim elementima jednakim nuli i naziva se nulta matrica n-tog reda i označava se simbolom O. Pretpostavimo da postoji proizvoljna matrica A, tada
AE=EA=A, AO=OA=O.
Prva od formula karakterizira posebnu ulogu matrice identiteta E, sličnu ulozi koju ima broj 1 pri množenju realnih brojeva. Što se tiče posebne uloge nulte matrice O, ona se ne otkriva samo iz druge formule, već i iz elementarno provjerljive jednakosti: A + O = O + A = A. Koncept nulte matrice može biti i uveden za nekvadratne matrice.
Matrix rang
Razmotrimo pravougaonu matricu (4.1). Ako proizvoljno odaberemo k redova u ovoj matrici i k kolone, tada elementi na sjecištu odabranih redova i kolona formiraju kvadratnu matricu k-th red. Determinanta ove matrice naziva se minor k-tog reda matrice A. Očigledno, matrica A ima minore bilo kojeg reda od 1 do najmanjeg broja m I n. Među svim minorima matrice A koji nisu nula, postoji barem jedan minor čiji je red najveći. Najveći od nultih redova minora date matrice naziva se rang matrice. Ako je rang matrice A r, onda to znači da matrica A ima minor reda različit od nule r, ali svaki minor reda većeg od r jednak je nuli. Rang matrice A označava se sa r(A). Očigledno je da je odnos
0 ≤ r(A) ≤ min(m,n).
Rang matrice se nalazi ili metodom male granice ili metodom elementarne transformacije. Prilikom izračunavanja ranga matrice na prvi način treba prijeći sa minora nižeg reda na minore višeg high order. Ako je već pronađen minor D koji nije nula k-tog reda matrice A, tada se moraju izračunati samo minori (k + 1)-og reda koji graniče sa minorom D, tj. koji ga sadrži kao maloljetnik. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice k.
Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:
1) permutacija bilo koja dva reda (ili stupca),
2) množenje reda (ili kolone) nečim drugim od nulti broj,
3) dodavanje u jedan red (ili kolonu) drugog reda (ili kolone) pomnoženog nekim brojem.
Za dvije matrice se kaže da su ekvivalentne ako se jedna od njih dobije iz druge konačnim skupom elementarnih transformacija.
Ekvivalentne matrice nisu, generalno govoreći, jednake, ali su im rangovi jednaki. Ako su matrice A i B ekvivalentne, to se piše na sljedeći način:
Kanonska matrica je matrica čiji je početni
glavna dijagonala je nekoliko jedinica u nizu (čiji broj
može biti jednak nuli), a svi ostali elementi su jednaki nuli,
na primjer, .
Uz pomoć elementarnih transformacija redova i stupaca, bilo koja matrica se može svesti na kanonsku. Rang kanonske matrice jednak je broju jedinice na njegovoj glavnoj dijagonali.
inverzna matrica
Razmotrimo kvadratnu matricu
Označimo Δ = detA.
Kvadratna matrica A naziva se nedegenerirana, ili nesingularna, ako je njena determinanta različita od nule, i degenerirana ili posebna, ako je Δ = 0.
Kvadratna matrica B naziva se inverzna kvadratnoj matrici A istog reda ako je njihov proizvod A B = B A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrice A i B.
Teorema. Da bi matrica A imala inverznu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule.
Matrica inverzna matrici A je označena sa A -1. Inverzna matrica se izračunava po formuli
A -1 \u003d 1 / Δ, (4.5)
gdje je A ij - algebarski komplementi elemenata a ij .
Proračun inverzne matrice po formuli (4.5) za matrice visokog reda je vrlo naporan, pa je u praksi zgodno pronaći inverznu matricu metodom elementarnih transformacija (ET). Bilo koja nesingularna matrica A može se reducirati pomoću EP samo stupaca (ili samo redova) na matricu identiteta E. Ako se EP savršeni nad matricom A primjenjuju istim redoslijedom na matricu identiteta E, tada je rezultat inverzna matrica. Pogodno je izvesti EP na matricama A i E istovremeno, pišući obje matrice jednu do druge kroz liniju. Još jednom napominjemo da se prilikom traženja kanonskog oblika matrice za pronalaženje njenog ranga mogu koristiti transformacije redova i stupaca. Ako trebate pronaći inverznu matricu, trebali biste koristiti samo redove ili samo stupce u procesu transformacije.
2. Odrednice
Za svaku kvadratnu matricu definiran je broj koji se naziva determinanta matrice, determinanta matrice ili jednostavno determinanta (determinanta).
Definicija. Determinanta kvadratne matrice prvog reda je broj jednak jedinom elementu ove matrice: A=(a), detA=|A|=a.
Neka je A proizvoljna kvadratna matrica reda n, n>1:
Definicija Determinanta n-tog reda (determinanta kvadratne matrice n-tog reda n), n>1, je broj jednak
gdje je determinanta kvadratne matrice dobijene iz matrice A brisanjem prvog reda i j-te kolone.
Za determinante 2. i 3. reda lako je dobiti jednostavne izraze u terminima matričnih elemenata.
determinanta 2. reda:
Odrednica trećeg reda:
2.1. Dopuna mola i algebarskog elementa
Definicija. Minor elementa matrice je determinanta matrice dobijena brisanjem reda i stupca u kojima se element nalazi. Označiti: minor elementa a ij - .
Definicija. Algebarski komplement matričnog elementa je njegov minor pomnožen sa -1 na stepen jednak zbiru brojeva reda i stupca u kojima se element nalazi. Označiti: algebarski komplement elementa a ij - .
Dakle, možemo preformulisati definiciju determinante n-tog reda:
determinanta n-tog reda, n>1, jednaka je zbiru proizvoda elemenata prvog reda i njihovih algebarskih komplementa.
Primjer.
Teorema o izračunavanju determinante proširenjem na bilo koji red
Teorema. Determinanta n-tog reda, n>1, jednaka je zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone) i njihovih algebarskih komplementa.
Primjer. Izračunajmo determinantu iz prethodnog primjera proširenjem na drugi red:
Posljedica. Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu dijagonalnih elemenata. (Dokaži se).
Matrix Dimenzija se naziva pravougaona tabela, koja se sastoji od elemenata raspoređenih u m linije i n kolone.
Elementi matrice (prvi indeks i− broj reda, drugi indeks j− broj kolone) mogu biti brojevi, funkcije itd. Matrice se označavaju velikim slovima latinice.
Matrica se zove kvadrat ako je njegov broj redova jednak broju kolona ( m = n). U ovom slučaju, broj n se naziva red matrice, a sama matrica se naziva matrica n-th red.
Elementi sa istim indeksom 
formu glavna dijagonala kvadratnu matricu i elemente (to jest, koji imaju zbir indeksa jednak n+1)
− sekundarna dijagonala.
Samica matrica naziva se kvadratna matrica, čiji su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1, a preostali elementi jednaki 0. Označava se slovom E.
Zero matricu je matrica čiji su svi elementi jednaki 0. Nulta matrica može biti bilo koje veličine.
Na broj linearne operacije na matricama vezati:
1) dodavanje matrice;
2) množenje matrica brojem.
Operacija sabiranja matrice definirana je samo za matrice iste dimenzije.
Zbir dvije matrice ALI I IN zove se matrica OD, čiji su svi elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrice ALI I IN:
.
Matrični proizvod ALI po broju k zove se matrica IN, čiji su svi elementi jednaki odgovarajućim elementima date matrice ALI pomnoženo brojem k:
Operacija množenja matrice uvodi se za matrice koje zadovoljavaju uvjet: broj stupaca prve matrice jednak je broju redova druge.
Matrični proizvod ALI dimenzije na matricu IN dimenzija se naziva matrica OD dimenzije, element i-ti red i jčiji je stupac jednak zbiru proizvoda elemenata i th red matrice ALI na relevantne elemente j-ti stupac matrice IN:
Proizvod matrica (za razliku od proizvoda realnih brojeva) ne poštuje komutativni zakon, tj. Uglavnom ALI IN IN ALI.
1.2. Odrednice. Svojstva kvalifikatora
Koncept determinante uveden samo za kvadratne matrice.
Determinanta matrice drugog reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu
.
Determinanta matrice 3. reda 
je broj izračunat prema sljedećem pravilu:
Prvi od pojmova sa znakom “+” je proizvod elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice (). Druga dva sadrže elemente koji se nalaze na vrhovima trouglova sa osnovom paralelnom sa glavnom dijagonalom(ama). Sa znakom "-" uključeni su proizvodi elemenata sekundarne dijagonale () i elemenata koji tvore trokute s bazama paralelnim s ovom dijagonalom (i).
Ovo pravilo za izračunavanje determinante trećeg reda naziva se pravilo trouglova (ili Sarrusovo pravilo).
Svojstva kvalifikatora Razmotrimo primjer determinanti trećeg reda.
1. Prilikom zamjene svih redova determinante kolonama sa istim brojevima kao i redovi, determinanta ne mijenja svoju vrijednost, tj. redovi i kolone determinante su jednaki
.
2. Kada se dva reda (kolone) zamijene, determinanta mijenja svoj predznak.
3. Ako su svi elementi određenog reda (kolone) nule, tada je determinanta 0.
4. Zajednički faktor svih elemenata reda (kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante.
5. Odrednica koja sadrži dva identična reda (kolone) je 0.
6. Determinanta koja sadrži dva proporcionalna reda (kolone) jednaka je nuli.
7. Ako svaki element određenog stupca (reda) determinante predstavlja zbir dva člana, onda je determinanta jednaka zbroju dvije determinante od kojih jedna sadrži prve članove u istom stupcu (redu), a druga - drugi. Preostali elementi obje determinante su isti. dakle,
.
8. Determinanta se ne mijenja ako se odgovarajući elementi drugog stupca (reda) pomnožene istim brojem dodaju elementima bilo kojeg od njegovih stupaca (redova).
Sljedeće svojstvo determinante vezano je za koncepte mola i algebarskog komplementa.
Minor element determinante je determinanta dobijena iz datog brisanjem reda i stupca na čijem se presjeku nalazi ovaj element.
Na primjer, manji element determinante naziva se determinanta.
Algebarsko sabiranje element determinante naziva se njegov minor pomnožen sa gdje i− broj reda, j− broj kolone na čijem se presjeku element nalazi. Algebarski komplement se obično označava. Za determinantni element 3. reda, algebarski komplement
9. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone) i njihovih odgovarajućih algebarskih sabiraka.
Na primjer, determinanta se može proširiti na elemente prvog reda
,
ili drugu kolonu
Svojstva determinanti koriste se za njihovo izračunavanje.
U ovom članku ćemo razumjeti kako se operacija sabiranja izvodi na matricama istog reda, operacija množenja matrice brojem i operacija množenja matrica odgovarajućeg reda, aksiomatski ćemo postaviti svojstva operacija, i također razgovarati o prioritetu operacija na matricama. Paralelno sa teorijom izložićemo detaljna rješenja primjeri u kojima se operacije izvode na matricama.
Odmah napominjemo da se sve od navedenog odnosi na matrice čiji su elementi realni (ili kompleksni) brojevi.
Navigacija po stranici.
Operacija sabiranja dvije matrice.
Definicija operacije sabiranja dvije matrice.
Operacija sabiranja je definirana SAMO ZA MATRICE ISTOG REDA. Drugim riječima, nemoguće je pronaći zbir matrica različitih dimenzija, a općenito je nemoguće govoriti o sabiranju matrica različitih dimenzija. Takođe, ne može se govoriti o zbiru matrice i broja, ili o zbiru matrice i nekog drugog elementa.
Definicija.
Zbir dvije matrice i je matrica čiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica A i B, odnosno, .
Dakle, rezultat operacije sabiranja dvije matrice je matrica istog reda.
Osobine operacije sabiranja matrice.
Koja su svojstva operacije sabiranja matrice? Na ovo pitanje je prilično lako odgovoriti, počevši od definicije zbira dvije matrice datog reda i pamćenja svojstava operacije sabiranja realnih (ili kompleksnih) brojeva.
- Za matrice A, B i C istog reda, svojstvo asocijativnosti sabiranja je karakteristično A + (B + C) \u003d (A + B) + C.
- Za matrice datog reda postoji neutralni element u odnosu na sabiranje, a to je nulta matrica. Odnosno, svojstvo A + O \u003d A je tačno.
- Za matricu A datog reda koja nije nula, postoji matrica (-A) , njihov zbir je matrica nula: A + (-A) \u003d O.
- Za matrice A i B datog reda, svojstvo komutativnosti sabiranja A+B=B+A je tačno.
Prema tome, skup matrica datog reda generiše aditivnu Abelovu grupu (abelovu grupu u odnosu na algebarsku operaciju sabiranja).
Sabiranje matrice - primjeri rješavanja.
Pogledajmo neke primjere sabiranja matrice.
Primjer.
Naći zbir matrica i 
.
Rješenje.
Redovi matrica A i B su isti i jednaki 4 puta 2, tako da možemo izvršiti operaciju sabiranja matrice i kao rezultat treba da dobijemo matricu reda 4 puta 2. Prema definiciji operacije sabiranja dvije matrice, vršimo sabiranje element po element: 
Primjer.
Naći zbir dvije matrice 
I 
čiji su elementi kompleksni brojevi.
Rješenje.
Pošto su redosledi matrice jednaki, možemo izvršiti sabiranje. 
Primjer.
Izvršite sabiranje tri matrice 
.
Rješenje.
Prvo dodajte matricu A sa B, a zatim dodajte C rezultujućoj matrici: 
Imamo nultu matricu.
Operacija množenja matrice brojem.
Definicija operacije množenja matrice brojem.
Operacija množenja matrice brojem je definirana ZA MATRICE BILO KOGA REDA.
Definicija.
Proizvod matrice i realnog (ili kompleksnog) broja je matrica čiji se elementi dobijaju množenjem odgovarajućih elemenata originalne matrice brojem, odnosno, .
Dakle, rezultat množenja matrice brojem je matrica istog reda.
Svojstva operacije množenja matrice brojem.
Iz svojstava operacije množenja matrice brojem, slijedi da će množenjem nulte matrice brojem nula dobiti nultu matricu, a proizvod proizvoljan broj a nulta matrica je nulta matrica.
Množenje matrice brojem - primjeri i njihovo rješenje.
Pozabavimo se operacijom množenja matrice brojem koristeći primjere.
Primjer.
Pronađite proizvod broja 2 i matrice 
.
Rješenje.
Da biste matricu pomnožili brojem, morate svaki njen element pomnožiti ovim brojem: 
Primjer.
Izvršiti množenje matrice brojem.
Rješenje.
Svaki element date matrice množimo datim brojem: 
Operacija množenja dvije matrice.
Definicija operacije množenja dvije matrice.
Operacija množenja dvije matrice A i B definirana je samo za slučaj kada je BROJ KOLONA MATRICE A JEDAN BROJU REDOVA MATRICE B.
Definicija.
Proizvod matrice A reda i matrice B reda- ovo je takva matrica C reda, čiji je svaki element jednak zbiru proizvoda i-tog reda matrice A na odgovarajuće elemente j-te kolone matrice B, tj. , 
Dakle, rezultat operacije množenja matrice reda sa matricom reda je matrica reda.
Množenje matrice matricom - rješenja primjera.
Množenjem matrice ćemo se baviti na primjerima, nakon čega ćemo prijeći na navođenje svojstava operacije množenja matrice.
Primjer.
Naći sve elemente matrice C, koja se dobija množenjem matrica 
I 
.
Rješenje.
Redoslijed matrice A je p=3 sa n=2, red matrice B je n=2 sa q=4, stoga će redoslijed proizvoda ovih matrica biti p=3 sa q=4 . Koristimo formulu
Redovno uzimamo vrijednosti i od 1 do 3 (pošto p=3) za svaki j od 1 do 4 (pošto je q=4), a u našem slučaju n=2, tada 
Ovako se izračunavaju svi elementi matrice C, a matrica dobijena množenjem dvije date matrice ima oblik 
.
Primjer.
Izvršiti množenje matrice i 
.
Rješenje.
Redoslijed originalnih matrica nam omogućava da izvršimo operaciju množenja. Kao rezultat, trebali bismo dobiti matricu reda 2 puta 3. 
Primjer.
Zadane matrice i 
. Pronađite proizvod matrica A i B, kao i matrica B i A.
Rješenje.
Pošto je red matrice A 3 prema 1, a matrice B 1 prema 3, tada će A⋅B imati red 3 prema 3, a proizvod matrica B i A će imati red 1 prema 1. 
Kao što možete vidjeti, . Ovo je jedno od svojstava operacije množenja matrice.
Svojstva operacije množenja matrice.
Ako su matrice A, B i C odgovarajućeg reda, tada je tačno sljedeće svojstva operacije množenja matrice.
Treba napomenuti da za odgovarajuće narudžbe proizvod nulte matrice O i matrice A daje nultu matricu. Proizvod A sa O takođe daje nultu matricu ako nalozi dozvoljavaju operaciju množenja matrice.
Među kvadratnim matricama postoje tzv permutacijske matrice, operacija množenja za njih je komutativna, odnosno, . Primjer permutacijskih matrica je par matrice identiteta i bilo koje druge matrice istog reda, budući da .
Prioritet operacija na matricama.
Operacije množenja matrice brojem i množenja matrice matricom imaju jednak prioritet. Istovremeno, ove operacije imaju veći prioritet od operacije sabiranja dvije matrice. Dakle, prvo se matrica množi brojem i matrice se množe, a tek onda se matrice sabiraju. Međutim, redoslijed kojim se operacije izvode na matricama može se eksplicitno specificirati korištenjem zagrada.
Dakle, prioritet operacija na matricama je sličan prioritetu koji se dodjeljuje operacijama sabiranja i množenja realnih brojeva.
Primjer.
Matrični podaci 
. Izvršite navedene akcije sa datim matricama 
.
Rješenje.
Počinjemo množenjem matrice A sa matricom B:
Sada množimo matricu identiteta drugog reda E sa dva: 
Dodajemo dvije rezultirajuće matrice:
Ostaje izvršiti operaciju množenja rezultirajuće matrice sa matricom A:
Treba napomenuti da operacija oduzimanja matrica istog reda A i B kao takva ne postoji. Razlika dvije matrice je u suštini zbir matrice A i matrice B prethodno pomnožen sa minus jedan: 
.
Operacija kvadriranja matrice u prirodni stepen također nije nezavisna, jer je sukcesivno množenje matrice.
Sažmite.
Na skupu matrica definirane su tri operacije: sabiranje matrica istog reda, množenje matrice brojem i množenje matrica odgovarajućeg reda. Operacija sabiranja na skupu matrica datog reda generiše Abelovu grupu.
Prijeđimo na definiciju operacija nad matricama.
1) Sabiranje matrice . Zbir dvije matrice A=(a ij) I B=(b ij) iste veličine m× n zove se matrica C=(c ij) iste veličine m× n, čiji su elementi jednaki
od ij = a ij +b ij (i= 1,2, … ,m; j= 1,2, … ,n). (1)
Za označavanje sume matrica koristimo notaciju C=A+ B.
2) Množenje matrice brojem . proizvod ( m× n)- matrice ALI na broj λ se zove ( m× n)-matrica C= (c ij), čiji su elementi jednaki
od ij = λ a ij (i= 1,2, … , m;j= 1,2, … ,n). (2)
Da bi se proizvod matrice označio brojem, koristi se notacija C= λ∙ A.
Iz formula (1) i (2) je jasno da dvije uvedene operacije imaju sljedeća svojstva:
ali) A+B = B+A – komutativnost sabiranja;
b) ( A+B)+C \u003d A +(B+C) je asocijativnost sabiranja;
c) (λμ) ALI=λ(μ ALI) je asocijativnost množenja brojem;
d) λ( A+B) = λ ALI+λ IN je distributivnost množenja u odnosu na sabiranje.
Napomena 1. Razlika matrice može se definirati na sljedeći način:
A-B = A+(–1)IN.
Ukratko, sabiranje, oduzimanje matrice i množenje matrice brojem se vrši element po element.
primjer:
3) Množenje matrice . proizvod ( m× n)-matrice ALI=(ali ij) na ( n× str)- matrica B=(b ij) se zove ( m× str)-matrica OD=(od ij), čiji se elementi izračunavaju po formuli
c ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +…+ a in b nj ,
koji se, koristeći simbol sumiranja, može napisati kao
(i=
1,2,
… , m;
j=
1,2,
… ,str).
Za označavanje proizvoda matrice ALI na matricu IN koristiti zapis C=A∙B.
Odmah primjećujemo da je matrica ALI može se pomnožiti sa bilo kojom matricom IN: potrebno je da broj stupaca matrice ALI bio jednak broju redova matrice IN.
Formula (3) predstavlja pravilo za pronalaženje matričnih elemenata A∙B. Formulirajmo ovo pravilo usmeno: element c ij stoji unutra i-ti red i j-ti stupac matrice A∙B, jednak je zbroju parnih proizvoda odgovarajućih elemenata i-ti red matrice ALI I j-ti stupac matrice IN.
Evo primjera množenja kvadratnih matrica drugog reda:
.
Množenje matrice ima sljedeća svojstva:
ali) ( AB)OD = ALI(sunce) – asocijativnost;
b) ( A+B)OD = AC+sunce ili ALI(B+C) = AB+AC je distributivnost množenja u odnosu na sabiranje.
Ima smisla postaviti pitanje komutativnosti množenja samo za kvadratne matrice istog reda, jer samo za takve matrice ALI I IN oba rade AB I VA su definirane i matrice su istog reda. Elementarni primjeri pokazuju da je množenje matrice, općenito, nekomutativno. Na primjer, ako
onda 
Primjer
.
Za matricu 
pronaći sve matrice IN
takav da
AB = BA.
Rješenje
.
Uvodimo notaciju 
Onda
Jednakost AB = BA je ekvivalentan sistemu jednačina
što je, pak, ekvivalentno sistemu 
Dakle, željena matrica ima oblik 
gdje x I z
su proizvoljni brojevi. Može se napisati i ovako: IN
= zA+(x–
z)E.
Komentar. Identitet i nulte matrice n th reda su permutabilni iz bilo koje kvadratne matrice istog reda, i AE = =EA = A, ALI∙0 = 0∙ALI = 0.
Koristeći operaciju množenja, dajemo najkraći – matrični – oblik pisanja sistema linearnih jednačina (1.1). Hajde da uvedemo notaciju: ALI=(ali ij)
– (m×
n)-matrica koeficijenata sistema jednačina; 
–m-dimenzionalni stupac slobodnih pojmova i
–n-dimenzionalni stupac nepoznatih. Po definiciji, djelo A∙X predstavlja m-dimenzionalni stupac. Njegov element, koji stoji unutra i-ti red ima oblik
a i 1 x 1 + a i 2 x 2 +…+ a in x n .
Ali ova suma nije ništa drugo do lijeva strana i jednačina sistema (1.1) i po pretpostavci je jednaka b i, tj. element u i-ti red kolone IN. Odavde dobijamo: A∙ X = B . Ovo je matrična notacija za sistem linearnih
jednačine. ovdje: ALI je matrica koeficijenata sistema, IN – kolona slobodnih članova, X je kolona nepoznatih.
4) Matrična transpozicija. Transpozicija bilo koje matrice je operacija, kao rezultat koje se redovi i stupci zamjenjuju uz očuvanje njihovog redoslijeda. Kao rezultat transpozicije ( m× n)-matrice ALI ispada ( m× n)-matrica, označena simbolom ALI i zove se transponovano u odnosu na matricu ALI.
Primjer . Za ALI= (ali 1 ali 2 ali 3) naći A∙A I ALI´∙ ALI.
Rješenje . Transponovani red je kolona. Zbog toga:
je kvadratna matrica prvog reda.
–kvadratna matrica 3