Zadaci za pronalaženje tačaka raskrsnice bilo koje figure su ideološki primitivne. Poteškoće u njima nastaju samo zbog aritmetike, jer se u njoj prave razne tipografske greške i greške.
Uputstvo
1. Ovaj zadatak se rješava analitički, stoga je dozvoljeno uopće ne crtati grafove ravno i parabole. Često to daje ogroman plus u rješavanju primjera, jer se takve funkcije mogu dati u zadatku da ih je lakše i brže ne nacrtati.
2. Prema udžbenicima algebre, parabola je data funkcijom oblika f(x)=ax^2+bx+c, gdje su a,b,c realni brojevi, a eksponent a je dobar na nuli. Funkcija g(x)=kx+h, gdje su k,h realni brojevi, definira pravu u ravni.
3. Dot raskrsnice ravno a parabole su univerzalna tačka obe krive, pa će funkcije u njoj poprimiti identične vrednosti, tj. f(x)=g(x). Ova izjava vam omogućava da napišete jednačinu: ax^2+bx+c=kx+h, koja će dati vjerovatnoću pronalaženja puno tačaka raskrsnice .
4. U jednačini ax^2+bx+c=kx+h, potrebno je da pomerite sve članove na lijevu stranu i donesete slične: ax^2+(b-k)x+c-h=0. Sada ostaje da se reši rezultujuća kvadratna jednačina.
5. Svi otkriveni “xes” još uvijek nisu rezultat zadatka, jer tačku na ravni karakteriziraju dva realni brojevi(x,y). Za potpuni zaključak rješenja potrebno je izračunati odgovarajuće „igre“. Da biste to učinili, potrebno je zamijeniti "xes" ili u funkciju f (x) ili u funkciju g (x), tea za tačku raskrsnice ispravno: y=f(x)=g(x). Kasnije ćete pronaći sve univerzalne tačke parabole i ravno .
6. Za konsolidaciju gradiva vrlo je važno vidjeti rješenje na primjeru. Neka je parabola data funkcijom f(x)=x^2-3x+3, a prava - g(x)=2x-3. Napišite jednačinu f(x)=g(x), tj. x^2-3x+3=2x-3. Prebacivanjem svih pojmova na lijevu stranu, i donošenjem sličnih, dobijate: x^2-5x+6=0. Korijeni ovoga kvadratna jednačina: x1=2, x2=3. Sada pronađite odgovarajuće "igrače": y1=g(x1)=1, y2=g(x2)=3. Dakle, sve tačke su pronađene raskrsnice: (2,1) i (3,3).
Poenta raskrsnice prave se mogu približno odrediti iz grafikona. Međutim, često su potrebne tačne koordinate ove tačke, ili nije potrebno graditi graf, tada je moguće pronaći tačku raskrsnice znajući samo jednačine pravih.
Uputstvo
1. Neka su dvije prave date općim jednačinama prave: A1*x + B1*y + C1 = 0 i A2*x + B2*y + C2 = 0. Tačka raskrsnice pripada jednoj pravoj liniji i drugoj. Izrazimo iz prve jednačine prave x, dobijamo: x = -(B1*y + C1)/A1. Zamijenite rezultirajuću vrijednost u drugu jednačinu: -A2*(B1*y + C1)/A1 + B2*y + C2 = 0 A1C2)/(A1B2 – A2B1). Zamijenite otkrivenu vrijednost u jednadžbu prve prave: A1*x + B1(A2C1 – A1C2)/(A1B2 – A2B1) + C1 = 0.A1(A1B2 – A2B1)*x + A2B1C1 – A1B1C2 + A1B2C1 – A2B1 = 0(A1B2 – A2B1)*x - B1C2 + B2C1 = 0 Tada je x = (B1C2 - B2C1)/(A1B2 - A2B1).
2. U školskom kursu matematike, ravne se često daju jednadžbom sa ugaonim eksponentom, razmotrimo ovaj slučaj. Neka su dva pravca data na ovaj način: y1 = k1*x + b1 i y2 = k2*x + b2. Očigledno, u trenutku raskrsnice y1 = y2, zatim k1*x + b1 = k2*x + b2. Dobijamo to ordinatu tačke raskrsnice x = (b2 – b1)/(k1 – k2). Zamijenite x u bilo koju jednačinu prave i dobijete y = k1(b2 – b1)/(k1 – k2) + b1 = (k1b2 – b1k2)/(k1 – k2).
Povezani video zapisi
Jednačina parabole je kvadratna funkcija. Postoji nekoliko opcija za sastavljanje ove jednačine. Sve zavisi od toga koji su parametri predstavljeni u stanju problema.
Uputstvo
1. Parabola je kriva koja po obliku podsjeća na luk i predstavlja graf funkcija snage. Bez obzira koje usporedbe parabola ima, ova funkcija je parna. Parna funkcija je takva funkcija da se za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije, kada se promijeni znak argumenta, vrijednost ne mijenja: f (-x) = f (x) Počnite s najprimitivnija funkcija: y \u003d x ^ 2. Iz njegovog izgleda moguće je zaključiti da raste i za tačne i za negativne vrijednosti argumenta x. Tačka u kojoj je x=0, au isto vrijeme, y = 0, smatra se minimalnom tačkom funkcije.
2. Ispod su sve glavne opcije za konstruisanje ove funkcije i njene jednadžbe. Kao prvi primjer, ispod je funkcija oblika: f(x)=x^2+a, gdje je a cijeli broj Da biste nacrtali ovu funkciju, trebate pomaknuti graf funkcije f(x) za a jedinice. Primjer je funkcija y=x^2+3, gdje y-osa pomiče funkciju nagore za dvije jedinice. Za funkciju sa suprotnim predznakom, recimo y=x^2-3, tada se njen graf pomiče niz y-osu.
3. Druga vrsta funkcije kojoj se može dati parabola je f(x)=(x + a)^2. U takvim slučajevima, graf se, naprotiv, pomera duž apscise (x-ose) za jedinicu. Na primjer, dozvoljeno je vidjeti funkcije: y=(x +4)^2 i y=(x-4)^2. U prvom slučaju, gdje postoji funkcija sa znakom plus, graf se pomiče duž x-ose ulijevo, au drugom slučaju udesno. Svi ovi slučajevi su prikazani na slici.
4. Postoje i parabolične zavisnosti oblika y=x^4. U takvim slučajevima, x=const, a y naglo raste. Međutim, ovo se odnosi samo na parne funkcije parabole su često prisutni u fizičkim problemima, na primjer, let tijela opisuje liniju sličnu paraboli. Također pogledajte parabole ima uzdužni presjek reflektora farova, lampe. Za razliku od sinusnog vala, ovaj graf je neperiodičan i progresivan.
Savjet 4: Kako odrediti tačku presjeka prave sa ravninom
Ovaj zadatak je izgradnja tačke raskrsnice ravno sa ravni je klasik u smeru inženjerske grafike i izvodi se primenom metoda nacrtne geometrije i njihovog grafičkog rešenja na crtežu.
Uputstvo
1. Razmotrimo definiciju tačke raskrsnice ravno sa privatnom lokacijskom ravninom (slika 1).Prava linija l siječe ravninu frontalne projekcije?. Usmjerite ih raskrsnice K pripada i ravno i ravni, pa zajednička projekcija K2 leži na?2 i l2. Odnosno, K2= l2??2, a njegova horizontalna projekcija K1 je određena na l1 pomoću projekcijske spojne linije. Dakle, željena tačka raskrsnice K(K2K1) se konstruiše slobodno bez upotrebe pomoćnih ravni.Tačke se definišu na sličan način raskrsnice ravno sa svim vrstama privatnih aviona.
2. Razmotrimo definiciju tačke raskrsnice ravno sa opštom ravninom. Na slici 2, u prostoru je data proizvoljno locirana ravan? i prava l. Definisati tačku raskrsnice ravno kod ravni opšte lokacije koristi se metoda pomoćnih reznih ravni prema sljedećem redoslijedu:
3. Pomoćna rezna ravan je povučena kroz pravu liniju l?. Da bi se olakšala konstrukcija, to će biti ravan projektovanja.
5. Tačka K je označena raskrsnice ravno l i konstruisanu liniju raskrsnice MN. Ona je željena tačka raskrsnice ravno i avioni.
6. Primijenimo ovo pravilo za rješavanje određenog problema u složenom crtežu. Primjer. Definirajte tačku raskrsnice ravno l sa ravninom opšte lokacije, date trouglom ABC (slika 3).
7. Pomoćna sekantna ravan? povučena je kroz pravu l, okomitu na ravan projekcije?2. Njegova projekcija?2 poklapa se sa projekcijom ravno l2.
8. MN linija je u izgradnji. Avion? seče AB u tački M. Njena zajednička projekcija M2= ?2?A2B2 i horizontala M1 na A1B1 su označene duž linije projekcije veze. preseca stranu AC u tački N. Njena zajednička projekcija je N2=?2?A2C2, horizontalna projekcija N1 na A1C1. Prava MN istovremeno pripada obe ravni, pa je, prema tome, njihova prava raskrsnice .
9. Određena je tačka K1 raskrsnice l1 i M1N1, nakon te tačke K2 se gradi uz podršku komunikacione linije. Ispada da su K1 i K2 projekcije željene tačke raskrsnice K ravno ja i avioni? ABC:K(K1K2)=l(l1l2)? ? ABC(A1B1C1, A2B2C2) Koristeći konkurentske tačke M,1 i 2,3, utvrđuje se vidljivost ravno l o datom avionu? ABC.
Povezani video zapisi
Bilješka!
Koristite pomoćnu ravan kada rješavate problem.
Koristan savjet
Izvršite proračune koristeći detaljne crteže koji odgovaraju zahtjevima problema. Ovo će vam pomoći da se brzo snađete u rješenju.
Dvije prave, ako nisu paralelne i ne poklapaju se, strogo se sijeku u jednoj tački. Pronaći koordinate ovog mjesta znači izračunati bodova raskrsnice direktno. Dvije prave koje se seku uvijek leže u istoj ravni, pa ih je dovoljno vidjeti u kartezijanskoj ravni. Pogledajmo primjer kako pronaći univerzalnu tačku linija.
Uputstvo
1. Uzmite jednadžbe 2 prave, zapamtite da je jednačina prave u Kartezijanski sistem koordinate, jednadžba ravne linije izgleda kao ax + vu + c \u003d 0, a a, b, c su obični brojevi, a x i y su koordinate tačaka. Na primjer, pronađite bodova raskrsnice prave 4x+3y-6=0 i 2x+y-4=0. Da biste to učinili, pronađite rješenje sistema ove 2 jednačine.
2. Da biste riješili sistem jednačina, promijenite bilo koju od jednačina tako da ispred y stoji identičan eksponent. Budući da je u jednoj jednadžbi eksponent ispred y 1, onda primitivno pomnožite ovu jednačinu sa brojem 3 (eksponent ispred y u drugoj jednačini). Da biste to učinili, pomnožite svaki element jednadžbe sa 3: (2x * 3) + (y * 3) - (4 * 3) \u003d (0 * 3) i dobijete obična jednačina 6x+3y-12=0. Ako bi eksponenti ispred y bili divni iz jedinice u obje jednačine, obje bi se jednakosti morale pomnožiti.
3. Oduzmite drugu iz jedne jednačine. Da biste to učinili, oduzmite od lijeve strane jedne lijevu stranu druge i učinite isto s desnom. Dobijte ovaj izraz: (4x + 3y-6) - (6x + 3y-12) \u003d 0-0. Pošto se ispred zagrade nalazi znak "-", promijenite sve znakove u zagradama u suprotne. Dobijte ovaj izraz: 4x + 3y-6 - 6x-3y + 12 = 0. Pojednostavite izraz i vidjet ćete da je varijabla y nestala. Nova jednadžba izgleda ovako: -2x+6=0. Prenesite broj 6 u drugi dio jednadžbe, a iz rezultirajuće jednakosti -2x = -6 izrazite x: x = (-6) / (-2). Dakle, dobili ste x=3.
4. Zamijenite vrijednost x=3 u bilo koju jednačinu, recimo, u drugu i dobijete sljedeći izraz: (2 * 3) + y-4 = 0. Pojednostavite i izrazite y: y=4-6=-2.
5. Rezultirajuće vrijednosti x i y zapišite kao koordinate bodova(3;-2). Ovo će biti rješenje problema. Provjerite vrijednost dobivenu zamjenom u obje jednačine.
6. Ako prave nisu date kao jednadžbe, već su date primitivno na ravni, pronađite koordinate bodova raskrsnice grafički. Da biste to učinili, produžite linije tako da se sijeku, a zatim spustite okomice na osi x i y. Presjek okomica sa x i y osa će biti koordinate ovoga bodova, pogledajte sliku i vidjet ćete da su koordinate bodova raskrsnice x = 3 i y = -2, odnosno tačka (3; -2) je rješenje problema.
Povezani video zapisi
Parabola je ravna kriva drugog reda kanonska jednačina koji u Dekartovom koordinatnom sistemu ima oblik y?=2px. Gdje je p fokusni parametar parabole, jednak udaljenosti od fiksne tačke F, koja se zove fokus, do fiksne linije D u istoj ravni, koja se zove direktrisa. Vrh takve parabole prolazi kroz predgovor koordinata, a sama kriva je simetrična oko ose apscise Ox. U školskom kursu algebre uobičajeno je da se razmatra parabola čija se osa simetrije poklapa sa ordinatnom osom Oy: x?=2py. A jednadžba je napisana nešto suprotno: y=ax?+bx+c, a=1/(2p). Parabolu je moguće nacrtati na nekoliko metoda, koje se uslovno mogu nazvati algebarskim i geometrijskim.
Uputstvo
1. Algebarska konstrukcija parabole.Nađi koordinate vrha parabole. Izračunajte koordinate duž ose Ox koristeći formulu: x0=-b/(2a), a duž ose Oy: y0=-(b?-4ac)/4a ili zamenite rezultujuću vrednost x0 u jednadžbu parabole y0 =ax0?+bx0+c i izračunajte vrijednost.
2. Na koordinatnoj ravni konstruisati os simetrije parabole. Njegova formula se poklapa sa formulom za x0 koordinatu vrha parabole: x=-b/(2a). Odrediti gdje se nalaze grane parabole. Ako je a>0, tada su ose usmjerene prema gore, ako je a
3. Uzmite proizvoljno 2-3 vrijednosti za parametar x tako da je: x0
4. Postavite tačke 1', 2' i 3' tako da budu simetrične tačkama 1, 2, 3 oko ose simetrije.
5. Ujedinite tačke 1', 2', 3', 0, 1, 2, 3 glatkom kosom linijom. Nastavite liniju gore ili dolje, ovisno o smjeru parabole. Parabola je izgrađena.
6. Geometrijska konstrukcija parabole. Ova metoda se zasniva na definiciji parabole kao zajednice tačaka jednako udaljenih i od fokusa F i od direktrise D. Stoga prvo pronađite fokalni parametar date parabole p=1/(2a).
7. Konstruirajte os simetrije parabole kako je opisano u koraku 2. Na njega stavite tačku F s koordinatom duž ose Oy jednakom y = p / 2 i tačku D s koordinatom y = -p / 2.
8. Koristeći kvadrat, konstruiraj pravu koja prolazi kroz tačku D, okomitu na os simetrije parabole. Ova prava je direktrisa parabole.
9. Uzmite konac duž dužine jednake jednoj od krakova kvadrata. Jedan kraj konca pričvrstite dugmetom na vrhu kvadrata na koji graniči ova noga, a drugi kraj u fokusu parabole u tački F. Postavite ravnalo tako da mu se gornji rub poklapa sa direktrisom D. kvadrat na lenjiru, slobodan od dugmeta sa nogom.
10. Postavite olovku tako da vrhom pritisne konac na krak kvadrata. Pomjerite kvadrat duž ravnala. Olovka će nacrtati parabolu koja vam je potrebna.
Povezani video zapisi
Bilješka!
Nemojte crtati vrh parabole kao ugao. Njegove grane se spajaju jedna s drugom, glatko se zaokružuju.
Koristan savjet
Kada konstruišete parabolu geometrijskom metodom, vodite računa da konac uvek bude zategnut.
Prije nego što pređemo na traženje ponašanja funkcije, potrebno je odrediti područje metamorfoze razmatranih veličina. Pretpostavimo da se varijable odnose na skup realnih brojeva.
Uputstvo
1. Funkcija je varijabla koja ovisi o vrijednosti argumenta. Argument je nezavisna varijabla. Granice promjene u argumentu nazivaju se domenom mogućih vrijednosti (ROV). Ponašanje funkcije razmatra se u okviru ODZ-a, jer u tim granicama veza između dvije varijable nije haotična, već se pridržava određenih pravila i može se zapisati kao matematički izraz.
2. Razmotrimo proizvoljnu funkcionalnu povezanost F=?(x), gdje? je matematički izraz. Funkcija može imati točke presjeka s koordinatnim osama ili s drugim funkcijama.
3. U tačkama preseka funkcije sa x-osom, funkcija postaje jednaka nuli: F(x)=0. Riješite ovu jednačinu. Dobićete koordinate tačaka raskrsnice datu funkciju sa OX osom. Takvih tačaka će biti onoliko koliko ima korijena jednadžbe u datom dijelu metamorfoze argumenta.
4. U točkama presjeka funkcije sa y-osom, vrijednost argumenta je nula. Posljedično, problem se pretvara u pronalaženje vrijednosti funkcije na x=0. Bit će onoliko točaka presjeka funkcije sa OY osom koliko ima vrijednosti date funkcije sa nultim argumentom.
5. Da biste pronašli tačke preseka date funkcije sa drugom funkcijom, potrebno je da rešite sistem jednačina: F=?(x)W=?(x). , tačke preseka sa kojima datu funkciju treba detektovati. Očigledno, na mjestima presjeka obje funkcije uzimaju jednake vrijednosti za jednake vrijednosti argumenata. Biće onoliko univerzalnih tačaka za 2 funkcije koliko ima rešenja za sistem jednačina u datoj oblasti promene argumenata.
Povezani video zapisi
U tačkama presjeka, funkcije imaju jednake vrijednosti za identičnu vrijednost argumenta. Pronaći tačke presjeka funkcija znači odrediti koordinate tačaka koje su univerzalne za funkcije koje se sijeku.
Uputstvo
1. Općenito, problem pronalaženja presječnih tačaka funkcija jednog argumenta Y=F(x) i Y?=F?(x) na XOY avion svodi na rješavanje jednadžbe Y= Y?, iz činjenice da u univerzalnoj tački funkcije imaju jednake vrijednosti. Vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost F(x)=F?(x), (ako postoje) su apscise presječnih tačaka datih funkcija.
2. Ako su funkcije date jednostavnim matematičkim izrazom i zavise od jednog argumenta x, onda se problem nalaženja presječnih točaka može riješiti grafički. Iscrtajte grafove funkcija. Odrediti tačke preseka sa koordinatnim osa (x=0, y=0). Postavite još nekoliko vrijednosti argumenata, pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcija, dodajte dobijene točke na grafove. Što će se više tačaka koristiti za crtanje, to će grafikon biti tačniji.
3. Ako se grafovi funkcija sijeku, odredite koordinate presječnih tačaka sa crteža. Za provjeru, zamijenite ove koordinate u formulama koje definiraju funkcije. Ako se matematički izrazi pokažu objektivnim, točke presjeka se nalaze pozitivno. Ako se grafovi funkcija ne sijeku, pokušajte ponovo skalirati. Napravite veći korak između tačaka konstrukcije kako biste odredili u kojem dijelu numeričke ravni konvergiraju linije grafova. Nakon toga, na identificiranom dijelu raskrsnice, napravite detaljniji graf sa malim korakom za tacna definicija koordinate tačaka raskrsnice.
4. Ako je potrebno pronaći točke presjeka funkcija ne na ravni, već u trodimenzionalni prostor, moguće je vidjeti funkcije 2 varijable: Z=F(x,y) i Z?=F?(x,y). Da bi se odredile koordinate presječnih tačaka funkcija, potrebno je riješiti sistem jednačina sa dva nepoznata x i y na Z= Z?.
Povezani video zapisi
Dakle, glavni parametri grafa kvadratna funkcija prikazano na slici:
Razmislite nekoliko načina za konstruisanje kvadratne parabole. Ovisno o tome kako je kvadratna funkcija data, možete odabrati najprikladniju.
1
. Funkcija je data formulom 
.
Razmislite opšti algoritam za grafiku kvadratna parabola
na primjeru crtanja grafa funkcije 
1 . Smjer grana parabole.
Pošto su grane parabole usmjerene prema gore.
2 . Hajde da nađemo diskriminanta kvadratni trinom
Diskriminanta kvadratnog trinoma je veća od nule, tako da parabola ima dvije točke presjeka sa OX osom.
Da bismo pronašli njihove koordinate, rješavamo jednačinu: 
, 
3 . Koordinate vrha parabole:
4 . Tačka presjeka parabole sa osom OY: (0;-5), a simetrična je oko ose simetrije parabole.
Hajde da stavimo ove tačke koordinatnu ravan i povežite ih glatkom krivom:
Ova metoda se može donekle pojednostaviti.
1. Pronađite koordinate vrha parabole.
2. Pronađite koordinate tačaka desno i lijevo od vrha.
Koristimo rezultate crtanja grafa funkcije
Vrhovi parabole
Tačke najbliže vrhu, koje se nalaze lijevo od vrha, imaju apscise, odnosno -1; -2; -3
Tačke najbliže vrhu, koje se nalaze na desnoj strani, imaju apscise, respektivno, 0; 1; 2
Zamijenite vrijednosti x u jednadžbu funkcije, pronađite ordinate ovih tačaka i stavite ih u tablicu:
Stavimo ove tačke na koordinatnu ravan i spojimo ih glatkom linijom:
2
. Jednadžba kvadratne funkcije ima oblik 
- u ovoj jednadžbi - koordinate vrha parabole
ili u jednadžbi kvadratne funkcije , a drugi koeficijent je paran broj.
Na primjer, napravimo graf funkcije 
.
Podsjetimo se linearne transformacije grafovi funkcija. Za crtanje funkcije , neophodno
§ prvo nacrtajte funkciju,
§ zatim pomnožite sve tačke grafika sa 2,
§ zatim ga pomaknite duž ose OX za 1 jedinicu udesno,
§ a zatim duž ose OY 4 jedinice gore:
Pogledajmo sada crtanje funkcije 
. U jednadžbi ove funkcije, a drugi koeficijent je paran broj.