Setovi. Operacije na skupovima.
Podesite prikaz. Podesite snagu

Želim vam dobrodošlicu na prvu lekciju iz više algebre, koja se pojavila ... uoči pete godišnjice sajta, nakon što sam već napravio više od 150 članaka iz matematike, a moji materijali su počeli da se oblikuju u završenom kursu . Ipak, nadam se da ne kasnim – uostalom, mnogi studenti počinju da se upuštaju u predavanja samo da bi državnim ispitima =)

Univerzitetski kurs vyshmata tradicionalno se zasniva na tri stuba:

– matematička analiza (granice, derivati itd.)

– i konačno, školskim časovima otvara se sezona 2015/16 Algebra za lutke, Elementi matematičke logike, na kojoj ćemo analizirati osnove sekcije, kao i upoznati se sa osnovnim matematičkim pojmovima i uobičajenim zapisima. Moram reći da u drugim člancima ne zloupotrebljavam "squiggles" , međutim, ovo je samo stil, i, naravno, treba ih prepoznati u bilo kojem stanju =). Obavještavam nove čitaoce da su moje lekcije usmjerene na praksu, te će sljedeći materijal biti predstavljen u tom smislu. Za potpunije i akademske informacije kontaktirajte edukativna literatura. idi:

Gomila. Postavite primjere

Skup je temeljni koncept ne samo matematike, već i cijelog svijeta. Uzmi bilo koji predmet u ruke odmah. Ovdje imate set koji se sastoji od jednog elementa.

u širem smislu, skup je skup objekata (elemenata) koji se shvataju kao celina(prema određenim znacima, kriterijumima ili okolnostima). Štaviše, to nisu samo materijalni objekti, već i slova, brojevi, teoreme, misli, emocije itd.

Skupovi se obično označavaju velikim latiničnim slovima. (kao opcija, sa indeksima: itd.), a njegovi elementi su napisani u vitičastim zagradama, na primjer:

- skup slova ruske abecede;
je skup prirodnih brojeva;

Pa, vrijeme je da se malo upoznamo:
– mnogo učenika u 1. redu

… Drago mi je vidjeti vaša ozbiljna i fokusirana lica =)

Setovi i su final(koji se sastoji od konačnog broja elemenata), a skup je primjer beskrajno setovi. Osim toga, u teoriji i praksi tzv prazan set:

je skup koji ne sadrži nijedan element.

Primjer vam je dobro poznat - set na ispitu je često prazan =)

Članstvo elementa u skupu je označeno simbolom, na primjer:

- slovo "be" pripada skupu slova ruske abecede;
- slovo "beta" ne pripada skupu slova ruske abecede;
– broj 5 pripada skupu prirodnih brojeva;
- ali broj 5,5 više nije tu;
- Voldemar ne sjedi u prvom redu (a još više, ne pripada setu ili =)).

U apstraktnoj i ne tako algebri, elementi skupa se označavaju malim latiničnim slovima i, shodno tome, činjenica pripadnosti je sastavljena u sljedećem stilu:

– element pripada skupu .

Gore navedeni skupovi su napisani direktan transfer elemenata, ali to nije jedini način. Mnogi skupovi se zgodno definiraju korištenjem nekih sign (s), što je inherentno na sve njegove elemente. Na primjer:

je skup svih prirodnih brojeva manjih od 100.

Zapamti: dugačak okomit štap izražava verbalni obrt "koji", "takav taj". Često se umjesto toga koristi dvotočka: - čitajmo unos formalnije: "skup elemenata koji pripadaju skupu prirodnih brojeva, takav da » . Dobro urađeno!

Ovaj skup se takođe može napisati direktnim nabrajanjem:

Više primjera:
- a ako ima dosta učenika u 1. redu, onda je takav zapis mnogo pogodniji od njihovog direktnog popisa.

je skup brojeva koji pripadaju intervalu . Imajte na umu da se ovo odnosi na set validan brojevi (o njima kasnije), koji se više ne može navoditi odvojeno zarezima.

Treba napomenuti da elementi skupa ne moraju biti "homogeni" ili logički povezani. Uzmite veliku torbu i počnite nasumično stavljati razne predmete u nju. U tome nema pravilnosti, ali, ipak, govorimo o raznim temama. Slikovito rečeno, skup je poseban "paket" u kojem se određeni skup predmeta pokazao "voljom sudbine".

Podskupovi

Gotovo sve je jasno iz samog naziva: set je podset skup ako svaki element skupa pripada skupu . Drugim riječima, skup je sadržan u skupu:

Ikona se zove ikona inkluzija.

Vratimo se na primjer u kojem je skup slova ruske abecede. Označiti sa - skup njegovih samoglasnika. onda:

Također je moguće izdvojiti podskup suglasničkih slova i, općenito, proizvoljan podskup koji se sastoji od bilo kojeg broja nasumično (ili nenasumično) uzetih ćiriličkih slova. Konkretno, svako ćirilično slovo je podskup skupa .

Relacije između podskupova se zgodno opisuju upotrebom uslovne geometrijske šeme tzv Ojlerovi krugovi.

Neka je skup studenata u 1. redu, biti skup studenata grupe i biti skup studenata. Tada se odnos inkluzija može predstaviti na sljedeći način:

Skup studenata drugog univerziteta treba prikazati kao krug koji ne siječe vanjski krug; mnoštvo učenika zemlje u krugu koji sadrži oba ova kruga, itd.

Uočavamo tipičan primjer inkluzija prilikom razmatranja setovi brojeva. Hajde da ponovimo školskog materijala, što je važno imati na umu kada studirate višu matematiku:

Numerički skupovi

Kao što znate, istorijski su se prvi pojavili prirodni brojevi, dizajnirani za brojanje materijalnih objekata (ljudi, kokoši, ovce, novčići, itd.). Ovaj set se već susreo u članku, jedino što sada malo mijenjamo njegovu oznaku. Činjenica je da se numerički skupovi obično označavaju podebljanim, stiliziranim ili zadebljanim slovima. Radije koristim podebljano:

Ponekad je nula uključena u skup prirodnih brojeva.

Ako skupu dodamo iste brojeve sa suprotnim predznakom i nulu, dobićemo skup cijelih brojeva:

Racionalizatori i lenjivci zapisuju njegove elemente ikonama "plus minus":))

Sasvim je jasno da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva:
- budući da svaki element skupa pripada skupu . Dakle, bilo koji prirodni broj može se sigurno nazvati cijelim brojem.

Ime skupa je također "govorno": cijeli brojevi - to znači da nema razlomaka.

I, čim su cijeli brojevi, odmah se prisjećamo važnih znakova njihove djeljivosti sa 2, 3, 4, 5 i 10, koji će biti potrebni u praktičnim proračunima gotovo svaki dan:

Cijeli broj je djeljiv sa 2 bez ostatka ako se završava na 0, 2, 4, 6 ili 8 (tj. bilo koja parna cifra). Na primjer, brojevi:
400, -1502, -24, 66996, 818 - podijeljeno sa 2 bez ostatka.

I hajde da odmah analiziramo "povezani" znak: cijeli broj je djeljiv sa 4 ako je broj sastavljen od posljednje dvije cifre (po njihovom redoslijedu) je djeljiv sa 4.

400 je djeljivo sa 4 (jer je 00 (nula) djeljivo sa 4);
-1502 - nije djeljivo sa 4 (jer 02 (dva) nije deljivo sa 4);
-24 je, naravno, deljivo sa 4;
66996 - djeljivo sa 4 (jer je 96 deljivo sa 4);
818 - nije djeljivo sa 4 (jer 18 nije deljivo sa 4).

Napravite svoje jednostavno opravdanje za ovu činjenicu.

Deljivost sa 3 je malo teža: cijeli broj je djeljiv sa 3 bez ostatka if zbir njegovih cifara je djeljiv sa 3.

Provjerimo da li je broj 27901 djeljiv sa 3. Da bismo to učinili, zbrojimo njegove brojeve:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - nije djeljivo sa 3
Zaključak: 27901 nije djeljivo sa 3.

Zbrojimo cifre broja -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - djeljivo sa 3
Zaključak: broj -825432 je djeljiv sa 3

Cijeli broj je djeljiv sa 5, ako se završava s pet ili nulom:
775, -2390 - djeljivo sa 5

Cijeli broj je djeljiv sa 10 ako se završava na nulu:
798400 - djeljivo sa 10 (i očigledno na 100). Pa, vjerovatno se svi sjećaju - da biste podijelili sa 10, samo trebate ukloniti jednu nulu: 79840

Postoje i znakovi djeljivosti sa 6, 8, 9, 11 itd., ali od njih praktično nema smisla =)

Treba napomenuti da su navedeni kriteriji (naizgled tako jednostavni) rigorozno dokazani teorija brojeva. Ovaj dio algebre je općenito prilično zanimljiv, ali njegove teoreme ... samo moderna kineska egzekucija =) I Voldemar za zadnjim stolom je bio dovoljan ... ali to je u redu, uskoro ćemo raditi fizičke vježbe koje daju život =)

Sljedeći skup brojeva je gomila racionalni brojevi :
- to jest, svaki racionalni broj se može predstaviti kao razlomak sa cijelim brojem brojilac i prirodno imenilac.

Očigledno, skup cijelih brojeva je podset skupovi racionalnih brojeva:

I zapravo - na kraju krajeva, bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao racionalni razlomak, na primjer: itd. Dakle, cijeli broj se sasvim legitimno može nazvati racionalnim brojem.

Karakterističan "identifikujući" znak racionalnog broja je činjenica da se prilikom dijeljenja brojioca sa nazivnikom dobije bilo
je cijeli broj,

ili
– krajnji decimalni,

ili
- beskrajno periodični decimalni (repriza možda neće početi odmah).

Divite se diviziji i pokušajte da ovu akciju izvodite što je manje moguće! U organizacionom članku Viša matematika za lutke i u drugim lekcijama sam više puta ponavljao, ponavljao i ponavljaću ovu mantru:

AT višu matematiku nastojimo da sve radnje izvodimo u običnim (ispravnim i nepravilnim) razlomcima

Slažete se da je rad sa razlomkom mnogo praktičniji nego s decimalnim brojem 0,375 (da ne spominjem beskonačne razlomke).

Idemo dalje. Osim racionalnih, ima ih mnogo iracionalni brojevi, od kojih se svaki može predstaviti kao beskonačan neperiodični decimalni razlomak. Drugim riječima, nema pravilnosti u "beskonačnim repovima" iracionalnih brojeva:
("godina rođenja Lava Tolstoja" dva puta)
itd.

O poznatim konstantama "pi" i "e" ima dosta podataka, pa se na njima ne zadržavam.

Formira se unija racionalnih i iracionalnih brojeva skup realnih (realnih) brojeva:

- ikona udruženja setovi.

Geometrijska interpretacija skupa vam je poznata - to je brojevna prava:


Svaki realan broj odgovara određenoj tački brojevne prave, i obrnuto - svaka tačka brojevne prave nužno odgovara nekom realnom broju. U suštini, sada sam formulisao svojstvo kontinuiteta realni brojevi, što se, iako se čini očiglednim, rigorozno dokazuje u toku matematičke analize.

Brojevna prava je također označena beskonačnim intervalom, a oznaka ili ekvivalentna oznaka simbolizira činjenicu da pripada skupu realnih brojeva (ili jednostavno "x" - pravi broj).

Sa ugrađivanjem, sve je transparentno: skup racionalnih brojeva jeste podset skupovi realnih brojeva:
, tako da se svaki racionalni broj može sa sigurnošću nazvati realnim brojem.

Skup iracionalnih brojeva je također podset realni brojevi:

Istovremeno, podskupovi i ne seku- to jest, nijedan iracionalni broj se ne može predstaviti kao racionalni razlomak.

Postoje li još neki sistemi brojeva? Exist! Ovo, na primjer, kompleksni brojevi, uz koje preporučujem da pročitate doslovno u narednim danima ili čak satima.

U međuvremenu, prelazimo na proučavanje skupnih operacija, čiji se duh već materijalizirao na kraju ovog odjeljka:

Akcije na skupovima. Vennovi dijagrami

Venovi dijagrami (slični Ojlerovim krugovima) su šematski prikaz akcija sa skupovima. Još jednom vas upozoravam da neću pokriti sve operacije:

1) raskrsnica I i označena je sa

Presjek skupova naziva se skup kojem svaki element pripada i set , i set . Grubo govoreći, raskrsnica je uobičajeni dio skupova:

Tako, na primjer, za setove:

Ako skupovi nemaju identične elemente, onda je njihov presjek prazan. Upravo smo naišli na takav primjer kada smo razmatrali numeričke skupove:

Skupovi racionalnih i iracionalnih brojeva mogu se shematski predstaviti sa dva kruga koji se ne preklapaju.

Operacija ukrštanja je primjenjiva na veći broj skupova, posebno Wikipedia ima dobro primjer sjecišta skupova slova od tri abecede.

2) Union skupove karakterizira logička povezanost ILI i označena je sa

Unija skupova je skup čiji svaki element pripada skupu ili set :

Napišimo uniju skupova:
- grubo govoreći, ovdje trebate navesti sve elemente skupova i , te iste elemente (u ovom slučaju jedinica na presjeku skupova) mora biti specificirano jednom.

Ali skupovi se, naravno, ne mogu seći, kao što je slučaj sa racionalnim i iracionalnim brojevima:

U ovom slučaju možete nacrtati dva zasjenjena kruga koja se ne sijeku.

Operacija ujedinjenja je primjenjiva za više skupova, na primjer, ako je , onda:

Brojevi ne moraju biti u rastućem redoslijedu. (Ovo sam uradio čisto iz estetskih razloga). Bez daljeg odlaganja, rezultat se može napisati ovako:

3) razlika i ne pripada skupu:

Razlika se čita na sljedeći način: “a bez biti”. I možete raspravljati na potpuno isti način: razmotrite skupove. Da biste zapisali razliku, potrebno je da iz seta "izbacite" sve elemente koji se nalaze u setu:

Primjer sa numeričkim skupovima:
- ovdje su svi prirodni brojevi isključeni iz skupa cijelih brojeva, a sama notacija glasi ovako: "skup cijelih brojeva bez skupa prirodnih."

Ogledalo: razlika skupove i pozvati skup, čiji svaki element pripada skupu i ne pripada skupu:

Za iste komplete
- iz kompleta "izbačeno" ono što je u kompletu.

Ali ispada da je ova razlika prazna: . I zapravo - ako se cijeli brojevi izuzmu iz skupa prirodnih brojeva, tada, u stvari, ništa neće ostati :)

Osim toga, ponekad razmislite simetrično razlika koja kombinuje oba "polumeseca":
- drugim riječima, to je "sve osim ukrštanja skupova".

4) Kartezijanski (direktni) proizvod skupova i naziva se skup sve uredno parovi u kojima su element i element

Hajde da zapišemo kartezijanski proizvod setovi:
- zgodno je nabrajati parove prema sljedećem algoritmu: „prvo svaki element skupa uzastopno prikačimo na 1. element skupa, zatim svaki element skupa vezujemo za 2. element skupa, zatim pričvrstite svaki element seta na 3. element seta»:

Ogledalo: Kartezijanski proizvod skupova i naziva se skup svih uredno parovi u kojima . U našem primjeru:
- ovdje je shema snimanja slična: prvo, uzastopno spajamo sve elemente skupa na "minus jedan", zatim na "de" - iste elemente:

Ali ovo je čisto radi pogodnosti - u oba slučaja, parovi se mogu navesti bilo kojim redoslijedom - važno je zapisati ovdje sve mogući parovi.

A sada vrhunac programa: kartezijanski proizvod nije ništa drugo do skup tačaka u našem native Dekartov koordinatni sistem .

Vježba za samofiksirajući materijal:

Izvršite operacije ako:

Gomila zgodno ga je opisati navođenjem njegovih elemenata.

I moda s intervalima realnih brojeva:

Podsjetimo da uglata zagrada znači inkluzija brojevi u interval, a zaokružiti - to isključenje, odnosno "minus jedan" pripada skupu, a "tri" ne pripada skupu. Pokušajte shvatiti koji je kartezijanski proizvod ovih skupova. Ako imate poteškoća, pratite crtež;)

Kratko rješenje zadatka na kraju lekcije.

Podesite prikaz

Display postavljeno na postavljeno je pravilo, prema kojem je svaki element skupa pridružen elementu (ili elementima) skupa. U slučaju da se poklapa jedini element, ovo pravilo se zove jasno definisano funkciju ili samo funkcija.

Funkcija se, kao što mnogi znaju, najčešće označava slovom - asocira svakom element je jedina vrijednost koja pripada skupu.

E, sad ću opet uznemiriti mnoge učenike 1. reda i ponuditi im 6 tema za sažetke (skup):

Instalirano (dobrovoljno ili nevoljno =)) pravilo povezuje svakog učenika skupa sa jednom temom sažetka skupa.

…i vjerovatno niste mogli ni zamisliti da ćete igrati ulogu argumenta funkcije =) =)

Elementi postavljene forme domena funkcije (označene sa ), a elementi skupa - domet funkcije (označene sa ).

Konstruisano preslikavanje skupova ima veoma važnu karakteristiku: jeste jedan na jedan ili bijektivno(bijekcija). U ovom primjeru to znači da svakom učenik je usklađen jedan jedinstven tema eseja, i obrnuto - za svaki jedan i samo jedan student je fiksiran temom sažetka.

Međutim, ne treba misliti da je svako preslikavanje bijektivno. Ako se 7. učenik doda u 1. red (skupu), tada će prepiska jedan na jedan nestati - ili će jedan od učenika ostati bez teme (uopšte bez prikaza), ili će neka tema otići dvojici učenika odjednom. Suprotna situacija: ako se setu doda sedma tema, tada će se mapiranje jedan-na-jedan također izgubiti - jedna od tema će ostati nepotražena.

Dragi studenti, u 1. redu, nemojte se uznemiravati - preostalih 20 ljudi nakon nastave će ići očistiti teritoriju univerziteta od jesenskog lišća. Menadžer nabavke će dati dvadeset golika, nakon čega će se uspostaviti međusobna korespondencija između glavnog dijela grupe i metli ..., a Voldemar će također imati vremena otrčati do trgovine =)). jedinstven"y", i obrnuto - za bilo koju vrijednost "y" možemo nedvosmisleno vratiti "x". Dakle, to je bijektivna funkcija.

! Za svaki slučaj otklanjam eventualni nesporazum: moja stalna rezerva oko obima nije slučajna! Funkcija možda nije definirana za sve "x", i, štoviše, može biti i jedan prema jedan u ovom slučaju. Tipičan primjer:

Ali u kvadratna funkcija ništa slično se ne primećuje, prvo:
- to jest, različite vrijednosti "x" su prikazane u isto značenje "y"; i drugo: ako je neko izračunao vrijednost funkcije i rekao nam da , onda nije jasno - ovo "y" je dobijeno na ili na ? Nepotrebno je reći da ovdje nema čak ni mirisa na međusobnu nedvosmislenost.

Zadatak 2: pogled grafovi osnovnih elementarnih funkcija i napišite bijektivne funkcije na komad papira. Kontrolna lista na kraju ove lekcije.

Podesite snagu

Intuicija sugerira da pojam karakterizira veličinu skupa, odnosno broj njegovih elemenata. A intuicija nas ne vara!

Kardinalnost praznog skupa je nula.

Kardinalnost seta je šest.

Snaga skupa slova ruske abecede je trideset tri.

Općenito, moć bilo koje final skup je jednak broju elemenata ovog skupa.

... možda ne razumiju svi u potpunosti šta je to final set - ako počnete brojati elemente ovog skupa, pre ili kasnije će brojanje završiti. Što se zove, a Kinezi će jednog dana ponestati.

Naravno, skupovi se mogu porediti po kardinalnosti, a njihova jednakost u tom smislu se naziva jednaka snaga. Ekvivalencija je definirana na sljedeći način:

Dva skupa su ekvivalentna ako se između njih može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan..

Skup učenika je ekvivalentan skupu apstraktnih tema, skup slova ruske abecede je ekvivalentan bilo kojem skupu od 33 elementa, itd. Primetite šta tačno bilo koga skup od 33 elementa - u ovom slučaju bitan je samo njihov broj. Slova ruske abecede mogu se porediti ne samo sa mnogim brojevima
1, 2, 3, ..., 32, 33, ali i općenito sa stadom od 33 krave.

Stvari su mnogo interesantnije sa beskonačnim skupovima. Beskonačnosti su takođe različite! ...zelena i crvena "Najmanji" beskonačni skupovi su counting setovi. Ako je sasvim jednostavno, elementi takvog skupa se mogu numerisati. Referentni primjer je skup prirodnih brojeva . Da - beskonačan je, ali svaki njegov element u PRINCIPU ima broj.

Ima puno primjera. Konkretno, skup svih parnih prirodnih brojeva je prebrojiv. Kako to dokazati? Potrebno je uspostaviti njegovu jednoznačnu korespondenciju sa skupom prirodnih brojeva ili jednostavno numerirati elemente:

Uspostavljena je korespondencija jedan-na-jedan, dakle, skupovi su ekvivalentni i skup je prebrojiv. Paradoksalno, ali sa stanovišta moći - parnih prirodnih brojeva ima koliko i prirodnih!

Skup cijelih brojeva je također prebrojiv. Njegovi elementi se mogu numerisati, na primjer, ovako:

Štaviše, skup racionalnih brojeva je takođe prebrojiv. . Pošto je brojilac cijeli broj (i, kao što je upravo prikazano, mogu se numerisati), a nazivnik je prirodan broj, tada ćemo prije ili kasnije “doći” do bilo kojeg racionalnog razlomka i dodijeliti mu broj.

Ali skup realnih brojeva je već bezbroj, tj. njegovi elementi se ne mogu numerisati. Iako je ova činjenica očigledna, ona je rigorozno dokazana u teoriji skupova. Kardinalnost skupa realnih brojeva se također naziva kontinuum, i u poređenju sa prebrojivim skupovima, ovo je "beskonačniji" skup.

Pošto postoji korespondencija jedan prema jedan između skupa i brojevne prave (vidi gore), tada je i skup tačaka realne prave bezbroj. Štaviše, isti je broj tačaka na kilometru i milimetarskom segmentu! Klasičan primjer:


Okretanjem snopa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa snopom, uspostavit ćemo korespondenciju jedan prema jedan između tačaka plavih segmenata. Dakle, ima onoliko tačaka na segmentu koliko ih ima na segmentu i !

Ovaj paradoks je, očigledno, povezan sa misterijom beskonačnosti... ali sada se nećemo zamarati problemima univerzuma, jer je sledeći korak

Zadatak 2 Funkcije jedan-na-jedan u ilustracijama lekcija

I. Skup je kolekcija nekih objekata ili brojeva, sastavljenih prema nekima opšta svojstva ili zakoni (mnogo slova na stranici, mnogo pravih razlomaka sa nazivnikom 5 , mnogo zvijezda na nebu, itd.).

Vitičaste zagrade se koriste za pisanje skupa: «{ »- set se otvara; "}" — set je zatvoren. A sam skup se zove velika latinična slova: A, B, C itd.

Primjeri.

1 . Write set ALI, koji se sastoji od svih samoglasnika u riječi "matematika".

Odluka. A \u003d (a, e, u). Vidite: uprkos činjenici da je u riječi "matematika" postoje tri slova "a"- višestruko ponavljanje nije dozvoljeno u zapisniku i pismu "a" se snima samo jednom. Gomila ALI sastoji se od tri elementa.

2. Zapišite skup svih pravih razlomaka sa nazivnikom 5 .

Odluka. Zapamtite: regularni razlomak se naziva regularni razlomak, u kojem je brojilac manji od nazivnika. Označiti sa ATželjeni set. onda:

Gomila AT sastoji se od četiri elementa.

II. Skupovi se sastoje od elemenata i konačni su ili beskonačni. Skup koji ne sadrži nijedan element naziva se prazan skup i označava se Ø.

III. Gomila AT naziva se podskup skupa ALI ako su svi elementi skupa AT su elementi skupa ALI.

3. Koji od dva data skupa AT i With To,

ako AT={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Odluka. Svi elementi kompleta With su takođe elementi skupa To, dakle, skup With je podskup skupa TO. Zapišite:

IV. Postavite raskrsnicu ALI i AT je skup čiji elementi pripadaju skupu ALI i mnogi AT.

4. Prikaži presek dva skupa M i F koristeći Ojlerove krugove.

Odluka.

Iz velike raznolikosti setovi od posebnog interesa su tzv setovi brojeva, odnosno skupovi čiji su elementi brojevi. Jasno je da za udoban rad s njima morate biti u mogućnosti da ih zapišete. Sa notacijom i principima pisanja numeričkih skupova, započećemo ovaj članak. Zatim ćemo razmotriti kako su numerički skupovi prikazani na koordinatnoj liniji.

Navigacija po stranici.

Pisanje numeričkih skupova

Počnimo s prihvaćenom notacijom. Kao što je poznato, velika slova latinice koriste se za označavanje skupova. Numerički skupovi, kao poseban slučaj skupova, takođe se označavaju. Na primjer, možemo govoriti o numeričkim skupovima A, H, W, itd. Od posebnog značaja su skupovi prirodnih, celobrojnih, racionalnih, realnih, kompleksni brojevi itd., za njih su usvojene njihove oznake:

• N je skup svih prirodnih brojeva;
• Z je skup cijelih brojeva;
• Q je skup racionalnih brojeva;
• J je skup iracionalnih brojeva;
• R je skup realnih brojeva;
• C je skup kompleksnih brojeva.

Iz ovoga je jasno da nije potrebno označavati skup koji se sastoji, na primjer, od dva broja 5 i −7 kao Q, ova oznaka će biti pogrešna, jer slovo Q obično označava skup svih racionalnih brojeva. Za označavanje navedenog numeričkog skupa, bolje je koristiti neko drugo "neutralno" slovo, na primjer, A.

Pošto je riječ o notaciji, ovdje se podsjećamo i na notaciju praznog skupa, odnosno skupa koji ne sadrži elemente. Označava se znakom ∅.

Prisjetimo se i oznake pripadnosti i nečlanstva elementa u skupu. Da biste to učinili, koristite znakove ∈ - pripada i ∉ - ne pripada. Na primjer, unos 5∈N znači da broj 5 pripada skupu prirodnih brojeva, a 5.7∉Z - decimalni razlomak 5.7 ne pripada skupu cijelih brojeva.

Podsjetimo se i na notaciju koja je usvojena za uključivanje jednog skupa u drugi. Jasno je da su svi elementi skupa N uključeni u skup Z, pa je skup brojeva N uključen u Z, to se označava kao N⊂Z. Možete koristiti i zapis Z⊃N, što znači da skup svih cijelih brojeva Z uključuje skup N. Relacije koje nisu uključene i koje nisu uključene su označene znakovima ⊄ i , respektivno. Koriste se i znaci nestriktnog uključivanja oblika ⊆ i ⊇, što znači, respektivno, uključeno ili podudara se i uključuje ili podudara.

Razgovarali smo o notaciji, prijeđimo na opis numeričkih skupova. U ovom slučaju ćemo se dotaknuti samo glavnih slučajeva koji se najčešće koriste u praksi.

Počnimo s numeričkim skupovima koji sadrže konačan i mali broj elemenata. Numerički skupovi koji se sastoje od konačnog broja elemenata mogu se prikladno opisati navođenjem svih njihovih elemenata. Svi elementi brojeva su napisani odvojeni zarezima i zatvoreni u , što je u skladu sa zajedničkim postavite pravila opisa. Na primjer, skup koji se sastoji od tri broja 0 , −0.25 i 4/7 može se opisati kao (0, −0.25, 4/7) .

Ponekad, kada je broj elemenata numeričkog skupa dovoljno velik, ali se elementi pokoravaju nekom obrascu, za opisivanje se koristi elipsa. Na primjer, skup svih neparnih brojeva od 3 do uključujući 99 može se napisati kao (3, 5, 7, ..., 99) .

Tako smo glatko pristupili opisu numeričkih skupova čiji je broj elemenata beskonačan. Ponekad se mogu opisati koristeći sve iste tri tačke. Na primjer, hajde da opišemo skup svih prirodnih brojeva: N=(1, 2. 3, …) .

Oni također koriste opis numeričkih skupova ukazujući na svojstva njegovih elemenata. U ovom slučaju se koristi notacija (x| svojstva). Na primjer, notacija (n| 8 n+3, n∈N) definira skup takvih prirodnih brojeva koji, kada se podijele sa 8, daju ostatak od 3. Isti skup se može opisati kao (11,19, 27, ...) .

U posebnim slučajevima, numerički skupovi sa beskonačnim brojem elemenata su poznati skupovi N, Z, R, itd. ili praznine u brojevima. I općenito, numerički skupovi su predstavljeni kao Union pojedinačni numerički intervali koji ih čine i numerički skupovi sa konačnim brojem elemenata (o kojima smo govorili malo više).

Pokažimo primjer. Neka skup brojeva budu brojevi −10, −9, −8.56, 0, svi brojevi intervala [−5, −1.3] i brojevi otvorenog brojevnog zraka (7, +∞). Na osnovu definicije unije skupova, naznačeni numerički skup se može zapisati kao {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Takva notacija zapravo znači skup koji sadrži sve elemente skupova (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] i (7, +∞) .

Slično, kombinovanjem različitih numeričkih opsega i skupova pojedinačnih brojeva, može se opisati bilo koji skup brojeva (koji se sastoji od realnih brojeva). Ovdje postaje jasno zašto su uvedene takve vrste numeričkih intervala kao što su interval, poluinterval, segment, otvoreni numerički zrak i numerički zrak: svi oni, zajedno s notacijom za skupove pojedinačnih brojeva, omogućavaju da opiše bilo koje numeričke skupove kroz njihovu uniju.

Imajte na umu da se prilikom pisanja numeričkog skupa njegovi sastavni brojevi i numerički intervali sortiraju uzlaznim redoslijedom. Ovo nije obavezan, ali poželjan uslov, jer je uređeni numerički skup lakše predstaviti i prikazati na koordinatnoj liniji. Također imajte na umu da takvi zapisi ne koriste numeričke intervale sa zajednički elementi, budući da se takvi unosi mogu zamijeniti unijom numeričkih intervala bez zajedničkih elemenata. Na primjer, unija numeričkih skupova sa zajedničkim elementima [−10, 0] i (−5, 3) je poluinterval [−10, 3) . Isto važi i za uniju numeričkih intervala sa istim graničnim brojevima, na primer, unija (3, 5]∪(5, 7] je skup (3, 7] , na tome ćemo se posebno zadržati kada naučimo da pronaći presjek i uniju numeričkih skupova.

Slika skupova brojeva na koordinatnoj liniji

U praksi je zgodno koristiti geometrijske slike numeričkih skupova - njihove slike na . Na primjer, kada rješavanje nejednačina, u kojem je potrebno uzeti u obzir ODZ, potrebno je prikazati numeričke skupove kako bi se pronašli njihov presjek i/ili unija. Stoga će biti korisno dobro razumjeti sve nijanse predstavljanja numeričkih skupova na koordinatnoj liniji.

Poznato je da između tačaka koordinatne prave i realnih brojeva postoji korespondencija jedan prema jedan, što znači da je sama koordinatna prava geometrijski model skup svih realnih brojeva R . Dakle, da bi se prikazao skup svih realnih brojeva, potrebno je povući koordinatnu liniju sa šrafiranjem duž cele dužine:

A često čak ni ne navode porijeklo i jedan segment:

Sada razgovarajmo o slici numeričkih skupova, koji su neki konačan broj pojedinačnih brojeva. Na primjer, nacrtajmo skup brojeva (−2, −0.5, 1.2) . Geometrijska slika ovog skupa, koja se sastoji od tri broja -2, -0,5 i 1,2 biće tri tačke koordinatne linije sa odgovarajućim koordinatama:

Imajte na umu da obično za potrebe prakse nema potrebe da se crtež izvede precizno. Često je dovoljan shematski crtež, što znači da nije potrebno održavati razmjer, dok je važno samo održavati međusobnog dogovora tačke jedna u odnosu na drugu: svaka tačka sa manjom koordinatom mora biti levo od tačke sa većom koordinatom. Prethodni crtež će shematski izgledati ovako:

Zasebno, od svih mogućih numeričkih skupova izdvajaju se numerički intervali (intervali, poluintervali, zraci itd.), koji predstavljaju njihove geometrijske slike, detaljno smo ispitali u odjeljku. Nećemo se ovdje ponavljati.

I ostaje samo da se zadržimo na slici numeričkih skupova, koji su unija nekoliko numeričkih intervala i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva. Ovdje nema ništa lukavo: prema značenju unije, u ovim slučajevima, na koordinatnoj liniji, trebate prikazati sve komponente skupa datog numeričkog skupa. Kao primjer, pokažimo sliku skupa brojeva (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

I hajde da se zadržimo na prilično čestim slučajevima kada je prikazani numerički skup čitav skup realnih brojeva, sa izuzetkom jedne ili više tačaka. Takvi skupovi su često specificirani uslovima kao što su x≠5 ili x≠−1, x≠2, x≠3,7 itd. U ovim slučajevima, geometrijski, oni predstavljaju cijelu koordinatnu liniju, sa izuzetkom odgovarajućih tačaka. Drugim riječima, ove tačke moraju biti „izbijene“ iz koordinatne linije. Oni su prikazani kao krugovi sa praznim središtem. Radi jasnoće, prikazujemo numerički skup koji odgovara uslovima (ovaj set je u suštini):

Sažmite. U idealnom slučaju, informacije iz prethodnih paragrafa trebale bi formirati isti pogled na snimanje i reprezentaciju numeričkih skupova kao i pogled na pojedinačne numeričke intervale: snimanje numeričkog skupa treba odmah dati svoju sliku na koordinatnoj liniji, a od slike dalje. koordinatnu liniju, trebali bismo biti spremni da jednostavno opišemo odgovarajući numerički skup kroz uniju pojedinačnih praznina i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

1.1. Osnovni pojmovi i definicije teorije skupova

Bilo koji koncept diskretne matematike može se definirati korištenjem koncepta skupa, koji je jedan od osnovnih pojmova i prvi ga je formulirao njemački matematičar G. Kantor.

Ispod mnogi bilo koji skup definiranih i prepoznatljivih objekata, zamislivih kao jedinstvena cjelina.

Možemo govoriti o setu stolica u sobi, ljudima koji žive u Voronježu, studentima u grupi, skupu prirodnih brojeva, slovima u abecedi, stanjima sistema itd. U isto vrijeme možemo govoriti samo o skupu kada se elementi skupa međusobno razlikuju. Na primjer, ne može se govoriti o mnogo kapi u čaši vode, jer je nemoguće jasno i jasno naznačiti svaku pojedinačnu kap.

Pojedinačni objekti koji čine skup nazivaju se elementi skupa. Dakle, broj 3 je element skupa prirodnih brojeva, a slovo b je element skupa slova ruske abecede.

Opšta oznaka skupa je par vitičastih zagrada ( ), unutar kojih su navedeni elementi skupa. Za označavanje specifičnih skupova koriste se različiti skupovi. velika slova A, S, X...ili velika slova sa indeksima ALI 1 , ALI 2. Za označavanje elemenata skupa opšti pogled koristiti drugačije mala slova a, s, x...ili mala slova sa indeksima a 1 , a 2 ...

Da ukaže da je neki element a S, koristi se simbol O pripadnosti skupu. Snimanje aÎ S znači da element a pripada skupu S, i unos xÏ S znači da element X ne pripada skupu S. Snimanje X 1 , x 2 ,... ...,x nÎ S koristi se kao skraćenica x 1 O S, x 2 O S,..., x nÎ S.

Po pravilu se pretpostavlja da su svi elementi skupa različiti. Skup sa elementima koji se ponavljaju naziva se multiskup. Multisetovi igraju važnu ulogu u kombinatorici. U nastavku će se razmatrati skupovi sa različitim elementima.

Koristićemo sljedeću notaciju za numeričke skupove:

je skup prirodnih brojeva, tj.

je skup cijelih brojeva, tj. = (0, ±1, ±2, …);

je skup racionalnih brojeva, =( / \ , n ; ¹ 0);

- gomila realni brojevi;

je skup kompleksnih brojeva.

Skupovi su ili konačni ili beskonačni. Skup se naziva konačnim ako je broj njegovih elemenata konačan, odnosno ako postoji prirodan broj n, što je broj elemenata u skupu. Postavi poziv beskrajno ako sadrži beskonačan broj elemenata. Broj elemenata u konačnom skupu se zove moć i označeno = n, ako je set X sadrži n elementi.

Važan koncept u teoriji skupova je koncept praznog skupa. prazan set je skup koji ne sadrži nijedan element. Prazan skup je označen simbolom Na primjer:

{xÎ R | x 2 -x+1=0}=

Koncept praznog skupa igra veoma važnu ulogu u definisanju skupova opisom. Dakle, bez koncepta praznog skupa ne bismo mogli govoriti o skupu odličnih učenika grupe ili o skupu pravih korijena kvadratna jednačina, a da se prethodno nisam uverio da li u ovoj grupi uopšte ima odličnih učenika ili ih ima zadata jednačina pravim korenima. Uvođenje praznog skupa omogućava da se sasvim mirno posluje sa skupom odličnih učenika grupe, bez brige o tome da li u grupi koja se razmatra ima odličnih učenika ili ne. Prazan skup će se konvencionalno nazivati ​​konačnim skupovima.

Skup koji sadrži sve elemente koji se razmatraju naziva se univerzalni ili univerzum i označeno U.

Da biste radili sa određenim setovima, morate ih moći postaviti. Postoje dva načina za definiranje skupova: nabrajanje i opis. Specificiranje skupa na način nabrajanja odgovara popisu svih elemenata koji čine skup. Dakle, skup odličnih učenika grupe može se specificirati navođenjem učenika koji odlično uče, na primjer (Ivanov, Petrov, Sidorov). Da skratite unos X={X 1 , X 2 , ...,x n) ponekad uvode skup indeksa I={1, 2,..., n) i napišite X={x i}, iÎ I. Ova metoda je pogodna kada se razmatraju konačni skupovi koji sadrže mali broj elemenata, ali ponekad se može koristiti i za specificiranje beskonačnih skupova, na primjer (2, 4, 6, 8 ...). Naravno, takva notacija je primjenjiva ako je sasvim jasno šta se podrazumijeva pod elipsom.

Deskriptivan način specificiranja skupa je specificiranje karakteristično svojstvo, koju imaju svi elementi skupa. Ovo koristi notaciju

X={x | x ima imovinu Q(x)}.

Izraz u zagradama glasi: skup svih elemenata X, koji posjeduju imovinu Q(x). Sta ako M je skup učenika u grupi, zatim skup A odlični učenici ove grupe biće upisani u formular ALI={XÎ M | X- odličan učenik grupe)

koji glasi: set ALI sastoji se od elemenata X setovi M, koji imaju svojstvo da X je odličan učenik grupe.

U slučajevima kada nema sumnje iz kojeg skupa su elementi uzeti X, naznaka vlasništva X mnogi M ne možete. Istovremeno, mnogi ALI biće napisan u formi

A=( X | X- odličan učenik grupe).

Evo nekoliko primjera specificiranja skupova metodom opisa: ( x | x– parni) – skup parnih brojeva;

{X | X 2 –1=0) – postavljeno (+1, –1).

Neka bude Z je skup cijelih brojeva. Zatim ( xÎ Z | 0<x£7) je skup (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Skup neparnih brojeva može se definirati kao ( x| x=2k+1 za neke kÎ Z}.

Način na koji definirate skup sa svojstvima prepun je određenih opasnosti, jer "neispravno" postavljena svojstva mogu dovesti do nedosljednosti. Evo jednog od najtipičnijih paradoksa - Raselovog paradoksa. Razmotrimo skup svih skupova koji nisu njihovi vlastiti elementi: . Sada pitamo da li je set To sa svojim elementom? Ako a ToÎ To, zatim svojstvo koje specificira skup To, tj. ToÏ To, što dovodi do kontradikcije. Ako a ToÏ To, dakle, od svojstva koje specificira To, dolazimo do zaključka da ToÎ To, što je u suprotnosti sa pretpostavkom. Dakle, ne vodi svako svojstvo do smislenog dodjeljivanja skupa.

Osim toga, skup se može specificirati pomoću karakteristične funkcije čije vrijednosti pokazuju da li (da ili ne) X set element X :

Imajte na umu da je za bilo koji element = 0; = 1.

Primjer. Pusti univerzum U={a,b,c,d,e) set X={a,c,d), onda

Za proizvoljne skupove X i Y mogu se definirati dvije vrste odnosa − odnos jednakosti i odnos inkluzije.

Dva skupa se smatraju jednakima ako se sastoje od istih elemenata. Prihvaćena oznaka X=Y, ako X i Y su jednaki i X Y- inače.

Lako je to vidjeti za sve skupove X, Y, Z odnosi

Iz definicije jednakosti skupova proizilazi da redoslijed elemenata u skupu nije značajan. Tako, na primjer, skupovi (3, 4, 5, 6) i (4, 5, 6, 3) su isti skup.

Ako svaki element skupa X je element skupa Y, onda to kažu X uključeno u Y i označavaju:

U ovom slučaju kažemo da je skup X je podset setovi Y. Posebno X i Y mogu se podudarati, pa se stoga nazivaju i relacijom nestriktno uključivanje. Napominjemo neka svojstva podskupa, koja proizlaze iz njegove definicije:

Ako i , onda oni to kažu X tu je vlastiti podskup Y i označimo , relacija između skupova u ovom slučaju se naziva relacija nestriktno uključivanje. Za strogi odnos inkluzije,

Ne uključujući podskup X u mnoštvo Y označeno X. Takav skup se zove set porodica ili boolean setovi X i označeno P(X) Budući da je uključen u bilo koji skup, onda .

Primjer. Neka bude . Onda

Skup je osnovni koncept matematike i stoga nije definiran u terminima drugih.

Obično se skup shvata kao skup objekata ujedinjenih zajedničkim obeležjem. Dakle, možemo govoriti o puno učenika u grupi, puno slova ruske abecede, itd. U svakodnevnom životu umjesto riječi "komplet" koriste se riječi "komplet", "kolekcija", "grupa" itd. Skupovi se obično označavaju velikim slovima latinične abecede: ALI, AT, With, ..., Z.

Za numeričke skupove u matematici, prihvaćena je posebna oznaka:

N je skup prirodnih brojeva;

N 0 – skup nenegativnih cijelih brojeva;

Z je skup cijelih brojeva;

Q je skup racionalnih brojeva;

R je skup realnih brojeva.

Objekti koji čine skup nazivaju se njegovim elementima. Na primjer, septembar je element skupa mjeseci u godini, broj 5 je element skupa prirodnih brojeva. Elementi skupa se obično označavaju malim slovima latinice. Elementi skupa mogu biti skupovi. Dakle, možete govoriti o mnogim grupama instituta. Elementi ovog skupa su grupe, koje su opet skupovi učenika.

Odnos između skupa i njegovog elementa izražava se pomoću riječi "pripada". Izjava „Element a pripada skupu ALI' je napisano ovako: a  ALI, a ovaj unos se može čitati drugačije: " a- element seta ALI", "gomila ALI sadrži element a". Izjava „Element a ne pripada skupu ALI' je napisano ovako: a  ALI(inače: " a nije element skupa ALI", "gomila ALI ne sadrži element a»).

Ako je u običnom govoru riječ "skup" povezana s velikim brojem objekata, onda u matematici to nije potrebno. Skup može sadržavati jedan element, ili ne sadržavati nijedan element.

Skup koji ne sadrži nijedan element naziva se prazan i označava se simbolom . Postoji samo jedan prazan set. Primjeri praznog skupa su skup ljudi na Suncu, skup prirodnih korijena jednadžbe X+ 8 = 0.

Skupovi mogu biti konačni ili beskonačni.

Skup se naziva konačnim ako postoji prirodan broj P, tako da se svi elementi skupa mogu numerisati od 1 do P. inače se skup naziva beskonačnim. Primjer konačnog skupa je skup cifara, beskonačan skup je skup prirodnih brojeva.

§ 2. Načini specificiranja skupova

Skup se smatra datim ako se za bilo koji objekt može reći da pripada ovom skupu ili ne.

Skup se može definirati navođenjem svih njegovih elemenata. Snimanje With= (a, b, c, d) znači da je skup With sadrži elemente a, b, c, d.

Svaki element je uključen u set samo jednom. Na primjer, mnogo različitih slova u riječi "matematika" biće napisano ovako: (m, a, t, e, i, k).

Ova metoda je primjenjiva za konačne skupove koji sadrže mali broj elemenata.

Ponekad, koristeći ovu metodu, možete postaviti beskonačan skup. Na primjer, skup prirodnih brojeva može se predstaviti kao: N= (1, 2, 3, 4, ...). Ovakav način snimanja je moguć samo kada je iz snimljenog dela skupa jasno šta se krije ispod tri tačke.

Drugi način specificiranja skupova je sljedeći: specificirajte karakteristično svojstvo njegovih elemenata. Karakteristično svojstvo je svojstvo koje ima svaki element koji pripada skupu, a nema nijedan element koji mu ne pripada.

Dešava se da se jedan te isti skup može specificirati specificiranjem različitih karakterističnih svojstava njegovih elemenata. Na primjer, skup dvocifrenih brojeva djeljivih sa 11 i skup prirodnih brojeva prve stotine zapisanih u dvije identične znamenke sadrže iste elemente.

Ovim načinom postavljanja skup se može napisati na sljedeći način: prvo se u vitičastim zagradama upisuje oznaka elementa, zatim se povlači okomita linija, nakon čega se upisuje svojstvo koje posjeduju elementi ovog skupa. Na primjer, mnogi ALI prirodni brojevi manji od 5 biće zapisani ovako: ALI = {X XN, X < 5}.