Definicija. Normalno nazvana kontinuirana raspodjela vjerovatnoće slučajna varijabla, koji je opisan gustinom vjerovatnoće

Normalna distribucija se također naziva Gaussov zakon.

Zakon normalne distribucije je centralni za teoriju vjerovatnoće. To je zbog činjenice da se ovaj zakon manifestira u svim slučajevima kada je slučajna varijabla rezultat djelovanja velikog broja razni faktori. Svi ostali zakoni distribucije približavaju se normalnom zakonu.

Lako se može pokazati da su parametri I , uključeni u gustinu distribucije su, respektivno, matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable X.

Nađimo funkciju distribucije F(x) .

Zove se dijagram gustine normalne distribucije normalna kriva ili Gaussova kriva.

Normalna kriva ima sljedeća svojstva:

1) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi.

2) Za sve X funkcija raspodjele uzima samo pozitivne vrijednosti.

3) Osa OX je horizontalna asimptota grafa gustine vjerovatnoće, jer uz neograničeno povećanje apsolutne vrijednosti argumenta X, vrijednost funkcije teži nuli.

4) Naći ekstremu funkcije.

Jer at y’ > 0 at x < m I y’ < 0 at x > m, zatim u tački x = t funkcija ima maksimum jednak
.

5) Funkcija je simetrična u odnosu na pravu liniju x = a, jer razlika

(x - a) ulazi u funkciju gustine distribucije na kvadrat.

6) Da bismo pronašli prevojne tačke grafa, nalazimo drugi izvod funkcije gustoće.

At x = m+  i x = m-  drugi izvod je jednak nuli, a pri prolasku kroz ove tačke mijenja predznak, tj. u ovim tačkama funkcija ima fleksiju.

U ovim tačkama, vrijednost funkcije je
.

Napravimo graf funkcije gustine raspodjele (slika 5).

Grafovi su napravljeni za T=0 i tri moguće vrijednosti standardne devijacije  = 1,  = 2 i  = 7. Kao što vidite, kako se vrijednost standardne devijacije povećava, grafik postaje ravniji, a maksimalna vrijednost opada.

Ako ali> 0, tada će se graf pomjeriti u pozitivnom smjeru ako ali < 0 – в отрицательном.

At ali= 0 i  = 1 kriva se zove normalizovano. Normalizirana jednačina krivulje:

Laplaceova funkcija

Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu padne u dati interval.

Označiti

Jer integralni
se ne izražava u terminima elementarnih funkcija, onda funkcija

,

koji se zove Laplaceova funkcija ili integral vjerovatnoće.

Vrijednosti ove funkcije za različite vrijednosti X izračunati i prikazani u posebnim tabelama.

Na sl. 6 prikazuje graf Laplaceove funkcije.

Laplaceova funkcija ima sljedeća svojstva:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplaceova funkcija se također poziva funkcija greške i označavamo erf x.

Još uvijek u upotrebi normalizovano Laplaceova funkcija, koja je povezana s Laplaceovom funkcijom relacijom:

Na sl. 7 prikazuje dijagram normalizirane Laplaceove funkcije.

P tri sigma pravilo

Kada se razmatra normalna distribucija, izdvaja se važan poseban slučaj, poznat kao tri sigma pravilo.

Zapišimo vjerovatnoću od koje je odstupanje normalno raspoređene slučajne varijable matematičko očekivanje manje od podešene vrijednosti :

Ako prihvatimo  = 3, onda dobijamo pomoću tablica vrijednosti Laplaceove funkcije:

One. vjerovatnoća da slučajna varijabla odstupi od svog matematičkog očekivanja za iznos veći od tri puta standardne devijacije je praktično nula.

Ovo pravilo se zove tri sigma pravilo.

U praksi se smatra da ako je za bilo koju slučajnu varijablu zadovoljeno pravilo tri sigme, onda ova slučajna varijabla ima normalnu distribuciju.

Zaključak predavanja:

Na predavanju smo razmatrali zakone raspodjele neprekidnih veličina.U pripremi za naredno predavanje i praktične vježbe treba samostalno dopuniti zapise sa predavanja detaljnim proučavanjem preporučene literature i rješavanjem predloženih problema.

Zamena φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a)

D[π /4]=( /720) ).

№319 Cube edge x izmjereno približno a . Uzimajući u obzir ivicu kocke kao slučajnu varijablu X koja je ravnomjerno raspoređena u intervalu (a,b), pronađite matematičko očekivanje i varijansu volumena kocke.

1. Nađimo matematičko očekivanje površine kruga - slučajnu varijablu Y=φ(K)= - prema formuli

M[φ(X)]=

Stavljanje φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) a nakon integracije dobijamo

M( )=
.

2. Pomoću formule pronađite disperziju površine kruga

D[φ(X)]= - .

Zamena φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) a nakon integracije dobijamo

D = .

№320 Slučajne varijable X i Y su nezavisne i ravnomerno raspoređene: X-u intervalu (a,b), Y-u intervalu (c,d) Naći matematičko očekivanje proizvoda XY.

Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja, tj.

M(XY)=

№321 Slučajne varijable X i Y su nezavisne i ravnomerno raspoređene: X - u intervalu (a,b), Y - u intervalu (c,d). Pronađite varijansu XY proizvoda.

Koristimo formulu

D(XY)=M[

Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja, dakle

Nađimo M po formuli

M[φ(X)]=

Zamena φ(x)= ,f(x)=1/(b-a) i integracijom, dobijamo

M (**)

Slično, nalazimo

M (***)

Zamena M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2, kao i (***) i (**) u (*), konačno dobijamo

D(XY)= -[ .

№322 Matematičko očekivanje normalno raspoređene slučajne varijable X je a=3, a standardna devijacija σ=2. Napišite gustinu vjerovatnoće X.

Koristimo formulu:

f(x)= .

Zamjenom dostupnih vrijednosti dobijamo:

f(x)= = f(x)= .

№323 Napišite gustinu vjerovatnoće normalno raspoređene slučajne varijable X, znajući da je M(X)=3, D(X)=16.

Koristimo formulu:

f(x)= .

Da bismo pronašli vrijednost σ, koristimo svojstvo da je standardna devijacija slučajne varijable X jednaki kvadratni korijen od njegove disperzije. Dakle, σ=4, M(X)=a=3. Zamjenom u formulu dobijemo

f(x)= = .

№324 Normalno raspoređena slučajna varijabla X je data gustoćom

f(x)= . Pronađite matematičko očekivanje i varijansu X.

Koristimo formulu

f(x)= ,

gdje a-očekivana vrijednost, σ -standardna devijacija X. Iz ove formule slijedi da a=M(X)=1. Da bismo pronašli varijansu, koristimo svojstvo da je standardna devijacija slučajne varijable X jednak je kvadratnom korijenu njegove varijanse. Shodno tome D(X)= =

Odgovor: matematičko očekivanje je 1; varijansa je 25.

Bondarchuk Rodion

S obzirom na funkciju distribucije normaliziranog normalnog zakona . Naći gustinu distribucije f(x).

Znajući to , nalazimo f(x).

odgovor:

Dokazati da je Laplaceova funkcija . čudno: .

Napravićemo zamjenu

Napravimo obrnutu zamjenu i dobijemo:

= =

U raznim granama nauke i tehnologije, kao i metrološkoj praksi, zakon normalne distribucije (ili jednostavno normalni zakon) našao je najveću primenu. Mnoge slučajne kontinuirane varijable poštuju ovaj zakon. Široko rasprostranjena upotreba zakona normalne distribucije objašnjava se središnjom graničnom teoremom. Iz ove teoreme slijedi da ako je slučajna varijabla X je zbir međusobno nezavisnih slučajnih varijabli x p x 2, ..., X, utjecaj svakog od njih na cjelokupni iznos je beznačajan, tada bez obzira na to kojim se zakonima raspodjele svaki od pojmova pridržava x p, sama vrijednost X imat će distribuciju vjerovatnoće blisku normalnoj i što je tačnija od više broja uslovi.

Diferencijalna funkcija distribucija ili gustina raspodjele vjerovatnoće slučajnog slučaja kontinuirana vrijednost, prema normalnom zakonu, ima oblik:

gdje je x varijabla slučajna varijabla (rezultat opservacija); Oh, a d je standardna devijacija rezultata posmatranja slučajne komponente njihove greške; t x- matematički

očekivanje; in je baza prirodnih logaritama, e = 2, 71828.

Treba to zapamtiti Oh= a d.

Diferencijalna funkcija normalne distribucije grafički je izražena kao kriva u obliku zvona (Gaussova kriva), prikazana na sl. 5.8.

Funkcija F(A) normalizovane normalne distribucije (Gausov integral) prikazana je u obliku tabele u Dodatku A.

Kao što se vidi na sl. 5.8, kriva normalne distribucije slučajne varijable x rezultata mjerenja je simetrična u odnosu na matematičko očekivanje.

Ako su x rezultati višestrukih opažanja iste determinističke fizička količina, tada je gornja kriva simetrična u odnosu na matematičko očekivanje rezultata ovih opservacija.

Kao što je ranije pomenuto, ako se slučajna greška A sa standardnom devijacijom a d uzme kao slučajna varijabla, ova kriva je simetrična oko y-ose (slika 5.9).

Curve Position P x (x)=/(x) u odnosu na ishodište je određen vrijednošću matematičkog očekivanja. I obično se u praksi ne uzima matematičko očekivanje, već aritmetička sredina rezultata višestrukih opservacija x.

Oblik krive normalne distribucije određen je parametrom a. Kao što je ranije prikazano, što je manje a, kriva postaje vršnija, a njene grane konvergiraju (vidi sliku 5.4).

Vjerovatnoća da rezultat posmatranja padne unutar datog intervala [x p x 2] jednaka je površini ispod krive normalne distribucije, ograničenoj donjim Xj i gornjim x 7 granicama intervala povjerenja (slika 5.10).

Izrazimo to matematički:

Promjenom varijabli i njihovom zamjenom dobijamo

U teoriji vjerojatnosti i mjeriteljstvu, takozvana normalizirana Laplaceova funkcija F(Z) =

= koja je tabelarno. Uslovi racioniranja

su to vrijednost aritmetičke sredine rezultata mjerenja X uzima se jednakim nuli, a standardna devijacija o = 1. U ovom slučaju, parametar je vrijednost

Vrijednosti Laplaceove funkcije date su u Dodatku B. Koristeći Laplaceovu funkciju, može se odrediti vjerovatnoća da se postigne rezultat posmatranja na sljedeći način X u intervalu (x, x 2):

Gornji izraz kaže da je vjerovatnoća da rezultat posmatranja padne u dati interval [h r x-,] jednaka razlici između vrijednosti Laplaceove funkcije u tačkama gornje i donje granice intervala povjerenja .

Kada razmatrate ovu formulu, imajte na umu da je O(-Z) = -0(Z).

Trenuci funkcije distribucije slučajne greške A, raspoređene po normalnom zakonu:

Integralna funkcija normalne distribucije prikazana na sl. 5.11 se izražava u terminima diferencijala na sljedeći način:

Pravilo tri sigma. U praksi je često potrebno procijeniti vjerovatnoću da će odstupanje normalno raspoređene veličine X u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi određenu veličinu, koja se obično uzima jednakom pozitivan broj 8.

Drugim riječima, potrebno je pronaći vjerovatnoću da je nejednakost Xa 5.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem: - b ili (a-b) +5).

Koristeći pravilo da je vjerovatnoća da normalno raspoređena slučajna varijabla padne u dati interval jednaka razlici vrijednosti Laplaceove funkcije na granicama ovog intervala, tj. P(a(3) =

= ", dobijamo

At a = 0 dobijamo

Ako pretpostavimo da je 5 = For, dobijamo

Dakle, vjerovatnoća odstupanja od prave vrijednosti slučajne varijable X u apsolutnoj vrijednosti će biti manje od tri puta standardne devijacije. Ovo je pravilo tri sigma.

Formulira se na sljedeći način: ako je slučajna varijabla normalno raspoređena, onda apsolutna vrijednost maksimalno odstupanje rezultat mjerenja iz matematičkog očekivanja ne prelazi tri puta standardnu ​​devijaciju.

Ovo pravilo se također primjenjuje na sljedeći način: ako je distribucija slučajne varijable nepoznata, ali je ispunjen uvjet specificiran u pravilu tri sigma, onda postoji razlog za pretpostavku da je slučajna varijabla koja se proučava normalno raspoređena, inače ne.

test pitanja

• 1. Funkcija diferencijalne distribucije rezultata mjerenja i slučajne greške, prema normalnom zakonu. Analitička zavisnost, grafički prikaz, početni i centralni momenti.
• 2. Integralna funkcija koja odgovara normalnom zakonu raspodjele.
• 3. Pravilo tri sigme.

Zakon normalne distribucije je najčešći u praksi. Glavna karakteristika koja ga razlikuje od drugih zakona je da je to ograničavajući zakon, kojem se drugi zakoni distribucije približavaju pod vrlo često nailazećim tipičnim uslovima (vidi Poglavlje 6).

Definicija. Kontinuirana slučajna varijabla X imazakon normalne distribucije (Gaussov zakon)sa parametrima a i a 2 , ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik

Termin "normalno" nije u potpunosti uspješan. Mnogi znakovi se pridržavaju normalnog zakona, na primjer, visina osobe, domet projektila i tako dalje. Ali ako se bilo koji znak pokorava drugom, različitom od normalnog, zakonu distribucije, onda to uopće ne govori o "nenormalnosti" pojave povezane s ovim znakom.

Kriva normalne distribucije se naziva normalno, ili Gaussian, krivo. Na sl. 4.6, ali, 6 data je normalna kriva φ, (x) sa parametrima d00 2, tj. I[a a 2), i graf funkcije distribucije slučajne varijable X, koji ima normalan zakon. Imajte na umu da je normalna kriva simetrična u odnosu na pravu liniju. x = a, ima maksimum u tački X= ali,

jednaka , tj.

I dvije prevojne tačke x = a±

sa ordinatom

Može se vidjeti da su u izrazu za gustinu normalnog zakona parametri označeni slovima ali i st 2 , kojim označavamo matematičko očekivanje M(X) i disperzija OH). Takva koincidencija nije slučajna. Razmotrimo teoremu koja utvrđuje vjerovatnoća značenja parametara normalnog zakona.

Teorema. Matematičko očekivanje slučajne varijable X distribuirane prema normalnom zakonu jednako je parametru a ovog zakona, one.

ali njegova varijansa - parametar a 2 , tj.

Matematičko očekivanje slučajne varijable X:

Vršimo promjenu varijable postavljanjem

Onda granice integracije se ne mijenjaju

i stoga

(prvi integral jednak je nuli kao integral neparne funkcije na intervalu simetričnom u odnosu na ishodište koordinata, a drugi integral je Euler-Poissonov integral).

Varijanca slučajne varijable X:

Napravimo istu promjenu varijable x = a + o^2 t, kao u proračunu prethodnog integrala. Onda

Primenom metode integracije po delovima dobijamo

Saznajte kako će se normalna kriva promijeniti prilikom promjene parametara ali i sa 2 (ili a). Ako je a = const, i parametar se mijenja a (a x a 3), tj. centar simetrije distribucije, tada će se normalna kriva pomjeriti duž x-ose bez promjene oblika (slika 4.7).

Ako a = const i parametar a 2 (ili a) se mijenja, a zatim se mijenja ordinata

maksimum krive Kako a raste, ordinata maksimuma

kriva se smanjuje, ali pošto površina ispod bilo koje krive raspodjele mora ostati jednaka jedinici, kriva postaje ravnija, protežući se duž x-ose; kada se smanjuje su, naprotiv, normalna kriva se proteže prema gore, istovremeno se skupljajući sa strane. Na sl. 4.8 prikazuje normalne krive sa parametrima a 1 (o 2 i a 3, gdje je o, ali(aka matematičko očekivanje) karakteriše položaj centra, a parametar a 2 (aka disperzija) karakteriše oblik normalne krive.

Normalna distribucija slučajne varijable X sa parametrima ali= 0, st 2 = 1, g.u. X ~ N( 0; 1), zove se standard ili normalizovano a odgovarajuća normalna kriva je standard ili normalizovano.

Teškoća direktnog pronalaženja funkcije distribucije slučajne varijable raspoređene prema normalnom zakonu prema formuli (3.23) i vjerovatnoća njenog pada u određeni interval prema formuli (3.22) povezana je s činjenicom da je integral funkcija (4.26) je "nenaplativa" u elementarne funkcije. Stoga se izražavaju kroz funkciju

- funkcija (integral vjerovatnoće) Laplace, za koje su stolovi napravljeni. Podsjetimo da smo se već susreli s Laplaceovom funkcijom kada smo razmatrali Moivreov - Laplaceov integralni teorem (vidi odjeljak 2.3). Tamo su razmatrana i njegova svojstva. Geometrijski, Laplaceova funkcija F(.s) je površina ispod standardne normalne krive na segmentu [-X; X] (Sl. 4.9) 1 .

Rice. 4.10

Rice. 4.9

Teorema. Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspoređena prema normalnom zakonu, izražava se u terminima Laplaceove funkcije F(h) prema formuli

Prema formuli (3.23), funkcija distribucije:

Napravimo promjenu varijable, pod pretpostavkom X-> -oo? -" -00, dakle

1 Uz integral vjerovatnoće oblika (4.29), koji predstavlja funkciju F(h), u literaturi se koriste i njegovi izrazi u obliku drugih tabeliranih funkcija:

koje su površine standardne normalne krive, respektivno, na intervalima (0; x], (-oo; x], [-x>/2; Xl/2 .

Prvi integral

(zbog jednakosti integranda i činjenice da je Euler-Poissonov integral jednak [to).

Drugi integral, uzimajući u obzir formulu (4.29), je

Geometrijski, funkcija distribucije je površina ispod normalne krive na intervalu (-co, x) (slika 4.10). Kao što vidite, sastoji se od dva dela: prvog, na intervalu (-oo, ali), jednako 1/2, tj. polovina cijele površine ispod normalne krive, a druga, na intervalu (i, x),

jednaka

Razmotrite svojstva slučajne varijable distribuirane prema normalnom zakonu.

1. Vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X, raspoređene prema normalnom zakonu, in interval[x 1(x 2 ], je jednako sa

S obzirom da je, prema svojstvu (3.20), vjerovatnoća P(x,

gde su i G 2 određene formulom (4.33) (slika 4.11). ?

2. Vjerovatnoća da odstupanje slučajne varijable X, raspoređene prema normalnom zakonu, od matematičkog očekivanja a neće premašiti vrijednost A > 0 ( u apsolutnoj vrijednosti), jednako je

kao i svojstvo neparnosti Laplaceove funkcije, dobijamo

gdje? \u003d D / o (slika 4.12). ?

Na sl. 4.11 i 4.12 daju geometrijsku interpretaciju svojstava normalnog zakona.

Komentar. Razmatrano u pogl. 2 približna integralna formula Moivre - Laplacea (2.10) slijedi iz svojstva (4.32) normalno raspoređene slučajne varijable sa x (= a, x 2 = b) a = pr I Dakle

kao binomni zakon distribucije slučajne varijable x=t sa parametrima P I R, za koje je dobijena ova formula, at n -> oc teži normalnom zakonu (vidi Poglavlje 6).

Slično, posljedice (2.13), (2.14) i (2.16) Moivre-Laplaceove integralne formule za broj x=t nastanak događaja u P nezavisni testovi i njihova učestalost t/n proizlaze iz svojstava (4.32) i (4.34) normalnog zakona.

Izračunajmo po formuli (4.34) vjerovatnoće P(X-a e) pri različitim vrijednostima D (koristimo tabelu II priloga). Get

Otuda dolazi "pravilo tri sigme".

Ako slučajna varijabla X ima normalan zakon raspodjele s parametrima a i a 2 , tj. M(a; a 2), tada je gotovo sigurno da su njegove vrijednosti u intervalu(a - za, ali+ Za).

Kršenje "pravila tri sigme", tj. devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X više od 3a (ali u apsolutnoj vrijednosti), je događaj koji je praktično nemoguć, jer je njegova vjerovatnoća vrlo mala:

Imajte na umu da je odstupanje D in, pri kojem , zove se

vjerovatno odstupanje. Za normalni zakon D u « 0,675a, tj. po intervalu (ali - 0.675a, ali+ 0,675a) čini polovinu ukupne površine ispod normalne krive.

Pronađite koeficijent asimetrije i eksces slučajne varijable x, distribuiraju prema uobičajenom zakonu.

Očigledno, zbog simetrije normalne krive u odnosu na vertikalnu liniju x = a, prolazi kroz distributivni centar a \u003d M (X), koeficijent asimetrije normalne distribucije L \u003d 0.

Kurtoza normalno raspoređene slučajne varijable X nalazimo po formuli (3.37), tj.

gde si to naučio centralni trenutak 4. reda, pronađeno po formuli (3.30) uzimajući u obzir definiciju (4.26), tj.

(izostavljamo računanje integrala).

Na ovaj način, eksces normalne distribucije je nula a strmina ostalih distribucija je definirana u odnosu na normalnu (to smo već spomenuli u odjeljku 3.7).

O Primjer 4.9. Pod pretpostavkom da je visina muškaraca određene starosne grupe normalno raspoređena slučajna varijabla X sa parametrima ali= 173 i a 2 = 36:

• 1) Pronađite: a) izraz za gustinu vjerovatnoće i funkciju distribucije slučajne varijable x; b) udio kostima 4. visine (176-182 cm) i 3. visine (170-176 cm), koji se mora predvidjeti u ukupnom obimu proizvodnje za ovu starosnu grupu; c) kvantil x 07 i 10% slučajne varijabilne tačke x.
• 2) Formulirajte "pravilo tri sigme" za slučajnu varijablu X. Odluka. 1, a) Koristeći formule (4.26) i (4.30), pišemo

1, b) Udeo odela 4. visine (176-182 cm) u ukupnoj proizvodnji određuje se formulom (4.32) kao verovatnoća

(Sl. 4.14), pošto prema formulama (4.33)

Udio odijela 3. visine (170-176 cm) mogao bi se odrediti slično formuli (4.32), ali je to lakše učiniti pomoću formule (4.34), s obzirom da je ovaj interval simetričan u odnosu na matematičko očekivanje ali = M(X) = 173 tj. nejednakost 170 X X -173|

(vidi sliku 4.14;.

1, c) Kvantil x 07(vidi paragraf 3.7) slučajna varijabla X nalazimo iz jednačine (3.29) uzimajući u obzir formulu (4.30):

gdje

Prema tabeli 11 aplikacija koje smo pronašli ja- 0,524 i

To znači da je 70% muškaraca ove starosne grupe niže od 176 cm.

• 10% poena - kvantil ega x 09 = 181 cm (na sličan način), tj. 10% muškaraca je visoko najmanje 181 cm.
• 2) Gotovo je sigurno da se rast muškaraca ove starosne grupe nalazi u granicama od ali- Z = 173 - 3 6 = 155 do a + Zet \u003d 173 + 3 - 6 \u003d \u003d 191 (cm), tj. 155

  Zbog posebnosti zakona normalne distribucije navedenih na početku pasusa (i u poglavlju 6), on zauzima centralno mjesto u teoriji i praksi vjerovatno-statističkih metoda. Veliki teorijski značaj normalnog zakona leži u činjenici da se uz njegovu pomoć dobija niz važnih distribucija koje se razmatraju u nastavku.

  • Strelice na sl. 4.11-4.13 uslovno označena površina i d i odgovarajuće brojke ispod normalne krive.
  • Vrijednosti Laplaceove funkcije F(x) određene su iz tabele. II aplikacije.

Razmotrite normalnu distribuciju. Korištenje funkcijeMS EXCELNORM.DIST() nacrtajmo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Hajde da generišemo niz slučajni brojevi raspoređeni po normalnom zakonu, procijenićemo parametre distribucije, srednju vrijednost i standardnu ​​devijaciju.

Normalna distribucija(naziva se i Gausova distribucija) je najvažnija u teoriji i primjeni sistema kontrole kvaliteta. važnost vrednosti normalna distribucija(engleski) Normalnodistribucija) u mnogim oblastima nauke sledi iz teorije verovatnoće.

Definicija: Slučajna vrijednost x distribuirao normalan zakon ako ima:

Normalna distribucija zavisi od dva parametra: μ (mu)- je , i σ ( sigma)- je ( standardna devijacija). Parametar μ određuje položaj centra gustina vjerovatnoće normalna distribucija, a σ je širenje oko centra (srednja vrijednost).

Bilješka: Utjecaj parametara μ i σ na oblik raspodjele opisan je u članku o , i u primjer datoteke na radnom listu Utjecaj na postavke možete koristiti za promatranje promjene oblika krivulje.

Normalna distribucija u MS EXCEL-u

U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za normalna distribucija postoji funkcija NORM.DIST(), engleski naziv je NORM.DIST(), što vam omogućava da izračunate gustina vjerovatnoće(vidi formulu iznad) i integralna funkcija distribucije(vjerovatnoća da je slučajna varijabla X raspoređena po normalan zakon, uzima vrijednost manju ili jednaku x). Izračuni u potonjem slučaju se vrše prema sljedećoj formuli:

Gornja distribucija ima oznaku N(μ; σ). Također se često koristi notacija kroz N(μ; σ 2).

Bilješka: Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao samo funkciju NORMDIS(), koja vam također omogućava da izračunate funkciju distribucije i gustinu vjerovatnoće. NORMDIST() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.

standardna normalna distribucija

standardna normalna distribucija pozvao normalna distribucija sa μ=0 i σ=1. Gornja distribucija ima oznaku N(0;1).

Bilješka: U literaturi, za slučajnu varijablu raspoređenu po standard normalan zakon, posebna oznaka z je fiksna.

Bilo koji normalna distribucija može se konvertovati u standard kroz promjenjivu zamjenu z=(x-μ)/σ . Ovaj proces transformacije se zove standardizacija.

Bilješka: MS EXCEL ima funkciju NORMALIZE() koja izvodi gornju transformaciju. Iako se u MS EXCEL-u ova transformacija naziva iz nekog razloga normalizacija. Formule =(x-μ)/σ i =NORMALIZACIJA(x;μ;σ)će vratiti isti rezultat.

U MS EXCEL 2010 for dostupan posebna funkcija NORM.ST.DIST() i njegovo naslijeđe NORMSDIST() , koji izvodi slične proračune.

Hajde da demonstriramo kako se proces standardizacije sprovodi u MS EXCEL-u normalna distribucija N(1,5; 2).

Da bismo to učinili, izračunavamo vjerovatnoću da je slučajna varijabla raspoređena normalan zakon N(1,5; 2), manji ili jednak 2,5. Formula izgleda ovako: =NORM.DIST(2.5, 1.5, 2, TRUE)=0,691462. Promjenom varijable z=(2,5-1,5)/2=0,5 , napišite formulu za izračunavanje Standardna normalna distribucija:=NORM.ST.DIST(0.5, TRUE)=0,691462.

Naravno, obje formule daju iste rezultate (vidi Sl. primjer lista datoteke Primjer).

Zapiši to standardizacija odnosi se samo na (argument integralni jednako TRUE), ne gustina vjerovatnoće.

Bilješka: U literaturi, za funkciju koja izračunava vjerovatnoće slučajne varijable raspoređene po standard normalan zakon, fiksna je posebna oznaka F(z). U MS EXCEL-u ova funkcija se izračunava po formuli
=NORM.ST.DIST(z,TRUE). Proračuni se vrše prema formuli

Pošto je funkcija parna distribucija f(x), odnosno f(x)=f(-x), funkcija standardna normalna distribucija ima svojstvo F(-x)=1-F(x).

Inverzne funkcije

Funkcija STANDARDI.DIST(x;TRUE) izračunava vjerovatnoću P da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju ili jednaku x. Ali često morate da uradite obrnuti proračun: znajući verovatnoću P, želite da izračunate vrednost x. Izračunata vrijednost x se poziva standard normalna distribucija.

U MS EXCEL-u za proračun kvantili koristite funkcije NORM.ST.INV() i NORM.INV().

Funkcionalni grafovi

Datoteka primjera sadrži grafikoni gustine distribucije vjerovatnoće i integralna funkcija distribucije.

Kao što znate, oko 68% vrijednosti odabrano je iz populacije sa normalna distribucija, su unutar 1 standardne devijacije (σ) od μ (srednja vrijednost ili matematičko očekivanje); oko 95% je unutar 2 σ, a već je 99% vrijednosti unutar 3 σ. Pobrinite se za ovo standardna normalna distribucija možete napisati formulu:

=NORM.ST.DIST(1,TRUE)-NORM.ST.DIST(-1,TRUE)

koji će vratiti vrijednost od 68,2689% - ovo je postotak vrijednosti koje su unutar +/-1 standardne devijacije od srednji(cm. list Grafikon u primjeru datoteke).

Pošto je funkcija parna standard gustine normalan distribucije: f(x)= f(-X), funkcija standardna normalna distribucija ima svojstvo F(-x)=1-F(x). Stoga se gornja formula može pojednostaviti:

=2*NORM.ST.DIST(1;TRUE)-1

Za proizvoljno normalne funkcije distribucije N(μ; σ) slične proračune treba napraviti koristeći formulu:

2* NORM.DIST(μ+1*σ;μ;σ;TRUE)-1

Gore navedeni proračuni vjerovatnoće su potrebni za .

Bilješka: Za praktičnost pisanja formule u datoteci primjera kreirane su za parametre distribucije: μ i σ.

Generisanje slučajnih brojeva

Hajde da generišemo 3 niza od 100 brojeva sa različitim μ i σ. Da biste to učinili, u prozoru Generacija slučajni brojevi postavite sljedeće vrijednosti za svaki par parametara:

Bilješka: Ako postavite opciju Slučajno rasipanje (Slučajno sjeme), tada možete odabrati određeni nasumični skup generiranih brojeva. Na primjer, postavljanjem ove opcije na 25, možete generirati iste skupove slučajnih brojeva na različitim računarima (ako su, naravno, drugi parametri distribucije isti). Vrijednost opcije može imati cjelobrojne vrijednosti od 1 do 32 767. Naziv opcije Slučajno rasipanje može zbuniti. Bilo bi bolje da se to prevede kao Postavite broj sa slučajnim brojevima.

Kao rezultat, imaćemo 3 kolone brojeva na osnovu kojih je moguće procijeniti parametre distribucije iz koje je uzorak napravljen: μ i σ . Procjena za μ se može napraviti pomoću funkcije AVERAGE(), a za σ pomoću funkcije STDEV.V(), vidi dolje. primjer lista datoteka Generacija.

Bilješka: Za generiranje niza brojeva raspoređenih po normalan zakon, možete koristiti formulu =NORM.INV(RAND();μ;σ). Funkcija RAND() generiše od 0 do 1, što upravo odgovara opsegu promene verovatnoće (vidi dole). primjer lista datoteka Generacija).

Zadaci

Zadatak1. Kompanija proizvodi najlonske niti prosječne čvrstoće od 41 MPa i standardne devijacije od 2 MPa. Potrošač želi kupiti navoje jačine od najmanje 36 MPa. Izračunajte vjerovatnoću da će serije konca koje kompanija proizvodi za potrošača ispuniti ili premašiti zahtjeve.
Rješenje1: =1-NORM.DIST(36,41,2,TRUE)

Zadatak2. Kompanija proizvodi cijevi prosječnog vanjskog prečnika od 20,20 mm i standardne devijacije od 0,25 mm. Prema specifikacijama, cijevi se smatraju prikladnima ako je prečnik unutar 20,00+/- 0,40 mm. Koji udio proizvedenih cijevi zadovoljava specifikacije?
Rješenje2: = NORM.DIST(20.00+0.40;20.20;0.25;TRUE)- NORM.DIST(20.00-0.40;20.20;0.25)
Na donjoj slici je istaknut raspon vrijednosti prečnika, koji zadovoljava zahtjeve specifikacije.

Rešenje je dato u primjer lista datoteka Zadaci.

Zadatak3. Kompanija proizvodi cijevi prosječnog vanjskog prečnika od 20,20 mm i standardne devijacije od 0,25 mm. Vanjski prečnik ne smije prelaziti određenu vrijednost(pod pretpostavkom da donja granica nije važna). Koja gornja granica u tehničkim specifikacijama mora biti postavljena da joj odgovara 97,5% svih proizvedenih proizvoda?
Rješenje3: =NORM.INV(0,975, 20,20, 0,25)=20,6899 ili
=NORM.ST.OBR(0,975)*0,25+20,2(proizvedena "destandardizacija", vidi gore)

Zadatak 4. Pronalaženje parametara normalna distribucija po vrijednostima 2 (ili ).
Pretpostavimo da znamo da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju, ali njeni parametri nisu poznati, već samo 2. percentil(na primjer, 0,5- percentil, tj. medijan i 0,95 percentil). Jer je poznato, onda znamo , tj. μ. Da biste pronašli morate koristiti .
Rešenje je dato u primjer lista datoteka Zadaci.

Bilješka: Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkcije NORMINV() i NORMINV(), koje su ekvivalentne NORM.INV() i NORM.INV() . NORMINV() i NORMINV() su ostavljeni u MS EXCEL 2010 i novijim samo radi kompatibilnosti.

Linearne kombinacije normalno raspoređenih slučajnih varijabli

To je poznato linearna kombinacija normalno raspoređene slučajne varijable x(i) sa parametrima μ (i) i σ (i) takođe normalno raspoređeni. Na primjer, ako je slučajna varijabla Y=x(1)+x(2), tada će Y imati distribuciju s parametrima μ (1)+μ(2) I ROOT(σ(1)^2+ σ(2)^2). Ovo ćemo provjeriti koristeći MS EXCEL.