U matematici postoji mnogo različitih matematičkih izraza, a neki od njih imaju svoja fiksna imena. Moramo se upoznati s jednim od ovih pojmova - ovo je monom.
Monom je matematički izraz koji se sastoji od proizvoda brojeva, varijabli, od kojih svaka može biti uključena u proizvod u određenoj mjeri. Da biste bolje razumjeli novi koncept, morate se upoznati s nekoliko primjera.
Primjeri monoma
Izrazi 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 su singletons. Kao što vidite, broj ili varijabla sami (sa ili bez stepena) su također monom. Ali, na primjer, izrazi 2+s, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 su već nisu monomalni jer se ne uklapaju u definiciju. Prvi izraz koristi "zbir", što nije dozvoljeno, drugi koristi "dijeljenje", a treći koristi razliku.
Razmislite još nekoliko primjera.
Na primjer, izraz 2*a^3*b/3 je također monom, iako je tu podjela prisutna. Ali u ovom slučaju, podjela se događa brojem, pa se odgovarajući izraz može prepisati na sljedeći način: 2/3*a^3*b. Još jedan primjer: Koji od izraza 2/x i x/2 je monom, a koji nije? tačan odgovor da prvi izraz nije monom, već drugi.
Standardni oblik monoma
Pogledajte sljedeća dva monomska izraza: ¾*a^2*b^3 i 3*a*1/4*b^3*a. U stvari, ovo su dva identična monoma. Nije li istina da prvi izraz izgleda zgodnije od drugog?
Razlog za to je što je prvi izraz napisan u standardnom obliku. Standardni oblik polinoma je proizvod sastavljen od numeričkog faktora i stepena različitih varijabli. Numerički faktor se naziva monomski koeficijent.
Da bi se monom doveo u njegov standardni oblik, dovoljno je pomnožiti sve numeričke faktore prisutne u monomu i na prvo mjesto staviti rezultirajući broj. Zatim pomnožite sve potencije koje imaju istu slovnu osnovu.
Redukcija monoma na njegov standardni oblik
Ako u našem primjeru u drugom izrazu pomnožimo sve numeričke faktore 3 * 1/4, a zatim pomnožimo a * a, dobićemo prvi monom. Ova radnja se zove dovođenje monoma u njegov standardni oblik.
Ako se dva monoma razlikuju samo po numeričkom koeficijentu ili su međusobno jednaki, onda se takvi monomi u matematici nazivaju sličnima.
Monomi su jedan od glavnih tipova izraza koji se proučavaju u okviru školskog kursa algebre. U ovom materijalu ćemo vam reći šta su ovi izrazi, definisati njihov standardni oblik i pokazati primere, kao i baviti se srodnim pojmovima, kao što su stepen monoma i njegov koeficijent.
Šta je monom
Školski udžbenici obično daju sljedeću definiciju ovog pojma:
Definicija 1
Monomeri uključuju brojevi, varijable, kao i njihovi stepeni sa prirodni pokazatelj I različite vrste djela napravljena od njih.
Na osnovu ove definicije možemo dati primjere takvih izraza. Dakle, svi brojevi 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 će se odnositi na monome. Sve varijable, na primjer, x , a , b , p , q , t , y , z će također biti monomi po definiciji. Ovo također uključuje potencije varijabli i brojeva, na primjer, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 i t 15, kao i izrazi poput 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z itd. Imajte na umu da monom može uključivati ili jedan broj ili promjenljivu, ili nekoliko, a mogu se spominjati nekoliko puta kao dio jednog polinoma.
Takve vrste brojeva kao što su celi brojevi, racionalni, prirodni takođe pripadaju monomima. Također može uključivati stvarne i kompleksni brojevi. Dakle, izrazi poput 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 će takođe biti monomi.
Šta je standardni oblik monoma i kako pretvoriti izraz u njega
Radi praktičnosti, svi monomi prvo vode do posebna vrsta naziva se standardnim. Hajde da budemo konkretni šta ovo znači.
Definicija 2
Standardni oblik monoma nazovite ga takvim oblikom u kojem je proizvod brojčanog faktora i prirodni stepeni različite varijable. Numerički faktor, koji se naziva i monomski koeficijent, obično se prvo piše s lijeve strane.
Radi jasnoće biramo nekoliko monoma standardnog oblika: 6 (ovo je monom bez varijabli), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Ovo takođe uključuje izraz x y(ovdje će koeficijent biti jednak 1), − x 3(ovdje je koeficijent - 1).
Sada dajemo primjere monoma koje treba dovesti u standardni oblik: 4 a a 2 a 3(ovdje trebate kombinirati iste varijable), 5 x (− 1) 3 y 2(ovdje trebate kombinirati numeričke faktore na lijevoj strani).
Obično, u slučaju kada monom ima nekoliko varijabli napisanih slovima, faktori slova se pišu abecednim redom. Na primjer, željeni unos 6 a b 4 c z 2, kako b 4 6 a z 2 c. Međutim, redoslijed može biti drugačiji ako to zahtijeva svrha izračunavanja.
Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Da biste to učinili, morate izvršiti sve potrebne identične transformacije.
Koncept stepena monoma
Prateći pojam stepena monoma je veoma važan. Zapišimo definiciju ovog pojma.
Definicija 3
Stepen monoma, napisan u standardnom obliku, je zbir eksponenata svih varijabli koje su uključene u njegov zapis. Ako u njemu nema nijedne varijable, a sam monom je različit od 0, tada će njegov stepen biti nula.
Navedimo primjere stupnjeva monoma.
Primjer 1
Dakle, monom a ima stepen 1 jer je a = a 1 . Ako imamo monom 7, onda će on imati nulti stepen, jer nema varijabli i različit je od 0. I evo unosa 7 a 2 x y 3 a 2 bit će monom 8. stepena, jer će zbir eksponenata svih stupnjeva varijabli uključenih u njega biti jednak 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Standardizovani monom i originalni polinom imaće isti stepen.
Primjer 2
Hajde da pokažemo kako izračunati stepen monoma 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. U standardnom obliku, može se napisati kao − 6 x 8 y 4. Izračunavamo stepen: 8 + 4 = 12 . Dakle, stepen originalnog polinoma je takođe jednak 12.
Koncept monomskog koeficijenta
Ako imamo standardizirani monom koji uključuje barem jednu varijablu, onda o njemu govorimo kao o proizvodu s jednim numeričkim faktorom. Ovaj faktor se naziva numerički koeficijent ili monomski koeficijent. Hajde da zapišemo definiciju.
Definicija 4
Koeficijent monoma je numerički faktor monoma svedenog na standardni oblik.
Uzmimo, na primjer, koeficijente raznih monoma.
Primjer 3
Dakle, u izrazu 8 a 3 koeficijent će biti broj 8, i in (− 2 , 3) x y z oni ce − 2 , 3 .
Posebnu pažnju treba obratiti na koeficijente jednake jedan i minus jedan. Oni po pravilu nisu eksplicitno naznačeni. Vjeruje se da je u monomu standardnog oblika, u kojem nema numeričkog faktora, koeficijent 1, na primjer, u izrazima a, x z 3, a t x, jer se mogu smatrati 1 a, x z 3 - kako 1 x z 3 itd.
Slično, u monomima koji nemaju numerički faktor i koji počinju sa predznakom minus, možemo uzeti u obzir koeficijent - 1.
Primjer 4
Na primjer, izrazi − x, − x 3 y z 3 će imati takav koeficijent, jer se mogu predstaviti kao − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 itd.
Ako monom uopšte nema ni jedan literalni množilac, onda se i u ovom slučaju može govoriti o koeficijentu. Koeficijenti takvih monoma-brojeva bit će sami ovi brojevi. Tako će, na primjer, koeficijent monoma 9 biti jednak 9.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Koncept monoma
Definicija monoma: monom je algebarski izraz koji koristi samo množenje.
Standardni oblik monoma
Koji je standardni oblik monoma? Monom se piše u standardnom obliku, ako ima na prvom mjestu brojčani faktor i taj faktor, zove se koeficijent monoma, u monomu je samo jedan, slova monoma su raspoređena po abecednom redu i svako slovo se pojavljuje samo jednom.
Primjer monoma u standardnom obliku:
ovdje je na prvom mjestu broj, koeficijent monoma, a ovaj broj je samo jedan u našem monomu, svako slovo se pojavljuje samo jednom i slova su poređana po abecednom redu, u ovom slučaju to je latinica.
Još jedan primjer monoma u standardnom obliku:
svako slovo se javlja samo jednom, poređano je latiničnim abecednim redom, ali gdje je koeficijent monoma, tj. faktor broja koji bi trebao biti prvi? Ovdje je jednako jedan: 1adm.
Može li monomski koeficijent biti negativan? Da, možda, primjer: -5a.
Može li monomski koeficijent biti razlomak? Da, možda, primjer: 5.2a.
Ako se monom sastoji samo od broja, tj. nema slova, kako to dovesti u standardni obrazac? Svaki monom koji je broj već je u standardnom obliku, na primjer: broj 5 je monom standardnog oblika.
Redukcija monoma na standardni oblik
Kako dovesti monom u standardni oblik? Razmotrite primjere.
Neka je zadan monom 2a4b, moramo ga dovesti u standardni oblik. Pomnožimo dva njegova brojčana faktora i dobijemo 8ab. Sada je monom zapisan u standardnom obliku, tj. ima samo jedan numerički faktor, napisan na prvom mjestu, svako slovo u monomu se pojavljuje samo jednom, a ova slova su raspoređena po abecednom redu. Dakle 2a4b = 8ab.
Dato je: monom 2a4a, dovesti monom u standardni oblik. Pomnožimo brojeve 2 i 4, proizvod aa zamjenjujemo drugim stepenom a 2 . Dobijamo: 8a 2 . Ovo je standardni oblik ovog monoma. Dakle, 2a4a = 8a 2 .
Slični monomi
Šta su slični monomi? Ako se monomi razlikuju samo po koeficijentima ili su jednaki, onda se nazivaju sličnima.
Primjer sličnih monoma: 5a i 2a. Ovi monomi se razlikuju samo po koeficijentima, što znači da su slični.
Jesu li monomi 5abc i 10cba slični? Drugi monom dovodimo u standardni oblik, dobijamo 10abc. Sada je jasno da se monomi 5abc i 10abc razlikuju samo po svojim koeficijentima, što znači da su slični.
Sabiranje monoma
Koliki je zbir monoma? Možemo samo sabrati slične monome. Razmotrimo primjer sabiranja monoma. Koliki je zbir monoma 5a i 2a? Zbir ovih monoma će biti monom sličan njima, čiji je koeficijent jednak zbiru koeficijenata članova. Dakle, zbir monoma je 5a + 2a = 7a.
Još primjera sabiranja monoma:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Opet. Možete dodati samo slične monome; sabiranje se svodi na sabiranje njihovih koeficijenata.
Oduzimanje monoma
Koja je razlika između monoma? Možemo samo oduzeti slične monome. Razmotrimo primjer oduzimanja monoma. Koja je razlika između monoma 5a i 2a? Razlika ovih monoma će biti monom sličan njima, čiji koeficijent jednaka je razlici koeficijenti ovih monoma. Dakle, razlika monoma je jednaka 5a - 2a = 3a.
Još primjera oduzimanja monoma:
10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Množenje monoma
Šta je proizvod monoma? Razmotrimo primjer:
one. proizvod monoma je jednak monomu čiji su faktori sastavljeni od faktora originalnih monoma.
Drugi primjer:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Kako je došlo do ovog rezultata? Svaki faktor ima "a" u stepenu: u prvom - "a" u stepenu od 2, au drugom - "a" u stepenu od 5. To znači da će proizvod imati "a" u stepenu od 7, jer se pri množenju identičnih slova njihovi eksponenti sabiraju:
A 2 * a 5 = a 7 .
Isto važi i za faktor "b".
Koeficijent prvog faktora je jednak dva, a drugog - jedan, pa kao rezultat dobijamo 2 * 1 = 2.
Ovako je izračunat rezultat 2a 7 b 12.
Iz ovih primjera se može vidjeti da se koeficijenti monoma množe, a ista slova zamjenjuju zbirom njihovih stupnjeva u proizvodu.
I. Izrazi koji se sastoje od brojeva, varijabli i njihovih potencija, uz pomoć množenja, nazivaju se monomi.
Primjeri monoma:
ali) a; b) ab; u) 12; G)-3c; e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; e)-123,45xy 5 z; g) 8ac∙2.5a 2∙(-3c 3).
II. Ova vrsta monoma, kada je brojčani faktor (koeficijent) na prvom mjestu, a zatim varijable sa svojim snagama, naziva se standardnim tipom monoma.
Dakle, monomi dati gore, ispod slova a B C), G) I e) ispisani su u standardnom obliku, a monomi ispod slova e) I g) potrebno ga je dovesti u standardni oblik, odnosno u takav oblik kada je brojčani faktor na prvom mjestu, a iza njega se upisuju literalni faktori sa svojim indikatorima, štaviše, literalni faktori su po abecednom redu. Dajemo monome e) I g) na standardni pogled.
e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85.75a2b3;
g) 8ac∙2.5a 2∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.Zbir eksponenata svih varijabli koje čine monom naziva se stepen monoma.
Primjeri. Koji stepen imaju monomi a) - g)?
aa. Prvo;
b) ab. Sekunda: ali na prvom stepenu i b u prvom stepenu - zbir indikatora 1+1=2 ;
u) 12. Nula, pošto nema abecednih faktora;
G) -3c. Prvo;
e) -85,75a 2 b 3 . Peto. Sveli smo ovaj monom na standardni oblik, imamo ali u drugom stepenu i b u trećem. Dodavanje indikatora: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Sedmo. Dodao eksponente doslovnih faktora: 1+5+1=7 ;
g) -60a 3 c 3 .Šesto, od zbira indikatora literalnih množitelja 3+3=6 .
IV. Monomi koji imaju isti dio slova nazivaju se slični monomi.
Primjer. Navedite slične monome među datim monomima 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98.7a 2bac; 5) 10aaa 2x; 6) -2.3a 4x; 7) 34x2y.
Dajemo monome 1), 4) I 5) na standardni pogled. Tada će linija ovih monoma izgledati ovako:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98.7a 3bc; 5) 10a 4x; 6) -2.3a 4x; 7) 34x2y.
Slični će biti i oni koji imaju isti slovni dio, tj. 1) i 3) ; 2) i 4); 5) i 6).
1) 3a 2 b 2 c i 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4.1a 3bc i 4) 98.7a 3bc;
5) 10a 4 x i 6) -2.3a 4x.
Primijetili smo da bilo koji monom može biti dovesti u standardni oblik. U ovom članku ćemo razumjeti što se naziva redukcijom monoma na standardni oblik, koje radnje omogućuju da se ovaj proces provede i razmotrit ćemo rješenja primjera s detaljnim objašnjenjima.
Navigacija po stranici.
Šta znači dovesti monom u standardni oblik?
Pogodno je raditi sa monomima kada su napisani u standardnom obliku. Međutim, monomi se često daju u obliku različitom od standardnog. U ovim slučajevima, uvijek je moguće prijeći sa originalnog monoma na monom standardnog oblika izvođenjem identičnih transformacija. Proces izvođenja takvih transformacija naziva se redukcija monoma na standardni oblik.
Hajde da generalizujemo gornje rezonovanje. Dovedite monom u standardni oblik- to znači izvršiti takve identične transformacije s njim tako da poprimi standardni oblik.
Kako dovesti monom u standardni oblik?
Vrijeme je da shvatimo kako dovesti monome u standardni oblik.
Kao što je poznato iz definicije, monomi nestandardnog oblika su proizvodi brojeva, varijabli i njihovih potencija, a moguće i onih koji se ponavljaju. A monom standardnog oblika može sadržavati u svom zapisu samo jedan broj i neponovljive varijable ili njihove stepene. Sada ostaje razumjeti kako se proizvodi prvog tipa mogu svesti na oblik drugog?
Da biste to učinili, trebate koristiti sljedeće pravilo za svođenje monoma na standardni oblik koji se sastoji od dva koraka:
- Prvo se vrši grupisanje brojčanih faktora, kao i identičnih varijabli i njihovih stepeni;
- Drugo, proizvod brojeva se izračunava i primjenjuje.
Kao rezultat primjene zvučnog pravila, svaki monom će se svesti na standardni oblik.
Primjeri, rješenja
Ostaje naučiti kako primijeniti pravilo iz prethodnog paragrafa prilikom rješavanja primjera.
Primjer.
Dovedite monom 3·x·2·x 2 u standardni oblik.
Rješenje.
Grupirajmo numeričke faktore i faktore sa promenljivom x. Nakon grupisanja, originalni monom će poprimiti oblik (3 2) (x x 2) . Umnožak brojeva u prvim zagradama je 6, a pravilo za množenje stepena sa istim osnovama dozvoljava da se izraz u drugim zagradama predstavi kao x 1 +2=x 3. Kao rezultat, dobijamo polinom standardnog oblika 6·x 3 .
Evo rezimea rješenja: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.
odgovor:
3 x 2 x 2 =6 x 3 .
Dakle, da bi se monom doveo u standardni oblik, potrebno je biti sposoban grupirati faktore, izvršiti množenje brojeva i raditi sa potencijama.
Da bismo konsolidirali gradivo, riješimo još jedan primjer.
Primjer.
Izrazite monom u standardnom obliku i navedite njegov koeficijent.
Rješenje.
Originalni monom ima jedan brojčani faktor −1 u svojoj notaciji, pomjerimo ga na početak. Nakon toga faktore grupišemo posebno sa promenljivom a, posebno - sa promenljivom b, a varijablu m nema sa čime da grupišemo, ostavimo je kako jeste, imamo 
. Nakon izvođenja operacija sa stepenima u zagradama, monom će poprimiti standardni oblik koji nam je potreban, odakle možete vidjeti koeficijent monoma, jednak −1. Minus jedan može se zamijeniti znakom minus: .