Preuzmite sa Depositfiles

ANALITIČKA GEOMETRIJA

Predavanje br. 7. Tema 1 : Prave u ravni i njihove jednačine

1.1. Prave i njihove jednačine u Kartezijanski sistem koordinate

U analitičkoj geometriji, linije na ravni se smatraju lokusom tačaka (g.m.t.) koje imaju isto svojstvo zajedničko svim tačkama prave.

Definicija. Jednačina linije
je jednadžba sa dvije varijableX I at, koje zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke na pravoj, a ne zadovoljavaju koordinate bilo koje druge tačke koja ne leži na ovoj pravoj.

Vrijedi i obrnuto, tj. bilo koja jednačinaat

oblika, uopšteno govoreći, u kartezijanskom

koordinatni sistem (DSC) definira liniju

kao H.M.T., čije koordinate zadovoljavaju

ovu jednačinu. O X

Napomena 1. Ne definira svaka jednadžba tipa liniju. Na primjer, za jednadžbu
ne postoje tačke, koordinate, koje bi zadovoljile ovu jednačinu. Takvi slučajevi se neće dalje razmatrati.Ovo je slučaj takozvanih imaginarnih linija.

P primjer 1.Napišite jednačinu za kružnicu poluprečnikaR centriran na tačku
.

Za bilo koju tačku laganjaatM

na krug, po definicijiR

krugovi kao g.m.t., jednako udaljeni

iz tačke , dobijamo jednačinuX

1.2. Parametarske jednadžbe linije

Postoji još jedan način da se definiše pravac na ravni pomoću jednačina tzvparametarski:

Primjer 1 Linija je data parametarskim jednadžbama

Potrebno je dobiti jednačinu ove linije u DSC-u.

Isključite parametart . Da bismo to učinili, kvadriramo obje strane ovih jednadžbi i saberemo

Primjer 2 Linija je data parametarskim jednadžbama

ali

Potrebno je dobiti jednačinu

ovu liniju u DSC. —aa

Uradimo isto, onda ćemo dobiti

— ali

Napomena 2. Treba napomenuti da je parametart u mehanici je vrijeme.

1.3. Jednadžba linije u polarnim koordinatama

DSC nije jedini način da se odredi položaj tačke, a samim tim i jednačina prave. U avionu je često svrsishodno koristiti takozvani polarni koordinatni sistem (PSC).

P SC će se odrediti navođenjem tačke O - stub i greda ILI , koji proizilazi iz ove tačke, koja se zove polarnu os. Tada je položaj bilo koje tačke određen sa dva broja: polarnim radijusom
i polarni ugao je ugao između

polarnu os i polarni radijus.

Pozitivan referentni smjer

polarni ugao od polarne ose

broji suprotno od kazaljke na satu.

Za sve tačke ravni
, O R

a za jedinstvenost polarnog ugla razmatra se
.

Ako se početak DSC-a kombinuje sa

pol i O os X poslati po

polarnoj osi, to je lako provjeritiat

u vezi između polarnih i

kartezijanske koordinate:

O X R

nazad,

(1)

Ako jednadžba linija u DSC ima oblik , onda u PSC - Tada iz ove jednačine možete dobiti jednačinu u obliku

Primjer 3 Napišite jednadžbu kruga u UCS ako je centar kruga na polu.

Koristeći prelazne formule (1) iz DSC u PSC, dobijamo

P primjer 4.Napišite jednačinu za krug

ako je pol na kružnici i polarnoj osiat

prolazi kroz prečnik.

Uradimo isto

Oko 2 R X

Ova jednačina se takođe može dobiti

iz geometrijskih prikaza (vidi sl.).

P primjer 5.Plot Line

Pređimo na PSC. Jednačina

poprimiće formu
O

Nacrtaćemo liniju saali

uzimajući u obzir njegovu simetriju i ODZ

karakteristike:

Ova linija se zovelemniscate Bernoulli.

1.4. Transformacija koordinatnog sistema.

Jednačina linije u novi sistem koordinate

1. Paralelni prijenos DSC-a.at

Zamislite da dva DSC-a imajuM

isti smjer osi, ali

različitog porijekla.

U koordinatnom sistemu O hu dot

u vezi sa sistemom
O X

ima koordinate
. Onda imamo

U koordinatnom obliku, rezultirajuća vektorska jednakost ima oblik

ili
. (2)

Formule (2) su formule za prelazak iz "starog" koordinatnog sistema O huna "novi" koordinatni sistem i obrnuto.

Primjer 5 Dobijte jednadžbu kruga radeći paralelni transfer koordinatni sistemido centra kruga.

I iz formula (2) slijedi
at O

Prava na ravni može se definirati pomoću dvije jednačine

gdje X I y - proizvoljne koordinate tačke M(X; at) koji leži na ovoj liniji, i t je varijabla pod nazivom parametar.

Parametar t određuje poziciju tačke ( X; at) na površini.

Sta ako

zatim vrijednost parametra t= 2 odgovara tački (4; 1) na ravni, jer X = 2 + 2 = 4, y= 2 2 - 3 = 1.

Ako je parametar t mijenja, tada se tačka na ravni pomiče, opisujući datu pravu. Ovaj način definisanja krive se zove parametarski, i jednadžbe (1) - parametarske jednačine prave.

Razmotrimo primjere dobro poznatih krivulja datih u parametarskom obliku.

1) Astroid:

gdje ali> 0 je konstantna vrijednost.

At ali= 2 izgleda ovako:

Fig.4. Astroid

2) cikloid: gdje ali> 0 je konstanta.

At ali= 2 izgleda ovako:

Sl.5. Cycloid

Linija vektorske jednadžbe

Linija na ravni se može postaviti vektorska jednadžba

gdje t je skalarni varijabilni parametar.

Svaka vrijednost parametra t 0 odgovara određenom vektoru ravni. Prilikom promjene parametra t kraj vektora će opisati neku liniju (slika 6).

Jednadžba vektora linije u koordinatnom sistemu Ohu

odgovaraju dvije skalarne jednadžbe (4), tj. projekcijske jednačine

na koordinatnoj osi vektorske jednačine prave nalaze se njene parametarske jednačine.

Fig.6. Linija vektorske jednadžbe

Vektorska jednačina i jednadžbe parametarske linije imaju mehanički smisao. Ako se tačka kreće u ravni, onda se ove jednačine nazivaju jednačine kretanja, linija - putanja tačke, parametar t- vrijeme.

Razmotrimo odnos forme F(x, y)=0 povezivanje varijabli x I at. Jednakost (1) će biti pozvana jednadžba sa dvije varijable x, y, ako ova jednakost nije tačna za sve parove brojeva X I at. Primjeri jednadžbi: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

sin x + sin y - 1 = 0.

Ako je (1) tačno za sve parove brojeva x i y, onda se zove identitet. Primjeri identiteta: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.

Jednačina (1) će biti pozvana jednadžba skupa tačaka (x; y), ako je ova jednačina zadovoljena koordinatama X I at bilo koje tačke skupa i ne zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke koje ne pripadaju ovom skupu.

Važan koncept u analitičkoj geometriji je koncept jednačine prave. Neka je pravougaoni koordinatni sistem i neka prava α.

Definicija. Jednačina (1) se naziva jednačina linija α (u kreiranom koordinatnom sistemu), ako ovu jednačinu zadovoljavaju koordinate X I at bilo kojoj tački na liniji α , i ne zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke koja ne leži na ovoj pravoj.

Ako je (1) jednačina linija α, tada ćemo reći da je jednačina (1) određuje (postavlja) linija α.

Linija α može se odrediti ne samo jednadžbom oblika (1), već i jednadžbom oblika

F(P, φ) = 0, koji sadrži polarne koordinate.

jednadžba prave linije sa nagibom;

Neka je data neka prava linija, koja nije okomita na osu OH. Hajde da pozovemo ugao nagiba zadata linija prema osi OH injekcija α kojim se rotira osovina OH tako da se pozitivni pravac poklapa sa jednim od pravaca prave. Tangenta ugla nagiba prave linije prema osi OH pozvao faktor nagiba ova prava linija i označena slovom TO.

K=tg α

(1)

Izvodimo jednačinu ove prave linije, ako znamo njenu TO i vrijednost u segmentu OV, koju ona odsiječe na osi OU.

(2)

y=kx+b

Označiti sa M"tačka aviona (x; y). Ako crtate pravo BN I NM, paralelno sa osovinama, onda r BNM - pravougaona. T. MC C BM <=>kada vrednosti NM I BN zadovoljiti uslov: . Ali NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> s obzirom na (1), dobijamo da je poenta M (x; y) C na ovoj liniji<=>kada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu: =>

Jednačina (2) se zove jednadžba prave linije sa nagibom. Ako K=0, tada je prava paralelna s osi OH a njegova jednačina je y = b.

jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke;

(4)

Neka su data dva boda M 1 (x 1; y 1) I M 2 (x 2; y 2). Uzimajući (3) tačku M (x; y) iza M 2 (x 2; y 2), dobijamo y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1). Definisanje k iz zadnje jednakosti i zamjenom je u jednačinu (3) dobijamo željenu jednačinu prave:

. Ovo je jednadžba ako y 1 ≠ y 2, može se napisati kao:

Ako y 1 = y 2, tada jednačina željene prave ima oblik y = y 1. U ovom slučaju, prava je paralelna sa osom OH. Ako x 1 = x 2, zatim linija koja prolazi kroz tačke M 1 I M 2, paralelno sa osom OU, njegova jednadžba ima oblik x = x 1.

jednačina prave kroz dati poen sa datim ugaonim koeficijentom;

(3)

Ax + By + C = 0

Teorema. U pravougaonom koordinatnom sistemu Ohu svaka prava je data jednačinom prvog stepena:

i, obrnuto, jednadžba (5) za proizvoljne koeficijente A, B, C (ALI I B ≠ 0 istovremeno) definiše neku liniju u pravougaonom koordinatnom sistemu Ohu.

Dokaz.

Hajde da prvo dokažemo prvu tvrdnju. Ako linija nije okomita Oh, tada se određuje jednačinom prvog stepena: y = kx + b, tj. jednačina oblika (5), gdje je

A=k, B=-1 I C = b. Ako je prava okomita Oh, tada sve njegove tačke imaju istu apscisu jednaku vrijednosti α segment odsječen ravnom linijom na osi Oh.

Jednačina ove prave ima oblik x = α, one. je također jednačina prvog stepena oblika (5), gdje je A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Ovo dokazuje prvu tvrdnju.

Hajde da dokažemo obrnutu tvrdnju. Neka je data jednadžba (5) i barem jedan od koeficijenata ALI I B ≠ 0.

Ako B ≠ 0, tada se (5) može zapisati kao . nagnut , dobijamo jednačinu y = kx + b, tj. jednadžba oblika (2) koja definira pravu liniju.

Ako B = 0, onda A ≠ 0 i (5) ima oblik . Označavanje kroz α, dobijamo

x = α, tj. jednadžba prave okomite Ox.

Prave definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu jednačinom prvog stepena se nazivaju linije prvog reda.

Tipska jednadžba Ah + Wu + C = 0 je nepotpuna, tj. jedan od koeficijenata je jednak nuli.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 i definira pravu koja prolazi kroz ishodište.

2) B = 0 (A ≠ 0); jednačina Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 i definira paralelnu liniju Oh.

Jednačina (6) se naziva jednačina prave "u segmentima". Brojevi ali I b su vrijednosti segmenata koje prava linija odsijeca na koordinatnim osama. Ovaj oblik jednačine je pogodan za geometrijska konstrukcija ravno.

normalna jednačina prave;

Sjekira + By + C \u003d 0 - opšta jednačina neka prava linija, i (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

njegova normalna jednačina.

Kako jednačine (5) i (7) definiraju istu pravu liniju, onda ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 I

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) koeficijenti ovih jednačina su proporcionalni. To znači da množenjem svih članova jednačine (5) nekim faktorom M dobijamo jednačinu MA x + MB y + MS = 0, što se poklapa sa jednačinom (7) tj.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Da bismo pronašli faktor M, kvadriramo prve dvije od ovih jednakosti i dodamo:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1

jednadžbe, gdje su na lijevoj strani endogene varijable, a na desnoj samo egzogene

149. Indirektna metoda najmanjih kvadrata uključuje sljedeće postupke:

Izlazna struktura sistema jednačina se konvertuje u sistem redukovanih jednačina i pomoću LSM-a nalazimo nepristrasne procene koeficijenata redukovanog sistema jednačina. Koristeći odnos između koeficijenata datih u sistemu jednačina i strukturnog sistema, nalazimo koeficijente strukturnog sistema jednačina.

150. Identifikovani sistem simultanih jednačina ima broj koeficijenata:

broj koeficijenata redukovanog sistema jednačina jednak je broju koeficijenata originalnog strukturnog sistema jednačina

151. Sistem simultanih jednačina koji se ne može identificirati ima broj koeficijenata:

broj koeficijenata redukovanog sistema jednačina manje od broja koeficijenti strukturnog sistema jednačina

152. Sistem simultanih jednačina koji se može previše identificirati ima broj koeficijenata:

broj koeficijenata redukovanog sistema jednačina više broja koeficijenti strukturnog sistema jednačina

U dinamici intersektorski balansni model, sistem linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi za i=1,2,3,….n(brojevi redova), j=1,2,3….n(brojevi kolona) aij-tehnološki koeficijenti, inkrementalni koeficijenti kapitalnog intenziteta imaju oblik .. ODGOVOR: manje Problem.

U dinamici model intersektorske ravnoteže, sistem linearnih nehomogenih diferencijalnih jednačina za ; tehnološki koeficijenti koeficijenti inkrementalnog intenziteta kapitala bruto proizvod industrije, finalni proizvod industrije ima oblik: (
).

U dinamici kolona matrice modela međusektorskog bilansa stanja koeficijenti inkrementalnog intenziteta kapitala pokazuju za j industriju: iznos i struktura sredstava potrebnih za povećanje proizvodnog kapaciteta za 1 jedinicu svog proizvodnog kapaciteta, tj. izdanje proizvoda.

U klasičnom modeluU tržišnoj ekonomiji, ponuda novca je M=20000, novac ima vremena da napravi 5 obrta godišnje, vrijednost BDP-a je 100000. Kolika je utvrđena cijena jedinice BDP-a? 1.

U klasičnom model tržišne ekonomije, određuje se ponuda roba

U klasičnommodel tržišne ekonomije, ponuda roba je određena -stopa zaposlenosti

na tržištu rada Y=Y(L), ponuda dobara = potražnja za robom.

U klasičnommodela tržišne ekonomije sa istim BDP-om, povećanje ponude novca će dovesti do - (cijena i BDP) -povećanje cijene, ako je za dati BDP cijena p manja od p0, onda postoji višak ponude novca . U ovom slučaju se smatra da će cijene porasti do nivoa p0.

U klasičnom model tržišne ekonomije, proizvodna funkcija ima oblik X t =K t 0,5 ´L t 0,5 K=200 jedinica, L=50 jedinica. Kolika je realna plata uz maksimalnu dobit? 1 ili 2.

U klasičnom modeli tržišne ekonomije sa povećanjem kamatne stope: potrošačka potražnja se smanjuje, a investiciona potražnja opada.

U međusektorskom bilans stanja (statički model Leontjeva) izjava je tačna. ODGOVOR: u ekonomskom sistemu se proizvode, troše, ulažu. Svaka industrija je čista, odnosno proizvodi samo 1 proizvod, tokom procesa proizvodnje industrije pretvaraju neke vrste proizvoda u drugu vrstu, a odnos utrošenih proizvoda i proizvedenih od strane industrije u drugu vrstu, i odnos utrošenih proizvoda a proizvodi industrija je konstantna, konačna potražnja se sastoji od finalne potrošnje, izvoza i investicija.

U međusektorskombilans stanja (statički model Leontjeva) izjava je tačna.0

U različitim industrijamam bilansa u cjelini za eq-ki vrijednost interne potrošnje = 5000 jedinica, ukupan finalni proizvod = 3000 jedinica. …3000Šta je ORP?8000.

U međusektorskombilans u cjelini za eq-ki vrijednost interne potrošnje = 7000 jedinica, ukupni finalni proizvod = 3000 jedinica. Ukupna neto proizvodnja =3000...Šta je ORP?10000.

U međusektorskom bilans stanja, zbir finalnih proizvoda i zbir uslovno neto proizvoda: su jednake jedna drugoj.

U međusektorskombilans stanja uslovno neto proizvodi uključuju:amortizacija, plate, neto prihod.

U Keynesovom modelu potražnja za robom određena je potražnjom potrošača i potražnjom investicija. Koja bi izjava, prema Keynesovom modelu, bila tačna: Kada kamatna stopa raste, potražnja potrošača raste, a investiciona potražnja opada.

U Keynesovom modelu potražnja za robom određena je potražnjom potrošača i potražnjom investicija. Koja bi izjava, prema Kejnsovom modelu, bila tačna.. ODGOVOR: Potražnja za robom široke potrošnje raste linearno sa povećanjem ponude dobara, a potražnja za investicionim dobrima linearno opada sa povećanjem kamatne stope.

U modeluKeynes, potražnja za robom je određena potražnjom potrošača i potražnjom investicija.

U modelu R. Solowa, izraženo u relativnim jedinicama, glavni makroekonomski pokazatelji odnose se na: osnovne vrijednosti, na primjer, na vrijednost indikatora na početku posmatranog perioda X(t), C(t), L(t), I(t), K(t).

U Solow modeludovoljno je ući u stacionarnu putanju razvojato stockp.=0onst.

U modelu Solow, promjena broja ljudi zaposlenih u proizvodnji L(t) može se opisati diferencijalnom jednačinom oblika , gdje je g stopa rasta broja zaposlenih. U ovom slučaju, veličina populacije je jednaka: odgovoru : L(t)=L(0)*e g * t .

U Solow modelu , gdje je g stopa rasta broja zaposlenih. U ovom slučaju, vrijednost broja zaposlenih L(t) je jednaka: odgovor: L(t)= .

U Solow modelupromjena broja zaposlenih u proizvodnji može se opisati diferencijalnom jednačinom oblika , gdje je g stopa rasta broja zaposlenih. U ovom slučaju, vrijednost broja zaposlenih L(t) je jednaka:L(t)=L(0)*e g * t .

U Solow modelu, proces promjene u stalnim proizvodnim sredstvima tokom vremena mogu se opisati diferencijalnom jednačinom koristeći notaciju: K(t) je trošak stalnih proizvodnih sredstava u određenom trenutku; m je stopa penzionisanja sredstava, I(t) je obim bruto investicija u trenutku t: ODGOVOR: dK(t)/dt= -m*K(t)+I(t).

U Solow modelu, izraženo u relativnim jedinicama, glavni makroekonomski pokazatelji odnose se na ... osnovni.

U modelu Solou, napisano u relativnim jedinicama, vrijednost potrošnje po glavi stanovnika ovisi o stopi akumulacije ... pri kojoj vrijednosti phi je maksimum dostignut ...α.

U modelu Harrod-Domar troškovi rada za proizvodnju smatraju se: konstantan tokom vremena, ili proizvodnja ne zavisi od troškova rada.

U modeluHarrord-Domar kontinuirana stopa rasta prihoda jednaka je ako gdje je B koeficijent inkrementalnog intenziteta kapitala; S(t) - obim potrošnje; Y(t) - iznos prihoda; U tom slučaju će biti maksimum, a u kojem će biti jednak nuli, ako je C(t)-const:maksimum je dostignut na

U modelu X-D Troškovi rada za proizvodnju proizvoda smatraju se:Konstantno u vremenu, bilo otpuštanje.

U modelu Evans, potražnja za proizvodom zavisi , i ponuda robe , gdje je cijena robe, parametri jednadžbe koji su pozitivni brojevi. U ovom slučaju: (a= > < ).

U paučini je rastuća funkcija cijene.U ovom slučaju, iterativni proces pronalaženja ravnotežne cijene može se prikazati kao rekurzivna relacija: lim f(p)=¥ pÞ0;Lim f(p)=0 pÞ¥;Limj(p )=0 pÞ0; Limj(p)= ¥; pÞ¥;.

U paučini modeli funkcije agregatne potražnje yavl. opadajuća funkcija cijene, dok funkcija agregatne ponude je rastuća funkcija cijene. U ovom slučaju, iterativni proces pronalaženja ravnotežne cijene može se prikazati kao rekurzivna relacija F(r t)=y(p t -1).

U proizvodnjifunkcije oblika X=A*e*K*L faktor vremena je zamjenska varijabla koja odražava utjecaj...Naučno-tehnički napredak.

U proizvodnji funkcije oblika: X t =A 0 ´e pt ´K t a 1 ´L t a 2, faktor vremena je zamjenska varijabla koja odražava utjecaj na bruto proizvodnju: naučni i tehnološki napredak .

U staticiLeontijev model (međusektorska ravnoteža) izjava je tačna...0

Vrijednost gdje je I dohodak potrošača, p1p2 je cijena dobra, x2 je količina drugog dobra. U ovom slučaju koristi jedan i dva:zamjenjiv.

Odaberite pravu izjava u skladu sa kejnzijanskom teorijom tržišne ekonomije 1) opšti slučaj ravnoteže u tržišnoj privredi u prisustvu nezaposlenosti, a puna zaposlenost je samo poseban slučaj; 2) investiciona tražnja opada sa povećanjem kamatne stope.

Odaberite pravajake izjave, čija implementacija povećava pouzdanost i tačnost određivanja parametara ekonomsko-matematičkog modela. 1. Prihvaćena metoda za određivanje parametara modela mora biti ispravna sa stanovišta osiguranja pouzdanosti, 2. Mora postojati dovoljno početnih informacija o ulaznim i izlaznim indikatorima objekta da bi se pronašao matematički model, 3. vektor ulaznih indikatora mora značajno varirati u proučavanom intervalu, 4. Prihvaćen a priori, model bi trebao na značajan način odražavati stvarne obrasce objekta koji se proučava.

Selektivno izjednačenotj. parna regresija y=-3+2x, tada koeficijent parne korelacije uzorka može biti jednak ..(-3,2,0.6,-2,-0.6) …0,7 ili 0,6.

selektivno Jednačina parne regresije ima oblik y=-3+2x. Tada uzorak koeficijenta korelacije parova može biti jednak: 0,7.

gdje u - koeficijent inkrementalnog kapitalnog intenziteta S(t) - obim potrošnje, Y (t) - obim prihoda; maksimum je dostignut na , i jednako je nuli za Y(0)=C(0).

Hipoteze, koji se koristi u izvođenju funkcije potražnje za radnom snagom u klasičnom modelu tržišne ekonomije: Firme su potpuno konkurentne u ponudi robe i zapošljavanju radne snage. Pod jednakim ostalim stvarima, granični proizvod rada se smanjuje kako se upotreba rada povećava.

Zadane funkcije potražnja i rečenice S=2p+1,5, gdje je p cijena dobra. tada je ravnotežna cijena ODGOVOR: h1= 0,34+0,18+340.....h2=0;25+0,53+280.

Zadane funkcijepotražnja i rečenice S=2p+1,5, gdje je p cijena dobra. tada je ravnotežna cijena =1 .

Zadane funkcije potražnja i rečenice S=2p+1,5, gdje je p cijena dobra. tada je ravnotežna cijena = 5,5.

Zadane funkcije potražnja q=(p+6)/(p+2) i ponuda s=2p-2, gdje je p cijena dobra. Tada je ravnotežna cijena: 2.

Podaci o funkcijipotražnja q=p+6/p+2 i pre-s s=2p-2…..2.

Ako se sačuvapod jednakim uslovima, onda kako cena raste, potražnja za Giffin robom: ...raste.

Ako je u modeluSolow da uzme u obzir investiciono kašnjenje u obliku koncentrisanog zaostajanja, onda se odnos investicija I(t) sa uvođenjem sredstava V(t) može odraziti u obliku jednačine...V(t)= I(t-t)().

Ako od brutoOduzimanje domaćeg proizvoda, dobijamo:novostvorena vrijednost (N.D.) .

Ako iz bruto domaćeg proizvodu oduzmimo amortizaciju, dobijamo: neto domaći proizvod.

Ako krst cjenovna elastičnost potražnje > 0, tada .... (I proizvod zamjenjuje j).

Ako proizvod funkcioniray \u003d f (x 1; x 2), tada St. znači da s rastom upotrebe jednog resursa, granična efikasnost¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Ako je proizvodnja funkcija je homogena funkcija stepena p > 0, zatim sa p = 2 i povećanjem obima proizvodnje za 3 puta, koliko puta se povećava obim proizvodnje ... 9.

Ako je proizvodnjafunkcija je homogena funkcija stepena p > 0, zatim sa p = 2 i povećanjem obima proizvodnje za 4 puta, koliko puta se povećava obim proizvodnje ...16.

ako se desi povećanje prihoda potrošača, a zatim se kreće potražnja (navedite tačnu tvrdnju): od robe niske elastičnosti do robe visoke elastičnosti. Smanjuje se obim potrošnje robe niske elastičnosti.

Ako PF ima pogled y=f(x 1 ;x 2), tada svojstvo znači da se povećanjem upotrebe jednog resursa povećava granična efikasnost drugog resursa, izražena formulom: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Ako se sačuva jednaki uslovi, zatim sa povećanjem cene, potražnja za Giffin robom: raste.

Odnos između troškovi proizvodnje a obim proizvodnje je izražen funkcijom su jednaki: 3.

Zavisnost mizmeđu troškova proizvodnje i outputa izraženo je funkcijom .Onda granični trošak po obimu proizvodnje su jednaki:23.

Ovisnostizmeđu proizvodnih troškova C i outputa Q izražava se funkcijom . Tada je granični trošak pri obimu proizvodnje Q=10 jednak: .. 3 .

Odnos između trošak proizvodnje C i obim proizvodnje Q izražen je kao C = 20-0,5 * Q. Tada je elastičnost c/c pri obimu proizvodnje Q=10 jednaka: -1/3.

Proizvod je datfunkcija oblika: Y=3 K 0,5 *L 0,5 tada je prosječni proizvod rada jednak pri K=25 ,L=100……1.5.

Zadatak potrošačaizbor je:Naći toliki broj dobara iz datog skupa, sa k-tom funkcijom korisnosti maka potrošača.

zadatak izbor potrošača je: zadatak je odabrati skup potrošnje (x, x) koji maksimizira funkciju korisnosti za dato ograničenje budžeta.

Zadatak potrošača izbor je: pronaći takvu količinu dobara iz datog skupa koja maksimizira funkciju korisnosti potrošača.

Zakon o smanjenju efikasnost proizvodnje karakteriše činjenica da sa povećanjem vrednosti upotrebljenog resursa.. ODGOVOR: min mogući izlaz .

Zakon o smanjenju efikasnost proizvodnje karakteriše činjenica da sa povećanjem vrednosti upotrebljenog resursa: Svaka dodatna jedinica resursa daje sve manji porast proizvodnje.

Zakon o smanjenju efikasnost proizvodnje karakteriše činjenica da sa povećanjem vrednosti upotrebljenog resursa.. ODGOVOR: maksimalni mogući učinak (y) raste.

Iz jednadžbe Slutsky se može dobiti ( broj proizvod, cijena proizvoda). Ovo odgovara: (moguće je više odgovora): 1) Giffin proizvod, 2) proizvod niske vrijednosti.

Kakve hipoteze se koriste u izvođenju funkcije potražnje za radnom snagom u klasičnom modelu tržišne ekonomije: firme su potpuno konkurentne u ponudi robe i zapošljavanju radne snage; ceteris paribus, predproizvod rada opada kako se radna snaga povećava.

Kakvo dodatnonetočnosti otežavaju izgradnju EMM.... složenost provođenja aktivnog eksperimenta u privredi Osim toga, praktično svaki ekonomski objekat ili proces je jedinstven, što onemogućava jednostavno repliciranje jednom izgrađenih modela.

Kako praktičnoproblemi se rješavaju uz pomoć EMM. 1. Analiza privrednih objekata i procesa 2. Ekonomsko predviđanje i predviđanje razvoja ekonomskih procesa 3. Izrada upravljačkih odluka na svim nivoima privrede.

Koju izjavuodgovara rješenju problema sive prozirne kutije: Postoje podaci o input i output indikatorima, kao i poznati ili prihvaćeni kao osnovni model određene strukture. Zadatak identifikacije u ovom slučaju je pronaći parametre ovog modela.

Koju izjavu odgovara rješenju problema sive kutije: pored ulaznog i izlaznog režima, postavlja se i stranica zadatka konverzije opere. biti smanjen na opred.parm-m str-ry.

Koju izjavu, prema Kejnsovom modelu, biće tačno:Kada kamatna stopa raste, potražnja potrošača raste, a investiciona potražnja opada.(Potražnja za robom široke potrošnje raste linearno sa povećanjem ponude dobara; Potražnja za investicionim dobrima linearno opada sa povećanjem kamatne stope).

Finalni proizvod u modelu dinamičke ravnoteže u odnosu na konačni proizvod u model statičkog balansa ne uključuje izvoz.

Finalni proizvod u modelu dinamičke ravnoteže u poređenju sa konačnim proizvodom u modelu statičkog balansa ne uključuje: međusektorske kapitalne investicije.

Koeficijent cjenovna elastičnost tražnje E ii str<-1. Это соответствует товару с: visoka elastičnost potražnje.

makroekonomska ravnoteža Modeli se smatraju koji opisuju takvo stanje ekonomije kada je rezultanta svih sila koje žele da izvedu ekonomiju iz ovog stanja jednaka 0.

Leontijev model(statička ravnoteža) uključuje jednačinu oblika: x i -Sa ij \u003d y j.

Intersektorski modelbilans, za proizvedene proizvode u obimu X1 i X2 sa matricom koeficijenata direktnih troškova a konačni proizvod u količini od 340 odnosno 280 jedinica ima oblik: x 1 = 0,34 x 1 + 0,18 x 2 + 340; x 2 = 0,25x 2 + 0,53x 2 + 280 ..

Tornquist model n tip "prihod od potražnje". (druga slova): odgovor : luksuzni artikli (Grupa 2).

Tornquist model, "prihod od potražnje" oblika Y = a 3 Z (Z-b 3) / Z + C 3:luksuzni predmeti.

Harrod-Domar model u obliku diferencijalne jednadžbe
ima sljedeće rješenje: ).

Na izokvanti Cobb-Douglas proizvodna funkcija:

Na liniji

Na liniji indiferentni potrošački setovi imaju: iste vrijednosti ODGOVOR: V(t)= I(t-τ).

U proizvodnjiCobb-Douglas funkcionira na izokvanti: prikazane su kombinacije vrijednosti kapitala i rada koje daju isti učinak.

Uz linijuindiferentni potrošački set ima:isti nivo zadovoljenja potreba pojedinca.

Kako se povećavate tražnja prihoda se kreće (navedite tačnu tvrdnju): ODGOVOR: Povećanjem dohotka tražnja se sa roba prve i druge grupe pomera na robu treće i četvrte grupe, dok se potrošnja dobara prve grupe u apsolutnom iznosu smanjuje.

Kako se povećavatetražnja prihoda se kreće (navedite tačnu izjavu): Od robe niske elastičnosti do robe visoke elastičnosti Smanjuje se obim potrošnje robe niske elastičnosti.

Ograničenje korisnosti1. proizvod u = 8 i 2. proizvod u = 2 . za koliko bi pojedinac trebao povećati potrošnju 2. proizvoda ako je smanjio potrošnju prvog proizvoda za jednu jedinicu...4.

marginalne korisnosti prvi proizvod , i drugi proizvod . Za koliko bi pojedinac trebao povećati potrošnju 2. proizvoda ako je smanjio potrošnju prvog proizvoda za jednu jedinicu odgovor: nisam siguran 3.

Koristećinotacija: - udio bruto investicija u BDP-u, a - udio intermedijarnog proizvoda u bruto proizvodnji, X (t) - bruto proizvodnja u Solow modelu, vrijednost fonda neproduktivne potrošnje C (t) nalazi se po formuli :S(t)=(1-) *(1-a)*X(t).

Prilikom analizeLeontijev model (statistički bilans input-output) pokazuje da zbir finalnih proizvoda i zbir uslovno neto proizvodnje:…su jednake jedna drugoj.

Koristeći oznaka: - udio bruto investicije u bruto domaćem proizvodu, a- udio međuproizvoda u bruto proizvodnji, X(t) - bruto proizvodnja u modelu R. Solow, vrijednost fonda neproizvodne potrošnje S(t) nalazi se po formuli: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Sa malim povećanje obima proizvodnje uslovno varijabilnih troškova po 1 proizvodu: ostati nepromijenjen (povećati, možda)

Prilikom opisivanja Proučavanje th procesa uz pomoć PFKD private ef-ty je bilo kako slijedi: za sredstva E k =2, za rad E l =8. U ovom slučaju, generalizovani pok-l ef-ti E je jednak: 16.

Prilikom opisivanja Odgovor: 3 (2 na stepen od 0,5 puta 4,5 na stepen od 0,5).

Prilikom opisivanja 3 puta. (2 ne baš)

Prilikom opisivanjaprocesa koji se proučava korištenjem Cobb-Douglasove proizvodne funkcije oblika privatne…..efikasnosti su bile sljedeće: za fondove Ek=2, za rad EL=4,5. U ovom slučaju, generalizovani indikator efikasnosti E je jednak. .. 3( 2 na stepen 0,5 puta 4,5 na stepen od 0,5).

Prilikom opisivanjaprocesa koji se proučava korištenjem Cobb-Douglasove proizvodne funkcije oblika privatne…..efikasnosti su bile sljedeće: za fondove Ek=2, za radnu EL=8. U ovom slučaju, generalizovani indikator efikasnosti E je:4 ili 16.

Prilikom opisivanja procesa koji se proučava korištenjem Cobb-Douglasove proizvodne funkcije oblika privatne…..efikasnosti su bile sljedeće: za fondove Ek=2, za rad EL=4,5. U ovom slučaju, generalizovani indikator efikasnosti E je jednak.

Prilikom opisivanja procesa koji se proučava, koristeći Cobb-Douglas proizvodnu funkciju, postalo je poznato da je generalizovani pokazatelj efikasnosti proizvodnje E=1,5, a obim proizvodnje M=2. U ovom slučaju se povećala bruto proizvodnja 3 puta.

Prilikom izgradnjeEMM prema poznatim ulaznim i izlaznim indikatorima objekta kao kriterijum bliskosti refleksije kontrolnih svojstava od strane modela najčešće se koristi...minimalni zbir kvadrata razlika.

Sa prihvaćenimoznake ...Odlazak kapitala i vrijednost bruto investicije.

Sa prihvaćenimnotacija f (Ko) - produktivnost rada na stacionarnoj putanji, - odnos kapitala i rada na stacionarnoj putanji izgleda kao...().

Sa prihvaćenim U Solow modelu, uslov da privreda uđe u stacionarnu putanju ima sledeći oblik: k(t)=k na stepen 0=konst.

Uz prihvaćenu notaciju…jedna od jednačina u R. Solow modelu u relativnim jedinicama će izgledati ovako: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -a)f/(2) U ovoj jednačini, pojmovi (1) i (2) odražavaju uticaj na promjenu odnosa kapitala i rada.

Ostalo jednaki uslovi sa rastućom potražnjom za Giffin robom potražnja za svime raste .

Prilikom odlučivanja ;p1x1+p2x2=I gde je I=1000, p1=5, p2=10ed.. Kolika je količina stavke 1 od stavke 2….100 jedinica - 1 stavka i 50 jedinica - druga.

Prilikom odlučivanjaproblemi izbora potrošača dobili su sistem jednačina ;p1x1+p2x2=I gde je I=1000, p1=10, p2=5ed.. Kolika je količina stavke 1 od stavke 2. ….50, 100.

Sa povećanjemprihoda, potražnja za proizvodom po stalnoj cijeni je obično ....Povećava (promjene prema sinusoidnom zakonu).

proizvodnja ja funkcioniram , tada je granični proizvod pri Kt=4, Lt=25 jednak 2,5.

proizvodna funkcija , tada je granični proizvod pri Kt=4, Lt=25 …0.2.

Proizvodnja Kt=1100, Lt=9900. Koliki je granični prinos na imovinu...1.5 (ili 10)

proizvodna funkcija vrsta zove: Linearna, aditivna proizvodna funkcija.

proizvodna funkcija je dato kao X t =K t 0,5 ´L t 0,5, gdje je K t kapital, L t je rad. Tada je granični proizvod rada ¶U/¶L za K t =16, L t =25 jednak: 0,4.

Cobb proizvodna funkcija-Douglas ima formu gdje je Kt=4000, Lt=10. Kolika je granična produktivnost rada Odgovor: 10.

ProizvodnjaCobb-Douglasova funkcija ima oblik gdje je Kt=9000, Lt=10. Kolika je granična produktivnost rada...15.

Proizvodnja Cobb-Douglasova funkcija ima oblik matematičko očekivanje faktora korekcije je .. = 1.

proizvodna funkcija Cobb-Douglas ima oblik: X t = K t 0,5 ´L t 0,5; K t = 900, L t \u003d 10. Kolika je granična produktivnost rada ¶X / ¶L: 15.

proizvodnja i funkcija se naziva dinamičkom ako: 1) vrijeme t se pojavljuje kao nezavisna varijabla koja utječe na volumen izlaza 2) PF parametri zavise od vremena 3) PF karakteristike zavise od vremena.

proizvodna funkcija ovo- takva funkcija, čija nezavisna varijabla uzima vrijednosti količine korištenog resursa (faktor proizvodnje), a zavisna varijabla - vrijednosti volumena proizvodnje y=f(x).

Proizvodnja f-tion K-D ima oblik za koji procenat će se povećati proizvodnja Xt kada se kapital Kt poveća za 1 % (0,4).

Proizvodnjafunkcija se naziva dinamičkom ako:Pojavljuje se vrijeme t.. Parametri PF-a zavise od vremena …. Karakteristika proizvodne funkcije zavisi od vremena.

Srednjiproizvod u shemi koja odražava odnos makroekonomskih pokazatelja u zatvorenoj ekonomiji zemlje je:sredstava rada i robe široke potrošnje.

Proces osnivanjaravnotežna cijena u modelu paučine...Ostati nepromijenjen.

Neka funkcija korisnost ima oblik , početne cijene robe i . Prihod pojedinca je 2000 jedinica, a optimalan set robe ; Ako se cijena povećala četiri puta, koliki će biti nadoknađeni prihod pojedinca i vrijednosti optimalnog skupa robe :I k =2000; x 1 =50; x2=40.

Neka funkcija korisnost ima oblik u(x1;x2)=x1*x2, početne cijene dobara R1 i R2. Prihod pojedinca = 1000 jedinica, a optimalni skup dobara x1=100 jedinica, x2=20 jedinica. Ako je cijena porasla za 4 puta, koliki će onda biti nadoknađeni prihod pojedinca i vrijednosti optimalnog skupa robe (x1 x2)... 2000 50,40.

ravnotežni modelismatraju se...Modeli koji opisuju takvo stanje okoline, kada je rezultanta svih sila. (odgovor je 0)

Rasporedi u ispravnom redoslijedu, faze izgradnje IGF-a: 1. Postavljanje ekonomskog problema i njegova kvalitativna analiza 2. Konstrukcija matematičkog modela 3. Matematička analiza modela 4. Priprema početnih informacija 5. Numeričko rješenje 6. Analiza numeričkih rezultata i njihova primjena.

Rasporediu ispravnom redoslijedu, faze izgradnje EMM-a: 1. Postavljanje ekonomskog problema i njegova kvalitativna analiza 2. Konstrukcija matematičkog modela 3. Matematička analiza modela 4. Priprema početnih informacija 5. Numeričko rješenje 6. Analiza numeričkih rezultata i njihova primjena.

Uz kakvu pomoć modelom (u obliku jedne formule) moguće je prikazati bruto proizvodnju, međuproizvod, bruto domaći proizvod na nivou privrede zemlje: Balansni model Leontijeva.

Viakoji model može odražavati zavisnost bruto proizvodnje i resursa koji se koriste na nivou ekonomije zemlje: ...Cobb-Douglas model (PFKD)

Viakoji model (u obliku jedne formule) ..odnos indikatora VP, međuproizvoda, BDP-a....Balansni model Leontijeva.

Sistem jednačina u modelu Leontijeva naziva se produktivnim ako je rješiv. odgovor: u nenegativnom Xi>0, za i=1÷n.

Prema U klasičnom modelu tržišne ekonomije, ponuda roba je određena: stopu pune zaposlenosti.

Premaklasičnog modela tržišne ekonomije sa istim BDP-om, povećanje ponude novca će dovesti do ...Povećanje cijene jedinice BDP-a.

Prema modeluSolowovo "zlatno" pravilo akumulacije odgovara stopi akumulacije koja je jednaka α- koeficijentu elastičnosti za fizički kapital.phi=1.

Prema modelu Harrord-Domar pri čemu…..r porast potrošnje će biti jednak stopi rasta prihoda: ODGOVOR: r< 1/в, r=p .

Prema modelu Harrord-Domar pri čemu…..r rasta obima potrošnje biće jednak stopi rasta prihoda: ODGOVOR: ako je r =r0, r0 = a0 /B, a0 je stopa akumulacije u početnom trenutku vremena.

Prema statici Leontijev model, ako je konačni proizvod prve industrije y1=1000 jedinica, a bruto proizvodnja je x1=2500 jedinica, što je jednako obimu proizvodnje prve industrije koju su potrošile druge industrije 1.5.(1500 ili 3500).

Prema statici Leontijev model, ako je finalni proizvod prve industrije y1=1500 jedinica, a bruto proizvodnja je x1=3500 jedinica što je jednako obimu proizvodnje prve industrije koju su potrošile druge industrije 2000 jedinica .

Statički modelLeontijev uključuje jednačine oblika... .

Uslovno čist nProizvodnja u bilansu input-output uključuje…Amortizacija, plate i neto prihod.

funkcija korisnosti potrošnja ima oblik .Cijena za dobro x je 10, za dobro y je 5, prihod potrošača je 200. Tada optimalni skup robe široke potrošnje izgleda ovako: 10,20.

funkcija korisnostipotrošnja ima oblik .Cijena za dobro x je 5, za dobro y je 10, prihod potrošača je 200. Tada optimalni skup robe široke potrošnje izgleda kao... .20.10.(200 ili 400)

funkcija korisnostiKorisnik ima svojstva... granična korisnost se smanjuje ako se potrošnja smanjuje; povećanje potrošnje jednog proizvoda dovodi do povećanja f-ii korisnosti; (granična korisnost svakog proizvoda se povećava. ako raste broj ostalih proizvoda).

Prodajna cijena jedan proizvod je jednak 7 jedinica. Konstante troškova su 8000 jedinica. Varijabilni troškovi su jednaki 5 jedinica. za 1 kom. Koliki je obim proizvodnje? 4000 jedinica

Šta je jednako u modelu Keynes, potražnja za obveznicama ako je ponuda novca = 1000 jedinica. , stopa obrta novca na realnom tržištu je k=0,1, cijena jedinice BDP-a je p=0,5 jedinica, vrijednost BDP-a je 10.000 jedinica... 500.

Šta je jednako u kejnzijanskom modelu, potražnja za obveznicama ako je ponuda novca = 1000 jedinica. , stopa obrta novca na realnom tržištu je k=0,1, cijena jedinice BDP-a je p=0,2 jedinice, vrijednost BDP-a je 10.000 jedinica... 800.

Jednakost oblika F (x, y) = 0 naziva se jednadžba s dvije varijable x, y, ako nije tačno za sve parove brojeva x, y. Kažu dva broja x = x 0 , y=y 0, zadovoljiti neku jednačinu oblika F(x, y)=0, ako prilikom zamjene ovih brojeva umjesto varijabli X I at u jednadžbi njena lijeva strana nestaje.
Jednačina date prave (u zadatom koordinatnom sistemu) je jednačina u dvije varijable koju zadovoljavaju koordinate svake tačke koja leži na ovoj pravoj, a ne zadovoljavaju je koordinate svake tačke koja ne leži na njoj.
U budućnosti, umjesto izraza „s obzirom na jednadžbu prave F(x, y) = 0" često ćemo reći kraće: data linija F(x, y) = 0.
Date jednačine dvije prave F(x, y) = 0 I F(x, y) = Q, zatim zajedničko rješenje sistema
daje sve njihove tačke preseka. Tačnije, svaki par brojeva koji je zajedničko rješenje ovog sistema određuje jednu od tačaka preseka.
*) U slučajevima kada koordinatni sistem nije imenovan, pretpostavlja se da je kartezijanski pravougaoni.
157. Bodovi se daju *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6(3;-2). Odredite koje od datih tačaka leže na pravoj definisanoj jednačinom X+ y = 0, i koje ne leže na njemu. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Prikaži to na crtežu.)
158. Na pravoj definisanoj jednačinom X 2 + y 2 \u003d 25, pronađite tačke čije su apscise jednake sljedećim brojevima: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; na istoj pravoj naći tačke čije su ordinate jednake sledećim brojevima: e) 3, f) - 5, g) - 8. Koja prava je definisana ovom jednačinom? (Prikaži to na crtežu.)
159. Odredi koje su prave određene sljedećim jednačinama (izgradi ih na crtežu):
1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;
5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;
9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; jedanaest) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;
13) y 2 - 9 = 0; četrnaest) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2 +5y+4 = 0;
16) X 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|at|; 19)y + |x|=0;
20) x +|at|= 0; 21)y=|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) X 2 + at 2 = 16;
24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;
26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;
29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0
31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.
160. Zadati redovi:
1)X+ y= 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;
4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.
Odredi koji od njih prolazi kroz ishodište.
161. Zadati redovi:
1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;
3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;
5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8at+ 7 = 0;
7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.
Pronađite njihove tačke preseka: a) sa osom Oh; b) sa osom OU.
162. Naći presečne tačke dve prave;
1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;
2) X 2 +y 2 -16x+4at+18 = 0, x + y= 0;
3) X 2 +y 2 -2x+4at -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;
4) X 2 +y 2 -8x+10y+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.
163. Tačke su date u polarnom koordinatnom sistemu
M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )
M 4 (
;) I M 5 (1; )
Odredite koja od ovih tačaka leži na pravoj definisanoj jednadžbom u polarne koordinate = 2 cos , a koje ne leže na njemu. Koja je prava određena ovom jednačinom? (Prikaži na crtežu :)
164. Na pravoj definisanoj jednačinom  = , pronađite tačke čiji su polarni uglovi jednaki sljedećim brojevima: a) ,b) - , c) 0, d) . Koja je prava definisana ovom jednačinom?
(Izgradite ga na crtežu.)
165. Na pravoj definisanoj jednačinom  = , pronađite tačke čiji su polarni radijusi jednaki sljedećim brojevima: a) 1, b) 2, c)
. Koja je prava definisana ovom jednačinom? (Izgradite ga na crtežu.)
166. Utvrdi koje su prave određene u polarnim koordinatama sljedećim jednačinama (izgradi ih na crtežu):
1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;
6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) sin  = 9) sin  =
167. Na crtežu konstruišite sledeće Arhimedove spirale:
1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4) p \u003d -1.
168. Na crtežu konstruirajte sljedeće hiperboličke spirale:
1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .
169. Na crtežu konstruirajte sljedeće logaritamske spirale:
,
.
170. Odredi dužinu segmenata u koje seče Arhimedova spirala
zraka koja izlazi iz pola i nagnuta je prema polarnoj osi pod uglom
. Napravite crtež.
171. O Arhimedovoj spirali
tačka uzeta OD,čiji je polarni radijus 47. Odredi koliko dijelova ova spirala seče polarni polumjer tačke OD, Napravite crtež.
172. Na hiperboličnoj spirali
nađi tačku R,čiji je polarni radijus 12. Napravi crtež.
173. Na logaritamskoj spirali
pronađite tačku Q čiji je polarni polumjer jednak 81. Nacrtajte crtež.