Mehaničko značenje izvedenice. Geometrijsko i mehaničko značenje prvog izvoda. Drugi izvod i njegovo mehaničko značenje

Kartica sa uputstvom br. 20

Takyryby/Predmet: « Drugi derivat i njegov fizičko značenje ».

Maқsaty / Svrha:

Znati pronaći jednačinu tangente, kao i tangentu ugla nagiba tangente na osu OX. Biti u stanju pronaći brzinu promjene funkcije, kao i ubrzanje.

Stvoriti preduvjet za formiranje vještina upoređivanja, klasificiranja proučavanih činjenica i pojmova.

Negovanje odgovornog odnosa prema vaspitno-obrazovni rad, volju i upornost za postizanjem krajnji rezultati pri pronalaženju tangentne jednadžbe, kao i pri pronalaženju brzine promjene funkcije i ubrzanja.

Teorijski materijal:

(Geometrijsko značenje izvedenice)

Jednadžba za tangentu na graf funkcije je:

Primjer 1: Nađimo jednadžbu tangente na graf funkcije u tački sa opscisom 2.

Odgovor: y = 4x-7

Nagib k tangente na graf funkcije u tački sa apscisom x o jednak je f / (x o) (k = f / (x o)). Ugao nagiba tangente na graf funkcije u datoj tački je

arctg k \u003d arctg f / (x o), tj. k= f / (x o)= tg

Primjer 2: Pod kojim je uglom sinusoida siječe x-osu u početku?

Ugao pod kojim grafik ove funkcije siječe osu apscise jednak je kutu nagiba a tangente povučene na graf funkcije f (x) u ovoj tački. Nađimo izvod: Uzimajući u obzir geometrijsko značenje izvod, imamo: i a = 60°. Odgovor: =60 0 .

Ako funkcija ima izvod u svakoj točki u svojoj domeni, tada je njezin izvod funkcija . Funkcija, zauzvrat, može imati derivat, koji se zove derivat drugog reda funkcije (ili drugi derivat) i označeni su simbolom .

Primjer 3: Pronađite drugi izvod funkcije: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Na početku nalazimo prvi izvod ove funkcije f "(x) \u003d (x 3 -4x 2 + 2x-7) '= 3x 2 -8x + 2,

Zatim nalazimo drugi izvod dobijenog prvog izvoda

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. Odgovor: f""x) = 6x-8.

(mehaničko značenje druge izvedenice)

Ako se tačka kreće pravolinijski i zadan je zakon njenog kretanja, tada je ubrzanje tačke jednako drugom izvodu putanje u odnosu na vrijeme:

Brzina materijalno telo jednak je prvom izvodu puta, odnosno:

Ubrzanje materijalnog tijela jednako je prvom izvodu brzine, odnosno:

Primjer 4: Tijelo se kreće pravolinijski prema zakonu s (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m). Odrediti njegovu brzinu i ubrzanje u vremenu t = 3 s. (Putanja se mjeri u metrima, vrijeme u sekundama).
Odluka
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Odgovor: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Praktični dio:

1 opcija	Opcija 2	3 opcija	4 opcija	5 opcija
Pronađite tangentu ugla nagiba na os x tangente koja prolazi kroz dati poen M graf funkcije f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije f u tački sa apscisom x 0.
f (x) = x 3 -1, x 0 = 2	f (x) = x 2 +1, x 0 = 1	f (x) = 2x-x 2, x 0 \u003d -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Pronađite nagib tangente na funkciju f u tački sa apscisom x 0.

Pronađite drugi izvod funkcije:

			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Tijelo se kreće pravolinijski prema zakonu x (t). Odredite njegovu brzinu i ubrzanje u ovom trenutku vrijeme t. (Pomak se mjeri u metrima, vrijeme u sekundama).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x (t) = t 4 -0,5t 2 = 2, t = 0,5

Test pitanja:

Šta mislite koje je fizičko značenje derivacije - da li je trenutna ili prosječna brzina?

Kakva je veza između tangente povučene na graf funkcije kroz bilo koju tačku i koncepta derivacije?

Koja je definicija tangente na graf funkcije u tački M (x 0; f (x 0))?

Koje je mehaničko značenje druge izvedenice?

Derivat(funkcije u tački) - osnovni koncept diferencijalni račun karakterizirajući brzinu promjene funkcije (u datoj tački). Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i priraštaja njenog argumenta jer prirast argumenta teži nuli, ako takvo ograničenje postoji. Funkcija koja ima konačan izvod (u nekoj tački) naziva se diferencijabilna (u datoj tački).

Derivat. Razmotrite neku funkciju y = f (x ) u dvije tačke x 0 i x 0 + : f (x 0) i f (x 0 + ). Ovdje, označeno nekom malom promjenom u argumentu, tzv povećanje argumenta; odnosno razlika između dvije vrijednosti funkcije: f (x 0 + )  f (x 0 ) se zove povećanje funkcije.derivat funkcije y = f (x ) u tački x 0 zove limit:

Ako ovo ograničenje postoji, onda funkcija f (x ) se zove diferencibilan u tački x 0 . Derivat funkcije f (x ) označava se kako slijedi:

Geometrijsko značenje izvedenice. Razmotrimo graf funkcije y = f (x ):

Sa slike 1 se može vidjeti da za bilo koje dvije tačke A i B grafa funkcije:

gdje je ugao nagiba sekante AB.

Dakle, odnos razlike je jednak nagibu sekante. Ako fiksiramo tačku A i pomjerimo tačku B prema njoj, onda se ona neograničeno smanjuje i približava se 0, a sekansa AB približava tangenti AC. Dakle, granica omjera razlike jednaka je nagibu tangente u tački A. Iz ovoga slijedi: derivacija funkcije u tački je nagib tangente na graf te funkcije u toj tački. U tome se sastoji geometrijsko značenje derivat.

Tangentna jednadžba. Izvedemo jednadžbu tangente na graf funkcije u tački A ( x 0 , f (x 0 )). U opštem slučaju, jednačina prave linije sa nagibom f ’(x 0 ) izgleda kao:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Naći b, koristimo činjenicu da tangenta prolazi kroz tačku A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

odavde b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , i zamjenjujući ovaj izraz za b, dobićemo tangentna jednačina:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x-x 0 ) .

Mehaničko značenje izvedenice. Razmislite najjednostavniji slučaj: kretanje materijalna tačka zajedno koordinatna osa, a zakon kretanja je dat: koordinata x pokretna tačka je poznata funkcija x (t) vrijeme t. Tokom vremenskog intervala od t 0 do t 0 + tačka se pomiče na udaljenost: x (t 0 + ) x (t 0) = , i njegovo prosječna brzina je jednako: v a =  . Na 0 vrijednosti prosječna brzina teži određenoj vrijednosti, koja se zove trenutna brzina v ( t 0 ) materijalna tačka u vremenu t 0 . Ali po definiciji derivata, imamo:

odavde v (t 0 ) = x' (t 0 ) , tj. brzina je derivacija koordinate on vrijeme. U tome se sastoji mehanički smisao derivat . Isto tako, ubrzanje je derivat brzine u odnosu na vrijeme: a = v' (t).

8. Tabela derivata i pravila diferencijacije

O tome šta je derivacija govorili smo u članku „Geometrijsko značenje derivacije“. Ako je funkcija data grafom, njen izvod u svakoj tački jednak je tangenti nagiba tangente na graf funkcije. A ako je funkcija data formulom, pomoći će vam tablica izvoda i pravila diferencijacije, odnosno pravila za pronalaženje izvoda.

§ 2. Definicija derivata.

Neka funkcija y= f(x) definisano na intervalu ( a;b). Razmotrite vrijednost argumenta

(a;b) . Hajde da povećamo argument ∆ x 0 tako da je uslov ( x 0 +∆ x)

a;b). Označimo odgovarajuće vrijednosti funkcije kroz y 0 i y 1:

y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 0 +∆ x). Kada se krećete iz x 0 to x 0 +∆ x funkcija će se povećati

∆y= y 1 -y 0 = f(x 0 +∆ x) -f(x 0 ). Ako, u težnji ∆ x na nulu postoji ograničenje omjera prirasta funkcije ∆y na prirast argumenta koji ga je pozvao ∆ x,

one. postoji granica

=

,

tada se ova granica naziva derivacijom funkcije y= f(x) u tački x 0 . Dakle, derivacija funkcije y= f(x) u tački x=x 0 postoji ograničenje omjera prirasta funkcije i inkrementa argumenta kada inkrement argumenta teži nuli. Derivat funkcije y= f(x) u tački x označene simbolima (x) ili (x). Oznake se također koriste , , ,. Posljednje tri oznake naglašavaju činjenicu da se derivacija uzima u odnosu na varijablu x.

Ako je funkcija y= f(x) ima izvod u svakoj tački nekog intervala, onda na ovom intervalu izvod ( x) je argument funkcija x.

§ 3. Mehaničko i geometrijsko značenje izvoda.

Jednadžbe normale i tangente na graf funkcije.

Kao što je prikazano u § 1, trenutna brzina tačke je

v = .

Ali to znači da je brzina v je derivacija prijeđene udaljenosti S po vremenu t ,

v =. Dakle, ako je funkcija y= f(x) opisuje zakon pravolinijsko kretanje materijalna tačka gde y je put koji pređe materijalna tačka od trenutka početka kretanja do trenutka vremena x, zatim derivat ( x) određuje trenutnu brzinu jedne tačke u datom trenutku x. Ovo je mehaničko značenje izvedenice.

U § 1 smo također pronašli nagib tangente na graf funkcije y= f(x) k= tgα= . Ova relacija znači da je nagib tangente jednak derivaciji ( x). Strogo govoreći, derivat ( x) funkcije y= f(x) , izračunato sa vrijednošću argumenta jednakom x, jednak je nagibu tangente na graf ove funkcije u tački čija je apscisa jednaka x. Ovo je geometrijsko značenje izvedenice.

Neka u x=x 0 funkcija y= f(x) poprima vrednost y 0 =f(x 0 ) , a graf ove funkcije ima tangentu u tački s koordinatama ( x 0 ;y 0). Zatim nagib tangente

k = ( x 0). Koristeći jednadžbu prave linije koja prolazi dati poen u datom pravcu ( y-y 0 =k(x-x 0)), pišemo tangentnu jednačinu:

Prava koja prolazi kroz tačku dodira okomita na tangentu naziva se normala na krivulju. Pošto je normala okomita na tangentu, njen nagib k norma se odnosi na nagib tangente k relacija poznata iz analitičke geometrije: k norme = ─ , tj. za normalan prolaz kroz tačku sa koordinatama ( x 0 ;y 0),k norma = ─ . Dakle, jednadžba za ovu normalu je:

(pod uslovom da

).

§ 4. Primjeri izračunavanja derivata.

Za izračunavanje derivacije funkcije y= f(x) u tački x, potrebno:

Argument x prirast ∆ x;

Pronađite odgovarajući prirast funkcije ∆ y=f(x+∆x) -f(x);

Sastavite relaciju ;

Pronađite granicu ovog omjera za ∆ x→0.

Primjer 4.1. Pronađite izvod funkcije y=C=konst.

Argument x dati prirast ∆ x.

Kako god x, ∆y=0: ∆y=f(x+∆x) ─f(x)=S─S=0;

Odavde =0 i =0, tj. =0.

Primjer 4.2. Pronađite izvod funkcije y=x.

∆ y=f(x+∆x) ─f(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1, tj. =1.

Primjer 4.3. Pronađite izvod funkcije y=x 2.

∆ y= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, tj. =2 x.

Primjer 4.4. Naći derivaciju funkcije y=sin x.

∆ y=grijeh( x+∆x) -sin x= 2sin cos( x+);

=

;

=

= cos x, tj. = cos x.

Primjer 4.5. Pronađite izvod funkcije y=

.

=

, tj. = .

MEHANIČKO ZNAČENJE DERIVATA

Iz fizike je poznato da ravnomerno kretanje ima oblik s = v t, gdje s- put pređen do tačke u vremenu t, v je brzina ravnomjernog kretanja.

Međutim, pošto većina kretanja koja se dešavaju u prirodi su neujednačena, zatim u opštem slučaju brzina, a samim tim i udaljenost s zavisiće od vremena t, tj. će biti funkcija vremena.

Dakle, neka se materijalna tačka kreće pravolinijski u jednom smjeru u skladu sa zakonom s=s(t).

Zabilježite trenutak u vremenu t 0 . Do ove tačke, tačka je prošla putanju s=s(t 0 ). Odredimo brzinu v materijalne tačke u vremenu t 0 .

Da biste to učinili, razmotrite neki drugi trenutak u vremenu t 0 + Δ t. Odgovara pređenoj udaljenosti s =s(t 0 + Δ t). Zatim za vremenski interval Δ t tačka je prešla putanju Δs =s(t 0 + Δ t)–s(t).

Hajde da razmotrimo odnos. Zove se prosječna brzina u vremenskom intervalu Δ t. Prosječna brzina ne može precizno okarakterizirati brzinu kretanja tačke u ovom trenutku t 0 (jer je kretanje neravnomjerno). Da biste preciznije izrazili ovu pravu brzinu koristeći prosječnu brzinu, trebate uzeti manji vremenski interval Δ t.

Dakle, brzina kretanja u datom trenutku t 0 (trenutna brzina) je granica prosječne brzine u intervalu od t 0 do t 0 +Δ t kada Δ t→0:

one. brzina neravnomernog kretanja je derivacija prijeđene udaljenosti u odnosu na vrijeme.

GEOMETRIJSKO ZNAČENJE DERIVATA

Hajde da prvo uvedemo definiciju tangente na krivu u datoj tački.

Neka imamo krivu i fiksnu tačku na njoj M 0(vidi sliku) Razmotrite još jednu stvar M ovu krivu i nacrtajte sekantu M 0 M. Ako tačka M počinje da se kreće duž krive i tačke M 0 ostaje nepomičan, sekansa mijenja svoj položaj. Ako, sa neograničenom aproksimacijom tačke M krivulja do tačke M 0 na bilo kojoj strani, sekansa teži da zauzme poziciju određene prave linije M 0 T, zatim prava linija M 0 T naziva se tangenta na krivu u datoj tački M 0.

to., tangenta na krivu u datoj tački M 0 naziva se granična pozicija sekante M 0 M kada je tačka M teži duž krive do tačke M 0.

Razmislite sada kontinuirana funkcija y=f(x) i krivulja koja odgovara ovoj funkciji. Za neku vrijednost X 0 funkcija uzima vrijednost y0=f(x0). Ove vrijednosti x 0 i y 0 na krivoj odgovara tački M 0 (x 0; y 0). Hajde da damo argument x0 prirast Δ X. Nova vrijednost argumenta odgovara uvećanoj vrijednosti funkcije y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Dobili smo poen M(x 0+Δ x; y 0+Δ y). Nacrtajmo sekantu M 0 M i označimo sa φ ugao koji formira sekansa sa pozitivnim smerom ose Ox. Hajde da napravimo relaciju i primetimo da .

Ako sada Δ x→0, dakle, zbog kontinuiteta funkcije Δ at→0, a samim tim i tačka M, krećući se duž krivulje, neograničeno se približava tački M 0. Zatim sekansa M 0 Mće težiti da zauzme poziciju tangente na krivu u tački M 0, i ugao φ→α na Δ x→0, gdje α označava ugao između tangente i pozitivnog smjera ose Ox. Kako funkcija tg φ kontinuirano ovisi o φ na φ≠π/2, tada će pri φ→α tg φ → tg α i, prema tome, nagib tangente biti:

one. f"(x)= tgα .

Dakle, geometrijski y "(x 0) predstavlja nagib tangente na graf ove funkcije u tački x0, tj. za datu vrijednost argumenta x, derivacija je jednaka tangenti ugla koji formira tangenta na graf funkcije f(x) na odgovarajućoj tački M 0 (x; y) sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Primjer. Pronađite nagib tangente na krivulju y = x 2 u tački M(-1; 1).

To smo već vidjeli ( x 2)" = 2X. Ali nagib tangente na krivu je tg α = y"| x=-1 = - 2.

Geometrijsko, mehaničko, ekonomsko značenje izvedenice

Definicija derivata.

Predavanje №7-8

Bibliografija

1 Ukhobotov, V. I. Matematika: Tutorial.- Chelyabinsk: Chelyab. stanje un-t, 2006.- 251 str.

2 Ermakov, V.I. Zbirka zadataka iz više matematike. Tutorial. -M.: INFRA-M, 2006. - 575 str.

3 Ermakov, V.I. Opšti kurs višu matematiku. Udžbenik. -M.: INFRA-M, 2003. - 656 str.

Tema "Derivat"

Cilj: objasniti pojam derivacije, pratiti odnos između kontinuiteta i diferencijabilnosti funkcije, pokazati primjerima primjenjivost korištenja izvoda.

Ova granica u ekonomiji naziva se granični trošak proizvodnje.

Definicija derivata. Geometrijsko i mehaničko značenje derivacije, jednačina funkcije tangente na graf.

Trebam kratak odgovor (bez dodatne vode)

Dead_white_snow

Derivat je osnovni koncept diferencijalnog računa, koji karakterizira brzinu promjene funkcije.
Geometrijski?
Tangenta na funkciju u tački... .
Uvjet povećanja funkcije: f "(x) > 0.
Uvjet funkcije smanjenja: f "(x)< 0.
Prevojna tačka ( neophodno stanje) : f " " (x0) = 0.
Konveksno nagore: f " " (x) Konveksno nadole: f " " (x) >0
Normalna jednadžba: y=f(x0)-(1/f`(x0))(x-x0)
Mehanički?
Brzina je izvod u odnosu na udaljenost, ubrzanje je izvod u odnosu na brzinu, a drugi izvod u odnosu na udaljenost...
Jednadžba tangente na graf funkcije f u tački x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Korisnik je obrisan

Ako postoji ograničenje omjera delta y prema delta x priraštaja funkcije delta y prema inkrementu argumenta delta x koji ga je uzrokovao kada delta x teži nuli, tada se ovo ograničenje naziva derivacijom funkcije y = f(x) u datoj tački x i označava se sa y" ili f "(x)
Brzina v pravolinijskog kretanja je derivacija putanje s u odnosu na vrijeme t: v = ds/dt. Ovo je mehaničko značenje izvedenice.
Nagib tangente na krivulju y = f (x) u tački sa apscisom x nula je izvod f "(x nula). Ovo je geometrijsko značenje izvoda.
Tangentna kriva u tački M nula naziva se prava linija M nula T, čiji je nagib jednak granici nagiba sekansa M nula M jedan kada delta x teži nuli.
tg phi = lim tg alfa kako se delta x približava nuli = lim (delta x/delta y) kako se delta x približava nuli
Iz geometrijskog značenja derivacije, tangentna jednačina će imati oblik:
y - y null = f "(x null) (x - x null)

Derivat(funkcije u tački) - osnovni koncept diferencijalnog računa, koji karakterizira brzinu promjene funkcije (u datoj tački). Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i priraštaja njenog argumenta jer prirast argumenta teži nuli, ako takvo ograničenje postoji. Funkcija koja ima konačan izvod (u nekoj tački) naziva se diferencijabilna (u datoj tački).

Ako ovo ograničenje postoji, onda funkcija f (x ) se zove diferencibilan u tački x 0 . Derivat funkcije f (x ) označava se kako slijedi:

Geometrijsko značenje izvedenice. Razmotrimo graf funkcije y = f (x ):

Sa slike 1 se može vidjeti da za bilo koje dvije tačke A i B grafa funkcije:

gdje je ugao nagiba sekante AB.

Tangentna jednadžba. Izvedemo jednadžbu tangente na graf funkcije u tački A ( x 0 , f (x 0 )). U opštem slučaju, jednačina prave linije sa nagibom f ’(x 0 ) izgleda kao:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Naći b, koristimo činjenicu da tangenta prolazi kroz tačku A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

odavde b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , i zamjenjujući ovaj izraz za b, dobićemo tangentna jednačina:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x-x 0 ) .

Mehaničko značenje izvedenice. Razmotrimo najjednostavniji slučaj: kretanje materijalne tačke duž koordinatne ose, a zadan je zakon kretanja: koordinata x pokretna tačka je poznata funkcija x (t) vrijeme t. Tokom vremenskog intervala od t 0 do t 0 + tačka se pomiče na udaljenost: x (t 0 + )  x (t 0) = , i njegovo prosječna brzina je jednako: v a =  . Kod 0, vrijednost prosječne brzine teži određenoj vrijednosti, koja se naziva trenutna brzina v ( t 0 ) materijalna tačka u vremenu t 0 . Ali po definiciji derivata, imamo:

8. Tabela derivata i pravila diferencijacije

Mehaničko značenje izvedenice

Mehaničko tumačenje derivacije prvi je dao I. Newton. Sastoji se u sljedećem: brzina kretanja materijalne tačke u datom trenutku jednaka je derivaciji putanje u odnosu na vrijeme, tj. Dakle, ako je zakon kretanja materijalne tačke zadan jednadžbom, tada da biste pronašli trenutnu brzinu tačke u nekom određenom trenutku vremena, morate pronaći derivaciju i u nju zamijeniti odgovarajuću vrijednost t.

Izvod drugog reda i njegovo mehaničko značenje

Dobijamo (jednačina iz onoga što je urađeno u udžbeniku Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. "Matematika", str. 240):

dakle, ubrzanje pravolinijskog kretanja tijela u datom trenutku jednako je drugom izvodu putanje u odnosu na vrijeme, izračunatom za dati trenutak. Ovo je mehaničko značenje druge izvedenice.

Definicija i geometrijsko značenje diferencijala

Definicija 4. Glavni dio prirasta funkcije, linearan u odnosu na prirast funkcije, linearan u odnosu na prirast nezavisne varijable, naziva se diferencijal funkcije i označava se sa d, tj. .

Diferencijal funkcije je geometrijski predstavljen prirastom ordinate tangente povučene u tački M (x; y) za date vrijednosti x i ?x.

proračun diferencijal - .

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima - , približna vrijednost prirasta funkcije poklapa se s njenim diferencijalom.

Teorema 1.Ako se diferencijabilna funkcija povećava (smanjuje) u datom intervalu, onda derivacija ove funkcije nije negativna (nije pozitivna) u ovom intervalu.

Teorema 2.Ako je izvedena funkcija je pozitivna (negativna) u nekom intervalu, onda je funkcija u ovom intervalu monotono rastuća (monotono opadajuća).

Formulirajmo sada pravilo za pronalaženje intervala monotonosti funkcije

1. Izračunajte derivaciju ove funkcije.

2. Pronađite tačke u kojima je jednak nuli ili ne postoji. Ove tačke se nazivaju kritičan za funkciju

3. Koristeći pronađene tačke, domen funkcije se dijeli na intervale na kojima derivacija zadržava svoj predznak. Ovi intervali su intervali monotonosti.

4. Pregledajte znak na svakom od pronađenih intervala. Ako na razmatranom intervalu, onda se na ovom intervalu povećava; ako, onda se smanjuje na takvom intervalu.

U zavisnosti od uslova zadatka, pravilo za pronalaženje intervala monotonosti može se pojednostaviti.

Definicija 5. Tačka se naziva maksimalnom (minimumom) tačke funkcije ako nejednakost vrijedi za bilo koje x iz neke okoline tačke.

Ako je tačka maksimuma (minimuma) funkcije, onda to kažu (minimum) u tački. Maksimalne i minimalne funkcije objedinjuju naslov ekstrem funkcije, a maksimalna i minimalna točka se pozivaju ekstremne tačke (ekstremne tačke).

Teorema 3.(neophodan znak ekstrema). Ako je tačka ekstrema funkcije i derivacija postoji u ovoj tački, onda je jednaka nuli: .

Teorema 4.(dovoljan znak ekstrema). Ako derivacija promijeni predznak kada x prođe kroz a, tada je a tačka ekstrema funkcije.

Glavne tačke proučavanja derivata:

1. Pronađite izvod.

2. Pronađite sve kritične točke iz domene funkcije.

3. Postavite predznake derivacije funkcije pri prolasku kroz kritične tačke i ispišite tačke ekstrema.

4. Izračunajte vrijednosti funkcije u svakoj ekstremnoj tački.

Neka je data materijalna tačka na ravni. Zakon njegovog kretanja duž koordinatne ose opisan je zakonom $ x(t) $, gdje $ t $ određuje vrijeme. Tada u vremenu od $ t_0 $ do $ t_0 + \Delta t $ tačka pređe putanju $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $. Ispostavilo se da prosječna brzina takva tačka se nalazi po formuli: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Ako $ \Delta t $ teži nuli, tada će vrijednost prosječne brzine težiti vrijednosti tzv. trenutna brzina u tački $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

Definicijom derivacije kroz granicu dobijamo vezu između brzine i zakona kretanja putanje materijalne tačke:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Primjeri rješenja

Primjer 1
Izračunajte trenutnu brzinu materijalne tačke u trenutku $ t_0 = 1 $ koja se kreće prema zakonu $ x(t) = t^2+3t-1 $
Odluka
Po definiciji mehaničkog značenja derivacije, dobijamo zakon brzine materijalne tačke: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Znajući trenutak vremena $ t_0 = 1 $ iz uslova zadatka, nalazimo brzinu u ovom trenutku: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Dobili smo da je trenutna brzina tačke u trenutku $ t_0 = 1 $ jednaka $ v = 5 $ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo obezbediti detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom proračuna i prikupiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete kredit od nastavnika!
Odgovori
$$ v(t_0) = 5 $$

Primjer 2
Kretanje materijalne tačke je dato zakonom $ x(t)=t^2-t+3 $. Pronađite u kom trenutku u vremenu $ t_0 $ će brzina ove tačke biti nula.
Odluka
Kako je brzina derivat zakona putanje kretanja: