Sa segmentom jedinične dužine, stari matematičari su već znali: znali su, na primjer, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.
Iracionalni su:
Primjeri dokaza iracionalnosti
Koren od 2
Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:
.Iz ovoga slijedi da je čak, dakle, čak i . Neka gdje cijeli. Onda
Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da su i parni, što je u suprotnosti sa nesvodljivošću razlomka . Dakle, prvobitna pretpostavka je bila pogrešna i predstavlja iracionalan broj.
Binarni logaritam broja 3
Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Onda
Ali jasno je, čudno je. Dobijamo kontradikciju.
e
istorija
Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750. pne - oko 690. pre nove ere) otkrio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.
Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. godine prije Krista), pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trougla sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, onda taj broj mora biti i paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:
- Omjer dužine hipotenuze i dužine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a I b odabrana kao najmanja moguća.
- Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
- Jer a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
- Ukoliko a:b nesvodivo b mora biti čudno.
- Jer ačak, označiti a = 2y.
- Onda a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², dakle b je paran onda bčak.
- Međutim, to je i dokazano b odd. Kontradikcija.
Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući pretpostavku koja leži u osnovi cijele teorije da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.
vidi takođe
Bilješke
| Numerički sistemi | |
|---|---|
| Brojanje setovi |
cijeli brojevi () |
Razumijevanje brojeva, posebno prirodnih, jedna je od najstarijih matematičkih "vještina". Mnoge civilizacije, čak i moderne, pripisivale su neka mistična svojstva brojevima zbog njihovog velikog značaja u opisivanju prirode. Iako moderna nauka i matematika ne potvrđuju ova "magična" svojstva, značaj teorije brojeva je neosporan.
Istorijski gledano, mnogi prirodni brojevi su se prvo pojavili, a onda su im vrlo brzo dodani razlomci i pozitivni iracionalni brojevi. Nakon ovih podskupova skupa realnih brojeva uvedeni su nula i negativni brojevi. Posljednji skup, skup kompleksnih brojeva, pojavio se tek s razvojem moderne nauke.
U modernoj matematici brojevi se ne uvode istorijskim redom, iako mu je prilično blizak.
Prirodni brojevi $\mathbb(N)$
Skup prirodnih brojeva se često označava kao $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, i često je dopunjen nulom da označi $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definira operacije sabiranja (+) i množenja ($\cdot$) sa sljedećim svojstvima za bilo koje $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ skup $\mathbb(N)$ je zatvoren sabiranjem i množenjem
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativnost
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asocijativnost
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivnost
5. $a\cdot 1=a$ je neutralni element za množenje
Pošto skup $\mathbb(N)$ sadrži neutralni element za množenje, ali ne i za sabiranje, dodavanje nule ovom skupu osigurava da uključuje neutralni element za sabiranje.
Pored ove dvije operacije, na skupu $\mathbb(N)$ relacije "manje od" ($
1. $a b$ trihotomija
2. ako je $a\leq b$ i $b\leq a$, onda je $a=b$ antisimetrija
3. ako je $a\leq b$ i $b\leq c$, onda je $a\leq c$ tranzitivan
4. ako je $a\leq b$, onda $a+c\leq b+c$
5. ako je $a\leq b$, onda $a\cdot c\leq b\cdot c$
Cijeli brojevi $\mathbb(Z)$
Primjeri cijelih brojeva:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rješenje jednačine $a+x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati prirodni brojevi, a $x$ nepoznati prirodni broj, zahtijeva uvođenje nove operacije - oduzimanje(-). Ako postoji prirodan broj $x$ koji zadovoljava ovu jednačinu, onda je $x=b-a$. Međutim, ova konkretna jednadžba ne mora nužno imati rješenje na skupu $\mathbb(N)$, tako da praktična razmatranja zahtijevaju proširenje skupa prirodnih brojeva na način da uključuje rješenja takve jednačine. Ovo dovodi do uvođenja skupa cijelih brojeva: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Pošto je $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logično je pretpostaviti da su prethodno uvedene operacije $+$ i $\cdot$ i relacija $ 1. $0+a=a+0=a$ postoji neutralni element za dodatke
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ postoji suprotan broj $-a$ za $a$
5. Imovina:
5. ako je $0\leq a$ i $0\leq b$, onda $0\leq a\cdot b$
Skup $\mathbb(Z) $ je također zatvoren pod oduzimanjem, to jest, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Racionalni brojevi $\mathbb(Q)$
Primjeri racionalnih brojeva:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Sada razmotrite jednadžbe oblika $a\cdot x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati cijeli brojevi, a $x$ nepoznato. Da bi rješenje bilo moguće, potrebno je uvesti operaciju dijeljenja ($:$), a rješenje postaje $x=b:a$, odnosno $x=\frac(b)(a)$. Opet se javlja problem što $x$ ne pripada uvijek $\mathbb(Z)$, pa se skup cijelih brojeva mora proširiti. Dakle, uvodimo skup racionalnih brojeva $\mathbb(Q)$ sa elementima $\frac(p)(q)$, gdje je $p\in \mathbb(Z)$ i $q\in \mathbb(N) $. Skup $\mathbb(Z)$ je podskup u kojem svaki element $q=1$, dakle $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ i operacije sabiranja i množenja također se primjenjuju na ovaj skup prema na sljedeća pravila, koja čuvaju sva gornja svojstva i na skupu $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Podjela se upisuje ovako:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Na skupu $\mathbb(Q)$, jednačina $a\cdot x=b$ ima jedinstveno rješenje za svako $a\neq 0$ (nije definirano dijeljenje nulom). To znači da postoji inverzni element $\frac(1)(a)$ ili $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Red skupa $\mathbb(Q)$ može se proširiti na ovaj način:
$\frac(p_1)(q_1)
Skup $\mathbb(Q)$ ima jedno važno svojstvo: između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, dakle, ne postoje dva susjedna racionalna broja, za razliku od skupova prirodnih i cijelih brojeva.
Iracionalni brojevi $\mathbb(I)$
Primjeri iracionalnih brojeva:
$\sqrt(2) \približno 1,41422135...$
$\pi \približno 3,1415926535...$
Budući da između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, lako je pogrešno zaključiti da je skup racionalnih brojeva toliko gust da ga nema potrebe dalje širiti. Čak je i Pitagora jednom napravio takvu grešku. Međutim, njegovi savremenici su već opovrgli ovaj zaključak kada su proučavali rješenja jednadžbe $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na skupu racionalnih brojeva. Za rješavanje takve jednačine potrebno je uvesti koncept kvadratnog korijena, a tada rješenje ove jednačine ima oblik $x=\sqrt(2)$. Jednačina tipa $x^2=a$, gdje je $a$ poznati racionalni broj, a $x$ nepoznat, nema uvijek rješenje na skupu racionalnih brojeva, a opet postoji potreba da proširite set. Nastaje skup iracionalnih brojeva, a brojevi kao što su $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... pripadaju ovom skupu.
Realni brojevi $\mathbb(R)$
Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva. Pošto je $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, opet je logično pretpostaviti da uvedene aritmetičke operacije i relacije zadržavaju svoja svojstva na novom skupu. Formalni dokaz ovoga je vrlo težak, pa se gore navedena svojstva aritmetičkih operacija i relacija na skupu realnih brojeva uvode kao aksiomi. U algebri se takav objekt naziva polje, pa se za skup realnih brojeva kaže da je uređeno polje.
Da bi definicija skupa realnih brojeva bila potpuna, potrebno je uvesti dodatni aksiom koji razlikuje skupove $\mathbb(Q)$ i $\mathbb(R)$. Pretpostavimo da je $S$ neprazan podskup skupa realnih brojeva. Element $b\in \mathbb(R)$ naziva se gornja granica $S$ ako $\forall x\in S$ zadovoljava $x\leq b$. Tada se kaže da je skup $S$ ograničen odozgo. Najmanja gornja granica skupa $S$ naziva se supremum i označava se sa $\sup S$. Slično se uvode pojmovi donje granice, skupa ograničenog ispod i infinuma $\inf S$. Sada je aksiom koji nedostaje formuliran na sljedeći način:
Svaki neprazan i odozgo ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum.
Takođe se može dokazati da je polje realnih brojeva koje je gore definisano jedinstveno.
Kompleksni brojevi$\mathbb(C)$
Primjeri kompleksnih brojeva:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ gdje je $i = \sqrt(-1)$ ili $i^2 = -1$
Skup kompleksnih brojeva su svi uređeni parovi realnih brojeva, tj. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na kojima se izvršavaju operacije sabiranja i množenje se definiše na sljedeći način:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Postoji nekoliko načina za pisanje kompleksnih brojeva, od kojih je najčešći $z=a+ib$, gdje je $(a,b)$ par realnih brojeva, a broj $i=(0,1)$ naziva se imaginarna jedinica.
Lako je pokazati da je $i^2=-1$. Proširenje skupa $\mathbb(R)$ na skup $\mathbb(C)$ omogućava određivanje kvadratnog korijena negativnih brojeva, što je bio razlog za uvođenje skupa kompleksnih brojeva. Takođe je lako pokazati da podskup skupa $\mathbb(C)$ dat kao $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ zadovoljava sve aksiome za realne brojeve, dakle $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ili $R\subset\mathbb(C)$.
Algebarska struktura skupa $\mathbb(C)$ u odnosu na operacije sabiranja i množenja ima sljedeća svojstva:
1. komutativnost sabiranja i množenja
2. asocijativnost sabiranja i množenja
3. $0+i0$ - neutralni element za sabiranje
4. $1+i0$ - neutralni element za množenje
5. množenje je distributivno u odnosu na sabiranje
6. Postoji jedan inverzni element i za sabiranje i za množenje.
Definicija iracionalnog broja
Iracionalni brojevi su oni brojevi koji su, u decimalnom zapisu, beskonačni neperiodični decimalni razlomci.
Tako, na primjer, brojevi dobiveni uzimanjem kvadratnog korijena prirodnih brojeva su iracionalni i nisu kvadrati prirodnih brojeva. Ali ne dobijaju se svi iracionalni brojevi vađenjem kvadratnog korijena, jer je broj "pi" dobiven dijeljenjem također iracionalan, i malo je vjerovatno da ćete ga dobiti kada pokušate izvući kvadratni korijen iz prirodnog broja.
Svojstva iracionalnih brojeva
Za razliku od brojeva napisanih u beskonačnim decimalnim razlomcima, samo iracionalni brojevi se zapisuju u neperiodične beskonačne decimalne razlomke.
Zbir dva nenegativna iracionalna broja može na kraju biti racionalan broj.
Iracionalni brojevi definišu Dedekindove sekcije u skupu racionalnih brojeva, u čijoj nižoj klasi nema najvećeg, a u višoj klasi nema nižeg.
Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.
Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
Skup iracionalnih brojeva na liniji je gusto zbijen, a između bilo koja dva njegova broja mora postojati iracionalni broj.
Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, nebrojiv i skup je 2. kategorije.
Prilikom izvođenja bilo koje aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima, osim dijeljenja sa 0, rezultat će biti racionalan broj.
Prilikom dodavanja racionalnog broja iracionalnom broju, rezultat je uvijek iracionalan broj.
Prilikom sabiranja iracionalnih brojeva, kao rezultat možemo dobiti racionalni broj.
Skup iracionalnih brojeva nije paran.
Brojevi nisu iracionalni
Ponekad je prilično teško odgovoriti na pitanje da li je broj iracionalan, posebno u slučajevima kada je broj u obliku decimalnog razlomka ili u obliku brojčanog izraza, korijena ili logaritma.
Stoga neće biti suvišno znati koji brojevi nisu iracionalni. Ako slijedimo definiciju iracionalnih brojeva, tada već znamo da racionalni brojevi ne mogu biti iracionalni.
Iracionalni brojevi nisu:
Prvo, svi prirodni brojevi;
Drugo, cijeli brojevi;
Treće, obični razlomci;
Četvrto, različiti mješoviti brojevi;
Peto, ovo su beskonačni periodični decimalni razlomci.
Pored svega navedenog, bilo koja kombinacija racionalnih brojeva koju izvode znaci aritmetičkih operacija, kao što su +, -, , :, ne može biti iracionalan broj, jer će u ovom slučaju i rezultat dva racionalna broja biti racionalan broj.
Sada da vidimo koji su brojevi iracionalni:
Znate li za postojanje kluba obožavatelja u kojem obožavatelji ovog misterioznog matematičkog fenomena traže sve više informacija o Pi, pokušavajući da razotkriju njegovu misteriju. Članom ovog kluba može postati svaka osoba koja zna napamet određeni broj Pi brojeva nakon decimalnog zareza;
Da li ste znali da u Njemačkoj, pod zaštitom UNESCO-a, postoji palača Castadel Monte, zahvaljujući čijim proporcijama možete izračunati Pi. Ovom broju je kralj Fridrik II posvetio čitavu palatu.
Ispostavilo se da su pokušali da koriste broj Pi u izgradnji Vavilonske kule. Ali, na našu veliku žalost, to je dovelo do propasti projekta, jer u to vrijeme tačan proračun vrijednosti Pi nije bio dovoljno proučen.
Pevačica Kejt Buš na svom novom disku snimila je pesmu pod nazivom "Pi", u kojoj je zvučalo sto dvadeset četiri broja iz čuvene serije brojeva 3, 141 ... ..
Sam koncept iracionalnog broja je tako uređen da se definiše kroz negaciju svojstva "biti racionalan", stoga je dokaz kontradikcijom ovdje najprirodniji. Međutim, moguće je ponuditi sljedeće obrazloženje.
Kako se fundamentalno racionalni brojevi razlikuju od iracionalnih? Oba se mogu aproksimirati racionalnim brojevima sa bilo kojom preciznošću, ali za racionalne brojeve postoji aproksimacija sa "nultom" preciznošću (sam broj), ali za iracionalne brojeve to više nije slučaj. Pokušajmo se igrati s tim.
Prije svega, primjećujemo tako jednostavnu činjenicu. Neka su $%\alpha$%, $%\beta$% dva pozitivna broja koja se aproksimiraju jedan drugom sa tačnošću od $%\varepsilon$%, tj. $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Šta će se dogoditi ako obrnemo brojeve? Kako to mijenja tačnost? Lako je vidjeti da je $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ što će biti striktno manje od $%\varepsilon$% za $%\alpha\beta>1$%. Ova tvrdnja se može smatrati nezavisnom lemom.
Sada stavimo $%x=\sqrt(2)$%, i neka je $%q\in(\mathbb Q)$% racionalna aproksimacija $%x$% sa preciznošću $%\varepsilon$%. Znamo da je $%x>1$%, a što se tiče $%q$% aproksimacije, zahtijevamo da nejednakost $%q\ge1$% bude zadovoljena. Za sve brojeve manje od $%1$%, tačnost aproksimacije će biti lošija od one samog $%1$% i stoga ih nećemo razmatrati.
Dodajmo $%1$% svakom od brojeva $%x$%, $%q$%. Očigledno, tačnost aproksimacije će ostati ista. Sada imamo brojeve $%\alpha=x+1$% i $%\beta=q+1$%. Prelaskom na recipročne vrijednosti i primjenom "leme", doći ćemo do zaključka da se naša tačnost aproksimacije poboljšala, postajući striktno manja od $%\varepsilon$%. Traženi uslov $%\alpha\beta>1$% je ispunjen čak i sa marginom: u stvari, znamo da su $%\alpha>2$% i $%\beta\ge2$%, iz čega možemo zaključiti da tačnost je poboljšana najmanje $%4$% puta, tj. ne prelazi $%\varepsilon/4$%.
A evo glavne stvari: po uslovu, $%x^2=2$%, to jest, $%x^2-1=1$%, što znači da je $%(x+1)(x- 1) =1$%, to jest, brojevi $%x+1$% i $%x-1$% su inverzni jedan prema drugom. A to znači da će $%\alpha^(-1)=x-1$% biti aproksimacija (racionalnom) broju $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% sa tačnost striktno manja od $%\varepsilon$%. Ostaje da se ovim brojevima doda $%1$% i ispada da broj $%x$%, odnosno $%\sqrt(2)$%, ima novu racionalnu aproksimaciju jednaku $%\beta ^(- 1)+1$%, tj. $%(q+2)/(q+1)$%, sa "poboljšanom" preciznošću. Ovim je dokaz završen, budući da racionalni brojevi, kao što smo gore napomenuli, imaju "apsolutno tačnu" racionalnu aproksimaciju sa tačnošću od $%\varepsilon=0$%, pri čemu se tačnost u principu ne može povećati. I uspjeli smo, što govori o neracionalnosti našeg broja.
Zapravo, ovaj argument pokazuje kako konstruirati konkretne racionalne aproksimacije za $%\sqrt(2)$% sa sve boljom preciznošću. Prvo moramo uzeti aproksimaciju $%q=1$%, a zatim primijeniti istu formulu zamjene: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Ovaj proces proizvodi sljedeće: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ i tako dalje.
primjer:
\(4\) je racionalan broj, jer se može napisati kao \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) je također racionalan jer se može napisati kao \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - a ovo je racionalan broj: može se predstaviti kao \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) je racionalan jer se može predstaviti kao \(\frac(1)(2)\) . Zaista, možemo izvesti lanac transformacija \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)
iracionalan broj je broj koji se ne može zapisati kao razlomak s cijelim brojnikom i nazivnikom.
Nemoguće jer je tako beskrajno razlomci, pa čak i neperiodične. Dakle, ne postoje cijeli brojevi koji bi, kada bi se podijelili jedan s drugim, dali iracionalan broj.
primjer:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) je iracionalan broj;
\(π≈3.1415926… \) je iracionalan broj;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) je iracionalan broj.
Primjer
(Zadatak od OGE). Vrijednost kojeg od izraza je racionalan broj?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).
Rješenje:
1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) također je nemoguće predstaviti broj kao razlomak s cijelim brojevima , stoga je broj iracionalan.
2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - nema više korijena, broj se lako može predstaviti kao razlomak, na primjer, \(\frac(-5)(1)\) , tako da je racionalan.
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - korijen se ne može izdvojiti - broj je iracionalan.
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) je također iracionalan.