Nesvodljivi polinom je polinom koji se ne može rastaviti na netrivijalne polinome. Nesvodljivi polinomi su nesvodljivi elementi polinomskog prstena.

Nesvodljivi polinom nad poljem je polinom od varijabli preko polja je jednostavan element prstena , tj., ne može se predstaviti kao proizvod , gdje su i polinomi s koeficijentima iz , koji se razlikuju od konstanti.

Polinom f nad poljem F naziva se nesvodljivim (jednostavnim) ako ima pozitivan stepen i nema netrivijalnih djelitelja (tj., bilo koji djelitelj je ili povezan s njim ili s jedinicom)

Prijedlog 1

Neka bude R- nesvodiva i ali je bilo koji polinom prstena F[x]. Onda bilo R deli ali, ili R I ali su coprime.

Prijedlog 2

Neka bude f∈ F[x], i stepen f = 1, pa je f nesvodljivi polinom.

Na primjer: 1. Uzmimo polinom x+1 nad poljem Q. Njegov stepen je 1, što znači da je nesvodljiv.

2. x2 +1 je nesvodljivo, jer nema korijena

SLN. Sistemsko rješenje. Zajednički, nekompatibilni, određeni i neodređeni sistemi. Ekvivalentni sistemi

sistem linearne jednačine nad poljem F sa varijablama h1,…hn je sistem oblika

ali 11 X 1 + … + a 1n x n= b 1

………………………..

a m1 x 1 + … + a mn x n= b m

gdje a ik,b i∈ F, m je broj jednačina, a n je broj nepoznatih. Ukratko, ovaj sistem se može napisati na sljedeći način: ai1x1 + … + a in x n= b i (i = 1,…m.)

Ovaj SLE je uslov sa n slobodnih varijabli x 1,….hn.

SLN se dijele na nekompatibilne (nemaju rješenja) i zajedničke (određene i neodređene). Zajednički sistem pogleda naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje; ako ima najmanje dva različita rješenja, onda se naziva neodređenim.

Na primjer: preko Q polja

x + y \u003d 2 - nekompatibilan sistem

x - y = 0 - zglob definitivan (x, y \u003d ½)

2x + 2y \u003d 2 - zglob neodređen

Dva L.O. sistema su ekvivalentni ako su skupovi rješenja ovih sistema isti, odnosno, svako rješenje jednog sistema je istovremeno rješenje drugog. Sistem ekvivalentan ovom može se dobiti:

1. zamjenom jedne od jednadžbi ovom jednačinom, pomnoženom bilo kojim brojem koji nije nula.

2. zamjena jedne od jednačina zbirom ove jednačine drugom jednačinom sistema.

Rješenje SLE se izvodi Gaussovom metodom.

45* Elementarne transformacije sistemi linearnih jednačina (slu). Gaussova metoda.

Def.Elementarne transformacije S.L.U n-Xia slijedeće transformacije:

1. Množenje jedne od sistemskih jednačina sistema nenultim elementom polja.

2. Dodaci jednoj od jednačina sistema druge jednačine, pomnoženi elementom polja.

3. Dodavanje u sistem ili isključivanje iz sistema nenulte jednačine 0*h1+0*h2+…+0*hn=0

4. Zamjena jednačina

SugestijaNeka se sistem (**) ili sistem (*) dobije uz pomoć konačnog broja. Elementarne transformacije. Zatim sistem (**) ~ sistem (*). (bez priključne stanice)

zamjenik Prilikom pisanja sistema linearnih jednačina koristićemo matričnu notaciju.

a11 a12 ... a1n in1

a21 a22 ... a2n v2

………………….... …

Am1 am2 ... amn gostionica

Primjeri: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1

x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Gaussova metoda

Sugestija Neka sistem (*)

(a) ako su svi slobodni članovi jednaki 0, sva vk=0 mn-in rješenja = F n

(b) k inc=0 0x1+0x2+…+0xn= inc=0 (nema rješenja)

2. nisu svi aij=0

(a) ako sistem ima jednačinu oblika 0h1+0h2+…+0hn= vk=0 0

(b) ako ne postoje takve jednačine b1. Isključimo jednačine različite od nule. Nađimo najmanji indeks i1, takav da nisu svi koeficijenti na xij=0.

0……0……….. …. Druga kolona sa nulama je i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1. Preuređivanjem jednačina postići ćemo da je a1i1 = 0

0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(zadatak) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1

A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( stupio

0…. 0… a2i1 … 0…..0..0… …. Matrica)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

Nakon konačnog broja koraka, dobijamo ili da sistem sadrži jednačinu oblika 0h1+0h2+…+0hn= vk=0 0 ili

0……0 1………….. L1 „naprijed Gauss trčanje“ 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “obrnuto

0.....0 0.....1..... L2 0....0 0.....1........0.... .... .0.... .. Gauss”

0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1... ......0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0...0.......1 ..

Varijable xi1, ...... xik se nazivaju glavnim, ostale su slobodne.

k=n => c-a definitivno

k c-a neodređeno. Slobodnim varijablama se mogu dati izvedene vrijednosti, a vrijednosti glavnih varijabli mogu se izračunati.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

Algoritmi za množenje i dijeljenje brojeva u decimalnom brojevnom sistemu

Određivanje prosjeka i graničnih odstupanja i potrebnog broja selekcija

Odgovor Motovila na knjigu Petra Skarge "O jedinstvu Crkve Božje" 1577(?) - prvi polemički tvir Ostrozkog u sredini.

Pitanje br. 1. Isparavanje vlage i razgradnja karbonata u visokoj peći. Termodinamika razgradnje karbonata.

SVI nedostajući stupnjevi (i (ili) slobodni termini) bez praznina su upisani u OBA polinome sa nultim koeficijentima.

Poziva se polinom nad prstenom cijelih brojeva primitivno, ako je najveći zajednički djelitelj njegovih koeficijenata 1. Polinom sa racionalni koeficijenti jedini način predstavljen kao proizvod pozitivnog racionalnog broja, tzv sadržaja polinom i primitivni polinom. Proizvod primitivnih polinoma je primitivni polinom. Iz ove činjenice slijedi da ako je polinom s cijelim koeficijentima reducibilan preko polja racionalni brojevi, onda je reducibilan preko prstena cijelih brojeva. Dakle, problem faktoringa polinoma u nesvodljive faktore nad poljem racionalnih brojeva sveden je na sličan problem nad prstenom cijelih brojeva.

Neka je polinom s cijelim koeficijentima i sadržajem 1, i neka je njegov racionalni korijen. Predstavimo korijen polinoma kao nesvodljivi razlomak. Polinom f(x) je predstavljen kao proizvod primitivnih polinoma. shodno tome,

A. brojilac je djelitelj,

B. imenilac - djelitelj

C. za bilo koji cijeli broj k značenje f(k) je cijeli broj koji se može podijeliti bez ostatka sa ( bk-a).

Navedena svojstva omogućavaju nam da smanjimo problem pronalaženja racionalni koreni polinom do konačnog nabrajanja. Sličan pristup se koristi u ekspanziji polinoma f na nesvodljive faktore nad poljem racionalnih brojeva Kronekerovom metodom. Ako je polinom f(x) stepeni n dajemo, onda jedan od faktora ima najviše diplomu n/2. Označimo ovaj faktor sa g(x). Pošto su svi koeficijenti polinoma cijeli brojevi, za bilo koji cijeli broj a značenje f(a) je djeljiv bez ostatka sa g(a). Hajde da izaberemo m= 1+n/2 različita cijela broja a ja , i=1,…,m. Za brojeve g(a i) postoji konačan broj mogućnosti (broj djelitelja bilo kojeg broja različitog od nule je konačan), stoga postoji konačan broj polinoma koji mogu biti djelitelji f(x). Nakon potpunog nabrajanja, ili pokazujemo nesvodljivost polinoma, ili ga proširujemo u proizvod dva polinoma. Navedenu šemu primjenjujemo na svaki faktor sve dok svi faktori ne postanu nesvodljivi polinomi.

Nesvodljivost nekih polinoma nad poljem racionalnih brojeva može se utvrditi korištenjem jednostavnog Eisensteinovog kriterija.

Neka bude f(x) je polinom nad prstenom cijelih brojeva. Ako postoji prost broj str, šta

I. Svi koeficijenti polinoma f(x), osim koeficijenta na najvišem stepenu, dijele se sa str

II. Koeficijent na najvišem stepenu nije djeljiv sa str

III. Slobodni termin nije djeljiv sa

Zatim polinom f(x) je nesvodiv preko polja racionalnih brojeva.

Treba napomenuti da Ajzenštajnov kriterijum daje dovoljne uslove nesvodljivost polinoma, ali nije neophodno. Dakle, polinom je nesvodiv na polje racionalnih brojeva, ali ne zadovoljava Eisensteinov kriterijum.

Polinom , prema Eisensteinovom kriteriju, je nesvodljiv. Prema tome, nad poljem racionalnih brojeva postoji nesvodljivi polinom stepena n, gdje n bilo koji prirodni broj više od 1.

Bilo koji kompleksni broj definira tačku na ravni. Argumenti će biti locirani na jednom složena ravan, vrijednosti f-ii se nalaze na drugoj kompleksnoj ravni.

F(z)- kompleks kompleks varijabla. Među složenim funkcijama kompleksne varijable posebno se ističe klasa kontinuiranih funkcija.

Def: Kompleksna funkcija kompleksne varijable naziva se kontinuirana ako je takva da je .+

geometrijskom smislu u narednom:

Određuje krug u kompleksnoj ravni, sa centrom na z0, sa poluprečnikom< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

Teorema 1: Polinom f(z) je dodijeljen. C(z) je kontinuiran u bilo kojoj tački kompleksne ravni.

Posljedica: modul polinoma u polju kompleksni brojevi je kontinuirana funkcija.

Teorema 2: - prsten polinoma sa kompleksnim koeficijentima, tada takve vrijednosti da .

Teorema 3. (o neograničenom povećanju modula polinoma):

Osnovna teorema algebre:

Svaki polinom nad poljem kompleksnih brojeva koji nije stepena 0 ima barem jedan korijen u polju kompleksnih brojeva.

(U dokazu ćemo koristiti sljedeće tvrdnje):

P: 1. Ako je a n =0, tada je z=0 korijen f(z).

2. ako je a n 0, , onda, prema teoremi 3, nejednakost definira područje u kompleksnoj ravni koje leži izvan kruga poluprečnika S. U ovom području nema korijena, jer stoga, korijene polinoma f(z) treba tražiti unutar regije .

Uzmite u obzir iz T1. slijedi da je funkcija f(z) kontinuirana. Prema Weierstrassovoj teoremi, ona dostiže svoj minimum u nekom trenutku u zatvorenom području, tj. . Pokažimo da je tačka minimalna tačka. Jer 0 E, onda , jer izvan područja E vrijednosti f-ii, tada je z 0 minimalna tačka, na cijeloj kompleksnoj ravni. Pokažimo da je f(z 0)=0. Pretpostavimo da to nije slučaj, onda pomoću d'Alembertove leme dobijamo kontradikciju, jer z 0 minimalna tačka.

Algebarsko zatvaranje:

Def: Polje P se naziva algebarski zatvorenim ako ima barem jedan korijen iznad ovog polja.

Teorema: Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno. (d-in slijedi iz osnovne teoreme algebre).

Polja racionalnog i realni brojevi nisu algebarski zatvoreni.

razgradljivost:

Teorema: bilo koji polinom, nad poljem kompleksnih brojeva, stepena većeg od 1, može se razložiti u proizvod linearnih faktora.

Posledica 1. Polinom stepena n ima tačno n korena nad poljem kompleksnih brojeva.

Sljedeći 2: bilo koji polinom nad poljem kompleksnih brojeva stepena većeg od 1 uvijek je reducibilan.

Def: Brojevi množine C \ R, tj. brojevi oblika a + bi, gdje b nije jednako 0 - nazivaju se imaginarni.

2. Polinomi nad poljem. GCD dva polinoma i Euklidov algoritam. Dekompozicija polinoma u proizvod nesvodivih faktora i njegova jedinstvenost.

Def. Polinom (polinom) od nepoznatog X preko terena R pozvao Algebarski zbir cjelobrojnih nenegativnih potencija X, preuzet sa nekim koeficijentom iz polja R.

Gdje aiÎP ili

Polinomi se nazivaju jednaka, ako su njihovi koeficijenti jednaki na odgovarajućim potencijama nepoznanica.

Stepen polinoma se naziva. najveća vrijednost eksponent nepoznatog, koeficijent na kojem je različit od nule.

Označeno: N(f(x))=n

Skup svih polinoma nad poljem R označeno: P[x].

Polinomi nultog stepena se poklapaju sa elementima polja R, osim nule je nulti polinom, njegov stepen je neodređen.

Operacije nad polinomima.

1. Dodatak.

Neka je n³s, tada je N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).

<P[x],+>

1. operacija sabiranja je izvodljiva i jedinstvenost proizlazi iz jedinstvenosti sabiranja elemenata polja
2. asocijativnost
3. nulti element
4. polinom suprotan datom
5. komutativnost

- abelova grupa

2. Množenje.

Istraživanje algebarske strukture<P[x],*>

1. operacija je izvodljiva, jer polje je operacija množenja. Jedinstvenost proizilazi iz jedinstvenosti operacija na terenu R.
2. asocijativnost
3. polinom identiteta
4. samo su polinomi do stepena nula inverzibilni

<P[x],*>- polugrupa sa elementom identiteta (manoid)

Distributivni zakoni važe, dakle<P[x],+,*> je komutativni prsten sa identitetom.

Deljivost polinoma

ODA: polinom f(x), f(x)nP[x], P– polje je deljivo polinomom g(x), g(x)≠0, g(x)nP[x], ako takav polinom postoji h(x)nP[x] tako da je f(x)=g(x)h(x)

Svojstva djeljivosti:

primjer:, podijeliti stupcem gcd = ( x+3)

Teorema dijeljenja s ostatkom: Za bilo koji polinom f (x), g(x)nP[x], postoji samo jedan polinom q(x) I r(x) takav da f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) ili r(x)=0.

Dock ideja: razmatramo dva slučaja koja postoje n stepen g(x)) i podijeliti f (x) na g (x). Jedinstvenost je dokaz kontradiktornosti.

ODA: f (x) i g(x), f(x), g(x)nP[x], h(x)nP[x] se zove gcd f (x) i g(x) ako

Euklidov algoritam

Zapišimo proces uzastopnog dijeljenja

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)

r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) itd.

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

gcd(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

Ideja dokaza: pokazujemo da je 1 ) f(x):(cijela) d(x) I g(x):(cijela) d(x); 2) f(x):(cijela) h(x) I g(x):(cijela) h(x) mi to pokazujemo d(x):( u potpunosti) h(x).

Linearni prikaz GCD

T: ako d(x) - gcd polinoma f (x) i g(x), tada postoje polinomi v (x) i u(x)nP[x],šta f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

Def: f(x) i g(x)nP[x] uvijek imaju zajedničke djelitelje, naime, polinome nultog stepena koji se poklapaju s poljem P; ako nema drugih zajedničkih djelitelja, tada su f(x) i g(x) koprosti. (simbol: (f(x),g(x))=1)

T:f (x) I g(x) koprime i.i.t.c. postoje polinomi v(x) i u(x)nP[x] takvi da f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Svojstva koprimenih polinoma

1. (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, zatim (f(x),g(x)*q(x))=1
2. f(x)*g(x):(cijeli)h(x) i (f(x),g(x))=1, zatim g(x):( cijeli broj) h(x)
3. f(x):(cijeli)g(x), f(x):(cijeli)h(x) i ( g(x),h(x))=1, zatim f(x):(u potpunosti) g(x)*h(x)

ODA: Polinom f(x), f(x)nP[x] se zove citirano nad poljem P ako se može razložiti na faktore čiji su stepeni veći od 0 i manji od stepena f(x), tj.

f (x)=f 1 (x)f 2 (x), gdje su stepeni f 1 i f 2 >0,

Reducibilnost polinoma zavisi od polja nad kojim se razmatraju. Polinom je nesvodiv (polinom koji se ne faktorizuje na niže faktore) nad poljem Q, i reducibilan je preko polja R.

Svojstva nesvodljivih polinoma:

1. Polinom stepena nula je reducibilan na bilo koje polje
2. Ako je polinom f(x) ne donositi preko terena R, zatim polinom a f(x) se također ne daje preko polja R.
3. Neka su polinomi f (x) I p(x) iznad polja R, i p(x) je nesvodiv preko polja R, onda ima slučajeva

1) polinomi f (x) I p(x) koprimeran

2) f(x):(cijela) p(x)

Polje F se naziva algebarski zatvorenim ako bilo koji polinom pozitivnog stepena nad F ima korijen u F.

Teorema 5.1 (osnovni teorem polinomske algebre). Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno.

Posljedica 5 .1.1. Iznad OD postoje nesvodljivi polinomi samo prvog stepena.

Posljedica 5.1.2. Polinom n stepen završen OD Ima n složeni koreni.

Teorema 5.2. Ako je  kompleksan korijen polinoma f sa realnim koeficijentima, tada je kompleksni konjugat također korijen f.

Posljedica 5 .2.1. Iznad R postoje nesvodljivi polinomi samo prvog ili drugog stepena.

Posljedica 5.2.2. Imaginarni korijeni polinoma preko R podijeliti na parove kompleksnih konjugata.

Primjer 5.1. Faktorizirajte u nesvodljive faktore preko OD i preko R polinom x 4 + 4.

Rješenje. Imamo

x 4 + 4 =x 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (x 2 + 2) 2 – 4X 2 = (x 2 – 2X+ 2)(x 2 + 2X+ 2) –

raspadanje je završeno R. Pronalazeći na uobičajen način kompleksne korijene polinoma drugog stepena u zagradi, dobijamo dekompoziciju preko OD:

x 4 + 4 = (x – 1 – i) (x – 1 + i) (x + 1 – i) (x + 1 + i).

Primjer 5.2. Konstruisati polinom najmanjeg stepena sa realnim koeficijentima koji imaju korene 2 i 1 + i.

Rješenje. Prema posledicama 5.2.2, polinom mora imati korene 2, 1 - i i 1+ i. Njegovi koeficijenti se mogu pronaći pomoću Vieta formula:

 1 \u003d 2 + (1 - i) + (1 +i) = 4;

 2 \u003d 2 (1 - i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 \u003d 2 (1 - i)(1 + i) = 4.

Odavde f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Vježbe.

5.1. Faktorizirajte u nesvodljive faktore preko OD i preko R polinomi:

ali) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Nacrtajte polinom najmanjeg stepena sa realnim koeficijentima koji imaju dvostruki korijen od 1 i jednostavan korijen od 1 – 2 i.

6. Polinomi nad poljem racionalnih brojeva

Teorema 6.1 (Eisensteinov kriterijum). Neka bude f = a 0 +a 1 x + ...+ a n x n je polinom sa cijelim koeficijentima. Ako postoji takav prost broj str, šta a 0 , a 1 , … , a n-1 podijeljeno sa str, a n nije djeljivo sa str,a 0 nije djeljivo sa str 2, dakle f nije reducibilno preko polja racionalnih brojeva.

Vježba 6.1. Dokažite nesvodljivost preko Q polinomi:

ali) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3; b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Teorema 6.2. Neka bude je nesvodljivi razlomak koji je korijen polinoma f = a 0 + a 1 x + … + a n x n sa cjelobrojnim koeficijentima. Onda

a 0  str, a n  q;

f(1)  p-q,f(–1)  p+q.

Ova teorema nam omogućava da riješimo problem pronalaženja racionalnih korijena polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima. Da bismo to učinili, odredimo sve djelitelje slobodnog člana i vodeći koeficijent i od njih gradimo sve vrste nesvodljivih razlomaka. Svi racionalni korijeni sadržani su među ovim razlomcima. Hornerova shema se može koristiti za njihovo određivanje. Da bismo izbjegli nepotrebne proračune u njemu, koristimo tvrdnju 2) teoreme 6.2.

Primjer 6.1. Pronađite racionalne korijene polinoma

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Rješenje. Zapisujemo sve razlomke čiji brojnici str su djelitelji 18 i imenioci q- razdjelnici 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Provjeravamo ih prema Horner shemi:

						Komentar
						f(1) = –21  p–q
						f(–1) = –3  p+q
						X 1 = –2
						X 2 = 3/2

Pronalaženje korijena X 1 = -2 i dijeljenje polinoma sa X+ 2, dobijamo polinom sa novim slobodnim članom –9 (njegovi koeficijenti su podvučeni). Brojioci preostalih korijena moraju biti djelitelji ovog broja, a razlomci koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet mogu se isključiti iz liste. Preostale cjelobrojne vrijednosti su isključene jer ne zadovoljavaju uvjet f(1)str – q ili f(–1)str + q. Na primjer, za 3 imamo str = 3, q= 1 i uslov f(1) = –21str – q(kao i drugi uslov).

Slično, pronalaženje korijena X 2 \u003d 3/2, dobili smo polinom s novim slobodnim članom 3 i višim koeficijentom 1 (kada je korijen razlomak, koeficijente rezultirajućeg polinoma treba smanjiti). Nijedan preostali broj sa liste više ne može biti njegov korijen, a lista racionalnih korijena je iscrpljena.

Pronađene korijene treba provjeriti za višestrukost.

Ako smo u procesu rješavanja došli do polinoma drugog stupnja, a lista razlomaka još nije iscrpljena, tada se preostali korijeni mogu pronaći koristeći uobičajene formule kao korijene kvadratnog trinoma.

Vježba 6.2. Pronađite racionalne korijene polinoma

ali) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

u 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.