engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web pretraživač koji se neće moći povezati na Wikipediju u budućnosti. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 维基 百科 正 在 使 网站 更加 在 全 全 的 浏览 这 这 在 无法 浏览 连接 维基 维基 请 请 更 更 您 的 设备 或 联络 您 的 设备 设备 管理员 您 的 提供 更 长 长 更 具 技术性 的 更更更(仅 英语）。

španjolski: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia je bientôt augmenter la securité de son site. Iskoristite aktuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires plus tehnike et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の い ます ご ご い い は ご ご 古く ブラウザ は バージョン バージョン が 古く 今後 今後 ウィキペディア に 接続 でき なく なる ます 性 を が あり ます ます か 管理 更 管理 に 相談 ください相談技術 面 面 詳しい 更更情報は以下に英語で提供しています。

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Ostanite u pretraživaču na web-mjestu bez povezivanja na Wikipediju u budućnosti. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico na engleskom.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Švedska: Wikipedia se nalazi na stranici. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Ažurirajte podatke ili kontakte kod IT administratora. Det finns en längre i mer tehnisk förklaring na engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg pretraživača oslanja za povezivanje s našim web lokacijama. Ovo je obično uzrokovano zastarjelim pretraživačima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja od korporativnog ili ličnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na neki drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova poruka će ostati do 1. januara 2020. Nakon tog datuma, vaš pretraživač neće moći uspostaviti vezu s našim serverima.

Šta je metrika? čemu služi? Je li to fizičko polje?

metrika je sada snažno povezana sa teorijom gravitacije, zahvaljujući radu Hilberta i Ajnštajna zajedno sa Grosmanom. Međutim, u matematici je uveden mnogo prije toga. Ako se ne varam, među prvima koji su to nekako eksplicitno koristili bili su Riemann i Gauss. Prvo ćemo pokušati da shvatimo njenu ulogu u geometriji, a tek onda ćemo videti kako je metrika postala glavna struktura GR, Opšta teorija relativnosti.

Do danas postoji prilično detaljna i jasna definicija metričkih prostora opšti pogled:

U matematici, metrički prostor („opremljen metrikom“) je prostor u kojem je za bilo koje dvije njegove uređene točke (tj. jedna od njih se naziva prva, a druga druga) definiran realan broj kao da je jednako nuli, ako i samo ako , kada se točke poklapaju, a nejednakost “trokuta” je zadovoljena - za bilo tri boda(x,y,z) ovaj broj za bilo koji par (x,y) je jednak ili manji od zbira ovih brojeva za druga dva para, (x,z) i (y,z). Iz definicije također slijedi da je ovaj broj nenegativan i da se ne mijenja (metrika je simetrična) kada se promijeni redoslijed tačaka u paru.

Kao i obično, čim se nešto definira, ova definicija se proširuje i naziv se proširuje na druge, slične prostore. Pa evo. Na primjer, strogo formalno neće biti metrički prema gore datoj definiciji, budući da u njima "metrički" broj, interval, može biti nula za dvije različite tačke, a njegov kvadrat također može biti negativan realan broj. Međutim, oni su skoro od samog početka uključeni u porodicu metričkih prostora, jednostavno uklanjanje odgovarajućeg zahtjeva u definiciji proširenjem definicije.

Osim toga, metrika se također može definirati ne za sve tačke u prostoru, već samo za one beskonačno bliske (lokalno). Takvi prostori se nazivaju Rimanovi i također se obično nazivaju metričkim prostorima. Nadalje, upravo su Rimanovi prostori učinili metriku tako poznatom i koja je privukla pažnju i matematičara i fizičara, i poznata čak i mnogim ljudima koji imaju malo veze s ovim naukama.

Konačno, ovdje ćemo raspravljati o metrici u odnosu na Rimanove prostore, tj. u lokalnom smislu. Pa čak i lokalno neodređeno.

Formalno matematička definicija a njegova proširenja su rezultat razumijevanja i pojašnjenja koncepta metrike. Pogledajmo iz čega je izrastao ovaj koncept, s kojim je svojstvima stvarnog svijeta prvobitno bio povezan.

Sva geometrija je proizašla iz onih koncepata koje je prvobitno formalizirao Euklid. Kao i metrika. U euklidovoj geometriji (radi jednostavnosti i jasnoće govorićemo o dvodimenzionalnoj geometriji, a samim tim i o geometriji ravni) postoji koncept udaljenosti između dve tačke. Vrlo često i sada se metrika naziva upravo udaljenost. Jer za euklidsku ravan, udaljenost je metrika, a metrika je udaljenost. I tako je to bilo zamišljeno na samom početku. Iako, kao što ću pokušati da pokažem, ovo se na savremeni koncept metrike odnosi samo u vrlo ograničenom smislu, uz mnogo rezervi i uslova.

Čini se da je udaljenost na euklidskoj ravni (na komadu papira) krajnje jednostavna i očigledna stvar. Zaista, pomoću ravnala možete nacrtati pravu liniju između bilo koje dvije točke i izmjeriti njenu dužinu. Rezultirajući broj će biti udaljenost. Uzimajući treću tačku, možete nacrtati trokut i osigurati da ova udaljenost (za bilo koje dvije tačke na ravni) tačno zadovoljava gore datu definiciju. Zapravo, definicija je kopirana jedan na jedan iz svojstava Euklidske udaljenosti na ravni. A riječ "metrika" je prvobitno bila povezana sa mjerenjem (uz pomoć metra), "metrizacijom" ravni.

I zašto je bilo potrebno mjeriti udaljenosti, vršiti baš tu metrizaciju aviona? Pa, za koje se udaljenosti mjere u stvarnom životu, vjerovatno svako ima svoju ideju. A u geometriji su stvarno razmišljali o tome kada su uveli koordinate kako bi opisali svaku tačku ravni posebno i jedinstveno od ostalih. Koordinatni sistem na ravni će očigledno biti komplikovaniji od samo rastojanja između dve tačke. Ovdje je ishodište, i koordinatne osi, i udaljenost (kako bez njih?) Od ishodišta do projekcije točke na osi. Čini se da je jasno zašto je potreban koordinatni sistem - to je neprekidna mreža linija okomitih jedna na drugu (ako su koordinate kartezijanske), potpuno ispunjavaju ravan i tako rješavanje problema adrese bilo koje tačke na njemu.

Ispostavilo se da je metrika udaljenost, a koordinate udaljenosti. Ima li razlike? Unesene koordinate. Zašto onda metrika? Postoji razlika, i to vrlo značajna. Izbor koordinatnog sistema podrazumijeva određenu slobodu. IN Kartezijanski sistemi koristimo prave linije kao osi. Ali možemo koristiti i krivulje, zar ne? Može. I sve vrste uvrnutih. Možemo li izmjeriti udaljenost duž takvih linija? Svakako. Mjerenje udaljenosti, dužina duž linije nije vezana za to o kojoj je liniji riječ. Zakrivljena staza takođe ima dužinu i na nju možete postaviti prekretnice. Ali metrika u Euklidskom prostoru nije proizvoljna udaljenost. Ovo je dužina linije koja spaja dvije tačke. Pravo. I šta je to? Koja linija je ravna, a koja kriva? U školskom kursu, prave linije su aksiom. Vidimo ih i shvatimo ideju. Ali u opštoj geometriji, prave (sama po sebi to je naziv, oznaka, ništa više!) mogu se definisati kao neke posebne linije među svim mogućim koje spajaju dve tačke. Naime, kao najkraći, koji ima najmanju dužinu. (A u nekim slučajevima, za neke matematičke prostore, naprotiv, najduži, koji ima najveću dužinu.) Čini se da smo uhvatili razliku između metrike i proizvoljne udaljenosti između dvije tačke. Nije bilo tamo. Krenuli smo pogrešnim putem. Da, tako je, prave su najkraće linije u Euklidskom prostoru. Ali metrika nije samo dužina najkraćeg puta. br. Ovo je njena sekundarna imovina. U Euklidskom prostoru metrika nije samo udaljenost između dvije tačke. metrika je, prije svega, slika Pitagorine teoreme. Teorema koja vam omogućava da izračunate udaljenost između dvije tačke ako znate njihove koordinate, dvije druge udaljenosti. Štaviše, izračunava se vrlo specifično, kao kvadratni korijen zbira kvadrata koordinatnih udaljenosti. Euklidska metrika nije linearni oblik koordinatnih udaljenosti, već kvadratni! Samo specifična svojstva euklidske ravni čine povezivanje metrike sa najkraćim putevima koji povezuju tačke tako jednostavnom. Udaljenosti su uvijek linearne funkcije pomaka duž putanje. Metrika je kvadratna funkcija ovih pomaka. I tu leži temeljna razlika između metričke i intuitivno shvaćene udaljenosti, kao linearna funkcija pomak od tačke. Štoviše, za nas je, općenito, udaljenost direktno povezana sa samim pomakom.

Zašto je, zaboga, kvadratna funkcija pomaka tako važna? I da li zaista ima pravo da se zove distanca u punom smislu te riječi? Ili je to prilično specifično svojstvo samo euklidskog prostora (pa, ili neke porodice prostora bliskih euklidskom)?

Napravimo mali korak u stranu i razgovarajmo više o svojstvima mjernih jedinica. Zapitajmo se, kakvi trebaju biti lenjiri da bismo mogli nacrtati koordinatnu mrežu na listu papira? Čvrsta, čvrsta i nepromjenjiva, kažete. A zašto "linije"? Jedan je dovoljan! Istina, ako se može proizvoljno rotirati u ravnini papira i prenijeti duž nje. Primjetite "ako"? Da, imamo priliku da koristimo takav lenjir u odnosu na avion. Sam lenjir, sama ravan, ali ravan nam omogućava da „prikačimo“ naš lenjir za sebe. Šta je sa sferičnom površinom? Kako god da ga nanesete, sve viri iz površine. Samo želim da ga savijem, odustanem od tvrdoće i krutosti. Ostavimo ovu liniju razmišljanja za sada. Šta još želimo od linije? Tvrdoća i krutost zapravo znače nešto drugo, mnogo važnije za nas prilikom mjerenja - garanciju nepromjenjivosti odabranog ravnala. Želimo mjeriti istom skalom. Zašto je ovo potrebno? Kako to misliš zašto?! Da biste mogli da uporedite rezultate merenja svuda u avionu. Kako god rotirali ravnalo, kako god ga pomicali, neka njegova svojstva, dužina, moraju biti zagarantovana nepromijenjena. Dužina je udaljenost između dvije tačke (u pravoj liniji) na ravnalu. Vrlo sličan metrici. Ali metrika je uvedena (ili postoji) u ravni, za tačke ravni, i kakve veze ima lenjir s tim? I uprkos činjenici da metrički i samo je slika konstantne dužine apstraktnog ravnala, dovedena do svog logičnog zaključka, otkinuta od najudaljenijeg ravnala i dodijeljena svakoj tački ravnine.

Iako su naši vladari uvijek vanjski objekti za udaljenosti koje mjere na ravni, mi ih također smatramo unutrašnjim skalama koje pripadaju ravni. Dakle, radi se o zajedničko vlasništvo, i vanjska i unutrašnja linija. A svojstvo je jedno od dva glavna - vrijednost, ono što skalu čini mjernom jedinicom (drugo svojstvo skale je pravac). Za euklidski prostor, ovo svojstvo izgleda nezavisno od pravca lenjira i njegovog položaja (od tačke u prostoru). Postoje dva načina da se izrazi ta nezavisnost. Prvi način, pasivni pogled na stvari, govori o nepromjenjivosti veličine, njenoj istovjetnosti sa proizvoljnim izborom prihvatljivih koordinata. Drugi način, aktivni pogled, govori o nepromjenjivosti prema pomaku i rotaciji, kao rezultatu eksplicitnog prijelaza od tačke do tačke. Ove metode nisu ekvivalentne jedna drugoj. Prvi je jednostavno formalizacija tvrdnje da je vrijednost koja postoji na datom mjestu (tački) ista bez obzira na tačku gledišta. Drugi takođe tvrdi da su vrednosti količine u različitim tačkama iste. Jasno je da je ovo mnogo jača izjava.

Zaustavimo se za sada na nepromjenjivosti veličine skale za proizvoljan izbor koordinata. Op-pa! Volim ovo? Da biste dodijelili koordinate tačkama, već morate imati vage. One. ovu istu liniju. Koje su ostale koordinate? Druge linije? U stvari jeste! Ali! Činjenica da u euklidskoj ravni možemo rotirati naš ravnalo u tački kako želimo stvara izgled da se koordinate mogu mijenjati bez promjene ravnala. To je iluzija, ali tako lijepa iluzija! Kako smo se navikli! Stalno kažemo - rotirani koordinatni sistem. A ta iluzija se zasniva na nekom postuliranom svojstvu skale u euklidskoj ravni - nepromjenjivosti njegove "dužine" sa proizvoljnom rotacijom u tački, tj. sa proizvoljnom promjenom drugog svojstva skale, smjera. A ovo svojstvo se odvija u bilo kojoj tački euklidske ravni. Skala svuda ima "dužinu" koja ne zavisi od lokalnog izbora pravaca koordinatnih osa. Ovo je postulat za euklidski prostor. I kako da odredimo ovu dužinu? U koordinatnom sistemu u kojem je odabrana skala jedinica mjere duž jedne od osa, definiramo je vrlo jednostavno - to je sama jedinica. A u koordinatnom sistemu (pravougaonom), u kojem se odabrana skala ne poklapa ni sa jednom od osi? Koristeći Pitagorinu teoremu. Teoreme su teoreme, ali ovdje ima malo obmane. U stvari, ova teorema bi trebala zamijeniti neke od aksioma koje je formulirao Euklid. Ona im je ekvivalentna. A uz daljnju generalizaciju geometrije (za proizvoljne površine, na primjer), oslanjaju se upravo na metodu izračunavanja dužine mjerila. U stvari, oni prevode ovu metodu u kategoriju aksioma.

Ponovimo sada nešto što je u osnovi geometrije, što nam omogućava da dodijelimo koordinate tačkama u ravni.

Radi se o mjernoj jedinici, skali. Skala postoji u bilo kojoj tački. Ima veličinu - "dužinu" i pravac. Dužina je nepromjenjiva (ne mijenja se) pri promjeni smjera u tački. U pravokutnim koordinatama u euklidskom prostoru kvadrat dužine skale proizvoljno usmjerene iz tačke jednak je zbiru kvadrata njegovih projekcija na osu. Takva geometrijska veličina naziva se i vektor. Dakle, skala je vektor. A "dužina" vektora se također naziva normom. U redu. Ali gdje je metrika? ALI metrika sa ovim pristupom, tamo način da se dodijeli norma bilo kojem vektoru u svakoj tački, metoda za izračunavanje ove norme za proizvoljan položaj ovog vektora u odnosu na vektore koji čine bazu, okvir(oni koji određuju pravce koordinatnih osa iz date tačke i imaju jediničnu normu po definiciji, tj. mjerne jedinice). Vrlo je važno da se takva metoda definira za svaku tačku u prostoru (u ovom slučaju ravan). Dakle, to je svojstvo ovog prostora i njegovih unutrašnjih vektora, a ne objekti izvan prostora.

Oprostite, ali već na samom početku dali smo definiciju metričkih prostora. Zašto nova definicija? I da li je u skladu sa starim? Ali zašto. Ovdje smo naznačili kako se tačno postavlja, određuje se ovaj najrealniji broj. Naime, rastojanje između tačaka je jednako „dužini“, normi vektora koji povezuje ove tačke (u euklidskom prostoru). Činjenica da vektor ima neku normu, nezavisno od tačke gledišta na njega (izbor okvira) je definicija vektora. Najvažniji uslov, koji čini prostor metričkim, jeste zahtev da vektori sa datom normom postoje u svakoj tački prostora u svim pravcima. I ova definicija je sasvim u skladu sa onom datom na samom početku. Da li je moguće na neki drugi način definirati metriku na nekom prostoru? U osnovi, možeš. Čak i na mnogo načina. Samo će to biti potpuno različite klase prostora koje ne uključuju Euklidski prostor čak ni kao poseban slučaj.

Zašto je Euklidski prostor poseban za nas? Pa, kako je nego? Na prvi pogled, upravo ta svojstva posjeduje sam prostor u kojem živimo. Da, nakon detaljnijeg pregleda, nije potpuno isto. Ali postoji li razlika između “ne baš tako” i “ne baš tako”?! Iako se čini da je skup riječi isti. Dakle, naš prostor-vrijeme, ako ne euklidski, onda pod određenim uslovima može biti vrlo blizu njemu. Stoga moramo birati iz porodice prostora u kojoj postoji Euklidski prostor. Tako to radimo. Ali ipak, šta je tako posebno u euklidskom prostoru da svoj izraz nalazi u određenim svojstvima njegove metrike? Ima dosta nekretnina, većina njih je već spomenuta gore. Pokušaću da formulišem ovu karakteristiku prilično kompaktno. Euklidski prostor je takav da je u njemu moguće birati razmjere (tj. unijeti koordinate) tako da bude potpuno ispunjen pravokutnom mrežom koordinata. Možda je to kada je metrika u svakoj tački u prostoru ista. U suštini, to znači da skale potrebne za to postoje u svakoj tački u prostoru i sve su identične jednoj jedinoj. Za ceo prostor dovoljan je jedan lenjir, koji se može preneti na bilo koju tačku (u aktivnom smislu) bez promene veličine i pravca.

Gore sam postavio pitanje zašto je metrika kvadratna funkcija offset. Ostaje bez odgovora do sada. Definitivno ćemo doći do ovoga. A sada zabilježite za sebe za budućnost - metrika u porodici prostora koja nam je potrebna je veličina invarijantna prema transformacijama koordinata. Do sada smo govorili o Dekartovim koordinatama, ali ću ovdje odmah naglasiti da to vrijedi za sve transformacije koordinata koje vrijede u datoj tački u datom prostoru. Količina koja je invarijantna (ne menja se) tokom transformacije koordinata ima još jedno posebno ime u geometriji - skalarno. Pogledajte koliko imena za isto - konstanta, invarijantna, skalarna... Možda ima još nešto, ne pada mi odmah na pamet. To govori o važnosti samog koncepta. Dakle, metrika je skalar u određenom smislu. Naravno, postoje i drugi skalari u geometriji.

Zašto u "određenom smislu"? Jer, koncept metrike uključuje dvije točke, a ne jednu! Vektor je povezan (definisan) sa samo jednom tačkom. Pa sam te prevario? Ne, samo nisam rekao sve što treba da se kaže. Ali mora se reći da metrika nije norma proizvoljnog vektora, već samo beskonačno malog vektora pomaka iz date tačke u proizvoljnom smjeru. Kada je ova norma nezavisna od smjera pomaka iz tačke, tada se njena skalarna vrijednost može smatrati svojstvom samo te jedne tačke. Istovremeno, i dalje ostaje pravilo za izračunavanje norme za bilo koji drugi vektor. Volim ovo.

Nešto se ne poklapa... Norme su različite za različite vektore! A metrika je skalar, vrijednost je ista. Kontradikcija!

Nema kontradikcije. Jasno sam rekao - pravilo obračuna. Za sve vektore. I sama specifična vrijednost, koja se još naziva i metrika, izračunava se prema ovom pravilu za samo jedan vektor, pomak. Naš jezik je navikao na slobode, zadane postavke, skraćenice... Tako da smo navikli da i skalar i pravilo za njegovo izračunavanje nazivamo metrikom. U stvari, to je skoro ista stvar. Skoro, ali ne sasvim. Još uvijek je važno vidjeti razliku između pravila i rezultata dobivenog uz njegovu pomoć. I šta je važnije - pravilo ili rezultat? Začudo, u ovom slučaju pravilo... Stoga, mnogo češće u geometriji i fizici, kada govore o metrici, misle upravo na pravilo. Samo vrlo tvrdoglavi matematičari radije govore striktno o rezultatu. I postoje razlozi za to, ali o njima na drugom mjestu.

Takođe želim da napomenem da na konvencionalniji način prezentacije, kada se koncepti uzimaju kao osnova vektorski prostori, metrika se uvodi kao skalarni parni proizvod svih vektora baze, okvira. U ovom slučaju skalarni proizvod vektori moraju biti definirani unaprijed. A na putu koji sam ovdje slijedio, prisustvo metričkog tenzora u prostoru nam omogućava da uvedemo, definiramo skalarni proizvod vektora. Ovdje je metrika primarna, njeno prisustvo nam omogućava da uvedemo skalarni proizvod kao neku vrstu invarijante koja povezuje dva različita vektora. Ako se skalar za isti vektor izračunava pomoću metrike, onda je to jednostavno njegova norma. Ako se ovaj skalar izračunava za dva različita vektora, onda je ovo njihov dot proizvod. Ako je i ovo norma beskonačno malog vektora, onda je sasvim prihvatljivo nazvati ga jednostavno metrikom u datoj tački.

A šta možemo reći o metrici u pravilu? Ovdje moramo koristiti formule. Neka koordinate duž ose sa brojem i budu označene kao x i . A pomak od date tačke prema susjednoj je dx i . Skrećem vam pažnju - koordinate nisu vektor! A pomak je samo vektor! U takvoj notaciji, metrička „udaljenost“ između date tačke i susjedne, prema Pitagorinoj teoremi, izračunat će se pomoću formule

ds 2 = g ik dx i dx k

Na lijevoj strani je kvadrat metričke “udaljenosti” između tačaka, “koordinatna” (tj. duž svake pojedinačne koordinatne linije) udaljenost između kojih je data vektorom pomaka dx i . Desno je zbir po koincidirajućim indeksima svih parnih proizvoda komponenti vektora pomaka sa odgovarajućim koeficijentima. A njihova tabela, matrica koeficijenata g ik, koja postavlja pravilo za izračunavanje metričke norme, zove se metrički tenzor. I upravo se taj tenzor u većini slučajeva naziva metrika. Izraz "" je ovdje izuzetno važan. A to znači da će u drugom koordinatnom sistemu gore napisana formula biti ista, samo će tabela sadržavati druge (u opštem slučaju) koeficijente koji se računaju na striktno određen način preko ovih i koeficijenata transformacije koordinata. Euklidski prostor karakteriše činjenica da je u Dekartovim koordinatama oblik ovog tenzora krajnje jednostavan i isti u svim Dekartovim koordinatama. Matrica g ik sadrži samo jedinice na dijagonali (za i=k), a ostali brojevi su nule. Ako euklidski prostor ne koristi Kartezijanske koordinate, tada matrica u njima neće izgledati tako jednostavno.

Dakle, zapisali smo pravilo koje određuje metričku „udaljenost“ između dvije tačke u Euklidskom prostoru. Ovo pravilo je napisano za dvije proizvoljno bliske tačke. U euklidskom prostoru, tj. u onom u kojem metrički tenzor može biti dijagonalni sa jedinicama na dijagonali u nekom koordinatnom sistemu u svakoj tački, ne postoji fundamentalna razlika između vektora konačnog i infinitezimalnog pomaka. Ali nas više zanima slučaj Rimanovih prostora (kao što je površina lopte, na primjer), gdje je ova razlika značajna. Dakle, pretpostavljamo da metrički tenzor općenito nije dijagonalan i da se mijenja kako se krećemo od tačke do tačke u prostoru. Ali rezultat njegove primjene, ds 2 , ostaje u svakoj tački neovisno o izboru smjera pomaka i same tačke. Ovo je veoma strog uslov (manje strog od Euklidovog uslova) i kada je ispunjen, prostor se naziva Rimanov.

Vjerovatno ste primijetili da vrlo često stavljam pod navodnike riječi “dužina” i udaljenost. Zbog toga to radim. U slučaju ravnog i trodimenzionalnog euklidskog prostora, metrička "udaljenost" i "dužina" izgledaju potpuno iste kao i uobičajene udaljenosti mjerene ravnalima. Štaviše, ovi koncepti su uvedeni kako bi se formalizirao rad s rezultatima mjerenja. Zašto se onda "izgleda da se poklapaju"? Smiješno, ali upravo je to slučaj kada su matematičari, uz prljavu (nepotrebnu) vodu, izbacili dijete iz kade. Ne, nešto su ostavili, ali ono što je ostalo prestalo je biti dijete (udaljenost). To je lako vidjeti čak i na primjeru euklidske ravni.

Da vas podsjetim da metrička „udaljenost“ ne zavisi od izbora kartezijanskih (i ne samo) koordinata, recimo, na listu papira. Neka u nekim koordinatama ovo rastojanje između dve tačke na koordinatnoj osi iznosi 10. Da li je moguće odrediti druge koordinate u kojima će rastojanje između istih tačaka biti jednako 1? Nema problema. Samo odvojite kao jedinicu duž istih osa novu jedinicu jednaku 10 prethodnih. Je li se Euklidski prostor promijenio zbog ovoga? Sta je bilo? Ali činjenica je da kada nešto mjerimo, nije nam dovoljno znati broj. Također moramo znati koje su jedinice korištene da bismo dobili ovaj broj. Matematiku u svom uobičajenom obliku to ne zanima. Ona se bavi samo brojevima. Izbor mjernih jedinica se vrši prije primjene matematike i ne bi se više trebao mijenjati! Ali naše udaljenosti, dužine, bez navođenja mjerila, ne govore nam ništa! Ali matematiku nije briga. Kada je u pitanju metrička „udaljenost“, njena formalna primena je indiferentna prema izboru skale. Bar metri, bar hvati. Važni su samo brojevi. Zato sam stavio navodnike. Znate li kakve nuspojave ima ovaj pristup u matematici Rimanovih prostora? Ali šta. Razmatranje promjene skale od tačke do tačke nema smisla. Samo promjena smjera. I to unatoč činjenici da je promjena skale uz pomoć koordinatnih transformacija u takvoj geometriji sasvim obična stvar. Da li je moguće u geometriju uključiti dosljedno razmatranje svojstava mjerila u njihovoj cjelini? Može. Samo da biste to učinili, morat ćete ukloniti mnogo sporazuma i naučiti stvari nazivati ​​pravim, ispravnim imenima. Jedan od prvih koraka bit će spoznaja činjenice da nijedna metrika nije suštinski udaljenost i da ne može biti. Ona sigurno ima neke fizičko značenje, i veoma važno. Ali drugačije.

U fizici je pažnja na ulogu metrike privučena pojavom teorija relativnosti - prvo posebne, zatim opšte, u kojoj je metrika postala centralna struktura teorije. Specijalna teorija relativnosti formirana je na osnovu činjenice da trodimenzionalna udaljenost nije skalarna sa stanovišta skupa inercijalnih referentnih okvira koji se međusobno kreću jednoliko i pravolinijski. Ispostavilo se da je druga vrijednost skalar, invarijanta, koja se zvala interval. Interval između događaja. A da biste izračunali njegovu vrijednost, morate uzeti u obzir vremenski interval između ovih događaja. Štaviše, pokazalo se da se pravilo za izračunavanje metrike (a interval se odmah počeo smatrati metrikom u jedinstvenom prostor-vremenu, prostoru događaja) razlikuje od uobičajenog euklidskog u trodimenzionalni prostor. Slično, ali malo drugačije. Odgovarajući metrički prostor od četiri dimenzije uveden od strane Herman Minkowski, počeo da se zove. Upravo je rad Minkowskog skrenuo pažnju fizičara, uključujući Ajnštajna, na važnost koncepta metrike kao fizičke veličine, a ne samo kao matematičke.

Opšta teorija relativnosti je takođe uključila u razmatranje fizičke referentne okvire ubrzane jedan u odnosu na drugi. I tako je bila u stanju da da opis gravitacionih pojava na novom nivou u odnosu na Njutnovu teoriju. I to je uspjela postići tako što je metrici dala značenje fizičkog polja - i veličinu i pravilo, metrički tenzor. Istovremeno, ona koristi matematičku konstrukciju Rimanova prostora kao slike prostor-vremena. Nećemo ići predaleko u detalje ove teorije. Između ostalog, ova teorija tvrdi da svijet (prostor-vrijeme), u kojem se nalaze masivna tijela, odnosno tijela koja se privlače jedno prema drugom, ima metriku različitu od euklidske metrike koja nam je tako prijatna. Sve izjave u nastavku su ekvivalentne:

Fizička izjava. Tačkasta tijela koja imaju masu privlače se jedno drugom.

U prostor-vremenu, u kojem postoje masivna tijela, nemoguće je svuda uvesti krutu pravougaonu mrežu. Ne postoje mjerni uređaji koji vam to omogućavaju. Uvijek proizvoljno male "ćelije" rezultirajuće mreže bit će zakrivljeni četverouglovi.

Možete odabrati skalu sa istom vrijednošću (normom) za cijeli prostor-vrijeme. Svaka takva skala može se pomjeriti sa svoje tačke na bilo koju drugu tačku i uporediti sa onom koja već postoji. ALI! Čak i ako je pomak beskonačno mali, smjerovi uspoređenih skala općenito se neće poklapati. Što je jača, to je skala bliža tijelu s masom i to je ta masa veća. Samo tamo gde nema masa (međutim, evo pitanja za vas - a šta je sa samim vagama?) pravci će se poklopiti.

U prostorno-vremenskom području koje sadrži masivna tijela, ne postoji takav koordinatni sistem u kojem je metrički tenzor u svakoj tački predstavljen matricom koja je svuda jednaka nuli osim dijagonale na kojoj se jedinice nalaze.

Razlika između metričke i euklidske je manifestacija prisustva gravitacionog polja (gravitacionog polja). Štaviše, polje metričkog tenzora je gravitaciono polje.

Moglo bi se navesti još mnogo sličnih izjava, ali sada bih vam skrenuo pažnju na posljednju. zakrivljenost. Ovo je nešto o čemu još nismo razgovarali. Kakve to veze ima sa metrikom? Uglavnom, nikakve! je opštiji koncept od metrike. U kom smislu?

Porodica Rimanovih prostora, koja također uključuje euklidske prostore, sama je dio općenitije porodice. Ovi prostori, općenito govoreći, ne podrazumijevaju postojanje takve veličine kao metrike za svaki njihov par tačaka. Ali njihovo neophodno svojstvo je postojanje dvije druge strukture koje su povezane jedna s drugom - afine veze i zakrivljenosti. I samo pod određenim uslovima na zakrivljenosti (ili povezanosti), u takvim prostorima postoji metrika. Tada se ovi prostori nazivaju Rimanovi. U svakom Rimanovom prostoru postoji veza i zakrivljenost. Ali ne i obrnuto.

Ali ne može se reći i da je metrika sekundarna u odnosu na povezanost ili zakrivljenost. br. Postojanje metrike je izjava o određenim svojstvima povezanosti, a time i zakrivljenosti. U standardnoj interpretaciji opšte teorije relativnosti, metrika se smatra važnijom strukturom koja formira formu teorije. A afina veza i zakrivljenost ispadaju sekundarni, izvedeni iz metrike. Ovo tumačenje dao je Ajnštajn, u vreme kada matematika još nije razvila dovoljno napredno i dosledno razumevanje hijerarhije u smislu stepena važnosti struktura koje određuju svojstva porodice prostora koja vodi do euklidskih prostora. Već nakon stvaranja aparata opšte relativnosti, prvenstveno radovima Weyla i Schoutena (ne samo njihovim, naravno), razvijena je matematika prostora sa afinom vezom. Zapravo, ovaj rad je potaknut pojavom opšte teorije relativnosti. Kao što vidite, kanonsko tumačenje važnosti struktura u opštoj relativnosti ne poklapa se sa trenutnim pogledom matematike na njihov odnos. Ovo kanonsko tumačenje nije ništa drugo do identifikacija određenih matematičkih struktura sa fizičkim poljima. Davanje im fizičkog značenja.

Postoje dva plana za opisivanje prostor-vremena u opštoj relativnosti. Prvi od njih je sam prostor-vrijeme kao prostor događaja. Događaji koji neprekidno ispunjavaju bilo koju oblast prostor-vremena karakterišu četiri koordinate. Stoga se pretpostavlja da su uvedeni koordinatni sistemi. Sam naziv teorije usmjerava pažnju upravo na to - zakoni prirode koji se zbivaju u takvom prostor-vremenu moraju se formulisati na isti način u odnosu na bilo koji dopušteni koordinatni sistem. Ovaj zahtjev se naziva principom opšte relativnosti. Imajte na umu da ovaj plan teorije još uvijek ne govori ništa o prisutnosti ili odsustvu metrike u prostor-vremenu, ali već daje osnovu za postojanje afine veze u njemu (zajedno sa zakrivljenošću i drugim izvedenim matematičkim strukturama). Naravno, već na ovom nivou postaje neophodno dati fizičko značenje matematičkim objektima teorije. Evo ga. Tačka u prostor-vremenu prikazuje događaj, s jedne strane, karakteriziran položajem i trenutkom vremena, s druge - četiri koordinate. Nešto čudno? Nije li to ista stvar? Ali ne. U SZ to nije ista stvar. Najopštije koordinate dozvoljene u teoriji ne mogu se tumačiti kao pozicije i tačke u vremenu. Takva se mogućnost postulira samo za vrlo ograničenu grupu koordinata - lokalno inercijalnih, koje postoje samo u susjedstvu svake tačke, ali ne i na cijelom području koje pokriva zajednički sistem koordinate. Ovo je još jedan postulat teorije. Evo takvog hibrida. Napominjem da se ovdje rađaju mnogi problemi opšte relativnosti, ali neću se sada baviti njihovim rješavanjem.

Drugim planom teorije se može smatrati onaj dio njenih postulata koji uvodi u razmatranje prostor-vrijeme fizički fenomen– gravitacija, međusobno privlačenje masivnih tijela. Tvrdi se da se ovaj fizički fenomen može, pod određenim uvjetima, uništiti jednostavnim izborom odgovarajućeg referentnog okvira, naime, lokalno inercijalnog. Za sva tijela sa istim ubrzanjem ( slobodan pad) zbog prisustva gravitacionog polja udaljenog masivnog tijela na maloj površini, ovo polje nije vidljivo u nekom referentnom okviru. Formalno, postulati se tu završavaju, ali se zapravo osnovna jednadžba teorije, koja uvodi metriku u razmatranje, također odnosi na postulate, i kao matematičku i kao fizičku tvrdnju. Iako neću ulaziti u detalje jednačine (zapravo, sistema jednačina), ipak je korisno imati je pred očima:

R ik = -s (T ik - 1/2 T g ik)

Ovdje lijevo je takozvani Ricci tenzor, određena konvolucija (kombinacija sastavnih komponenti) tenzora pune zakrivljenosti. Sa punim desnim to se može nazvati i zakrivljenošću. Desno je konstrukcija tenzora energije-impulsa (čisto fizička količina u opštoj relativnosti, singularnoj za masivna tijela i eksternoj za prostor-vrijeme, koja je za energiju impulsa u ovoj teoriji samo nosilac) i metriku za koju se pretpostavlja da postoji. Štaviše, ova metrika, kao skalarna vrijednost koju proizvodi metrički tenzor, ista je za sve tačke u regionu. Postoji i dimenzionalna konstanta c, koja je proporcionalna gravitacionoj konstanti. Iz ove jednadžbe se može vidjeti da se, uglavnom, zakrivljenost upoređuje sa energijom impulsa i metrikom. Fizičko značenje metrike se pripisuje u GR nakon što se dobije rješenje ovih jednačina. Kako su u ovom rješenju koeficijenti metrike povezani linearno sa potencijalom gravitacionog polja (preko njega se računaju), onda se značenje potencijala ovog polja pripisuje metričkom tenzoru. Uz ovaj pristup, zakrivljenost bi također trebala imati slično značenje. A afina veza se tumači kao jačina polja. Ova interpretacija je netačna, njena zabluda je povezana sa gore navedenim paradoksom u tumačenju koordinata. Naravno, za teoriju to ne prolazi bez traga i manifestuje se u nizu dobro poznatih problema (nelokalizacija energije gravitacionog polja, tumačenje singulariteta), koji jednostavno ne nastaju kada se daju geometrijske veličine. ispravno fizičko značenje. O svemu tome detaljnije se govori u knjizi „“.

Međutim, u opštoj relativnosti, metrika hteli-nehteli, pored značenja koje joj je veštački nametnuto, ima još jedno fizičko značenje. Prisjetite se što karakterizira metriku u slučaju euklidskog prostora? Jedna vrlo važna stvar za mjerenja u prostor-vremenu je mogućnost da se u ovaj prostor uvede kruta pravokutna koordinatna mreža koja ravnomjerno ispunjava cijelo područje. Ova mreža se u fizici naziva inercijskim referentnim okvirom. Takav referentni sistem (koordinatni sistem) odgovara jednom i jedinom standardni pogled metrički tenzor. U referentnim okvirima, koji se proizvoljno kreću u odnosu na inercijalni, oblik metričkog tenzora se razlikuje od standardnog. Sa fizičke tačke gledišta, uloga „referentne mreže“ je dovoljno transparentna. Ako imate kruto referentno tijelo, čija je svaka tačka opremljena istim satom, postojećim u vremenu, onda ono samo implementira takvu mrežu. Za prazan prostor, jednostavno izmislimo takvo referentno tijelo, snabdijevajući ga (prostor) sa potpuno istom metrikom. U tom smislu, metrički tenzor, koji se razlikuje od standardnog euklidskog, kaže da se referentni okvir (koordinate) gradi korišćenjem ne čvrsto telo, a možda i sat radi drugačije na svojim tačkama. Šta mislim pod ovim? Ali činjenica da metrički tenzor je matematička slika nekih od najvažnijih svojstava referentnog sistema za nas. Ona svojstva koja apsolutno karakteriziraju strukturu samog referentnog okvira, omogućavaju nam da utvrdimo koliko je "dobar", koliko se razlikuje od idealnog - inercijalnog okvira. Ovdje GR koristi metrički tenzor upravo kao takvu sliku. Kako slika mjernih instrumenata raspoređenih u području okvira, eventualno mijenjajući svoju orijentaciju od tačke do tačke, ali svuda ima istu normu, zajedničku za sve vektore okvira. Metrika, koja se smatra skalarom, je ova norma, veličina skale. Metrika kao tenzor nam omogućava da razmotrimo proizvoljno relativno kretanje jedna u odnosu na drugu svih skala koje čine referentno tijelo. A opšta teorija relativnosti opisuje situaciju u kojoj je moguće imati takvo referentno tijelo, stvarno ili imaginarno, u prostor-vremenu.

Ovaj pogled na metriku je svakako tačan. Štaviše, on je i produktivan, jer odmah skreće pažnju na sporazume koji su ostali u OTU. Zaista, dozvolili smo upotrebu referentnih sistema u kojima skale u različitim tačkama mogu biti drugačije orijentisane (u četvorodimenzionalnom svetu, orijentacija uključuje i kretanje). I mi to još uvijek zahtijevamo apsolutna karakteristika skale, njena norma (interval) je ostala ista. Shodno tome, svejedno, izjava opšte relativnosti da je uzela u obzir sve moguće referentne okvire je preterana. To nije tako uopšteno, relativnost u ovoj teoriji.

© Gavryusev V.G.
Materijali objavljeni na stranici mogu se koristiti u skladu s pravilima citiranja..

Prije Riemanna, Lobačevskog, Ajnštajna i nekih drugih drugova, geometrija se gradila od ravni, nevidljivih tačaka i pravih linija koje su bile beskonačne u oba smjera. Iznad ravnog trodimenzionalnog svijeta, vrijeme je ponosno lebdjelo, percipirano od nas kao neka vrsta procesa, kvantiziranog radi pogodnosti u otkucaje srca i otkucaje satova. Sve je poznato, jednostavno, razumljivo, sile djeluju, tri koordinate u prostoru mogu se odrediti bilo gdje - samo zabijte klin.

Kraj idile došao je dolaskom matematičara koji istražuju višedimenzionalne prostore na vrhu pera. Izgradili su složene, višekoordinatne objekte i sisteme koji su nezamislivi za ljudsko oko i senzacije, na primjer, čuvenu četverodimenzionalnu kocku, Möbiusovu traku i tako dalje. Postupno je postalo jasno da se imaginarni prostor ne mora sastojati od ravnina i linija sa procesnim vremenom, može se sastojati, na primjer, od ravnog lima smotanog u cijev nepravilnog oblika, a vrijeme je dužina ose uvučene u centar cijevi. Tačka postavljena u tako "pogrešan" prostor nikada neće imati uobičajene tri koordinate, jer zabijeni klin neće pomoći u njihovom mjerenju. Položaj zadate tačke u neeuklidskom prostoru će već morati biti predstavljen kao cijeli niz brojeva, koji se također kontinuirano mijenja u skladu s nekim pravilima. Sama pravila u svakom fiktivnom prostoru su različita. Takav niz brojeva naziva se tenzor, on pohranjuje podatke o tačkama u prostoru otprilike u obliku u kojem je slika pohranjena od strane poznate igračke "slika noktiju": dužina svake šipke je vektor koji pokazuje na tačku duž jedna od koordinata, njihova kombinacija daje jednu njenu sliku, jednu jedinu.

Tenzori su složeni objekti, ali imaju jednu zajedničku stvar - tenzor kao niz štapićastih vektora može se "prerezati" definiranjem takozvane tenzorske matrice - dvodimenzionalne tablice u kojoj se umjesto običnih brojeva nalaze formule. opisujući pravila za njegovu transformaciju. Matrica je jednostavan objekt, operacije na kojima su dobro razvijene prije nekoliko stoljeća. Šefovi matematičara su počeli da se trude, najviše različite formule, tenzori su konstruisani za tačke u najnezamislivijim prostorima. Na kraju, naporima Minkowskog, Riemanna, Lorentza i Einsteina otkriveni su najjednostavniji tenzori koji s dovoljnom preciznošću opisuju trodimenzionalni euklidski prostorno-vremenski proces koji opažamo. Njihove matrice se nazivaju metrike.

Kasnije je došlo do razumijevanja da, zbog konstantnosti brzine svjetlosti u vakuumu koju je Ajnštajn uzeo kao osnovu, metrika Minkowskog postaje neprimjenjiva na vrlo velikim udaljenostima između tačaka, ili pri vrlo visokim stopama gravitacijske interakcije. Šefovi matematičara su ponovo počeli da rade, već u savezu sa fizičarima koji su tražili eksperimentalnu potvrdu teorija. Tako se, na primjer, pojavila Schwarzschildova metrika, koja opisuje naš svijet kroz množenje matrica tenzora dvodimenzionalne pravokutne ravni i dvodimenzionalne sfere (to je također poznati krug, ali u obliku ceo prostor). Schwarzschildova metrika je omogućila da se opiše zašto percipiramo kretanje objekata u nebeskoj sferi na ovaj način, a ne drugačije. Vrijeme u njemu je konstantna vrijednost(!), koja se posebno unosi u svaki proračun, a udaljenost od tačke do posmatrača je zapravo određeni vektor koji opisuje opseg prostora (-vrijeme) između dva ne objekta, već događaja.

Glavni funkcionalni prostori

Predavanje 5

Jedna od najvažnijih operacija analize je prelazak do granice. Ova operacija se zasniva na činjenici da je rastojanje od jedne tačke do druge definisano na brojevnoj pravoj. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane s algebarskom prirodom realni brojevi(tj. s činjenicom da formiraju polje), ali se oslanjaju samo na koncept udaljenosti. Generalizirajući ideju realnih brojeva kao skupa u koji se uvodi razmak između elemenata, dolazimo do koncepta metričkog prostora - jednog od najvažnijih koncepata moderne matematike.

Definicija.

Metrički prostor je par (X, p), koji se sastoji od nekog skupa (prostora) X elemente (tačke) i udaljenost, tj. jednovrijednu, nenegativnu, realnu funkciju ρ(x, y) definisano za bilo koje x I y od X i podložni sljedećim aksiomima;

1. ρ(x,y) ≥ 0 za sve x, y,

2. ρ(x, y) = 0 ako i samo ako x=y,

3. ρ(x,y) = ρ(y,x)(aksiom simetrije),

4. ρ(x, z) £ ρ(x, y) + ρ(y, z)(aksiom trougla).

Sam metrički prostor, odnosno par (X, p), označavaćemo, po pravilu, jednim slovom R = (X, p).

U slučajevima kada su nesporazumi isključeni, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sam "zaliha tačaka". X.

Navedimo primjere metričkih prostora. Neki od ovih prostora igraju veoma važnu ulogu u analizi. važnu ulogu.

1. Postavka za elemente proizvoljnog skupa

dobijamo, očigledno, metrički prostor. Može se nazvati prostorom izolovanih tačaka.

2. Skup realnih brojeva sa udaljenosti

formira metrički prostor R1.

3. Skup uređenih grupa iz n realni brojevi x = (h 1 , …, x n) sa udaljenosti

pozvao n-dimenzionalni aritmetički euklidski prostor R n. Valjanost aksioma 1) - 3) za R n očigledno. Pokažimo to u R n vrijedi aksiom trougla.

Neka bude x = (x 1 ,…, x n), y = (y 1 ,…, y n),

z = (z 1 ,…, z n);

tada se aksiom trougla zapisuje kao

Uz pretpostavku , dobijamo , dok nejednakost (2) poprima oblik

Ali ova nejednakost odmah slijedi iz dobro poznate nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky

Zaista, zbog ove nejednakosti imamo

time je dokazana nejednakost (3), a time i (2).

4. Razmotrimo isti skup uređenih grupa iz n realni brojevi x = (x 1 ,…, x n) ali je udaljenost u njemu definirana formulom

Valjanost aksioma je ovdje očigledna.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Ovaj metrički prostor označavamo simbolom .

5. Uzmite ponovo isti skup kao u primjerima 3 i 4 i odredite udaljenost između njegovih elemenata po formuli

Valjanost aksioma 1) - 3) je očigledna.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Ovaj prostor, koji označavamo, nije ništa manje zgodan u mnogim pitanjima analize od Euklidskog prostora R n.

Posljednja tri primjera pokazuju da je ponekad zaista važno imati različite oznake za sam metrički prostor i za skup njegovih tačaka, budući da se isti skup tačaka može metrizovati na različite načine.

6. Mnogi C sve kontinuirane realne funkcije definirane na segmentu , sa udaljenosti

takođe formira metrički prostor. Aksiomi 1) - 3) se direktno provjeravaju.

Zadatak. Dokazati aksiom 4.

Ovaj prostor igra veoma važnu ulogu u analizi. Označit ćemo ga istim simbolom C, što je skup tačaka u samom ovom prostoru. Umjesto C pisaćemo jednostavno OD.

7. Označiti sa l 2 metrički prostor čije su tačke svi mogući nizovi x \u003d (x 1, ..., x n, ...) realni brojevi koji zadovoljavaju uslov,

a udaljenost je određena formulom

Iz elementarne nejednakosti slijedi da je funkcija ρ(x, y) ima smisla za sve konvergira ako

Pokažimo sada da funkcija (8) zadovoljava aksiome metričkog prostora. Aksiomi 1) - 3) su očigledni, a aksiom trougla ovdje ima oblik

Na osnovu onoga što je gore rečeno, svaka od tri ovdje napisane serije konvergiraju. S druge strane, za svaku n nejednakost

(vidi primjer 4). Dolazak ovdje do granice u n®∞ dobijamo (8), tj. nejednakost trougla u l 2.

8. Razmotrimo, kao u primjeru 6, kolekciju svih funkcija kontinuiranih na segmentu , ali mi razdaljinu drugačije definiramo, naime postavljamo

Takav metrički prostor ćemo označiti Od 2 i poziva prostor kontinuirane funkcije sa kvadratnom metrikom. Ovdje su svi aksiomi metričkog prostora očigledni, a aksiom trokuta direktno slijedi iz integralnog oblika nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky

9. Razmotrimo skup svih ograničenih nizova x = (x 1 ,…, x n , …) realnih brojeva.

dobijamo metrički prostor, koji označavamo m. Valjanost aksioma je očigledna.

10. Skup uređenih grupa iz n realni brojevi sa rastojanjem

gdje R- bilo koji fiksni broj ≥ 1 , je metrički prostor, koji ćemo označiti .

Provjerimo aksiom 4.

Neka bude x=(x 1 ,…,x n), y=(y 1 ,…,y n), z=(z 1 ,…,z n).

Neka , Tada je nejednakost

čiju valjanost moramo utvrditi poprimiće oblik

Ovo je takozvana nejednakost Minkowskog. At p=1 nejednakost Minkowskog je očigledna (modul zbira ne prelazi zbir modula), pa pretpostavljamo da p > 1.

Dokaz nejednakosti (13) za p>1 na osnovu takozvane Hölderove nejednakosti

gdje su brojevi p > 1 I q > 1 vezan uslovom

Imajte na umu da je nejednakost (14) homogena. To znači da ako je zadovoljeno za bilo koja dva vektora a = (a 1 ,…, a n), I b = (b 1 ,…, b n), onda važi za vektore λa I μb, gdje λ I μ - proizvoljnim brojevima. Stoga je dovoljno dokazati nejednakost (14) za slučaj kada

Dakle, neka je uslov (16) zadovoljen; dokazati to

Razmislite u avionu (ξ,η) kriva definisana jednadžbom η = ξ p -1 (ξ>0), ili, što je isto, po jednačini ξ p -1 (η > 0)(Sl. 1). Iz slike je jasno da je za svaki izbor pozitivne vrijednosti a I bće S 1 + S 2 > ab. Izračunajmo površine S1 I S2:

Dakle, numerička nejednakost je tačna

Zamjena ovdje a na |a k | I b na |b k | i sumiranje završeno k od 1 do n, dobijamo, uzimajući u obzir (15) i (16),

Dokazana je nejednakost (17) i, posljedično, opća nejednakost (14).

At p = 2 Hölderova nejednakost (14) prelazi u nejednakost Cauchy-Bunyakovsky (4).

Sada prelazimo na dokaz nejednakosti Minkowskog. Da biste to učinili, razmotrite identitet

Zamjena u pismenom identitetu a na a k I b na b k i sumiranje završeno k od 1 prije n dobijamo

Primjenjujući sada na svaki od dva zbira na desnoj Hölderovoj nejednakosti i uzimajući u obzir da (p - 1)q = p, dobijamo x(t) , dobijamo

Dakle, dokazano je da formula (18), koja određuje udaljenost u lp, zaista ima smisla za bilo koji . Istovremeno, nejednakost (19) pokazuje da u lp aksiom trougla je ispunjen. Preostali aksiomi su očigledni.

Neograničen broj daljnjih primjera daje sljedeći trik. Neka bude R = (X, p)- metrički prostor i M- bilo koji podskup u X. Onda M sa istom funkcijom ρ(x, y), za koji sada smatramo definisanim x I at od M, je također metrički prostor; naziva se podprostor prostora R.

Jedna od najvažnijih operacija analize je prelazak do granice. Ova operacija se zasniva na činjenici da je rastojanje od jedne tačke do druge definisano na brojevnoj pravoj. Mnoge fundamentalne činjenice analize nisu povezane sa algebarskom prirodom realnih brojeva (tj. sa činjenicom da oni formiraju polje), već se zasnivaju samo na konceptu udaljenosti. Generalizirajući ideju realnih brojeva kao skupa u koji se uvodi razmak između elemenata, dolazimo do koncepta metričkog prostora - jednog od najvažnijih koncepata moderne matematike.

metrički prostor pozvao par (X, r), koji se sastoji od nekih setovi(razmaci) X elementi(bodovi) i razdaljina, tj. nenegativna realna funkcija r(x, y), definisano za bilo koje X I at od X i podložan sljedeća tri aksioma:

1) r(x, y)= 0 ako i samo ako X = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(aksiom simetrije),

3) r(x, r)≤ r(x, y)+ r(y, r)(aksiom trougla).

Sam metrički prostor, odnosno par (X, p), označavaćemo, po pravilu, jednim slovom:

R = (X, p).

U slučajevima kada su nesporazumi isključeni, često ćemo metrički prostor označavati istim simbolom kao i sam "zaliha tačaka". x.

Navedimo primjere metričkih prostora. Neki od ovih prostora igraju veoma važnu ulogu u analizi.

1. Postavka za elemente proizvoljnog skupa

dobijamo, očigledno, metrički prostor. Može se nazvati prostorom izolovanih tačaka.

2. Skup realnih brojeva sa udaljenosti

ρ(x, y) = | x - y |

formira metrički prostor R 1 .

3. Skup uređenih kolekcija iz P realni brojevi sa rastojanjem

pozvao P-dimenzionalni aritmetički euklidski prostor Rn.

4. Razmotrimo isti skup skupova iz P realni brojevi, ali je udaljenost u njemu definirana formulom

Ovdje je očigledna valjanost aksioma 1)-3). Ovaj metrički prostor označavamo simbolom Rn 1 .

5. Uzmite ponovo isti skup kao u primjerima 3 i 4 i odredite udaljenost između njegovih elemenata po formuli

Valjanost aksioma 1)-3) je očigledna. Ovo je prostor koji ćemo odrediti Rn¥ u mnogim pitanjima analize nije ništa manje zgodan od euklidskog prostora Rn.

Posljednja tri primjera pokazuju da je ponekad zaista važno imati različite oznake za sam metrički prostor i za skup njegovih tačaka, budući da se isti skup tačaka može metrizovati na različite načine.

6. Mnogi OD svih kontinuiranih realnih funkcija definiranih na intervalu sa udaljenosti

takođe formira metrički prostor. Aksiomi 1)-3) se direktno provjeravaju. Ovaj prostor igra veoma važnu ulogu u analizi. Označit ćemo ga istim simbolom OD, što je skup tačaka u samom ovom prostoru.

7. Razmotrimo, kao u primjeru 6, kolekciju svih funkcija kontinuiranih na intervalu IZ , ali mi razdaljinu drugačije definišemo, naime postavljamo

Takav metrički prostor ćemo označiti OD 2 i nazovi prostor kontinuiranih funkcija s kvadratnom metrikom.