Definicija matematičkog modela

Važan faktor koji određuje ulogu matematike u različitim aplikacijama je sposobnost da se jezikom matematičkih simbola i odnosa opišu najbitnije karakteristike i svojstva predmeta koji se proučava. Takav opis naziva se matematičko modeliranje ili formalizacija.

Definicija 1.matematički model stvarni predmet (fenomen) je njegova pojednostavljena, idealizirana shema, sastavljena uz pomoć matematičkih simbola i operacija (omjera).

Za izgradnju matematičkog modela određenog ekonomskog zadatka (problema), preporučuje se da se izvrši sljedeći redoslijed rada:

1. Definisanje poznatih i nepoznatih vrednosti, kao i postojećih uslova i preduslova (šta je dato, a šta treba pronaći?);

2. Identifikacija kritični faktori Problemi;

3. Identifikacija upravljanih i neupravljanih parametara;

4. Matematički opis pomoću jednačina, nejednačina, funkcija i drugih odnosa odnosa između elemenata modela (parametara, varijabli), na osnovu sadržaja problema koji se razmatra.

Razmatraju se poznati parametri problema u odnosu na njegov matematički model vanjski(dato a priori, tj. prije izgradnje modela). U ekonomskoj literaturi se nazivaju egzogene varijable. Vrijednost inicijalno nepoznatih varijabli izračunava se kao rezultat proučavanja modela, pa se u odnosu na model razmatraju interni. U ekonomskoj literaturi se nazivaju endogene varijable.

Sa stanovišta svrhe, može se razlikovati deskriptivni modeli i modeli donošenja odluka. Deskriptivni modeli odražavaju sadržaj i osnovna svojstva privrednih objekata kao takvih. Uz njihovu pomoć izračunavaju se numeričke vrijednosti ekonomskih faktora i pokazatelja.

Modeli odlučivanja pomažu u pronalaženju najboljih opcija za planirane indikatore ili upravljačke odluke. Među njima su najmanje složeni modeli optimizacije, koji opisuju (simuliraju) zadatke tipa planiranja, a najsloženiji su modeli igara koji opisuju probleme konfliktne prirode, uzimajući u obzir ukrštanje različitih interesa. Ovi modeli se razlikuju od deskriptivnih po tome što imaju mogućnost odabira vrijednosti kontrolnih parametara (što nije slučaj u deskriptivnim modelima).

Stablo općih odluka

U matematičkoj ekonomiji, teško je precijeniti ulogu modela odlučivanja. Najčešće se koriste oni koji početne probleme optimalnog planiranja proizvodnje, racionalne raspodjele ograničenih resursa i efikasnog djelovanja privrednih subjekata svode na ekstremne probleme, probleme optimalnog upravljanja i probleme igre. Šta je opšta struktura takvi modeli?

Svaki zadatak donošenja odluka karakteriše prisustvo osobe ili osoba koje teže određenim ciljevima i imaju određene mogućnosti za to. Stoga je za identifikaciju glavnih elemenata modela donošenja odluka potrebno odgovoriti na sljedeća pitanja:

dž ko donosi odluku?

dž Koji su ciljevi donošenja odluka?

dž Šta je donošenje odluka?

dž šta je komplet opcije postizanje cilja?

dž pod kojim uslovima se odluka donosi?

Dakle, pred nama je određeni opšti zadatak donošenja odluke. Da bismo konstruisali njegovu formalnu šemu (model), uvodimo opštu notaciju.

pismo N označavaju skup svih strana koje donose odluke. Neka N=(1,2,...,n), one. ima ukupno n učesnika identifikovanih samo brojevima. Svaki element se naziva donosilac odluke (DM). (na primjer, pojedinac, firma, plansko tijelo velikog koncerna, vlade, itd.).

Pretpostavimo da je skup svih izvodljivih rješenja (alternativa, strategija) svakog donosioca odluke prethodno proučen i matematički opisan (na primjer, u obliku sistema nejednakosti). Označimo ih sa X 1 , X 2 ,..., X n . Nakon toga, proces odlučivanja svih donosilaca odluka svodi se na sljedeći formalni čin: svaki donosilac odluke bira određeni element iz svog dopuštenog skupa odluka,..., . Rezultat je skup x = (x1,...,xn) odabranih rješenja, koje nazivamo situacijom.

Za procjenu situacije x sa stanovišta ciljeva kojima teži donosilac odluke, konstruiraju se funkcije f 1 ,..., f n (zvane funkcije cilja ili kriterijumi kvaliteta) koje svakoj situaciji dodeljuju x brojčane ocene f 1 (x),..., f n (x)(na primjer, prihod firmi u situaciji x, ili njihovi troškovi, itd.). Onda cilj i donosilac odluke je formaliziran na sljedeći način: odaberite svoje rješenje tako da u situaciji x = (x 1 ,...,X n ) broj f i (X) biti što veći (ili što manji). Međutim, postizanje ovog cilja ovisi o njemu dijelom i zbog prisustva drugih strana koje utiču opšta situacija x kako bi postigli svoje ciljeve. Ova činjenica ukrštanja interesa (konflikta) ogleda se u činjenici da funkcija f i osim toga x i zavisi od drugih varijabli x j (j i). Stoga, u modelima donošenja odluka s mnogo sudionika, njihovi ciljevi moraju biti formalizirani drugačije od maksimiziranja ili minimiziranja vrijednosti funkcije f i (X). Konačno, budimo u mogućnosti da matematički opišemo sve uslove pod kojima se odluka donosi. (opis odnosa između kontrolisanih i nekontrolisanih varijabli, opis uticaja slučajnih faktora, razmatranje dinamičkih karakteristika itd.). Radi jednostavnosti, ukupnost svih ovih uslova će biti označena jednim simbolom.

Dakle, opća shema problema odlučivanja može izgledati ovako:

Specificirajući elemente modela (1.6.1.), specificirajući njihove karakteristike i svojstva, može se dobiti jedna ili druga specifična klasa modela odlučivanja. Dakle, ako u (1.6.1.) N sastoji se od samo jednog elementa (n=1), a svi uslovi i preduslovi originalnog realnog problema mogu se opisati kao skup izvodljivih rešenja za ovog pojedinačnog donosioca odluke, tada iz (1.6.1.) dobijamo strukturu optimizacijskog (ekstremalnog) problema:< Х, f >. U ovoj šemi, donosilac odluka se može smatrati tijelom za planiranje. Koristeći ovu šemu, možete napisati ekstremne probleme dvije vrste:

Ako je faktor vremena eksplicitno uzet u obzir u ekstremnom problemu, onda se to naziva problem optimalnog upravljanja. Ako je n 2 , onda je (1.6.1.) opšta šema problema donošenja odluka u konfliktnim uslovima, odnosno u onim situacijama kada postoji ukrštanje interesa dve ili više strana.

Često donosilac odluke nema jedan, već nekoliko ciljeva. U ovom slučaju, iz (1) dobijamo šemu u kojoj su sve funkcije f 1 (x),..., f n (x) definisani na istom skupu X. Takvi problemi se nazivaju problemi višeobjektivne optimizacije.

Postoje klase problema donošenja odluka koje su dobile nazive na osnovu svoje svrhe: sistemi čekanja, problemi upravljanja zalihama, problemi mreže i rasporeda, teorija pouzdanosti, itd.

Ako elementi modela (1) ne zavise eksplicitno o vremenu, tj. proces donošenja odluke se svodi na trenutni čin izbora tačke iz datog skupa, tada se problem naziva statički. U suprotnom, tj. kada je donošenje odluka višestepeni diskretni ili vremenski kontinuirani proces, zadatak se naziva dinamičan. Ako elementi modela (1) ne sadrže slučajne varijable i probabilističkih pojava, onda se problem naziva determinističkim, inače - stohastičkim.

Računari su čvrsto ušli u naše živote i praktično ne postoji takva oblast ljudske aktivnosti u kojoj se računari ne bi koristili. Računari se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih mašina, novih tehnoloških procesa i traženja njihovih optimalnih opcija; pri rješavanju ekonomskih problema, pri rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim nivoima. Stvaranje velikih objekata u raketnoj industriji, avionogradnji, brodogradnji, kao i projektovanje brana, mostova i sl., uglavnom je nemoguće bez upotrebe računara.

Za korištenje računara u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti "preveden" na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinskog modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se original ili objekt modeliranja, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je objekt-zamjena originalnog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha simulacije jesu primanje, obrada, prezentacija i upotreba informacija o objektima koji su u interakciji jedni s drugima i vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za poznavanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Modeliranje se široko koristi u različitim oblastima ljudske aktivnosti, posebno u oblastima dizajna i menadžmenta, gde su procesi donošenja efektivnih odluka na osnovu dobijenih informacija posebni.

Model se uvijek gradi sa određenim ciljem na umu, koji utiče na to koja svojstva objektivne pojave su značajna, a koja nisu. Model je, takoreći, projekcija objektivne stvarnosti sa određene tačke gledišta. Ponekad, ovisno o ciljevima, možete dobiti brojne projekcije objektivne stvarnosti koje dolaze u sukob. Ovo je obično tipično za složeni sistemi, u kojem svaka projekcija bira ono što je bitno za određenu svrhu iz skupa nebitnih.

Teorija modeliranja je grana nauke koja proučava načine proučavanja svojstava originalnih objekata na osnovu njihove zamjene drugim modelskim objektima. Teorija sličnosti je u osnovi teorije modeliranja. Prilikom modeliranja ne dolazi do apsolutne sličnosti, već se samo nastoji osigurati da model dovoljno dobro odražava proučavanu stranu funkcionisanja objekta. Apsolutna sličnost se može dogoditi samo kada se jedan objekt zamijeni drugim potpuno istim.

Svi modeli se mogu podijeliti u dvije klase:

pravi,
idealan.

Zauzvrat, pravi modeli se mogu podijeliti na:

prirodno,
fizički,
matematički.

Idealni modeli mogu se podijeliti na:

vizuelno,
ikona,
matematički.

Realni modeli pune skale su stvarni objekti, procesi i sistemi na kojima se izvode naučni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizički modeli- ovo su makete, lutke, reprodukcija fizička svojstva originali (kinematički, dinamički, hidraulički, termički, električni, laki modeli).

Pravi matematički su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizuelni modeli su dijagrami, karte, crteži, grafovi, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski uzorci.

Idealni modeli znakova su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealno matematički modeli- to su analitički, funkcionalni, simulacijski, kombinovani modeli.

U gornjoj klasifikaciji, neki modeli imaju dvostruku interpretaciju (na primjer, analogni). Svi modeli, osim onih u punoj skali, mogu se kombinovati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod čovjekovog apstraktnog mišljenja.

Zaustavimo se na jednoj od najuniverzalnijih vrsta modeliranja - matematičkom, koja u korespondenciju sa simuliranim fizičkim procesom stavlja sistem matematičkih odnosa, čije rješenje vam omogućava da dobijete odgovor na pitanje o ponašanju objekta bez stvaranje fizičkog modela, koji se često pokaže skupim i neefikasnim.

Matematičko modeliranje je sredstvo za proučavanje stvarnog objekta, procesa ili sistema njihovim zamjenom matematički model, pogodnije za eksperimentalna istraživanja uz pomoć kompjutera.

Matematički model je približan prikaz stvarnih objekata, procesa ili sistema, izražen u terminima matematički termini i zadržavajući bitne karakteristike originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i vanjske odnose.

Još ne postoji standardizovana terminologija i malo je verovatno da će se pojaviti, budući da je u čitavoj istoriji matematičkog modeliranja bilo veoma veliki broj naučnici su se bavili ovom temom.

Matematičko modeliranje se koristi u različitim sferama ljudskog života. Kao što su, na primjer: matematika, biohemija, medicina i tako dalje.

Definicija matematičkog modela koju je dao A.D. Mishkis.

Ispitajmo ukupnu vrijednost S svojstava određenog objekta A (objekat: sistem, situacija, pojava, proces itd.). Zašto gradimo matematički objekat A" - aritmetički odnos, geometrijsku figuru, sistem jednačina i tako dalje, čije proučavanje pomoću matematike treba da pruži odgovore na postavljena pitanja o svojstvima S. U ovom U tom slučaju, matematički objekt A" naziva se matematičkim modelom objekta A u odnosu na skup svojstava S. U definiciji je jasno ne samo da su objekti A i A "različite prirode, već i da A" je određen ne samo originalnim A samim, već i ukupnošću njegovih proučavanih svojstava S. Tada ako izvršimo dvije studije jednog i istog objekta A u odnosu na dva različita skupa S1 i S2 njegovih svojstava, tada odgovarajući matematički modeli " i " A1 A2 mogu biti potpuno različiti. Iz ove studije slijedi prvo svojstvo matematički modeli- njihov pluralitet. Naglašavamo da ovdje ne mislimo samo na mnoštvo modela povezanih sa njihovom hijerarhijom, već i na rezultat generiran potrebom proučavanja različitih sistema, ... S1 S2 njegovih svojstava.

Na primjer, jedan te isti masivni kumulusni oblak može se smatrati i sa stanovišta stvaranja silazne zračne struje, koja se dalje distribuira po površini zemlje i koju mi percipiramo kao nalet vjetra prije početka jake kiše. , i kao zona visoke električne aktivnosti atmosfere. Sva ova manifestacija objekta predstavlja veliku opasnost za let zrakoplova. Silazni gaz je opasan prilikom polijetanja i slijetanja, zbog značajne promjene veličine podzemne sile krila aviona (nagla promjena smjera brzine vjetra od glave do repa). Jaka električna polja može stvoriti pražnjenje atmosferskog elektriciteta (munja), čiji uticaj na vazduhoplov može dovesti do potpunog ili delimičnog kvara radio-elektronske opreme u avionu. Jasno je da se u prvom slučaju za model koriste jednačine aerohidrodinamike i proučava polje brzina strujanja zraka (matematički model s obzirom na skup karakteristika S1). U drugom slučaju proučava se električna struktura oblaka i konstruiše se elektrodinamički model (s obzirom na skup karakteristika S2).

Drugo, najvažnije svojstvo je jedinstvo matematičkih modela. Ono što se razlikuje je da različiti realni sistemi ili njihovi smisleni modeli mogu imati isti matematički model.

Značajno u teoriji matematičkog modeliranja je stalna koordinacija svih aspekata izgradnje modela sa zadacima i ciljevima studije. Stoga ističemo neke od karakteristika mehaničkih sistema i procesa koji su bitni za istraživanje.

Prvo, faktori koji određuju takve objekte karakterišu se kao mjerljive veličine – parametri.

Drugo, takvi modeli se zasnivaju na jednačinama koje opisuju fundamentalne zakone prirode (mehanike) kojima nije potrebna revizija i usavršavanje. Čak i gotovi privatni modeli pojedinačnih pojava koji se koriste u pripremi opštijih dobro su formulisani i opisani u smislu uslova i oblasti primene.

Treće, ogromna prepreka u razvoju modela mehaničkih sistema i procesa je opis nepouzdanih poznate karakteristike objekta, funkcionalnog i numeričkog.

Četvrto, trenutni zahtjevi za takvim modelima dovode do potrebe da se uzmu u obzir mnogi faktori koji utiču na ponašanje objekta, a ne samo oni koji su povezani sa poznatim zakonima prirode. Sve ove karakteristike dovode do toga da modeli mehaničkih sistema i procesa uglavnom pripadaju klasi matematičkih.

Matematički modeli se zasnivaju na matematičkom opisu objekta. AT matematički opis, naravno, prije svega, uključeni su međusobni odnosi parametara objekta, što karakterizira njegove karakteristike funkcioniranja. Takvi odnosi se mogu predstaviti kao:

Slika 2.1.1 – Odnosi parametara objekta

Prva četiri od ovih tipova imaju opšti naziv: analitičke zavisnosti.

Matematički opis uključuje ne samo odnos elemenata i parametara objekta (regularnosti i zakonitosti), već i kompletan skup funkcionalnih i numeričkih podataka objekta (karakteristike; početni, granični, konačni uslovi; ograničenja), kao i kao metode za izračunavanje izlaznih parametara modela. Odnosno, matematički opis je kompletan skup funkcija, metoda, proračunskih podataka koji vam omogućavaju da dobijete rezultat.

Međutim, matematički model možda ne uključuje dio matematičkog opisa (najčešće neke početne podatke), ali osim njega, opise svih pretpostavki korištenih za njegovu izgradnju, kao i algoritme za prijenos početnih i izlaznih podataka iz model prema originalu i obrnuto, mora biti sadržan.

Slika 2.1.2 – Matematički opis modela

Kao dodatak klasifikaciji, matematički modeli, ovisno o prirodi objekta, zadacima koji se rješavaju i korištenim metodama, mogu se razlikovati u sljedećim vrstama:

- proračun (algoritmi, nomogrami, formule, grafikoni, tabele);

– relevantno (primjer: model u aerotunel i stvarni let aviona u atmosferi);

– slični (proporcionalni odgovarajući parametri i identični matematički opisi);

- nelinearne i linearne (opisane funkcijama koje sadrže glavne parametre samo na stepen 0 i 1, ili bilo kojom vrstom funkcija),

– nestacionarni i stacionarni (ovisno ili neovisno o vremenu),

- diskretno ili kontinuirano,

- stohastički ili deterministički (vjerovatni, nedvosmisleni ili egzaktni: modeli čekanja, simulacija, itd.),

- nejasno i jasno (primjeri rasplinutih skupova: oko 10; duboki ili plitki; dobri ili loši).

Na osnovu istorijskih događaja Desilo se da pod matematičkim modelom ponekad podrazumevaju samo jednu posebna vrsta modeli koji sadrže samo nedvosmislen direktan matematički opis u obliku računskih algoritama ili analitičkih zavisnosti – odnosno deterministički matematički model, uz pomoć kojih se, uz iste početne podatke, može dobiti samo jedan te isti rezultat. Deterministički modeli koji uspostavljaju odnos sa parametrima originala koristeći koeficijente proporcionalnosti, koji su svi istovremeno jednaki jedan, postali su široko rasprostranjeni. Prirodno je matematički opis koji koristi takav model smatrati opisom samog originala - ova izjava je tačna: u ovom slučaju, model i original imaju jedan zajednički matematički opis. U uvjetima takve prividne jednostavnosti, neiskusni inženjer također model ne doživljava više kao model, već kao original. Međutim, takav matematički model je samo model sa svim pojednostavljenjima, konvencijama, apstrakcijama, pretpostavkama na kojima se temelji. Postoji želja da se "pojednostavi" proces visokokvalitetnog modeliranja, što je općenito nemoguće, jer model ili odgovara originalu, ili ga uopće nema. Nemaran odnos prema tome dovodi do mnogih pogrešnih zaključaka u primijenjenim istraživanjima, a dobijeni rezultati ne odgovaraju stvarnom stanju stvari.

Simulacijski modeli su predstavljeni kao antipod determinističkih modela.

Simulacijski modeli (stohastički) su matematički modeli takvih originala, za čije pojedine elemente ne postoji analitički oblik matematičkog opisa. Matematički opis simulacijskih modela sadrži opis slučajnih procesa (stohastički). Kao takav opis prikazani su različiti oblici zakona distribucije, koji se na osnovu njih mogu sastaviti statistička obrada rezultati posmatranja originala.

Matematički opis simulacijskih modela, pored zakona distribucije slučajnih varijabli koji opisuju fenomen, može uključivati i opis odnosa slučajnih varijabli (na primjer, korištenjem modela teorije čekanja), kao i statistički algoritam testiranja ( Monte Carlo metoda za implementaciju elementarnih slučajni događaji). Iz toga proizilazi da simulacijski modeli koriste matematički aparat teorije vjerovatnoće: matematičku statistiku, teoriju čekanja i metodu statističkih testova.

Zamislite avion: krila, trup, rep, sve to zajedno - pravi ogroman, ogroman, cijeli avion. I možete napraviti model aviona, mali, ali sve je stvarno, ista krila itd., ali kompaktno. Takav je i matematički model. Postoji problem sa tekstom, glomazan, možete ga pogledati, pročitati, ali ga ne razumjeti sasvim, a još više nije jasno kako ga riješiti. Ali šta ako napravimo mali model od toga, matematički model, od velikog verbalnog zadatka? Šta znači matematički? Dakle, koristeći pravila i zakone matematičke notacije, prepravite tekst u logički ispravan prikaz koristeći brojeve i aritmetičke znakove. dakle, matematički model je prikaz realne situacije pomoću matematičkog jezika.

Počnimo jednostavno: Broj više broja na. Moramo to zapisati bez upotrebe riječi, samo jezikom matematike. Ako više za, onda se ispostavlja da ako oduzmemo od, onda će sama razlika ovih brojeva ostati jednaka. One. ili. Shvatili ste suštinu?

Sada je sve komplikovanije, sad će biti tekst koji bi trebalo da pokušate da predstavite u vidu matematičkog modela, dok ne pročitate kako ću ja to da uradim, pokušajte sami! Postoje četiri broja: , i. Proizvod i više proizvoda i dva puta.

Šta se desilo?

U obliku matematičkog modela, to će izgledati ovako:

One. proizvod se odnosi na dva prema jedan, ali ovo se može dodatno pojednostaviti:

Pa, sa jednostavnim primjerima, pretpostavljam da ste shvatili poentu. Prijeđimo na punopravne zadatke u kojima je potrebno riješiti i ove matematičke modele! Evo zadatka.

Matematički model u praksi

Zadatak 1

Nakon kiše nivo vode u bunaru može porasti. Dječak mjeri vrijeme kada mali kamenčići padnu u bunar i izračunava udaljenost do vode koristeći formulu gdje je udaljenost u metrima, a vrijeme pada u sekundama. Prije kiše vrijeme pada kamenčića bilo je s. Za koliko mora porasti nivo vode nakon kiše da bi se izmjereno vrijeme promijenilo u s? Izrazite svoj odgovor u metrima.

Moj bože! Koje formule, kakav bunar, šta se dešava, šta da se radi? Jesam li ti pročitao misli? Opustite se, u zadacima ovog tipa uslovi su još strašniji, važno je zapamtiti da vas u ovom zadatku zanimaju formule i odnosi između varijabli, a šta sve to znači u većini slučajeva nije mnogo bitno. Šta vidite ovdje korisnim? Ja lično vidim. Princip rješavanja ovih problema je sljedeći: uzimate sve poznate količine i zamjenjujete ih.Ali ponekad morate razmišljati!

Slijedeći moj prvi savjet i zamjenom svih poznatih u jednadžbu, dobivamo:

Ja sam zamenio vreme sekunde i pronašao visinu kojom je kamen poleteo pre kiše. A sada treba da prebrojimo posle kiše i pronađemo razliku!

Sada poslušajte drugi savjet i razmislite o njemu, pitanje precizira "koliko mora porasti nivo vode nakon kiše da bi se izmjereno vrijeme promijenilo za s". Treba to odmah shvatiti,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaаааааааааа je jeoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooбo , nakon kiše nivo vode raste, što znači da je manje vremena da kamen padne na nivo vode, a tu traje kićena fraza "da se izmjereno vrijeme mijenja" na određeno značenje: vrijeme pada se ne povećava, već se smanjuje za određene sekunde. To znači da u slučaju bacanja nakon kiše treba samo da oduzmemo c od početnog vremena c i dobijemo jednačinu za visinu kojom će kamen doletjeti nakon kiše:

I na kraju, da biste pronašli koliko bi nivo vode trebao porasti nakon kiše, tako da se izmjereno vrijeme promijeni za s, samo trebate oduzeti drugu visinu od prve visine pada!

Dobijamo odgovor: po metru.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano, što je najvažnije, nemojte se previše zamarati otkud ovakva nerazumljiva i ponekad složena jednačina u uslovima i šta sve u njoj znači, vjerujte mi na riječ, većina ovih jednačina je preuzeto iz fizike, a tamo je džungla gora nego u algebri. Ponekad mi se čini da su ovi zadaci izmišljeni da bi studenta na ispitu zastrašili obiljem složenih formula i pojmova, a u većini slučajeva ne zahtijevaju gotovo nikakvo znanje. Samo pažljivo pročitajte uvjet i zamijenite poznate vrijednosti u formuli!

Evo još jednog problema, ne više iz fizike, već iz svijeta ekonomske teorije, iako ovdje opet nije potrebno poznavanje drugih nauka osim matematike.

Zadatak 2

Ovisnost obima potražnje (jedinica mjesečno) za proizvode monopolskog preduzeća od cijene (hiljadu rubalja) data je formulom

Mjesečni prihod kompanije (u hiljadama rubalja) izračunava se pomoću formule. Odredite najvišu cijenu po kojoj će mjesečni prihod iznositi najmanje hiljadu rubalja. Dajte odgovor u hiljadama rubalja.

Pogodi šta ću sada? Da, počet ću zamjenjivati ono što znamo, ali, opet, morate još malo razmisliti. Idemo od kraja, moramo pronaći na kojem. Dakle, postoji, jednako nekome, nađemo čemu je još jednako, i jednako je, pa ćemo to zapisati. Kao što vidite, ne opterećujem se posebno značenjem svih ovih veličina, samo gledam iz uslova, šta je jednako čemu, to treba da uradite. Vratimo se zadatku, već ga imate, ali kao što se sjećate, iz jedne jednačine sa dvije varijable, nijedna se ne može naći, šta učiniti? Da, još uvijek imamo neiskorištenu česticu u stanju. Ovdje već postoje dvije jednačine i dvije varijable, što znači da se sada obje varijable mogu naći - odlično!

Možete li riješiti takav sistem?

Rješavamo zamjenom, već smo to izrazili, što znači da ćemo je zamijeniti u prvu jednačinu i pojednostaviti je.

Ispostavilo se da je ovdje takva kvadratna jednadžba: , rješavamo, korijeni su ovakvi, . U zadatku je potrebno pronaći najvišu cijenu po kojoj će biti ispunjeni svi uslovi koje smo uzeli u obzir prilikom sastavljanja sistema. Oh, ispostavilo se da je to bila cijena. Super, pa smo pronašli cijene: i. Najviša cijena, kažete? U redu, najveći od njih, očigledno, pišemo kao odgovor. Pa, je li teško? Mislim da nije, i ne morate se previše upuštati u to!

A evo vam zastrašujuća fizika, tačnije, još jedan problem:

Zadatak 3

Za određivanje efektivne temperature zvijezda koristi se Stefan-Boltzmannov zakon, prema kojem je gdje je snaga zračenja zvijezde konstanta, površina zvijezde i temperatura. Poznato je da je površina određene zvijezde jednaka, a snaga njenog zračenja jednaka W. Pronađite temperaturu ove zvijezde u stepenima Kelvina.

Gdje je jasno? Da, uslov kaže šta je jednako čemu. Ranije sam preporučio da se sve nepoznate odmah zamene, ali ovde je bolje prvo izraziti traženo nepoznato. Pogledajte kako je sve jednostavno: postoji formula i oni su poznati u njoj, i (ovo je grčko slovo "sigma". Generalno, fizičari vole grčka slova, naviknite se na to). Temperatura je nepoznata. Izrazimo to u obliku formule. Kako to uraditi, nadam se da znate? Takvi zadaci za GIA u 9. razredu obično daju:

Sada ostaje zamijeniti brojeve umjesto slova na desnoj strani i pojednostaviti:

Evo odgovora: stepeni Kelvina! I kakav je to užasan zadatak bio!

Nastavljamo da mučimo probleme u fizici.

Zadatak 4

Visina iznad tla bačene lopte mijenja se u skladu sa zakonom, gdje je visina u metrima, vrijeme u sekundama koje je proteklo od bacanja. Koliko sekundi će lopta biti na visini od najmanje tri metra?

To su bile sve jednadžbe, ali ovdje je potrebno odrediti koliko je lopta bila na visini od najmanje tri metra, što znači na visini. Šta ćemo napraviti? Nejednakost, da! Imamo funkciju koja opisuje kako lopta leti, gdje je potpuno ista visina u metrima, potrebna nam je visina. Sredstva

A sada samo rješavate nejednakost, što je najvažnije, ne zaboravite promijeniti znak nejednakosti iz većeg ili jednakog u manje ili jednako kada pomnožite sa oba dijela nejednakosti kako biste se riješili minusa ispred.

Evo korijena, gradimo intervale za nejednakost:

Zanima nas interval u kojem je predznak minus, pošto nejednakost vodi tamo negativne vrijednosti, ovo je od do oba uključena. A sada uključujemo mozak i dobro razmislimo: za nejednakost smo koristili jednačinu koja opisuje let lopte, ona nekako leti po paraboli, tj. poleti, dostigne vrhunac i padne, kako shvatiti koliko će dugo biti na visini od najmanje metara? Pronašli smo 2 prekretnice, tj. onog trenutka kada se uzdigne iznad metara i trenutka kada padne dostigne istu oznaku, ove dvije tačke se u našem obliku izražavaju u obliku vremena, tj. znamo u kojoj sekundi leta je ušao u zonu od interesa za nas (iznad metara) i u koju ju je napustio (pao ispod metra). Koliko je sekundi bio u ovoj zoni? Logično je da uzmemo vrijeme izlaska iz zone i od njega oduzmemo vrijeme ulaska u ovu zonu. Prema tome: - toliko je bio u zoni iznad metara, ovo je odgovor.

Imaš tu sreću da se većina primjera na ovu temu može uzeti iz kategorije zadataka iz fizike, pa uhvati još jedan, konačni je, pa se guraj, ostalo je jako malo!

Zadatak 5

Za grijaći element određenog uređaja eksperimentalno je dobivena temperaturna ovisnost o vremenu rada:

Gdje je vrijeme u minutama. Poznato je da se na temperaturi grijaćeg elementa iznad uređaja može pokvariti, pa se mora isključiti. Pronađite maksimalno vrijeme nakon početka rada da isključite uređaj. Izrazite svoj odgovor za nekoliko minuta.

Ponašamo se prema dobro utvrđenoj shemi, sve što je dato prvo napišemo:

Sada uzimamo formulu i izjednačavamo je s temperaturom na koju se uređaj može zagrijati što je više moguće dok ne izgori, odnosno:

Sada zamjenjujemo brojeve umjesto slova tamo gdje su poznati:

Kao što vidite, opisana je temperatura tokom rada uređaja kvadratna jednačina, što znači da je raspoređena duž parabole, tj. uređaj se zagrijava do određene temperature, a zatim se hladi. Dobili smo odgovore i stoga je tokom i tokom minuta grijanja temperatura kritična, ali između i minuta je čak i viša od granice!

Dakle, morate isključiti uređaj nakon jednog minuta.

MATEMATIČKI MODELI. UKRATKO O GLAVNOM

Najčešće se u fizici koriste matematički modeli: na kraju krajeva, vjerojatno ste morali zapamtiti desetke fizičkih formula. Formula je matematički prikaz situacije.

U OGE i Jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci samo na ovu temu. U USE (profilu) ovo je zadatak broj 11 (ranije B12). U OGE - zadatak broj 20.

Shema rješenja je očigledna:

1) Iz teksta uvjeta potrebno je "izolirati" korisne informacije - ono što u zadacima iz fizike pišemo pod riječju "Dato". Ova korisna informacija je:

Formula
Poznate fizičke veličine.

Odnosno, svakom slovu iz formule mora biti dodijeljen određeni broj.

2) Uzmite sve poznate količine i zamijenite ih u formulu. Nepoznata vrijednost ostaje kao slovo. Sada samo trebate riješiti jednačinu (obično prilično jednostavno) i odgovor je spreman.

Postanite student YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike,

I također dobijte neograničen pristup YouClever tutorialu...

Kao sistem jednadžbi, ili aritmetičkih odnosa, ili geometrijski oblici, ili kombinacija oba, čije proučavanje pomoću matematike treba da odgovori na postavljena pitanja o svojstvima određenog skupa svojstava objekta stvarnog svijeta, kao skupa matematičkih odnosa, jednačina, nejednačina koji opisuju glavni obrasci svojstveni procesu, objektu ili sistemu koji se proučava.

U automatizovanim sistemima upravljanja, matematički model se koristi za određivanje algoritma rada regulatora. Ovaj algoritam određuje kako se kontrolna akcija treba mijenjati ovisno o promjeni u masteru da bi se postigao kontrolni cilj.

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često izgrađen u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je objekat predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

Strukturni ili funkcionalni modeli

Model-hipoteze u nauci se ne mogu dokazati jednom za svagda, može se govoriti samo o njihovom opovrgavanju ili nepobijanju kao rezultatu eksperimenta.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Fenomenološki model

Drugi tip je fenomenološki model ( “ponašamo se kao da…”), sadrži mehanizam za opisivanje fenomena, iako ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može biti dovoljno potvrđen dostupnim podacima ili je slabo u skladu s dostupnim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat, a potraga za "pravim mehanizmima" mora se nastaviti. Peierls odnosi, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica na drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Slično, nova znanja mogu postepeno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se preneti na drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije prešao u prvi tip. Ali eterski modeli su prešli iz tipa 1 u tip 2, i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Aproksimacija

Treći tip modela su aproksimacije ( "nešto se smatra veoma velikim ili veoma malim"). Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer- Ohmov zakon.

misaoni eksperiment

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

gdje x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) znači drugi derivat od x (\displaystyle x) po vremenu: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj obrazac se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o odsustvu vanjskih sila, odsustvu trenja, malenosti odstupanja, itd.), koje u stvarnosti možda neće biti ispunjene.

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4. pojednostavljenje(„izostavljamo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne predugo i podložno određenim drugim uslovima), takav model opisuje realnu mehanički sistem, budući da odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom.

Međutim, kada se model usavrši, složenost njegovog matematičkog proučavanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje. pravi sistem nego složeniji (i, formalno, „ispravniji“).

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov značajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije ga treba pripisati tipu 6 analogija(„Uzmimo u obzir samo neke karakteristike“).

Tvrdi i mekani modeli

Harmonski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Svojstva harmonijskog oscilatora kvalitativno se mijenjaju malim perturbacijama. Na primjer, ako na desnu stranu dodamo mali pojam − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(trenje) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- neki mali parametar), tada ćemo dobiti eksponencijalno prigušene oscilacije ako promijenimo predznak dodatnog člana (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) tada će se trenje pretvoriti u pumpanje i amplituda oscilacija će se eksponencijalno povećati.

Da bismo riješili pitanje primjenjivosti rigidnog modela, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Potrebno je istražiti meke modele dobijene malom perturbacijom krutog. Za harmonijski oscilator, oni se mogu dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Evo f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- neka funkcija koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stepenu njenog istezanja. Eksplicitni oblik funkcije f (\displaystyle f) trenutno nismo zainteresovani.

Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela (bez obzira na eksplicitni oblik remetalnih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače će primjena rezultata dobivenih u proučavanju krutog modela zahtijevati dodatna istraživanja.

Ako sistem zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malom perturbacijom, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Univerzalnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnost: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u U (\displaystyle U)- posuda u obliku ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja doveo Ludwiga von Bertalanffyja da stvori "opću teoriju sistema".

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Dakle, vagon se pretvara u sistem ploča i složenijih tijela napravljenih od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se usput sastavljaju jednadžbe. neki detalji se odbacuju kao beznačajni, vrše se proračuni, upoređuju se sa mjerenjima, model se rafinira i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan problem: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje most može izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog zadatka. Postavljanje ispravnog direktnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je napravljen dobar model za njegovo ponašanje. Dakle, 1879. godine u Velikoj Britaniji se metalni željeznički most srušio preko Firth of Tay, čiji su dizajneri izgradili model mosta, izračunali ga za 20-struku sigurnosnu granicu za nosivost, ali su zaboravili na vjetar koji stalno duva. na tim mjestima. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: postoji mnogo mogućih modela, morate odabrati specifičan model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije može se sastojati u dodatnim empirijskim podacima, ili u zahtjevima za objekt ( projektantski zadatak). Dodatni podaci mogu doći bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera virtuoznog rješenja inverznog problema uz potpunu upotrebu dostupnih podataka bila je Newtonova metoda za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu opservacionih i eksperimentalnih podataka u cilju izgradnje verovatnosnih modela masovnih nasumičnih pojava. Odnosno, skup mogućih modela je ograničen vjerojatnosnim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom simulacija. Block Models predstavljeni su blokovima (najčešće grafičkim), čiji su skup i veza specificirani dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Prema modelu koji je predložio Malthus, stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije, odnosno opisuje se diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

gdje α (\displaystyle \alpha )- neki parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Ako natalitet premašuje stopu smrtnosti ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), veličina populacije je neograničena i vrlo brzo raste. U stvarnosti, to se ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Prečišćavanje Malthusovog modela može poslužiti kao logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti x s (\displaystyle x_(s)), i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

sistem grabežljivac-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka broj zečeva x (\displaystyle x), broj lisica y (\displaystyle y). Koristeći Malthusov model sa potrebnim korekcijama, uzimajući u obzir ishranu zečeva lisicama, dolazimo do sledećeg sistema koji nosi naziv Model tacne - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\end(slučajevi)))

Ponašanje ovog sistema nije strukturno stabilno: mala promjena u parametrima modela (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja.

Za neke vrijednosti parametara ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do postepenog prigušenja fluktuacija u broju zečeva i lisica.

Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, Volterra-Lotka model ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

vidi takođe

Bilješke

"Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izdanje, ispravljeno. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A. G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Laka i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
Rotach V.Ya. Teorija automatskog upravljanja. - 1. - M. : CJSC "Izdavačka kuća MPEI", 2008. - S. 333. - 9 str. - ISBN 978-5-383-00326-8.
Pristupi redukcije modela i krupnozrnatosti za fenomene više razmjera(engleski) . Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4. Pristupljeno 18. 6. 2013. Arhivirano iz originala 18. 6. 2013.
“Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom, u zavisnosti od toga koji – linearni ili nelinearni – matematički aparat, koje – linearne ili nelinearne – matematičke modele koristi. ... ne poričući ovo drugo. Moderni fizičar, ako bi slučajno redefinirao tako važan entitet kao što je nelinearnost, najvjerovatnije bi postupio drugačije, i, preferirajući nelinearnost kao važniju i uobičajeniju od dvije suprotnosti, definisao bi linearnost kao "ne-ne- linearnost". Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Sinergetika: od prošlosti do serije budućnosti. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
„Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se paušalnim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Jedan te isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine sa odloženom raspravom. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.
Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, br. 11, str. 77-84.
“U zavisnosti od prirode proučavanih procesa u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje prikazuje determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. … Statičko modeliranje se koristi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, dok dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje služi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno, kontinuirano modeliranje vam omogućava da reflektujete kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve u kojima želite da istaknete prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
Obično matematički model odražava strukturu (uređenje) objekta koji se modelira, svojstva i međusobne veze komponenti ovog objekta koje su bitne za potrebe proučavanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnom ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 str.