Se un corpo solido si trova vicino alla superficie terrestre, la gravità viene applicata a ciascun punto materiale di questo corpo. Allo stesso tempo, le dimensioni del corpo rispetto alle dimensioni della Terra sono così piccole che le forze di gravità agenti su tutte le particelle del corpo possono essere considerate parallele tra loro.

Punto centrale DA) vengono chiamati sistemi di forze di gravità parallele di tutti i punti del corpo centro di gravità corpo solido , e viene chiamata la somma delle forze di gravità di tutti i suoi punti materiali gravità agendo su di esso

Le coordinate del baricentro di un corpo rigido sono determinate dalle formule:

dove sono le coordinate dei punti di applicazione della gravità su cui agisce K-esimo punto materiale.

Per un corpo omogeneo:

dove V è il volume dell'intero corpo;

V K- volume K-esima particella.

Per un piatto sottile uniforme:

dove S è l'area del piatto;

S K- quadrato K- oh parte del piatto.

Per la linea:

dove l- la lunghezza dell'intera linea;

Lk- lunghezza K esima parte della linea.

Metodi per determinare le coordinate dei centri di gravità dei corpi:

Teorico

Simmetria. Se un corpo omogeneo ha un piano, un asse o un centro di simmetria, allora il suo centro di gravità si trova, rispettivamente, nel piano di simmetria, o sull'asse, o nel centro di simmetria.

Scissione. Se il corpo può essere diviso in un numero finito di tali parti, per ciascuna delle quali è nota la posizione del baricentro, allora le coordinate del baricentro dell'intero corpo possono essere calcolate direttamente utilizzando le formule di cui sopra.

Aggiunta. Questo metodo è un caso speciale del metodo di partizionamento. Si applica ai corpi con intagli se sono noti i baricentro del corpo senza l'intaglio e l'intaglio. Sono inclusi nei calcoli con il segno "-".

Integrazione. Quando il corpo non può essere suddiviso in parti componenti, di cui si conoscono i baricentri, si ricorre al metodo dell'integrazione, che è universale.

sperimentale

metodo di sospensione. Il corpo è sospeso da due o tre punti, disegnando da essi linee verticali. Il punto della loro intersezione è il centro di massa.

Metodo di pesatura. Corpo parti differenti posto sulla bilancia, determinando così reazioni di supporto. Componi le equazioni di equilibrio, da cui vengono determinate le coordinate del baricentro.

Utilizzando metodi teorici, formule per la determinazione coordinate del baricentro il più comune corpi omogenei:

arco di cerchio

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Revisione

Leva è un corpo rigido che ha un asse di rotazione immobile ed è sotto l'azione di forze giacenti su un piano perpendicolare a tale asse.

Se la leva è ferma, la somma algebrica dei momenti di tutte le forze applicate alla leva rispetto al punto di riferimento è zero

Sistema di forze piano arbitrario - questo è un sistema di forze, le cui linee d'azione si trovano su un piano indipendentemente.

Utilizzando il metodo di Poinsot nel centro di riduzione O si otterrà un sistema di forze e un sistema di coppie, i cui momenti di ciascuno sono uguali ai momenti della forza corrispondente rispetto al centro di riduzione.

Sistema vettoriale principale è chiamato vettore uguale a somma geometrica tutte le forze del sistema.

Il punto principale del sistema relativa al centro O nel piano è detta somma algebrica dei momenti delle forze del sistema rispetto al centro di riduzione O.

Il vettore principale non dipende dalla scelta del centro di riduzione O. Il momento principale delle forze dipende dal centro di riduzione.

Il teorema fondamentale della statica sul portare il sistema di forze a questo centro : Qualsiasi sistema arbitrario planare di forze agenti su un corpo assolutamente rigido, quando ridotto a un centro scelto arbitrariamente O, può essere sostituito da una forza uguale al vettore principale del sistema e applicata al centro di riduzione O, e una coppia con a momento uguale al momento principale del sistema attorno al centro O.

I casi di riduzione sistema piatto forze verso una forma più semplice

Condizioni di equilibrio per un sistema di forze piano arbitrario.

1. Condizioni di equilibrio geometrico : per equilibrio piatto sistema arbitrario le forze sono necessarie e sufficienti vettore principale e punto principale sistemi erano zero

2. Condizioni analitiche di equilibrio .

Forma base delle condizioni di equilibrio: Per l'equilibrio di un arbitrario sistema piatto di forze, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni di tutte le forze sugli assi coordinati e la somma dei loro momenti relativi a qualsiasi centro che giace nel piano d'azione delle forze sono uguali a zero.

La seconda forma di condizioni di equilibrio: Per l'equilibrio di un arbitrario sistema planare di forze, è necessario e sufficiente che la somma dei momenti di tutte le forze attorno a due centri A e B qualsiasi e la somma delle loro proiezioni su un asse non perpendicolare alla retta AB siano uguale a zero.

La terza forma di condizioni di equilibrio (l'equazione dei tre momenti): Per l'equilibrio di un sistema di forze arbitrario piatto, è necessario e sufficiente che la somma dei momenti di tutte le forze attorno a tre centri A, B e C qualsiasi, non giacenti su una retta, sia uguale a zero.

Centro di forze parallele

Un sistema di forze parallele dirette in una direzione non può essere bilanciato o ridotto a una coppia di forze, ha sempre una risultante.

La linea d'azione della risultante è parallela alle forze. La posizione del punto della sua applicazione dipende dalla grandezza e dalla posizione dei punti di applicazione delle forze del sistema.

Centro di forze parallele - il punto C è il punto di applicazione del sistema risultante di forze parallele.
La posizione del centro delle forze parallele - punto C, è determinata dalle coordinate di questo punto

Il baricentro di un corpo rigido e le sue coordinate

Centro di gravità del corpo - un punto geometrico invariabilmente associato a questo corpo, in cui si applica la risultante delle forze di gravità delle singole particelle del corpo, cioè peso corporeo nello spazio.

Le coordinate del centro di gravità sono determinate in modo simile alle coordinate del centro di forze parallele C (), composte dalle forze di gravità delle particelle del corpo.

La posizione del baricentro di un corpo omogeneo dipende solo dalla sua forma geometrica e dalle sue dimensioni e non dipende dalle proprietà del materiale di cui è composto il corpo.

La somma dei prodotti delle aree elementari che compongono una figura piatta e dei valori algebrici delle loro distanze rispetto a un certo asse è chiamata momento statico dell'area della figura piatta.

Momento statico l'area di una figura piatta è uguale al prodotto dell'area della figura per la distanza algebrica dal baricentro a questo asse. L'unità di misura del momento statico è [cm3].
il momento statico dell'area di una figura piatta rispetto all'asse che passa per il baricentro della figura è uguale a zero.

Il peso corporeo è la risultante delle forze di gravità delle singole particelle del corpo.

Metodi per determinare la posizione del baricentro .

1. Metodo di simmetria : Se un corpo omogeneo ha un piano, un asse o un centro di simmetria, allora il centro di gravità si trova, rispettivamente, o nel piano di simmetria, o sull'asse di simmetria, o nel centro di simmetria. Il centro di gravità di una linea di lunghezza è nel mezzo. Il baricentro di un cerchio (o cerchio) di raggio è nel suo centro, cioè nel punto di intersezione dei diametri. Il baricentro di un parallelogramma, rombo o parallelepipedo si trova nel punto di intersezione delle diagonali. Il baricentro di un poligono regolare è al centro di un cerchio inscritto o circoscritto.
2. Metodo di picchettamento : Se il corpo può essere suddiviso in un numero finito di elementi (volumi, piani, linee), per ciascuno dei quali è nota la posizione del baricentro, allora le coordinate del baricentro dell'intero corpo possono essere determinate da conoscere i valori degli elementi direttamente dalle formule
3. Metodo del complemento (piani negativi): se il corpo ha elementi tagliati, quando si divide in elementi, la parte tagliata (area, volume) viene sottratta dal totale, ad es. vengono forniti gli elementi tagliati valori negativi area o volume

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Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico
Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico. Sono stati effettuati la scelta del materiale, il calcolo delle sollecitazioni ammissibili, il calcolo della resistenza al contatto e alla flessione.

Un esempio per risolvere il problema della flessione della trave
Nell'esempio vengono tracciati i diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti, viene trovata una sezione pericolosa e viene selezionata una trave a I. Nel problema è stata analizzata la costruzione di diagrammi utilizzando dipendenze differenziali, analisi comparativa diverse sezioni trasversali della trave.

Un esempio per risolvere il problema della torsione dell'albero
Il compito è testare la resistenza di un albero in acciaio per un dato diametro, materiale e sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti diagrammi di coppie, sforzi di taglio e angoli di torsione. Il peso proprio dell'albero non viene preso in considerazione

Un esempio di soluzione del problema della tensione-compressione di un'asta
Il compito è testare la resistenza di una barra d'acciaio a determinate sollecitazioni ammissibili. Durante la soluzione, vengono costruiti grafici delle forze longitudinali, delle sollecitazioni normali e degli spostamenti. Il peso proprio della barra non viene preso in considerazione

Applicazione del teorema di conservazione dell'energia cinetica
Un esempio di soluzione del problema dell'applicazione del teorema di conservazione energia cinetica sistema meccanico

Determinazione della velocità e dell'accelerazione di un punto secondo le equazioni del moto date
Un esempio per risolvere il problema di determinare la velocità e l'accelerazione di un punto di date equazioni movimenti

Determinazione delle velocità e delle accelerazioni di punti di un corpo rigido durante il moto piano-parallelo
Un esempio per risolvere il problema di determinare le velocità e le accelerazioni dei punti di un corpo rigido durante il movimento piano-parallelo

L'argomento è relativamente facile da padroneggiare, ma è estremamente importante quando si studia il corso della forza dei materiali. L'attenzione principale qui dovrebbe essere rivolta alla risoluzione di problemi sia con forme piatte e geometriche, sia con profili laminati standard.

Domande per l'autocontrollo

1. Qual è il centro delle forze parallele?

Il centro delle forze parallele è il punto attraverso il quale si applica la linea del sistema risultante di forze parallele punti dati, per qualsiasi cambiamento nella direzione di queste forze nello spazio.

2. Come trovare le coordinate del centro delle forze parallele?

Per determinare le coordinate del centro delle forze parallele utilizziamo il teorema di Varignon.

Asse relativo X

Mx(R) = ΣMx(Fk), - y C R = Σy kFk e y C = Σy kFk /Σ Fk .

Asse relativo y

Mio y (R) = ΣM y (Fk), - x C R = Σx kFk e x C = Σx kFk /Σ Fk .

Per determinare la coordinata z C , ruotare tutte le forze di 90° in modo che diventino parallele all'asse y (Figura 1.5, b). Quindi

M z (R) = ΣM z (Fk), - z C R = Σz kFk e z C = Σz kFk /Σ Fk .

Pertanto, assume la forma la formula per determinare il vettore raggio del centro delle forze parallele

r C = Σr kFk /Σ Fk.

3. Qual è il baricentro del corpo?

Centro di gravità - un punto invariabilmente connesso con un corpo solido attraverso il quale passa la risultante delle forze di gravità che agiscono sulle particelle di questo corpo in qualsiasi posizione del corpo nello spazio. Per un corpo omogeneo con un centro di simmetria (cerchio, palla, cubo, ecc.), il baricentro si trova al centro di simmetria del corpo. La posizione del baricentro di un corpo rigido coincide con la posizione del suo baricentro.

4. Come trovare il baricentro di un rettangolo, triangolo, cerchio?

Per trovare il centro di gravità di un triangolo, devi disegnare un triangolo: una figura composta da tre segmenti collegati tra loro in tre punti. Prima di trovare il baricentro della figura, devi usare un righello per misurare la lunghezza di un lato del triangolo. Al centro del lato, metti un segno, dopo di che collega il vertice opposto e il centro del segmento con una linea chiamata mediana. Ripeti lo stesso algoritmo con il secondo lato del triangolo e poi con il terzo. Il risultato del tuo lavoro saranno tre mediane che si intersecano in un punto, che sarà il baricentro del triangolo. Se è necessario determinare il baricentro di un disco rotondo di una struttura omogenea, trova prima il punto di intersezione dei diametri del cerchio. Sarà lei il centro di gravità dato corpo. Considerando figure come una palla, un cerchio e un'uniforme cuboide, si può affermare con certezza che il baricentro del cerchio sarà al centro della figura, ma al di fuori dei suoi punti, il baricentro della palla è il centro geometrico della sfera e, in quest'ultimo caso, il baricentro è l'intersezione delle diagonali del parallelepipedo rettangolare.

5. Come trovare le coordinate del baricentro di una sezione composita piana?

Metodo di partizione: se una figura piatta può essere divisa in un numero finito di tali parti, per ciascuna delle quali è nota la posizione del baricentro, le coordinate del baricentro dell'intera figura sono determinate dalle formule:

X C = ( s k x k) / S; Y C = ( s k y k) / S,

dove x k, y k sono le coordinate dei baricentro delle parti della figura;

s k - la loro area;

S \u003d s k - l'area dell'intera figura.

6. Centro di gravità

1. In che caso è sufficiente determinare una coordinata mediante calcolo per determinare il baricentro?

Nel primo caso, per determinare il baricentro è sufficiente determinare una coordinata.Il corpo è diviso in un numero finito di parti, per ognuna delle quali la posizione del baricentro C e zona S conosciuto. Ad esempio, la proiezione di un corpo su un piano xOy (Figura 1.) può essere rappresentato come due figure piatte con aree S1 e S2 (S = S 1 + S 2 ). I centri di gravità di queste figure sono nei punti C 1 (x 1 , y 1) e C 2 (x 2 , y 2) . Quindi sono le coordinate del baricentro del corpo

Poiché i centri delle figure giacciono sull'asse y (x = 0), troviamo solo la coordinata Noi.

2 Come viene presa in considerazione l'area del foro nella figura 4 nella formula per determinare il baricentro della figura?

Metodo della massa negativa

Questo metodo consiste nel fatto che un corpo con cavità libere è considerato solido e la massa delle cavità libere è considerata negativa. La forma delle formule per determinare le coordinate del baricentro del corpo non cambia.

Pertanto, quando si determina il baricentro di un corpo con cavità libere, dovrebbe essere utilizzato il metodo di partizione, ma la massa delle cavità dovrebbe essere considerata negativa.

avere un'idea circa il centro delle forze parallele e le sue proprietà;

sapere formule per determinare le coordinate del baricentro di figure piatte;

essere in grado di determinare le coordinate del baricentro di figure piane di semplici forme geometriche e profili laminati standard.

ELEMENTI DI CINEMATICA E DINAMICA
Dopo aver studiato la cinematica di un punto, prestare attenzione al fatto che il moto rettilineo di un punto, sia irregolare che uniforme, è sempre caratterizzato dalla presenza di un'accelerazione normale (centripeta). In movimento in avanti corpo (caratterizzato dal movimento di uno qualsiasi dei suoi punti), sono applicabili tutte le formule della cinematica di un punto. Le formule per determinare i valori angolari di un corpo rotante attorno a un asse fisso hanno un'analogia semantica completa con le formule per determinare i corrispondenti valori lineari di un corpo in movimento traslatorio.

Argomento 1.7. Cinematica dei punti
Quando si studia l'argomento, prestare attenzione ai concetti di base della cinematica: accelerazione, velocità, percorso, distanza.

Domande per l'autocontrollo

1. Qual è la relatività dei concetti di quiete e moto?

Il movimento meccanico è un cambiamento nel movimento di un corpo, o (le sue parti) nello spazio rispetto ad altri corpi nel tempo. Il volo di un sasso lanciato, la rotazione di una ruota - esempi movimento meccanico.

2. Definire i concetti base della cinematica: traiettoria, distanza, traiettoria, velocità, accelerazione, tempo.

La velocità è una misura cinematica del movimento di un punto, che caratterizza la velocità di cambiamento nella sua posizione nello spazio. La velocità è una grandezza vettoriale, cioè è caratterizzata non solo dal modulo (componente scalare), ma anche dalla direzione nello spazio.

Come è noto dalla fisica, con moto uniforme, la velocità può essere determinata dalla lunghezza del percorso percorso nell'unità di tempo: v = s / t = const (si presume che l'origine del percorso e il tempo coincidano). In moto rettilineo la velocità è costante sia in modulo che in direzione e il suo vettore coincide con la traiettoria.

Unità di velocità nel sistema SIè determinato dal rapporto lunghezza/tempo, ovvero m/s.

L'accelerazione è una misura cinematica della variazione della velocità di un punto nel tempo. In altre parole, l'accelerazione è il tasso di variazione della velocità.
Come la velocità, l'accelerazione è una grandezza vettoriale, cioè è caratterizzata non solo dal modulo, ma anche dalla direzione nello spazio.

Nel moto rettilineo, il vettore di velocità coincide sempre con la traiettoria, e quindi anche il vettore di variazione di velocità coincide con la traiettoria.

Dal corso della fisica è noto che l'accelerazione è una variazione di velocità per unità di tempo. Se per un breve periodo di tempo Δt la velocità del punto cambiava di Δv, l'accelerazione media per questo periodo di tempo era: a cp = Δv/Δt.

L'accelerazione media non dà un'idea di vero valore cambio di velocità in un dato momento. Allo stesso tempo, è ovvio che più breve è il periodo di tempo considerato durante il quale si è verificata la variazione di velocità, più il valore dell'accelerazione sarà vicino al vero (istantaneo).
Da qui la definizione: l'accelerazione vera (istantanea) è il limite a cui tende l'accelerazione media quando Δt tende a zero:

a = lim a cf a t→0 oppure lim Δv/Δt = dv/dt.

Dato che v \u003d ds / dt, otteniamo: a \u003d dv / dt \u003d d 2 s / dt 2.

Vera accelerazione nel moto rettilineo è uguale alla derivata prima della velocità o alla derivata seconda della coordinata (distanza dall'origine del movimento) rispetto al tempo. L'unità di accelerazione è il metro diviso per un secondo quadrato (m/s 2).

Traiettoria- una linea nello spazio lungo la quale si muove un punto materiale.
Sentieroè la lunghezza del percorso. La distanza percorsa l è uguale alla lunghezza dell'arco della traiettoria percorsa dal corpo in un certo tempo t. Il percorso è un valore scalare.

Distanza determina la posizione di un punto sulla sua traiettoria e viene misurato da qualche origine. La distanza è una grandezza algebrica, poiché, a seconda della posizione del punto rispetto all'origine e della direzione accettata dell'asse della distanza, può essere sia positiva che negativa. A differenza della distanza, il percorso percorso da un punto è sempre determinato da numero positivo. Il percorso coincide con il valore assoluto della distanza solo se il movimento del punto parte dall'origine e segue il percorso in una direzione.

Nel caso generale di movimento del punto, il percorso è uguale alla somma dei valori assoluti delle distanze percorse dal punto per un determinato periodo di tempo:

3. In che modo si può dare la legge del moto di un punto?

1. Il modo naturale per impostare il movimento di un punto.

Con il metodo naturale di specificazione del movimento, si assume di determinare i parametri del movimento di un punto in un sistema di riferimento mobile, il cui inizio coincide con il punto mobile, e gli assi sono tangenti, normali e binormali al traiettoria del punto in ciascuna delle sue posizioni. Per stabilire la legge del moto di un punto in modo naturale è necessario:

1) conoscere la traiettoria del movimento;

2) impostare il punto di riferimento su questa curva;

3) stabilire una direzione positiva del movimento;

4) dare la legge del moto di un punto lungo questa curva, cioè esprimere la distanza dall'origine alla posizione di un punto sulla curva in un dato momento ∪OM=S(t) .

2.Modo vettoriale assegnazioni di movimento dei punti

In questo caso, la posizione di un punto su un piano o nello spazio è determinata da una funzione vettoriale. Questo vettore viene tracciato da un punto fisso scelto come origine, la sua estremità determina la posizione del punto in movimento.

3. Metodo delle coordinate per specificare il movimento di un punto

Nel sistema di coordinate selezionato, le coordinate del punto in movimento sono fornite in funzione del tempo. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolare, queste saranno le equazioni:

4. Come è diretto il vettore della velocità reale del punto durante il moto curvilineo?

Con il movimento irregolare di un punto, il modulo della sua velocità cambia nel tempo.
Immaginiamo un punto il cui moto sia dato in modo naturale dall'equazione s = f(t).

Se in un breve intervallo di tempo Δt il punto ha percorso il percorso Δs, allora è velocità mediaè uguale a:

vav = ∆s/∆t.

La velocità media non dà un'idea della vera velocità in un dato momento (la vera velocità è altrimenti chiamata istantanea). Ovviamente, più breve è l'intervallo di tempo per il quale viene determinata la velocità media, più il suo valore sarà vicino alla velocità istantanea.

La velocità vera (istantanea) è il limite a cui tende la velocità media quando Δt tende a zero:

v = lim v cf a t→0 oppure v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Pertanto, il valore numerico della velocità reale è v = ds/dt.
La velocità vera (istantanea) per qualsiasi movimento di un punto è uguale alla derivata prima della coordinata (cioè la distanza dall'origine del movimento) rispetto al tempo.

Quando Δt tende a zero, anche Δs tende a zero e, come abbiamo già visto, il vettore velocità sarà diretto tangenzialmente (cioè coinciderà con il vero vettore velocità v). Da ciò ne consegue che il limite del vettore velocità condizionale v p, uguale al limite del rapporto tra il vettore spostamento del punto e un intervallo di tempo infinitamente piccolo, è uguale al vettore velocità reale del punto.

5. Come sono dirette le accelerazioni tangenti e normali del punto?

La direzione del vettore di accelerazione coincide con la direzione della variazione di velocità Δ = - 0

L'accelerazione tangenziale in un dato punto è diretta tangenzialmente alla traiettoria del punto; se il movimento è accelerato, la direzione del vettore di accelerazione tangenziale coincide con la direzione del vettore di velocità; se il movimento è lento, la direzione del vettore di accelerazione tangenziale è opposta alla direzione del vettore di velocità.

6. Che movimento fa il punto se l'accelerazione tangenziale è zero e quella normale non cambia nel tempo?

Moto curvilineo uniforme caratterizzato dal fatto che il valore numerico della velocità è costante ( v= cost), la velocità cambia solo in direzione. In questo caso, l'accelerazione tangenziale è zero, poiché v= cost(Fig.b),

e l'accelerazione normale non è uguale a zero, poiché r - valore finale.

7. Che aspetto hanno i grafici cinematici con uniforme e moto uniforme?

Con moto uniforme, il corpo copre distanze uguali in intervalli di tempo uguali. Per una descrizione cinematica del moto rettilineo uniforme, l'asse delle coordinate BUE comodo da posizionare lungo la linea di movimento. La posizione del corpo durante il movimento uniforme è determinata impostando una coordinata X. Il vettore spostamento e il vettore velocità sono sempre diretti parallelamente all'asse delle coordinate BUE. Pertanto, lo spostamento e la velocità durante il movimento rettilineo possono essere proiettati sull'asse BUE e considera le loro proiezioni come grandezze algebriche.

Con moto uniforme, il percorso cambia in base a dipendenza lineare. nelle coordinate. Il grafico è una linea inclinata.

A seguito dello studio dell'argomento, lo studente deve:

avere un'idea su spazio, tempo, traiettoria; velocità media e reale;

sapere modi per specificare il movimento di un punto; parametri di movimento del punto lungo una data traiettoria.

Baricentro di un corpo rigido

centro di gravità Un corpo rigido è un punto geometrico che è rigidamente connesso con questo corpo ed è il centro delle forze di gravità parallele applicate alle singole particelle elementari del corpo (Figura 1.6).

Vettore del raggio di questo punto

Figura 1.6

Per un corpo omogeneo, la posizione del baricentro del corpo non dipende dal materiale, ma è determinata dalla forma geometrica del corpo.

Se il peso specifico di un corpo omogeneo γ , il peso della particella elementare del corpo

Pk = γΔVk (P = γV)

sostituire nella formula per determinare r C , noi abbiamo

Da dove, proiettandosi sugli assi e passando al limite, si ottengono le coordinate del baricentro di un volume omogeneo

Allo stesso modo, per le coordinate del baricentro di una superficie omogenea con un'area S (Figura 1.7, a)

Figura 1.7

Per le coordinate del baricentro linea omogenea lungo l (Figura 1.7, b)

Metodi per determinare le coordinate del baricentro

Sulla base delle formule generali ottenute in precedenza, è possibile indicare metodi per determinare le coordinate dei baricentro dei corpi solidi:

Figura 1.8

Figura 1.9

11. Concetti di base della cinematica. Cinematica dei punti. Metodi per specificare il movimento di un punto. Velocità e accelerazione del punto.

Concetti di base della cinematica

Cinematica- una branca della meccanica che studia il movimento dei corpi senza tener conto delle cause che hanno causato questo movimento.

Il compito principale della cinematica è trovare la posizione di un corpo in qualsiasi momento, se si conoscono la sua posizione, velocità e accelerazione nell'istante iniziale.

movimento meccanico- questo è un cambiamento nella posizione dei corpi (o parti del corpo) l'uno rispetto all'altro nello spazio nel tempo.

Per descrivere il movimento meccanico, si deve scegliere un sistema di riferimento.

Ente di riferimento- un corpo (o un insieme di corpi), preso in questo caso come stazionario, rispetto al quale si considera il movimento di altri corpi.

Sistema di riferimento- questo è il sistema di coordinate associato al corpo di riferimento, e il metodo scelto per misurare il tempo (Fig. 1).

La posizione del corpo può essere determinata utilizzando il vettore raggio r⃗ r→ o utilizzando le coordinate.

vettore di raggio r⃗ r→ punti Μ - segmento di retta orientato che collega l'origine o con un punto Μ (Fig. 2).

Coordinata x punti Μ è la proiezione dell'estremità del raggio vettore del punto Μ per asse Oh. Di solito viene utilizzato un sistema di coordinate rettangolare. In questo caso, la posizione del punto Μ su una retta, piano e nello spazio sono determinati rispettivamente da uno ( X), Due ( X, a) e tre ( X, a, z) numeri - coordinate (Fig. 3).

Nel corso elementare i fisici studiano la cinematica del moto di un punto materiale.

Punto materiale - un corpo le cui dimensioni in determinate condizioni possono essere trascurate.

Questo modello viene utilizzato nei casi in cui le dimensioni lineari dei corpi in esame sono molto più piccole di tutte le altre distanze in un dato problema o quando il corpo avanza.

traslazionale chiamato il movimento del corpo, in cui una linea retta passante per due punti qualsiasi del corpo si muove pur rimanendo parallela a se stessa. Nel movimento traslatorio, tutti i punti del corpo descrivono le stesse traiettorie e in qualsiasi momento hanno le stesse velocità e accelerazioni. Pertanto, per descrivere un tale movimento di un corpo, è sufficiente descrivere il movimento di un suo punto arbitrario.

In quanto segue, la parola "corpo" sarà intesa come un "punto materiale".

Viene chiamata la linea che un corpo in movimento descrive in un determinato quadro di riferimento traiettoria. In pratica, la forma della traiettoria viene impostata utilizzando formule matematiche ( y = f(X) - equazione della traiettoria) o rappresentato in figura. Il tipo di traiettoria dipende dalla scelta del sistema di riferimento. Ad esempio, la traiettoria di un corpo in caduta libera in un'auto che si muove uniformemente e in linea retta è una linea retta verticale nel telaio dell'auto e una parabola nel telaio terrestre.

A seconda del tipo di traiettoria si distinguono moto rettilineo e curvilineo.

Sentiero S- scalare quantità fisica, determinata dalla lunghezza della traiettoria descritta dal corpo per un certo periodo di tempo. Il percorso è sempre positivo: S > 0.

in movimentoΔr⃗ Δr→ corpi per un certo periodo di tempo - un segmento diretto di una retta che collega l'iniziale (punto M 0) e finale (punto M) posizione del corpo (vedi Fig. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

dove r⃗ r→ e r⃗ 0 r→0 sono i raggi vettori del corpo in questi istanti di tempo.

Proiezione dello spostamento sull'asse Bue

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Dove X 0 e X- coordinate del corpo nei momenti iniziali e finali.

Il modulo di spostamento non può essere più di un percorso

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Il segno di uguale si riferisce al caso di moto rettilineo se la direzione del moto non cambia.

Conoscendo lo spostamento e la posizione iniziale del corpo, possiamo trovare la sua posizione al tempo t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Velocità

La velocità media hυ⃗ i hυ→i è una grandezza fisica vettoriale, numericamente uguale al rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo durante il quale si è verificato, e diretta lungo lo spostamento (Fig. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt; hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

L'unità SI per la velocità è metri al secondo (m/s).

La velocità media rilevata da questa formula caratterizza il movimento solo in quella parte della traiettoria per cui è definito. Su un'altra parte della traiettoria, potrebbe essere diverso.

A volte usano la velocità media del percorso

hυi=sΔt hυi=sΔt

Dove s è il percorso percorso nell'intervallo di tempo Δ t. La velocità media del percorso è un valore scalare.

Velocità istantaneaυ⃗ υ→ body - la velocità del corpo in un dato momento (o in un dato punto della traiettoria). È uguale al limite a cui tende la velocità media in un intervallo di tempo infinitesimo υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Qui r⃗ ′ r→ ′ è la derivata temporale del vettore raggio.

Nella proiezione sull'asse Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

La velocità istantanea del corpo è diretta tangenzialmente alla traiettoria in ogni punto nella direzione del movimento (vedi Fig. 4).

Accelerazione

Accelerazione media- una quantità fisica numericamente uguale al rapporto tra la variazione di velocità e il tempo durante il quale si è verificata:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Il vettore ha⃗ i ha→i è diretto parallelamente al vettore di variazione di velocità Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) verso la concavità della traiettoria (Fig. 5).

Potenziamento istantaneo:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

L'unità SI per l'accelerazione è metri al secondo quadrato (m/s2).

In generale accelerazione istantanea diretto ad un angolo rispetto alla velocità. Conoscendo la traiettoria, puoi determinare la direzione della velocità, ma non l'accelerazione. La direzione dell'accelerazione è determinata dalla direzione delle forze risultanti che agiscono sul corpo.

Nel moto rettilineo con velocità modulo crescente (Fig. 6, a), i vettori a⃗ a→ e υ⃗ 0 υ→0 sono co-diretti (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) e la proiezione dell'accelerazione nella direzione di il movimento è positivo.

Nel moto rettilineo con modulo di velocità decrescente (Fig. 6, b), le direzioni dei vettori a⃗ a→ e υ⃗ 0 υ→0 sono opposte (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) e la proiezione dell'accelerazione su la direzione del moto è negativa.

Il vettore a⃗ a→ a moto curvilineo può essere scomposto in due componenti dirette lungo la velocità a⃗ τ a→τ e perpendicolari alla velocità a⃗ n a→n (Fig. 1.7), a⃗ τ a→τ - accelerazione tangenziale, che caratterizza la velocità di variazione del modulo di velocità durante il movimento curvilineo, a⃗ n a→n - accelerazione normale, che caratterizza la velocità di variazione nella direzione del vettore velocità durante il movimento curvilineo Modulo di accelerazione a=a2τ+a2n−−−−−−− √ a=aτ2+an2.

Metodi per specificare il movimento di un punto

È possibile utilizzare uno dei tre metodi seguenti per specificare il movimento di un punto:

1) vettore, 2) coordinata, 3) naturale.

1. Metodo vettoriale per specificare il movimento di un punto.

Lascia il punto M si muove rispetto a qualche quadro di riferimento Oxyz. La posizione di questo punto in qualsiasi momento può essere determinata impostando il suo vettore raggio disegnato dall'origine o Esattamente M(Fig. 3).

Fig.3

Quando il punto si muove M il vettore cambierà nel tempo sia in valore assoluto che in direzione. Pertanto, è un vettore variabile (vettore di funzione) che dipende dall'argomento t:

L'uguaglianza definisce la legge del moto di un punto in forma vettoriale, poiché consente di costruire in qualsiasi momento il vettore corrispondente e di trovare la posizione del punto in movimento.

Il luogo delle estremità del vettore, cioè odografo di questo vettore determina la traiettoria del punto in movimento.

2. Metodo delle coordinate per specificare il movimento di un punto.

La posizione di un punto può essere determinata direttamente dalle sue coordinate cartesiane x, y, z(Fig. 3), che, quando il punto si sposta, cambierà nel tempo. Conoscere la legge del moto di un punto, cioè la sua posizione nello spazio in qualsiasi momento, è necessario conoscere i valori delle coordinate del punto per ogni momento, cioè conoscere le dipendenze

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Le equazioni sono le equazioni del moto di un punto in un rettangolo coordinate cartesiane. Determinano la legge del moto di un punto a modo coordinato compiti di movimento.

Per ottenere l'equazione della traiettoria, è necessario escludere il parametro t dalle equazioni del moto.

È facile stabilire la relazione tra il metodo vettoriale e quello delle coordinate per la definizione del movimento.

Scomponiamo il vettore in componenti lungo gli assi delle coordinate:

dove r x , ry , r z - proiezioni vettoriali sull'asse; - vettori unitari diretto lungo gli assi, orths degli assi.

Poiché l'inizio del vettore è all'origine, le proiezioni del vettore saranno uguali alle coordinate del punto M. Ecco perchè

Se il movimento del punto è specificato in coordinate polari

r=r(t), φ = φ(t),

dove r è il raggio polare, φ è l'angolo tra asse polare e raggio polare, allora queste equazioni esprimono l'equazione della traiettoria del punto. Eliminando il parametro t otteniamo

r = r(φ).

Esempio 1 Il moto di un punto è dato dalle equazioni

Fig.4

Per escludere il tempo, il parametro t, troviamo dalla prima equazione sin2t=x/2, dalla seconda cos2t=y/3. Quindi lo quadramo e lo aggiungiamo. Poiché sin 2 2t+cos 2 2t=1, otteniamo . Questa è l'equazione di un'ellisse con semiassi di 2 cm e 3 cm (Fig. 4).

Punto di partenza M 0 (quando t\u003d 0) è determinato dalle coordinate x 0 \u003d 0, y 0 \u003d 3 cm.

Dopo 1 sec. il punto sarà in posizione M 1 con coordinate

x 1 \u003d 2sin2 \u003d 2 ∙ 0,91 \u003d 1,82 cm, y 1 \u003d 2cos2=3 ∙ (-0,42) \u003d -1,25 cm.

Nota.

Il movimento di un punto può essere specificato anche utilizzando altre coordinate. Ad esempio, cilindrico o sferico. Tra questi non ci saranno solo le dimensioni lineari, ma anche gli angoli. Se necessario, puoi familiarizzare con il compito del movimento tramite coordinate cilindriche e sferiche dai libri di testo.

3. Un modo naturale per specificare il movimento di un punto.

Fig.5

È conveniente utilizzare il modo naturale di specificare il movimento nei casi in cui la traiettoria del punto in movimento sia nota in anticipo. Lascia la curva ABè la traiettoria del punto M quando si sposta rispetto al sistema di riferimento Oxyz(fig.5) Scegliamone un po' su questa traiettoria Punto fisso oh", che prenderemo come origine, e imposteremo le direzioni di riferimento positive e negative sulla traiettoria (come sull'asse delle coordinate).

Poi la posizione del punto M sulla traiettoria sarà univocamente determinata dalla coordinata curvilinea S, che è uguale alla distanza dal punto Oh al punto M misurata lungo l'arco della traiettoria e presa con il segno corrispondente. Quando si sposta il punto M si sposta alle posizioni M 1 , M 2,.... da qui la distanza S cambierà nel tempo.

Per conoscere la posizione di un punto M sulla traiettoria in qualsiasi momento, è necessario conoscere la dipendenza

L'equazione esprime la legge del moto di un punto M lungo la traiettoria. La funzione s= f(t) deve essere a valore singolo, continua e differenziabile.

Per la direzione di riferimento positiva della coordinata dell'arco s, viene presa la direzione del movimento del punto nel momento in cui occupa la posizione O. Va ricordato che l'equazione s \u003d f (t) non determina la legge di movimento di un punto nello spazio, poiché per determinare la posizione di un punto nello spazio, è necessario conoscere di più la traiettoria del punto con la posizione iniziale del punto su di esso e una direzione positiva fissa. Pertanto, il moto di un punto si considera dato in modo naturale, se si conoscono la traiettoria e l'equazione (o legge) del moto del punto lungo la traiettoria.

È importante notare che la coordinata dell'arco del punto s è diversa dal percorso σ percorso dal punto lungo la traiettoria. Durante il suo movimento, il punto percorre un certo percorso σ, che è funzione del tempo t. Tuttavia, la distanza percorsa σ coincide con la distanza s solo quando la funzione s = f(t) cambia monotonicamente con il tempo, cioè quando il punto si muove nella stessa direzione. Assumiamo che il punto M vada da M 1 a M 2 . La posizione del punto in M ​​1 corrisponde al tempo t 1 e la posizione del punto in M ​​2 corrisponde al tempo t 2 . Scomponiamo l'intervallo di tempo t 2 - t 1 in intervalli di tempo molto piccoli ∆t 1 (i = 1,2, …n) in modo che in ciascuno di essi il punto si muova in una direzione. Indichiamo il corrispondente incremento della coordinata dell'arco come ∆s i . Il percorso σ percorso dal punto sarà un valore positivo:

Se il movimento di un punto è dato in modo coordinato, la distanza percorsa è determinata dalla formula

dove dx=xdt, dy=ydt, dz=zdt.

Di conseguenza,

Esempio 2 Il punto si muove in linea retta, secondo la legge s=2t+3 (cm) (Fig. 6).

Fig.6

All'inizio del movimento, a t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm Posizione del punto M 0 viene chiamato posizione iniziale. A t=1 s, s=OM 1 =5 cm.

Ovviamente in 1 sec. il punto ha percorso una distanza M 0 M 1 = 2 cm Quindi S- questo non è il percorso percorso dal punto, ma la distanza dall'origine al punto.

Vettore di velocità puntuale

Una delle principali caratteristiche cinematiche del movimento di un punto è una grandezza vettoriale chiamata velocità di un punto. Il concetto di velocità puntuale nel moto rettilineo uniforme è uno dei concetti elementari.

Velocità- una misura dello stato meccanico del corpo. Caratterizza la velocità di variazione della posizione del corpo rispetto a un dato sistema di riferimento ed è una grandezza fisica vettoriale.

L'unità di misura della velocità è m/s. Vengono spesso utilizzate altre unità, ad esempio km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Il movimento di un punto si dice uniforme se gli incrementi del vettore raggio del punto per gli stessi intervalli di tempo sono uguali tra loro. Se la traiettoria del punto è una retta, il movimento del punto è detto rettilineo.

Per un moto rettilineo uniforme

∆r= v∆t, (1)

dove vè un vettore costante.

Vettore vè chiamata velocità della retta e moto uniforme lo definisce completamente.

Dalla relazione (1) si evince che la velocità del moto rettilineo e uniforme è una grandezza fisica che determina il movimento di un punto nell'unità di tempo. Da (1) abbiamo

direzione del vettore v mostrato in fig. 6.1.

Fig.6.1

Con movimento irregolare, questa formula non è adatta. Introduciamo prima il concetto di velocità media di un punto in un certo periodo di tempo.

Lascia che il punto in movimento sia in quel momento t incinta M, determinato dal vettore raggio , e al momento t 1 arriva alla posizione M 1 determinato dal vettore (Fig. 7). Allora il movimento di un punto in un periodo di tempo ∆t=t 1 -t è determinato da un vettore che chiameremo vettore di movimento del punto. Da un triangolo OMM 1 mostra che ; Di conseguenza,

Riso. 7

Il rapporto tra il vettore di spostamento del punto e l'intervallo di tempo corrispondente fornisce un valore vettoriale, chiamato velocità del punto mediata in valore assoluto e direzione sull'intervallo di tempo ∆t:

La velocità di un punto in un dato momento t è la quantità vettoriale v, a cui tende la velocità media v cf quando l'intervallo di tempo ∆t tende a zero:

Quindi, il vettore velocità di un punto in un dato momento è uguale alla derivata prima del vettore raggio del punto rispetto al tempo.

Poiché la direzione limite della secante MM 1 è tangente, quindi il vettore velocità del punto in un dato momento è diretto tangenzialmente alla traiettoria del punto nella direzione del moto.

Determinazione della velocità di un punto con il metodo delle coordinate per specificare il movimento

Vettore velocità puntuale, dato che r x =x, r y =y, r z =z, troviamo:

Pertanto, le proiezioni della velocità del punto sugli assi delle coordinate sono uguali alle derivate prime delle corrispondenti coordinate del punto rispetto al tempo.

Conoscendo le proiezioni di velocità, ne troviamo il modulo e la direzione (cioè gli angoli α, β, γ che il vettore v forma con gli assi coordinati) usando le formule

Quindi, il valore numerico della velocità di un punto in un dato momento è uguale alla derivata prima della distanza (coordinata curvilinea) S punti nel tempo.

Il vettore velocità è diretto lungo una tangente alla traiettoria, che conosciamo in anticipo.

Determinazione della velocità di un punto con un modo naturale di specificare il movimento

Il valore della velocità può essere definito come limite (∆r è la lunghezza della corda MM 1):

dove ∆s è la lunghezza dell'arco MM uno . Il primo limite è uguale a uno, il secondo limite è la derivata ds/dt.

Pertanto, la velocità di un punto è la prima derivata temporale della legge del moto:

Il vettore velocità è diretto, come stabilito in precedenza, tangenzialmente alla traiettoria. Se il valore della velocità è attualmente maggiore di zero, il vettore della velocità è diretto nella direzione positiva.

Vettore di accelerazione puntuale

Accelerazione- grandezza fisica vettoriale che caratterizza la velocità di variazione della velocità. Mostra quanto cambia la velocità del corpo per unità di tempo.

L'unità SI dell'accelerazione è il metro al secondo quadrato. al corrispondente intervallo di tempo ∆t determina il vettore dell'accelerazione del punto medio su questo intervallo di tempo:

Il vettore di accelerazione media ha la stessa direzione del vettore, cioè diretto verso la concavità della traiettoria.

Accelerazione di un punto in un dato momento tè chiamato il valore vettoriale a cui tende l'accelerazione media quando l'intervallo di tempo ∆t tende a zero: Il vettore di accelerazione di un punto in un dato momento è uguale alla derivata prima del vettore velocità o alla derivata seconda del raggio -vettore del punto rispetto al tempo.

L'accelerazione di un punto è zero solo quando la velocità del punto vè costante sia in grandezza che in direzione: ciò corrisponde solo al moto rettilineo e uniforme.

Scopriamo come si trova il vettore rispetto alla traiettoria del punto. Nel moto rettilineo, il vettore è diretto lungo la retta lungo la quale si muove il punto. è diretto verso la concavità della traiettoria e giace nel piano passante per la tangente alla traiettoria nel punto M e una retta parallela alla tangente in un punto adiacente M 1 (Fig. 8). Nel limite quando il punto M tende a M, questo piano occupa la posizione del cosiddetto piano contiguo, cioè un piano in cui avviene una rotazione infinitamente piccola della tangente alla traiettoria con uno spostamento elementare di un punto in movimento. Pertanto, nel caso generale, il vettore di accelerazione giace sul piano contiguo ed è diretto verso la concavità della curva.

Determinazione dell'accelerazione con il metodo delle coordinate per specificare il movimento

Il vettore di accelerazione del punto nella proiezione sull'asse otteniamo:

quelli. la proiezione dell'accelerazione di un punto sugli assi coordinati sono uguali alle derivate prime delle proiezioni della velocità o alle derivate seconde delle corrispondenti coordinate del punto nel tempo. Il modulo e la direzione dell'accelerazione possono essere trovati dalle formule

Fig.10

Proiezioni di accelerazione a x = =0, ay = =-8 cm∙s -2 . Poiché la proiezione del vettore di accelerazione sull'asse Xè uguale a zero e sull'asse y- è negativo, quindi il vettore di accelerazione è diretto verticalmente verso il basso e il suo valore è costante, non dipende dal tempo.

La prima scoperta di Archimede in meccanica è stata l'introduzione del concetto di baricentro, cioè prova che in ogni corpo esiste un solo punto in cui il suo peso può essere concentrato senza violare lo stato di equilibrio.

Il baricentro di un corpo è un punto di un corpo rigido attraverso il quale la risultante di tutte le forze di gravità che agiscono sulle masse elementari di questo corpo passa in qualsiasi posizione nello spazio.

Baricentro del sistema meccanico si chiama il punto, rispetto al quale il momento di gravità totale agente su tutti i corpi del sistema è uguale a zero.

In poche parole, centro di gravità- questo è il punto in cui viene applicata la forza di gravità, indipendentemente dalla posizione del corpo stesso. Se il corpo è uniforme, centro di gravità di solito si trova al centro geometrico del corpo. Pertanto, il baricentro in un cubo omogeneo o in una sfera omogenea coincide con centro geometrico questi corpi.

Se le dimensioni del corpo sono piccole rispetto al raggio della Terra, allora possiamo supporre che le forze di gravità di tutte le particelle del corpo formino un sistema di forze parallele. La loro risultante è chiamata gravità, e il centro di queste forze parallele è baricentro del corpo.

Le coordinate del baricentro del corpo possono essere determinate dalle formule (Fig. 7.1):

, , ,

dove - peso corporeo x io, si io, z io– coordinate di una particella elementare, peso P i;.

Le formule per determinare le coordinate del baricentro di un corpo sono esatte, a rigor di termini, solo quando il corpo è diviso in un numero infinito di infinitamente piccoli particelle elementari pesatura P i. Se il numero di particelle in cui è diviso mentalmente il corpo è finito, nel caso generale queste formule saranno approssimative, poiché le coordinate x io , y io , z io in questo caso, possono essere determinati solo con un'accuratezza delle dimensioni delle particelle. Più piccole sono queste particelle, minore sarà l'errore che faremo nel calcolare le coordinate del baricentro. Espressioni esatte possono essere ottenute solo come risultato del passaggio al limite, quando la dimensione di ciascuna particella tende a zero e il loro numero aumenta indefinitamente. Come sapete, tale limite è chiamato integrale definito. Pertanto, l'effettiva determinazione delle coordinate dei centri di gravità dei corpi nel caso generale richiede la sostituzione delle somme con i corrispondenti integrali e l'applicazione dei metodi del calcolo integrale.

Se la massa all'interno di un corpo rigido o di un sistema meccanico è distribuita in modo non uniforme, il baricentro si sposta nella parte in cui è più pesante.

Il baricentro di un corpo potrebbe non trovarsi sempre all'interno del corpo stesso. Quindi, per esempio, il centro di gravità del boomerang è da qualche parte nel mezzo tra le estremità del boomerang, ma fuori dal corpo del boomerang stesso.

Per il fissaggio dei carichi, la posizione del baricentro è molto importante. È a questo punto che vengono applicate le forze di gravità e le forze inerziali che agiscono sul carico nel processo di movimento. Più alto è il baricentro di un corpo o di un sistema meccanico, più è soggetto a ribaltamento.

Il baricentro del corpo coincide con il baricentro.