Ipotesi di piegatura. Strato neutro, raggio di curvatura, curvatura, distribuzione delle deformazioni e delle sollecitazioni normali lungo l'altezza della sezione trasversale dell'asta. Tensioni di taglio a piatto curvatura trasversale canne. Calcolo delle travi per la resistenza alla flessione. Movimenti di flessione.

Sollecitazioni normali con una curva dritta e pulita. Poiché le sollecitazioni normali dipendono solo dai momenti flettenti, la derivazione della formula di calcolo può essere fatta in relazione alla flessione pura. Si noti che i metodi della teoria dell'elasticità possono essere utilizzati per ottenere una dipendenza esatta per le sollecitazioni normali in flessione pura, ma se questo problema viene risolto con metodi di resistenza dei materiali, è necessario introdurre alcune ipotesi.

Esistono tre ipotesi di questo tipo per la flessione:

1) ipotesi sezioni piatte(Ipotesi di Bernoulli) - le sezioni piatte prima della deformazione rimangono piatte dopo la deformazione, ma ruotano solo rispetto a una certa linea, che è chiamata l'asse neutro della sezione della trave. In questo caso, le fibre della trave, che si trovano da un lato dell'asse neutro, verranno allungate e, dall'altro, compresse; le fibre che giacciono sull'asse neutro non cambiano la loro lunghezza;

2) l'ipotesi della costanza delle sollecitazioni normali - le sollecitazioni che agiscono alla stessa distanza y dall'asse neutro sono costanti per tutta la larghezza della trave;

3) l'ipotesi dell'assenza di pressioni laterali: le fibre longitudinali vicine non si premono l'una sull'altra.

Riso. 28. La congettura di Bernoulli

Problema di piegatura del piano statico. Il momento flettente nella sezione è la somma dei momenti di tutte le forze normali interne elementari σ.dA che sorgono sulle aree elementari della sezione trasversale della trave (Fig. 29), rispetto all'asse neutro: .

Questa espressione rappresenta il lato statico del problema della flessione piana. Ma non può essere utilizzato per determinare le sollecitazioni normali, poiché la legge della distribuzione delle sollecitazioni sulla sezione trasversale è sconosciuta.

Riso. 29. Il lato statico del problema

Il lato geometrico del problema della flessione piana. Individuiamo l'elemento trave di lunghezza dz con due sezioni trasversali. Sotto carico, l'asse neutro è piegato (raggio di curvatura ρ) e le sezioni sono ruotate rispetto alle loro linee neutre di un angolo dθ. La lunghezza del segmento delle fibre dello strato neutro rimane invariata (Fig. 30, b):

Riso. 30. Il lato geometrico del problema:
a - elemento trave; b - curvatura dell'asse neutro; c - diagramma σ.dA; d - trama ε

Determiniamo la lunghezza del segmento di fibre distanziato dallo strato neutro ad una distanza y

dz 1 = (ρ + y)dθ .

L'allungamento relativo in questo caso sarà

La dipendenza riflette il lato geometrico del problema della flessione piana, da cui si evince che le deformazioni delle fibre longitudinali cambiano lungo l'altezza della sezione secondo una legge lineare.

L'insieme di fibre che non cambiano la loro lunghezza quando il raggio viene piegato è chiamato strato neutro.

La linea in cui la sezione trasversale della trave si interseca con lo strato neutro della trave è chiamata linea di sezione neutra.

Il lato fisico del problema della flessione piana. Usando la legge di Hooke per tensione assiale, noi abbiamo

Sostituendo il valore σ nell'espressione che riflette il lato statico del problema di flessione piana, otteniamo

Sostituendo il valore nella formula originale, otteniamo

(13)

Questa espressione riflette il lato fisico del problema della flessione piana, che consente di calcolare le sollecitazioni normali lungo l'altezza della sezione.

Sebbene questa espressione sia stata ottenuta per il caso della flessione pura, ma come mostrato da teorico e studi sperimentali, può essere utilizzato anche per la piegatura trasversale piana.

Linea neutra. La posizione della linea neutra è determinata dalla condizione di uguaglianza a zero della forza normale nelle sezioni della trave con flessione pura

Poiché M x ≠ 0 e I x ≠ 0, è necessario che l'integrale sia uguale a zero. Questo integrale rappresenta il momento statico della sezione attorno all'asse neutro. Poiché il momento statico della sezione è zero solo rispetto a asse centrale, quindi, la linea neutra per piegatura piana coincide con l'asse di inerzia centrale principale della sezione.

Sollecitazioni di taglio. Le sollecitazioni di taglio che si verificano nelle sezioni di trave con flessione trasversale piana sono determinate dalla dipendenza:

(14)

dove Q è la forza trasversale nella sezione della trave in esame; S xo - momento statico dell'area della parte tagliata della sezione rispetto all'asse neutro della trave; b - larghezza della sezione nello strato considerato; Ix è il momento d'inerzia della sezione rispetto all'asse neutro.

Le sollecitazioni di taglio sono pari a zero nelle fibre estreme della sezione e sono massime nelle fibre dello strato neutro.

Calcolo delle travi per la resistenza alla flessione. La resistenza della trave sarà assicurata se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

(15)

Le massime sollecitazioni flettenti normali si verificano nei tratti in cui agisce il momento flettente massimo, nei punti del tratto più distanti dall'asse neutro

Le massime sollecitazioni di taglio si verificano nelle sezioni della trave, dove agisce la massima forza trasversale

Le sollecitazioni di taglio τmax sono generalmente piccole rispetto a σmax e, di regola, non vengono prese in considerazione nei calcoli. Il test di sollecitazione a taglio viene eseguito solo per travi corte.

Movimenti di flessione. Per calcolo della rigidezza si intende la valutazione della cedevolezza elastica della trave sotto l'azione dei carichi applicati e la scelta di tali dimensioni della sezione trasversale alle quali gli spostamenti non supereranno i limiti stabiliti dalle norme.

Condizione di rigidità alla flessione

Lo spostamento del baricentro della sezione in una direzione perpendicolare all'asse della trave è chiamato deflessione. La deviazione è indicata dalla lettera W.

La massima deflessione nella campata o sulla mensola della trave è chiamata freccia di deflessione ed è indicata dalla lettera ƒ.

Iniezione Q, per cui ciascuna sezione ruota rispetto alla sua posizione originale ed è l'angolo di rotazione.

L'angolo di rotazione è considerato positivo quando la sezione viene ruotata in senso antiorario

L'angolo di rotazione della sezione è uguale al valore della derivata della deflessione lungo la coordinata Z nella stessa sezione, ovvero:

Equazione della linea elastica della trave

(16)

Esistono tre metodi per risolvere l'equazione differenziale della linea elastica di una trave. Questo è il metodo integrazione diretta, il metodo di Clebsch e il metodo dei parametri iniziali.

Metodo di integrazione diretta. Integrata per la prima volta l'equazione della linea elastica della trave, si ottiene un'espressione per determinare gli angoli di rotazione:

Integrando una seconda volta, trovano espressioni per determinare le deviazioni:

I valori delle costanti di integrazione C e D sono determinati da condizioni iniziali su supporti a trave

Metodo Clebsch. Per elaborare le equazioni, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni di base:

• l'origine delle coordinate, per tutte le sezioni, deve trovarsi all'estrema sinistra della trave;
• l'integrazione dell'equazione differenziale della linea elastica della trave va effettuata senza aprire le staffe;
• quando nell'equazione è incluso un momento concentrato esterno M, deve essere moltiplicato per (Z - a), dove a è la coordinata della sezione in cui viene applicato il momento;
• in caso di rottura del carico distribuito, viene esteso fino all'estremità della trave, e per ripristinare le effettive condizioni di carico viene introdotto un carico “compensante” di direzione opposta

Metodo dei parametri iniziali

Per angoli di rotazione

(17)

Per le curve:

(18)

dove θ è l'angolo di rotazione della sezione; w - deviazione; θo - angolo di rotazione all'origine; w0 - deviazione all'origine; dі è la distanza dall'origine delle coordinate all'i-esimo supporto della trave; ai è la distanza dall'origine delle coordinate al punto di applicazione del momento concentrato Mi; bi è la distanza dall'origine delle coordinate al punto di applicazione della forza concentrata Fi; сi - distanza dall'origine delle coordinate all'inizio della sezione del carico distribuito qi; Ri e Mpi - reazione e momento reattivo nei supporti della trave.

Determinazione della deviazione per casi semplici

Riso. 31. Esempi di carichi trave

Calcolo degli spostamenti con il metodo di Mohr

Se non è necessario conoscere l'equazione della linea curva della trave, ma sono richiesti solo gli spostamenti lineari o angolari di una sezione separata, è più conveniente utilizzare il metodo di Mohr Per travi e telai piatti, l'integrale di Mohr ha la forma:

dove δ è lo spostamento richiesto (lineare o angolare); M p , M i - espressioni analitiche di momenti flettenti, rispettivamente, da una forza data e unitaria; EJ x - rigidità della sezione della trave nel piano di flessione. Nella determinazione degli spostamenti devono essere considerati due stati del sistema: 1 - stato attuale, con carico esterno applicato; 2 - uno stato ausiliario in cui la trave viene rilasciata dal carico esterno e viene applicata una forza unitaria alla sezione, il cui spostamento viene determinato, se viene determinato lo spostamento lineare, o un momento unitario, se viene determinato lo spostamento angolare ( Fig. 32).

Riso. 32. Definizione di movimenti:
a - stato attuale; b, c - stati ausiliari

La formula di Mohr può essere ottenuta, per esempio. utilizzando il principio degli spostamenti possibili.

Riso. 33. Schema del telaio:
a - sotto l'influenza della forza; b - sforzi interni

Si consideri lo schema (Fig. 33a), quando una forza unitaria viene applicata al punto A nella direzione dello spostamento desiderato ΔA, causando fattori di forza interni nella sezione trasversale del sistema (Fig. 33, b). Secondo il principio dei possibili spostamenti, il lavoro di questi fattori di forza interni su eventuali spostamenti dovrebbe essere uguale al lavoro di una forza unitaria su un possibile spostamento δΔA:

Scegliere possibili movimenti proporzionale a quelli reali:

E dopo la sostituzione otteniamo:

Considerando che

arriviamo alla formula di Mohr

(19)

che serve a determinare eventuali spostamenti generalizzati nei sistemi di aste.

Nel caso in cui la trave lavori solo per flessione (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), l'espressione (1) assume la forma:

(20)

La regola di Vereshchagin permette di sostituire l'integrazione diretta nelle formule di Mohr con la cosiddetta moltiplicazione dei diagrammi. Il metodo per calcolare l'integrale di Mohr sostituendo l'integrazione diretta moltiplicando i diagrammi corrispondenti è chiamato metodo (o regola di Vereshchagin), che consiste nel seguente: per moltiplicare due diagrammi, di cui almeno uno è rettilineo, è necessario moltiplicare l'area di un diagramma per l'ordinata dell'altro diagramma situato sotto il baricentro del primo (le ordinate sono usate solo dai diagrammi rettilinei). I diagrammi di una forma complessa possono essere suddivisi in un certo numero di semplici: un rettangolo, un triangolo, una parabola quadratica, ecc. (Fig. 34).

Riso. 34. I diagrammi più semplici

La validità della regola di Vereshchagin.

Riso. 35. Schema di moltiplicazione del diagramma:
a - diagramma arbitrario; b - rettilineo

Vengono forniti due diagrammi dei momenti flettenti, di cui uno Mk ha una forma arbitraria e l'altro Mi è rettilineo (Fig. 35). Si presume che la sezione trasversale dell'asta sia costante. In questo caso

Il valore di Mkdz è l'area elementare dω del diagramma Mk (ombreggiata). Noi abbiamo

Ma Mi = ztg α, quindi,

L'espressione è il momento statico dell'area del diagramma Mk relativo all'asse y passante per il punto O, pari a ωkΖc, dove ωk è l'area del diagramma del momento; Ζс - distanza dall'asse y al baricentro del diagramma M k . Dalla figura si evince chiaramente:

z c \u003d M io /tg α,

dove Mi è l'ordinata del diagramma Mi, posta sotto il baricentro del diagramma Mk (sotto il punto C).

(21)

La formula (21) rappresenta la regola per il calcolo dell'integrale di Mohr: l'integrale è uguale al prodotto dell'area del diagramma curvilineo e dell'ordinata presa dal diagramma rettilineo e posta sotto il baricentro del diagramma curvilineo.

I diagrammi curvilinei incontrati nella pratica possono essere suddivisi in un certo numero di semplici: un rettangolo, un triangolo, una parabola quadratica simmetrica, ecc.

Dividendo i diagrammi in parti, è possibile ottenere che, quando moltiplicati, tutti i diagrammi abbiano una struttura semplice.

Esempio di calcolo dello spostamento. È necessario determinare la deflessione al centro della campata e l'angolo di rotazione della sezione di supporto sinistra della trave caricata con un carico uniformemente distribuito (Fig. 36, a) utilizzando il metodo Mohr-Vereshchagin.

Consideriamo 3 stati della trave: lo stato di carico (sotto l'azione di un carico distribuito q;) corrisponde al diagramma Mq (Fig. 36, b), e due singoli: sotto l'azione della forza applicata al punto C ( diagramma, Fig. 36, c) e momento applicato al punto B (grafico, Fig. 36, d).

Flessione del raggio al centro della campata:

Si noti che la moltiplicazione dei diagrammi viene eseguita per metà della trave e quindi, a causa della simmetria), il risultato viene raddoppiato. Quando si calcola l'angolo di rotazione della sezione nel punto B, l'area del diagramma Mq viene moltiplicata per l'ordinata del diagramma situata sotto il suo baricentro (1/2, Fig. 9, d), perché la trama cambia in linea retta:

Riso. 36. Esempio di calcolo:
a - dato schema di travi; b - diagramma di carico dei momenti;
in - diagramma unico da una sola forza; d - da un solo momento

Nel caso generale (barra di sezione variabile, un sistema complesso carichi) l'integrale di Mohr è determinato dall'integrazione numerica. In molti casi praticamente importanti, quando la rigidità della sezione è costante lungo la lunghezza dell'asta, l'integrale di Mohr può essere calcolato usando la regola di Vereshchagin. Si consideri la definizione dell'integrale di Mohr nella sezione da a a 6 (Fig. 9.18).

Riso. 9.18. Regola di Vereshchagin per il calcolo dell'integrale di Mohr

I diagrammi di momento da un singolo fattore di forza sono costituiti da segmenti di linea retta. Senza perdita di generalità, assumiamo che all'interno dell'area

dove A e B sono i parametri della retta:

L'integrale di Mohr sulla sezione di sezione trasversale costante in esame ha la forma

dove F è l'area sotto la curva (l'area del grafico dei momenti flettenti da forze esterne alla sezione z).

dove è l'ascissa del baricentro dell'area.

L'uguaglianza (109) è valida quando non cambia segno all'interno della trama e può essere considerata come un elemento dell'area della trama. Ora dalle relazioni (107) -(109) otteniamo

Momento da un singolo carico nella sezione

Una tabella ausiliaria per l'utilizzo della regola di Vereshchagin è riportata in Fig. 9.19.

Osservazioni. 1. Se il diagramma dell'azione delle forze esterne sul sito è lineare (ad esempio, sotto l'azione di forze e momenti concentrati), la regola può essere applicata in forma inversa: l'area del diagramma da un'unità il fattore di forza viene moltiplicato per l'ordinata del diagramma corrispondente al baricentro dell'area. Ciò deriva dalla dimostrazione di cui sopra.

2. La regola di Vereshchagin può essere estesa all'integrale di Mohr in vista generale(Equazione (103)).

Riso. 9.19. Aree e posizione dei baricentro dei diagrammi dei momenti

Riso. 9.20. Esempi per determinare la deflessione e gli angoli di rotazione secondo la regola di Vereshchagin

Il requisito principale in questo caso è il seguente: all'interno della sezione devono essere presenti i fattori di forza interni di un singolo carico funzioni lineari lungo l'asse dell'asta (linearità dei diagrammi!).

Esempi. 1. Determinare la deflessione nel punto A dell'asta a sbalzo sotto l'azione di un momento concentrato M (Fig. 9.20, a).

La deviazione nel punto A è determinata dalla formula (per brevità si omette l'indice)

Il segno meno è dovuto al fatto che hanno segni diversi.

2. Determinare la deflessione nel punto A della barra a sbalzo sotto l'azione di un carico distribuito.

La deviazione è determinata dalla formula

I diagrammi del momento flettente M e della forza di taglio Q da carico esterno sono mostrati in fig. 9.20, b, sotto in questa figura sono diagrammi sotto l'azione di una forza unitaria. Successivamente troviamo

3. Determinare la deflessione nel punto A e l'angolo di rotazione nel punto B per una trave a due supporti caricata con un momento concentrato (Fig. 9.20.).

La deflessione è determinata dalla formula (la deformazione a taglio è trascurata)

Poiché il diagramma del momento da una forza unitaria non è rappresentato da una linea; quindi l'integrale è diviso in due sezioni:

L'angolo di rotazione nel punto B è uguale a

Commento. Dagli esempi precedenti, si può vedere che il metodo di Vereshchagin in casi semplici consente di determinare rapidamente le deviazioni e gli angoli di rotazione. È importante solo applicare una regola del segno singolo per Se accettiamo di tracciare diagrammi del momento flettente su una "fibra tesa" quando si piega un'asta (vedi Fig. 9.20), allora è immediatamente facile vedere valori di momento positivi e negativi.

Un vantaggio speciale della regola di Vereshchagin è che può essere utilizzata non solo per le canne, ma anche per i telai (Sez. 17).

Limitazioni per l'applicazione della regola di Vereshchagin.

Queste restrizioni derivano dalla derivazione della formula (110), ma prestiamo loro ancora una volta attenzione.

1. Il diagramma del momento flettente da un singolo carico dovrebbe essere sotto forma di un'unica linea retta. Sulla fig. 9.21, viene mostrato un caso quando questa condizione non è soddisfatta. L'integrale di Mohr deve essere calcolato separatamente per i segmenti I e II.

2. Il momento flettente da un carico esterno all'interno della sezione deve avere un segno. Sulla fig. 9.21, b mostra il caso in cui la regola Vereshchagin dovrebbe essere applicata separatamente per ciascuna sezione. Questa limitazione non si applica al momento da un singolo carico.

Riso. 9.21. Limitazioni quando si usa la regola di Vereshchagin: a - il diagramma ha un'interruzione; b - la trama ha segni diversi; c - l'asta ha sezioni diverse

3. La rigidità dell'asta all'interno della sezione deve essere costante, altrimenti l'integrazione deve essere estesa separatamente a sezioni con rigidità costante. I vincoli sulla rigidità costante possono essere evitati tracciando.

2013_2014 anno accademico II semestre Lezione n. 2.6 pagina 12

Deformazione delle travi durante la piegatura. Equazione differenziale dell'asse di flessione della trave. Metodo dei parametri iniziali. Equazione universale di una retta elastica.

6. Deformazione delle travi in ​​flessione piana

6.1. Concetti e definizioni di base

Considera la deformazione di una trave sotto flessione piana. L'asse della trave sotto l'azione del carico è piegato nel piano d'azione delle forze (il piano X 0y), mentre le sezioni trasversali sono ruotate e spostate di una certa quantità. Viene chiamato l'asse curvo della trave durante la flessione asse curvo o linea elastica.

La deformazione delle travi durante la piegatura sarà descritta da due parametri:

deviazione(y) - spostamento del baricentro della sezione della trave nella direzione perpendicolare a

Riso. 6.1 al suo asse.

Non confondere la deviazione y con coordinata y punti di sezione della trave!

La massima deflessione del raggio è chiamata freccia di deflessione ( F= y max);

2) angolo di rotazione della sezione() - l'angolo di cui la sezione ruota rispetto alla sua posizione originale (o l'angolo tra la tangente alla linea elastica e l'asse iniziale della trave).

Nel caso generale, la deflessione del raggio in un dato punto è una funzione della coordinata z e può essere scritto come la seguente equazione:

Quindi l'angolo tra la tangente all'asse piegato della trave e l'asse X sarà determinato dalla seguente espressione:

.

Poiché gli angoli e gli spostamenti sono piccoli, possiamo supporre che

l'angolo di rotazione della sezione è la derivata prima della deflessione della trave lungo l'ascissa della sezione.

6.2. Equazione differenziale dell'asse curvo della trave

Sulla base della natura fisica del fenomeno della flessione, possiamo affermare che l'asse curvo di una trave continua deve essere una curva continua e liscia (senza interruzioni). In questo caso, la deformazione dell'una o dell'altra sezione della trave è determinata dalla curvatura della sua linea elastica, ovvero dalla curvatura dell'asse della trave.

In precedenza, abbiamo ottenuto una formula per determinare la curvatura di una trave (1/ρ) durante la flessione

.

D'altra parte, dal corso matematica superioreÈ noto che l'equazione per la curvatura di una curva piana è la seguente:

.

Uguagliando le parti giuste di queste espressioni, otteniamo equazione differenziale asse piegato della trave, che è chiamato l'equazione esatta dell'asse piegato della trave

Nel sistema di coordinate delle deviazioni z0 y quando l'asse y è diretta verso l'alto, il segno del momento determina il segno della derivata seconda di y su z.

L'integrazione di questa equazione presenta ovviamente alcune difficoltà. Pertanto, di solito è scritto in forma semplificata, trascurando il valore tra parentesi rispetto all'unità.

Quindi equazione differenziale della linea elastica della trave lo considereremo nella forma:

(6.1)

Troviamo la soluzione dell'equazione differenziale (6.1) integrando entrambe le sue parti rispetto alla variabile z:

(6.2)

(6.3)

Costanti di integrazione C 1 , D 1 si trova dalle condizioni al contorno - le condizioni per fissare la trave, mentre per ciascuna sezione della trave verranno determinate le loro costanti.

Considera la procedura per risolvere queste equazioni usando un esempio specifico.

D ano:

Lunghezza della trave a sbalzo l, caricato con forza trasversale F. Materiale della trave ( e), la forma e le dimensioni della sua sezione ( io X) sono anche considerati noti.

DI limite legge di variazione dell'angolo di rotazione ( z) e deviazione y(z) travi lungo la sua lunghezza e i loro valori nelle sezioni caratteristiche.

Soluzione

a) definire le reazioni nella terminazione

b) con il metodo della sezione determiniamo il momento flettente interno:

c) determinare l'angolo di rotazione delle sezioni della trave

permanente C 1 troviamo dalle condizioni di fissaggio, ovvero, in un attacco rigido, l'angolo di rotazione è uguale a zero, quindi


(0) = 0  C 1 =0.

Trova l'angolo di rotazione dell'estremità libera della trave ( z = l) :

Il segno meno indica che la sezione ha ruotato in senso orario.

d) determinare le deviazioni della trave:

permanente D 1 troviamo dalle condizioni di fissaggio, ovvero, in un attacco rigido, la deflessione è uguale a zero, quindi

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

Trova la deflessione dell'estremità libera della trave ( X= l)

.

Il segno meno indica che la sezione è scesa.

Al tuo servizio. Ma l'assioma: "se vuoi che il lavoro sia fatto bene, fallo da te" non è stato ancora cancellato. Il fatto è che in vari tipi di libri di consultazione e manuali a volte ci sono errori di battitura o errori, quindi usare formule già pronte non è sempre buono.

11. Determinazione dell'angolo di rotazione.

La deflessione di una struttura edilizia, e nel nostro caso delle travi, è l'unico valore più facile da determinare empiricamente e più difficile teoricamente. Quando abbiamo applicato un carico al righello (premuto con un dito o con il potere del nostro intelletto), abbiamo visto ad occhio nudo che il righello si è abbassato:

Figura 11.1. Lo spostamento del baricentro della sezione trasversale della trave nel centro della trave e l'angolo di rotazione dell'asse longitudinale passante per il baricentro della sezione trasversale su uno dei supporti.

Se volessimo determinare empiricamente la quantità di deflessione, basterebbe misurare la distanza dal tavolo su cui giacciono i libri (non mostrato in figura) alla parte superiore o inferiore del righello, quindi applicare un carico e misurare la distanza dal tavolo alla parte superiore o inferiore del righello. La differenza di distanze è la deflessione richiesta (nella foto, il valore della deflessione è indicato da una linea arancione):

foto 1.

Ma proviamo ad arrivare allo stesso risultato, seguendo il sentiero spinoso della teoria del sopromat.

Poiché la trave è piegata (nel buon senso della parola), risulta che l'asse longitudinale passante per i baricentro delle sezioni trasversali di tutti i punti della trave e prima di applicare il carico coincideva con l'asse X, spostato. Questo è lo spostamento del baricentro della sezione trasversale lungo l'asse a chiamato deflessione del raggio F. Inoltre, è ovvio che sul supporto questo asse più longitudinale è ora ad un certo angolo θ all'asse X, e nel punto di azione del carico concentrato, l'angolo di rotazione = 0, poiché il carico è applicato al centro e la trave è piegata simmetricamente. L'angolo di rotazione è solitamente indicato con " θ "e deviazione" F"(in molti libri di riferimento sulla resistenza dei materiali, la deflessione è indicata come" ν ", "w " o qualsiasi altro personaggio, ma per noi, come praticanti, è più conveniente usare la designazione " F"accettato negli SNiP).

Non sappiamo ancora come determinare questa deflessione, ma sappiamo che il carico agente sulla trave crea un momento flettente. E il momento flettente crea normali sollecitazioni di compressione e trazione interne nelle sezioni trasversali della trave. Questi stessi sollecitazioni interne portano al fatto che nella parte superiore della trave è compressa, e nella parte inferiore è allungata, mentre la lunghezza della trave lungo l'asse passante per i baricentro delle sezioni trasversali rimane la stessa, nella nella parte superiore la lunghezza della trave diminuisce e nella parte inferiore aumenta, e più i punti delle sezioni trasversali più lontani dall'asse longitudinale, maggiore sarà la deformazione. Possiamo determinare questa stessa deformazione utilizzando un'altra caratteristica del materiale: il modulo elastico.

Se prendiamo un pezzo di gomma da bendaggio e proviamo ad allungarlo, scopriremo che la gomma si allunga molto facilmente e scientificamente parlando si deforma di una quantità significativa se esposta anche a un piccolo carico. Se proviamo a fare lo stesso con il nostro righello, difficilmente sarà possibile allungarlo anche di decimi di millimetro con le nostre mani, anche se applichiamo al righello un carico decine di volte maggiore rispetto alla fasciatura della gomma. Questa proprietà di qualsiasi materiale è descritta dal modulo di Young, spesso indicato semplicemente come modulo di elasticità. significato fisico Il modulo di Young al carico massimo consentito della struttura calcolata è approssimativamente il seguente: Il modulo di Young mostra il rapporto delle sollecitazioni normali (che, sotto il carico massimo consentito, sono uguali alla resistenza di progetto del materiale alla deformazione relativa sotto tale carico:

E = R/∆ (11.1.1)

e ciò significa che per il lavoro del materiale nell'area delle deformazioni elastiche, il valore delle sollecitazioni normali interne, agendo non astrattamente, ma su un'area della sezione trasversale ben definita, tenendo conto della relativa deformazione, non dovrebbe superare il valore del modulo elastico:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

nel nostro caso la trave ha sezione rettangolare, quindi S = bh, dove b è la larghezza della trave, h è l'altezza della trave.

Il modulo di Young è misurato in Pascal o kgf / m 2. Per la stragrande maggioranza dei materiali da costruzione, i moduli elastici sono determinati empiricamente; puoi scoprire il valore del modulo per un particolare materiale da un libro di riferimento o tabella pivot .

Determinare la quantità di deformazione per una sezione trasversale a cui viene applicato un carico uniformemente distribuito o una forza concentrata al baricentro della sezione trasversale è molto semplice. In tale sezione si generano normali sollecitazioni di compressione o trazione, pari in valore alla forza agente, dirette in senso opposto e costanti su tutta l'altezza della trave (secondo uno degli assiomi meccanica teorica):

Figura 507.10.1

e quindi non è difficile determinare la deformazione relativa, se si conoscono i parametri geometrici della trave (lunghezza, larghezza e altezza), le più semplici trasformazioni matematiche di formula (11.1.2) danno il seguente risultato:

Δ = Q/(S· E)(11.2.1) o Δ = qh/(S· E) (11.2.2)

Poiché la resistenza calcolata mostra cosa carico massimo può essere applicato ad una determinata area, quindi in questo caso possiamo considerare l'azione di un carico concentrato sull'intera area della sezione trasversale della nostra struttura. In alcuni casi è importante determinare le deformazioni nel punto di applicazione di un carico concentrato, ma ora non consideriamo questi casi. Per determinare la deformazione totale, è necessario moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per la lunghezza della trave:

Δl = Q l/(b h E)(11.2.3) o Δl = q h l/(b h E) (11.2.4)

Ma nel caso che stiamo considerando, le sezioni trasversali della trave non sono interessate da una forza concentrata applicata al baricentro della sezione trasversale, ma da un momento flettente, che può essere rappresentato come il seguente carico:

Figura 149.8.3

Con un tale carico, le massime sollecitazioni interne e, di conseguenza, le massime deformazioni si verificheranno nella parte superiore e inferiore della trave e non ci saranno deformazioni nel mezzo. Abbiamo trovato la risultante per un tale carico distribuito e la spalla d'azione della forza concentrata nella parte precedente (), quando abbiamo determinato il momento di resistenza della trave. Pertanto, ora senza troppe difficoltà possiamo determinare la deformazione totale nella parte superiore e inferiore della trave:

Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E) (11.3.1)

Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

perché W \u003d b h 2 / 6 (10.6)

Possiamo ottenere la stessa formula in un altro modo. Come sappiamo, il modulo della sezione della trave deve soddisfare la seguente condizione:

W ≥ M / D (10.3)

Se consideriamo questa dipendenza come un'equazione e sostituiamo il valore R con ΔE in questa equazione, otteniamo la seguente equazione:

L=M/ΔE (11.4.1)

M = WΔE(11.4.2) a Δ = M/(W E)(11.4.5) e di conseguenza Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

Come risultato della deformazione che abbiamo appena definito, il nostro raggio potrebbe assomigliare a questo:

Figura 11.2. Presupposta (per chiarezza) la deformazione della trave

cioè, a causa delle deformazioni, i punti più alti e più bassi della sezione trasversale si sposteranno di Δx. E questo significa che conoscendo l'entità della deformazione e l'altezza della trave, possiamo determinare l'angolo di rotazione θ della sezione trasversale sul supporto della trave. Dal corso di geometria della scuola, sappiamo che il rapporto delle gambe triangolo rettangolo(nel nostro caso, le gambe Δх e h/2) è uguale alla tangente dell'angolo θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

tgφ \u003d 2 M x / (h W E) (11.5.3)

Se ricordiamo che il momento di inerzia è il momento di resistenza della sezione trasversale, moltiplicato per la distanza dal baricentro al punto estremo della sezione, o viceversa, il momento di resistenza è il momento di inerzia diviso per la distanza dal baricentro al punto estremo della sezione:

W = I/(h/2)(10.7) o I = Wh/2 (10.7.2)

quindi possiamo sostituire il momento di resistenza con il momento di inerzia:

tgφ \u003d M x / (IO E) (11.5.4)

sebbene non fosse necessario farlo, ma in questo modo abbiamo ottenuto la formula per l'angolo di rotazione quasi uguale a quella data in tutti i libri di testo e libri di riferimento sulla resistenza dei materiali. La differenza principale è che di solito si parla dell'angolo di rotazione e non della tangente dell'angolo. E sebbene per piccole deformazioni i valori della tangente dell'angolo e dell'angolo siano comparabili, tuttavia, l'angolo e la tangente dell'angolo sono cose diverse (tuttavia, in alcuni libri di riferimento, ad esempio: Fesik SP " Manuale sulla forza dei materiali" Kyiv: Budivelnik. - Viene menzionata la transizione dal 1982 dalla tangente all'angolo, anche se a mio avviso senza spiegazioni sufficienti). Inoltre, per essere molto precisi, in questo modo determiniamo il rapporto tra la deformazione longitudinale e l'altezza della trave

Gli elementi calcolati non hanno sempre una sezione trasversale rettangolare, come il nostro righello considerato. Vari profili laminati a caldo, tronchi troncati e grezzi e quant'altro possono essere utilizzati come travi e architravi. Tuttavia, la comprensione dei principi del calcolo del momento di inerzia consente di determinare il momento di inerzia per una sezione trasversale di qualsiasi forma geometrica, anche molto complessa. Nella stragrande maggioranza dei casi non è necessario calcolare il momento di inerzia stesso; per i profili metallici di sezione complessa (angoli, canali, travi a I, ecc.), il momento di inerzia, nonché il momento di resistenza , è determinato da assortimento . Per elementi di sezione ovale rotonda, triangolare e alcuni altri tipi di sezione, il momento di inerzia può essere determinato dal corrispondente tavolo .

Se consideriamo la deformazione totale dell'intera trave, cioè per tutta la lunghezza l , allora è ovvio che la deformazione totale sotto i nostri carichi non può essere solo su un lato della trave, come mostrato in Figura 11.3.a:

Figura 11.3.

Poiché il carico viene applicato alla nostra trave nel mezzo, per cui le reazioni sui supporti risultanti dall'azione del carico sono uguali tra loro e ciascuna è uguale alla metà del carico applicato, è più probabile che sotto in queste condizioni la deformazione totale sarà simile a quella mostrata in Figura 11.3.b e quindi, nel nostro caso particolare, l'angolo di inclinazione della sezione trasversale su ciascuno dei supporti sarà:

tgθ = M x/(2IE) (11.5.5)

Finora abbiamo determinato la tangente dell'angolo di rotazione con un semplice metodo grafico-analitico, e nel caso in cui il carico sia applicato alla trave nel mezzo, abbiamo fatto bene. Ma ci sono tutti i tipi di opzioni per applicare carichi alla trave e sebbene la deformazione totale sarà sempre uguale a Δl, ma l'angolo di inclinazione delle sezioni trasversali sui supporti può essere diverso. Se osserviamo più da vicino le formule (11.5.4) e (11.5.5), vedremo che moltiplichiamo il valore del momento ad un certo punto per il valore X, che dal punto di vista della meccanica teorica non è diverso dal concetto - "spalla della forza". Si scopre che per determinare la tangente dell'angolo di rotazione, dobbiamo moltiplicare il valore del momento per la spalla dell'azione del momento, il che significa che il concetto di "spalla" può essere applicato non solo alla forza, ma anche al momento. Quando abbiamo utilizzato il concetto di spalla dell'azione di una forza, scoperto da Archimede, abbiamo anche ipotizzato fino a che punto questo potesse portarci. Il metodo mostrato in figura 5.3 ci ha dato il valore del momento arm = x/2. Proviamo ora a determinare la spalla del momento in modo diverso (metodo grafico-analitico). Qui avremo bisogno di schemi costruiti per una trave su supporti incernierati:

Figura 149.7.1 Figura 149.7.2

La teoria della resistenza dei materiali ci permette di considerare le sollecitazioni normali interne, caratterizzate dal diagramma "M" in Figura 149.7.1 per una trave a rigidezza costante, come una sorta di carico fittizio esterno. Quindi l'area del diagramma "M" dall'inizio della trave al centro della campata è una reazione di supporto fittizia del materiale della trave a un carico uniformemente variabile. E il momento flettente fittizio è l'area del diagramma "M" moltiplicata per la distanza dal baricentro del diagramma "M" al punto considerato. Poiché il valore del momento flettente al centro della campata è Ql/4, l'area di tale figura sarà Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16. E se questo valore è diviso per la rigidità EI, allora otteniamo il valore della tangente dell'angolo di rotazione.

Guardando avanti, determiniamo il valore della deviazione. La distanza dal baricentro del diagramma triangolare "M" al centro della campata è l/6, quindi il momento flettente fittizio sarà (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/ 6 = Ql 3 /48. Quindi deviazione f = Ql 3 /48EI. E poiché il diagramma del momento si trova nella parte inferiore della trave, un tale carico fittizio alla fine darà un valore negativo dell'angolo di rotazione e deflessione, il che è generalmente logico, poiché con tale azione di carico, la deflessione - spostamento del il baricentro della sezione trasversale si troverà lungo l'asse y.

Una caratteristica del metodo grafico-analitico è che il numero dei calcoli può essere ulteriormente ridotto. Per fare ciò, è necessario moltiplicare l'area del diagramma di un carico fittizio per la distanza dal baricentro del diagramma all'origine delle coordinate e non al punto considerato sull'asse. Ad esempio, per il caso precedente (Ql 2 /16)l/3 = Ql 3 /48

Con un carico distribuito uniformemente, viene descritto il diagramma dei momenti parabola quadratica, è più difficile determinare l'area di una tale figura e la distanza dal baricentro, ma per questo abbiamo bisogno della conoscenza della geometria in modo da poter determinare l'area di qualsiasi figura e la posizione del baricentro di tale figura.

Pertanto, risulta che per una trave su cui agisce un carico concentrato al centro della trave in x = l / 2:

tgθ \u003d M (x / 2) / (EI) \u003d ((Ql / 4) (l / 4)) / (EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.1)

Quella che abbiamo appena fatto si chiama integrazione, perché se moltiplichiamo il valore del diagramma "Q" (Figura 149.7.1) per la lunghezza del carico, determiniamo così l'area di un rettangolo con i lati "Q" e x, mentre l'area di questo rettangolo è uguale al valore del tracciato "M" nel punto X.

In teoria, risulta che possiamo determinare il valore della tangente dell'angolo di rotazione integrando una delle equazioni dei momenti compilate per la nostra trave. Valore massimo la tangente dell'angolo di rotazione per una trave su due supporti incernierati, su cui agisce un carico concentrato nel mezzo (Figura 149.7.1), sarà x \u003d l / 2

tgθ = ∫Mdx/(EI)= ∫Axdx/(EI)\u003d Ascia 2 / (2EI) \u003d (Q / 2) (l / 2) 2 / (2EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.2)

dove MAè la reazione di supporto Q/2

Con un carico distribuito, l'integrazione dell'equazione dei momenti: q(l/2) x - qx 2 /2 per il lato sinistro della trave dà il seguente risultato:

tgθ =∫Mdx/(EI)\u003d q (l / 2) (l / 2) 2 / (2EI) -q (l / 2) 3 / (6EI) \u003d ql 3 / (24EI) (11.6.3)

Otterremo lo stesso risultato usando il metodo grafico-analitico.

Quando abbiamo determinato l'angolo di rotazione, per chiarezza, abbiamo ipotizzato che la trave fosse deformata come mostrato nella Figura 5.2, quindi come mostrato nella Figura 11.3.b, quindi abbiamo scoperto che se non c'era un secondo supporto, la trave si è girata il primo appoggia, ma in realtà c'è un secondo supporto e quindi la trave non può essere deformata in questo modo (con il nostro carico sulla trave). Non essendoci momento torcente sul supporto e, di conseguenza, nessuna sollecitazione interna che possa modificare la forma geometrica della trave, la forma geometrica della trave sul supporto rimane invariata e le sollecitazioni interne, che aumentano lungo la trave, deformano la trave sempre di più, e questo porta al fatto che la trave ruota attorno ai supporti incernierati e questo angolo di rotazione è uguale all'angolo di inclinazione della sezione trasversale θ (poiché si tratta di una trave parallelepipeda):

Figura 11.4. Deformazione reale del raggio.

Se tracciamo semplicemente gli angoli di rotazione per una trave con un carico concentrato nel mezzo secondo le equazioni per le parti sinistra e destra della trave, il diagramma sarà simile al seguente:

Figura 11.5.

Questo diagramma sarebbe corretto solo per la trave mostrata nella Figura 5.3.a. Ovviamente, nel nostro caso, il diagramma non può apparire così, e per costruire il diagramma corretto, bisogna tenere conto che le sezioni trasversali della trave hanno una pendenza su entrambi i supporti, e questa pendenza ha lo stesso valore , ma diversa nella direzione, e la pendenza della sezione trasversale della trave nel mezzo \u003d 0. Se riduciamo il diagramma a Ql 2 /16EI, che otteniamo integrando l'equazione dei momenti per il lato sinistro della trave e che mostra l'angolo di inclinazione della sezione trasversale proprio sul supporto, allora otteniamo il diagramma della seguente modulo:

Figura 11.6.

Questo diagramma mostra in modo assolutamente accurato la variazione dell'angolo di rotazione delle sezioni trasversali lungo l'intera trave e il valore della tangente dell'angolo di rotazione sul supporto sinistro della trave non è altro che una certa costante Da 1, che otteniamo se l'integrazione viene eseguita correttamente. E poi l'equazione dell'angolo di rotazione della trave a un determinato carico sulla sezione 0 sarà simile a questo:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) (11.6.5)

Il diagramma degli angoli di rotazione per una trave con carico distribuito visivamente non differisce in alcun modo dal diagramma degli angoli di rotazione per una trave con carico concentrato, l'unica differenza è che il diagramma degli angoli di rotazione per una trave con carico distribuito è una parabola cubica. L'equazione dell'angolo di rotazione per una trave con un carico uniformemente distribuito sarà simile a questa:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) - qx 3 / (6EI) (11.6.6)

A proposito dei segni in questa equazione. "-" significa che il termine considerato dell'equazione, per così dire, tenta di ruotare la trave in senso antiorario rispetto alla sezione trasversale considerata e "+" - in senso orario. Tuttavia, dal diagramma degli angoli di rotazione si può vedere che il valore tgθ A deve essere negativo. Pertanto, se la sezione ha una pendenza in senso orario rispetto all'asse x, sarà negativa e se è in senso antiorario, sarà positiva.

Bene, ora la cosa più importante, avevamo bisogno di tutti questi smontaggi con l'angolo di rotazione della sezione trasversale per determinare la deflessione della trave.

12. Definizione di deflessione.

Come possiamo vedere dalla Figura 11.4, il triangolo con le gambe h/2 e Δx è simile al triangolo con le gambe X e la seconda gamba, pari a f+y, il che significa che ora possiamo determinare il valore di deflessione:

tgθ = (f + y)/X (12.1)

f + y = tgθ X(12.2.1) o f + y \u003d M x X / (2EI) (12.2)

per piccoli valori X significato a vicino a 0, ma in punti più distanti della sezione, il valore a aumenta. Significato a- questa è l'influenza sull'entità della deflessione della presenza del secondo supporto. Si noti che questo valore a mostra la differenza tra la pendenza reale dell'asse longitudinale della trave e la pendenza dell'asse longitudinale della trave, se la trave fosse semplicemente ruotata attorno al supporto, e risulta che il valore a dipende dall'angolo di rotazione. Inoltre, abbiamo nuovamente ottenuto un'equazione in cui il valore della deflessione in un punto dipende dalla tangente dell'angolo di rotazione (12.2.1) e quindi risulta che l'angolo di rotazione ha anche una "spalla d'azione" . Ad esempio, con y \u003d f / 2 (se guardi da vicino il lato sinistro della foto 1, nel mezzo del raggio sarà da qualche parte) otterremmo la seguente formula per determinare la deflessione:

f \u003d M x 2 / (3EI) (12.3.1)

Ma non assumiamo nulla, ma utilizzeremo l'integrazione. Se integriamo l'equazione del momento per il lato sinistro della trave, otteniamo il valore a(trama per a mostrato in turchese nella foto 1):

y \u003d ∫ ∫ ∫ (Q / 2) dx \u003d 2 (Q / 2) (l / 2) 3 / 6EI \u003d Ql 3 / (96EI) (12.3.2)

o l'area del diagramma viola per il lato sinistro della trave (Figura 5.5), ma abbiamo bisogno dell'area del diagramma blu sulla sezione sinistra della trave (Figura 5.6), che è 2 volte l'area del diagramma viola. In questo modo:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2) (l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Perché l'area della trama blu è 2 volte più grande dell'area della trama viola è molto facile da spiegare. L'area di un triangolo è uguale a 1/2 dell'area di un rettangolo con gli stessi lati, l'area di una figura descritta da una parabola quadrata è 1/3 dell'area di un rettangolo con gli stessi lati. Se aprissimo la trama viola, otterremmo un rettangolo formato dalle trame blu e viola. Di conseguenza, se sottraiamo 1/3 dall'area del rettangolo, otteniamo 2/3. Questa serie logica ha una continuazione: l'area della figura descritta da una parabola cubica è 1/4 dell'area di un rettangolo con gli stessi lati e così via.

Possiamo trovare il valore di deflessione in un altro modo. Dalla figura 11.4 e dalle formule (12.2) segue che:

f x = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l / 2 \u003d - (Ql 2 / 16EI) l / 2 + (Ql 3 / 96EI) \u003d - (Ql 3 / 48EI) (12.3.5)

In questo caso, il segno "-" indica che il centro della sezione trasversale della trave si sposterà verso il basso lungo l'asse a circa l'asse X. E ora torniamo alla foto 1. Un grafico è mostrato sotto l'asse longitudinale della trave a, è questo valore nel punto l/2 che abbiamo sottratto durante la risoluzione dell'equazione (12.3.3). Inoltre, risulta che il rapporto tra F e a dipende dal coefficiente dell'integrazione precedente, cioè y = kf o f = y/k. Quando abbiamo integrato l'equazione delle forze, abbiamo ottenuto il coefficiente 1/2. Tuttavia, abbiamo ottenuto lo stesso valore quando abbiamo determinato la leva del momento. Se continuiamo questa serie logica, risulta che quando determiniamo la deflessione da un carico distribuito, dobbiamo utilizzare il coefficiente 1/3, ovvero possiamo calcolare la deflessione nel mezzo della trave usando la seguente formula:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3∫∫∫∫ qdx \u003d (2 (qlx 3 / 6) - 3 (qx 4 / 24)) / EI \u003d 5ql 4 / (384EI) (12.4.4)

f x = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdx (12.4.5)

f l / 2 \u003d (- ql 3 x / 24 + (qlx 3 / 6) - (qx 4 / 24)) / EI \u003d - 5ql 4 / (384EI) (12.4.6)

In questo caso, il segno "-" significa che il baricentro della sezione trasversale si sposta verso il basso lungo l'asse a.

Nota: Il metodo proposto per determinare la deflessione è alquanto diverso da quelli generalmente accettati, poiché ho cercato di concentrarmi sulla chiarezza.

Se la deflessione è determinata con il metodo grafico-analitico, l'area del carico fittizio - il diagramma del momento descritto da una parabola quadrata, sarà (secondo la tabella 378.1) (2ql 2 / (8 3)) l / 2 = ql 3 / 24. E la distanza dal baricentro del diagramma all'origine è 5/8, quindi il momento fittizio è (ql3/24)(5l/(8 2)) = 5ql 4 /384.

Naturalmente, un carico concentrato può essere applicato a una trave non nel mezzo, un carico distribuito può non solo essere distribuito uniformemente e non agire lungo l'intera lunghezza della trave e le opzioni per fissare la trave ai supporti sono diverse. Ma ecco perché esistono formule già pronte per usarli.

Permettimi! - Dirai: - Tutto questo va bene, ma per quanto riguarda le sollecitazioni di taglio? Dopotutto, agiscono lungo l'asse y e quindi devono in qualche modo influenzare la deflessione!

Va bene. Le sollecitazioni di taglio influiscono sulla deflessione, tuttavia, per travi con un rapporto l / h > 10, questo effetto è molto insignificante e pertanto è consentito utilizzare il metodo descritto in questo articolo per determinare la deflessione.

Ma non è tutto, come abbiamo già detto, è abbastanza semplice determinare empiricamente il valore di deflessione utilizzando il metodo descritto all'inizio dell'articolo. Dato che non c'era niente di meglio a portata di mano, ho preso un righello di legno, il prototipo di cui ho descritto così a lungo (vedi foto 1). Il righello di legno aveva dimensioni di circa 91,5 cm, larghezza b=4,96 cm e altezza h=0,32 cm (l'altezza e la larghezza erano determinate con un calibro). Quindi ho messo il righello sui supporti, mentre la distanza tra i supporti era di circa 90 cm e quindi ho ricevuto una trave con una campata di l = 90 cm Sotto l'influenza del proprio peso, il righello, ovviamente, si è leggermente piegato , ma una deviazione così piccola non mi interessava. Ho misurato con un metro a nastro (precisione fino a 1 mm) la distanza dal pavimento al fondo del righello (77,65 cm), quindi ho applicato un carico condizionalmente concentrato al centro (ho posizionato un misurino del peso di circa 52 grammi con 250 grammi di acqua al centro) e misurato la distanza dal pavimento al fondo del righello sotto carico (75,5 cm). La differenza tra queste due misurazioni era la deflessione desiderata. Pertanto, l'entità della deflessione determinata empiricamente era 77,65 - 75,5 = 2,15 cm Resta solo da trovare il modulo elastico per il legno, determinare il momento di inerzia per una determinata sezione e calcolare con precisione il carico. Modulo elastico E per legno = 10 5 kgf / cm 2, momento d'inerzia di una sezione rettangolare I z = bh 3 /12 = 4,98 0,32 3 /12 = 0,01359872 cm 4, pieno carico - 0,302 kg.

Il calcolo della deflessione secondo la formula ha dato: f = Ql 3 / (48EI) = 0,302 90 3 / (48 10 5 0,0136) = 3,37 cm Ricordo che la deflessione determinata empiricamente era: f = 2,15 cm. Forse avrebbe dovuto tenere conto dell'influenza sulla deflessione della derivata prima della funzione - la tangente dell'angolo di rotazione? Dopotutto, l'angolo di inclinazione, a giudicare dalla foto, è piuttosto ampio.

Verificare: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0,302 90 2 /(16 10 5 0,0136) = 0,11233. Quindi secondo la formula (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112 2) 3/2) = 3.307 cm. c'è sicuramente un'influenza, ma non supera il 2% o 0,63 mm.

Il risultato all'inizio mi ha sorpreso, ma poi c'erano diverse spiegazioni per una tale discrepanza, in particolare, al centro, la sezione trasversale del righello non era rettangolare, poiché il righello era deformato dal tempo e dall'esposizione all'acqua, rispettivamente, il righello momento d'inerzia per una tale sezione è maggiore che per una rettangolare, inoltre il righello non è di pino, ma di una specie legnosa più dura, per la quale il modulo elastico dovrebbe essere preso più alto. E dal punto di vista scientifico, un risultato non basta assolutamente per parlare di eventuali regolarità. Successivamente ho verificato il valore di deflessione di una barra di legno con momento d'inerzia I = 2,02 cm 4, lunga più di 2 m con una campata di 2 m sotto un carico di 2 kg applicato al centro della barra, quindi il valore di deflessione, determinato teoricamente ed empiricamente, coincideva con i decimi di millimetro. Certo, sarebbe possibile continuare gli esperimenti, ma è successo che centinaia di altre persone l'hanno già fatto prima di me e hanno ottenuto risultati pratici molto vicini a quelli teorici. E se prendiamo in considerazione che i materiali idealmente isotropi esistono solo in teoria, allora questi sono ottimi risultati.

Determinazione dell'angolo di rotazione attraverso la deflessione.

Determinare il valore dell'angolo di rotazione per una trave incernierata, che è influenzata solo da un momento flettente m su uno dei supporti, ad esempio sul supporto MA sembra essere semplice come:

tgθ x \u003d - tgθ A + Mx / (EI) - Ax 2 / (2EI) (13.1.1)

dove A \u003d M / l, (B = - M/l), ma per questo è necessario conoscere l'angolo di rotazione sul supporto MA, ma non lo sappiamo, aiuta comunque calcolarlo capendo che la deflessione sugli appoggi sarà zero e quindi:

f UN = tgθ B l - Bl 3 /(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B \u003d tgθ A l + Ml 2 / (2EI) - Al 3 / (6EI) \u003d 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Come puoi vedere, l'angolo di rotazione sul supporto a cui viene applicato il momento flettente è il doppio dell'angolo di rotazione sul supporto opposto, questo è uno schema molto importante, che ci sarà molto utile in futuro.

Quando un carico concentrato non viene applicato alla trave sul baricentro o il carico distribuito non è uniforme, gli angoli di rotazione sui supporti vengono determinati mediante deflessione, come nell'esempio sopra. In altre parole, i valori dei parametri iniziali vengono determinati durante la soluzione

TEMA 6

DETERMINAZIONE DEGLI SPOSTAMENTI IN FLESSIONE. CALCOLO DEI TRAVI PER LA RIGIDITÀ

6.1. Il concetto di linea elastica. Deflessione e angolo di rotazione. Equazione differenziale di una retta elastica. Condizione di rigidità alla flessione

Per giudicare il funzionamento delle travi piegate, non è sufficiente conoscere solo le sollecitazioni che sorgono nelle sezioni della trave da un determinato carico. Le sollecitazioni calcolate consentono di verificare la resistenza del sistema. Tuttavia, travi molto forti possono essere inutilizzabili a causa della rigidità insufficiente. Se la trave si piega fortemente sotto carico, durante il funzionamento di una struttura con travi flessibili sorgono difficoltà e, inoltre, possono verificarsi oscillazioni della trave con ampie ampiezze e allo stesso tempo notevoli sollecitazioni aggiuntive.

Sotto rigidità dovrebbe essere compreso la capacità di elementi strutturali e parti di macchine di resistere ai carichi esterni senza deformazioni visibili. Il calcolo della rigidezza consiste nel valutare la cedevolezza elastica della trave sotto l'azione dei carichi applicati e nella scelta di tali dimensioni in sezione per le quali gli spostamenti non superino i limiti stabiliti dalle norme. Per eseguire tale calcolo, è necessario imparare a calcolare gli spostamenti delle sezioni della trave sotto l'azione di qualsiasi carico esterno.

Considera la deformazione di una trave sotto semplice flessione. L'asse della trave (Fig. 6.1, a) sotto l'azione di un carico situato in uno dei principali piani di inerzia (nel piano DIV_ADBLOCK65 ">

Punto https://pandia.ru/text/79/355/images/image003_20.gif" width="13" height="15">.gif" width="24" height="19 src=">.gif" "width="13" height="15">. Se in un punto viene disegnata una tangente all'asse di una trave curva, verrà ruotata di un angolo rispetto alla posizione iniziale dell'asse. Allo stesso modo tempo, la sezione nel punto ruoterà dello stesso angolo, quindi tre quantità- , e sono le componenti di spostamento di una sezione trasversale di trave arbitraria. Viene chiamato lo spostamento del baricentro della sezione in una direzione perpendicolare all'asse della trave deviazione. Viene chiamata la deviazione più grande afflosciarsi ed è contrassegnato da una lettera.

Angolo https://pandia.ru/text/79/355/images/image010_4.gif" width="24" height="19 src=">.

Font-weight:normal"> Fig.6.1

Il controllo della rigidità delle travi si riduce al requisito che la deflessione massima sia font-weight:normal"> .

Il numero https://pandia.ru/text/79/355/images/image014_4.gif" width="17" height="15 src="> è considerato uguale a 1000.

Ciò dimostra che le flessioni di flessione sono generalmente piccole rispetto alla campata della trave. Ciò consente di apportare alcune semplificazioni. In primo luogo, con piccole deviazioni font-weight:normal">font-weight:normal">In secondo luogo, gli spostamenti orizzontali possono essere trascurati, poiché sono notevolmente inferiori https://pandia.ru/text/79/355/images /image016_5. gif" width="45" height="15 src=">). A questo proposito, nei calcoli utilizzeremo lo schema di spostamento condizionale mostrato in Fig. 6.1, b. Secondo questo schema, ogni punto si sposta perpendicolarmente al asse longitudinale della trave.

Per determinare il quadro completo delle deformazioni, è necessario ottenere l'equazione di una retta elastica

In base alla natura fisica dell'asse curvo della trave, possiamo affermare che la linea elastica deve essere una curva continua e liscia, pertanto la funzione e la sua derivata prima devono essere continue per tutto l'asse della trave. Le flessioni e gli angoli di rotazione sono gli spostamenti delle sezioni delle travi durante la flessione. La deformazione dell'una o dell'altra sezione della trave è determinata dalla sua curvatura.

Nel derivare la formula per le normali sollecitazioni flettenti, abbiamo ottenuto una relazione tra curvatura e momento flettente:

font-weight:normal"> Dal corso di matematica superiore, è nota la seguente equazione per la curvatura di una curva piana:

Font-weight:normal"> Sostituendo il valore di curvatura nell'equazione (6.2) e sostituendo la coordinata con deflessione , otteniamo l'esatta equazione differenziale della linea elastica della trave:

Font-weight:normal">L'integrazione di questa equazione differenziale non lineare è associata a grandi difficoltà. Considerando che in pratica si ha a che fare con piccole deviazioni e che le tangenti degli angoli di inclinazione della tangente all'asse saranno piccolo, il quadrato della derivata prima https://pandia.ru/text/79/355/images/image024_4.gif" width="101 height=48" height="48"> (6.5)

I due segni dell'equazione (6.5) sono posti perché il segno della curvatura può non coincidere con il segno del momento flettente. Il segno della curvatura dipende dalla direzione degli assi delle coordinate. Il segno del momento flettente è stato scelto a seconda di dove si trovano le fibre tese. Quindi, ad esempio, nel caso in cui l'asse è diretto verso l'alto, un momento positivo (Fig. 6.2, a) corrisponde a una curvatura positiva e un momento negativo corrisponde a una curvatura negativa.

Font-size:14.0pt"> Fig 6.2

Pertanto, nel caso in cui l'asse sia diretto verso l'alto, i segni di curvatura e momento flettente coincidono. Pertanto, nell'equazione differenziale, viene preso il segno“ + ” . Se l'asse è EN-US" style="font-size: 14.0pt">"- ” .

6.2. Metodo di integrazione diretta dell'equazione differenziale approssimata (di base) di una retta elastica

Risolvendo il problema con il metodo analitico, gli angoli di rotazione e le deviazioni sono calcolati mediante integrazione successiva dell'equazione differenziale approssimativa (6.5). Integrando per la prima volta l'equazione (6.5), otteniamo un'espressione per l'angolo di rotazione:

https://pandia.ru/text/79/355/images/image030_3.gif" width="12" height="23">

dove font-family:Symbol">- costante di integrazione.

Integrando una seconda volta, otteniamo l'espressione per la deflessione:

font-size:14.0pt">.gif" width="17" height="17 src=">- costanti di integrazione.

Per calcolare gli integrali in (6.6) e (6.7), si devono prima scrivere espressioni analitiche per il momento flettente e la rigidezza. Costanti di integrazione si trovano dalle condizioni al contorno, che dipendono dalle condizionispostando i confini delle sezioni di trave.

Consideriamo alcuni esempi di applicazione del metodo di integrazione diretta dell'equazione approssimativa della linea elastica di una trave.

Esempio 6.1.Determinare la deflessione e l'angolo di rotazione della sezione B della trave mostrata in Fig. 6.3.

Font-size:14.0pt"> Fig.6.3

Soluzione:

; .

- A destra.

.

Segno “+”

5. Integriamo l'equazione per la prima volta. Noi abbiamo:

IT-US" style="font-size: 14.0pt">.(ma)

IT-US" style="font-size: 14.0pt">.(B)

Poiché la deflessione e l'angolo di rotazione nell'incasso sono pari a zero, determinare le costanti di integrazione condizioni di confine assomigliare:

Con https://pandia.ru/text/79/355/images/image042_3.gif" width="37" height="19 src=">font-size:14.0pt"> L'equazione (a) mostra che la costante è l'angolo di rotazione all'origine (sezione A). Impostando nell'equazione (a), troviamo . Dall'equazione (b) segue che la dimensione del carattere costante: 14.0pt; font-family:Symbol">-deflessione all'origine..gif" width="43" height="19 src=">.

Pertanto, otteniamo le seguenti espressioni per la deflessione e l'angolo di rotazione:

,

.

Sostituendo nella prima equazione, troviamo la freccia di deflessione:

.

Sostituendo nella seconda equazione, troviamo il massimo angolo di rotazione

Cartello " - " alla deflessione indica che la sua direzione non coincide con la direzione positiva dell'asse. Cartello“ - ” nell'espressione per l'angolo di rotazione mostra che la sezione B ha ruotato non in senso antiorario, ma in senso orario.

Esempio 6.2.Determinare la deflessione della trave a due supporti e gli angoli di rotazione delle sezioni di supporto A e B (Fig. 6.4).

Font-size:14.0pt"> Fig.6.4

Soluzione:

1. Dalle condizioni di equilibrio determiniamo le reazioni di supporto:

2. Selezioniamo l'origine delle coordinate all'estremità sinistra della trave, combinandola con il punto A. Orientiamo l'asse verso l'alto, l'asse- A destra.

3. Componiamo l'equazione del momento flettente nella sezione:

.

4. Assumendo che la rigidezza della trave sia costante, scriviamo l'equazione differenziale approssimativa della linea elastica della trave:

.

Segno “+” nell'equazione della retta elastica è stata presa perché l'asse è diretto verso l'alto.

5. Integriamo l'equazione per la prima volta. Noi abbiamo:

IT-US" style="font-size: 14.0pt">.(in)

Integrando ancora, otteniamo l'equazione per la deflessione nella sezione:

IT-US" style="font-size: 14.0pt">.(G)

Troviamo le costanti di integrazione dalle condizioni al contorno:

Con https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src=">font-size:14.0pt"> Sostituendo nell'equazione (d) ed eguagliando deviazione zero, otteniamo; sostituendo nella stessa equazione https://pandia.ru/text/79/355/images/image031_4.gif" width="16" height="19">:

Sostituiamo i valori trovati delle costanti di integrazione nelle equazioni (c) e (d) e otteniamo le equazioni per gli angoli di rotazione e le deviazioni:

;

.

Sostituendo https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src="> nella prima equazione, otteniamo gli angoli di rotazione delle sezioni A e B, rispettivamente:

; .

A causa della simmetria del carico, il massimo la deflessione sarà nel mezzo del raggio. Sostituendo font-size:14.0pt"> nella seconda equazione .

Come nell'esempio precedente, il segno“ - ” alla deflessione indica che la sua direzione non coincide con la direzione positiva dell'asse EN-US style="font-size:14.0pt"">“- ” nell'espressione dell'angolo di rotazione mostra che la sezione A è girata non contro, ma in senso orario, il segno“ + ” nell'espressione dell'angolo di rotazione font-size:14.0pt">Esempio 6.3. Quante volte la deflessione nella sezione B all'estremità della trave mostrata in Fig. 6.5 è maggiore della deflessione nella sezione C al centro della trave?

IT-US" style="font-size:14.0pt"> Fig.6.5

Soluzione:

Usiamo i risultati ottenuti nell'Esempio 6.1. Scriviamo l'espressione finale per la deviazione:

e sostituiamo in questa equazione le coordinate dei punti C e B. Otteniamo:

A https://pandia.ru/text/79/355/images/image070_2.gif" width="264" height="101 src=">;