Il materiale metodicoè a scopo di riferimento e copre un'ampia gamma di argomenti. L'articolo fornisce una panoramica dei grafici delle principali funzioni elementari e considera la questione più importante: come costruire correttamente e VELOCEMENTE un grafico. Durante lo studio matematica superiore senza conoscere i grafici delle funzioni elementari di base, sarà difficile, quindi è molto importante ricordare che aspetto hanno i grafici di una parabola, iperbole, seno, coseno, ecc., ricordare alcuni valori di funzione. Parleremo anche di alcune proprietà delle funzioni principali.

Non pretendo di completezza e completezza scientifica dei materiali, l'accento sarà posto, prima di tutto, sulla pratica - quelle cose con cui bisogna affrontare letteralmente ogni passo, in qualsiasi argomento di matematica superiore. Grafici per manichini? Puoi dirlo.

A grande richiesta dei lettori sommario cliccabile:

Inoltre, c'è un brevissimo abstract sull'argomento
– padroneggia 16 tipi di grafici studiando SEI pagine!

Seriamente, sei, anche io stesso sono rimasto sorpreso. Questo abstract contiene una grafica migliorata ed è disponibile a un costo nominale, è possibile visualizzare una versione demo. È conveniente stampare il file in modo che i grafici siano sempre a portata di mano. Grazie per aver sostenuto il progetto!

E iniziamo subito:

Come costruire correttamente gli assi delle coordinate?

In pratica, le prove vengono quasi sempre redatte dagli studenti in quaderni separati, allineati in una gabbia. Perché hai bisogno di segni a scacchi? Dopotutto, il lavoro, in linea di principio, può essere eseguito su fogli A4. E la gabbia è necessaria solo per la progettazione accurata e di alta qualità dei disegni.

Qualsiasi disegno di un grafico di funzione inizia con gli assi delle coordinate.

I disegni sono bidimensionali e tridimensionali.

Consideriamo prima il caso bidimensionale Sistema di coordinate cartesiano:

1) Disegniamo assi coordinati. L'asse viene chiamato asse x , e l'asse asse y . Cerchiamo sempre di disegnarli pulito e non storto. Anche le frecce non dovrebbero assomigliare alla barba di papa Carlo.

2) Segniamo gli assi con le lettere maiuscole "x" e "y". Non dimenticare di firmare gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi: disegna zero e due uno. Quando si esegue un disegno, la scala più comoda e comune è: 1 unità = 2 celle (disegno a sinistra) - attenersi ad essa se possibile. Tuttavia, di tanto in tanto capita che il disegno non si adatti al foglio di un quaderno, quindi riduciamo la scala: 1 unità = 1 cella (disegno a destra). Raramente, ma capita che la scala del disegno debba essere ulteriormente ridotta (o aumentata).

NON scarabocchiare da una mitragliatrice ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Perché il piano delle coordinate non è un monumento a Cartesio e lo studente non è una colomba. Abbiamo messo zero e due unità lungo gli assi. Qualche volta invece di unità, è conveniente "rilevare" altri valori, ad esempio "due" sull'asse delle ascisse e "tre" sull'asse delle ordinate - e questo sistema (0, 2 e 3) imposterà anche in modo univoco la griglia delle coordinate.

È meglio stimare le dimensioni stimate del disegno PRIMA che il disegno venga disegnato.. Quindi, ad esempio, se l'attività richiede il disegno di un triangolo con vertici , , , è abbastanza chiaro che la popolare scala 1 unità = 2 celle non funzionerà. Come mai? Diamo un'occhiata al punto: qui devi misurare quindici centimetri in basso e, ovviamente, il disegno non si adatta (o si adatta a malapena) su un foglio di quaderno. Pertanto, selezioniamo immediatamente una scala più piccola 1 unità = 1 cella.

A proposito, circa centimetri e celle del notebook. È vero che ci sono 15 centimetri in 30 celle di notebook? Misura su un quaderno per interesse 15 centimetri con un righello. In URSS, forse questo era vero ... È interessante notare che se si misurano questi stessi centimetri orizzontalmente e verticalmente, i risultati (nelle celle) saranno diversi! A rigor di termini, i notebook moderni non sono a scacchi, ma rettangolari. Può sembrare una sciocchezza, ma disegnare, ad esempio, un cerchio con una bussola in tali situazioni è molto scomodo. Ad essere onesti, in questi momenti inizi a pensare alla correttezza del compagno Stalin, che è stato mandato nei campi per lavori di hackeraggio nella produzione, per non parlare dell'industria automobilistica nazionale, degli aerei che cadono o delle centrali elettriche che esplodono.

A proposito di qualità, o una breve raccomandazione sulla cancelleria. Ad oggi la maggior parte dei quaderni in vendita, senza dire parolacce, sono dei completi goblin. Per il motivo che si bagnano, e non solo dalle penne gel, ma anche dalle penne a sfera! Risparmia sulla carta. Per sdoganamento opere di controllo Consiglio di usare i taccuini di Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 fogli, gabbia) o Pyaterochka, anche se è più costoso. Si consiglia di scegliere una penna gel, anche la ricarica gel cinese più economica è molto meglio di una penna a sfera, che macchia o strappa la carta. L'unica penna a sfera "competitiva" che ho in memoria è la Erich Krause. Scrive in modo chiaro, bello e stabile - con uno stelo pieno o con uno quasi vuoto.

Inoltre: vedere un sistema di coordinate rettangolare con gli occhi geometria analitica trattato nell'articolo Lineare (non)dipendenza dei vettori. Base vettoriale, informazioni dettagliate sui quarti di coordinate sono disponibili nel secondo paragrafo della lezione Disuguaglianze lineari.

Caso 3D

È quasi lo stesso qui.

1) Disegniamo gli assi delle coordinate. Standard: asse applicato – diretto verso l'alto, asse – diretto a destra, asse – verso il basso a sinistra rigorosamente ad un angolo di 45 gradi.

2) Firmiamo gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi. Scala lungo l'asse: due volte più piccola della scala lungo gli altri assi. Nota anche che nel disegno a destra ho usato un "serif" non standard lungo l'asse (questa possibilità è già stata menzionata sopra). Dal mio punto di vista, è più preciso, più veloce ed esteticamente più gradevole: non è necessario cercare il centro della cellula al microscopio e "scolpire" l'unità fino all'origine.

Quando si esegue di nuovo un disegno 3D, dare priorità alla scala
1 unità = 2 celle (disegno a sinistra).

A cosa servono tutte queste regole? Le regole sono lì per essere infrante. Cosa farò adesso. Il fatto è che i successivi disegni dell'articolo verranno realizzati da me in Excel e gli assi delle coordinate sembreranno errati in termini di progettazione corretta. Potrei disegnare tutti i grafici a mano, ma è davvero spaventoso disegnarli, poiché Excel è riluttante a disegnarli in modo molto più accurato.

Grafici e proprietà di base delle funzioni elementari

La funzione lineare è data dall'equazione . Il grafico della funzione lineare è diretto. Per costruire una retta basta conoscere due punti.

Esempio 1

Traccia la funzione. Troviamo due punti. È vantaggioso scegliere zero come uno dei punti.

Se poi

Prendiamo qualche altro punto, per esempio, 1.

Se poi

Quando si preparano le attività, le coordinate dei punti sono generalmente riassunte in una tabella:

E i valori stessi sono calcolati oralmente o su una bozza, calcolatrice.

Si trovano due punti, disegniamo:

Quando si redige un disegno, firmiamo sempre la grafica.

Non sarà superfluo ricordare casi speciali di una funzione lineare:

Nota come ho posizionato le didascalie, le firme non dovrebbero essere ambigue quando si studia il disegno. In questo caso, era altamente indesiderabile apporre una firma vicino al punto di intersezione delle linee, o in basso a destra tra i grafici.

1) Una funzione lineare della forma () è chiamata proporzionalità diretta. Per esempio, . Il grafico della proporzionalità diretta passa sempre per l'origine. Pertanto, la costruzione di una retta è semplificata: è sufficiente trovare un solo punto.

2) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Il grafico della funzione viene costruito immediatamente, senza trovare punti. Cioè, la voce dovrebbe essere intesa come segue: "y è sempre uguale a -4, per qualsiasi valore di x".

3) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Anche il grafico della funzione viene costruito immediatamente. La voce deve essere intesa come segue: "x è sempre, per qualsiasi valore di y, uguale a 1."

Qualcuno chiederà, beh, perché ricordi la prima media?! È così, forse è così, solo durante gli anni di pratica ho incontrato una buona dozzina di studenti che erano sconcertati dal compito di costruire un grafico come o .

Disegnare una linea retta è l'azione più comune quando si creano disegni.

La retta è discussa in dettaglio nel corso della geometria analitica e chi lo desidera può fare riferimento all'articolo Equazione di una retta su un piano.

Grafico delle funzioni quadratiche, grafico delle funzioni cubiche, grafico dei polinomi

Parabola. Programma funzione quadratica () è una parabola. Ritenere caso famoso:

Ricordiamo alcune proprietà della funzione.

Quindi, la soluzione della nostra equazione: - è a questo punto che si trova il vertice della parabola. Perché è così può essere appreso dall'articolo teorico sulla derivata e dalla lezione sugli estremi della funzione. Nel frattempo, calcoliamo il valore corrispondente di "y":

Quindi il vertice è al punto

Ora troviamo altri punti, usando sfacciatamente la simmetria della parabola. Va notato che la funzione – non è pari, ma, tuttavia, nessuno ha cancellato la simmetria della parabola.

In che ordine trovare i punti rimanenti, penso che sarà chiaro dal tavolo finale:

Questo algoritmo di costruzione può essere in senso figurato chiamato "navetta" o principio "avanti e indietro" con Anfisa Chekhova.

Facciamo un disegno:

Dai grafici considerati, viene in mente un'altra caratteristica utile:

Per una funzione quadratica () vale quanto segue:

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto.

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso il basso.

Una conoscenza approfondita della curva può essere ottenuta nella lezione Iperbole e parabola.

La parabola cubica è data dalla funzione . Ecco un disegno familiare da scuola:

Elenchiamo le principali proprietà della funzione

Grafico delle funzioni

Rappresenta uno dei rami della parabola. Facciamo un disegno:

Le principali proprietà della funzione:

In questo caso, l'asse è asintoto verticale per il grafico dell'iperbole in .

Sarà un GRANDE errore se, quando si redige un disegno, per negligenza, si lascia che il grafico si intersechi con l'asintoto.

Anche i limiti unilaterali, ci dicono che è un'iperbole non limitato dall'alto e non limitato dal basso.

Esploriamo la funzione all'infinito: , cioè se iniziamo a spostarci lungo l'asse a sinistra (oa destra) verso l'infinito, allora i "giochi" saranno un passo snello infinitamente vicino avvicinano allo zero e, di conseguenza, i rami dell'iperbole infinitamente vicino avvicinarsi all'asse.

Quindi l'asse è asintoto orizzontale per il grafico della funzione, se "x" tende a più o meno infinito.

La funzione è strano, il che significa che l'iperbole è simmetrica rispetto all'origine. Questo fattoè evidente dal disegno, inoltre, si può facilmente verificare analiticamente: .

Il grafico di una funzione della forma () rappresenta due rami di un'iperbole.

Se , l'iperbole si trova nel primo e nel terzo quadrante delle coordinate(vedi foto sopra).

Se , l'iperbole si trova nel secondo e nel quarto quadrante delle coordinate.

Non è difficile analizzare la regolarità specificata del luogo di residenza dell'iperbole dal punto di vista delle trasformazioni geometriche dei grafici.

Esempio 3

Costruisci il ramo destro dell'iperbole

Utilizziamo il metodo di costruzione puntuale, mentre è vantaggioso selezionare i valori in modo che si dividano completamente:

Facciamo un disegno:

Non sarà difficile costruire il ramo sinistro dell'iperbole, qui la stranezza della funzione aiuterà solo. In parole povere, nella tabella di costruzione puntuale, aggiungi mentalmente un meno a ogni numero, metti i punti corrispondenti e disegna il secondo ramo.

Informazioni geometriche dettagliate sulla retta considerata possono essere trovate nell'articolo Iperbole e parabola.

Grafico di una funzione esponenziale

In questo paragrafo considererò subito la funzione esponenziale, poiché nei problemi di matematica superiore nel 95% dei casi è l'esponente che si verifica.

Ti ricordo che - questo è un numero irrazionale: , questo sarà richiesto quando si costruisce un grafico, che, infatti, costruirò senza cerimonie. Tre punti probabilmente abbastanza:

Lasciamo perdere il grafico della funzione per ora, a riguardo più avanti.

Le principali proprietà della funzione:

Fondamentalmente, i grafici delle funzioni hanno lo stesso aspetto, ecc.

Devo dire che il secondo caso è meno comune nella pratica, ma si verifica, quindi ho ritenuto necessario includerlo in questo articolo.

Grafico di una funzione logaritmica

Consideriamo una funzione con logaritmo naturale.
Facciamo un disegno a tratteggio:

Se hai dimenticato cos'è un logaritmo, fai riferimento ai libri di testo della scuola.

Le principali proprietà della funzione:

Dominio:

Intervallo di valori: .

La funzione non è limitata dall'alto: , anche se lentamente, ma il ramo del logaritmo sale all'infinito.
Esaminiamo il comportamento della funzione vicino allo zero a destra: . Quindi l'asse è asintoto verticale per il grafico della funzione con "x" tendente a zero a destra.

Necessità di sapere e ricordare valore tipico logaritmo: .

Fondamentalmente, la trama del logaritmo alla base ha lo stesso aspetto: , , (logaritmo decimale in base 10), ecc. Allo stesso tempo, più grande è la base, più piatto sarà il grafico.

Non considereremo il caso, cosa che non ricordo quando l'ultima volta che ho costruito un grafico con una tale base. Sì, e il logaritmo sembra essere un ospite molto raro nei problemi di matematica superiore.

In conclusione del paragrafo, dirò un altro fatto: Funzione esponenziale e funzione logaritmicasono due funzioni reciprocamente inverse. Se guardi da vicino il grafico del logaritmo, puoi vedere che questo è lo stesso esponente, solo che si trova in modo leggermente diverso.

Grafici delle funzioni trigonometriche

Come inizia il tormento trigonometrico a scuola? Correttamente. Dal seno

Tracciamo la funzione

Questa linea chiamato sinusoide.

Ti ricordo che “pi” è un numero irrazionale:, e in trigonometria abbaglia negli occhi.

Le principali proprietà della funzione:

Questa funzione è periodico con un periodo. Cosa significa? Diamo un'occhiata al taglio. A sinistra ea destra di esso, esattamente lo stesso pezzo del grafico si ripete all'infinito.

Dominio: , ovvero per ogni valore di "x" esiste un valore seno.

Intervallo di valori: . La funzione è limitato: , cioè tutti i "giochi" si trovano rigorosamente nel segmento .
Questo non succede: o, più precisamente, succede, ma queste equazioni non hanno soluzione.

Funzioni elementari e loro grafici

Dritto proporzionalità. Funzione lineare.

Proporzione inversa. Iperbole.

funzione quadratica. Parabola quadrata.

Funzione di alimentazione. Funzione esponenziale.

funzione logaritmica. funzioni trigonometriche.

Funzioni trigonometriche inverse.

1.	valori proporzionali. Se variabili y e X direttamente proporzionale, allora la dipendenza funzionale tra di loro è espressa dall'equazione: y = K X , dove K- valore costante ( fattore di proporzionalità). Programma dritto proporzionalità- una retta passante per l'origine e formante con l'asse X angolo la cui tangente è K:abbronzatura= K(Fig. 8). Pertanto, viene anche chiamato il coefficiente di proporzionalità fattore di pendenza. La figura 8 mostra tre grafici per K = 1/3, K= 1 e K = 3 .
2.	Funzione lineare. Se variabili y e X collegati dall'equazione di 1° grado: Ascia + Di = C , dove almeno uno dei numeri UN o B non è uguale a zero, allora il grafico di questa dipendenza funzionale è retta. Se una C= 0, quindi passa per l'origine, altrimenti no. Grafici di funzioni lineari per varie combinazioni UN,B,C sono mostrati in Fig.9.
3.	Inversione proporzionalità. Se variabili y e X Indietro proporzionale, allora la dipendenza funzionale tra di loro è espressa dall'equazione: y = K / X , dove K- un valore costante. Grafico proporzionale inverso - iperbole (Fig. 10). Questa curva ha due rami. Le iperboli si ottengono quando un cono circolare è intersecato da un piano (per le sezioni coniche, vedere la sezione "Cono" nel capitolo "Stereometria"). Come mostrato in Fig. 10, il prodotto delle coordinate dei punti dell'iperbole è un valore costante, nel nostro esempio uguale a 1. Nel caso generale, questo valore è uguale a K, che segue dall'equazione dell'iperbole: xy = K. Le principali caratteristiche e proprietà di un'iperbole: Ambito della funzione: X 0, intervallo: y 0 ; La funzione è monotona (decrescente) a X< 0 e a x > 0, ma no nel complesso monotono a causa del punto di rottura X= 0 (pensa perché?); Funzione illimitata, discontinua in un punto X= 0, dispari, non periodico; - La funzione non ha zeri.
4.	Funzione quadratica. Questa è la funzione: y = ascia 2 + bx + c, dove un, b, c- permanente, un 0. Nel caso più semplice abbiamo: b=c= 0 e y = ascia 2. Grafico di questa funzione parabola quadrata - curva passante per l'origine (Fig. 11). Ogni parabola ha un asse di simmetria OY, che è chiamato asse della parabola. Punto o si chiama l'intersezione di una parabola con il suo asse parte superiore della parabola. Grafico delle funzioni y = ascia 2 + bx + cè anche una parabola quadrata dello stesso tipo di y = ascia 2 , ma il suo vertice non si trova all'origine, ma nel punto con coordinate: Forma e posizione parabola quadrata nel sistema di coordinate dipende completamente da due parametri: coefficiente un a X 2 e discriminante D:D = b 2 – 4corrente alternata. Queste proprietà derivano dall'analisi delle radici dell'equazione quadratica (vedere la sezione corrispondente nel capitolo Algebra). Tutti i possibili diversi casi per una parabola quadrata sono mostrati in Fig.12.

Si prega di disegnare una parabola quadrata per il caso un > 0, D > 0 .

Principali caratteristiche e proprietà di una parabola quadrata:

Ambito della funzione:  < X+ (cioè X R ), e la zona

i valori: … (Per favore rispondi tu stesso a questa domanda!);

La funzione nel suo insieme non è monotona, ma a destra oa sinistra del vertice

si comporta come un monotono;

La funzione è illimitata, ovunque continua, anche per b = c = 0,

e non periodico;

- a D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funzione di alimentazione. Questa è la funzione: y = ascia n, dove un- permanente. In n= 1 otteniamo proporzionalità diretta: y=ascia; a n = 2 - parabola quadrata; a n = 1 - proporzionalità inversa o iperbole. Pertanto, queste funzioni sono casi speciali di una funzione di potenza. Sappiamo che la potenza zero di qualsiasi numero diverso da zero è uguale a 1, quindi, quando n= 0 la funzione di potenza diventa una costante: y= un, cioè. il suo grafico è una retta parallela all'asse X, esclusa l'origine delle coordinate (spiega perché?). Tutti questi casi (con un= 1) sono mostrati in Fig. 13 ( n 0) e Fig.14 ( n < 0). Valori negativi X non sono considerate qui, perché poi alcune funzioni: Se una n- totale, funzioni di potere avere un senso e X < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n un numero pari o un numero dispari. La Figura 15 mostra due di queste funzioni di potenza: for n= 2 e n = 3. In n= 2 la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Y. In n= 3 la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine. Funzione y = X 3 chiamato parabola cubica. La figura 16 mostra la funzione. Questa funzione è l'inverso della parabola quadrata y = X 2 , il suo grafico si ottiene ruotando il grafico di una parabola quadrata attorno alla bisettrice del 1° angolo di coordinateQuesto è un modo per ottenere il grafico di qualsiasi funzione inversa dal grafico della sua funzione originale. Possiamo vedere dal grafico che si tratta di una funzione a due valori (questo è indicato anche dal segno  davanti alla radice quadrata). Tali funzioni non sono studiate nella matematica elementare, quindi, come funzione, di solito consideriamo uno dei suoi rami: superiore o inferiore.
6.	Dimostrazione funzione. Funzione y = un X, dove unè un numero costante positivo, chiamato funzione esponenziale. Discussione X accetta qualsiasi valore valido; come valori di funzione sono considerati solo numeri positivi, poiché altrimenti abbiamo una funzione multivalore. Sì, la funzione y = 81 X ha a X= 1/4 di quattro diversi valori: y = 3, y = 3, y = 3 io e y = 3 io(Controlli, per favore!). Ma consideriamo solo il valore della funzione y= 3. Grafici funzione esponenziale per un= 2 e un= 1/2 sono mostrati in Fig.17. Passano per il punto (0, 1). In un= 1 abbiamo un grafico di una retta parallela all'asse X, cioè. la funzione diventa un valore costante pari a 1. Quando un> 1, la funzione esponenziale aumenta e a 0< un < 1 – убывает. Le principali caratteristiche e proprietà della funzione esponenziale:  < X+ (cioè X R ); gamma: y> 0 ; La funzione è monotona: aumenta con un> 1 e diminuisce a 0< un < 1; - La funzione non ha zeri.
7.	Funzione logaritmica. Funzione y= registro un X, dove unè un numero positivo costante, non uguale a 1 viene chiamato logaritmico. Questa funzione è l'inversa della funzione esponenziale; il suo grafico (Fig. 18) può essere ottenuto ruotando il grafico della funzione esponenziale attorno alla bisettrice del 1° angolo di coordinate. Principali caratteristiche e proprietà funzione logaritmica: Ambito della funzione: X> 0, e l'intervallo di valori:  < y+ (cioè. y R ); Questa è una funzione monotona: aumenta come un> 1 e diminuisce a 0< un < 1; La funzione è illimitata, ovunque continua, non periodica; La funzione ha uno zero: X = 1.
8.	funzioni trigonometriche. Quando si costruisce funzioni trigonometriche noi usiamo radiante misura degli angoli. Poi la funzione y= peccato X rappresentato da un grafico (Fig. 19). Questa curva è chiamata sinusoide. Grafico delle funzioni y= cos X mostrato in Fig.20; è anche un'onda sinusoidale risultante dallo spostamento del grafico y= peccato X lungo l'asse X a sinistra di 2 Da questi grafici risultano evidenti le caratteristiche e le proprietà di queste funzioni: Dominio:  < X+  intervallo: -1 y +1; Queste funzioni sono periodiche: il loro periodo è 2; Funzioni limitate (| y| , ovunque continuo, non monotono, ma avendo cosiddetto intervalli monotonia, all'interno del quale essi comportarsi come funzioni monotone(vedi grafici fig.19 e fig.20); Le funzioni hanno un numero infinito di zeri (per maggiori dettagli, vedere la sezione "Equazioni trigonometriche"). Grafici delle funzioni y= abbronzatura X e y= lettino X mostrati rispettivamente in Fig.21 e Fig.22 Si può vedere dai grafici che queste funzioni sono: periodiche (il loro periodo , illimitato, generalmente non monotono, ma ha intervalli di monotonia (cosa?), discontinuo (quali punti di interruzione hanno queste funzioni?). Regione definizioni e gamma di queste funzioni:
9.	Funzioni trigonometriche inverse. Definizioni di inversi funzioni trigonometriche e le loro proprietà principali sono indicate sezione omonima nel capitolo "Trigonometria". Pertanto, qui ci limitiamo solo brevi commenti sui loro grafici ricevuti ruotando i grafici delle funzioni trigonometriche attorno alla bisettrice della 1a angolo di coordinate.

Funzioni y= Arcsin X(fig.23) e y= Arco X(fig.24) multivalore, illimitato; il loro dominio di definizione e l'intervallo di valori, rispettivamente: 1 X+1 e  < y+ . Poiché queste funzioni sono multivalore,

considerati in matematica elementare, i loro valori principali sono considerati funzioni trigonometriche inverse: y= arcoseno X e y= archi X; i loro grafici sono evidenziati in Fig.23 e Fig.24 con linee in grassetto.

Funzioni y= arcoseno X e y= archi X hanno le seguenti caratteristiche e proprietà:

Entrambe le funzioni hanno lo stesso dominio di definizione: -1 X +1 ;

le loro gamme sono: /2 y/2 per y= arcoseno X e 0 y per y= archi X;

(y= arcoseno Xè una funzione crescente; y= archi X- decrescente);

Ogni funzione ha uno zero ( X= 0 per la funzione y= arcoseno X e

X= 1 per la funzione y= archi X).

Funzioni y= Arctano X(fig.25) e y= Arccot X (fig.26) - funzioni multivalore e illimitate; il loro dominio di definizione:  X+. I loro significati principali y= arctano X e y= arccot X sono considerate funzioni trigonometriche inverse; i loro grafici sono evidenziati in Fig.25 e Fig.26 con rami in grassetto.

Funzioni y= arctano X e y= arccot X hanno le seguenti caratteristiche e proprietà:

Entrambe le funzioni hanno lo stesso scopo:  X + ;

le loro gamme sono: /2 <y < /2 для y= arctano X e 0< y < для y= archi X;

Le funzioni sono limitate, non periodiche, continue e monotone

(y= arctano Xè una funzione crescente; y= arccot X- decrescente);

Solo funzione y= arctano X ha un solo zero ( X = 0);

funzione y = arccot X non ha zeri.

Una funzione lineare è una funzione della forma y=kx+b, dove x è una variabile indipendente, k e b sono numeri qualsiasi.
Il grafico di una funzione lineare è una retta.

1. Per tracciare un grafico di funzione, abbiamo bisogno delle coordinate di due punti appartenenti al grafico della funzione. Per trovarli, devi prendere due valori x, sostituirli nell'equazione della funzione e calcolare da essi i valori y corrispondenti.

Ad esempio, per tracciare la funzione y= x+2, è conveniente prendere x=0 e x=3, quindi le ordinate di questi punti saranno uguali a y=2 e y=3. Otteniamo i punti A(0;2) e B(3;3). Colleghiamoli e otteniamo il grafico della funzione y= x+2:

2. Nella formula y=kx+b, il numero k è chiamato fattore di proporzionalità:
se k>0, allora la funzione y=kx+b aumenta
se k
Il coefficiente b mostra lo spostamento del grafico della funzione lungo l'asse OY:
se b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b si ottiene dal grafico della funzione y=kx spostando b unità in alto lungo l'asse OY
se b
La figura seguente mostra i grafici delle funzioni y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Si noti che in tutte queste funzioni il coefficiente k Sopra lo zero, e le funzioni sono crescente. Inoltre, maggiore è il valore di k, maggiore è l'angolo di inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva dell'asse OX.

In tutte le funzioni b=3 - e vediamo che tutti i grafici intersecano l'asse OY nel punto (0;3)

Consideriamo ora i grafici delle funzioni y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Questa volta, in tutte le funzioni, il coefficiente k minore di zero e caratteristiche diminuire. Il coefficiente b=3, ed i grafici, come nel caso precedente, incrociano l'asse OY nel punto (0;3)

Considera i grafici delle funzioni y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Ora, in tutte le equazioni delle funzioni, i coefficienti k sono uguali a 2. E abbiamo tre rette parallele.

Ma i coefficienti b sono diversi e questi grafici intersecano l'asse OY in punti diversi:
Il grafico della funzione y=2x+3 (b=3) attraversa l'asse OY nel punto (0;3)
Il grafico della funzione y=2x (b=0) attraversa l'asse OY nel punto (0;0) - l'origine.
Il grafico della funzione y=2x-3 (b=-3) attraversa l'asse OY nel punto (0;-3)

Quindi, se conosciamo i segni dei coefficienti k e b, allora possiamo immediatamente immaginare come appare il grafico della funzione y=kx+b.
Se una k 0

Se una k>0 e b>0, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se una k>0 e b, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se una k, allora il grafico della funzione y=kx+b appare come:

Se una k=0, allora la funzione y=kx+b si trasforma in una funzione y=b e il suo grafico è simile a:

Le ordinate di tutti i punti del grafico della funzione y=b sono uguali a b If b=0, allora il grafico della funzione y=kx (proporzionalità diretta) passa per l'origine:

3. Separatamente, notiamo il grafico dell'equazione x=a. Il grafico di questa equazione è una retta parallela all'asse OY, i cui punti hanno tutti un'ascissa x=a.

Ad esempio, il grafico dell'equazione x=3 si presenta così:
Attenzione! L'equazione x=a non è una funzione, quindi corrisponde a un valore dell'argomento significati diversi funzione, che non corrisponde alla definizione della funzione.

4. Condizione per il parallelismo di due rette:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è parallelo al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 =k 2

5. La condizione per due rette perpendicolari:

Il grafico della funzione y=k 1 x+b 1 è perpendicolare al grafico della funzione y=k 2 x+b 2 se k 1 *k 2 =-1 oppure k 1 =-1/k 2

6. Punti di intersezione del grafico della funzione y=kx+b con gli assi delle coordinate.

con asse OY. L'ascissa di qualsiasi punto appartenente all'asse OY è uguale a zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OY, è necessario sostituire zero invece di x nell'equazione della funzione. Otteniamo y=b. Cioè, il punto di intersezione con l'asse OY ha coordinate (0;b).

Con l'asse x: L'ordinata di qualsiasi punto appartenente all'asse x è zero. Pertanto, per trovare il punto di intersezione con l'asse OX, è necessario sostituire zero anziché y nell'equazione della funzione. Otteniamo 0=kx+b. Quindi x=-b/k. Cioè, il punto di intersezione con l'asse OX ha coordinate (-b / k; 0):

Per prima cosa, prova a trovare l'ambito della funzione:

Sei riuscito? Confrontiamo le risposte:

Tutto ok? Ben fatto!

Ora proviamo a trovare l'intervallo della funzione:

Fondare? Confrontare:

Era d'accordo? Ben fatto!

Lavoriamo di nuovo con i grafici, solo che ora è un po' più difficile: trovare sia il dominio della funzione che l'intervallo della funzione.

Come trovare sia il dominio che l'intervallo di una funzione (avanzato)

Ecco cosa è successo:

Con la grafica, penso che tu l'abbia capito. Ora proviamo a trovare il dominio della funzione secondo le formule (se non sai come fare, leggi la sezione su):

Sei riuscito? Controllo risposte:

1. , poiché l'espressione radice deve essere maggiore o uguale a zero.
2. , poiché è impossibile dividere per zero e l'espressione radicale non può essere negativa.
3. , poiché, rispettivamente, per tutti.
4. perché non puoi dividere per zero.

Tuttavia, abbiamo ancora un momento che non è stato risolto ...

Vorrei ribadire la definizione e concentrarmi su di essa:

Si accorse? La parola "solo" è un elemento molto, molto importante della nostra definizione. Proverò a spiegarti sulle dita.

Diciamo di avere una funzione data da una retta. . Quando, sostituiamo questo valore nella nostra "regola" e lo otteniamo. Un valore corrisponde a un valore. Possiamo anche creare una tabella di vari valori e tracciare una determinata funzione per verificarlo.

"Aspetto! - dici, - "" si incontra due volte!" Quindi forse la parabola non è una funzione? No, lo è!

Il fatto che "" ricorra due volte è tutt'altro che un motivo per accusare la parabola di ambiguità!

Il fatto è che, calcolando, abbiamo ottenuto un gioco. E quando calcoliamo, abbiamo un gioco. Quindi è vero, la parabola è una funzione. Guarda il grafico:

Fatto? In caso contrario, ecco un esempio di vita reale per te, lontano dalla matematica!

Diciamo che abbiamo un gruppo di candidati che si sono incontrati durante la presentazione dei documenti, ognuno dei quali ha raccontato in una conversazione dove vive:

D'accordo, è abbastanza realistico che più ragazzi vivano nella stessa città, ma è impossibile che una persona viva in più città contemporaneamente. Questa è, per così dire, una rappresentazione logica della nostra "parabola" - Diverse x differenti corrispondono alla stessa y.

Ora facciamo un esempio in cui la dipendenza non è una funzione. Diciamo che questi stessi ragazzi hanno detto per quali specialità hanno fatto domanda:

Qui abbiamo una situazione completamente diversa: una persona può facilmente fare domanda per una o più direzioni. Questo è un elemento gli insiemi sono messi in corrispondenza più elementi imposta. Rispettivamente, non è una funzione.

Mettiamo alla prova le tue conoscenze nella pratica.

Determina dalle immagini cos'è una funzione e cosa non lo è:

Fatto? Ed ecco risposte:

• La funzione è - B,E.
• Non una funzione - A, B, D, D.

Ti chiedi perché? Sì, ecco perché:

In tutte le figure tranne A) e E) ce ne sono diversi per uno!

Sono sicuro che ora puoi facilmente distinguere una funzione da una non funzione, dire cos'è un argomento e cos'è una variabile dipendente e anche determinare l'ambito dell'argomento e l'ambito della funzione. Passiamo alla sezione successiva: come definire una funzione?

Modi per impostare una funzione

Cosa pensi significhino le parole "imposta funzione"? Esatto, significa spiegare a tutti di quale funzione stiamo parlando in questo caso. Inoltre, spiega in modo tale che tutti ti capiscano correttamente e che i grafici delle funzioni disegnati dalle persone secondo la tua spiegazione fossero gli stessi.

Come lo posso fare? Come impostare una funzione? Il modo più semplice, che è già stato utilizzato più di una volta in questo articolo: usando una formula. Scriviamo una formula e, sostituendovi un valore, calcoliamo il valore. E come ricorderete, una formula è una legge, una regola secondo la quale diventa chiaro a noi e ad un'altra persona come una X si trasformi in una Y.

Di solito, questo è esattamente quello che fanno: nelle attività vediamo funzioni già pronte definite da formule, tuttavia, ci sono altri modi per impostare una funzione che tutti dimenticano, e quindi la domanda "in quale altro modo puoi impostare una funzione?" confonde. Diamo un'occhiata a tutto in ordine e iniziamo con il metodo analitico.

Modo analitico per definire una funzione

Il metodo analitico è compito di una funzione che utilizza una formula. Questo è il modo più universale, completo e inequivocabile. Se hai una formula, allora sai assolutamente tutto sulla funzione: puoi creare una tabella di valori su di essa, puoi costruire un grafico, determinare dove la funzione aumenta e dove diminuisce, in generale, esplorala in toto.

Consideriamo una funzione. Cosa importa?

"Cosa significa?" - tu chiedi. Ti spiego ora.

Lascia che ti ricordi che nella notazione, l'espressione tra parentesi è chiamata argomento. E questo argomento può essere qualsiasi espressione, non necessariamente semplice. Di conseguenza, qualunque sia l'argomento (espressione tra parentesi), lo scriveremo invece nell'espressione.

Nel nostro esempio, sarà simile a questo:

Considera un'altra attività relativa al metodo analitico per specificare una funzione che avrai nell'esame.

Trova il valore dell'espressione, in.

Sono sicuro che all'inizio eri spaventato quando hai visto un'espressione del genere, ma non c'è assolutamente nulla di spaventoso in essa!

Tutto è come nell'esempio precedente: qualunque sia l'argomento (espressione tra parentesi), lo scriveremo invece nell'espressione. Ad esempio, per una funzione.

Cosa si dovrebbe fare nel nostro esempio? Invece, devi scrivere, e invece di -:

abbreviare l'espressione risultante:

È tutto!

Lavoro indipendente

Ora prova a trovare tu stesso il significato delle seguenti espressioni:

1. , Se
2. , Se

Sei riuscito? Confrontiamo le nostre risposte: Siamo abituati al fatto che la funzione ha la forma

Anche nei nostri esempi, definiamo la funzione in questo modo, ma analiticamente è possibile definire la funzione in modo implicito, ad esempio.

Prova a costruire tu stesso questa funzione.

Sei riuscito?

Ecco come l'ho costruito.

Con quale equazione siamo finiti?

Correttamente! Lineare, il che significa che il grafico sarà una linea retta. Facciamo una tabella per determinare quali punti appartengono alla nostra linea:

È proprio di questo che stavamo parlando... Uno corrisponde a molti.

Proviamo a disegnare cosa è successo:

Quello che abbiamo è una funzione?

Esatto, no! Come mai? Prova a rispondere a questa domanda con una foto. Cosa hai preso?

"Perché un valore corrisponde a più valori!"

Quale conclusione possiamo trarre da questo?

Esatto, una funzione non può sempre essere espressa in modo esplicito e ciò che è "mascherato" da funzione non è sempre una funzione!

Modo tabulare di definire una funzione

Come suggerisce il nome, questo metodo è un piatto semplice. Si si. Come quello che abbiamo già fatto. Per esempio:

Qui hai immediatamente notato uno schema: Y è tre volte più grande di X. E ora il compito “pensa molto bene”: pensi che una funzione data sotto forma di tabella sia equivalente a una funzione?

Non parliamo a lungo, ma disegniamo!

Così. Disegniamo una funzione data in entrambi i modi:

Vedi la differenza? Non si tratta di punti segnati! Dai un'occhiata più da vicino:

L'hai visto ora? Quando impostiamo la funzione in modo tabulare, riflettiamo sul grafico solo quei punti che abbiamo nella tabella e la linea (come nel nostro caso) passa solo attraverso di essi. Quando definiamo una funzione in modo analitico, possiamo prendere qualsiasi punto e la nostra funzione non si limita a questi. Ecco una tale caratteristica. Ricorda!

Modo grafico per costruire una funzione

Il modo grafico di costruire una funzione non è meno conveniente. Disegniamo la nostra funzione e un'altra persona interessata può trovare ciò a cui y è uguale a una certa x, e così via. I metodi grafici e analitici sono tra i più comuni.

Tuttavia, qui devi ricordare di cosa abbiamo parlato all'inizio: non tutti gli "scarabocchi" disegnati nel sistema di coordinate sono una funzione! Ricordato? Per ogni evenienza, copierò qui la definizione di cosa sia una funzione:

Di norma, le persone di solito nominano esattamente questi tre modi per specificare una funzione che abbiamo analizzato: analitica (usando una formula), tabulare e grafica, dimenticando completamente che una funzione può essere descritta verbalmente. Come questo? Sì, molto facile!

Descrizione verbale della funzione

Come descrivere verbalmente la funzione? Prendiamo il nostro esempio recente - . Questa funzione può essere descritto come "ogni valore reale di x corrisponde al suo valore triplo". È tutto. Niente di complicato. Certo, obietterai: "ce ne sono così tanti funzioni complesse che è semplicemente impossibile chiedere verbalmente!” Sì, ce ne sono alcune, ma ci sono funzioni che sono più facili da descrivere verbalmente che da impostare con una formula. Ad esempio: "ogni valore naturale di x corrisponde alla differenza tra le cifre di cui è composto, mentre la cifra più grande contenuta nella voce del numero viene presa come minuendo". Consideriamo ora come viene implementata in pratica la nostra descrizione verbale della funzione:

La cifra più grande dato numero- , rispettivamente, - ridotto, quindi:

Principali tipi di funzioni

Ora passiamo al più interessante: considera i principali tipi di funzioni con cui hai lavorato / lavorerai e lavorerai nel corso della scuola e dell'istituto di matematica, cioè li conosceremo, per così dire, e li daremo breve descrizione. Maggiori informazioni su ciascuna funzione nella sezione corrispondente.

Funzione lineare

Funzione del modulo in cui, - numeri reali.

Il grafico di questa funzione è una retta, quindi la costruzione di una funzione lineare si riduce alla ricerca delle coordinate di due punti.

Posizione diretta su piano delle coordinate dipende dal fattore di pendenza.

Ambito della funzione (aka intervallo di argomenti) - .

L'intervallo di valori è .

funzione quadratica

Funzione del modulo, dove

Il grafico della funzione è una parabola, quando i rami della parabola sono diretti verso il basso, quando - verso l'alto.

Molte proprietà di una funzione quadratica dipendono dal valore del discriminante. Il discriminante è calcolato dalla formula

La posizione della parabola sul piano delle coordinate rispetto al valore e al coefficiente è mostrata in figura:

Dominio

L'intervallo di valori dipende dall'estremo della funzione data (il vertice della parabola) e dal coefficiente (la direzione dei rami della parabola)

Proporzionalità inversa

La funzione data dalla formula, dove

Il numero è chiamato fattore di proporzionalità inversa. A seconda del valore, i rami dell'iperbole sono in quadrati diversi:

Dominio - .

L'intervallo di valori è .

RIASSUNTO E FORMULA BASE

1. Una funzione è una regola secondo la quale ad ogni elemento di un insieme viene assegnato un elemento unico dell'insieme.

• - questa è una formula che denota una funzione, cioè la dipendenza di una variabile da un'altra;
• - variabile, o argomento;
• - valore dipendente - cambia quando cambia l'argomento, cioè secondo alcuni determinata formula, che riflette la dipendenza di una quantità dall'altra.

2. Valori di argomento validi, o l'ambito di una funzione, è ciò che è correlato al possibile in base al quale la funzione ha senso.

3. Intervallo di valori della funzione- ecco quali valori ci vogliono, con valori validi.

4. Esistono 4 modi per impostare la funzione:

• analitico (usando formule);
• tabulare;
• grafico
• descrizione verbale.

5. Principali tipi di funzioni:

• : , dove, sono numeri reali;
• : , dove;
• : , dove.