Molto spesso, quando si risolvono problemi pratici (ad esempio, nella geodesia superiore o nella fotogrammetria analitica), compaiono funzioni complesse di più variabili, ad es. argomenti x, y, z una funzione f(x,y,z) ) sono esse stesse funzioni delle nuove variabili U, V, W ).

Quindi, ad esempio, succede quando ci si sposta da un sistema di coordinate fisso Oxyz al sistema mobile o 0 UVW e ritorno. In questo caso, è importante conoscere tutte le derivate parziali rispetto alle variabili "fissa" - "vecchia" e "mobile" - "nuova", poiché queste derivate parziali solitamente caratterizzano la posizione di un oggetto in questi sistemi di coordinate, e, in particolare, incidono sulla corrispondenza delle fotografie aeree con un oggetto reale. In questi casi si applicano le seguenti formule:

Cioè, data una funzione complessa T tre "nuove" variabili U, V, W attraverso tre "vecchie" variabili x, y, z poi:

Commento. Sono possibili variazioni nel numero di variabili. Ad esempio: se

In particolare, se z = f(xy), y = y(x) , quindi otteniamo la cosiddetta formula "derivata totale":

Stessa formula per la "derivata totale" nel caso di:

assumerà la forma:

Sono possibili anche altre variazioni delle formule (1.27) - (1.32).

Nota: la formula "derivata totale" viene utilizzata nel corso di fisica, sezione "Idrodinamica" per derivare il sistema fondamentale di equazioni del moto dei fluidi.

Esempio 1.10. Dato:

Secondo (1.31):

§7 Derivate parziali di una funzione data implicitamente di più variabili

Come sapete, una funzione di una variabile definita implicitamente è definita come segue: la funzione della variabile indipendente X si dice implicita se è data da un'equazione che non è risolta rispetto a y :

Esempio 1.11.

L'equazione

definisce implicitamente due funzioni:

E l'equazione

non definisce alcuna funzione.

Teorema 1.2 (esistenza di una funzione implicita).

Lascia che la funzione z \u003d f (x, y) e sue derivate parziali f" X e f" y definito e continuo in qualche quartiere u M0 punti M 0 (X 0 y 0 ) . Oltretutto, f(x 0 ,y 0 )=0 e f"(x 0 ,y 0 )≠0 , quindi l'equazione (1.33) determina nell'intorno u M0 funzione implicita y= y(x) , continua e differenziabile in qualche intervallo D centrato su un punto X 0 , e y(x 0 )=y 0 .

Senza prove.

Dal Teorema 1.2 segue che su questo intervallo D :

cioè, c'è un'identità in

dove si trova la derivata "totale" secondo (1.31)

Cioè, (1.35) fornisce una formula per trovare implicitamente la derivata data funzione una variabile X .

Una funzione implicita di due o più variabili è definita in modo simile.

Ad esempio, se in qualche area V spazio Oxyz l'equazione è soddisfatta:

quindi in determinate condizioni sulla funzione F definisce implicitamente una funzione

Allo stesso tempo, per analogia con la (1.35), le sue derivate parziali si trovano come segue:

Esempio 1.12. Supponendo che l'equazione

definisce implicitamente una funzione

trova z" X , z" y .

quindi, secondo la (1.37), otteniamo la risposta.

§8 Derivati ​​parziali di secondo e ordine superiore

Definizione 1.9 Derivate parziali del secondo ordine di una funzione z=z(x,y) sono così definiti:

Ce n'erano quattro. Inoltre, a determinate condizioni sulle funzioni z(x,y) vale l'uguaglianza:

Commento. Le derivate parziali del secondo ordine possono anche essere denotate come segue:

Definizione 1.10 Derivati ​​parziali del terzo ordine - otto (2 3).

Sia z=ƒ(x;y) funzione di due variabili xey, ciascuna delle quali è funzione della variabile indipendente t: x = x(t), y = y(t). In questo caso, la funzione z = f(x(t);y(t)) è una funzione complessa di una variabile indipendente t; le variabili xey sono variabili intermedie.

Teorema 44.4. Se z \u003d ƒ (x; y) è una funzione differenziabile nel punto M (x; y) є D e x \u003d x (t) e y \u003d y (t) sono funzioni differenziabili della variabile indipendente t, quindi la derivata della funzione complessa z (t ) = f(x(t);y(t)) viene calcolata con la formula

Diamo alla variabile indipendente t un incremento Δt. Quindi le funzioni x = x(t) e y = y(t) riceveranno rispettivamente incrementi Δx e Δy. A loro volta, faranno sì che la funzione z incrementi Az.

Poiché per la condizione la funzione z - ƒ(x; y) è derivabile nel punto M(x; y), allora il suo pieno incremento può essere rappresentato come

dove a→0, β→0 come Δх→0, Δу→0 (vedi punto 44.3). Dividiamo l'espressione Δz per Δt e passiamo al limite come Δt→0. Allora Δх→0 e Δу→0 per la continuità delle funzioni x = x(t) e y = y(t) (a seconda della condizione del teorema, sono differenziabili). Noi abbiamo:

Caso speciale: z=ƒ(x;y), dove y=y(x), cioè z=ƒ(x;y(x)) è una funzione complessa di una variabile indipendente x. Questo caso si riduce al precedente, con x che gioca il ruolo della variabile t. Secondo la formula (44.8) abbiamo:

La formula (44.9) è chiamata formula derivata totale.

Caso generale: z=ƒ(x;y), dove x=x(u;v), y=y(u;v). Allora z= f(x(u;v);y(u;v)) è una funzione complessa delle variabili indipendenti u e v. Le sue derivate parziali possono essere trovate usando la formula (44.8) come segue. Fissato v, lo sostituiamo con le corrispondenti derivate parziali

Allo stesso modo, otteniamo:

Pertanto, la derivata di una funzione complessa (z) rispetto a ciascuna variabile indipendente (u e v) è uguale alla somma dei prodotti delle derivate parziali di tale funzione (z) rispetto alle sue variabili intermedie (x e y ) e le loro derivate rispetto alla corrispondente variabile indipendente (u e v).

Esempio 44.5. Trova se z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Soluzione: trova dz/du (dz/dv - indipendente) usando la formula (44.10):

Semplifica il lato destro dell'uguaglianza risultante:

40. Derivati ​​parziali e differenziale totale funzioni di più variabili.

Sia data la funzione z = ƒ (x; y). Poiché xey sono variabili indipendenti, una di esse può cambiare mentre l'altra rimane invariata. Diamo alla variabile indipendente x un incremento Δx, mantenendo inalterato il valore di y. Allora z riceverà un incremento che è chiamato incremento parziale di z in x ed è indicato con ∆ x z. Così,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δ x; y) -ƒ (x; y).

Allo stesso modo, otteniamo un incremento parziale di z rispetto a y:

Δ y z \u003d ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

L'incremento totale Δz della funzione z è definito dall'uguaglianza

Δz \u003d ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

Se c'è un limite

quindi è chiamata derivata parziale della funzione z \u003d ƒ (x; y) nel punto M (x; y) rispetto alla variabile x ed è indicata da uno dei simboli:

Le derivate parziali rispetto a x nel punto M 0 (x 0; y 0) sono solitamente indicate dai simboli

La derivata parziale di z \u003d ƒ (x; y) rispetto alla variabile y è definita e indicata in modo simile:

Pertanto, la derivata parziale di una funzione di più (due, tre o più) variabili è definita come la derivata di una funzione di una di queste variabili, soggetta alla costanza dei valori delle restanti variabili indipendenti. Pertanto, le derivate parziali della funzione ƒ(x; y) si trovano secondo le formule e le regole per il calcolo delle derivate di una funzione di una variabile (in questo caso, rispettivamente, x o y è considerato un valore costante).

Esempio 44.1. Trova le derivate parziali della funzione z = 2y + e x2-y +1. Soluzione:

Significato geometrico delle derivate parziali di una funzione di due variabili

Il grafico della funzione z \u003d ƒ (x; y) è una determinata superficie (vedi paragrafo 12.1). Il grafico della funzione z \u003d ƒ (x; y 0) è la linea di intersezione di questa superficie con il piano y \u003d y o. Basato significato geometrico derivata per una funzione di una variabile (vedi clausola 20.2), concludiamo che ƒ "x (x o; y o) \u003d tg a, dove a è l'angolo tra l'asse Ox e la tangente tracciata alla curva z \u003d ƒ ( x; y 0) nel punto Mo (ho; yo; ƒ (ho; yo)) (vedi Fig. 208).

Allo stesso modo, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

Una funzione Z=f(x,y) si dice derivabile in un punto P(x,y) se il suo incremento totale ΔZ può essere rappresentato come Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), dove Δx e Δy - qualsiasi incremento degli argomenti corrispondenti x e y in qualche intorno del punto P, A e B sono costanti (non dipendono da Δx, Δy),

ω(Δx,Δy) è un infinitesimo in più ordine elevato rispetto alla distanza:

Se una funzione è differenziabile in un punto, il suo incremento totale in quel punto è costituito da due parti:

1. La parte principale dell'incremento della funzione A∙Δx+B∙Δy è lineare rispetto a Δx,Δy

2. E non lineare ω(Δx,Δy) - un ordine infinitesimo superiore rispetto alla parte principale dell'incremento.

La parte principale dell'incremento di una funzione, che è lineare rispetto a Δx,Δy, è chiamata differenziale totale di questa funzione ed è indicata:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx e Δy=dy o il differenziale totale di una funzione di due variabili:

Visualizzazione differenziale. Differenziale e derivata funzione numerica una variabile. Tavola derivativa. Differenziabilità. ) è una funzione dell'argomento , che è infinitamente piccolo come →0, cioè,

Chiariamo ora la connessione tra differenziabilità in un punto ed esistenza di una derivata nello stesso punto.

Teorema. In ordine per la funzione f(X) era differenziabile in quel punto X , è necessario e sufficiente che a questo punto abbia una derivata finita.

Tavola derivativa.

Esempio. Trova se, dove.

Soluzione. Secondo la formula (1) abbiamo:

Esempio. Trova la derivata parziale e la derivata totale se .

Soluzione. .

Sulla base della formula (2), otteniamo .

2°. Il caso di più variabili indipendenti.

Permettere z = f(x;y) - funzione di due variabili X e si, ognuno dei quali è una funzione

variabile indipendente t: x = x(t), y = y(t). In questo caso, la funzione z=f(x(t);y(t))è

funzione complessa di una variabile indipendente t; variabili xey sono variabili intermedie.

Teorema. Se una z == f(X; y) - differenziabile in un punto M(x; y) D funzione

e x = x(t) e a =y(t) - funzioni differenziabili della variabile indipendente t,

quindi la derivata della funzione complessa z(t) == f(x(t);y(t)) calcolato dalla formula

(3)

Caso speciale: z = f(x; y), dove y = y(x), quelli. z= f(x;y(x)) - funzione complessa di

variabile indipendente X. Questo caso si riduce al precedente, con il ruolo della variabile

t gioca X. Secondo la formula (3) abbiamo:

.

Viene chiamata l'ultima formula formule per la derivata totale.

Caso generale: z = f(x;y), dove x = x(u;v), y=y(u;v). Allora z = f(x(u;v);y(u;v)) - complesso

funzione di variabili indipendenti e e v. Si possono trovare le sue derivate parziali

utilizzando la formula (3) come segue. Fissaggio v, sostituirlo in esso

derivate parziali corrispondenti

Quindi la derivata della funzione composta (z) rispetto a ciascuna variabile indipendente (e e v)

è uguale alla somma dei prodotti delle derivate parziali di questa funzione (z) rispetto al suo intermedio

variabili (x e y) alle loro derivate rispetto alla corrispondente variabile indipendente (u e v).

In tutti i casi considerati, la formula

(proprietà di invarianza del differenziale totale).

Esempio. Trova e se z= f(x,y), dove x=uv, .

1°

1°. Caso di una variabile indipendente. Se z=f(x,y) è una funzione differenziabile degli argomenti x e y, che a loro volta sono funzioni differenziabili della variabile indipendente t: , quindi la derivata della funzione complessa può essere calcolato con la formula

Esempio. Trova se, dove.

Soluzione. Secondo la formula (1) abbiamo:

Esempio. Trova la derivata parziale e la derivata totale se .

Soluzione. .

Sulla base della formula (2), otteniamo .

2°. Il caso di più variabili indipendenti.

Permettere z=f(X;y) - funzione di due variabili X e si, ognuno dei quali è una funzione della variabile indipendente t : x =X (t), y =y (t). In questo caso, la funzione z=f(X (t);y (t))è una funzione complessa di una variabile indipendente t; variabili xey sono variabili intermedie.

Teorema. Se una z == f(X; y) - differenziabile in un punto M(x; y)D funzione e x =X (t) e a =y (t) - funzioni differenziabili della variabile indipendente t, quindi la derivata della funzione complessa z(t) == f(X (t);y (t)) calcolato dalla formula

Caso speciale:z = f(X; y), dove y = y(x), quelli. z= f(X;y (X)) - funzione complessa di una variabile indipendente X. Questo caso si riduce al precedente, con il ruolo della variabile t gioca X. Secondo la formula (3) abbiamo:

.

Viene chiamata l'ultima formula formule per la derivata totale.

Caso generale:z = f(X;si), dove x =X (tu;v),y=y (tu;v). Allora z = f(X (tu;v);y (tu;v))- funzione complessa di variabili indipendenti e e v. Le sue derivate parziali e possono essere trovate usando la formula (3) come segue. Fissaggio v, sostituiamo in esso con le corrispondenti derivate parziali

Quindi la derivata della funzione composta (z) rispetto a ciascuna variabile indipendente (e e v)è uguale alla somma dei prodotti delle derivate parziali di questa funzione (z) rispetto alle sue variabili intermedie (x e y) alle loro derivate rispetto alla corrispondente variabile indipendente (u e v).

In tutti i casi considerati, la formula

(proprietà di invarianza del differenziale totale).

Esempio. Trova e se z = f(x ,y ), dove x =uv , .

Soluzione. Applicando le formule (4) e (5), otteniamo:

Esempio. Mostra che la funzione soddisfa l'equazione .

Soluzione. La funzione dipende da xey tramite un argomento intermedio, quindi

Sostituendo le derivate parziali nella parte sinistra dell'equazione, abbiamo:

Cioè, la funzione z soddisfa l'equazione data.

Derivata in una data direzione e gradiente di una funzione

1°. Derivata di una funzione in una data direzione. derivato funzioni z= f(x,y) in questa direzione chiamato , dove e sono i valori della funzione nei punti e . Se la funzione z è derivabile, allora la formula

dove sono gli angoli tra la direzione l e relativi assi coordinati. La derivata in una data direzione caratterizza la velocità di variazione della funzione in questa direzione.

Esempio. Trova la derivata della funzione z \u003d 2x 2 - Zu 2 nel punto P (1; 0) nella direzione che forma un angolo di 120 ° con l'asse OX.

Soluzione. Troviamo le derivate parziali di questa funzione e i loro valori nel punto P .

Viene data la dimostrazione della formula per la derivata di una funzione complessa. Vengono considerati in dettaglio i casi in cui una funzione complessa dipende da una o due variabili. Si fa una generalizzazione al caso numero arbitrario variabili.

Contenuto

Guarda anche: Esempi di applicazione della formula per la derivata di una funzione complessa

Formule di base

Qui presentiamo la conclusione le seguenti formule per la derivata di una funzione complessa.
Se poi
.
Se poi
.
Se poi
.

Derivata di una funzione complessa di una variabile

Si rappresenti una funzione di una variabile x come una funzione complessa nella forma seguente:
,
dove e ci sono alcune funzioni. La funzione è differenziabile per qualche valore della variabile x . La funzione è differenziabile per il valore della variabile.
Allora la funzione complessa (composita) è differenziabile nel punto x e la sua derivata è determinata dalla formula:
(1) .

La formula (1) può anche essere scritta come segue:
;
.

Prova

Introduciamo la seguente notazione.
;
.
Qui c'è una funzione di variabili e , c'è una funzione di variabili e . Ma ometteremo gli argomenti di queste funzioni per non ingombrare i calcoli.

Poiché le funzioni e sono differenziabili rispettivamente nei punti x e , allora in questi punti ci sono derivate di queste funzioni, che sono i seguenti limiti:
;
.

Considera la seguente funzione:
.
Per un valore fisso della variabile u , è una funzione di . È ovvio che
.
Quindi
.

Poiché la funzione è una funzione differenziabile nel punto , allora è continua in quel punto. Ecco perchè
.
Quindi
.

Ora troviamo la derivata.

.

La formula è stata provata.

Conseguenza

Se una funzione della variabile x può essere rappresentata come una funzione complessa di una funzione complessa
,
quindi la sua derivata è determinata dalla formula
.
Qui e ci sono alcune funzioni differenziabili.

Per dimostrare questa formula, calcoliamo sequenzialmente la derivata secondo la regola di differenziazione di una funzione complessa.
Considera una funzione complessa
.
Il suo derivato
.
Considera la funzione originale
.
Il suo derivato
.

Derivata di una funzione complessa in due variabili

Ora lascia che una funzione complessa dipenda da più variabili. Prima considera caso di una funzione complessa di due variabili.

Sia rappresentata la funzione dipendente dalla variabile x come una funzione complessa di due variabili nella forma seguente:
,
dove
e ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x ;
è una funzione di due variabili, differenziabili nel punto , . Quindi la funzione complessa è definita in un intorno del punto e ha una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Poiché le funzioni e sono differenziabili nel punto , sono definite in qualche intorno di questo punto, sono continue nel punto e esistono le loro derivate nel punto, che sono i seguenti limiti:
;
.
Qui
;
.
A causa della continuità di queste funzioni in un punto, abbiamo:
;
.

Poiché la funzione è derivabile nel punto , è definita in un intorno di questo punto, è continua a questo punto e il suo incremento può essere scritto come segue:
(3) .
Qui

- funzione di incremento quando i suoi argomenti vengono incrementati dei valori e ;
;

- derivate parziali della funzione rispetto alle variabili e .
Per valori fissi di e , e ci sono funzioni delle variabili e . Tendono a zero come e :
;
.
Da e , allora
;
.

Incremento della funzione:

. :
.
Sostituto (3):



.

La formula è stata provata.

Derivata di una funzione complessa di più variabili

La suddetta derivazione è facilmente generalizzata al caso in cui il numero di variabili di una funzione complessa è maggiore di due.

Ad esempio, se f è funzione di tre variabili, poi
,
dove
, e ci sono funzioni differenziabili per alcuni valori della variabile x ;
è una funzione derivabile, in tre variabili, al punto , , .
Quindi, dalla definizione di derivabilità della funzione si ha:
(4)
.
Poiché, per continuità,
; ; ,
poi
;
;
.

Dividendo (4) per e passando al limite , otteniamo:
.

E infine, considera il caso più generale.
Si rappresenti una funzione di una variabile x come una funzione complessa di n variabili nella forma seguente:
,
dove
ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x ;
- funzione derivabile di n variabili in un punto
, , ... , .
Quindi
.

Guarda anche: