1) Ambito della funzione e gamma di funzioni.

L'ambito di una funzione è l'insieme di tutti i valori validi validi dell'argomento X(variabile X) per cui la funzione y = f(x) definito. L'intervallo di una funzione è l'insieme di tutti i valori reali y che la funzione accetta.

Nella matematica elementare, le funzioni sono studiate solo sull'insieme dei numeri reali.

2) Funzione zeri.

Zero della funzione è il valore dell'argomento in cui il valore della funzione è uguale a zero.

3) Intervalli di costanza di segno di una funzione.

Gli intervalli di segno costante di una funzione sono tali insiemi di valori di argomento su cui i valori della funzione sono solo positivi o solo negativi.

4) Monotonia della funzione.

Una funzione crescente (in un certo intervallo) è una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde a un valore maggiore della funzione.

Funzione decrescente (in alcuni intervalli): una funzione in cui un valore maggiore dell'argomento da questo intervallo corrisponde a un valore minore della funzione.

5) Funzioni pari (dispari)..

Una funzione pari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.

Una funzione dispari è una funzione il cui dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza f(-x) = - f(x). Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.

6) Funzioni limitate e illimitate.

Una funzione si dice limitata se esiste numero positivo M tale che |f(x)| ≤ M per tutti i valori di x . Se non esiste un tale numero, la funzione è illimitata.

7) Periodicità della funzione.

Una funzione f(x) è periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x dal dominio della funzione, f(x+T) = f(x). Questo numero più piccolo è chiamato periodo della funzione. Tutto funzioni trigonometriche sono periodici. (Formule trigonometriche).

19. Fondamentale funzioni elementari, le loro proprietà e grafici. Applicazione delle funzioni nell'economia.

Funzioni elementari di base. Le loro proprietà e grafici

1. Funzione lineare.

Funzione lineare è chiamata funzione della forma , dove x è una variabile e e b sono numeri reali.

Numero un detta pendenza di una retta, è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione di questa retta alla direzione positiva dell'asse x. Il grafico di una funzione lineare è una retta. È definito da due punti.

Proprietà della funzione lineare

1. Dominio di definizione: l'insieme di tutti i numeri reali: D (y) \u003d R

2. L'insieme dei valori è l'insieme di tutti i numeri reali: E(y)=R

3. La funzione assume un valore zero per o.

4. La funzione aumenta (diminuisce) sull'intero dominio di definizione.

5. La funzione lineare è continua sull'intero dominio di definizione, derivabile e .

2. Funzione quadratica.

Viene chiamata una funzione della forma, dove x è una variabile, i coefficienti a, b, c sono numeri reali quadratico.

Probabilità a, b, c determinare la posizione del grafico sul piano delle coordinate

Il coefficiente a determina la direzione dei rami. Il grafico di una funzione quadratica è una parabola. Le coordinate del vertice della parabola si trovano con le formule:

Proprietà della funzione:

2. Un insieme di valori di uno degli intervalli: o.

3. La funzione assume valori zero quando , dove il discriminante è calcolato con la formula:.

4. La funzione è continua in tutto il dominio di definizione e la derivata della funzione è uguale a .

Teorema sul limite di una funzione monotona. La dimostrazione del teorema è data usando due metodi. Vengono inoltre fornite le definizioni di funzioni strettamente crescenti, non decrescenti, rigorosamente decrescenti e non crescenti. Definizione di funzione monotona.

Contenuto

La funzione non è limitata dall'alto

1.1. Sia finito il numero b: .
1.1.2. Lascia che la funzione sia illimitata dall'alto.

.

a .

Indichiamo . Quindi per qualsiasi esiste, quindi
a .
Ciò significa che il limite a sinistra nel punto b è (vedi "Definizioni dei limiti infiniti unilaterali di una funzione nel punto finale").

b presto più infinito

Funzione limitata dall'alto

1. Lasciare che la funzione non diminuisca sull'intervallo.
1.2.1. Sia delimitata dall'alto la funzione dal numero M : for .
Proviamo che in questo caso c'è un limite.

Poiché la funzione è limitata dall'alto, esiste un limite superiore finito
.
Secondo la definizione del limite minimo superiore, sono soddisfatte le seguenti condizioni:
;
per ogni positivo c'è un argomento per il quale
.

Poiché la funzione non diminuisce, allora per . Poi a. O
a .

Quindi abbiamo scoperto che per ogni esiste un numero , quindi quello
a .
"Definizioni di limiti unilaterali all'infinito").

La funzione non è limitata dall'alto

1. Lasciare che la funzione non diminuisca sull'intervallo.
1.2. Sia il numero b più infinito: .
1.2.2. Lascia che la funzione sia illimitata dall'alto.
Proviamo che in questo caso c'è un limite.

Poiché la funzione non è delimitata dall'alto, per qualsiasi numero M esiste un argomento , per il quale
.

Poiché la funzione non diminuisce, allora per . Poi a.

Quindi, per ogni c'è un numero , quindi quello
a .
Ciò significa che il limite a è (vedere "Definizioni dei limiti infiniti unilaterali all'infinito").

La funzione non aumenta

Consideriamo ora il caso in cui la funzione non aumenta. Puoi, come sopra, considerare ciascuna opzione separatamente. Ma li copriremo subito. Per questo usiamo . Proviamo che in questo caso c'è un limite.

Considera il limite inferiore finito dell'insieme dei valori delle funzioni:
.
Qui B può essere un numero finito o un punto all'infinito. Secondo la definizione del minimo esatto, sono soddisfatte le seguenti condizioni:
;
per ogni intorno del punto B c'è un argomento per il quale
.
Per la condizione del teorema, . Ecco perchè .

Poiché la funzione non aumenta, allora per . Perché poi
a .
O
a .
Inoltre, notiamo che la disuguaglianza definisce l'intorno perforato sinistro del punto b .

Quindi, abbiamo trovato che per ogni intorno del punto, c'è un tale intorno sinistro perforato del punto b che
a .
Ciò significa che il limite a sinistra al punto b è:

(vedi la definizione universale del limite di una funzione secondo Cauchy).

Limite al punto a

Ora mostriamo che c'è un limite nel punto a e troviamo il suo valore.

Consideriamo una funzione. Per la condizione del teorema, la funzione è monotona per . Sostituiamo la variabile x con -x (oppure eseguiamo la sostituzione e poi sostituiamo la variabile t con x ). Quindi la funzione è monotona per . Moltiplicando le disuguaglianze per -1 e cambiando il loro ordine, concludiamo che la funzione è monotona per .

Allo stesso modo, è facile dimostrare che se non diminuisce, non aumenta. Poi, secondo quanto sopra dimostrato, c'è un limite
.
Se non aumenta, non diminuisce. In questo caso c'è un limite
.

Ora resta da mostrare che se c'è un limite della funzione in , allora c'è un limite della funzione in , e questi limiti sono uguali:
.

Introduciamo la notazione:
(1) .
Esprimiamo f in termini di g :
.
Prendi un numero positivo arbitrario. Sia un intorno epsilon del punto A . Il quartiere di Epsilon è definito sia per valori finiti che infiniti di A (vedi "Quarto di un punto"). Poiché esiste un limite (1), quindi, secondo la definizione di limite, per ogni esiste tale che
a .

Sia a un numero finito. Esprimiamo l'intorno perforato a sinistra del punto -a usando le disuguaglianze:
a .
Sostituiamo x con -x e teniamo conto che:
a .
Le ultime due disuguaglianze definiscono un intorno destro perforato del punto a . Quindi
a .

Sia a un numero infinito, . Ripetiamo la discussione.
a ;
a ;
a ;
a .

Quindi, abbiamo scoperto che per qualsiasi esiste tale
a .
Significa che
.

Il teorema è stato dimostrato.

Guarda anche:

Lezione e presentazione sull'argomento: "Proprietà di una funzione. Incremento e decremento di funzione"

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Ragazzi, continuiamo a studiare le funzioni numeriche. Oggi ci concentreremo su un argomento come le proprietà delle funzioni. Le funzioni hanno molte proprietà. Ricorda quali proprietà abbiamo studiato di recente. Esatto, ambito e ambito, sono una delle proprietà chiave. Non dimenticarli mai e ricorda che una funzione ha sempre queste proprietà.

In questa sezione definiremo alcune proprietà delle funzioni. Consiglio di seguire l'ordine in cui li determineremo quando si risolvono i problemi.

Funzione crescente e decrescente

La prima proprietà che definiremo è l'aumento e la diminuzione della funzione.

Una funzione si dice crescente su un insieme X⊂D(f) se per ogni x1 e x2 tale che x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Una funzione si dice decrescente sull'insieme X⊂D(f) se per ogni x1 e x2 tale che x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Cioè, un valore più grande dell'argomento corrisponde a un valore più piccolo della funzione.

I concetti di "aumento" e "diminuzione" di una funzione sono molto facili da capire se si osservano da vicino i grafici della funzione. Per una funzione crescente: saliamo in un certo senso in salita, per una funzione decrescente, rispettivamente, scendiamo. Forma generale Le funzioni crescente e decrescente sono presentate nei grafici seguenti.

L'aumento e la diminuzione di una funzione è generalmente chiamato monotonia. Cioè, il nostro compito è trovare gli intervalli di funzioni decrescenti e crescenti. Nel caso generale, questo è formulato come segue: trova intervalli di monotonia o esamina una funzione per la monotonia.

Indagare la monotonia della funzione $y=3x+2$.
Soluzione: controlla la funzione per qualsiasi x1 e x2 e lascia x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Perché, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Limitazione delle funzioni

Una funzione $y=f(x)$ si dice limitata dal basso su un insieme X⊂D(f) se esiste un numero a tale che per ogni xϵX la disuguaglianza f(x)< a.

Una funzione $y=f(x)$ si dice limitata dall'alto su un insieme X⊂D(f) se esiste un numero a tale che per ogni xϵX la disuguaglianza f(x)< a.

Se l'intervallo X non è indicato, si considera che la funzione è limitata all'intero dominio di definizione. Una funzione limitata sia sopra che sotto è chiamata limitata.

La limitazione della funzione è facilmente leggibile dal grafico. È possibile tracciare una linea retta
$y=a$, e se la funzione è maggiore di questa riga, allora è delimitata dal basso. Se sotto, allora rispettivamente sopra. Di seguito è riportato un grafico di una funzione di limite inferiore. Programma funzione limitata Ragazzi, provate a disegnare voi stessi.

Esaminare il limite della funzione $y=\sqrt(16-x^2)$.
Soluzione: la radice quadrata di un numero è maggiore o uguale a zero. Ovviamente anche la nostra funzione è maggiore o uguale a zero, cioè è delimitata dal basso.
Possiamo solo estrarre la radice quadrata da numero non negativo, quindi $16-x^2≥0$.
La soluzione alla nostra disuguaglianza sarà l'intervallo [-4;4]. Su questo segmento $16-x^2≤16$ o $\sqrt(16-x^2)≤4$, ma questo significa limite dall'alto.
Risposta: la nostra funzione è limitata da due righe $y=0$ e $y=4$.

Valore massimo e valore minimo

Il valore più piccolo della funzione y= f(x) sull'insieme Х⊂D(f) è un numero m, tale che:

b) Per ogni xϵX vale $f(x)≥f(x0)$.

Il massimo valore della funzione y=f(x) sull'insieme Х⊂D(f) è un numero m, tale che:
a) C'è qualche x0 tale che $f(x0)=m$.
b) Per ogni xϵX, $f(x)≤f(x0)$ è soddisfatto.

Il valore più grande e più piccolo è generalmente indicato con y max. e y nome. .

I concetti di limite e il più grande con il valore più piccolo di una funzione sono strettamente correlati. Sono vere le seguenti affermazioni:
a) Se esiste un valore più piccolo per una funzione, allora è limitato dal basso.
b) Se esiste un valore massimo per una funzione, allora è limitato dall'alto.
c) Se la funzione non è delimitata dall'alto, non esiste un valore massimo.
d) Se la funzione non è delimitata al di sotto, il valore più piccolo non esiste.

Trova il valore più grande e più piccolo della funzione $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Soluzione: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Per $x=4$ $f(4)=5$, per tutti gli altri valori, la funzione assume valori più piccoli o non esiste, cioè questo è il valore più grande della funzione.
Per definizione: $9-4x^2+16x≥0$. Troviamo le radici trinomio quadrato$(2x+1)(2x-9)≥0$. A $x=-0.5$ e $x=4.5$ la funzione svanisce, in tutti gli altri punti è maggiore di zero. Quindi, per definizione, il valore più piccolo della funzione è zero.
Risposta: y max. =5 e y min. =0.

Ragazzi, abbiamo anche studiato i concetti di convessità di una funzione. Quando si risolvono alcuni problemi, potremmo aver bisogno di questa proprietà. Questa proprietà è anche facilmente determinabile utilizzando i grafici.

La funzione è convessa verso il basso se sono collegati due punti qualsiasi del grafico della funzione originale e il grafico della funzione è al di sotto della linea che collega i punti.

La funzione è convessa verso l'alto se sono collegati due punti qualsiasi del grafico della funzione originale e il grafico della funzione è sopra la linea che collega i punti.

Una funzione è continua se il grafico della nostra funzione non ha discontinuità, come il grafico della funzione sopra.

Se vuoi trovare le proprietà di una funzione, la sequenza di ricerca delle proprietà è la seguente:
a) Dominio di definizione.
b) Monotonia.
c) limitazione.
d) Il valore più grande e più piccolo.
e) Continuità.
f) Intervallo di valori.

Trova le proprietà della funzione $y=-2x+5$.
Soluzione.
a) Dominio di definizione D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Controlliamo eventuali valori x1 e x2 e lasciamo x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Perché x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) limitazione. Ovviamente, la funzione non è limitata.
d) Il valore più grande e più piccolo. Poiché la funzione non è limitata, non esiste un valore massimo o minimo.
e) Continuità. Il grafico della nostra funzione non ha spazi vuoti, quindi la funzione è continua.
f) Intervallo di valori. E(y)=(-∞;+∞).

Compiti sulle proprietà di una funzione per soluzione indipendente

Trova le proprietà della funzione:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Si noti che tutte le definizioni includono un insieme numerico X, che fa parte del dominio della funzione: X con D(f). In pratica, molto spesso ci sono casi in cui X è un intervallo numerico (segmento, intervallo, raggio, ecc.).

Definizione 1.

Una funzione y \u003d f (x) è chiamata crescente su un insieme X con D (f) se per due punti qualsiasi x 1 e x 2 dell'insieme X tale che x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definizione 2.

Una funzione y \u003d f (x) è chiamata decrescente su un insieme X con D (f) se per qualsiasi monotonia di due punti x 1 e x 2 dell'insieme X, tale che x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

In pratica è più conveniente utilizzare le seguenti formulazioni: la funzione aumenta se al valore maggiore della funzione corrisponde il valore maggiore dell'argomento; la funzione è decrescente se il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore minore della funzione.

Nel 7° e 8° grado, abbiamo utilizzato la seguente interpretazione geometrica dei concetti di funzioni crescenti o decrescenti: spostandoci lungo il grafico di una funzione crescente da sinistra a destra, si sale in una sorta di salita (Fig. 55); muovendoci lungo il grafico di una funzione decrescente da sinistra a destra, come se stessimo scendendo da una collina (Fig. 56).
Solitamente i termini "funzione crescente", "funzione decrescente" sono uniti da un nome comune funzione monotona, e lo studio di una funzione per aumentare o diminuire è chiamato studio di una funzione per monotonia.

Notiamo un'altra circostanza: se una funzione è crescente (o decrescente) nel suo dominio naturale di definizione, allora si dice solitamente che la funzione è crescente (o decrescente) - senza specificare numero impostato X.

Esempio 1

Esaminare la funzione per la monotonia:

un) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Soluzione:

a) Prendi valori arbitrari dell'argomento x 1 e x 2 e lascia x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

L'ultima disuguaglianza significa che f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Quindi da x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), il che significa che la funzione data è decrescente (su tutta la linea dei numeri).

Definizione 3.

La funzione y - f(x) si chiama delimitata dal basso sull'insieme X con D (f) se tutti i valori della funzione sull'insieme X sono maggiori di un certo numero (in altre parole, se esiste un numero m tale che per ogni valore x є X la disuguaglianza f( x) >m).

Definizione 4.

La funzione y \u003d f (x) è chiamata delimitata dall'alto sull'insieme X con D (f) se tutti i valori della funzione sono inferiori a un certo numero (in altre parole, se esiste un numero M tale che per qualsiasi valore x є X la disuguaglianza f (x)< М).

Se l'insieme X non è specificato, si assume che la funzione sia limitata dal basso o dall'alto nell'intero dominio di definizione.

Se una funzione è limitata sia dal basso che dall'alto, viene chiamata limitata.

La limitatezza di una funzione è facilmente leggibile dal suo grafico: se la funzione è delimitata dal basso, il suo grafico si trova interamente sopra una linea orizzontale y \u003d m (Fig. 57); se la funzione è delimitata dall'alto, il suo grafico si trova interamente al di sotto di una linea orizzontale y \u003d M (Fig. 58).

Esempio 2 Esaminare una funzione per il limite
Soluzione. Da un lato, la disuguaglianza è abbastanza ovvia (per definizione radice quadrata Ciò significa che la funzione è delimitata dal basso. D'altra parte, abbiamo e quindi
Ciò significa che la funzione è delimitata dall'alto. Ora guarda il grafico data funzione(Fig. 52 dal paragrafo precedente). Il limite della funzione sia dall'alto che dal basso si legge abbastanza facilmente dal grafico.

Definizione 5.

Il numero m è chiamato il valore più piccolo della funzione y \u003d f (x) sull'insieme X C D (f), se:

1) in X esiste un punto x 0 tale che f(x 0) = m;

2) per ogni x da X la disuguaglianza m>f(х 0) è soddisfatta.

Definizione 6.

Il numero M è chiamato il valore più grande della funzione y \u003d f (x) sull'insieme X C D (f), se:
1) in X esiste un punto x 0 tale che f(x 0) = M;
2) per ogni x da X, la disuguaglianza
Valore più basso abbiamo indicato le funzioni in entrambi i gradi 7th e 8th con il simbolo y e la più grande - con il simbolo y.

Se l'insieme X non è specificato, allora si tratta di trovare il valore più piccolo o più grande della funzione nell'intero dominio di definizione.

Le seguenti utili affermazioni sono abbastanza ovvie:

1) Se una funzione ha Y, allora è limitata dal basso.
2) Se una funzione ha Y, allora è limitata dall'alto.
3) Se la funzione non è delimitata sotto, allora Y non esiste.
4) Se la funzione non è delimitata dall'alto, allora Y non esiste.

Esempio 3

Trova il più piccolo e maggior valore funzioni
Soluzione.

È abbastanza ovvio, soprattutto se si ricorre al grafico della funzione (Fig. 52), that = 0 (la funzione raggiunge questo valore nei punti x = -3 e x = 3), a = 3 (la funzione raggiunge questo valore nel punto x = 0.
In 7th e 8th grade, abbiamo menzionato altre due proprietà delle funzioni. La prima è stata chiamata proprietà di convessità di una funzione. Si considera che una funzione è convessa verso il basso sull'intervallo X se, collegando due punti qualsiasi del suo grafico (con ascisse da X) con un segmento di retta, troviamo che la parte corrispondente del grafico giace al di sotto del segmento disegnato ( Fig. 59). continuità Una funzione è convessa verso l'alto sull'intervallo X se, collegando due punti qualsiasi del suo grafico (con ascisse da X) con un segmento di retta, troviamo che la parte corrispondente del grafico si trova al di sopra del segmento disegnato (Fig. 60 ).

La seconda proprietà - la continuità della funzione sull'intervallo X - significa che il grafico della funzione sull'intervallo X è continuo, cioè non ha forature e salti.

Commento.

In matematica, infatti, tutto è, come si suol dire, “esattamente il contrario”: il grafico di una funzione viene rappresentato come una linea continua (senza forature e salti) solo quando viene dimostrata la continuità della funzione. Ma la definizione formale della continuità di una funzione, che è piuttosto complessa e sottile, è ancora al di là delle nostre forze. Lo stesso si può dire della convessità di una funzione. Discutendo queste due proprietà delle funzioni, continueremo a fare affidamento su rappresentazioni visivo-intuitive.

Ora esaminiamo le nostre conoscenze. Ricordando le funzioni che abbiamo studiato nelle classi 7° e 8°, chiariremo come appaiono i loro grafici ed elencheremo le proprietà della funzione, aderendo a un certo ordine, ad esempio: dominio di definizione; monotono; limitazione; , ; continuità; gamma di valori; convesso.

Successivamente, verranno visualizzate nuove proprietà delle funzioni e l'elenco delle proprietà cambierà di conseguenza.

1. Funzione costante y \u003d C

Il grafico della funzione y \u003d C è mostrato in fig. 61 - linea retta, parallela all'asse x. Questa è una funzione così poco interessante che non ha senso elencarne le proprietà.

Il grafico della funzione y \u003d kx + m è una linea retta (Fig. 62, 63).

Proprietà della funzione y \u003d kx + m:

1)
2) aumenta se k > 0 (Fig. 62), diminuisce se k< 0 (рис. 63);

4) non ci sono né i valori più grandi né quelli più piccoli;
5) la funzione è continua;
6)
7) non ha senso parlare di convessità.

Il grafico della funzione y \u003d kx 2 è una parabola con un vertice all'origine e con rami diretti verso l'alto se k\u003e O (Fig. 64) e verso il basso se k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Proprietà della funzione y - kx 2:

Per il caso k > 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = non esiste;
5) continuo;
6) Å(f) = la funzione decresce, e sull'intervallo , decresce sul raggio;
7) convesso verso l'alto.

Il grafico della funzione y \u003d f (x) è costruito punto per punto; più punti della forma (x; f (x)) prendiamo, più accurata è l'idea del grafico che otteniamo. Se prendiamo molti di questi punti, l'idea del grafico sarà più completa. È in questo caso che l'intuizione ci dice che il grafico deve essere tracciato come una linea continua (in questo caso, come una parabola). E poi, leggendo il grafico, traiamo conclusioni sulla continuità della funzione, sulla sua convessità verso il basso o verso l'alto, sull'intervallo della funzione. Devi capire che delle sette proprietà elencate, solo le proprietà 1), 2), 3), 4) sono "legittime" nel senso che siamo in grado di sostanziarle, facendo riferimento a definizioni precise. Abbiamo solo rappresentazioni visivo-intuitive sulle proprietà rimanenti. A proposito, non c'è niente di sbagliato in questo. È noto dalla storia dello sviluppo della matematica che l'umanità ha usato spesso e per lungo tempo varie proprietà di determinati oggetti, non sapendo definizioni precise. Poi, quando si sono potute formulare tali definizioni, tutto è andato a posto.

Il grafico della funzione è un'iperbole, gli assi delle coordinate fungono da asintoti dell'iperbole (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) se k > 0, allora la funzione decresce sul raggio aperto (-oo, 0) e sul raggio aperto (0, +oo) (Fig. 66); se< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) non è limitato né dal basso né dall'alto;
4) non esiste né il valore più piccolo né quello più grande;
5) la funzione è continua sul raggio aperto (-oo, 0) e sul raggio aperto (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) se k > 0, allora la funzione è convessa verso l'alto in x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, cioè sul fascio aperto (0, +oo) (Fig. 66). Se< 0, то функция выпукла вверх при х >o e convesso in x< О (рис. 67).
Il grafico della funzione è un ramo della parabola (Fig. 68). Proprietà della funzione:
1) D(f) = , aumenta sul raggio )