2. L'insieme R è denso: tra due vari numeri a e b contiene un numero infinito di numeri reali X, cioè numeri che soddisfano la disuguaglianza a

C'è anche una terza proprietà, ma è enorme, mi dispiace

Set limitati. Proprietà bordo superiore e inferiore.

serie limitata- un insieme che in un certo senso ha una dimensione finita.

delimitata dall'alto, se esiste un numero tale che tutti gli elementi non superano :

Viene chiamato l'insieme dei numeri reali delimitata dal basso, se c'è un numero ,

tale che tutti gli elementi siano almeno:

Viene chiamato un insieme limitato sopra e sotto limitato.

Viene chiamato un insieme che non è limitato illimitato. Come segue dalla definizione, un insieme non è limitato se e solo se esso non limitato dall'alto o illimitato dal basso.

Sequenza numerica. Limite di sequenza. Lemma su due poliziotti.

Sequenza numericaè una sequenza di elementi dello spazio numerico.

Sia l'insieme dei numeri reali o l'insieme dei numeri complessi. Quindi viene chiamata la sequenza di elementi dell'insieme sequenza numerica.

Esempio.

La funzione è una sequenza infinita di numeri razionali. Gli elementi di questa sequenza, a partire dal primo, hanno la forma .

Limite di sequenzaè l'oggetto che i membri della sequenza si avvicinano all'aumentare del numero. In particolare, per le sequenze numeriche, il limite è un numero in un qualsiasi intorno di cui giacciono tutti i membri della sequenza, a partire da qualcuno.

Il teorema dei due poliziotti...

Se la funzione è tale che per tutti in un intorno del punto , e le funzioni e hanno lo stesso limite in , allora c'è un limite della funzione in , uguale allo stesso valore, cioè

L'insieme dei numeri naturali è formato dai numeri 1, 2, 3, 4, ... usati per contare gli oggetti. L'insieme di tutti i numeri naturali è solitamente indicato dalla lettera n :

n = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Leggi di addizione dei numeri naturali

1. Per qualsiasi numero naturale un e B vera uguaglianza un + B = B + un . Questa proprietà è chiamata legge dell'addizione commutativa (commutativa).

2. Per qualsiasi numero naturale un, B, C vera uguaglianza (un + B) + C = un + (B + C) . Questa proprietà è chiamata legge di addizione combinata (associativa).

Leggi della moltiplicazione dei numeri naturali

3. Per qualsiasi numero naturale un e B vera uguaglianza ab = ba. Questa proprietà è chiamata legge commutativa (commutativa) della moltiplicazione.

4. Per qualsiasi numero naturale un, B, C vera uguaglianza (unB)C = un(BC) . Questa proprietà è chiamata legge di moltiplicazione combinata (associativa).

5. Per qualsiasi valore un, B, C vera uguaglianza (un + B)C = corrente alternata + avanti Cristo . Questa proprietà è chiamata legge distributiva (distributiva) della moltiplicazione (rispetto all'addizione).

6. Per qualsiasi valore un vera uguaglianza un*1 = un. Questa proprietà è chiamata legge di moltiplicazione per uno.

Il risultato della somma o della moltiplicazione di due numeri naturali è sempre un numero naturale. Oppure, per dirla diversamente, queste operazioni possono essere eseguite rimanendo nell'insieme dei numeri naturali. Quanto alla sottrazione e alla divisione, questo non si può dire: ad esempio, dal numero 3 è impossibile, restando nell'insieme dei numeri naturali, sottrarre il numero 7; Il numero 15 non può essere diviso per 4.

Segni di divisibilità dei numeri naturali

divisibilità dell'importo. Se ogni termine è divisibile per un numero, allora anche la somma è divisibile per quel numero.

Divisibilità dell'opera. Se almeno uno dei fattori in un prodotto è divisibile per un certo numero, anche il prodotto è divisibile per questo numero.

Queste condizioni, sia per la somma che per il prodotto, sono sufficienti ma non necessarie. Ad esempio, il prodotto 12*18 è divisibile per 36, sebbene né 12 né 18 siano divisibili per 36.

Segno di divisibilità per 2. Perché un numero naturale sia divisibile per 2, è necessario e sufficiente che la sua ultima cifra sia pari.

Il segno di divisibilità per 5. Perché un numero naturale sia divisibile per 5, è necessario e sufficiente che la sua ultima cifra sia 0 o 5.

Il segno di divisibilità per 10. Perché un numero naturale sia divisibile per 10, è necessario e sufficiente che la cifra delle unità sia 0.

Il segno di divisibilità per 4. Affinché un numero naturale contenente almeno tre cifre sia divisibile per 4, è necessario e sufficiente che le ultime cifre siano 00, 04, 08 oppure il numero a due cifre formato dalle ultime due cifre di tale numero sia divisibile per 4.

Segno di divisibilità per 2 (per 9). Affinché un numero naturale sia divisibile per 3 (per 9), è necessario e sufficiente che la somma delle sue cifre sia divisibile per 3 (per 9).

Insieme di numeri interi

Considera una retta numerica con l'origine nel punto o. La coordinata del numero zero su di esso sarà un punto o. I numeri che si trovano su una linea numerica in una data direzione sono detti numeri positivi. Sia dato un punto sulla retta dei numeri UN con coordinata 3. Corrisponde al numero positivo 3. Mettiamo ora da parte tre volte il segmento unitario dal punto o, nella direzione opposta a quella data. Allora otteniamo un punto UN", simmetrico al punto UN rispetto all'origine o. coordinata del punto UN" ci sarà un numero - 3. Questo è il numero opposto al numero 3. I numeri situati sulla linea dei numeri nella direzione opposta a quella data sono chiamati numeri negativi.

I numeri opposti ai numeri naturali formano un insieme di numeri N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Se combiniamo i set n , N" e set singleton {0} , quindi otteniamo un set Z tutti i numeri interi:

Z = {0} ∪ n ∪ N" .

Per gli interi, tutte le leggi di addizione e moltiplicazione sopra elencate sono vere, che sono vere per i numeri naturali. Inoltre, vengono aggiunte le seguenti leggi di sottrazione:

un - B = un + (- B) ;

un + (- un) = 0 .

Insieme di numeri razionali

Per rendere fattibile l'operazione di divisione degli interi per qualsiasi numero diverso da zero, vengono introdotte le frazioni:

Dove un e B sono numeri interi e B non uguale a zero.

Se aggiungiamo l'insieme di tutte le frazioni positive e negative all'insieme degli interi, otteniamo l'insieme dei numeri razionali Q :

.

Inoltre, ogni intero è anche un numero razionale, poiché, ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come , dove numeratore e denominatore sono interi. Questo è importante nelle operazioni sui numeri razionali, uno dei quali può essere un intero.

Leggi delle operazioni aritmetiche sui numeri razionali

Proprietà di base di una frazione. Se il numeratore e il denominatore di una data frazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, si ottiene una frazione uguale a quella data:

Questa proprietà viene utilizzata per ridurre le frazioni.

Aggiunta di frazioni. L'addizione delle frazioni ordinarie è definita come segue:

.

Cioè, per sommare frazioni con denominatori diversi, le frazioni vengono ridotte a un denominatore comune. In pratica, quando si sommano (sottraggono) frazioni con denominatori diversi, le frazioni vengono ridotte al minimo comune denominatore. Ad esempio, in questo modo:

Per sommare frazioni con lo stesso numeratore, basta sommare i numeratori e lasciare lo stesso denominatore.

Moltiplicazione delle frazioni. La moltiplicazione delle frazioni ordinarie è definita come segue:

Cioè, per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivere il prodotto nel numeratore della nuova frazione e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivi il prodotto al denominatore della nuova frazione.

Divisione delle frazioni. La divisione delle frazioni ordinarie è così definita:

Cioè, per dividere una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivere il prodotto nel numeratore della nuova frazione e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivi il prodotto al denominatore della nuova frazione.

Elevare una frazione a potenza con esponente naturale. Questa operazione è definita come segue:

Cioè, per elevare una frazione a potenza, il numeratore viene elevato a quella potenza e il denominatore viene elevato a quella potenza.

Decimali periodici

Teorema. Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione periodica finita o infinita.

Per esempio,

.

Un gruppo di cifre ripetuto in modo coerente dopo il punto decimale nella notazione decimale di un numero è chiamato punto e una frazione decimale finita o infinita che ha un tale periodo nella sua notazione è chiamata periodica.

In questo caso, qualsiasi frazione decimale finita è considerata una frazione periodica infinita con zero nel periodo, ad esempio:

Anche il risultato dell'addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (tranne la divisione per zero) di due numeri razionali è un numero razionale.

L'insieme dei numeri reali

Sulla retta dei numeri, che abbiamo considerato in relazione all'insieme degli interi, possono esserci punti che non hanno coordinate sotto forma di un numero razionale. Pertanto, non esiste un numero razionale il cui quadrato sia 2. Pertanto, il numero non è un numero razionale. Inoltre, non esistono numeri razionali i cui quadrati siano uguali a 5, 7, 9. Pertanto, i numeri , , sono irrazionali. Anche il numero è irrazionale.

Nessun numero irrazionale può essere rappresentato come una frazione periodica. Sono rappresentati come frazioni non periodiche.

L'unione degli insiemi di numeri razionali e irrazionali è l'insieme dei numeri reali R .

Definizione 19. Molti e chiamata aprire se tutti i suoi punti sono interni, cioè se non contiene i suoi punti limite.

Definizione 20. Molti e chiamata Chiuso , se contiene tutti i suoi punti limite, cioè. (Altrimenti,
).

Esempio 1 Qualsiasi n L'integrale -dimensionale è un insieme aperto. Qualsiasi segmento è un insieme chiuso.

Dovresti prestare particolare attenzione al fatto che le classi di insiemi chiusi e aperti non coprono tutti gli insiemi insieme, inoltre, queste classi si intersecano. Ci sono insiemi che non sono né chiusi né aperti, così come insiemi che sono sia chiusi che aperti allo stesso tempo.

Esempio 2 L'insieme vuoto è da considerarsi chiuso, sebbene sia contemporaneamente aperto. Molti R i numeri reali sono sia chiusi che aperti allo stesso tempo.

Molti Q i numeri razionali non sono né chiusi né aperti. Un semiintervallo lineare non è né un insieme chiuso né aperto.

Teorema 3. Qualsiasi palla S(un, R) - set aperto.

Prova:

Lascia stare. Prendiamo
. Dimostriamo che la palla
(questo significherà che qualsiasi punto della palla
- interno, cioè
è un set aperto). Prendiamolo. Dimostriamolo
, per questo stimiamo la distanza
:

Di conseguenza,
, cioè
, cioè S(un, R) - set aperto.

Teorema 4. Insieme derivato
qualsiasi insieme e Chiuso.

Prova:

Lascia stare
. Quindi in qualsiasi quartiere
punti c'è almeno un punto imposta
, diverso da . Perché - punto limite dell'insieme e, quindi in uno qualsiasi dei suoi quartieri (incluso uno arbitrariamente piccolo contenuto in
) c'è almeno un punto imposta e, diverso dal punto . Quindi, per definizione, il punto è un punto limite per l'insieme e. Così,
, che per definizione significa che l'insieme e.

Va notato che in un caso particolare l'insieme derivato
potrebbe essere vuoto.

Proprietà degli insiemi aperti e chiusi

Teorema 5. L'unione di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso.

Prova:

Lascia stare
sono insiemi chiusi. Dimostriamolo
è un insieme chiuso

Lascia stare - punto limite dell'insieme

. Quindi - punto limite di almeno uno dei set
(dimostrato per assurdo). Perché è un insieme chiuso, quindi
. Ma allora
. Quindi qualsiasi punto limite dell'insieme
gli appartiene, cioè
Chiuso.

Teorema 6. L'intersezione di un numero qualsiasi di insiemi chiusi è un insieme chiuso.

Prova:

Lascia stare
- eventuale raccolta di insiemi chiusi. Dimostriamolo
è un insieme chiuso

Lascia stare - punto limite dell'insieme

. Quindi, per il teorema 1, in ogni quartiere

. Ma tutti i punti del set
sono anche punti degli insiemi
. Pertanto, nel
contiene infiniti punti da
. Ma tutti i set chiuso, quindi

e
, cioè
Chiuso.

Teorema 7. Se il set Fè chiuso, quindi il suo complemento CF aprire.

Prova:

Lascia stare. Perché
chiuso, quindi non è il suo punto limite (
). Ma questo significa che c'è un quartiere
punti , che non contiene punti dell'insieme F, cioè
. Quindi
e quindi - punto interno dell'insieme
. Perché - punto arbitrario dell'insieme CF, allora tutti i punti di questo insieme sono interni, cioè CF aprire.

Teorema 8. Se il set G aperto, quindi il suo complemento CG Chiuso.

Prova:

Lascia insieme a qualche quartiere. Di conseguenza, non è un punto limite dell'insieme CG. Così,
non è un limite per
, cioè
contiene tutti i suoi punti limite. Per definizione,
Chiuso.

Teorema 9. L'unione di un numero qualsiasi di insiemi aperti è un insieme aperto.

Prova:

Lascia stare
- raccolta arbitraria di insiemi aperti e
. Dimostriamolo - set aperto. Abbiamo:

.

Dal momento che i set aprire
, quindi per il Teorema 8 gli insiemi
Chiuso
. Quindi per il Teorema 6 la loro intersezione

aprire.

Teorema 10. L'intersezione di un numero finito di insiemi aperti è un insieme aperto.

Prova:

Lascia stare
- intersezione di un numero finito di insiemi aperti
. Dimostriamolo - set aperto. Abbiamo:

.

Dal momento che i set aprire
, quindi per il Teorema 8 gli insiemi
Chiuso
. Quindi per il Teorema 5 la loro unione

Chiuso. Per il Teorema 7, l'insieme
aprire.

Definizione: Molti UN chiamata Chiuso rispetto all'operazione *, se il risultato dell'applicazione di tale operazione a qualsiasi elemento dell'insieme UNè anche un elemento dell'insieme UN. (Se per qualcuno a, bÎ UN, un*BÎ UN, quindi il set UN chiuso nell'ambito dell'operazione *)

Per provare la chiusura di un insieme rispetto all'operazione, è necessario o verificarla mediante l'enumerazione diretta di tutti i casi (Esempio 1b), oppure svolgere un ragionamento in forma generale (Esempio 2). Per confutare la chiusura è sufficiente fare un esempio che dimostri la violazione della chiusura (Esempio 1a).

Esempio 1.

Lascia stare UN = {0;1}.

a) Come operazione *, prendiamo l'operazione aritmetica di addizione (+). Esplorando il set UN per chiusura rispetto all'operazione di addizione (+):

0 + 1 = 1 О UN; 0 + 0 = 0 О UN; 1 + 0 = 1О UN; 1 + 1 = 2 П UN.

Abbiamo che in un caso (1 + 1) il risultato dell'applicazione dell'operazione (+) agli elementi dell'insieme UN non appartiene all'insieme UN. Sulla base di ciò, concludiamo che il set UN non è chiuso durante l'operazione di addizione.

b) Ora, come operazione *, prendiamo l'operazione di moltiplicazione (×).

0×1 = 0 О UN; 0×0 = 0 О UN; 1×0 = 0 О UN; 1×1 = 1 О UN.

Per qualsiasi elemento del set UN anche il risultato dell'applicazione dell'operazione di moltiplicazione è un elemento dell'insieme UN. Di conseguenza, UN chiuso sotto l'operazione di moltiplicazione.

Esempio 2.

Indagare per la chiusura in quattro operazioni aritmetiche l'insieme di interi che sono multipli di 7.

Z 7 = {7n, nÎ Z ) è l'insieme dei numeri che sono multipli di sette.

È ovvio che Z 7 non è chiusa rispetto all'operazione di scissione, poiché, ad esempio,

7 О Z 7, 14 О Z 7 ma 7: 14 = ½ Ï Z 7 .

Proviamo la chiusura dell'insieme Z 7 in merito all'operazione di addizione. Lascia stare m, K sono numeri interi arbitrari, quindi 7 mÎ Z 7 e 7 KÎ Z 7. Considera la somma 7 m+ 7 K= 7∙(m+ K).

abbiamo mÎ Z , KÎ Z . Z è chiuso con l'aggiunta z m+ K = l- intero, cioè lÎ Z Þ 7 lÎ Z 7 .

Quindi, per numeri interi arbitrari m e K dimostrato che (7 m+ 7 K) Î Z 7. Pertanto, l'insieme Z 7 è chiuso per aggiunta. La chiusura sotto sottrazione e moltiplicazione è dimostrata in modo simile (fai da te).

1.

a) l'insieme dei numeri pari (in altre parole: l'insieme degli interi divisibili per 2( Z 2));

b) l'insieme degli interi negativi ( Z –);

in) UN = {0;1};

G) C= {–1;0;1}.

2. Esaminare i seguenti insiemi per la chiusura rispetto alle operazioni aritmetiche di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione:

a) un insieme di numeri dispari;

b) l'insieme dei numeri naturali la cui ultima cifra è zero;

in) B = {1};

G) D = {–1;1}.

3.

a) molti n numeri naturali;

b) impostare Q numeri razionali;

in) D = {–1;1};

d) un insieme di numeri dispari.

4. Esaminare i seguenti insiemi per la chiusura rispetto all'esponenziazione:

a) molti Z numeri interi;

b) impostare R numeri reali;

c) un insieme di numeri pari;

G) C = {–1; 0; 1}.

5. Lascia che il set G, costituito solo da numeri razionali, è chiuso per addizione.

a) Indicare tre numeri qualsiasi contenuti nell'insieme G, se è noto che contiene il numero 4.

b) Dimostrare che l'insieme G contiene il numero 2 se contiene i numeri 5 e 12.

6. Lascia che il set K, costituito solo da numeri interi, è chiuso per sottrazione.

a) Indicare tre numeri qualsiasi contenuti nell'insieme K, se è noto che contiene il numero 5.

b) Dimostrare che l'insieme K contiene il numero 6 se contiene i numeri 7 e 3.

7. Fornisci un esempio di un insieme costituito da numeri naturali e non chiuso nell'operazione:

a) aggiunta;

b) moltiplicazione.

8. Fornisci un esempio di un insieme contenente il numero 4 e chiuso in operazioni:

a) addizione e sottrazione;

Imposta i tipi della linea reale

Posizione del punto relativa all'insieme A

Quartieri a senso unico

Topologia della linea reale

Insiemi numerici

Gli insiemi di numeri di base sono sezione e intervallo(a; b).

Viene chiamato il numero impostato A delimitata dall'alto, se esiste un numero M tale che a £ M per ogni a í A. Il numero M in questo caso è chiamato faccia superiore o maggiore imposta.

Supremo insiemi A, sup A si chiama ...

... il più piccolo dei suoi maggiori;

… un numero M tale che una £ M per ogni a н A e in ogni intorno di M sia un elemento dell'insieme A;

Allo stesso modo, i concetti delimitata dal basso», « minorenne" (limite inferiore) e " minimo» (limite inferiore esatto).

Completezza della linea reale (formulazioni equivalenti)

1. Proprietà dei segmenti annidati. Siano dati i segmenti É É … É É … che hanno almeno un punto in comune. Se le lunghezze dei segmenti possono essere scelte arbitrariamente piccole, allora tale punto è unico.

Corollario: metodo dicotomico per teoremi di esistenza. Sia dato un segmento. Lo dividiamo a metà e scegliamo una delle metà (in modo che abbia la proprietà desiderata). Questa metà sarà indicata da . Continuiamo questo processo all'infinito. Otteniamo un sistema di segmenti nidificati le cui lunghezze si avvicinano a 0. Quindi, hanno esattamente un punto in comune. Resta da dimostrare che sarà quello richiesto.

2. Per ogni insieme non vuoto delimitato sopra, esiste un supremo.

3. Per due insiemi non vuoti qualsiasi, uno dei quali si trova a sinistra dell'altro, esiste un punto che li separa (l'esistenza di sezioni).

Quartiere:

U(x) = (a, b), a< x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Quartieri perforati:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ (x); Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) ​​​​= Ue(x) \ (x)

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = )