Assiomatica dei numeri reali. Studio degli assiomi della teoria degli interi Definizione assiomatica di un sistema di interi

Numeri reali, indicati con (la cosiddetta R tritata), si introduce l'operazione di addizione (“+”), cioè ogni coppia di elementi ( X,y) dal set numeri reali l'elemento è assegnato X + y dello stesso insieme, chiamato somma X e y .

Assiomi di moltiplicazione

Viene introdotta l'operazione di moltiplicazione ("·"), ovvero ciascuna coppia di elementi ( X,y) dall'insieme dei numeri reali viene assegnato un elemento (o, in breve, Xy) dallo stesso insieme, chiamato il prodotto X e y .

Relazione tra addizione e moltiplicazione

Assiomi di ordine

La relazione d'ordine "" (minore o uguale a) è data, cioè per ogni coppia x, y di almeno una delle condizioni o .

Relazione tra ordine e addizione

Relazione tra ordine e moltiplicazione

Assioma di continuità

Un commento

Questo assioma significa che se X e Y- due insiemi non vuoti di numeri reali tali che qualsiasi elemento da X non supera alcun elemento da Y, allora un numero reale può essere inserito tra questi insiemi. Per i numeri razionali, questo assioma non vale; classico esempio: considera i numeri razionali positivi e assegnali all'insieme X quei numeri il cui quadrato è inferiore a 2 e il resto - a Y. Poi in mezzo X e Y non è possibile inserire un numero razionale (non è un numero razionale).

Questo assioma chiave fornisce densità e quindi rende possibile la costruzione del calcolo. Per illustrarne l'importanza, ne segnaliamo due conseguenze fondamentali.

Conseguenze degli assiomi

Alcune importanti proprietà dei numeri reali seguono direttamente dagli assiomi, ad esempio,

l'unicità di zero,
unicità di elementi opposti e inversi.

Letteratura

Zorich V.A. Analisi matematica. Volume I.M.: Fazis, 1997, capitolo 2.

Guarda anche

Collegamenti

Fondazione Wikimedia. 2010.

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Un assioma che ricorre in vari sistemi assiomatici. L'assiomatica dei numeri reali L'assiomatica della geometria euclidea di Hilbert L'assiomatica della teoria della probabilità di Kolmogorov ... Wikipedia

Nella costruzione di una teoria assiomatica dei numeri naturali, i termini primari saranno “elemento” o “numero” (che, nell'ambito di questo manuale, possiamo considerare come sinonimi) e “insieme”, le relazioni principali: “appartenenza” ( un elemento appartiene a un insieme), "uguaglianza" e " seguito”, indicato da a / (si legge “il numero un tratto segue il numero a”, ad esempio un due è seguito da un tre, ovvero 2 / \u003d 3, il numero 10 è seguito dal numero 11, cioè 10 / \u003d 11, ecc.).

Molti numeri naturali(serie naturale, interi positivi) è un insieme N con la relazione introdotta “segui dopo”, in cui sono soddisfatti i seguenti 4 assiomi:

A 1 . L'insieme N contiene un elemento chiamato unità, che non segue nessun altro numero.

A 2 . Per ogni elemento della serie naturale, c'è un solo elemento che lo segue.

A 3 . Ogni elemento di N segue al massimo un elemento della serie naturale.

A 4 .( Assioma di induzione) Se un sottoinsieme M di un insieme N contiene un'unità, e anche, insieme a ciascuno dei suoi elementi a, contiene anche l'elemento a / che lo segue, allora M coincide con N.

Gli stessi assiomi possono essere scritti brevemente usando simboli matematici:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Se l'elemento b segue l'elemento a (b = a /), allora diciamo che l'elemento a è il predecessore dell'elemento b (o precede b). Questo sistema di assiomi è chiamato sistemi di assiomi di Peano(dal momento che fu introdotto nel XIX secolo dal matematico italiano Giuseppe Peano). Questo è solo uno dei possibili insiemi assiomi, che consentono di definire l'insieme dei numeri naturali; ci sono altri approcci equivalenti.

Le proprietà più semplici dei numeri naturali

Proprietà 1. Se gli elementi sono diversi, i seguenti elementi sono diversi, ovvero

a  b => a /  b / .

Prova si realizza con il metodo della contraddizione: supponiamo che a / = b / , quindi (secondo A 3) a = b, che contraddice la condizione del teorema.

Proprietà 2. Se gli elementi sono diversi, allora sono diversi quelli che li precedono (se esistono), cioè

a /  b / => a  b.

Prova: supponiamo che a = b, allora, secondo A 2, abbiamo a / = b / , che contraddice la condizione del teorema.

Proprietà 3. Nessun numero naturale è uguale al successivo.

Prova: Si prende in considerazione l'insieme M, costituito da tali numeri naturali per i quali tale condizione è soddisfatta

Ì = (a  N | a  a / ).

La dimostrazione si baserà sull'assioma dell'induzione. Per definizione, l'insieme M è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri naturali. Ulteriormente 1M, poiché l'unità non segue alcun numero naturale (A 1), il che significa che per a = 1 si ha: 1  1 / . Supponiamo ora che alcuni a  M. Ciò significa che a  a / (per definizione M), da cui a /  (a /) / (proprietà 1), cioè a /  M. Da tutto quanto sopra, in base su assiomi di induzione, possiamo concludere che M = N, cioè il nostro teorema vale per tutti i numeri naturali.

Teorema 4. Per chiunque numero naturale diverso da 1, c'è un numero che lo precede.

Prova: Considera l'insieme

Ì = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

La data M è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri naturali, l'unità appartiene chiaramente all'insieme dato. La seconda parte di questo insieme è costituita dagli elementi per i quali ci sono i precedenti, quindi, se a  M, allora anche a / appartiene a M (la sua seconda parte, poiché a / ha un precedente, è a). Quindi, sulla base dell'assioma dell'induzione, M coincide con l'insieme di tutti i numeri naturali, il che significa che tutti i numeri naturali sono o 1 o quelli per i quali esiste un elemento precedente. Il teorema è stato dimostrato.

Coerenza della teoria assiomatica dei numeri naturali

Come modello intuitivo dell'insieme dei numeri naturali, possiamo considerare insiemi di trattini: il numero 1 corrisponderà a |, il numero 2 ||, ecc., ovvero la serie naturale sarà simile a:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Queste righe di trattini possono fungere da modello di numeri naturali, se utilizziamo "attribuire un trattino a un numero" come relazione "segui". La validità di tutti gli assiomi è intuitivamente ovvia. Naturalmente, questo modello non è strettamente logico. Per costruire un modello rigoroso, bisogna avere un'altra teoria assiomatica ovviamente coerente. Ma una tale teoria non è a nostra disposizione, come notato sopra. Quindi, o siamo costretti ad affidarci all'intuizione, oppure a non ricorrere al metodo dei modelli, ma a fare riferimento al fatto che per più di 6 millenni, durante i quali si effettua lo studio dei numeri naturali, non ci sono contraddizioni con questi assiomi è stato trovato.

Indipendenza del sistema di assiomi di Peano

Per provare l'indipendenza del primo assioma basta costruire un modello in cui l'assioma A 1 è falso e gli assiomi A 2 , A 3 , A 4 sono veri. Consideriamo i numeri 1, 2, 3 come termini primari (elementi), e definiamo la relazione “segui” mediante le relazioni: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

Non vi è alcun elemento in questo modello che non segua un altro (l'assioma 1 è falso), ma tutti gli altri assiomi sono soddisfatti. Pertanto, il primo assioma non dipende dagli altri.

Il secondo assioma è costituito da due parti: esistenza e unicità. L'indipendenza di questo assioma (in termini di esistenza) può essere illustrata da un modello di due numeri (1, 2) con la relazione “segui dopo” data dalla relazione singola: 1 / = 2:

Per due, non esiste un elemento successivo, mentre gli assiomi A 1 , A 3 , A 4 sono veri.

L'indipendenza di questo assioma, in termini di unicità, è illustrata da un modello in cui l'insieme N sarà l'insieme di tutti i numeri naturali ordinari, nonché di tutti i tipi di parole (insiemi di lettere che non hanno necessariamente senso) composti di lettere dell'alfabeto latino (dopo la lettera z, la successiva sarà aa, poi ab ... az, quindi ba ...; tutte le possibili parole di due lettere, l'ultima delle quali è zz, saranno seguite da la parola aaa, e così via). Introduciamo la relazione "segui dopo" come mostrato in figura:

Qui sono veri anche gli assiomi A 1 , A 3 , A 4, ma 1 è immediatamente seguito da due elementi 2 e a. Pertanto, l'assioma 2 non dipende dagli altri.

L'indipendenza dell'assioma 3 è illustrata dal modello:

in cui A 1 , A 2 , A 4 sono veri, ma il numero 2 segue sia il numero 4 che il numero 1.

Per dimostrare l'indipendenza dell'assioma di induzione, utilizziamo l'insieme N, che consiste di tutti i numeri naturali, e anche tre lettere(a, b, c). La seguente relazione in questo modello può essere inserita come mostrato nella figura seguente:

Qui, per i numeri naturali, viene utilizzata la consueta relazione di sequenza, e per le lettere, la relazione "segui dopo" è definita dalle seguenti formule: a / = b, b / = c, c / = a. Ovviamente 1 non segue nessun numero naturale, per ognuno ce n'è uno successivo, e inoltre uno solo, ogni elemento segue al massimo un elemento. Tuttavia, se consideriamo un insieme M costituito da numeri naturali ordinari, allora questo sarà un sottoinsieme di questo insieme contenente un'unità, così come l'elemento successivo per ogni elemento di M. Tuttavia, questo sottoinsieme non coinciderà con l'intero modello in esame, poiché non conterrà le lettere a, b, c. Pertanto, l'assioma dell'induzione non vale in questo modello e, quindi, l'assioma dell'induzione non dipende dagli altri assiomi.

La teoria assiomatica dei numeri naturali è categorico(completo in senso stretto).

 (n /) =( (n)) / .

Il principio dell'induzione matematica completa.

Teorema di induzione. Sia formulata qualche affermazione Р(n) per tutti i numeri naturali, e sia a) Р(1) vera, b) dal fatto che Р(k) è vera, ne segue che anche Р(k /) è vera. Allora l'affermazione P(n) vale per tutti i numeri naturali.

Per dimostrarlo, introduciamo un insieme M di tali numeri naturali n (M  N) per i quali l'affermazione Р(n) è vera. Usiamo l'assioma A 4 , cioè cercheremo di dimostrare che:

k  M => k /  M.

Se ci riusciamo, allora, secondo l'assioma A 4 , possiamo concludere che M = N, cioè P(n) vale per tutti i numeri naturali.

1) Per la condizione a) del teorema, P(1) è vera, quindi 1  M.

2) Se qualche k  M, allora (per la costruzione di M) P(k) è vero. Per la condizione b) del teorema, ciò comporta la verità di P(k /), e quindi k /  M.

Quindi, per l'assioma di induzione (A 4) M = N, e quindi P(n) vale per tutti i numeri naturali.

Pertanto, l'assioma dell'induzione consente di creare un metodo per dimostrare teoremi "per induzione". Questo metodo gioca un ruolo chiave nella dimostrazione dei teoremi fondamentali dell'aritmetica sui numeri naturali. Si compone di quanto segue:

1) la validità dell'affermazione pern=1 (induzione di base) ,

2) si presume che questa affermazione sia vera pern= K, doveKè un numero naturale arbitrario(ipotesi di induzione) , e tenendo conto di tale presupposto, la validità della dichiarazione pern= K / (fase di induzione ).

Una dimostrazione basata su questo algoritmo è chiamata dimostrazione per induzione matematica .

Compiti per soluzione indipendente

N. 1.1. Scopri quale dei sistemi elencati soddisfa gli assiomi di Peano (sono modelli dell'insieme dei numeri naturali), determina quali assiomi sono soddisfatti e quali no.

a) N \u003d (3, 4, 5 ...), n / \u003d n + 1;

b) N =(n  6, n  n), n / = n + 1;

c) N \u003d (n  - 2, n  Z), n / = n + 1;

d) N \u003d (n  - 2, n  Z), n / = n + 2;

e) numeri naturali dispari, n / = n +1;

f) numeri naturali dispari, n / = n +2;

g) Numeri naturali con rapporto n / = n + 2;

h) N =(1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N =(1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) Numeri naturali divisibili per 3 con rapporto n / = n + 3

k) Numeri naturali pari con rapporto n / = n + 2

m) Numeri interi,
.

Il dato sistema di assiomi della teoria degli interi non è indipendente, come notato nell'Esercizio 3.1.4.

Teorema 1. La teoria assiomatica degli interi è coerente.

Prova. Dimostreremo la consistenza della teoria assiomatica degli interi, partendo dal presupposto che la teoria assiomatica dei numeri naturali sia consistente. Per fare ciò, costruiamo un modello su cui sono soddisfatti tutti gli assiomi della nostra teoria.

Costruiamo prima un anello. Considera l'insieme

n´ n = {(a, b)ï a, bÎ n}.

a, b) numeri naturali. Con tale coppia intendiamo la differenza dei numeri naturali a-b. Ma fino a quando non è stata dimostrata l'esistenza di un sistema di interi in cui esiste una tale differenza, non abbiamo il diritto di usare una tale designazione. Allo stesso tempo, questa comprensione ci dà l'opportunità di impostare le proprietà delle coppie di cui abbiamo bisogno.

Sappiamo che diverse differenze di numeri naturali possono essere uguali allo stesso intero. Di conseguenza, introduciamo sul set n´ n relazione di uguaglianza:

(a, b) = (cd) Û a + d = b + c.

È facile vedere che questa relazione è riflessiva, simmetrica e transitiva. Pertanto, è una relazione di equivalenza e ha il diritto di essere chiamata uguaglianza. Fattore insieme di insiemi n´ n Z. I suoi elementi saranno chiamati interi. Sono classi di equivalenza su un insieme di coppie. La classe che contiene la coppia
(a, b), denotato da [ a, b].

Z a, b] come circa la differenza a-b

[a, b] + [cd] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ cd] = [ac+bd, ad+bc].

Va tenuto presente che, a rigor di termini, l'uso dei simboli operativi non è qui del tutto corretto. Lo stesso simbolo + indica l'addizione di numeri naturali e coppie. Ma poiché è sempre chiaro in quale insieme viene eseguita una determinata operazione, non introdurremo qui una notazione separata per queste operazioni.

È necessario verificare la correttezza delle definizioni di queste operazioni, ovvero che i risultati non dipendano dalla scelta degli elementi un e B definire la coppia [ a, b]. Infatti, lasciate

[a, b] = [un 1 ,B 1 ], [cd] = [da 1 , D 1 ].

Significa che a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =D + da uno . Sommando queste uguaglianze, otteniamo

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +D + da 1 Þ[ a + b, c + d] = [un 1 +da 1 ,B 1 + D 1 ]

Þ [ a, b] + [cd] = [un 1 ,B 1 ] + [C 1 , D 1 ].

La correttezza della definizione di moltiplicazione è definita in modo simile. Ma qui dobbiamo prima verificare che [ a, b] × [ cd] = [un 1 ,B 1]×[ cd].

Ora dovremmo verificare che l'algebra risultante sia un anello, cioè gli assiomi (Z1) - (Z6).

Verifichiamo, ad esempio, la commutatività dell'addizione, cioè l'assioma (Z2). abbiamo

[cd] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [cd].

La commutatività dell'addizione per gli interi è derivata dalla commutatività dell'addizione per i numeri naturali, che si presume sia già nota.

Gli assiomi (Z1), (Z5), (Z6) sono verificati in modo simile.

Il ruolo dello zero è svolto da una coppia. Indichiamolo con 0 . Veramente,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Finalmente, -[ a, b] = [b, a]. Veramente,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Ora controlliamo gli assiomi di estensione. Va tenuto presente che nell'anello costruito non ci sono numeri naturali in quanto tali, poiché gli elementi dell'anello sono classi di coppie di numeri naturali. Pertanto, è necessario trovare una subalgebra isomorfa al semianello dei numeri naturali. Anche qui la nozione di coppia [ a, b] come circa la differenza a-b. Numero naturale n può essere rappresentato come la differenza di due numeri naturali, ad esempio, come segue: n = (n+ 1) - 1. Da qui la proposta di stabilire una corrispondenza F: n ® Z secondo la regola

F(n) = [n + 1, 1].

Questa corrispondenza è iniettiva:

F(n) = F(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) n=m.

Pertanto, abbiamo una corrispondenza uno-a-uno tra n e qualche sottoinsieme Z, che indichiamo con N*. Verifichiamo che salva le operazioni:

F(n) + F(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m + 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = F(n+m);

F(n) × F(m) = [n+ 1, 1]× [ m + 1, 1] = [nm+n + m + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = F(nm).

Pertanto, è stato stabilito che N* forme in Z sotto le operazioni di addizione e moltiplicazione, una subalgebra isomorfa a n

Indica una coppia [ n+ 1, 1] da N* n, attraverso n a, b] noi abbiamo

[a, b] = [un + 1, 1] + = [un + 1, 1] – [B + 1, 1] = un – B .

Così, infine, il concetto di coppia [ a, b] come differenza di numeri naturali. Allo stesso tempo, è stato stabilito che ogni elemento dell'insieme costruito Z rappresentato come la differenza di due numeri naturali. Questo aiuterà a testare l'assioma di minimalità.

Lascia stare M - sottoinsieme Z, contenente N* e insieme a qualsiasi elemento ma e B la loro differenza a - b. Dimostriamolo in questo caso M =Z. In effetti, qualsiasi elemento di Z rappresentato come la differenza di due numeri naturali, ai quali per condizione appartengono m insieme alla sua differenza.

Teorema 2. La teoria assiomatica degli interi è categorica.

Prova. Dimostriamo che due modelli qualsiasi su cui valgono tutti gli assiomi della teoria data sono isomorfi.

Lascia un Z 1, +, ×, n 1c e b Z 2, +, ×, n 2 - sono due modelli della nostra teoria. A rigor di termini, le operazioni in esse contenute devono essere denotate da simboli diversi. Ci allontaneremo da questa esigenza per non ingombrare i calcoli: è chiaro ogni volta quale operazione è in questione. Gli elementi appartenenti ai modelli considerati verranno forniti con i corrispondenti indici 1 o 2.

Definiremo una mappatura isomorfa dal primo modello al secondo. Perché n 1 e n 2 sono semianelli di numeri naturali, quindi esiste una mappatura isomorfa j del primo semianello sul secondo. Definiamo la mappatura F: Z 1® Z 2. Ogni numero intero X 1 О Z 1 è rappresentato come la differenza di due numeri naturali:
X 1 = a 1 - B uno . Noi crediamo

F (X 1) = j( un 1) – J( B 1).

Dimostriamolo Fè un isomorfismo. La mappatura è ben definita: se X 1 = a 1, dove y 1 = C 1 – D 1, quindi

un 1 - B 1 = C 1 – D 1 un 1 +d 1 = B 1 + C 1 Þ j( un 1 +d 1) = j( B 1 + C 1)

Þ j( un 1) + J( D 1) = j( B 1) + j( C 1) Þ j( un 1)–j( B 1)=j( C 1) – j( D 1) F(X 1) =F (y 1).

Quindi ne consegue che F- mappatura inequivocabile Z 1 pollice Z 2. Ma per chiunque X 2 di Z 2 possono trovare elementi naturali un 2 e B 2 tale che X 2 = a 2 - B 2. Poiché j è un isomorfismo, questi elementi hanno immagini inverse un 1 e B uno . Significa, X 2 = j( un 1) – J( B 1) =
= F (un 1 - B 1) e ogni elemento da Z 2 è un prototipo. Da qui la corrispondenza F reciprocamente inequivocabili. Controlliamo che salva le operazioni.

Se X 1 = a 1 - B 1 , y 1 = c 1 - D 1, quindi

X 1 + y 1 = (un 1 + C 1) – (B 1 +D 1),

F(X 1 + y 1) = j( un 1 + C 1) – J( B 1 +D 1) =j( un 1)+ j( C 1) – J( B 1) – J( D 1) =

J( un 1) – J( B 1)+ j( C 1)– J( D 1) =F(X 1) + F(y 1).

Allo stesso modo, controlliamo che la moltiplicazione sia preservata. Pertanto, è stato stabilito che Fè un isomorfismo e il teorema è dimostrato.

Esercizi

1. Dimostra che ogni anello che contiene il sistema dei numeri naturali include anche l'anello dei numeri interi.

2. Dimostrare che ogni anello commutativo minimo ordinato con unità è isomorfo all'anello degli interi.

3. Dimostra che ogni anello ordinato con unità e senza divisori zero contiene un solo sottoanello isomorfo all'anello di interi.

4. Dimostra che la matrice del secondo ordine squilla sul campo numeri reali contiene infiniti sottoanelli isomorfi all'anello degli interi.

Campo dei numeri razionali

La definizione e la costruzione di un sistema di numeri razionali avviene allo stesso modo di un sistema di numeri interi.

Definizione. Un sistema di numeri razionali è un campo minimo che è un'estensione dell'anello di numeri interi.

In accordo con questa definizione, otteniamo la seguente costruzione assiomatica del sistema dei numeri razionali.

Termini primari:

Qè l'insieme dei numeri razionali;

0, 1 sono costanti;

+, × sono operazioni binarie su Q;

Z- sottoinsieme Q, l'insieme di numeri interi;

Å, Ä sono operazioni binarie su Z.

Assiomi:

IO. Assiomi di campo.

(Q1) un+ (b+c) = (a+b) + C.

(Q2) a + b = b + a.

(T3)(" un) un + 0 = un.

(Q4)(" un)($(–un)) un + (–un) = 0.

(Q5) un× ( B× C) = (un× B) × C.

(Q6) un× b = b× un.

(Q7) ma× 1 = ma.

(Q8)(" un¹ 0)($ un –1) un × un –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× C.

II. Assiomi di estensione.

(Q10) a Z, M, L, 0, 1ñ sia l'anello dei numeri naturali.

(Q11) Z Í Q.

(Q12)(" a, bÎ Z) a+b=aÅ B.

(Q13)(" a, bÎ Z) un× b = aÄ B.

III. Assioma di minimalità.

(Q14) mÍ Q, ZÍ m, ("a, bÎ m)(B ¹ 0 ® un× B–1 О m)Þ m = Q.

Numero un× B-1 è chiamato quoziente ma e B, indicato un/B o .

Teorema 1. Ogni numero razionale è rappresentato come un quoziente di due interi.

Prova. Lascia stare mè l'insieme dei numeri razionali rappresentabili come quoziente di due interi. Se nè un numero intero, quindi n = n/1 appartiene m, Di conseguenza, ZÍ m. Se a, bÎ m, poi a = k/l, b = m/n, dove k, l, m, nÎ Z. Di conseguenza, un/B=
= (kn) / (lm)Î m. Per assioma (Q14) m= Q, e il teorema è dimostrato.

Teorema 2. Il campo dei numeri razionali può essere ordinato linearmente e rigorosamente, e in un modo unico. L'ordine nel campo dei numeri razionali è di Archimede e continua l'ordine nell'anello degli interi.

Prova. Indica con Q+ un insieme di numeri rappresentabili come una frazione, dove kl> 0. È facile vedere che questa condizione non dipende dal tipo di frazione che rappresenta il numero.

Controlliamolo Q + – parte positiva del campo Q. Poiché per un numero intero kl sono possibili tre casi: kl = 0, klÎ n, –kl Î n, allora per a = otteniamo una delle tre possibilità: a = 0, aн Q+ , –aО Q + . Inoltre, se a = , b = appartengono Q+, allora kl > 0, mn> 0. Allora a + b = , e ( kn+ml)ln = kln 2 + mln 2 > 0. Quindi, a + bн Q + . Si può verificare similmente che abн Q + . In questo modo, Q + è la parte positiva del campo Q.

Lascia stare Q++ è una parte positiva di questo campo. abbiamo

l =.l 2 н Q ++ .

Da qui nÍ Q++. Per il Teorema 2.3.4 appartengono anche i reciproci dei numeri naturali Q++. Quindi Q + Í Q++. Per il teorema 2.3.6 Q + =Q++. Pertanto, coincidono anche gli ordini definiti dalle parti positive. Q+ e Q ++ .

Perché Z + = nÍ Q+ , quindi l'ordine in Q continua l'ordine Z.

Sia ora a => 0, b => 0. Poiché l'ordine nell'anello degli interi è di Archimede, per positivo kn e ml c'è un naturale da tale che da× kn>ml. Da qui da un = da>= b. Quindi, l'ordine nel campo dei numeri razionali è di Archimede.

Esercizi

1. Dimostra che il campo dei numeri razionali è denso, cioè per tutti i numeri razionali un < B c'è un razionale R tale che un < R < B.

2. Dimostra che l'equazione X 2 = 2 non ha soluzioni in Q.

3. Dimostra che l'insieme Q numerabile.

Teorema 3. La teoria assiomatica dei numeri razionali è coerente.

Prova. La coerenza della teoria assiomatica dei numeri razionali è dimostrata allo stesso modo degli interi. Per fare ciò, viene costruito un modello su cui sono soddisfatti tutti gli assiomi della teoria.

Come base, prendiamo il set

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, B ¹ 0}.

Gli elementi di questo set sono coppie ( a, b) numeri interi. Con tale coppia si intende il quoziente di interi un/B. In base a ciò, impostiamo le proprietà delle coppie.

Ci presentiamo sul set Z´ Z* relazione di uguaglianza:

(a, b) = (cd) Û ad = bc.

Notiamo che è una relazione di equivalenza e ha il diritto di essere chiamata uguaglianza. Fattore insieme di insiemi Z´ Z* rispetto a questa relazione di uguaglianza, indichiamo con Q. I suoi elementi saranno chiamati numeri razionali. Una classe contenente una coppia ( a, b), denotato da [ a, b].

Introduciamo nell'insieme costruito Q operazioni di addizione e moltiplicazione. Ci aiuterà a farci un'idea sull'elemento [ a, b] che ne dici di privato un/B. In base a ciò, assumiamo per definizione:

[a, b] + [cd] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ cd] = [ac, bd].

Verifichiamo la correttezza delle definizioni di queste operazioni, ovvero che i risultati non dipendano dalla scelta degli elementi un e B definire la coppia [ a, b]. Ciò avviene allo stesso modo della dimostrazione del Teorema 3.2.1.

Il ruolo dello zero è svolto da una coppia. Indichiamolo con 0 . Veramente,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b × 1] = [a, b].

Opposta a [ a, b] è la coppia –[ a, b] = [–a, b]. Veramente,

[a, b] + [–a, b]= [ab-ab, bb] = = 0 .

L'unità è una coppia = 1 . Inverso per accoppiare [ a, b] - coppia [ b, a].

Ora controlliamo gli assiomi di estensione. Stabiliamo una corrispondenza
F: Z ® Q secondo la regola

F(n) = [n, 1].

Verifichiamo che si tratta di una corrispondenza biunivoca tra Z e qualche sottoinsieme Q, che indichiamo con Z*. Controlliamo ulteriormente che preserva le operazioni, quindi stabilisce un isomorfismo tra Z e sottoanello Z* in Q. Quindi, gli assiomi di estensione sono stati verificati.

Indica una coppia [ n, 1] da Z* corrispondente al numero naturale n, attraverso n . Quindi per una coppia arbitraria [ a, b] noi abbiamo

[a, b] = [un, 1] × = [ un, 1] / [B, 1] = un /B .

Ciò conferma il concetto di coppia [ a, b] come circa il quoziente di interi. Allo stesso tempo, è stato stabilito che ogni elemento dell'insieme costruito Q rappresentato come un quoziente di due numeri interi. Questo aiuterà a testare l'assioma di minimalità. La verifica si effettua come nel Teorema 3.2.1.

Quindi, per il sistema costruito Q tutti gli assiomi della teoria degli interi sono soddisfatti, cioè abbiamo costruito un modello di questa teoria. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 4. La teoria assiomatica dei numeri razionali è categorica.

La dimostrazione è simile alla dimostrazione del Teorema 3.2.2.

Teorema 5. Il campo ordinato di Archimede è un'estensione del campo dei numeri razionali.

La dimostrazione è per esercizio.

Teorema 6. Lascia stare Fè un campo ordinato di Archimede, un > B, dove a, bÎ F. C'è un numero razionale н F tale che un > > B.

Prova. Lascia stare un > B³ 0. Allora a-b> 0 e ( a-b) –1 > 0. C'è un naturale T tale che m×1 > ( a-b) –1 , da cui m –1 < a-b £ ma. Inoltre, c'è un naturale K tale che K× m-1³ un. Lascia stare Kè il numero più piccolo per il quale vale questa disuguaglianza. Perché K> 1, quindi possiamo mettere k = n + 1, n Î n. in cui
(n+ 1)× m-1³ un, n× m –1 < un. Se n× m-1 £ B, poi un = B + (a-b) > b+m-1³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-uno . Contraddizione. Significa, un >n× m –1 > B.

Esercizi

4. Dimostra che ogni campo contenente l'anello di numeri interi include anche il campo dei numeri razionali.

5. Dimostra che ogni campo minimo ordinato è isomorfo al campo dei numeri razionali.

Numeri reali

UNIVERSITÀ PEDAGOGICA STATALE DI OMSK
FILIALE DI OMSPU in TARE
BBK Pubblicato per decisione della redazione e dell'editoria
22° 73° settore della filiale OmSPU di Tara
Cap67

Le raccomandazioni sono per gli studenti università pedagogiche studio della disciplina "Algebra e teoria dei numeri". All'interno di tale disciplina, ai sensi dell'art norma statale nel 6° semestre si studia la sezione "Sistemi numerici". Queste raccomandazioni presentano materiale sulla costruzione assiomatica di sistemi di numeri naturali (sistema di assiomi di Peano), sistemi di numeri interi e numeri razionali. Questa assiomatica permette di capire meglio cos'è un numero, che è uno dei concetti base di un corso di matematica scolastica. Per una migliore assimilazione del materiale, vengono assegnati compiti su argomenti rilevanti. Alla fine delle raccomandazioni ci sono risposte, istruzioni, soluzioni ai problemi.

Revisore: Ph.D., prof. Dalinger VA

Firmato per la pubblicazione - 22.10.98

carta da giornale
Tiratura 100 copie.
Metodo di stampa operativo
OmGPU, 644099, Omsk, nab. Tuchačevskij, 14
filiale, 644500, Tara, st. Scuola, 69

1. NUMERI NATURALI.

Nella costruzione assiomatica di un sistema di numeri naturali, assumeremo che il concetto di insieme, le relazioni, le funzioni e altri concetti di teoria degli insiemi siano noti.

1.1 Il sistema degli assiomi di Peano ei corollari più semplici.

I concetti iniziali nella teoria assiomatica di Peano sono l'insieme N (che chiameremo insieme dei numeri naturali), il numero speciale zero (0) da esso, e la relazione binaria "segue" su N, indicata con S(a) ( o a().
ASSIOMI:
1. ((a(N) a"(0 (C'è un numero naturale 0 che non segue alcun numero.)
2. a=b (a"=b" (Per ogni numero naturale a, c'è un numero naturale successivo a", e solo uno.)
3. a"=b" (a=b (Ogni numero naturale segue al massimo un numero.)
4. (assioma dell'induzione) Se l'insieme M(N e M soddisfa due condizioni:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, quindi M=N.
Nella terminologia funzionale, ciò significa che la mappatura S:N®N è iniettiva. L'assioma 1 implica che la mappa S:N®N non è suriettiva. L'assioma 4 è la base per dimostrare le affermazioni mediante il "metodo dell'induzione matematica".
Notiamo alcune proprietà dei numeri naturali che seguono direttamente dagli assiomi.
Proprietà 1. Ogni numero naturale a(0 segue uno e un solo numero.
Prova. Indichiamo con M l'insieme dei numeri naturali contenenti zero e tutti quei numeri naturali, ciascuno dei quali segue un numero. Basta mostrare che M=N, l'unicità segue dall'assioma 3. Applichiamo l'assioma di induzione 4:
A) 0(M - dalla costruzione dell'insieme M;
B) se a(M, allora a"(M, perché a" segue a.
Quindi, in virtù dell'assioma 4, M=N.
Proprietà 2. Se a(b, allora a"(b".
La proprietà è dimostrata con il metodo "per contraddizione", utilizzando l'assioma 3. La seguente proprietà 3 è dimostrata in modo simile, utilizzando l'assioma 2.
Proprietà 3. Se a"(b", allora a(b.
Proprietà 4. ((a(N)a(a". (Nessun numero naturale segue se stesso.)
Prova. Sia M=(x (x(N, x(x"). Basta mostrare che M=N. Poiché per l'assioma 1 ((x(N)x"(0), in particolare, 0"(0, e quindi la condizione A) dell'assioma 4 0(M è soddisfatta. Se x(M, cioè x(x", allora per proprietà 2 x"((x")", che significa quella condizione B) x( M ® x "(M. Ma poi, secondo l'Assioma 4, M=N.
Sia ( una proprietà dei numeri naturali. Il fatto che il numero a abbia la proprietà (, scriveremo ((a).
Compito 1.1.1. Dimostra che l'assioma 4 dalla definizione dell'insieme dei numeri naturali è equivalente alla seguente affermazione: for any property (, if ((0) and, then.
Compito 1.1.2. Sull'insieme di tre elementi A=(a,b,c), l'operazione unaria (: a(=c, b(=c, c(=a) è definita come segue. Quali degli assiomi di Peano sono veri sul impostare A con l'operazione (?
Compito 1.1.3. Sia A=(a) un insieme di un elemento, a(=a. Quali degli assiomi di Peano sono veri sull'insieme A con l'operazione (?
Compito 1.1.4. Sull'insieme N definiamo un'operazione unaria impostando any. Scopri se le asserzioni degli assiomi di Peano espresse in termini di operazione sono vere in N.
Compito 1.1.5. Lascia stare. Dimostrare che A è chiuso sotto l'operazione (. Verificare la verità degli assiomi di Peano sull'insieme A con l'operazione (.
Compito 1.1.6. Lascia stare, . Definiamo un'operazione unaria su A impostando. Quali assiomi di Peano sono veri su un insieme A con un'operazione?

1.2. Coerenza e categoricità del sistema degli assiomi di Peano.

Un sistema di assiomi si dice consistente se è impossibile dimostrare il Teorema T e la sua negazione dai suoi assiomi Pertanto, la consistenza del sistema di assiomi è un requisito assolutamente necessario.
Se in una teoria assiomatica non esiste il teorema T e la sua negazione (T), ciò non significa che il sistema di assiomi sia coerente, tali teorie potrebbero verificarsi in futuro, quindi la coerenza del sistema di assiomi deve essere dimostrata Il modo più comune per dimostrare la coerenza è il metodo di interpretazione basato sul fatto che se esiste un'interpretazione di un sistema di assiomi in una teoria coerente nota S, allora il sistema di assiomi stesso è coerente.Infatti, se il sistema di assiomi fossero inconsistenti, quindi i Teoremi T e (T) sarebbero in esso dimostrabili, ma allora questi teoremi sarebbero validi e nella sua interpretazione, e questo contraddice la coerenza della teoria S. Il metodo di interpretazione permette di dimostrare solo la consistenza relativa della teoria.
Molte interpretazioni differenti possono essere costruite per il sistema degli assiomi di Peano. La teoria degli insiemi è particolarmente ricca di interpretazioni. Indichiamo una di queste interpretazioni. Come numeri naturali considereremo gli insiemi (, ((), ((()), (((())),..., come numero speciale considereremo zero (. La relazione "segue" sarà interpretata come segue: l'insieme M è seguito dall'insieme (M) il cui unico elemento è M stesso. Pertanto, ("=((), (()"=((()) ecc. La validità degli assiomi 1-4 può essere verificata senza difficoltà. Tuttavia, l'efficacia di una tale interpretazione è piccola: mostra che il sistema degli assiomi di Peano è coerente se la teoria degli insiemi è coerente.Ma la prova della coerenza del sistema degli assiomi della teoria degli insiemi è pari compito più difficile. L'interpretazione più convincente del sistema degli assiomi di Peano è l'aritmetica intuitiva, la cui consistenza è confermata da secoli di esperienza nel suo sviluppo.
Un sistema consistente di assiomi si dice indipendente se ogni assioma di questo sistema non può essere dimostrato come un teorema sulla base di altri assiomi. Per dimostrare che l'assioma (non dipende da altri assiomi del sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
basta provare che il sistema degli assiomi è coerente
(1, (2, ..., (n, (((2))
Infatti, se (fossero dimostrati sulla base dei restanti assiomi del sistema (1), allora il sistema (2) sarebbe inconsistente, poiché il teorema (e l'assioma ((.
Quindi, per provare l'indipendenza dell'assioma (dal resto degli assiomi del sistema (1), basta costruire un'interpretazione del sistema degli assiomi (2).
L'indipendenza del sistema degli assiomi è un requisito facoltativo. A volte, per evitare di dimostrare teoremi "difficili", viene costruito un sistema di assiomi deliberatamente ridondante (dipendente). Tuttavia, gli assiomi "superflui" rendono difficile lo studio del ruolo degli assiomi in una teoria, così come le connessioni logiche interne tra le varie sezioni della teoria. Inoltre, la costruzione di interpretazioni per sistemi dipendenti gli assiomi sono molto più difficili che per quelli indipendenti; in fondo bisogna verificare la validità degli assiomi "superflui". Per questi motivi, la questione della dipendenza tra assiomi è stata a lungo data di fondamentale importanza. Un tempo, tenta di dimostrare che il 5° postulato nell'assiomatica di Euclide "C'è al massimo una retta passante per il punto A parallela alla retta" è un teorema (cioè dipende dagli assiomi rimanenti) e portava a la scoperta della geometria di Lobachevskij.
Un sistema coerente è detto deduttivamente completo se una qualsiasi frase A di una data teoria può essere dimostrata o confutata, cioè A o deduttivamente incompleta. Anche la completezza deduttiva non è un requisito obbligatorio. Ad esempio, il sistema di assiomi della teoria dei gruppi, anello teoria, la teoria dei campi è incompleta; poiché ci sono sia gruppi finiti che infiniti, anelli, campi, allora in queste teorie è impossibile provare o confutare la proposizione: "Un gruppo (anello, campo) contiene un numero finito di elementi. "
Va notato che in molte teorie assiomatiche (vale a dire, in quelle non formalizzate), l'insieme delle proposizioni non può considerarsi esattamente definito, e quindi è impossibile provare la completezza deduttiva del sistema di assiomi di tale teoria. Un altro senso di completezza è chiamato categorico. Un sistema di assiomi è detto categoriale se due delle sue interpretazioni sono isomorfe, cioè esiste una tale corrispondenza uno a uno tra gli insiemi di oggetti iniziali dell'una e dell'altra interpretazione, che è preservata per tutte le relazioni iniziali. Anche la categorizzazione è una condizione facoltativa. Ad esempio, il sistema di assiomi della teoria dei gruppi non è categorico. Ciò deriva dal fatto che un gruppo finito non può essere isomorfo gruppo infinito. Tuttavia, quando si assiomizza la teoria di qualche sistema numerico, la categoricità è obbligatoria; ad esempio, la natura categoriale del sistema di assiomi che definiscono i numeri naturali significa che, fino all'isomorfismo, esiste una sola serie naturale.
Proviamo la categoricità del sistema degli assiomi di Peano. Siano (N1, s1, 01) e (N2, s2, 02) due interpretazioni qualsiasi del sistema degli assiomi di Peano. È necessario indicare tale mappatura biiettiva (uno-a-uno) f:N1®N2 per la quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) per ogni x da N1;
b) f(01)=02
Se entrambe le operazioni unarie s1 e s2 sono denotate dallo stesso primo, la condizione a) viene riscritta come
a) f(x()=f(x)(.
Definiamo una relazione binaria f sull'insieme N1(N2) dalle seguenti condizioni:
1) 01f02;
2) se xfy, allora x(fy(.
Assicuriamoci che questa relazione sia una mappatura da N1 a N2, cioè per ogni x da N1
(((y(N2)xfy(1)
Indichiamo con M1 l'insieme di tutti gli elementi x da N1 per i quali la condizione (1) è soddisfatta. Quindi
A) 01(M1 dovuto a 1);
B) x(M1 ® x((M1 dovuto a 2) e proprietà 1 del punto 1.
Quindi, secondo l'assioma 4, concludiamo che M1=N1, il che significa che la relazione f è una mappatura di N1 a N2. Inoltre da 1) segue che f(01)=02. La condizione 2) è scritta come segue: se f(x)=y, allora f(x()=y(. Ne consegue che f(x()=f(x)(. Quindi, per mappare f della condizione a) e b) sono soddisfatte. Resta da dimostrare che la mappa f è biiettiva.
Indichiamo con M2 l'insieme di quegli elementi di N2, ognuno dei quali è l'immagine di uno ed un solo elemento di N1 sotto la mappatura f.
Poiché f(01)=02, allora 02 è un'immagine. Inoltre, se x(N2 e x(01), allora, per la proprietà 1 del punto 1, x segue qualche elemento c da N1, e quindi f(x)=f(c()=f(c)((02. Quindi, 02 è l'immagine dell'unico elemento 01, cioè 02(M2.
Sia ulteriormente y(M2 e y=f(x), dove x è l'unica preimmagine dell'elemento y. Quindi, per la condizione a) y(=f(x)(=f(x()), cioè, y (è l'immagine dell'elemento x (. Sia c qualsiasi immagine inversa dell'elemento y(, cioè f(c)=y(. c)=f(d()=f(d)(, da cui, in virtù dell'Assioma 3, y=f(d). Ma poiché y(M2, allora d=x, donde c=d(=x(. Abbiamo dimostrato che se y è l'immagine di un elemento unico, allora y( è l'immagine di un elemento unico, cioè y(M2 ® y((M2. Entrambe le condizioni dell'Assioma 4 sono soddisfatte e, quindi, M2=N2, che completa la dimostrazione di categoricità.
Tutta la matematica pre-greca era di natura empirica. Elementi separati della teoria sono stati annegati nella massa di metodi empirici per risolvere problemi pratici. I greci hanno sottoposto questo materiale empirico a un'elaborazione logica, hanno cercato di trovare una connessione tra varie informazioni empiriche. In questo senso, Pitagora e la sua scuola (V secolo aC) ebbero un ruolo importante nella geometria. Le idee del metodo assiomatico erano chiaramente espresse negli scritti di Aristotele (IV secolo aC). Tuttavia, l'attuazione pratica di queste idee fu portata avanti da Euclide nei suoi "Inizi" (III secolo aC).
Attualmente si possono distinguere tre forme di teorie assiomatiche.
uno). Un'assiomatica significativa, che fu l'unica fino alla metà del secolo scorso.
2). Un assiomatico semi-formale sorto nell'ultimo quarto del secolo scorso.
3). L'assiomatica formale (o formalizzata), la cui data di nascita può essere considerata il 1904, quando D. Hilbert pubblicò il suo famoso programma sui principi di base della matematica formalizzata.
Ogni nuova forma non nega la precedente, ma ne è lo sviluppo e il raffinamento, così che il livello di severità di ogni nuova forma è superiore a quello della precedente.
L'assiomatica significativa è caratterizzata dal fatto che i concetti iniziali hanno un significato intuitivamente chiaro ancor prima che gli assiomi siano formulati. Quindi, negli Elementi di Euclide, un punto è inteso esattamente come ciò che intuitivamente immaginiamo sotto questo concetto. In questo caso si usa il linguaggio ordinario e la logica intuitiva ordinaria, risalenti ad Aristotele.
Le teorie assiomatiche semi-formali usano anche il linguaggio ordinario e la logica intuitiva. Tuttavia, contrariamente all'assiomatica significativa, i concetti originali non hanno alcun significato intuitivo, sono caratterizzati solo da assiomi. Ciò aumenta il rigore, poiché l'intuizione in una certa misura interferisce con il rigore. Inoltre, si guadagna la generalità, perché ogni teorema dimostrato in una tale teoria sarà valido in qualsiasi sua interpretazione. Un esempio di teoria assiomatica semi-formale è la teoria di Hilbert presentata nel suo libro "Fondamenti di geometria" (1899). Esempi di teorie semiformali sono anche la teoria degli anelli e una serie di altre teorie presentate nel corso dell'algebra.
Un esempio di teoria formalizzata è il calcolo proposizionale, studiato in un corso di logica matematica. A differenza dell'assiomatica sostanziale e semi-formale, la teoria formalizzata utilizza un linguaggio simbolico speciale. Vale a dire, viene dato l'alfabeto della teoria, cioè un certo insieme di simboli che svolgono lo stesso ruolo delle lettere nel linguaggio ordinario. Qualsiasi sequenza finita di caratteri è chiamata espressione o parola. Tra le espressioni si distingue una classe di formule e viene indicato un criterio esatto che consente a ciascuna espressione di scoprire se si tratta di una formula. Le formule svolgono lo stesso ruolo delle frasi nel linguaggio ordinario. Alcune delle formule sono dichiarati assiomi. Inoltre, impostare regole logiche conclusione; ciascuna di queste regole significa che da un certo insieme di formule segue immediatamente completamente formula definita. La dimostrazione di un teorema stesso è una catena finita di formule, in cui l'ultima formula è il teorema stesso, e ogni formula è o un assioma, o un teorema precedentemente dimostrato, o segue direttamente dalle formule precedenti della catena secondo uno delle regole di derivazione. Pertanto, la questione della gravità delle prove è completamente fuori questione: o questa catena è una prova, o non lo è, non ci sono prove dubbie. A questo proposito, l'assiomatica formalizzata viene utilizzata in questioni particolarmente sottili di sostanziare teorie matematiche, quando la logica intuitiva ordinaria può portare a conclusioni errate, che si verificano principalmente a causa di imprecisioni e ambiguità nel nostro linguaggio ordinario.
Poiché in una teoria formalizzata si può dire di ogni espressione - se è una formula, allora l'insieme di enunciati di una teoria formalizzata può essere considerato definito. A questo proposito, si può in linea di principio sollevare la questione della prova della completezza deduttiva, oltre che della coerenza, senza ricorrere a interpretazioni. In un numero casi semplici questo può essere fatto. Ad esempio, la consistenza del calcolo proposizionale è dimostrata senza interpretazioni.
Nelle teorie non formalizzate, l'insieme delle frasi non è chiaramente definito, quindi la questione della prova della coerenza, senza fare riferimento alle interpretazioni, è priva di significato. Lo stesso vale per la questione della dimostrazione della completezza deduttiva. Tuttavia, se esiste una tale proposta di una teoria non formalizzata che non può essere né dimostrata né confutata, allora la teoria è ovviamente deduttivamente incompleta.
Il metodo assiomatico è stato a lungo utilizzato non solo in matematica, ma anche in fisica. I primi tentativi in questa direzione furono fatti da Aristotele, ma il metodo assiomatico trovò la sua vera applicazione in fisica solo nei lavori di Newton sulla meccanica.
In connessione con il turbolento processo di matematizzazione delle scienze, è in corso anche il processo di assiomatizzazione. Attualmente, il metodo assiomatico è utilizzato anche in alcune branche della biologia, ad esempio in genetica.
Eppure, le possibilità del metodo assiomatico non sono illimitate.
Innanzitutto, notiamo che anche nelle teorie formalizzate non è possibile evitare del tutto l'intuizione. La stessa teoria formalizzata senza interpretazioni non ha significato. Pertanto, sorgono una serie di domande sulla relazione tra una teoria formalizzata e la sua interpretazione. Inoltre, come nelle teorie formalizzate, vengono sollevate domande sulla coerenza, l'indipendenza e la completezza del sistema di assiomi. La totalità di tutte queste domande costituisce il contenuto di un'altra teoria, che è chiamata la metateoria di una teoria formalizzata. A differenza di una teoria formalizzata, il linguaggio di una metateoria è un ordinario linguaggio quotidiano, e il ragionamento logico è svolto dalle regole della logica intuitiva ordinaria. Così l'intuizione, completamente espulsa dalla teoria formalizzata, riappare nella sua metateoria.
Ma la principale debolezza del metodo assiomatico non è in questo. Abbiamo già accennato al programma di D. Hilbert, che ha posto le basi per il metodo assiomatico formalizzato. L'idea principale di Hilbert era quella di esprimere la matematica classica come una teoria assiomatica formalizzata e poi dimostrarne la coerenza. Tuttavia, questo programma si è rivelato utopico nei suoi punti principali. Nel 1931, il matematico austriaco K. Gödel dimostrò i suoi famosi teoremi, dai quali ne conseguì che entrambi i compiti principali stabiliti da Hilbert erano impossibili. Riuscì a usare il suo metodo di codifica per esprimere alcuni veri presupposti dalla metateoria usando formule di aritmetica formalizzata e per dimostrare che queste formule non sono derivabili nell'aritmetica formalizzata. Pertanto, l'aritmetica formalizzata si è rivelata deduttivamente incompleta. Dai risultati di Gödel è seguito che se questa formula indimostrabile è inclusa tra gli assiomi, allora ci sarà un'altra formula indimostrabile che esprime una proposizione vera. Tutto ciò significava che non solo tutta la matematica, ma anche l'aritmetica, la sua parte più semplice, non poteva essere completamente formalizzata. In particolare, Gödel ha costruito una formula corrispondente alla proposizione "L'aritmetica formalizzata è coerente" e ha mostrato che anche questa formula non è derivabile. Questo fatto significa che la coerenza dell'aritmetica formalizzata non può essere dimostrata all'interno dell'aritmetica stessa. Certo, è possibile costruire una teoria formalizzata più forte e provare la coerenza dell'aritmetica formalizzata con i suoi mezzi, ma poi c'è di più domanda difficile sulla consistenza di questa nuova teoria.
I risultati di Gödel indicano i limiti del metodo assiomatico. Eppure, non ci sono assolutamente basi per conclusioni pessimistiche nella teoria della conoscenza che ci siano verità inconoscibili. Il fatto che ci siano verità aritmetiche che non possono essere dimostrate nell'aritmetica formalizzata non significa che ci siano verità inconoscibili, né significa che il pensiero umano sia limitato. Significa solo che le possibilità del nostro pensiero non si limitano a procedure completamente formalizzabili e che l'umanità deve ancora scoprire e inventare nuovi principi di prova.

1.3 Addizione di numeri naturali

Le operazioni di addizione e moltiplicazione dei numeri naturali non sono postulate dagli assiomi di Peano, definiremo queste operazioni.
Definizione. L'addizione di numeri naturali è un'operazione algebrica binaria + sull'insieme N, che ha le seguenti proprietà:
1s. ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Sorge la domanda: esiste un'operazione del genere e, in tal caso, è unica?
Teorema. C'è una sola addizione di numeri naturali.
Prova. Un'operazione algebrica binaria sull'insieme N è la mappatura (:N(N®N. È necessario dimostrare che esiste una mappatura univoca (:N(N®N con proprietà: 1) ((x(N) (( x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(. Se per ogni numero naturale x dimostriamo l'esistenza di una mappatura fx: N®N con proprietà 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(, quindi la funzione ((x,y) definita dall'uguaglianza ((x,y) ( fx(y), e soddisferà le condizioni 1) e 2 ).
Sull'insieme N, definiamo la relazione binaria fx dalle condizioni:
a) 0fxx;
b) se yfxz, allora y(fxz(.
Assicuriamoci che questa relazione sia una mappatura di N su N, cioè per ogni y da N
(((z(N) yfxz (1)
Indichiamo con M l'insieme dei numeri naturali y per i quali la condizione (1) è soddisfatta. Quindi dalla condizione a) segue che 0(M, e dalla condizione b) e dalla proprietà 1 dell'elemento 1 segue che se y(M, allora anche y((M. Quindi, sulla base dell'assioma 4, concludiamo che M =N, il che significa che la relazione fx è una mappatura da N a N. Questa mappatura soddisfa le seguenti condizioni:
1() fx(0)=x - a causa di a);
2() fx((y)=fx(y() - a causa di b).
Si dimostra quindi l'esistenza dell'addizione.
Dimostriamo l'unicità. Siano + e ( due operazioni algebriche binarie qualsiasi su un insieme N con proprietà 1c e 2c. È necessario dimostrare che
((x,y(N)x+y=x(y
Risolviamo numero arbitrario x e indichiamo con S l'insieme di quei numeri naturali y per i quali l'uguaglianza
x+y=x(y(2)
eseguita. Poiché secondo 1c x+0=x e x(0=x, allora
A) 0(S
Lascia che ora y(S, cioè l'uguaglianza (2) valga. Poiché x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(e x+y=x(y), quindi assioma 2 x+y(=x(y(, cioè la condizione
C) y(S ® y((S.
Quindi, per l'assioma 4, S=N, che completa la dimostrazione del teorema.
Dimostriamo alcune proprietà dell'addizione.
1. Il numero 0 è un elemento neutro di addizione, cioè a+0=0+a=a per ogni numero naturale a.
Prova. L'uguaglianza a+0=a segue dalla condizione 1c. Dimostriamo l'uguaglianza 0+a=a.
Indichiamo con M l'insieme di tutti i numeri per i quali vale. Ovviamente, 0+0=0 e quindi 0(M. Sia a(M, cioè 0+a=a. Allora 0+a(=(0+a)(=a(e quindi a((M. Quindi, M =N, che doveva essere dimostrato.
Successivamente, abbiamo bisogno di un lemma.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Prova. Sia M l'insieme di tutti i numeri naturali b per i quali l'uguaglianza a(+b=(a+b)(è vera per qualsiasi valore di a. Allora:
A) 0(M, poiché a(+0=(a+0)(;
C) b(M ® b((M.) Infatti, dal fatto che b(M e 2c, abbiamo
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
cioè, b((M. Quindi, M=N, che doveva essere dimostrato.
2. L'addizione dei numeri naturali è commutativa.
Prova. Sia M=(a(a(N((b(N)a+b=b+a). Basta provare che M=N. Abbiamo:
A) 0(M - dovuto alla proprietà 1.
C) a(M ® a((M. Infatti, applicando il lemma e il fatto che a(M), otteniamo:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Quindi a((M, e per l'assioma 4 M=N.
3. L'addizione è associativa.
Prova. Lascia stare
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
È necessario dimostrare che M=N. Poiché (a+b)+0=a+b e a+(b+0)=a+b, allora 0(M. Sia c(M, cioè (a+b)+c=a+(b+c ). Quindi
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Quindi, c((M e per l'assioma 4 M=N.
4. a+1=a(, dove 1=0(.
Prova. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Se b(0, allora ((a(N)a+b(a.
Prova. Sia M=(a(a(N(a+b(a). Poiché 0+b=b(0, allora 0(M. Inoltre, se a(M, cioè a+b(a), quindi per proprietà 2 elemento 1 (a+b)((a(o a(+b(a(. Quindi a((M e M=N.
6. Se b(0, allora ((a(N)a+b(0.
Prova. Se a=0, allora 0+b=b(0, ma se a(0 e a=c(, allora a+b=c(+b=(c+b)((0. Quindi, in ogni caso, a +b(0.
7. (La legge della tricotomia dell'addizione). Per tutti i numeri naturali aeb, una e solo una delle tre relazioni è vera:
1) a=b;
2) b=a+u, dove u(0;
3) a=b+v, dove v(0.
Prova. Fissiamo un numero arbitrario a e indichiamo con M l'insieme di tutti i numeri naturali b per i quali vale almeno una delle relazioni 1), 2), 3). È necessario dimostrare che M=N. Sia b=0. Allora se a=0, allora la relazione 1) è soddisfatta, e se a(0, allora la relazione 3) è vera, poiché a=0+a. Quindi 0(M.
Assumiamo ora che b(M, cioè per l'a prescelto, una delle relazioni 1), 2), 3) sia soddisfatta. Se a=b, allora b(=a(=a+1, cioè per b(relazione 2). Se b=a+u, allora b(=a+u(, cioè per b(relazione 2) Se a=b+v, allora sono possibili due casi: v=1 e v(1. Se v=1, allora a=b+v=b", cioè per b" la relazione 1 è soddisfatta). Se v(1, quindi v=c", dove c(0 e poi a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, dove c(0, ie per b" relazione 3 vale). Quindi, abbiamo dimostrato che b(M®b"(M, e, quindi, M=N, cioè per ogni aeb, almeno una delle relazioni 1), 2), 3 è soddisfatta ). che nessuna di esse può valere contemporaneamente. Infatti, se le relazioni 1) e 2) fossero soddisfatte, allora avremmo b=b+u, dove u(0, e questo contraddice la proprietà 5. L'impossibilità della soddisfacibilità 1) e 3) Infine, se le relazioni 2) e 3) fossero soddisfatte, allora avremmo a=(a+u)+v = a+ +(u+v), cosa impossibile a causa delle proprietà 5 e 6. La proprietà 7 è completamente dimostrato.
Compito 1.3.1. Sia 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Dimostra che 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MOLTIPLICAZIONE DEI NUMERI NATURALI.

Definizione 1. La moltiplicazione dei numeri naturali è una tale operazione binaria (sull'insieme N, per la quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1u. ((x(N) x(0=0;
2 anni ((x,y(N)x(y"=x(y+x.
Di nuovo sorge la domanda: esiste un'operazione del genere e, in tal caso, è unica?
Teorema. C'è una sola operazione per moltiplicare i numeri naturali.
La dimostrazione è quasi la stessa dell'addizione. È necessario trovare una tale mappatura (:N(N®N) che soddisfi le condizioni
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Correggi un numero arbitrario x. Se dimostriamo per ogni x(N l'esistenza di una mappatura fx: N®N con le proprietà
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
allora la funzione ((x,y) definita dall'uguaglianza ((x,y)=fx(y) soddisferà le condizioni 1) e 2).
Pertanto, la dimostrazione del teorema si riduce a dimostrare l'esistenza e l'unicità per ogni x della funzione fx(y) con proprietà 1") e 2"). Stabiliamo una corrispondenza sull'insieme N secondo la seguente regola:
a) il numero zero è paragonabile al numero 0,
b) se il numero y è associato al numero c, allora al numero y (associamo il numero c+x.
Assicuriamoci che con un tale confronto, ogni numero y abbia l'unica immagine: questo significherà che la corrispondenza è una mappatura di N in N. Indichiamo con M l'insieme di tutti i numeri naturali y aventi un'unica immagine. Segue dalla condizione a) e dall'assioma 1 che 0(M. Sia y(M. Allora condizione b) e l'assioma 2 implicano che y((M. Quindi, M=N, ovvero la nostra corrispondenza è una mappatura di N in N , denotalo con fx Quindi fx(0)=0 con la condizione a) e fx(y()=fx(y)+x con la condizione b).
Quindi, l'esistenza dell'operazione di moltiplicazione è dimostrata. Siano ora (e (siano due operazioni binarie qualsiasi sull'insieme N con proprietà 1y e 2y). Resta da dimostrare che ((x,y(N) x(y=x(y. Fissare un numero arbitrario x e lasciare
S=(y?y(N(x(y=x(y)
Poiché, in virtù di 1y, x(0=0 e x(0=0), allora 0(S. Sia y(S, cioè x(y=x(y. Allora
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
e, di conseguenza, y((S. Quindi, S=N, che completa la dimostrazione del teorema.
Notiamo alcune proprietà della moltiplicazione.
1. L'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione è il numero 1=0(, cioè ((a(N) a(1=1(a=a.
Prova. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Si dimostra quindi l'uguaglianza a(1=a). Resta da dimostrare l'uguaglianza 1(a=a. Sia M=(a ?a(N (1(a=a). Poiché 1(0=0, allora 0(M. Sia a(M, cioè 1(a=a. Allora 1(a(=1(a+1= a+1= a(, e, di conseguenza, a((M. Quindi, per l'assioma 4, M=N, che doveva essere dimostrato.
2. Per la moltiplicazione vale la legge distributiva retta, cioè
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Prova. Sia M=(c (c(N ((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Poiché (a+b)0=0 e a(0+b(0=0 , allora 0(M. Se c(M, cioè (a+b)c=ac+bc, allora (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a +b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Quindi c((M e M=N.
3. La moltiplicazione dei numeri naturali è commutativa, cioè ((a,b(N) ab=ba.
Prova. Proviamo prima per ogni b(N l'uguaglianza 0(b=b(0=0. L'uguaglianza b(0=0 segue dalla condizione 1у. Sia M=(b (b(N (0(b=0)) . Poiché 0( 0=0, allora 0(M. Se b(M, cioè 0(b=0, allora 0(b(=0(b+0=0 e, quindi, b((M. Quindi , M=N, cioè l'uguaglianza 0(b=b(0) è stata dimostrata per ogni b(N. Inoltre, sia S=(a (a(N (ab=ba). Poiché 0(b=b( 0), allora 0(S. Sia a (S, cioè ab=ba. Allora a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, cioè a((S Quindi S=N, che doveva essere dimostrato.
4. La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Questa proprietà segue dalle proprietà 3 e 4.
5. La moltiplicazione è associativa, cioè ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
La prova si effettua, come per addizione, per induzione su c.
6. Se a(b=0, allora a=0 o b=0, cioè non ci sono zero divisori in N.
Prova. Sia b(0 e b=c(. Se ab=0, allora ac(=ac+a=0, da cui segue, per la proprietà 6, elemento 3, che a=0.
Compito 1.4.1. Sia 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Dimostra che 2(4=8, 3(3=9.
Siano n, a1, a2,...,an numeri naturali. La somma dei numeri a1, a2,...,an è il numero indicato e determinato dalle condizioni; per qualsiasi numero naturale k
Il prodotto dei numeri a1, a2,...,an è un numero naturale, che è indicato e definito dalle condizioni: ; per qualsiasi numero naturale k
Se, allora il numero è indicato da an.
Compito 1.4.2. Prova che
ma) ;
B) ;
in) ;
G) ;
e) ;
e) ;
G);
h) ;
E) .

1.5. ORDINAZIONE DEL SISTEMA DI NUMERI NATURALI.

La relazione "segue" è antiriflessiva e antisimmetrica, ma non transitiva e quindi non è una relazione d'ordine. Definiremo la relazione d'ordine in base all'addizione di numeri naturali.
Definizione 1.a
Definizione 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Assicuriamoci che la relazione Notiamo alcune proprietà dei numeri naturali connesse con le relazioni di uguaglianza e disuguaglianza.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Prova. Le proprietà 1.1 e 1.2 derivano dall'unicità delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Se una
2. ((a(N) a
Prova. Poiché a(=a+1, allora a
3. L'elemento più piccolo in N è 0 e l'elemento più piccolo in N\(0) è il numero 1.
Prova. Poiché ((a(N) a=0+a, allora 0(a, e quindi 0 è l'elemento più piccolo in N. Inoltre, se x(N\(0), allora x=y(, y(N , o x = y + 1. Ciò implica che ((x(N \ (0)) 1 (x, ovvero 1 è l'elemento più piccolo in N \ (0).
4. Relazione ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Prova. Ovviamente per ogni a naturale esiste un numero naturale n tale che
a Tale numero è, ad esempio, n=a(. Inoltre, se b(N\(0), quindi per proprietà 3
1(b(2)
Da (1) e (2) sulla base delle proprietà 1.10 e 1.4 otteniamo aa.

1.6. ORDINE COMPLETO DEL SISTEMA DI NUMERI NATURALI.

Definizione 1. Se ogni sottoinsieme non vuoto di un insieme ordinato (M; Verifichiamo che l'ordine totale sia lineare. Siano aeb due elementi qualsiasi di un insieme ben ordinato (M; Lemma . 1) a
Prova.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0)) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0)) (a
Teorema 1. L'ordine naturale sull'insieme dei numeri naturali è l'ordine completo.
Prova. Sia M un qualsiasi insieme non vuoto di numeri naturali e S l'insieme dei suoi limiti inferiori in N, cioè S=(x (x(N (((m(M)) x(m). Dalla proprietà 3 item 5 ne consegue che 0(S. Se la seconda condizione dell'Assioma 4 n(S (n((S), allora) avremmo S=N. Infatti, S(N; cioè, se a(M, allora a(( S)
Teorema 2. Qualsiasi insieme non vuoto di numeri naturali limitato sopra ha un elemento massimo.
Prova. Sia M un qualsiasi insieme non vuoto di numeri naturali limitato sopra, e S sia l'insieme dei suoi limiti superiori, cioè S=(x(x(N (((m(M)) m(x). Indichiamo con x0 l'elemento più piccolo in S. Allora la disuguaglianza m(x0 vale per tutti i numeri m da M, e la disuguaglianza rigorosa m
Problema 1.6.1. Prova che
ma) ;
B) ;
in) .
Problema 1.6.2. Sia ( una proprietà dei numeri naturali e k un numero naturale arbitrario. Dimostralo
a) qualsiasi numero naturale ha la proprietà (, non appena 0 ha questa proprietà per ogni n (0
b) qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a k ha la proprietà (, non appena k ha questa proprietà e per ogni n (k(n) dall'assunto che n ha la proprietà (, ne consegue che il numero n + 1 ha anche questa proprietà;
c) qualsiasi numero naturale maggiore o uguale a k ha la proprietà (, non appena k possiede questa proprietà e per ogni n (n>k) dall'assunto che tutti i numeri t definiti dalla condizione k(t

1.7. PRINCIPIO DI INDUZIONE.

Utilizzando l'ordinamento completo del sistema dei numeri naturali, possiamo dimostrare il seguente teorema, su cui si basa uno dei metodi di dimostrazione, chiamato metodo di induzione matematica.
Teorema (principio di induzione). Tutte le affermazioni della sequenza A1, A2, ..., An, ... sono vere se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) l'affermazione A1 è vera;
2) se le affermazioni Ak sono vere per k
Prova. Supponiamo il contrario: le condizioni 1) e 2) sono soddisfatte, ma il teorema non è vero, cioè l'insieme M=(m(m(N\(0), Am è falso) non è vuoto. Secondo il Teorema 1 , elemento 6, M ha l'elemento più piccolo, che indichiamo con n. Poiché secondo la condizione 1) A1 è vero e An è falso, allora 1(n, e quindi 1
Quando si dimostra per induzione, si possono distinguere due fasi. Nella prima fase, detta base di induzione, viene verificata la soddisfacibilità della condizione 1). Al secondo stadio, chiamato passo di induzione, si dimostra la condizione 2). In questo caso, il più delle volte ci sono casi in cui, per provare la verità della proposizione An, non è necessario usare la verità delle proposizioni Ak per k
Esempio. Dimostrare la disuguaglianza Let = Sk. Si richiede di dimostrare la verità degli enunciati Ak=(Sk La successione degli enunciati di cui al Teorema 1 può essere ottenuta dal predicato A(n) definito sull'insieme N o sul suo sottoinsieme Nk=(x (x(N) , x(k), dove k - qualsiasi numero naturale fisso.
In particolare, se k=1, allora N1=N\(0), e la numerazione degli enunciati può essere effettuata utilizzando le uguaglianze A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Se k(1, allora la sequenza di affermazioni può essere ottenuta usando le uguaglianze A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. In accordo con tale notazione, il Teorema 1 può essere formulato in un'altra forma.
Teorema 2. Il predicato A(m) è identicamente vero sull'insieme Nk se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) l'affermazione A(k) è vera;
2) se le affermazioni A(m) sono vere per m
Problema 1.7.1. Dimostra che le seguenti equazioni non hanno soluzioni nel regno dei numeri naturali:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2a.
Problema 1.7.2. Dimostrare usando il principio dell'induzione matematica:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
B) ;
in) ;
G) ;
e) ;
e).

1.8. SOTTRAZIONE E DIVISIONE DI NUMERI NATURALI.

Definizione 1. La differenza di numeri naturali aeb è un numero naturale x tale che b+x=a. La differenza tra i numeri naturali aeb è indicata con a-b e l'operazione per trovare la differenza è chiamata sottrazione. La sottrazione non è un'operazione algebrica. Ciò segue dal seguente teorema.
Teorema 1. La differenza a-b esiste se e solo se b(a. Se esiste una sola differenza.
Prova. Se b(a, allora per definizione della relazione (esiste un numero naturale x tale che b+x=a. Ma questo significa anche che x=ab. Viceversa, se esiste la differenza ab, allora per Definizione 1 esiste tale numero naturale x, che b+x=a, ma questo significa anche che b(a.
Dimostriamo l'unicità differenze a-b. Sia a-b=x e a-b=y. Quindi secondo la definizione 1 b+x=a, b+y=a. Quindi b+x=b+y e quindi x=y.
Definizione 2. Un quoziente di due numeri naturali aeb(0) è un numero naturale c tale che a=bc. L'operazione di trovare un quoziente è chiamata divisione. La questione dell'esistenza di un quoziente è risolta nella teoria di divisibilità.
Teorema 2. Se esiste un quoziente, allora solo uno.
Prova. Sia =x e =y. Quindi secondo la definizione 2 a=bx e a=by. Quindi bx=by e quindi x=y.
Si noti che le operazioni di sottrazione e divisione sono definite quasi testualmente allo stesso modo dei libri di testo scolastici. Ciò significa che nei paragrafi 1-7, sulla base degli assiomi di Peano, si pongono solide basi teoriche per l'aritmetica dei numeri naturali e la sua ulteriore presentazione viene costantemente svolta nel corso di matematica della scuola e nel corso universitario "Algebra e Teoria dei numeri".
Problema 1.8.1. Dimostrare la validità delle seguenti affermazioni, assumendo che sussistano tutte le differenze che si verificano nelle loro formulazioni:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problema 1.8.2. Dimostrare la validità delle seguenti affermazioni, assumendo che esistano tutti i quozienti che ricorrono nelle loro formulazioni.
ma) ; B) ; in) ; G) ; e) ; e) ; G); h) ; E) ; a) ; l); m) ; m) ; di) ; P) ; R) .
Problema 1.8.3. Dimostra che le seguenti equazioni non possono avere due diverse soluzioni naturali: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Problema 1.8.4. Risolvi le equazioni in numeri naturali:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; f) x+y+z=x(y(z.
Problema 1.8.5. Dimostra che le seguenti equazioni non hanno soluzioni nel regno dei numeri naturali: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; in) ; G) ; e) x2=2x+1; f) x2=2y2.
Problema 1.8.6. Risolvi in numeri naturali le disuguaglianze: a) ; B) ; in) ; d) x+y2 Problema 1.8.7. Dimostrare che nel regno dei numeri naturali valgono le seguenti relazioni: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9. SENSO QUANTITATIVO NUMERI NATURALI.
In pratica, i numeri naturali sono usati principalmente per contare gli elementi, e per questo è necessario stabilire il significato quantitativo dei numeri naturali nella teoria di Peano.
Definizione 1. L'insieme (x (x(N, 1(x(n))) è chiamato segmento della serie naturale ed è indicato con (1;n(.
Definizione 2. Un insieme finito è qualsiasi insieme che è equivalente in potenza a un segmento della serie naturale, così come un insieme vuoto. Un insieme che non è finito si dice infinito.
Teorema 1. Un insieme finito A non è equivalente a nessuno dei suoi propri sottoinsiemi (cioè un sottoinsieme diverso da A).
Prova. Se A=(, allora il teorema è vero, poiché l'insieme vuoto non ha sottoinsiemi propri. Sia A((e A equivalenti a (1,n((A((1,n()). Dimostreremo il teorema con induzione su n. Se n= 1, cioè A((1,1(, allora l'unico sottoinsieme proprio dell'insieme A è l'insieme vuoto. È chiaro che A( e, quindi, il teorema vale per n =1. Supponiamo che il teorema sia vero per n=m, cioè tutti gli insiemi finiti equivalenti al segmento (1,m( non hanno sottoinsiemi propri equivalenti. Sia A qualsiasi insieme equivalente al segmento (1,m+ 1(e (:(1,m+1(®A - qualche mappa biiettiva del segmento (1,m+1(in A. Se ((k)) è indicato con ak, k=1,2,... ,m+1, allora l'insieme A può essere scritto come A=(a1, a2, ... , am, am+1).Il nostro compito è dimostrare che A non ha sottoinsiemi propri equipotenti. B(A, B(A, B(A e f: A®B) sia una mappatura biiettiva. (e f tale che am+1(B e f(am+1)=am+1.
Considera gli insiemi A1=A\(am+1) e B1=B\(am+1). Poiché f(am+1)=am+1, la funzione f effettuerà una mappatura biiettiva dell'insieme A1 sull'insieme B1. Pertanto, l'insieme A1 sarà equivalente al proprio sottoinsieme B1. Ma poiché A1((1,m(, questo contraddice l'ipotesi di induzione.
Corollario 1. L'insieme dei numeri naturali è infinito.
Prova. Segue dagli assiomi di Peano che la mappatura S:N®N\(0), S(x)=x(è biiettiva. Quindi, N è equivalente al suo sottoinsieme proprio N\(0) e, in virtù del Teorema 1 , non è finito.
Corollario 2. Qualsiasi insieme finito A non vuoto è equivalente in dimensione a uno e solo un segmento della serie naturale.
Prova. Sia A((1,m(e A((1,n(. Allora (1,m(((1,n(, da cui, in virtù del Teorema 1, ne segue che m=n. Infatti, se assumiamo quella m
Il corollario 2 permette di introdurre una definizione.
Definizione 3. Se A((1,n(, allora il numero naturale n è chiamato numero di elementi dell'insieme A, e il processo per stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e (1,n( è chiamato conteggio degli elementi dell'insieme A. È naturale considerare il numero di elementi dell'insieme vuoto numero zero.
È superfluo parlare dell'enorme significato del contare nella vita pratica.
Si noti che, conoscendo il significato quantitativo di un numero naturale, sarebbe possibile definire l'operazione di moltiplicazione per addizione, ovvero:
.
Non abbiamo volutamente intrapreso questa strada per dimostrare che l'aritmetica stessa non ha bisogno di un senso quantitativo: il significato quantitativo di un numero naturale è necessario solo nelle applicazioni dell'aritmetica.

1.10. IL SISTEMA DEI NUMERI NATURALI COME INSIEME DISCRETO COMPLETAMENTE ORDINATO.

Abbiamo mostrato che l'insieme dei numeri naturali rispetto all'ordine naturale è ben ordinato. In questo caso, ((a(N) a
1. per ogni numero a(N esiste un numero vicino che lo segue in relazione 2. per ogni numero a(N\(0) esiste un numero vicino che lo precede in relazione Un insieme ben ordinato (A;() con proprietà 1 e 2 saranno chiamati pozzo discreto Si scopre che l'ordinamento completo con le proprietà 1 e 2 è una proprietà caratteristica di un sistema di numeri naturali. come segue: a(=b se b è un elemento adiacente che segue a in relazione (. It è chiaro che l'elemento più piccolo dell'insieme A non segue nessun elemento e, quindi, l'assioma 1 di Peano è soddisfatto.
Poiché la relazione (è ordine lineare, quindi per ogni elemento a c'è un elemento univoco che lo segue e al massimo un elemento adiacente precedente. Ciò implica la fattibilità degli assiomi 2 e 3. Sia M un qualsiasi sottoinsieme dell'insieme A per il quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1) a0(M, dove a0 è l'elemento più piccolo di A;
2) a(M (a((M.
Dimostriamo che M=N. Si supponga il contrario, cioè A\M((. Indichiamo con b l'elemento più piccolo in A\M. Poiché a0(M, allora b(a0 e, quindi, esiste un elemento c tale che c(=b. Poiché C
Quindi, abbiamo dimostrato la possibilità di un'ennesima definizione del sistema dei numeri naturali.
Definizione. Un sistema di numeri naturali è qualsiasi insieme ben ordinato in cui sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. per ogni elemento c'è un elemento confinante che lo segue;
2. per ogni elemento diverso dal più piccolo, è preceduto da un elemento attiguo.
Ci sono altri approcci per determinare il sistema dei numeri naturali, su cui non ci soffermiamo qui.

2. NUMERI INTERI E RAZIONALI.

2.1. DEFINIZIONE E PROPRIETA' DEL SISTEMA DEI NUMERI INTERI.
È noto che l'insieme degli interi nella loro comprensione intuitiva è un anello rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, e questo anello contiene tutti i numeri naturali. È anche chiaro che non esiste un sottoring appropriato nell'anello di interi che contenga tutti i numeri naturali. Queste proprietà, si scopre, possono essere utilizzate come base per una definizione rigorosa del sistema degli interi. Nelle Sezioni 2.2 e 2.3 verrà dimostrata la correttezza di tale definizione.
Definizioni 1. Viene chiamato un sistema di numeri interi sistema algebrico, per la quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. Un sistema algebrico è un anello;
2. L'insieme dei numeri naturali è contenuto e l'addizione e la moltiplicazione nell'anello del sottoinsieme coincidono con l'addizione e la moltiplicazione dei numeri naturali, cioè
3. (condizione minima). Z è un insieme minimo di inclusione con proprietà 1 e 2. In altre parole, se un sottoanello dell'anello contiene tutti i numeri naturali, Z0=Z.
Alla definizione 1 può essere assegnato un carattere assiomatico dettagliato. I concetti iniziali in questa teoria assiomatica saranno:
1) L'insieme Z, i cui elementi sono detti interi.
2) Un intero speciale chiamato zero e denotato da 0.
3) Rapporti ternari + e (.
Come al solito, N indica l'insieme dei numeri naturali con addizione (e moltiplicazione (. In accordo con la Definizione 1, un sistema di interi è un sistema algebrico (Z; +, (, N) per il quale valgono i seguenti assiomi:
1. (Assiomi ad anello.)
1.1.
Questo assioma significa che + è un'operazione algebrica binaria sull'insieme Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z)a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, ovvero il numero 0 è un elemento neutro rispetto all'addizione.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, cioè per ogni intero c'è un numero opposto a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Questo assioma significa che la moltiplicazione è un'operazione algebrica binaria sull'insieme Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Assiomi di connessione dell'anello Z con il sistema dei numeri naturali.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N)a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Assioma di minimalità.)
Se Z0 è un sottoanello dell'anello Z e N(Z0, allora Z0=Z.
Notiamo alcune proprietà del sistema degli interi.
1. Ogni intero è rappresentabile come differenza di due numeri naturali. Questa rappresentazione è ambigua, con z=a-b e z=c-d, dove a,b,c,d(N, se e solo se a+d=b+c.
Prova. Indichiamo con Z0 l'insieme di tutti gli interi, ciascuno dei quali può essere rappresentato come la differenza di due numeri naturali. Ovviamente, ((a(N) a=a-0, e quindi N(Z0.
Quindi, sia x,y(Z0, cioè x=ab, y=cd, dove a,b,c,d(N. Allora xy=(ab)-(cd)=(a+d)--(b + c)=(a(d)-(b(c), x(y=(ab)(cd)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-( a (d(b(c). Questo mostra che xy, x(y(Z0 e, di conseguenza, Z0 è un sottoanello dell'anello Z contenente l'insieme N. Ma allora, per l'assioma 3, Z0=Z, e quindi il primo parte della proprietà 1 è dimostrata La seconda affermazione di questa proprietà è ovvia.
2. L'anello degli interi è un anello commutativo con un'unità e lo zero di questo anello è il numero naturale 0 e l'unità di questo anello è il numero naturale 1.
Prova. Sia x,y(Z. Secondo la proprietà 1 x=ab, y=cd, dove a,b,c,d(N. Allora x(y=(ab)((cd)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(cd)(ab)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b). Quindi, a causa della commutatività della moltiplicazione dei numeri naturali, concludiamo che xy=yx. La commutatività della moltiplicazione nell'anello Z è dimostrata. Il restante asserzioni della proprietà 2 seguono dalle seguenti ovvie uguaglianze, dove 0 e 1 denotano numeri naturali zero e uno: x+0=(ab)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(- b)=(a(0)+ (-b)=ab=x.x(1=(ab)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=ab=x.

2.2. ESISTENZA DI UN SISTEMA DI NUMERI INTERI.

Il sistema degli interi è definito in 2.1 come un anello minimo di inclusione contenente tutti i numeri naturali. La domanda sorge spontanea: esiste un tale anello? In altre parole, il sistema di assiomi di 2.1 è coerente? Per provare la coerenza di questo sistema di assiomi, è necessario costruire la sua interpretazione in una teoria coerente nota. L'aritmetica dei numeri naturali può essere considerata una tale teoria.
Si procede così alla costruzione di un'interpretazione del sistema degli assiomi 2.1. Considereremo il set iniziale. Su questo insieme, definiamo due operazioni binarie e una relazione binaria. Poiché l'addizione e la moltiplicazione di coppie si riducono all'addizione e alla moltiplicazione di numeri naturali, quindi, come per i numeri naturali, l'addizione e la moltiplicazione di coppie sono commutative, associative e la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Verifichiamo, ad esempio, la commutatività dell'addizione di coppie: +===+.
Considera le proprietà della relazione ~. Poiché a+b=b+a, allora ~, cioè la relazione ~ è riflessiva. Se ~, cioè a+b1=b+a1, allora a1+b=b1+a, cioè ~. Quindi, la relazione ~ è simmetrica. Lascia ulteriormente ~ e ~. Allora valgono le uguaglianze a+b1=b+a1 e a1+b2=b1+a2. Sommando queste uguaglianze, otteniamo a+b2=b+a2, cioè ~. Quindi anche la relazione ~ è transitiva e quindi un'equivalenza. La classe di equivalenza contenente una coppia sarà indicata da. Pertanto, una classe di equivalenza può essere indicata da una qualsiasi delle sue coppie e, inoltre,
(1)
L'insieme di tutte le classi di equivalenza sarà indicato con. Il nostro compito è mostrare che questo insieme, data l'opportuna definizione delle operazioni di addizione e moltiplicazione, sarà l'interpretazione del sistema di assiomi di 2.1. Le operazioni sul set sono definite da uguaglianze:
(2)
(3)
Se e, cioè sull'insieme N, le uguaglianze a+b(=b+a(, c+d(=a+c()), allora l'uguaglianza (a+c)+(b(+d() =(b +d)+(a(+c()), da cui, in virtù della (1), si ottiene l'unicità della moltiplicazione delle classi. Pertanto, le uguaglianze (2) e (3) definiscono operazioni algebriche binarie sulla impostare.
Poiché l'addizione e la moltiplicazione di classi si riducono all'addizione e alla moltiplicazione di coppie, queste operazioni sono commutative, associative e la moltiplicazione di classi è distributiva rispetto all'addizione. Dalle uguaglianze concludiamo che la classe è un elemento neutro rispetto all'addizione, e per ogni classe esiste una classe opposta ad essa. Ciò significa che l'insieme è un anello, cioè gli assiomi del gruppo 1 da 2.1 sono soddisfatti.
Considera un sottoinsieme sul ring. Se a(b, allora in virtù di (1) e se a
Su un insieme, definiamo una relazione binaria (follows(; ovvero, una classe è seguita da una classe, dove x(è un numero naturale dopo x. È naturale denotare la classe che segue x con (. È chiaro che a class non segue nessuna classe e ogni classe c'è una classe che la segue, e inoltre, una sola. Quest'ultima significa che la relazione (segue (è un'operazione algebrica unaria sull'insieme N.
Consideriamo una mappatura. Ovviamente, questa mappatura è biunivoca e le condizioni f(0)= , f(x()==(=f(x)(. Ciò significa che la mappatura f è un isomorfismo dell'algebra (N;0,() su l'algebra (;, (). In altre parole, l'algebra (;, () è un'interpretazione del sistema degli assiomi di Peano. Identificare queste algebre isomorfe, cioè supponendo che l'insieme N stesso sia un sottoinsieme dell'anello. La stessa identificazione nelle uguaglianze evidenti porta alle uguaglianze a(c =a+c, a(c=ac, il che significa che l'addizione e la moltiplicazione in un anello su un sottoinsieme N coincidono con l'addizione e la moltiplicazione di numeri naturali. Quindi, la soddisfacibilità degli assiomi del gruppo 2. Resta da verificare la soddisfacibilità dell'assioma di minimalità.
Sia Z0 un qualsiasi sottoanello dell'anello contenente l'insieme N e. Si noti che e, quindi, . Ma poiché Z0 è un anello, la differenza di queste classi appartiene anche all'anello Z0. Dalle uguaglianze -= (= concludiamo che (Z0 e, di conseguenza, Z0=. Si dimostra la consistenza del sistema di assiomi della Sezione 2.1.

2.3. UNICITÀ DEL SISTEMA DEI NUMERI INTERI.

C'è un solo sistema di numeri interi nel loro senso intuitivo. Ciò significa che il sistema di assiomi che definiscono gli interi deve essere categoriale, ovvero due interpretazioni qualsiasi di questo sistema di assiomi sono isomorfe. Categorico e significa che, fino all'isomorfismo, esiste un solo sistema di interi. Assicuriamoci che sia vero.
Siano (Z1;+,(,N) e (Z2;(,(,N) due interpretazioni qualsiasi del sistema di assiomi nella Sezione 2.1. Basta provare l'esistenza di una mappatura biiettiva f:Z1®Z2 tale che i numeri naturali rimangono fissi e, oltre a Inoltre, per eventuali elementi xey dell'anello Z1, le uguaglianze
(1)
. (2)
Si noti che poiché N(Z1 e N(Z2), quindi
, a(b=a(b. (3)
Sia x(Z1 e x=ab, dove a,b(N. Associa a questo elemento x=ab l'elemento u=a(b, dove (sottrazione nell'anello Z2. Se ab=cd, allora a+d=b +c, da cui, in virtù della (3), a(d=b(c) e, di conseguenza, a(b=c(d. Ciò significa che la nostra corrispondenza non dipende dal rappresentante dell'elemento x nella forma della differenza di due numeri naturali, e quindi si determina la mappatura f: Z1®Z2, f(ab)=a(b. È chiaro che se v(Z2 e v=c(d, allora v=f(cd Quindi, ogni elemento di Z2 è un'immagine sotto la mappatura f e, quindi, la mappatura f è suriettiva.
Se x=ab, y=cd, dove a,b,c,d(N e f(x)=f(y), allora a(b=c(d. Ma poi a(d=b(d, in (3) a+d=b+c, ie ab=cd Abbiamo dimostrato che l'uguaglianza f(x)=f(y) implica l'uguaglianza x=y, cioè la mappatura f è iniettiva.
Se a(N, allora a=a-0 e f(a)=f(a-0)=a(0=a. Quindi, i numeri naturali sono fissati sotto la mappatura f. Inoltre, se x=ab, y= cd, dove a,b,c,d(N, quindi x+y=(a+c)- e f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c)( (b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Si dimostra l'uguaglianza (1). Verifichiamo l'uguaglianza (2). Poiché f(xy)=( ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)((a(d(b(c), e d'altra parte f(x)(f(y)=(a(b) )((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Quindi, f(xy)=f(x)(f(y), che completa la dimostrazione che il sistema degli assiomi n.2.1.

2.4. DEFINIZIONE E PROPRIETA' DEL SISTEMA DEI NUMERI RAZIONALI.

L'insieme Q di numeri razionali nella loro comprensione intuitiva è un campo per il quale l'insieme Z di interi è un sottoanello. È ovvio che se Q0 è un sottocampo del campo Q contenente tutti gli interi, allora Q0=Q. Sono queste proprietà che useremo come base per una definizione rigorosa del sistema dei numeri razionali.
Definizione 1. Un sistema di numeri razionali è un sistema algebrico (Q;+,(;Z) per il quale sono soddisfatte le seguenti condizioni:
1. il sistema algebrico (Q;+,() è un campo;
2. l'anello Z di interi è un sottoanello del campo Q;
3. (condizione di minima) se il sottocampo Q0 del campo Q contiene il sottoanello Z, allora Q0=Q.
In breve, un sistema di numeri razionali è un campo minimo di inclusione contenente un sottoanello di numeri interi. È possibile dare una definizione assiomatica più dettagliata del sistema dei numeri razionali.
Teorema. Ogni numero razionale x può essere rappresentato come un quoziente di due interi, cioè
, dove a,b(Z, b(0. (1)
Questa rappresentazione è ambigua, inoltre, dove a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Prova. Indichiamo con Q0 l'insieme di tutti i numeri razionali rappresentabili nella forma (1). È sufficiente assicurarsi che Q0=Q. Sia, dove a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Allora, per le proprietà del campo, abbiamo: è un sottocampo del campo Q. Poiché qualsiasi intero a può essere rappresentato in la forma, allora Z(Q0. Quindi, in virtù della condizione di minimalità, segue che Q0=Q. La dimostrazione della seconda parte del teorema è ovvia.

2.5. ESISTENZA DI UN SISTEMA DI NUMERI RAZIONALI.

Il sistema dei numeri razionali è definito come il campo minimo contenente un sottoanello di numeri interi. Naturalmente sorge la domanda se tale campo esista, cioè se il sistema di assiomi che definisce i numeri razionali sia coerente. Per dimostrare la coerenza, è necessario costruire un'interpretazione di questo sistema di assiomi. In questo caso, si può fare affidamento sull'esistenza di un sistema di numeri interi. Quando costruiamo un'interpretazione, consideriamo l'insieme Z(Z\(0) come punto di partenza. Su questo insieme definiamo due operazioni algebriche binarie
, (1)
(2)
e relazione binaria
(3)
L'opportunità di una tale definizione delle operazioni e della relazione ~ deriva dal fatto che nell'interpretazione che stiamo costruendo, la coppia esprimerà il quoziente.
È facile verificare che le operazioni (1) e (2) sono commutative, associative e la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Tutte queste proprietà vengono testate rispetto alle corrispondenti proprietà di addizione e moltiplicazione di interi. Verifichiamo, ad esempio, l'associatività della moltiplicazione di coppie: .
Allo stesso modo, si verifica che la relazione ~ sia un'equivalenza e, di conseguenza, l'insieme Z(Z\(0) è diviso in classi di equivalenza. L'insieme di tutte le classi sarà indicato con, e la classe contenente la coppia con. Pertanto, la classe può essere indicata da una qualsiasi delle sue coppie e per la condizione (3) otteniamo:
. (4)
Il nostro compito è definire l'operazione di addizione e moltiplicazione su un insieme in modo tale che sia un campo. Queste operazioni sono definite da uguaglianze:
, (5)
(6)
Se, cioè, ab1=ba1 e, cioè, cd1=dc1, moltiplicando queste uguaglianze, otteniamo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), il che significa che Questo ci convince che l'uguaglianza (6 ) definisce infatti un'operazione a valore unico sull'insieme delle classi, indipendente dalla scelta dei rappresentanti in ciascuna classe. L'unicità dell'operazione (5) viene verificata in modo simile.
Poiché l'addizione e la moltiplicazione di classi si riducono all'addizione e alla moltiplicazione di coppie, le operazioni (5) e (6) sono commutative, associative e la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione.
Dalle uguaglianze concludiamo che la classe è un elemento neutro rispetto all'addizione e per ogni classe esiste un elemento opposto ad essa. Allo stesso modo, dalle uguaglianze deriva che una classe è un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, e per ogni classe esiste una classe inversa. Quindi, è un campo rispetto alle operazioni (5) e (6); la prima condizione nella definizione del punto 2.4 è soddisfatta.
Considera il prossimo set. Ovviamente, . L'insieme è chiuso per sottrazione e moltiplicazione e, quindi, è un sottoanello del campo. Veramente, . Consideriamo quindi la mappatura, . La suriettività di questa mappatura è ovvia. Se f(x)=f(y), cioè allora x(1=y(1 o x=y. Quindi, la mappatura f e è iniettiva. Inoltre, . Quindi, la mappatura f è un isomorfismo di un anello in un anello. Identificando questi sono anelli isomorfi, possiamo supporre che l'anello Z sia un sottoanello del campo, cioè la condizione 2 nella definizione del punto 2.4 è soddisfatta. Resta da dimostrare la minimalità del campo. Sia qualsiasi sottocampo campi e, e lascia stare. Dal momento che, bene, allora. Ma poiché è un campo, anche il quoziente di questi elementi appartiene al campo. Quindi, è dimostrato che se , allora, cioè. L'esistenza di un sistema di numeri razionali è dimostrata.

2.6. UNICITÀ DEL SISTEMA DEI NUMERI RAZIONALI.

Poiché esiste un solo sistema di numeri razionali nella loro comprensione intuitiva, la teoria assiomatica dei numeri razionali, che viene qui presentata, deve essere categoriale. Categorico e significa che, fino all'isomorfismo, esiste un solo sistema di numeri razionali. Dimostriamo che è proprio così.
Siano (Q1;+, (; Z) e (Q2; (, (; Z)) due sistemi di numeri razionali qualsiasi. Basta provare l'esistenza di una mappatura biiettiva tale che tutti gli interi rimangano fissi e, inoltre, le condizioni
(1)
(2)
per qualsiasi elemento xey dal campo Q1.
Il quoziente degli elementi aeb nel campo Q1 sarà indicato con, e nel campo Q2 - con a:b. Poiché Z è un sottoanello di ciascuno dei campi Q1 e Q2, per ogni intero aeb abbiamo le uguaglianze
, . (3)
Lascia e dove, . Associa questo elemento x con l'elemento y=a:b del campo Q2. Se l'uguaglianza è vera nel campo Q1, dove allora, per il Teorema 2.4, vale nell'anello Z l'uguaglianza ab1=ba1, o, in virtù della (3), l'uguaglianza, e quindi, per lo stesso teorema, l'uguaglianza a:b=a1:b1 è vero nel campo Q2 . Ciò significa che abbinando un elemento del campo Q1 con l'elemento y=a:b del campo Q2, definiamo una mappatura, .
Qualsiasi elemento del campo Q2 può essere rappresentato come a:b, dove, e, quindi, è l'immagine di un elemento del campo Q1. Quindi, la mappatura f è suriettiva.
Se, poi nel campo Q1 e poi. Pertanto, la mappatura f è biunivoca e tutti gli interi rimangono fissi. Resta da provare la validità delle uguaglianze (1) e (2). Sia e, dove a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Allora e, da cui, in virtù della (3), f(x+y)=f(x)(f(y Allo stesso modo, e dove.
L'isomorfismo delle interpretazioni (Q1;+, (; Z) e (Q2; (, (; Z)) è dimostrato.

RISPOSTE, ISTRUZIONI, SOLUZIONI.

1.1.1. Soluzione. Sia vera la condizione dell'assioma 4 (proprietà dei numeri naturali tale che ((0) e. Let. Allora M soddisfa la premessa dell'assioma 4, poiché ((0)(0(M e. Pertanto, M=N, cioè, ogni numero naturale ha la proprietà (. Al contrario, supponiamo che per ogni proprietà (dal fatto che ((0) e ne segue. Sia M un sottoinsieme di N tale che 0(M e. Mostreremo che M =N. Sia la proprietà (, assumendo. Allora ((0), poiché, e. Quindi, quindi, M=N.
1.1.2. Risposta: Le affermazioni del 1° e 4° assioma di Peano sono vere. L'affermazione del 2° assioma è falsa.
1.1.3. Risposta: le affermazioni 2,3,4 degli assiomi di Peano sono vere. L'affermazione del 1° assioma è falsa.
1.1.4. Le affermazioni 1, 2, 3 degli assiomi di Peano sono vere. L'affermazione del 4° assioma è falsa. Suggerimento: dimostrare che l'insieme soddisfa la premessa dell'assioma 4, formulato in termini di operazione, ma.
1.1.5. Suggerimento: per dimostrare la verità dell'enunciato dell'assioma 4, si consideri un sottoinsieme M di A che soddisfi le condizioni: a) 1((M, b) , e un insieme. Dimostralo. Allora M=A.
1.1.6. Le affermazioni degli assiomi 1°,2°,3° di Peano sono vere. L'affermazione del 4° assioma di Peano è falsa.
1.6.1. a) Soluzione: prima dimostra che se 1am. Di ritorno. Lasciami
1.6.2. a) Soluzione: supponiamo il contrario. Indichiamo con M l'insieme di tutti i numeri che non hanno la proprietà (. Per ipotesi, M((. In virtù del Teorema 1, M ha l'elemento minimo n(0. Qualsiasi numero x
1.8.1. f) Utilizzare e) e c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, quindi (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Utilizzare la proprietà.
l) Utilizzare la voce b).
m) Utilizzare la voce b) e la voce h).
1.8.2. c) Abbiamo, quindi, . Così, .
d) Abbiamo. Di conseguenza, .
G).
1.8.3. a) Se (e (sono soluzioni diverse dell'equazione ax2+bx=c, allora a(2+b(=a(2+b(). D'altra parte, se, ad esempio, (b) Sia (e ( essere soluzioni diverse dell'equazione. Se ((. Tuttavia, (2=a(+b>a(, quindi, (>a. Abbiamo una contraddizione.
c) Sia (e (siano radici diverse dell'equazione e (>(. Allora 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-()(((( +( ) Quindi a((+()=2, ma (+(>2, quindi a(+()>2, che è impossibile.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Suggerimento: poiché e, abbiamo x=y; c) x=y(y+2), y - qualsiasi numero naturale; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Fino alle permutazioni x=1, y=2, z=3. Soluzione: Sia, ad esempio, x(y(z. Allora xyz=x+y+z(3z, cioè xy(3. Se xy=1, allora x=y=1 e z=2+z, cosa impossibile Se xy=2 allora x=1, y=2 In questo caso 2z=3+z cioè z=3 Se xy=3 allora x=1 y=3 Allora 3z= 4+z, cioè z=2, che contraddice l'assunzione y(z.
1.8.5. b) Se x=a, y=b è la soluzione dell'equazione, allora ab+b=a, cioè a>ab, che è impossibile. d) Se x=a, y=b è la soluzione dell'equazione, allora b
1.8.6. a) x=ky, dove k,y sono numeri naturali arbitrari e y(1. b) x è un numero naturale arbitrario, y=1. c) x è un numero naturale arbitrario, y=1. d) Non c'è soluzione. e) x1=1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Se a=b, allora 2ab=a2+b2. Lasciamo, ad esempio, a

LETTERATURA

1. Redkov MI Sistemi numerici. /Suggerimenti metodologici per lo studio del corso "Sistemi numerici". Parte 1. - Omsk: OmGPI, 1984. - 46s.
2. Ershova TI Sistemi numerici. / Sviluppo metodico per esercitazioni pratiche - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68s.

Metodo assiomatico in matematica.

Concetti fondamentali e relazioni della teoria assiomatica delle serie naturali. Definizione di numero naturale.

Addizione di numeri naturali.

Moltiplicazione dei numeri naturali.

Proprietà dell'insieme dei numeri naturali

Sottrazione e divisione di numeri naturali.

Metodo assiomatico in matematica

Nella costruzione assiomatica di qualsiasi teoria matematica, il determinate regole:

1. Alcuni concetti della teoria sono scelti come maggiore e accettato senza definizione.

2. Formulato assiomi, che in questa teoria sono accettati senza prova, rivelano le proprietà dei concetti di base.

3. Viene fornito ogni concetto della teoria, che non è contenuto nell'elenco di quelli di base definizione, ne spiega il significato con l'aiuto del concetto principale e precedente.

4. Ogni enunciato della teoria che non è contenuto nell'elenco degli assiomi deve essere dimostrato. Tali proposte sono chiamate teoremi e dimostrarli sulla base degli assiomi e dei teoremi che precedono quello in esame.

Il sistema degli assiomi dovrebbe essere:

a) coerente: dobbiamo essere sicuri che, traendo ogni sorta di conclusioni da un dato sistema di assiomi, non arriveremo mai a una contraddizione;

b) indipendente: nessun assioma dovrebbe essere una conseguenza di altri assiomi di questo sistema.

in) completare, se all'interno della sua struttura è sempre possibile provare o l'affermazione data o la sua negazione.

La presentazione della geometria da parte di Euclide nei suoi "Elementi" (III sec. aC) può essere considerata la prima esperienza di costruzione assiomatica di una teoria. Un contributo significativo allo sviluppo del metodo assiomatico per la costruzione della geometria e dell'algebra è stato dato da N.I. Lobachevsky e E. Galois. Alla fine del 19° secolo Il matematico italiano Peano ha sviluppato un sistema di assiomi per l'aritmetica.

Concetti fondamentali e relazioni della teoria assiomatica dei numeri naturali. Definizione di numero naturale.

Come concetto di base (non definito) in un determinato insieme n viene scelto atteggiamento , così come i concetti di teoria degli insiemi, nonché le regole della logica.

L'elemento immediatamente successivo all'elemento ma, designare ma".

La relazione "segui immediatamente" soddisfa i seguenti assiomi:

Gli assiomi di Peano:

Assioma 1. in moltitudine n c'è un elemento, direttamente non il prossimo per qualsiasi elemento di questo set. Chiamiamolo unità e simboleggiare 1 .

Assioma 2. Per ogni elemento ma da n c'è un solo elemento ma" immediatamente successivo ma .

Assioma 3. Per ogni elemento ma da n c'è al massimo un elemento immediatamente seguito da ma .

Assioma 4. Qualsiasi sottoinsieme m imposta n coincide con n , se ha le proprietà: 1) 1 contenuto in m ; 2) da cosa ma contenuto in m , ne consegue che e ma" contenuto in M.

Definizione 1. Molti n , per i cui elementi si instaura il rapporto "seguire direttamente» si chiama che soddisfa gli assiomi 1-4 insieme di numeri naturali, e i suoi elementi sono numeri naturali.

IN questa definizione nulla viene detto sulla natura degli elementi dell'insieme n . Quindi lei può essere qualsiasi cosa. Scegliere come set n qualche insieme particolare su cui è data una particolare relazione di "seguire direttamente" che soddisfa gli assiomi 1-4, otteniamo modello di questo sistema assiomi.

Il modello standard del sistema degli assiomi di Peano è una serie di numeri sorti nel processo di sviluppo storico della società: 1,2,3,4, ... La serie naturale inizia con il numero 1 (assioma 1); ogni numero naturale è immediatamente seguito da un singolo numero naturale (assioma 2); ogni numero naturale segue immediatamente al massimo un numero naturale (assioma 3); partendo dal numero 1 e spostandosi in ordine ai numeri naturali immediatamente successivi, otteniamo l'intero insieme di questi numeri (assioma 4).

Iniziammo così la costruzione assiomatica di un sistema di numeri naturali con la scelta del principale relazione "seguire direttamente". e assiomi che ne descrivono le proprietà. Un'ulteriore costruzione della teoria implica la considerazione delle proprietà note dei numeri naturali e delle operazioni su di essi. Dovrebbero essere divulgati in definizioni e teoremi, ad es. derivato in modo puramente logico dalla relazione "seguire immediatamente", e assiomi 1-4.

Il primo concetto che introduciamo dopo la definizione di numero naturale è atteggiamento "precede immediatamente" , che viene spesso utilizzato quando si considerano le proprietà delle serie naturali.

Definizione 2. Se un numero naturale B segue direttamente numero naturale ma, quel numero ma chiamata immediatamente precedente(o precedente) numero b .

La relazione "prima" ha vicino a proprietà.

Teorema 1. Uno non ha numero naturale precedente.

Teorema 2. Ogni numero naturale ma, diverso da 1, ha un unico numero precedente B, tale che B"= ma.

La costruzione assiomatica della teoria dei numeri naturali non è considerata né nell'iniziale né in Scuola superiore. Tuttavia, quelle proprietà della relazione "seguire direttamente", che si riflettono negli assiomi di Peano, sono oggetto di studio in corso primario matematica. Già in prima elementare, quando si considerano i numeri dei primi dieci, si scopre come si può ottenere ogni numero. Vengono utilizzati i termini “seguire” e “prima”. Ogni nuovo numero agisce come una continuazione del segmento studiato della serie naturale di numeri. Gli studenti sono convinti che ogni numero sia seguito dal successivo e, inoltre, solo uno, che la serie naturale dei numeri sia infinita.

Addizione di numeri naturali

Secondo le regole per costruire una teoria assiomatica, la definizione di addizione dei numeri naturali deve essere introdotta utilizzando solo la relazione "seguire direttamente" e concetti "numero naturale" e "numero precedente".

Premettiamo la definizione di addizione con le seguenti considerazioni. Se per qualsiasi numero naturale ma aggiungi 1, otteniamo il numero ma", immediatamente successivo ma, cioè. ma+ 1= un" e quindi otteniamo la regola di aggiungere 1 a qualsiasi numero naturale. Ma come aggiungere al numero ma numero naturale B, diverso da 1? Usiamo il seguente fatto: se è noto che 2 + 3 = 5, allora la somma 2 + 4 = 6, che segue immediatamente il numero 5. Questo accade perché nella somma 2 + 4 il secondo termine è il numero immediatamente dopo il numero 3. Quindi 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". IN vista generale noi abbiamo , .

Questi fatti sono alla base della definizione di addizione dei numeri naturali nella teoria assiomatica.

Definizione 3. Addizione di numeri naturaliè un'operazione algebrica che ha le seguenti proprietà:

Numero a + b chiamata somma di numeri ma e B , e i numeri stessi ma e B - termini.