Quanto segue fornisce diversi criteri per la dipendenza lineare e di conseguenza indipendenza lineare sistemi vettoriali.

Teorema. (richiesto e condizione sufficiente dipendenza lineare dei vettori.)

Un sistema di vettori dipende se e solo se uno dei vettori del sistema è espresso linearmente nei termini degli altri di questo sistema.

Prova. Necessitano. Sia il sistema linearmente dipendente. Quindi, per definizione, rappresenta il vettore nullo in modo non banale, cioè esiste una combinazione non banale di questo sistema di vettori uguale al vettore zero:

dove almeno uno dei coefficienti di questa combinazione lineare non è uguale a zero. Sia , .

Dividi entrambe le parti dell'uguaglianza precedente per questo coefficiente diverso da zero (cioè moltiplica per:

Denotare: , dove .

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente nei termini degli altri di questo sistema, ecc.

Adeguatezza. Sia espresso linearmente uno dei vettori del sistema in termini di altri vettori di questo sistema:

Spostiamo il vettore a destra di questa uguaglianza:

Poiché il coefficiente del vettore è , allora abbiamo una rappresentazione non banale di zero da parte del sistema di vettori , il che significa che questo sistema di vettori è linearmente dipendente, ecc.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza.

1. Sistema di vettori spazio vettorialeè linearmente indipendente se e solo se nessuno dei vettori del sistema è espresso linearmente in termini di altri vettori di questo sistema.

2. Un sistema di vettori contenente un vettore zero o due vettori uguali è linearmente dipendente.

Prova.

1) Necessità. Sia il sistema linearmente indipendente. Supponiamo il contrario e vi sia un vettore di sistema che è espresso linearmente attraverso altri vettori di questo sistema. Quindi, per il teorema, il sistema è linearmente dipendente e arriviamo a una contraddizione.

Adeguatezza. Che nessuno dei vettori del sistema sia espresso in termini di altri. Assumiamo il contrario. Lascia che il sistema sia linearmente dipendente, ma poi dal teorema segue che esiste un vettore di sistema che è espresso linearmente attraverso altri vettori di questo sistema, e arriviamo di nuovo a una contraddizione.

2a) Lascia che il sistema contenga un vettore zero. Assumiamo per certezza che il vettore :. Poi l'uguaglianza

quelli. uno dei vettori del sistema è espresso linearmente nei termini degli altri vettori di questo sistema. Segue dal teorema che un tale sistema di vettori è linearmente dipendente, e così via.

Si noti che questo fatto può essere dimostrato direttamente da un sistema di vettori linearmente dipendente.

Poiché , la seguente uguaglianza è ovvia

Questa è una rappresentazione non banale del vettore zero, il che significa che il sistema è linearmente dipendente.

2b) Lascia che il sistema abbia due vettori uguali. Lascia per . Poi l'uguaglianza

Quelli. il primo vettore è espresso linearmente nei termini degli altri vettori dello stesso sistema. Segue dal teorema che questo sistema linearmente dipendente, ecc.

Analogamente alla precedente, questa affermazione può essere dimostrata anche direttamente dalla definizione di un sistema linearmente dipendente, quindi questo sistema rappresenta il vettore zero in modo non banale

da cui segue la dipendenza lineare del sistema.

Il teorema è stato dimostrato.

Conseguenza. Un sistema costituito da un vettore è linearmente indipendente se e solo se questo vettore è diverso da zero.

3.3. Indipendenza lineare dei vettori. Base.

Lineare combinazione sistemi vettoriali

chiamato vettore

dove a 1 , a 2 , ..., a n - numeri arbitrari.

Se tutto un i = 0, allora viene chiamata la combinazione lineare banale . In questo caso, ovviamente

Definizione 5.

Se per un sistema di vettori esiste una combinazione lineare non banale (almeno una un io ¹ 0) uguale al vettore zero: allora viene chiamato il sistema dei vettori linearmente dipendente. Se l'uguaglianza (1) è possibile solo se tutto un io =0, allora viene chiamato il sistema dei vettori linearmente indipendente .

Teorema 2 (Condizioni di dipendenza lineare).

Definizione 6.

Dal teorema 3 ne consegue che se una base è data nello spazio, aggiungendo ad essa un vettore arbitrario, otteniamo linearmente sistema dipendente vettori. In accordo con Teorema 2 (1) , uno di questi (si può dimostrare che il vettore ) può essere rappresentato come una combinazione lineare del resto:

.

Definizione 7.

Numeri chiamata coordinate vettori nella base (indicato

Se i vettori sono considerati su un piano, la base sarà una coppia ordinata di vettori non collineari

e le coordinate del vettore in questa base sono una coppia di numeri:

Osservazione 3. Si può dimostrare che per una data base, le coordinate del vettore sono determinate in modo univoco . Da ciò, in particolare, ne consegue che se i vettori sono uguali, le loro coordinate corrispondenti sono uguali e viceversa .

Quindi, se viene data una base nello spazio, allora ogni vettore dello spazio corrisponde a una tripla ordinata di numeri (coordinate vettoriali in questa base) e viceversa: ogni tripla di numeri corrisponde a un vettore.

Sul piano si stabilisce una corrispondenza simile tra vettori e coppie di numeri.

Teorema 4 (Operazioni lineari tramite coordinate di vettori).

Se in qualche modo e un è un numero arbitrario, quindi in questa base

In altre parole:

quando un vettore viene moltiplicato per un numero, le sue coordinate vengono moltiplicate per quel numero ;

quando vengono aggiunti i vettori, vengono aggiunte le loro coordinate corrispondenti .

Esempio 1 . In qualche modo, i vettoriavere coordinate

Mostra che i vettori formano una base e trova le coordinate del vettore in questa base.

I vettori formano una base se non sono complanari, quindi (secondo Teorema 3(2) ) sono linearmente indipendenti.

Per definizione 5 questo significa che l'uguaglianza

possibile solo quandoX = y = z = 0.

Definizione 1. Un sistema di vettori è detto linearmente dipendente se uno dei vettori del sistema può essere rappresentato come una combinazione lineare del resto dei vettori del sistema, e linearmente indipendente in caso contrario.

Definizione 1´. Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se ci sono numeri da 1 , da 2 , …, da k , non tutti uguali a zero, tale che la combinazione lineare di vettori a coefficienti dati è uguale al vettore zero: = , altrimenti il ​​sistema è detto linearmente indipendente.

Mostriamo che queste definizioni sono equivalenti.

Sia soddisfatta la definizione 1, cioè uno dei vettori del sistema è uguale a una combinazione lineare del resto:

Una combinazione lineare di un sistema di vettori è uguale a un vettore zero e non tutti i coefficienti di questa combinazione sono uguali a zero, cioè vale la definizione 1´.

Sia soddisfatta la Definizione 1´. La combinazione lineare del sistema dei vettori è , e non tutti i coefficienti della combinazione sono uguali a zero, ad esempio i coefficienti del vettore .

Abbiamo presentato uno dei vettori del sistema come una combinazione lineare del resto, cioè la definizione 1 è soddisfatta.

Definizione 2. Viene chiamato il vettore unitario, o ort vettore n-dimensionale, quale io La esima coordinata è uguale a uno e il resto è zero.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Vari vettori di unità n-spazio dimensionale sono linearmente indipendenti.

Prova. Sia la combinazione lineare di questi vettori con coefficienti arbitrari uguale al vettore zero.

Da questa uguaglianza deriva che tutti i coefficienti sono uguali a zero. Abbiamo una contraddizione.

Ogni vettore n-spazio dimensionale ā (ma 1 , ma 2 , ..., ma n ) può essere rappresentato come una combinazione lineare vettori unitari con coefficienti uguali alle coordinate del vettore

Teorema 2. Se il sistema di vettori contiene un vettore zero, allora è linearmente dipendente.

Prova. Sia dato un sistema di vettori e uno dei vettori sia zero, ad esempio = . Quindi, con i vettori di questo sistema, è possibile comporre una combinazione lineare uguale al vettore zero, e non tutti i coefficienti saranno zero:

Pertanto, il sistema è linearmente dipendente.

Teorema 3. Se qualche sottosistema di un sistema di vettori è linearmente dipendente, l'intero sistema è linearmente dipendente.

Prova. Dato un sistema di vettori. Assumiamo che il sistema sia linearmente dipendente, cioè ci sono numeri da 1 , da 2 , …, da R , non tutti uguali a zero, tali che = . Quindi

Si è scoperto che la combinazione lineare dei vettori dell'intero sistema è uguale e non tutti i coefficienti di questa combinazione sono uguali a zero. Pertanto, il sistema dei vettori è linearmente dipendente.

Conseguenza. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche uno qualsiasi dei suoi sottosistemi è linearmente indipendente.

Prova.

Supponiamo il contrario, cioè alcuni sottosistemi sono linearmente dipendenti. Segue dal teorema che l'intero sistema è linearmente dipendente. Siamo giunti a una contraddizione.

Teorema 4 (Teorema di Steinitz). Se ciascuno dei vettori è una combinazione lineare dei vettori e m>n, allora il sistema dei vettori è linearmente dipendente.

Conseguenza. In qualsiasi sistema di vettori n-dimensionali, non possono esserci più di n vettori linearmente indipendenti.

Prova. Ogni n Il vettore -dimensionale è espresso come una combinazione lineare di n vettori unitari. Pertanto, se il sistema contiene m vettori e m>n, quindi, per il teorema, questo sistema è linearmente dipendente.

Lascia stare l è lo spazio lineare sul campo R . Lascia stare A1, a2, ... , an (*) un sistema finito di vettori da l . Vettore IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chiamato Una combinazione lineare di vettori ( *), o dire vettore IN espresso linearmente attraverso un sistema di vettori (*).

Definizione 14. Viene chiamato il sistema dei vettori (*) linearmente dipendente , se e solo se esiste un insieme di coefficienti diverso da zero a1, a2, … , tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Se a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, allora viene chiamato il sistema (*) linearmente indipendente.

Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.

10. Se un sistema di vettori contiene un vettore zero, allora è linearmente dipendente.

Infatti, se nel sistema (*) il vettore A1 = 0, Quindi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Se un sistema di vettori contiene due vettori proporzionali, allora è linearmente dipendente.

Lascia stare A1 = l×a2. Quindi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× MA N= 0.

30. Un sistema finito di vettori (*) per n ³ 2 è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare degli altri vettori di tale sistema.

Þ Sia (*) linearmente dipendente. Allora c'è un insieme diverso da zero di coefficienti a1, a2, … , un tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Senza perdita di generalità, possiamo assumere che a1 ¹ 0. Allora esiste A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× MA N. Quindi, il vettore A1 è una combinazione lineare dei vettori rimanenti.

Ü Sia uno dei vettori (*) una combinazione lineare degli altri. Possiamo supporre che questo sia il primo vettore, cioè A1 = B2 A2+ … + mld MA N, quindi (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld MA N= 0 , ovvero (*) è linearmente dipendente.

Commento. Utilizzando l'ultima proprietà, si può definire la dipendenza lineare e l'indipendenza di un sistema infinito di vettori.

Definizione 15. Sistema vettoriale A1, a2, ... , an , … (**) è chiamato linearmente dipendente, Se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare di un numero finito di altri vettori. In caso contrario, viene chiamato il sistema (**). linearmente indipendente.

40. Un sistema finito di vettori è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei suoi vettori può essere espresso linearmente nei termini dei suoi altri vettori.

50. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche uno qualsiasi dei suoi sottosistemi è linearmente indipendente.

60. Se qualche sottosistema di un dato sistema di vettori è linearmente dipendente, anche l'intero sistema è linearmente dipendente.

Siano dati due sistemi di vettori A1, a2, ... , an , … (16) e В1, в2, … , вs, … (17). Se ciascun vettore del sistema (16) può essere rappresentato come una combinazione lineare di un numero finito di vettori del sistema (17), allora diciamo che il sistema (17) è espresso linearmente attraverso il sistema (16).

Definizione 16. Si chiamano i due sistemi di vettori equivalente , se ciascuno di essi è espresso linearmente nei termini dell'altro.

Teorema 9 (teorema di base sulla dipendenza lineare).

Lascia e - Due sistemi finali vettori da l . Se il primo sistema è linearmente indipendente ed espresso linearmente nei termini del secondo, allora n£s.

Prova. Facciamo finta che n> S. Secondo il teorema

(21)

Poiché il sistema è linearmente indipendente, l'uguaglianza (18) w X1=x2=…=xN=0. Sostituiamo qui espressioni di vettori: …+=0 (19). Quindi (20). Le condizioni (18), (19) e (20) sono ovviamente equivalenti. Ma la (18) è soddisfatta solo quando X1=x2=…=xN=0. Scopriamo quando l'uguaglianza (20) è vera. Se tutti i suoi coefficienti sono uguali a zero, allora è ovviamente vero. Uguagliandoli a zero, otteniamo il sistema (21). Poiché questo sistema ha zero , esso

giunto. Dal numero di equazioni più numero incognite, allora il sistema ha infinite soluzioni. Pertanto, ha un diverso da zero x10, x20, …, xN0. Per questi valori, sarà vera l'uguaglianza (18), che contraddice il fatto che il sistema di vettori è linearmente indipendente. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Di conseguenza, n£s.

Conseguenza. Se due sistemi di vettori equivalenti sono finiti e linearmente indipendenti, allora contengono lo stesso numero di vettori.

Definizione 17. Viene chiamato il sistema dei vettori Il massimo sistema di vettori linearmente indipendenti spazio lineare l , se è linearmente indipendente, ma aggiungendovi qualsiasi vettore da l non incluso in questo sistema, diventa linearmente dipendente.

Teorema 10. Qualsiasi due sistemi finiti di vettori massimali linearmente indipendenti da l Contengono lo stesso numero di vettori.

Prova deriva dal fatto che due sistemi di vettori massimali linearmente indipendenti sono equivalenti .

È facile dimostrare che qualsiasi sistema linearmente indipendente di vettori spaziali l può essere completato al massimo sistema linearmente indipendente di vettori di questo spazio.

Esempi:

1. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici collineari, qualsiasi sistema costituito da un vettore diverso da zero è massima linearmente indipendente.

2. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici complanari, due vettori non collineari qualsiasi costituiscono un sistema massimale linearmente indipendente.

3. Nell'insieme di tutti i possibili vettori geometrici dello spazio euclideo tridimensionale, qualsiasi sistema di tre vettori non complanari è il massimo linearmente indipendente.

4. Nell'insieme di tutti i polinomi, il grado è al massimo n Con coefficienti reali (complessi), un sistema di polinomi 1, x, x2, …, xnÈ massima linearmente indipendente.

5. Nell'insieme di tutti i polinomi con coefficienti reali (complessi), esempi di un sistema massimale linearmente indipendente sono

ma) 1, x, x2, … , xn, … ;

B) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. L'insieme delle matrici di dimensione m´ nè un spazio lineare(controllare questo). Un esempio di sistema massimale linearmente indipendente in questo spazio è il sistema di matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Sia dato un sistema di vettori C1, c2, ... , cfr (*). Viene chiamato il sottosistema dei vettori da (*) Massima linearmente indipendente Sottosistema Sistemi ( *) , se è linearmente indipendente, ma quando ad esso viene aggiunto qualsiasi altro vettore di questo sistema, diventa linearmente dipendente. Se il sistema (*) è finito, allora uno qualsiasi dei suoi sottosistemi massimali linearmente indipendenti contiene lo stesso numero di vettori. (Prova da solo.) Viene chiamato il numero di vettori nel sottosistema linearmente indipendente massimo del sistema (*) classifica Questo sistema. Ovviamente, sistemi di vettori equivalenti hanno gli stessi ranghi.

Le funzioni sono chiamate linearmente indipendente, Se

(è consentita solo una banale combinazione lineare di funzioni, che è identicamente uguale a zero). In contrasto con l'indipendenza lineare dei vettori, qui l'identità della combinazione lineare è zero e non uguaglianza. Questo è comprensibile, poiché l'uguaglianza della combinazione lineare a zero deve essere soddisfatta per qualsiasi valore dell'argomento.

Le funzioni sono chiamate linearmente dipendente, se esiste un insieme di costanti diverso da zero (non tutte le costanti sono uguali a zero) tale che (esiste una combinazione lineare non banale di funzioni che è identicamente uguale a zero).

Teorema.Affinché le funzioni siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che ognuna di esse sia espressa linearmente nei termini delle altre (rappresentate come loro combinazione lineare).

Dimostra tu stesso questo teorema, è dimostrato allo stesso modo del teorema simile sulla dipendenza lineare dei vettori.

Il determinante di Vronskij.

Il determinante di Wronsky per le funzioni viene introdotto come un determinante le cui colonne sono le derivate di queste funzioni da zero (le funzioni stesse) all'n-1° ordine.

.

Teorema. Se funziona linearmente dipendente, quindi

Prova. Dal momento che le funzioni sono linearmente dipendenti, quindi uno di essi è espresso linearmente in termini del resto, ad esempio,

L'identità può essere differenziata, quindi

Quindi la prima colonna del determinante di Wronsky è espressa linearmente in termini di colonne rimanenti, quindi il determinante di Wronsky è identico a zero.

Teorema.Per risolvere il lineare omogeneo equazione differenziale n ordine sono linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che.

Prova. La necessità segue dal teorema precedente.

Adeguatezza. Risolviamo un punto. Poiché , allora le colonne del determinante calcolato a questo punto sono vettori linearmente dipendenti.

, che le relazioni

Poiché una combinazione lineare di soluzioni di un lineare equazione omogeneaè la sua soluzione, allora possiamo introdurre una soluzione della forma

Combinazione lineare soluzioni con gli stessi coefficienti.

Si noti che per questa soluzione soddisfa zero condizioni iniziali, ciò deriva dal sistema di equazioni scritto sopra. Ma la soluzione banale di un'equazione lineare omogenea soddisfa anche le stesse condizioni iniziali zero. Pertanto, dal teorema di Cauchy segue che la soluzione introdotta è identicamente uguale a quella banale, quindi,

quindi le soluzioni sono linearmente dipendenti.

Conseguenza.Se il determinante di Wronsky, costruito su soluzioni di un'equazione lineare omogenea, svanisce almeno in un punto, allora è identicamente uguale a zero.

Prova. Se , allora le soluzioni sono linearmente dipendenti, quindi, .

Teorema.1. Per la dipendenza lineare delle soluzioni è necessario e sufficiente(o ).

2. Per l'indipendenza lineare delle soluzioni è necessario e sufficiente.

Prova. La prima affermazione segue dal teorema sopra dimostrato e dal corollario. La seconda affermazione è facilmente dimostrabile per contraddizione.

Siano le soluzioni linearmente indipendenti. Se , allora le soluzioni sono linearmente dipendenti. Contraddizione. Di conseguenza, .

Lascia stare . Se le soluzioni sono linearmente dipendenti, allora , quindi, una contraddizione. Pertanto, le soluzioni sono linearmente indipendenti.

Conseguenza.La scomparsa del determinante di Wronsky almeno in un punto è un criterio per la dipendenza lineare delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea.

La differenza del determinante di Wronsky da zero è un criterio per l'indipendenza lineare delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea.

Teorema.La dimensione dello spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea dell'n-esimo ordine è pari a n.

Prova.

a) Dimostriamo che esistono n soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale lineare omogenea dell'n-esimo ordine. Considera le soluzioni , soddisfacendo le seguenti condizioni iniziali:

...........................................................

Tali soluzioni esistono. Infatti, dal teorema di Cauchy attraverso il punto passa l'unica curva integrale - la soluzione. Attraverso il punto fa passare la soluzione per il punto

- soluzione , tramite un punto - soluzione.

Queste soluzioni sono linearmente indipendenti, poiché .

b) Mostriamo che qualsiasi soluzione di un'equazione lineare omogenea è espressa linearmente in termini di queste soluzioni (è la loro combinazione lineare).

Consideriamo due soluzioni. Uno è una decisione arbitraria con condizioni iniziali . Rapporto equo